Actividadparaelcursode Física Fundamentos de trigonometría...

Actividad para el curso de Física:Fundamentos de trigonometría. Teorema de

Pitágoras.

Profesor Eduardo Abraham

Escárcega Pliego*.

*Colegio de Ciencias y Humanidades, plantel sur, Universidad Nacional Autónoma deMéxico. Correo-e: [email protected]; [email protected]. Esta obrase distribuye bajo una licencia Creative Commons tipo Atribución-NoComercial-SinDerivadas2.5 México, cbnd. Consulte la siguiente página en internet para conocer los términos delicenciamiento: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/mx/. Usted es libre decompartir - copiar, distribuir, ejecutar y comunicar públicamente la obra bajo los términossiguientes: (a) Atribución – Debe reconocer los créditos de la obra de la manera especificadapor el autor o el licenciante (pero no de una manera que sugiera que tiene su apoyo o que

1

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/mx/

CCH Sur Actividad para el curso de Física: .Fundamentos de trigonometría. Teorema de Pitágoras. UNAM

Índice

1. Introducción. 3

2. Apunte 42.1. Funciones trigonométricas de un ángulo ¸ en un triángulo

rectángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Teorema de Pitágoras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Teorema de Pitágoras y funciones trigonométricas de un án-

gulo ¸ en un triángulo rectángulo. . . . . . . . . . . . . . . 132.4. Intervalos de valor de las funciones trigonométricas de un

ángulo ¸ en un triángulo rectángulo. . . . . . . . . . . . . . 14

3. Ejemplos. 23

4. Guía de estudio para el estudiante. 384.1. Preguntas a nivel conocimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2. Preguntas a nivel comprensión. . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3. Preguntas a nivel aplicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

apoyan el uso que hace de su obra). (b) No Comercial – No puede utilizar esta obra parafines comerciales. (c) Sin Obras Derivadas – No se puede alterar, transformar o generaruna obra derivada a partir de esta obra.

cbnd Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego. 2



5. Ejercicio tipo examen. 39

1. Introducción.

Se presenta material correspondiente a una actividad del Curso de Físi-ca del profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego para los temas: Funda-mentos de trigonometría y teorema de Pitágoras. Ambos temas proveen deconceptos útiles para el desarrollo de explicaciones y predicciones que seconstruyen en física a hechos fenomenológicos en el ámbito de aplicación dela física.

No se busca estudiar toda la trigonometría sino los conceptos fundamenta-les y algunas de las relaciones entre funciones trigonométricas de un ánguloen un triángulo rectángulo que resulten de utilidad para el curso de física,que convenga estudiar y presentar en un inicio para no repetir el contenidocada vez que sea usado.

Los contenidos tratados se pueden analizar en la lista de contenidos queaparece al principio del documento, la cual también permite “navegar ” en eldocumento en su versión electrónica.

Esta actividad sigue los lineamientos generales para las actividades delCurso de Física del Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego.




2. Apunte

2.1. Funciones trigonométricas de un ángulo ¸ en untriángulo rectángulo.

En esta sección se responde a las pregunta: ¿Qué son las funciones trigo-nométricas de un ángulo en un triángulo rectángulo?

Sea un triángulo en el espacio definido por tres puntos A, B, y C y porlos segmentos de recta, AB, BC, CA el cual se representará por 4ABC.

Sea que los segmentos AB y BC definan un ángulo recto con vérticeen el punto B, es decir, sea que los segmentos AB y BC sean mutuamenteperpendiculares, ver la figura (1). Entonces diremos que tal triángulo4ABCserá un triángulo rectángulo.

Sea que nombremos por ¸, alfa minúscula del alfabeto griego, al ánguloformado por el segmento AB y el segmento AC con vértice en el puntoA del triángulo rectángulo 4ABC, ver figura (1). Entonces nombraremoscomo cateto adyacente al ángulo ¸ al segmento AB, como cateto opuestoal ángulo ¸ al segmento BC y como hipotenusa del triángulo rectángulo alsegmento AC.

