Actividad de Aprendizaje i

7/29/2019 Actividad de Aprendizaje i

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ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE I

1. Usando las tablas estadísticas para la distribución normal estándar , t-

Student y Chi-cuadrado, calcular las siguientes áreas:

a) Si Z n (0,1) hallar :

a.1) P[Z ≤ 2.25] = 0.9878

a.2) P[Z ≥ -3.20] = P[Z ≤ -3.20] = 0.9993.3)

a.3) P[-2.65 ≤ Z ≤ 2.65]

P[Z ≤ 2.65] - P[Z < -2.65] = 0.9959 – 0.004 = 0.9919

a.4) P[Z ≥ 3.15] = 1 - P[Z < 3.15] = 1 – 0.9992 = 0.0008

b) Si X → n(500,400)

b.1) P[Z ≥ 550] = P[Z ≥ 550 – 500 )] 400

P[Z ≥ 0.125] = 1 - P[Z < 0.125] = 1 – 0.5497 = 0.4503

b.2) P[X ≤ 560] = P[Z < 560 - 500] 400 = P[Z < 0.15] = 0.5596

b.3) P[440 ≤ X ≤ 560] = P[Z ≤ 560 ] - P[Z < 440] = 0.5596 – 0.4404 = 0.1192

b.4) P[X ≤ 430] = 0.4305

c) Si T t29, hallar

c.1P [T < -1.311] = 1 - P[X < -1.311] = 1 – 0.1001 = 0.8999

c.2) P[T < 2.045] = 0.975

c.3) P [-2.756 ≤ T ≤ 2.756 ] = P[T ≤ 2.756 ] - P[T < -2.756] = 0.995 – 0.005 = 0.99

c.4) P[T ≥ 1.699] = 1 - P[T < 1.699] = 1 – 0.95 = 0.05

d) Si X



d.1) P[X ≤ 37.65] = 0.95

d.2) P[16.47 ≤ X ≤ 44.31] = P[X < 44.31 - P[X < 16.47] = 0.99 – 0.0999 = 0.8901

d.3) P [X > 29.34] = 1 - P[X ≤ 29.34] = 1 – 0.75 = 0.25

d.4) P[19.77 ≤ X ≤ 42.56] = P[X ≤ 42.56] - P[X ≤ 19.77] = 0.9844 – 0.2412 =

0.7431

2. En un determinado año las tasas de rentabilidad de las acciones de

compañías eléctricas siguieron una distribución normal con una media de

14.8 y desviación estándar de 6.3. Si en ese año se tuvieron 100

acciones en cartera:

Sea la variable aleatoria “X” tasa de rentabilidad de acciones de

compañías eléctricas X n (14.8 % , 6.3%)

Se obtuvieron 100 acciones en cartera

a) ¿Cuál es la probabilidad que la r entabilidad sea mayor de 19?

P[X > 19] = P[X > 19 – 14.8] 0.63

= P[X >5.8] 0.63 = P[X > 6.6667] = 1 – 1 = 0

b) ¿Cuál es la tasa máxima del 95 de las acciones?

P[X < X1] = 0.95 Luego: X1 -14.8 = 1.6604

0.63 X1 = (1.6604)(0.64) + 1.48 = 15.846

La tasa máxima del 95% es el 15.846%.

c) ¿Cuántas acciones alcanzaron una rentabilidad menor del10?

P[X < 10%] = P[t < (10 – 14.8%) 0.63 P[t < -7.619] = 0

Entonces es ninguna.

d) ¿Qué porcentaje de acciones alcanzaron una r entabilidad mayor del

30?

P[ X > 30%] = P[X > 24.1270]

Es ninguna.



3. El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de un país es de 59

litros, con una varianza de 36. Se supone que se distribuye según una

distribución normal.

a. Si usted presume de buen bebedor, ¿cuántos litros de cerveza tendría

que beber al año para pertenecer al 5% de la población que más bebe?

b. Si usted bebe 45 litros de cerveza al año y su mujer le califica de

borracho, ¿qué podría argumentar en su defensa?

c. ¿Cuál es el consumo mínimo de cerveza del 90% de los habitantes?

SOLUCION

a. Si usted presume de buen bebedor, ¿cuántos litros de cerveza

tendría que beber al año para pertenecer al 5 de la población

que más bebe?

Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad

acumulada es el 0,95 (95%), por lo que por arriba estaría el 5%

restante.

