Francisco José Briales González. (2000). Uno. [Versión electrónica]. Revista Uno 24

Actividades para el aprendizaje de actitudes

Francisco José Briales González

Se ofrecen propuestas de actividades paralelas o complementarias a la resolución de problemas, que permiten trabajar nosólo conceptos y procedimientos, sino de forma muy especial, actitudes en matemáticas. Las actividades pretenden sertambién motivadoras, y sus resultados pueden permanecer como bases de datos, que sean fuente de ejemplos yproblemas en otros momentos del curso en que el profesor o profesora los necesite

Palabras clave: Matemáticas, Actividad, Enseñanza, Resolución de problemas, Actitud, Pedagogía

Activities for the learning of attitudes

We offer parallel or complementary activities for the resolving of problems that will allow us to work not only concepts andprocedures but also attitudes in Mathematics and in quite a novel way. The activities also aim to be motivating and itsresults may stay as databases, and these may be a source of examples and problems in moments of the course when theteacher might need them.

La profesión docente puede ser muy gratificante si consideramos nuestro trabajo con una dimensión deenseñanza-aprendizaje: reconocer que al mismo tiempo que enseñamos, podemos aprender.

Pero aprender como profesores no se hace de forma inespecífica, "por estar allí", o por "ir al trabajo cada día". Paraaprender de los alumnos es necesario un plan premeditado para hacerlo, una actitud como profesores que lo haga posible.¿Y cómo podemos aprender los profesores? Reflexionando sobre nuestro trabajo, modificando aunque sea en pequeñamedida nuestra práctica y volviendo a reflexionar sobre ella, en un proceso continuo.

Este artículo responde a estas ideas y parte de varias consideraciones previas:

1. Recoge reflexiones basadas en la experiencia, centradas en la secundaria obligatoria, y en buena medida es un artículode opinión.

. Pretende dar razones de la dificultad de trabajar actitudes en matemáticas con un planteamiento de actividades del tipode los ejercicios que aparecen en libros de texto.

. Trabajar con la metodología de resolución de problemas brinda muchas oportunidades de trabajar actitudes. Este artículoofrece actividades paralelas o complementarias que permiten desarrollar actitudes en matemáticas, que es un terreno en elque los profesores y profesoras no encontramos propuestas habitualmente:

Por una parte se pide a los profesores que consideren las actitudes como otros elementos más a educar y a evaluar. Ahorabien, la mayoría de ellos desconocen qué son, no saben como medirlas y no poseen los criterios suficientes para determinarsu peso en el rendimiento de los alumnos. Otro problema radica en que, en el área de las actitudes, no se ha dado a losprofesores unos objetivos y contenidos análogos a los que poseen para la enseñanza de las diferentes materias delcurrículum. Los profesores tienen que enseñar y juzgar durante el año algo que desconocen. En definitiva el problemaradica en que la insistencia dada al tema de las actitudes en la educación no se ha acompañado de técnicas relevantes,medios adecuados, ni de una labor de concienciación de los educadores para que éstos asuman la necesidad de tomar enconsideración este aspecto. (Auzmendi, 1992)

Se habla de la importancia de las actitudes, en toda la literatura pedagógica y en toda la "literatura de normativa legal"sobre el currículum y la evaluación, y es posible ver presentes a éstas en las programaciones de cada tema de todas laseditoriales; incluso en los libros de texto del alumno se explicitan actitudes que corresponden a ese tema, pero cabepreguntarse: ¿Cómo se adquieren esas actitudes? ¿Cómo se evaluan?. Parece que el desarrollo de conceptos yprocedimientos, traen de la mano de forma automática la adquisición de esas actitudes, y la evaluación de actitudes seconfunde con comportamiento, o como mucho, con buena disposición hacia la asignatura.

2. En las actividades que se presentan a los alumnos deben combinarse adecuadamente cuatro tipos de tareas: tareas decomprensión, memoria, de tipo algorítmico y de opinión.

. Las tareas de comprensión se refieren a la consolidación por parte del alumno de conceptos, desarrollos... Son lasactividades propuestas por el profesor que persiguen la adquisición de contenidos a los cuales se llega fundamentalmentemediante el razonamiento.