Sea que el cateto adyacente al ángulo ¸ del triángulo rectángulo, el seg-mento AB, tenga un tamaño x. Sea que el cateto opuesto al ángulo ¸ del




Figura 1: Triángulo rectángulo en el espacio.

triángulo rectángulo, el segmento BC, tenga un tamaño y. Sea que la hipo-tenusa del triángulo rectángulo, el segmento AC, tenga un tamaño r, todoen referencia a la figura (1). Entonces se definen las funciones trigonométri-cas del ángulo ¸ en el triángulo rectángulo 4ABC seno, coseno, tangente,cosecante, secante y cotangente del ángulo ¸ en el triangulo rectángulocomo:

seno(¸) = sen(¸) =y

r(1)




coseno(¸) = cos(¸) =x

r(2)

tangente(¸) = tan(¸) =y

x(3)

cosecante(¸) = csc(¸) =r

y(4)

secante(¸) = sec(¸) =r

x(5)

cotangente(¸) = ctg(¸) =x

y(6)

Las funciones trigonométricas de un ángulo ¸ en un triángulo rectánguloson iguales a las constantes de proporcionalidad directa entre los tamaños delos lados de triángulos rectángulos semejantes que tengan un mismo ángulointerno ¸.




Las funciones trigonométricas cosecante, secante y cotangente de un án-gulo ¸ en un triángulo rectángulo de acuerdo a sus definiciones están relacio-nadas con las funciones seno, coseno y tangente del ángulo ¸ en el triángulorectángulo en la forma siguiente:

csc(¸) =1

sen(¸)(7)

sec(¸) =1

cos(¸)(8)

cot(¸) =1

tan(¸)(9)

Se cumple también la siguiente relación respecto a la función tangentedel ángulo ¸ en el triángulo rectángulo:

tan(¸) =y

x

tan(¸) =

y

rx

r




Considerando las definiciones de las funciones trigonométricas seno y co-seno del ángulo ¸ en un triángulo rectángulo dadas por las formulas (1) y(2) se tendrá:

tan(¸) =sen(¸)

cos(¸)(10)

De igual manera se puede afirmar cierta la siguiente igualdad entre lasfunciones trigonométricas seno, coseno y cotangente de un ángulo ¸ en untriángulo rectángulo ya que cot(¸) = tan(¸):

cot(¸) =cos(¸)

sen(¸)(11)

La importancia de la trigonometría se da a partir de las propiedades desemejanza de los triángulos rectángulos. Las funciones trigonométricas deun ángulo ¸ que esté en triángulos rectángulos semejantes tienen el mismovalor, se les puede evaluar a partir de un trazo geométrico, como lo es uncírculo de radio unitario, y se les puede usar para conocer el tamaño dealgún segmento en un triángulo rectángulo conocido el tamaño de otro desus segmentos y alguna de las funciones trigonométricas de un ángulo ¸ enlos triángulos rectángulos semejantes.




2.2. Teorema de Pitágoras.

Los tamaños de los lados de tal triángulo rectángulo como el descritoen la sección previa que se muestra en la figura (1), cumplen el teorema dePitágoras1.

Se considera un triángulo rectángulo como el mostrado en la figura (2)con tamaños de catetos x, y y con tamaño de hipotenusa r. El teorema dePitágoras afirma que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa deltriángulo rectángulo, r2, es igual a la suma de las áreas de los cuadradosconstruidos sobre los catetos del triángulo rectángulo, x2 + y2

r2 = x2 + y2 (12)

De otra forma, el tamaño de la hipotenusa del triángulo rectángulo, r,en términos de los tamaños de los catetos del triángulo rectángulo, x y y,

