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Tormentas eléctricasLa fuerza de impactodel rayo

Aníbal Seminario García. Graduado en ing. De Recursos Mineros

y energéticos. Máster en Ciencia de los Materiales

Cuando se forma una nube de tormen-ta con concentración en su interior de cargas eléctricas negativas y positivas, se puede originar un rayo. En este artícu-lo, después de defi nir qué se entiende por Distancia de Cebado, para después, se describe las fórmulas que hay que aplicar para saber la fuerza del impacto del rayo.

A ntes de nada conviene describir brevemente el funcionamiento del rayo atmosférico. Una vez formada la nube de tormenta tenemos en su

interior zonas de concentración de cargas eléc-tricas: unas son negativas y otras positivas. Normalmente el rayo se inicia en dichas regio-nes, surgiendo un rayo guía, denominado RAYO LÍDER DESCENDENTE (RLD), que avanza a través de la atmósfera transportando carga eléctrica, que generalmente es negativa.

Cuando el RLD está cerca del suelo se inicia en tierra un rayo, llamado RAYO LÍDER ASCEN-DENTE (RLA), que va en busca del rayo bajante. Una vez unidos se descargan miles de amperios por el canal formado.

El RLD siempre busca en el aire el camino de menor resistencia, por ello su trayectoria siem-pre es irregular y en forma de zig-zag.

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Podemos decir que el rayo bajante cuando está cerca del suelo excita las cargas eléctricas que, por inducción son de sentido contrario, se originan en puntos determinados de la tierra, provocando el RLA. En ese instante es cuando defi nimos la DISTANCIA DE CEBADO (DC).

DisTAnCiA De CeBADo (DC)

La Distancia de Cebado es la longitud entre el extremo de Rayo Líder Descendente (RLD) y el suelo o estructura terrestre en el instante en que se inicia el Rayo Líder Ascendente (RLA). También se puede defi nir como «el gradiente de potencial entre el extremo del rayo bajante y tierra en el momento que se produce la ruptura dieléctrica del ambiente surgiendo el RLA».

El campo eléctrico formado por el rayo, en la base de la estructura, viene dado por la ecua-ción (1):

(La demostración de esta expresión será mo-tivo de otro artículo).

= Densidad lineal de carga (C/m)Z = Altura desde el foco de carga en la nube

hasta el suelo (en metros) = Altura (m) de la estructura, que puede ser

natural (árbol, montaña, etc.) o artifi cial (edifi cios, torres eléctricas, etc.)

= Altura (m) del extremo del rayo bajante hasta el suelo. Es la posición a partir del cual el rayo ascendente se inicia.

= Altura (m) del extremo del RLA al suelo.

En el instante que el RLD esté en la posición crítica de tenemos (2):

; donde = DISTANCIA DE CEBADO

El rayo ascendente (RLA) aún no ha salido, por tanto:

Sustituyendo estos últimos valores en (1) ob-tenemos (3):

Esta ecuación representa el campo eléctrico en función de la Distancia de Cebado, en el mo-mento antes de iniciarse el RLA.

Podemos considerar dos posibles valores de Distancia de Cebado y son:

Figura 1

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a. Una hipotética Distancia de Cebado nula: en este caso el rayo descendente im-pacta directamente en la estructura, sin producirse el RLA. La ecuación anterior queda para: Dc = 0

(4)

b. Una Distancia de Cebado comprendida entre cero y la diferencia entre la altura Z y la estructura hE; es decir:

por tanto la ecuación sigue siendo la mis-ma que en (3).Si hallamos la diferencia de los campos eléctricos tenemos:

(5)

Sustituyendo los respectivos valores de campo eléctrico y haciendo operaciones se llega al siguiente resultado:

(6)

Si el diferencial del campo eléctrico lo igualamos a la rigidez dieléctrica del ambiente y sacamos factor co-mún a DC nos queda:

(7)

Generalmente el valor de Z suele ser su-perior a los mil metros, se puede despre-ciar el término , la expresión anterior queda:

(8)

Despejando la Distancia de Cebado ob-tenemos:

(9)

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La Distancia de Cebado depende de la ri-gidez dieléctrica del ambiente, de la carga por unidad de longitud del rayo bajante y de la altura de la estructura.

La ecuación (9) resulta compleja debido a sus tres variables . Si calculamos las variaciones que sufre la Distancia de Cebado respecto de estas y las relacionamos unas res-pecto de otras, se llega a obtener tres ecuacio-nes diferenciales muy interesantes.