. Las tareas de tipo algorítmico se refieren a esas actividades de tipo automático, tan presentes en matemáticas, deaplicación de fórmulas, de procedimientos automáticos, de secuencias rutinarias de tareas para resolver ejercicios...

. Las tareas de memoria completan el aprendizaje con una retención más o menos duradera de esos conceptos, ideas,procedimientos... Muchos contenidos no sólo necesitan ser comprendidos, sino también ser memorizados.

. Las tareas de opinión dan entrada a la subjetividad, conectan con otras áreas, con las vivencias personales de losalumnos, sus tomas de postura, sus decisiones... En este sentido humanizan las matemáticas, le dan un carácter deactividad esencialmente humana. Ilustran sobre la utilidad de las matemáticas, su aplicación a la vida diaria, susaportaciones a la comprensión de nuestro mundo, sobre su carácter de empresa humana, etc.

En la enseñanza de las matemáticas es usual trabajar las tres primeras tareas, y de forma especial la segunda, pero nuncase trabajan en clase las tareas de opinión, tan valiosas desde el punto de vista educativo.

3. Es necesario reconocer el valor educativo del trabajo en grupo, y hay que seleccionar actividades que hagan estoposible.

... la inteligencia no es sólo una cuestión personal e individual que puede ser definida mediante test, de los que se hahecho uso y abuso; la inteligencia más bien es el resultado de la interacción de uno con el otro o los otros. El proceso depensar tiene una dimensión social que, en caso de ocultarse, lo limita en un aspecto básico. (Gavilán Bouzas, P. 1997)

4. Si una actividad conecta con los intereses de los alumnos (su propia identidad corporal, la aportación de padres,abuelos, vecinos..., la encuesta que desearía hacer...) tiene mucha fuerza educativa y motivadora, y esta motivación setraslada a otros ámbitos y temas menos atractivos inicialmente (extrapola el interés a otros aspectos más áridos de lasmatemáticas).

5. En secundaria obligatoria es necesario encontrar actividades que todos puedan realizar con independencia de sucapacidad o su nivel, porque nos dirigimos a toda la población de ese nivel de edad.

Todas las actividades que se proponen a continuación tienen en común que buscan el desarrollo de actitudes, permiten eltrabajo en grupo, dan entrada a tareas de opinión en matemáticas, pretende despertar el interés por las matemáticas enlos alumnos y permite a todos los alumnos de un grupo, con independencia de su capacidad desarrollarlas y participar.

Actividades de motivación

Es posible diseñar tareas de los alumnos que tienen como objetivo básico "empezar con buen pie un curso". De algunaforma motivar, enganchar en esos primeros días.

Cada IES programa al comienzo del curso escolar unas Jornadas de Acogida, que rompa el anonimato de los nuevosalumnos, que los ponga en contacto entre sí, que inicie la creación de una identidad colectiva como clase, y la asignaturade matemáticas tiene recursos para colaborar con este propósito.

Podríamos llamar a esta tarea Cómo somos.

Los alumnos y alumnas cuando llegan a secundaria, lo hacen en su mayoría con once o doce años, y terminan cuandotienen quince o dieciseis años: realmente la edad de los cambios. La actividad consiste en que cada alumno haga una fichapersonal (http://www.grao.com/imgart/images/UN/UN24038U.gif - Cuadro 1) al comienzo de cada año de secundaria, deprimero a cuarto, que recoja su desarrollo físico: dedicar la primera sesión del curso a pesarse, medirse, anotar el númerode zapatos de cada uno...

Esa ficha individual tiene más interés si tiene continuidad a lo largo de los años, ya que ilustra la "explosión" del desarrolloen estas edades.

Tener esa ficha inicial, además de los valores como motivación que tienen (las matemáticas se identifican con mi propiaidentidad, con "cómo soy") rompen la frialdad de los números para acercarse y representar como he ido cambiando a lolargo de estos años. Pero también nos sirve para trasponer el "cómo soy" al "cómo somos", de la mano de la estadística. Laficha individual identifica a cada alumno, pero ¿qué identidad tiene el colectivo de la clase? La media aritmética, mediana,moda, etc. son los valores que identifican al grupo.