1Pitágoras de Samos (ca. 580 a. C. – ca. 495 a. C.) fue un filósofo y matemático griegoconsiderado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avancede la matemática helénica, la geometría y la aritmética, derivadas particularmente de lasrelaciones numéricas, y aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría dela música o a la hora astronomía. Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Pitágoras Artículosobre Pitágoras en la Wikipedia en español. Consultada el 17 de septiembre del año 2013.


http://es.wikipedia.org/wiki/Pit�goras



Figura 2: Triángulo rectángulo. Representación gráfica del teorema de Pitágoras.




será:

r =qx2 + y2 (13)

La demostración del teorema de Pitágoras es un ejercicio que se puedehacer geométricamente al elegir algún triángulo rectángulo y trazar los cua-drados que tengan las dimensiones de los lados del triángulo rectángulo paradespués hacer cortes en las áreas de cuadrados menores y probar que se pue-den hacer coincidir esos cortes en el área del cuadrado que tenga por ladola hipotenusa del triángulo rectángulo. Otra manera de hacer la demostra-ción del teorema de Pitágoras es trazando un triángulo rectángulo que tengatodos los tamaños de sus lados coincidentes con números enteros, como elque tenga x = 8, y = 6 y r = 10, para luego trazar los cuadrados condimensiones r2, x2 y y2 en los que se marquen unidades cuadradas y en losque se pueda hacer el conteo de unidades cuadradas de r2 y compararlo conel de x2 + y2 para ver que sean iguales. Este caso se muestra en la figura(??).




Figura 3: En la figura se muestra un triángulo rectángulo con catetos de tamaños

x = 8, y = 6 y tamaño de hipotenusa r = 10. Los tamaños de lados del triángulo

rectángulo mostrado son números enteros. Se puede hacer el conteo de unidades de

área para demostrar en este caso el teorema de Pitágoras, que r2 = x2 + y2, que

100 = 64 + 36.cbnd Profesor Eduardo Abraham Escárcega Pliego. 12



2.3. Teorema de Pitágoras y funciones trigonométricasde un ángulo ¸ en un triángulo rectángulo.

El teorema de Pitágoras se relaciona con las funciones trigonométricasseno y coseno de cierto ángulo ¸ en el triángulo rectángulo usado paraformular el teorema de Pitágoras en referencia a la figura (2).

Se parte del teorema de Pitágoras y se divide la igualdad que lo repre-senta entre el tamaño de la hipotenusa del triángulo rectángulo elevado alcuadrado

r2 = x2 + y2

r2

r2=

x2

r2+y2

r2

1 = x

r

!2

+ y

r

!2

Si se tienen en cuenta las igualdades (1) y (2) se confirma que:

1 = sen2 (¸) + cos2 (¸) (14)

Aquí la notación usada para potencia al cuadrado de las funciones trigono-métricas del ángulo ¸ en el triángulo rectángulo considerado es como sigue:sen2(¸) = (sen(x))2 y cos2(¸) = (cos(x))2.




2.4. Intervalos de valor de las funciones trigonométricasde un ángulo ¸ en un triángulo rectángulo.

Los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo ¸ en un trián-gulo rectángulo tienen valores acotados entre límites que resulta simpleestablecer. Los criterios siguientes son de utilidad para tal fin:

De un triángulo rectángulo el tamaño de los catetos nunca resulta sermayor que el tamaño de la hipotenusa.

El teorema de Pitágoras respecto a un ángulo ¸ en un triángulo rectán-gulo pide que 1 = sen2(¸) + cos2(¸).

La división de un número entre cero es una indeterminación.

El número cero dividido entre cualquier número da el número cero comoresultado.

Cuando el ángulo ¸ tiende a valer cero, el tamaño del cateto adyacenteal ángulo ¸, x, tiende a valer el tamaño de la hipotenusa, r, del trián-gulo rectángulo y el tamaño del cateto opuesto al ángulo ¸, y, tiendea valer cero. Ver la figura (2.4).




