Actividad Corredor

8/19/2019 Actividad Corredor

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ACTIVIDAD CORREDOR

Integrantes: Fecha: ___________

a. ___________________________________________________

b. ___________________________________________________

c. ___________________________________________________

Instrucciones: Observen el video “corredor.avi” , realicen y contesten lo que se pide a

continuación.

1. Describan con sus palabras el movimiento del corredor:

2. Dibujen las gráficas que representen lo que se indica en cada inciso y escriban debajo de

ellas una descripción:

a) La posición del corredor respecto al

tiempo.

b) La velocidad durante el trayecto

respecto al tiempo.

Descripción: Descripción:


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3. Realicen el análisis del video del recorrido del corredor con el programa Tracker, con el

fin de obtener la tabla de datos numéricos y gráficas representativas de la situación.

4. De los datos encontrados, completen el siguiente esquema:

5. En Tracker, observen las gráficas correspondientes a:

a)

La posición del corredor respecto al tiempo.

b) La velocidad durante el trayecto respecto al tiempo.

Compárenlas con las gráficas que dibujaron en la tabla de la pregunta 2.

I. ¿Son iguales o diferentes?

II. En caso de ser diferentes, ¿en qué se diferencian?

Teoría: Cuando un cuerpo cambia de posición en un tiempo determinado, a tal cambio se le

denomina velocidad. Si () es la distancia recorrida y () el tiempo, entonces la velocidad

promedio () del cuerpo se puede calcular con la fórmula:

=

La cual es una razón de cambio promedio de la distancia respecto al tiempo.

6. Calculen la velocidad promedio del corredor durante su trayecto (escriban el

procedimiento que siguieron):


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7. Consideren su respuesta a la pregunta 1. ¿La velocidad del corredor es igual en todo el

recorrido?

a) Sí b)No

¿Por qué?

Teoría: Dado el movimiento de un cuerpo en línea recta, si se desea conocer su velocidad

promedio en un intervalo más pequeño del total del recorrido, se considera una posición inicial

() y otra final () en un tiempo inicial del intervalo () y otro final (). Entonces la

velocidad promedio () del intervalo estará dada por la fórmula:

= − −

8. De acuerdo a los datos obtenidos del video del corredor en Tracker, completen el

siguiente esquema:

9. Calculen la velocidad promedio del intervalo dado en el esquema anterior (escriban el

procedimiento que siguieron):

10. Comparen las velocidades que calcularon en las preguntas 6 y 9. ¿Son iguales? ________


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Teoría: La fórmula para calcular la velocidad promedio en un intervalo dado, es similar a

aquella para calcular la pendiente de una recta conocidos dos puntos de ella. Se comparan ambas

fórmulas:

11. Completen el siguiente enunciado basado en la comparación de fórmulas anterior:

“Un intervalo del recorrido en línea recta de un cuerpo en movimiento es representado

por una recta, la cual pasa por los puntos (, ) y (, ). Si equivale a la

posición inicial en el instante y a la posición en el tiempo , entonces la

velocidad promedio del cuerpo en tal intervalo es representado por la _______________

de la recta.”

12. Copien los datos numéricos correspondientes a la distancia () y el tiempo () en

Tracker y péguenlos en la vista de Hoja de Cálculo en GeoGebra. Ajusten los datos a una

función polinómica de segundo grado. Escriban la función encontrada:

________________________________________________________________________

13. ¿Qué representan cada uno de los ejes1 de la gráfica que aparece en GeoGebra, en cuanto

a la situación del corredor?

Eje horizontal: ___________________________________________________________

Eje vertical: _____________________________________________________________

14. De la función que encontraron en GeoGebra, describan qué representa cada uno de los

siguientes elementos respecto al evento del corredor:

a) : __________________________________________________________________

b) (): _______________________________________________________________

1 Observen que en GeoGebra los ejes son nombrados de forma diferente a los de las gráficas en Tracker. El eje

horizontal será "" y el eje vertical "" o su correspondiente "()".


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Teoría: Una recta secante es aquella que corta a una curva en dos puntos de ella, es decir:

Dada la gráfica de una función (), la recta que pasa por los puntos (, ()) y

(, ()) es una recta secante a (). Se muestra un ejemplo en la Figura 1:

Figura 1. Ejemplo de recta secante.