La motivación no se limita a esas primeras sesiones: para el resto del año nos queda una valiosa base de datos para seguirtrabajando. Tanto las fichas individuales, como esa otra ficha de "toda la clase" se prestan a tablas, gráficas etc. Por

ejemplo: gráfica de la evolución de mi peso de primero a cuarto. Además aparecen necesariamente los números decimales,el sistema métrico decimal, actividades de redondeo, etc.

Se puede aprovechar incluso, para conocer el contexto social, económico y cultural de nuestros alumnos: se puedecompletar esa ficha individual con número de hermanos, profesión de los padres..., y hacer más adelante estadística conesos valores.

Matemáticas populares

Las matemáticas son con frecuencia la asignatura más distante de los alumnos, y sin embargo es la disciplina que máscontacto tiene con lo lúdico, con lo recreativo. Son muchas las revistas o libros que plantean situaciones de este tipo, perotambién nuestra cultura popular está llena de acertijos, bromas, problemas, juegos... de matemáticas.

Proponer a los alumnos que exploren en su ambiente familiar, preguntando a padres, madres, abuelos, vecinos..., relacionay reconcilia esta asignatura tan académica con esa matemática lúdica y oral que es un patrimonio cultural valioso, que nodebemos perder.

Veamos una forma de proponer esta actividad a los alumnos:

Investigación

Matemáticas populares

Recoge preguntando a tus padres, abuelos, vecinos... todas las adivinanzas, trucos, juegos, cuentos y acertijos dematemáticas que puedas.

Un ejemplo: Un hombre entra en la iglesia con una cierta cantidad de dinero. Se encuentra a un santo que tiene un letreroque dice: "Si me das un duro, duplico la cantidad de dinero que te quede". Así lo hizo y se dirigió a un segundo santo quele propone lo mismo, y así hasta un tercero. Cuando salió de la iglesia no llevaba nada. ¿Qué dinero llevaba al entrar en laiglesia?

No olvides poner también las soluciones.

Cuando se recopilan este tipo de problemas es fácil encontrar muchos de ellos que son idénticos, aunque la forma en queaparecen sea diferente.

Problemas tan dispares en la expresión, pero que al mismo tiempo son idénticos desde una perspectiva matemática,plantean una rica discusión en clase sobre el sentido de las matemáticas: un lenguaje muy riguroso y preciso, unosconceptos que pueden utilizarse en múltiples situaciones. De la misma manera que cuando medimos los años en antes ydespués de Cristo, alturas sobre o bajo el nivel del mar, ingresos y gastos en una cuenta bancaria, tienen un únicoconcepto de matemáticas, que hace que tan diferentes en su expresión, sean idénticos en el aspecto matemático; en estosproblemas que se repiten ocurre igual.

Hay dos niños y cada uno tiene un manojo de lápices, de manera que si el primero le da un lápiz al segundo tienen los dosigual. Pero si el segundo le da uno al primero tiene este el triple del otro. ¿Cuántos lápices tiene cada uno?

Un caballo y un mulo, cargados con sacos, caminaban juntos. El caballo se quejaba se su carga y el mulo le dijo: ¿De quete quejas? Si yo cargara uno de tus sacos, mi carga sería el doble de la tuya. En cambio si tu cargas con uno de los mios tucarga sería igual que la mía. ¿Cuántos sacos llevaba cada uno?

Dos vendedores de huevos se encontraron en la calle, y le dice uno al otro "si me das un huevo tengo el doble que tú", y ledijo el otro "y por que no me lo das tu a mi, y tenemos los dos iguales". ¿Cuántos huevos lleva cada uno?

Dos cabreros tienen un determinado número de cabras cada uno, y le dice uno al otro: "Si me das una cabra tendré lamitad más que tú", y el otro responde: "y si me la das tu a mi tendremos el mismo número de cabras cada uno".¿Cuántascabras tenía cada uno?

En dos cables paralelos de un tendido eléctrico hay dos grupos de gorriones. Uno de ellos dice a los del otro grupo: Si unode nosotros se pasa a vuestro cable, estamos los mismos en cada cable. Ahora bien, si uno de vosotros se pasa a nuestrocable, seremos el doble. ¿Cuántos gorriones hay en cada cable?