Figura 4: Triángulo rectángulo en el espacio. Cuando el ángulo ¸ tiende a valer

cero, el tamaño del cateto adyacente al ángulo ¸, x, tiende a valer el tamaño de

la hipotenusa, r, del triángulo rectángulo y el tamaño del cateto opuesto al ángulo

¸, y, tiende a valer cero.

Cuando el ángulo ¸ tiende a valer un ángulo recto, el tamaño del catetoopuesto al ángulo ¸, y, tiende a valer el tamaño de la hipotenusa, r,del triángulo rectángulo y el tamaño del cateto adyacente al ángulo ¸,x, tiende a valer cero. Ver la figura (5).

Cuando el ángulo ¸ vale la mitad de un ángulo recto, el tamaño delcateto opuesto al ángulo ¸, y, y el tamaño del cateto adyacente alángulo ¸, x, tendrán el mismo valor, x = y, por lo que también tendránsl mismo valor las funciones trigonométricas sen(¸) y cos(¸), es decir,sen (¸) = cos (¸). Ver la figura ( 6).

Es posible obtener los valores de las funciones trigonométricas del án-gulo de medio ángulo recto de la igualdad (14) y de la igualdad (11).

De la igualdad (14) con la condición de que sen (¸) = cos (¸) se




Figura 5: Triángulo rectángulo en el espacio. Cuando el ángulo ¸ tiende a valer un

ángulo recto, el tamaño del cateto opuesto al ángulo ¸, y, tiende a valer el tamaño

de la hipotenusa, r, del triángulo rectángulo y el tamaño del cateto adyacente al

ángulo ¸, x, tiene a valer cero.




Figura 6: Triángulo rectángulo en el espacio. Cuando el ángulo ¸ vale la mitad

de un ángulo recto, el tamaño del cateto opuesto al ángulo ¸, y, y el tamaño del

cateto adyacente al ángulo ¸, x, tienen el mismo valor, x = y, por lo que también

se tendrá que sen (¸) = cos (¸).




pueden obtener los valores de sen (¸) y de cos (¸):

1 = sen2 (¸) + cos2 (¸)

1 = sen2 (¸) + sen2 (¸)

1 = 2 sen2 (¸)

1

2= sen2 (¸)vuut1

2=

rsen2 (¸)

1p

2= sen (¸)

0;707106 = sen (¸)

sen(¸) = cos(¸) =1p

2= 0;707106

En el caso de las funciones csc(¸) y sec(¸) que se relacionan con lasfunciones trigonométricas sen(¸) y cos(¸) según las igualdades (7) y(8):

csc(¸) =1

sen(¸; sec(¸) =

1

cos(¸




Para un ángulo ¸ con el valor de medio ángulo recto las funciones trigo-nométricas cosecante y secante del ángulo ¸ en un triángulo rectángulovaldrán:

csc(¸) = sec(¸) =

p2

1=p

2 = 1;414214

De la igualdad (11) se tiene:

tan(¸) =sen(¸)

cos(¸)

Sí sen(¸) = cos(¸) para un ángulo ¸ de medio ángulo recto. Entonces:

tan(¸) = 1

En el caso de las función cot(¸) que se relaciona con las función trigo-nométrica tan(¸) según las igualdad (9):

cot(¸) =1

tan(¸)

Para un ángulo ¸ con el valor de medio ángulo recto

cot(¸) =1

tan(¸)=

1

1= 1




A continuación se analizan los intervalos de valores de las funciones tri-gonométricas de un ángulo ¸ en un triángulo rectángulo para los ángulosnulo, de medio ángulo recto y de un ángulo recto. Se refiere a los tamaños delados y de hipotenusa de un triángulo rectángulo que se han estado usando,x, = y y r respectivamente.

sen(¸) = yr.

Para un ángulo nulo x = r y y = 0. La fracción y

r= 0

r= 0, así que

sen(¸) = 0.

Para un ángulo de medio ángulo recto ya se demostró que sen(¸) =1p2

= 0;707106.

Para un ángulo recto x = 0 y y = r. La fracción y

r= r

r= 1, así que

sen(¸) = 1.

cos(¸) = xr.