15. En GeoGebra, ubiquen la barra de entrada en la parte inferior de la ventana, la cual tiene

la siguiente apariencia:

a)

Escriban en ella lo siguiente y después presionen la tecla “Enter”:

Aparecerá un punto con nombre en la gráfica con tales coordenadas.

b) De la misma manera, agreguen otro punto con coordenadas (1.5, (1.5)).

c) En la barra de herramientas de GeoGebra, den clic en la parte inferior derecha del

tercer botón como se muestra a continuación:


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Aparecerá un menú con varias opciones. Hagan clic en la primera opción “Recta”:

Una vez seleccionada la herramienta,

den un clic en el punto y después

hagan otro clic en el punto .

Aparecerá una recta que pasa por

ambos puntos similar a la Figura 1.

16. Revisen el texto de la pregunta 11 para contestar lo siguiente:

a) ¿Qué representa el punto respecto a la situación del corredor?

b) ¿Qué representa el punto en cuanto a la misma situación?

17. Ubiquen el 8vo botón de la barra de herramientas y den clic en la esquina inferior derecha:

Aparecerá un menú de opciones. Seleccionen la opción “Pendiente”:


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Hagan clic en la recta secante formada anteriormente.

Aparecerá un triángulo cuya altura corresponde a la

pendiente de la recta.

18.

¿Cuál es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos y ? ____________

19. Comparen sus respuestas de las preguntas 9 y 18. ¿Cómo son entre sí los valores?

20. Basados en lo anterior, ¿cómo interpretan la pendiente de la recta formada por los puntos

y de acuerdo a la situación del corredor?

21. Consideren el esquema de la pregunta 8 y la recta secante trazada en GeoGebra. Si se

desea hacer un cálculo más aproximado de la velocidad del corredor en el momento ,

una manera es que el intervalo a considerar sea cada vez más pequeño. En la

representación gráfica, tal intervalo está dado por los puntos y . ¿Qué podrían sugerir

hacer en la gráfica para que el intervalo sea cada vez más pequeño a fin de aproximarse a

la velocidad correspondiente al tiempo en ?


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Teoría: Consideremos de nuevo la recta secante de la Figura 1 que pasa por los puntos y

de la curva. Si la posición del punto es cada vez más cercana al punto , nos

aproximaremos a obtener una recta con la pendiente correspondiente a la curva justamente en

ese punto. Veamos la Figura 2:

Figura 2. Aproximación del punto al punto .

Observa que la distancia entre y es cada vez menor conforme el punto se

encuentra más cercano a . Tal distancia corresponde al denominador de la fórmula para

calcular la pendiente de la recta:

22. Basados en su respuesta a la pregunta 16 y en cuanto a la situación del corredor, ¿qué

significa considerar el punto más cercano al punto ?


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23. Seleccionen la opción correcta:

I. Si a la distancia entre y le llamamos ℎ, como en la figura anterior, entonces

mientras más cercano se encuentre el punto al punto , el valor de ℎ tiende a:

a) ℎ → 0 b) ℎ → 1 c) ℎ → 2 d) ℎ → ∞

II. ¿Qué representa ℎ en términos de la situación del corredor?

a)

La diferencia entre la

posición inicial y la

posición final del

corredor en el intervalo

considerado.

b)

La diferencia entre el

tiempo inicial y el tiempo

final del corredor en el

intervalo considerado.

c)

La diferencia entre la

velocidad inicial y la

velocidad final del

corredor en el intervalo

considerado.

24. Consideren su respuesta a la pregunta 23(I). En términos del evento del corredor, ¿por

qué eligieron ese valor al que tiende ℎ?

25. Observen la Figura 2 y relaciónenla con la situación del corredor. Basados en esto,

completen el siguiente esquema de modo que corresponda a la idea planteada en la Figura

2:

1:

2:

3:

4:


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Teoría: A la posición límite de la recta secante formada por los puntos y , cuando se

encuentra cada vez más cercano al punto de manera indefinida, se le llama recta Tangente,

correspondiente a la gráfica 4 de la Figura 2.

Recta Tangente: Sea una curva y un punto de ella. La tangente a en es la recta que pasa

por y que tiene la misma dirección que alrededor de . Ejemplo:

Figura 3. Ejemplo de recta tangente a una curva en un punto.

26. En GeoGebra, hagan clic derecho en el punto de la gráfica; aparecerá un menú de

opciones. Seleccionen la opción “Borra”, como se muestra enseguida:


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27. Ubiquen el 2do botón de la barra de herramientas y den clic en la esquina inferior

derecha:

Aparecerá un menú de opciones. Seleccionen la opción “ Punto en objeto”:

Hagan clic en la gráfica de la función de modo que la

posición en corresponda aproximadamente a 1.5. Se

agregará un punto en tal posición, similar al punto

anterior.

28. Agreguen nuevamente una recta que pase por los puntos y . (Repitan los pasos de 15,

inciso c).