PRiMeRA eCuACiÓn DiFeRenCiAl

Procede de:

(10)

Una vez realizada las derivadas y simplifi ca-ciones correspondientes se llega a la siguiente ecuación diferencial (11):

(C/m2).

Suponemos el campo constante

La solución de (11) es: Si llamamos

la ecuación anterior nos queda

; cambiando la variable

obtenemos las siguientes integrales

Integrando y sustituyendo por su valor y a la vez por obtenemos:

Para determinar la constante de integración debemos de suponer la condición inicial de:

lo que implica que la densidad de car-ga por unidad de longitud también es: . En este caso los neperianos se hacen nulos dan-do como resultado C = 0.

La ecuación anterior queda:

Eliminando logaritmos, sustituyendo A por su va-lor y fi nalmente despejando la densidad de carga resulta (12):

La expresión (12) podemos transformarla de la siguiente forma:

Figura 2

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Llamamos g a la relación entre alturas: ; donde:

La ecuación (12) queda:

El campo eléctrico es constante y podemos considerar como el campo inicial, es decir:

. La ecuación anterior queda fi nal-mente (13):

seGunDA eCuACiÓn DiFeRenCiAl

Esta ecuación procede de:

(14)

Una vez realizadas las derivadas y simplifi ca-ciones correspondientes se llega a la siguiente ecuación diferencial:

(15)

donde: ; la densidad la considera-mos constante.

Si hacemos:

diferenciando esta última expresión, tenemos:

Sustituyendo en la ecuación (15) y haciendo operaciones se llega:

Resolviendo estas integrales y sustituyendo t por su valor tenemos:

Para hallar la constante de integración C con-sideramos que los campos eléctricos son igua-les para alturas de estructuras iguales

, entonces los logaritmos neperianos se hacen nulos y como consecuencia C = 0. La ecuación queda:

Despejando el campo y sustituyendo el parámetro a por su valor tenemos:

(16)

Si sustituimos: , sacamos fac-tor común a en el denominador y suponemos que la densidad de carga lineal es constante e igual al inicial , la expresión anterior queda fi nalmente:

(17)

TeRCeRA eCuACiÓnDiFeRenCiAl

Esta procede de:

El resultado es (18):

Para implica que , por tanto la constante de integración es cero.

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Finalmente tenemos el siguiente resultado:

(19)

Esta ecuación es interesante pues el produc-to de la densidad de carga lineal por el campo eléctrico nos da la densidad de fuerza por uni-dad de longitud, siendo una cantidad constante. La ecuación anterior queda defi nitivamente (20):

donde viene expresado en N/m, la den-sidad de carga en culombios/m y el campo en V/m.

Si tenemos una densidad de fuerza de 400 N/m y observamos que el rayo tiene unos 1000 m de longitud, el impacto en el lugar de encuen-tro es de 400 KN.

Por otra parte si multiplicamos (13) por (17) obtenemos el resultado inicial de

Las ecuaciones (13) y (17) están representa-das en el gráfi co (1), en este se observa cómo los valores máximos de densidad de carga se recogen en una curva. Lo mismo ocurre con el campo eléctrico, pero la diferencia es que son valores mínimos.

Según el gráfi co 1, para cualquier valor de g, el producto de la carga lineal por el campo eléctrico existente se mantiene constante.

Las ecuaciones correspondientes de carga lineal máxima y de campo eléctrico mínimo son:

(21)

(22)

Estas ecuaciones quedan representadas en el gráfi co (2)

En ambas curvas tenemos, para una altura , un mínimo para la den-

sidad de carga lineal y máximo para el campo eléctrico.

Los valores máximos de densidad de carga se recogen en una curva envolvente

Curva envolvente que recogelos valores mínimos del campo eléctrico

Curva envolvente que recoge todos los valores máximos de densidad de carga. Tiene un mínimo

para una determinada altura de estructura:

Curva que recoge todos los valores mínimos de campo eléctrico. Tiene un máximo en la misma altura de estructura.