Para un ángulo nulo x = r y y = 0. La fracción x

r= r

r= 1 , así que

cos(¸) = 1.

Para un ángulo de medio ángulo recto ya se demostró que cos(¸) =1p2

= 0;707106.

Para un ángulo recto x = 0 y y = r. La fracción x

r= 0

r= 0, así que

cos(¸) = 0.




tan(¸) = yx.

Para un ángulo nulo x = r y y = 0. La fracción y

x= 0

r= 0, así que

tan(¸) = 0.

Para un ángulo de medio ángulo recto ya se demostró que sen(¸) =

cos(¸) y que:

tan(¸) =sen(¸)

cos(¸)= 1

Para un ángulo recto x = 0 y y = r. La fracción y

x= r

0resulta no

estar determinada. Conforme el ángulo ¸ tienda a ser un ángulo recto,el valor de la tangente del ángulo ¸ será infinito, 1:

tan(¸) ! 1 cuando ¸ ! «angulo recto

csc(¸) = ry.

Para un ángulo nulo x = r y y = 0. La fracción r

y= r

0resulta no

estar determinada. Conforme el ángulo ¸ tienda a ser un ángulo nulo,el valor de la cosecante del ángulo ¸ será infinito, 1:

csc(¸) ! 1 cuando ¸ ! «angulo nulo

Para un ángulo de medio ángulo recto ya se demostró que csc(¸) =

sec(¸) y que: csc(¸) =p

2 = 1;414214.




Para un ángulo recto x = 0 y y = r. La fracción r

y= r

r= 1, así que

csc(¸) = 1.

sec(¸) = rx. Para un ángulo nulo x = r y y = 0. La fracción r

x=

r

r= 1, así que sec(¸) = 1.

Para un ángulo de medio ángulo recto ya se demostró que csc(¸) =

sec(¸) y que: csc(¸) =p

2 = 1;414214.

Para un ángulo recto x = 0 y y = r. La fracción r

x= r

0resulta no

estar determinada. Conforme el ángulo ¸ tienda a ser un ángulo recto,el valor de la secante del ángulo ¸ será infinito, 1:

sec(¸) ! 1 cuando ¸ ! «angulo recto

cot(¸) = xy.

Para un ángulo nulo x = r y y = 0. La fracción x

y= r

0resulta no

estar determinada. Conforme el ángulo ¸ tienda a ser un ángulo recto,el valor de la tangente del ángulo ¸ será infinito, 1:

cot(¸) ! 1 cuando ¸ ! «angulo nulo

Para un ángulo de medio ángulo recto ya se demostró que sen(¸) =

cos(¸) y que:

cot(¸) =cos(¸)

sen(¸)= 1




Para un ángulo recto x = 0 y y = r. La fracción x

y= 0

r= 0, así que

cot(¸) = 0.

Los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo ¸ en un trián-gulo rectángulo descritos pueden ser resumidos en la tabla (??)

Los valores de las funciones trigonométricas de un ángulo ¸ en un trián-gulo rectángulo pueden ser obtenidas con ayuda de tablas de valores o conayuda de una calculadora electrónica de tipo científico. Para poder obtenersus valores es necesario elegir una manera de medir ángulos

3. Ejemplos.

(1) Evaluar las funciones trigonométricas, seno, coseno, tangente, cosecante,secante y cotangente del ángulo ¸ para cada un de los triángulos rec-tángulos semejantes mostrados en la figura (7). Debe evaluar también eltamaño de la hipotenusa de cada triángulo rectángulo para poder evaluarlas funciones trigonométricas pedidas. ¿Qué encuentra de semejanza enellas?.

Respuesta.