Pero estos problemas también son una base de propuestas para desarrollar con la metodología de resolución de problemas,ya que detrás de muchos de ellos hay posibles heurísticos de interés: organizar los datos, empezar por el final...

En cualquier tema de matemáticas que iniciemos, es posible que tengamos problemas para plantear de los ya recopilados,

con la motivación que supone que sean "sus problemas".

Las actitudes que desarrolla una actividad así son muchas, pero quiero insistir de forma especial en la dificultad que suponetrasladar con corrección y con la información necesaria lo que hemos recogido verbalmente a un texto escrito, que obliga arevisar y corregir en un ejercicio serio de espíritu crítico.

Cuando sumar esfuerzos es rentable

El principal recurso con que contamos para trabajar probabilidad o estadística en el aula es el número de nuestrosalumnos: al plantear tirar una moneda diez veces y ver los resultados, si en clase tenemos treinta alumnos, tendremostrescientos resultados. Hay actividades de este tipo que podemos desarrollar en clase y otras fuera de clase:

. Actividad de clase:

Calcular la probabilidad de que al tirar una chincheta caiga con la punta hacia arriba. Si cada alumno tira diez veces,finalmente tendré trescientas tiradas. Mientras mayor sea el número de experiencias, más se parecerá la frecuenciarelativa a la probabilidad.

. Actividad para casa:

Medida de la longitud de un palmo. Cada alumno trae la medida de diez adultos de su entorno(http://www.grao.com/imgart/images/UN/UN24041U.gif - Cuadro 2).

Al reunir los datos de toda la clase se obtiene una distribución de frecuencias "normal", que podemos representar medianteuna campana de Gauss. Pueden hallarse medidas de centralización, dispersión...

En general la mayoría de las medidas de carácter psicológico o biológico tienen una representación parecida. El concepto de"normalidad" por tanto es estadístico, y es interesante una aproximación en secundaria obligatoria a este concepto, porqueson muchas las situaciones en que un ciudadano lo encuentra: pesos de niños al nacer, alturas, pesos, medida de lainteligencia...

Pequeñas investigaciones presentadas de forma convergente

Una investigación en matemáticas aunque se proponga a los alumnos de forma convergente (relativamente cerrada),siempre deja abiertas muchas posibilidades de divergencia (de creatividad, de orientar de forma personal...).

El objetivo fundamental de la siguiente actividad era que los alumnos desarrollaran una experiencia a partir de unasinstrucciones escritas, pero también que resolvieran los numerosos problemas de tipo práctico y teórico que se le iban apresentar. No se proponía un problema, sino una situación problemática, que haría surgir muchos pequeños problemas quehabía que resolver.

Se inicia la actividad explicando brevemente qué es un péndulo, y el período de un péndulo. Luego se sugiere comoconstruir uno: con una moneda de 25 pesetas (que tiene un agujero central) y un hilo anudado a ésta. La propuesta deinvestigación consiste en observar si la masa y/o longitud del péndulo influye en el período. Inventar un sistema paracomprobar lo y para medir el período.

Las mejores soluciones de los alumnos (http://www.grao.com/imgart/images/UN/UN24042U.gif - Cuadro 3) consisten enmedir el período con longitudes de hilo de 20, 40 y 60 centímetros, o bien manteniendo la longitud del hilo constante,medir el período con una, dos o tres monedas.

Uno de los primeros problemas con que se enfrentan los alumnos es medir el período (tiempo que tarda el péndulo enhacer una oscilación completa) con un reloj de pulsera. La mayoría encuentra la solución: medir el tiempo de 20 o 30oscilaciones completas y luego dividir el tiempo por el número de oscilaciones.

El segundo problema será como organizar los datos obtenidos para poder extraer conclusiones: no todos los alumnosaciertan en una buena representación en una tabla...

Un problema no menor es observar la conveniencia de redondear: muchos resultados serán de la forma 1,27234; 1,28875;1,30521. Obtener hasta cinco cifras decimales en una medida realizada en segundos con reloj de pulsera se presta adesarrollar en clase lo que hemos llamado tareas de opinión. La conclusión es obvia: es suficiente con un decimal, lo queimplica un ejercicio de redondeo.