Grá� co 1

Grá� co 2

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FueRZA eJeRCiDA PoR el RAYo

La fuerza por unidad de longitud calculada en (20) también se puede determinar de la siguiente manera:

Fuerza ejercida por el rayo en el punto de im-pacto:

Distancia:

Para simplifi car el problema consideramos la trayectoria del rayo vertical, por tanto las com-ponentes de x e y no existen: y

Se defi ne la densidad de fuerza lineal como el cociente de:

(23)

donde es el módulo de fuerza en Newton según componente vertical y representa la di-ferencia entre la distancia al foco de la carga (z) y la suma de la mitad de la Distancia de Cebado con la estructura en metros, es decir:

El motivo de es debido al punto de en-cuentro entre los dos rayos que está situado en el punto medio de la Distancia de Cebado.

Si igualamos esta última expresión (23) con (20) y despejamos la fuerza obtenemos:

(24)

= Fuerza en Newton que ejerce el rayo en el punto de impacto

= Densidad de carga lineal en C/m = Campo eléctrico en V/m

Z = Distancia en metros entre el foco de carga situada en la nube y tierra.

= Altura en metros de la estructura. = Distancia de cebado en metros

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La ecuación anterior también puede ser:

(25)

Un caso particular de consiste en sustituir la altura de estructura por el hallado del valor mínimo de y el máximo de te-nemos: para

(26)

ConClusiones

Partimos de la Distancia de Cebado (9) que está en función del campo eléctrico, densidad de carga lineal y de la altura de estructura existente en el ambiente.

Según esta hipótesis, la Dc cambia depen-diendo de estas variables. Comparando y rela-cionando estas variaciones unas respecto de otras se llega al resultado de tres ecuaciones diferenciales:

– En la solución de la primera obtenemos la ecuación (13) que describe el comportamiento de la densidad de carga lineal en función de la al-tura de estructura (hE) y de un parámetro (g) que relaciona dos posibles alturas de estructuras.

Si representamos la densidad de carga en un eje de coordenadas (gráfico 1) vemos como la densidad cambia según damos valores a (g) para diferentes alturas …

En el gráfico todas las curvas convergen en un punto común que representa el valor inicial de densidad de carga ( )cuando las alturas ini-cial y final son iguales (g = 1). Esta situación nos indica que la variación de la densidad de carga final no sólo depende de (g) y (hE) sino de la po-sición de la carga inicial ( ), que según esté situado cambian las curvas.

También debemos destacar que los valores máximos de densidad de carga se recogen en una curva envolvente, en la cual hay un mínimo para una altura de estructura determinada cuyo valor es directamente proporcional a la densidad de carga inicial e inversamente proporcional al campo eléctrico inicial (E0).

– De la segunda ecuación se llega a la expresión (17) que nos dice que el campo eléctrico existente varía, de forma casi inversamente proporcional, a la altura de estructura y al parámetro (g).

En la gráfico (1) vemos que todas las curvas convergen en un punto (igual que en el caso de la densidad de carga) donde el campo tiene un valor inicial (E0) para un g=1. Dependiendo de la situación de este punto las curvas del campo serán muy distintas.

En el gráfico se observa una curva que reco-ge todos los valores mínimos de campo eléctri-co, en su representación se obtiene un máximo (gráfico 2) situado en la misma altura de estruc-tura (hE) que en el caso de la densidad de carga.

Este valor hE común, tanto para el campo máximo como para el mínimo de densidad, es muy interesante debido a que el rayo a medida que baja buscará aquella estructura cuya altu-ra cumpla , pero esto es una hipótesis. Puede ocurrir que el rayo localice otra estructura cuyo campo eléctrico y densidad de carga no sean las iniciales.

– La tercera ecuación diferencial nos da como resultado la expresión (19) que nos dice: el producto de la densidad de carga con el cam-po eléctrico es igual al producto de la densidad inicial por el campo inicial.

En realidad, esta ecuación nos indica, que el producto de estas dos variables se mantiene cons-tante, además ésta tiene dimensiones. El producto de la densidad de carga por el campo eléctrico nos da la fuerza lineal que ejerce el rayo.

La Fuerza Resultante se determina mediante el producto de la fuerza lineal por la longitud del rayo.

Un caso particular del cálculo de la fuerza ejercida por el rayo es la representada en la ex-presión (26). En este punto la fuerza depende fundamentalmente de la altura donde está situa-do el foco de la carga (z), Distancia de Cebado, densidad inicial y campo inicial. n

BIBLIOGRAFÍALightnig: physics and effects de Vladimir A. Rakov y Martin A. Uman

Electrificación de tormentas por Earle R. Williams