A continuación se evalúan las funciones trigonométricas para el ángulo¸ en el primer triangulo rectángulo, así como la hipotenusa de éste




Función ángulo medio ángulotrigono- nulo ángulo recto

métrica de rectoun ángulo ¸

sen(¸) 01p

21

cos(¸) 11p

20

tan(¸) 0 1 ind:1csc(¸) ind:1

p2 1

sec(¸) 1p

2 ind:1cot(¸) ind:1 1 0

Cuadro 1: Valores de las funciones trigonométricas para un ángulo ¸ en un triángulo

rectángulo para ángulos nulo, de medio ángulo recto y recto. ind: abrevia “ indeter-

minado”. Los valores de funciones trigonométricas marcados como indeterminados

tienen un valor infinito, 1, para ángulos con valores cercanos al valor indicado.




Figura 7: Triángulos rectángulos semejantes.




triángulo. x = 12 , y = 20

r =qx2 + y2

r =q

122 + 202

r =q

144 + 400

r =p

344

r = 23;3238076

sen(¸) =y

r

sen(¸) =20

23;3238076

sen(¸) = 0;85749

cos(¸) =x

r

cos(¸) =12

23;3238076




cos(¸) = 0;51449

tan(¸) =y

x

tan(¸) =20

12

tan(¸) = 1;66667

csc(¸) =r

y

csc(¸) =23;3238076

20

csc(¸) = 1;16619

sec(¸) =r

x

sec(¸) =23;3238076

12

sec(¸) = 1;94365




cot(¸) =x

y

cot(¸) =12

20

cot(¸) = 0;60000

A continuación se evalúan las funciones trigonométricas para el ángulo¸ en el segundo triangulo rectángulo, así como la hipotenusa de éstetriángulo.

x0 = 30 ; y0 = 50

r0 =r

(x0)2 + (y0)2

r0 =q

302 + 502

r0 =q

900 + 2500

r0 =p

3400

r0 = 58;3095189




sen(¸) =y0

r0

sen(¸) =50

58;3095189

sen(¸) = 0;85749

cos(¸) =x0

r0

cos(¸) =30

58;3095189

cos(¸) = 0;51449

tan(¸) =y0

x0

tan(¸) =50

30

tan(¸) = 1;66667




csc(¸) =r0y0

csc(¸) =58;3095189

50

csc(¸) = 1;16619

sec(¸) =r0

x0

sec(¸) =58;3095189

30

sec(¸) = 1;94365

ctg(¸) =x0

y0

ctg(¸) =30

50

ctg(¸) = 0;60000

Se observa que las funciones trigonométricas de un ángulo ¸ en un trián-gulo rectángulo dependen de ser evaluadas con los tamaños de los lados




del triángulo rectángulo, pero su valor es el mismo para un mismo ánguloen triángulos rectángulos semejantes.

Los tamaños de los lados de triángulos rectángulos semejantes guardanrelaciones de proporcionalidad directa, las constantes de proporcionali-dad directa entre los tamaños de los lados de triángulos rectángulossemejantes son las funciones trigonométricas de los ángulos internos delos triángulo rectángulos semejantes.

(2) Para un triángulo rectángulo con hipotenusa de tamaño r, y con catetosadyacente y opuesto a un ángulo ¸ en el triángulo rectángulo de tamañosx e y respectivamente:

(a) Si x = 4 e y = 6, hallar r.

Respuesta.

Si: r2 = x2 + y2. Entonces: r =px2 + y2

r =qx2 + y2

r =q

42 + 62

r =q

16 + 36

r =p

52

r = 7;21110




(b) Si r = 20 e y = 7, hallar x.

Respuesta.

Si: r2 = x2 + y2. Entonces: x2 = r2 ` y2 y x =pr2 ` y2

x =qr2 ` y2

x =q

202 ` 72

x =q

400 ` 49

x =p

351

x = 18;73499

(c) Si r = 36 y x = 4, hallar y.

Respuesta.

Si: r2 = x2 + y2. Entonces: y2 = r2 ` x2 y y =pr2 ` x2

y =qr2 ` x2

y =q

362 ` 52

y =q

1296 ` 16

y =p

1280

y = 35;77709

(d) Si r = 50 y cos(¸) = 25, hallar x.