Esta actividad a medio camino entre física y matemáticas, plantea una situación problemática que hay que resolver. Lainsatisfacción que los alumnos sienten al medir una sola oscilación con un reloj de pulsera, supone que tienen actitudes,que le hacen valorar esa medida como poco rigurosa, de ahí que busquen soluciones: corregir el error, repartiéndolo entremuchas medidas.

Matemáticas cotidianas

Dedicamos tiempo y esfuerzo a números, algebra, geometría, sistema métrico decimal, y un día cualquiera de clase,descubrimos que muy pocos alumnos conocen la capacidad de un yogur o de un vaso de agua. Cumplimos el programa acosta de las matemáticas más evidentemente necesarias.

La actividad (http://www.grao.com/imgart/images/UN/UN24043U.gif - Cuadro 4) consiste en pedir a los alumnos quehagan una lista de productos, o bien de la despensa de su casa, o bien de un supermercado, indicando producto, marcacomercial, capacidad o peso.

Contextualizar el sistema métrico en bebidas y alimentos habituales, pasar de unas unidades a otras, entender fraccionesde litro y de kilogramo, cuántos envases hacen un litro o un kilo..., son matemática cotidiana, imprescindible y previa acualquier otra consideración de contenidos del currículum.

Cuando se trabajan en clase estos datos surgen además otros conceptos de gran interés: ¿qué fracción es mayor 6/10 o1/2?, ¿qué decimal es mayor 0,5 o 0,25?, ¿son iguales 0,5; 0,50 y 0,500? ...

Si pedimos a los alumnos que completen la tabla con los precios, de forma inmediata aparecen otras consideraciones:problemas de precios, calcular el precio de un litro o kilogramo, conocido el precio de una fracción. También razonamientoproporcional: basta con pedir que los alumnos valoren que producto les resultaría más barato, si los envases son dedistinto tamaño y los precios diferentes. Y cómo no, geometría: medir volumenes de brik o latas de conserva...

Esta actividad también genera una interesante base de datos de la que echar mano prácticamente en todos los temas delcurrículum, a lo largo de todo el curso, pero con la motivación y el interés que despierta la relación con lo cotidiano, con lasmatemáticas necesarias cada día.

Trabajos de estadística con tema elegido por los alumnos

Si hay un tema que pueda tener proyección fuera del aula, o bien al contrario, que podamos llevar dentro del aula, es laestadística.

Los alumnos eligen temas de acuerdo con las cosas que les preocupan o desean saber, para después estudiar modos derepresentar, medidas de centralización y dispersión o relación entre variables. Ejemplos de temas que los alumnoshabitualmente eligen para representar y hallar las medidas de centralización y dispersión:

. Horas de estudio diarios.

. Motivos de discusión entre padres e hijos.

. Televisión que se ve de lunes a viernes.

Ejemplos de temas que los alumnos habitualmente eligen para el estudio de relaciones entre variables:

. Relaciones prematrimoniales y aborto.

. Relación entre clasificación y presupuesto de los equipos de fútbol en 1ª división.

. Relación altura-peso.

En el desarrollo de estos trabajos en los que los alumnos tienen la iniciativa surgen muchas situaciones en las que la claveestá en las actitudes. Algunos ejemplos:

- Un grupo de alumnos hace una encuesta para saber en que horarios se ve televisión. En la encuesta que ofrecen hayvarios items para elegir, y dos de ellos son después de almorzar y por la tarde. Se ofrecen dos posibles respuestas que sesuperponen. Detrás hay una actitud: rigor y precisión.

- Otro grupo de alumnos hace un estudio sobre preferencias de programación de los alumnos del instituto. Los resultadosen 1º, 3º y 4º se parecen mucho: casi el 50% de los encuestados prefieren series televisivas. Sin embargo en 2º nadie veseries. Estos resultados son difíciles de creer. La actitud necesaria es el espíritu crítico, que ponga en duda esos resultadosy que obliga a reflexionar ¿por qué? ¿la muestra elegida era suficiente? ¿fue bien elegida?