Ese valor corresponde a Y = 1,645 (aprox.). Ahora calculamos la

variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada:

Despejando X, su valor es 67,87. Por lo tanto, tendría usted que beber

más de 67,87 litros al año para pertenecer a ese "selecto" club de

grandes bebedores de cerveza.

b. Si usted bebe 45 litros de cerveza al año y su mujer le califica

de borracho, ¿qué podría argumentar en su defensa?



Vamos a ver en que nivel de la población se situaría usted en

función de los litros de cerveza consumidos.

Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45

litros:

Por lo tanto

P (X < 45) = (Y < -2,2) = P (Y > 2,2) = 1 - P (Y < 2,2) = 0,0139

Luego, tan sólo un 1,39% de la población bebe menos que usted.

C. ¿Cuál es el consumo mínimo de cerveza del 90% de los

habitantes?

P [X < X1] = 0.10

X1 – 45 = - 1.2816

6 X1 = 51.3107

EL CONSUMO MINIMO DEL 90 % DE LA POBLACION ES DE

51.3107 LITROS DE CERVEZA.

4. El tiempo en minutos que dura la visita de los clientes a una página "X"

de Internet se distribuye normalmente con media 4 minutos y

desviación estándar 1.3 minutos, hallar :

Sea la variable aleatoria x = tiempo que dura la visita a una pagina X de

internet en minutos. X n(4,1.3)

a) La probabilidad de que el tiempo de visita de un cliente dure menos de 6

minutos.

P[X < 6 ] = P[Z < 6 – 4 ]

1.3 = P[Z < 1.5384] = 0.938

La PROBABILIDA DE QUE EL TIEMPO DURE MENOS DE 6 MINUTOSES DE 93.8 %.



b) El porcentaje de clientes cuya visita dura por los menos 8 minutos.

P[X > 8] = P[Z ≤ 3.0769] = 0.999

P[X > 8] = 1 – 0.999 = 0.0001

EL PORCENTAJE DE CLIENTES ES DE 0.01 % CUYA VISITA DURA

POR LO MENOS 8 MINUTOS.

c) Si en una semana visitan la pagina 1000 clientes:

c.1) ¿Cuántos clientes tuvieron un tiempo de visita de a lo más 6

minutos?

[X < 6] = 0.938

NP= (1000) (0.938)

NP = 938

LOS CLIENTES QUE TUVIERON A LOS MAS DE 6 MINUTOS FUERON 938.

c.2) ¿Cuántos clientes tuvieron un tiempo de visita comprendido entre2 y 9 minutos?

P[Z < X < 9] = P[-1.5385 < Z < 3.8462] = 0.9999 – 0.0620 = 0.9380

SON 938 CLIENTES QUE TUVIERON UNTIEMPO DE VISITA

COMPRENDIDO ENTRE 2 Y 9 MINUTOS.

c.3) ¿Cuántos clientes tuvieron un tiempo de visita de por lo menos 8

minutos?[X < 6] = 0.998

NP= (1000) (0.998)

NP = 998

LOS CLIENTES QUE TUVIERON UN TIEMPO DE VISITA DE POR LO

MENOS 8 MINUTOS FUERON 998.

d) El tiempo de visita máximo del 95 de los clientes.

MAS DEL 0.95

P[X < X1] = 0.95



X1 – 4 = 1.6449

1.3 X1 = 6.1383

EL TIEMPO MAXIMO DEL 95% DE LOS CLIENTES DE 6.14 MINUTOS.

e) El tiempo de visita máximo del 5 de los clientes.

P[X < X1] = 0.05

X1 – 4 = 1.6449

1.3 X1 = 1.8617

EL TIEMPO DE VISITA MAXIMO DEL 5 % ES DE 1.86 MINUTOS.

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE II

1. Un directivo de cierta empresa ha comprobado que los resultados

obtenidos en los test de aptitud por los solicitantes de un determinado

puesto de trabajo sigue una distribución normal con una desviación

estándar de 32 puntos. La media de las calificaciones de una muestra

aleatoria de nueve test es de 187 puntos.

Calcular un intervalo de confianza del 99 para la calificación media



poblacional del gr upo de solicitantes actual.

Sea X = “resultados del test de aptitud”

N=

X=187

√

√

√ √

luego el intervalo es:

(159.5245 , 214.4755)

2. Los siguientes datos corresponden al precio en soles de diez libros de

estadística aplicada: 350, 350, 350, 730, 800, 180, 700, 320, 250, 500,

Calcule un intervalo de confianza al 90 para el precio promedio de los

libros.