Respuesta.

Si: x

r= cos(¸). Entonces: x = r cos(¸).

x = r cos(¸)

x = 502

5

x =50ˆ 2

5

x =100

5

x = 20

(e) Si r = 72 y sen(¸) = 38, hallar y.

Respuesta.

Si: y

r= sen(¸). Entonces: y = r sen(¸).

y = r sen(¸)

y = 72ˆ sen(¸)

y = 72ˆ 3

8

y =216

8

y = 27




(f) Si tan(¸) = 100 y x = 6, hallar y.

Respuesta.

Si: y

x= tan(¸). Entonces: y = x ˆ tan(¸).

y = x ˆ tan(¸)

y = 6 ˆ 100

y = 600

(g) Si tan(¸) = 0;0335 e y = 15, hallar x.

Respuesta.

Si: y

x= tan(¸). Entonces: x

y= 1

tan(¸)y x = y

tan(¸)

x =y

tan(¸)

x =15

0;0335

x = 447;76119403

(h) Si r = 35 y sec(¸) = 92, hallar x.

Respuesta.




Si: r

x= sec(¸). Entonces: x = r

sec(¸).

x =r

sec(¸

x =35

92

x =35 ˆ 2

9

x =70

9

x = 7;77777

(i) Si r = 60 y csc(¸) = 113, hallar y.

Respuesta.

Si: r

y= csc(¸). Entonces: y = r

csc(¸)

y =r

csc(¸)

y =60113

y =60 ˆ 3

11

y =180

11

y = 16;36364




(j) Si cot(¸) = 0;15 y x = 12, hallar y.

Respuesta.

Si: x

y= cot(¸). Entonces: y =

x

cot(¸).

y =x

cot(¸)

y =12

0;15

y = 80

(k) Si cot(¸) = 27 e y = 19, hallar x.

Respuesta.

Si: x

y= cot(¸). Entonces: x = y ˆ cot(¸).

x = y ˆ cot(¸)

x = y ˆ cot(¸)

x = 19 ˆ 27

x = 513

(l) Si sen(¸) = 0;667, hallar cos(¸)

Respuesta.




Si: 1 = sen2 (¸) + cos2 (¸). Entonces: cos2 (¸) = 1 ` sen2 (¸)

y cos (¸) =q

1 ` sen2 (¸)

cos (¸) =r

1 ` sen2 (¸)

cos (¸) =q

1 ` 0; 6672

cos (¸) =q

1 ` 0;44489

cos (¸) =q

0;555111

cos (¸) = 0;74506

(m) Si cos(¸) = 0;2234, hallar sen(¸)

Respuesta.

Si: 1 = sen2 (¸) + cos2 (¸). Entonces: sen2 (¸) = 1 ` cos2 (¸)

y sen (¸) =q

1 ` cos2 (¸)

sen (¸) =r

1 ` cos2 (¸)

sen (¸) =q

1 ` 0;22342

sen (¸) =q

1 ` 0;04991

sen (¸) =q

0;95009

sen (¸) = 0;97473

(3) Se quiere conocer la altura de un edificio. Para ello se cuenta con unacuerda cuya longitud es de 15 (metro) y con un dispositivo que permite




medir ángulos que cuenta con dos miras, una mira para lograr una ali-neación horizontal y otra mira ajustable para determinar el ángulo quehace un haz de luz que pasa por la mira y que llega desde la parte másalta del edificio.

Si la alineación horizontal se hace a la altura de los ojos del observador

4. Guía de estudio para el estudiante.

4.1. Preguntas a nivel conocimiento.

(1) .

4.2. Preguntas a nivel comprensión.

(1)

4.3. Preguntas a nivel aplicación.

(1)




5. Ejercicio tipo examen.



Actividadparaelcursode Física Fundamentos de trigonometría...

Documents

Transcript of Actividadparaelcursode Física Fundamentos de trigonometría...