Son estas situaciones las que permiten trabajar actitudes en una medida en que otras actividades o ejercicios no lo hacen.

Actividades y actitudes

La hipótesis de partida era que las actividades planteadas habitualmente a los alumnos, del tipo ejercicios del libro de textoy relaciones de ejercicios no son ricas desde el punto de vista de las actitudes. Sin embargo, las actividades que aquí sesugieren ponen en juego actitudes, en paralelo o en la misma medida que conceptos y procedimientos.

El currículum de matemáticas plantea actitudes como:

. Capacidad para disfrutar de las matemáticas. Aparece claramente en la recogida de acertijos y problemas populares dematemáticas.

. Solidaridad y cooperación. Aparece por la realización en grupo de estos trabajos, pero también de forma especial en lasactividades que he denominado "cuando sumar esfuerzos es rentable".

. Curiosidad. Cuando en los trabajos de estadística, el alumno se hace una pregunta que le gustaría responder, e inicia apartir de ahí su trabajo.

. Rigor y precisión. Que lleva a algunos alumnos a tomar muchas medidas en el cálculo del periodo de un péndulo, paraminimizar el error.

. Valorar el papel de las matemáticas en nuestra cultura. Las actividades que he planteado como "matemáticas cotidianas"tocan directamente esta actitud.

Pero también la presentación de los trabajos se presta a un desarrollo de actitudes:

. En la presentación: ¿el papel utilizado es homogéneo (todos de la misma forma y tamaño), tiene portada, guardamárgenes, la letra es legible, tiene faltas de ortografía, se preocupa de dar atractivo al trabajo con cuadros, gráficos,dibujos...?

. En la estructura: ¿tiene índice, presenta conclusiones, diferencia bien unos apartados del trabajo de otros...?

. En el contenido: ¿presenta o fundamenta el trabajo, el desarrollo es correcto, interpreta bien la información, es riguroso ypreciso, los conceptos se desarrollan y explican suficientemente, las conclusiones son correctas...?

En educación lo que no se evalúa, no existe; de ahí que plantearse una evaluación de estos aspectos en cada trabajo traede la mano una progresión de cada vez mayor madurez y calidad. Los trabajos sucesivos presentarán los mismos errores,salvo que los evaluemos y ofrezcamos a los alumnos claves para mejorarlos.

En general la mayoría de actividades presentadas suponen la creación de una base de datos que conviene mantener a lolargo de todo el curso, y de la que extraer ejemplos, situaciones y problemas, despertando un mayor interés y motivación.También se prestan a desarrollar tareas de opinión en clase de matemáticas.

De todo el rango de actividades posibles en matemáticas son los trabajos o monografías los que más posibilidades ofrecende trabajar actitudes. Este artículo pretende ser una invitación a explorar actividades y posibilidades didácticas bajo estosepígrafes:

... ofrecen una valiosa información sobre su actitud matemática los trabajos escritos de los alumnos, como trabajos a largoplazo, tareas para hacer en casa o diarios, así como sus exposiciones orales. (NCTM, 1991)

Bibliografía

AUZMENDI, E.(1992): Las actitudes hacia la matemática-estadística en las enseñanzas medias yuniversitaria.Características y medición. Bilbao. Editorial Mensajero.

HERNÁNDEZ, R. P.; GÓMEZ CHACÓN, I. M. (1997): "Las actitudes en educación matemática. Estrategias para el cambio",en UNO. Revista de didáctica de las Matemáticas. Barcelona.Editorial Graó, n. 13, p. 41.

GAVILÁN BOUZAS, P. (1997): "El aprendizaje cooperativo: desde las matemáticas también es posible educar en valores",en UNO. Revista de didáctica de las Matemáticas. Barcelona, Editorial Graó, n.13, p. 82.

NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS (NCTM). (1991) Estándares curriculares y de evaluación para laeducación matemática. Sevilla. Edita Saem Thales, p. 241.

Dirección de contacto

Francisco José Briales GonzálezProfesor de Matemáticas de Secundaria. IES Los Montecillos. Carretera de Mijas s/n. 29100 Coín (Málaga). Tel. 952.454042 Linea de trabajo: Desarrollo y evaluación curricular en Matemáticas