SOLUCION

10 LIBROS DE ESTADISTICA



n= 10

X = 453

S= 217.4626

= 206.3032

INTERVALO DE CONFIANZA 1 – X ≥ 0.9

X ≥ 0.1

(X + ZX/2 S , + ZX/2 S )

453 + (- 1.6449) (217.426), 453 + 113.1128)

(339.8872, 566.1128)

EL PRECIO PROMEDIO DE LOS LIBROS ESTA ENTRE 339.89

SOLES A 566.11 SOLES

3. El gerente de un banco desea estimar el saldo promedio en cuentas de

ahorro de los depositantes. En una muestra aleatoria piloto de 100

depositantes, el promedio muestral es de $680 y la desviación estándar

de la muestra es $35. Hallar el número de cuentas que debería

observarse, con la información disponible, par a que el error de estimaciónsea inferior a $5, con una segur idad del 95.

Muestra piloto:

n = 100

Promedio Muestral = 680

Desviacion Estandar = 35

E = 5

α = 0.05

n = N.z2. σ

2

(N-1).D2

+ z2. σ

2



n = 188.2314

n = 188

4. De una muestra aleatoria de 172 propietarios de pequeños negocios, 118

manif iestan que la fuente de financiación inicial fueron sus ahorros. Hallar

un intervalo de confianza del 99 para la proporción real de propietarios

que manifiestan que la fuente inicial de financiación fueron sus ahorros.

SOLUCION

N = 172 y 118 manifiestan a favor.

Luego:

P = 118/172

X = 0.01

Luego:2p = ENTONCES EL INTERVALO DE CONFIANZA VIENE DADO POR:

=- 2.5758

X=0.01

=2.5758

(0.686 - , 0.686 + 0.04230)

(0.6437, 0.7283)

5. Se sabe que 25 de cada 1000 objetos elaborados por una empresa son

defectuosos. ¿De que tamaño conviene tomar una muestra para que la



proporción estimada de defectuosos no difiera de la verdadera en mas de

un 5 con un nivel de confianza del 95.

SOLUCION

N= 1000 objetivos

25 son defectuosos

E = 0.05 X = 0.05

Entonces:

N= 1.96

P= 25 / 1000 = 0.025

N = 37.45

6. El gobierno español va a proponer una serie de medidas para intentar

frenar la inmigración ilegal; sin embargo, antes de lIevarlas al Parlamento

desea saber si la población española está a favor de las mismas, para

ello realiza una encuesta a 200 personas, de las cuales 110 están a favor

de las nuevas medidas.

Contrastar la hipótesis nula de que la proporción poblacional es igual a0.5, frente a la hipótesis alter nativa bilateral. Con un nivel de significación

del 10.

7. Se ha llevado acabo un estudio en diferentes países de la Unión Europea

del porcentaje de la población que accede a la enseñanza superior . En

los países escogidos se han obtenido los valores siguientes, medidos en

tanto por ciento; 23.5, 35, 29.5, 31, 23, 33.5, 27, 28, 30.5. Se supone que

estos porcentajes siguen una distribución normal con desviación estándar



del 5. Se desea contrastar con una significación del 5 si los datos

anteriores son compatibles con un valor medio del porcentaje de la

población que cursa estudios superiores es igual al 28. ¿Es posible

aceptar la hipótesis con un nivel de significación indicado?

Solucion

“Porcentaje de la población que accede a la enseñanza superior”

Luego x →N (29,5)

Como podemos aceptar la hipótesis nula con unaprobabilidad de equivocarnos del 5%.

8. Hace 10 años, el 52 % de los ciudadanos estaban en contra de una ley.

Recientemente, se ha elaborado una encuesta a 400 personas y 184 se

mostraron contrarios a la ley. Con estos datos y con un nivel de

significación del 5 ¿Podemos afirmar que la proporción de contrarios a la

ley ha disminuido?

SOLUCION

π = 0.52 contraste unilateral para la proporcion

n = 400

p = = 0.46

PRUEBA DE HIPOTESIS

Hipótesis nula H0: p≥0’52

Hipótesis alternativa H1: p<0’52

Región de Aceptación de Ho:

Region critica o de H1 :

( 0,46,+ ∞)

a) = P ≥ 0.52

p = 2.4077



0.05 -= - 1.6449

Por lo tanto se puede desir que el nivel de confianza ha disminuido

9. Radio Shack, el minorista de electrodomésticos, anunció que vende el 21

de todos los computadores caseros. ¿Esta afirmación se confirma si de

120 de los 700 propietarios de computadores se los compraron a Radio

Shack, a un nivel de significancia de a=0.05?

SOLUCIONπ = 0.21

N = 700P = 0.21P ≠ 0.21

P = 0.1714

Error estandar :

El estadistico z : = -2.57

Rpta. H0 : π =0.21 ; Z=-2.57 <-1.96 ; rechazar ; p=0.0094

10. Los r esultados de un estudio realizado por la Asociación Peruana de

Mercadeo para determinar la relación entre la importancia que dan a la

publicidad los propietarios de tiendas y el tamaño de la tienda que

poseen, aparecen en la siguiente tabla:

PUBLICIDAD

TAMAÑO Importante No impor tante No opinan

Pequeña 20 52 32



Mediana 53 47 28

Grande 67 32 25

Se pide:

a) Se puede concluir que la publicidad y el tamaño de la tienda se relacionan.

Use a =0.05

b) Calcular e interpretar el coeficiente de contingencia .

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE III

i. La siguiente tabla muestra información sobre gastos generales y unidades

producidas en una empresa "X".

X: Unidades producidas.

Y: Gastos generales en soles.

X 45 50 52 63 65Y 440 481 440 569 590

a) Grafique el diagrama de dispersión.

b) Estime la recta de regresión Y = f(X).

c) Interprete ~l

d) Pruebe si el coeficiente de regresión poblacional, es diferente de cero (B¡=t .

O) con a=0.05.

e) Calcule el coef iciente de determinación r 2 e interprete.

f)Graf ique la línea de regr esión estimada so bre el-diaqrama-dispersión.

g) Deter minar el gasto gener al cuando X=70

2. Se llevó a cabo un pr oyecto de investigación para determinar si existe alguna

relación entre los años de servicio en una empresa y la eficiencia del

empleado. Se r ecogieron los siguientes datos:



Empleado Años de servicio Tasa de eficienciaX Y

1 1 43

2 20 97

3 6 59

4 8 665 2 44

6 1 42

7 15 89

8 8 65

a) Grafique el diagrama de dispersión y comente sobre la cor r elación entre las

var iables ¿Es positiva o negativa?

b) Determine el grado de asociación entre X e Y

e) Pr uebe la hi pótesis p=O contr a la hipótesis p=t .O con a=O

3. una escala de O a 100, tanto durante las prácticas como durante el

juego de campeonato. Una muestra de jugadores que participaron

en un juego importante reveló los siguientes datos:

Puntuación Puntuación durante

Jugado en las prácticas el juego

r X Y1 80 80

2 20 10

3 100 90

4 65 50

5 50 356 40 30

7 90 95

8 60 35

a) Gr afique el diagrama de dispersión y comente sobre la regresión entre

las variables X e Y ¿Existe regresión lineal?

b) Estime la línea de regresión de la puntuación durante el juego sobre la

puntuación en las pr acticas



c) Interprete ~l'

d) Pruebe si el coeficiente de regresión población, es dif erente de cero (~l

7=0) con a=0 .05 .

e) Calcule el coeficiente de determinación e interprete.

f) Grafique la línea de regresión estimada sobre el diagrama de dispersión.

g) Determinar la puntuación durante el juego si la puntuación en las

prácticas es X=100.

4. Los siguientes datos son los sueldos mensuales y promedios de

calificaciones para estudiantes que obtuvieron su l icenciatura en

administración:

Calificación 12.9 13.4 13.6 13.2 13.5 12.9

Sueldo mensual en

soles

2800 3100 3500 3000 3400 3100

¿Considera que las variables están correlacionadas? Justifique su respuesta .

N=6



Para calcular la pendiente, la expresión matemática es:

Para obtener su valor, necesitamos saber los valores de Sxy y Sxx :

·

( )

·

Por lo tanto, la pendiente es:

Una vez obtenida la pendiente, podemos tener el valor del estimador para la ordenada:

Sustituimos valores: 32273.157

Determinacion de la correlacion

Identificacion del valor Syy

∑ =335000



Sustituimos valores y obtenemos el resultado del coeficiente de determinación: √ 0.8324444

Por lo tanto, la relación entre las variables es de,

aproximadamente 83.24 %, al estar próximo a ±1 podemos determinar

que existen evidencias significativas para decir qu existen relación entre

ambas variables.

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