29. Muestren de nuevo en GeoGebra la pendiente de la recta que agregaron. (Repitan los

pasos de 17).

30. Seleccionen la herramienta “Elige y mueve”, al hacer clic en el primer botón de la barra

de herramientas:


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Hagan clic en el punto y, sin soltar el botón de clic,

arrastren el punto lentamente hacia la posición del

punto , de modo que ambos puntos se encuentren

aproximadamente en la misma ubicación.

31. Escriban el valor de la pendiente de la recta cuando el punto se encuentra lo más

aproximado posible a la posición del punto : _______________________________

32. Ahora, en la parte izquierda de la ventana de GeoGebra, ubiquen la sección llamada

“Vista Algebraica”. En ella ubiquen las coordenadas del punto y hagan doble clic:

Al hacer doble clic, aparecerá un recuadro

en el cual se pueden reescribir las

coordenadas del punto . Escriban las

siguientes coordenadas, las cuales

corresponden a las de :

33. ¿Qué sucede con la recta secante cuando las coordenadas del punto son iguales a las de

? _____________________________________________________________________

¿Por qué creen que suceda esto?

34. De nuevo en la Vista Algebraica, den clic secundario en las coordenadas del punto ,

aparecerá un menú de opciones. Seleccionen la opción “Objeto visible”:


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El punto deberá de ocultarse de la gráfica.

35. Ubiquen el 4to botón de la barra de herramientas y den clic en la esquina inferior

derecha:

Aparecerá un menú de opciones. Seleccionen la opción “Tangentes”:

Ahora den clic primero sobre el punto y después sobre la

gráfica de la función. Deberá aparecer una recta tangente a

la curva en ese punto.

36. Muestren la pendiente de la recta tangente al repetir los pasos de 17.


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37. Escriban el valor que aparece de la pendiente: _________________________________

38. ¿Qué representa la pendiente de la recta tangente en el punto de acuerdo a la situación

del corredor?

39. Completen los espacios en blanco de las siguientes gráficas con las palabras sugeridas:

a) Velocidad instantánea

b) Velocidad promedio

40. Completen el siguiente texto:

Si la pendiente de una recta _________________ que pasa por dos puntos corresponde a

la velocidad promedio en el intervalo dado por tales puntos, entonces la velocidad en un

instante determinado estará dada por la pendiente de la recta ______________________

a un punto.

Teoría: En la Figura 2, la distancia entre y es representada por la letra ℎ, la cual es cada

vez más pequeña conforme el punto se encuentra más cercano al punto . Si tomamos en

cuenta esto, podemos referirnos a simplemente como y a como + ℎ, como se muestra

en la Figura 4:


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Figura 4. Distancia entre y .

Por lo tanto, las coordenadas de los puntos y se escriben de la siguiente manera:

(, ) (, )

(, ()) ( + ℎ, ( + ℎ))

41. Consideren las coordenadas de los puntos y descritas anteriormente y sustitúyanlas

en la fórmula para calcular la pendiente de la recta que pasa por tales puntos:

= − −

42. Tomen en cuenta el intervalo considerado en la pregunta 9. ¿Cuál es el valor de ℎ en este

caso? (Escriban el procedimiento para encontrar tal valor).


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Teoría: Podemos notar que el valor de ℎ tiende a cero cuando la posición del punto es cada

vez más próxima al punto , de lo cual la recta secante que pasa por ambos puntos tiende a ser

una recta tangente a la gráfica en el punto . Para poder calcular el valor de la pendiente de una

recta tangente a un punto de una curva, utilizaremos el concepto de límite de una función:

Escribimos

lim→

() =

si podemos acercar arbitrariamente los valores de () a (tanto como se desee) al tomar lo

bastante cerca a , pero no igual a .

43.

Consideren su respuesta a la pregunta 33 para completar la siguiente secuencia:

1.

Se tiene una rectasecante que pasa por dos

puntos y , cuya pendiente está dada por:

= () − ()

−

2.

Se sabe que paraaproximarse a obtener

una recta tangente en ,la posición del punto es cada vez más similar

a la de , por lo que se acerca a .

.

Podemos nombrar comoℎ a la distancia entre y , la cual tiende acero.

− = ℎ También, si = entonces = + ℎ

4. Entonces, la pendiente de la recta

tangente en el punto estará dada por:

= lim→⎕

(⎕ + ⎕) − (⎕)

⎕


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Teoría: La pendiente de una recta tangente a una curva = () en un punto (, ()) está

dada por:

= lim→

( + ℎ) − ()

ℎ

siempre que exista este límite.

44. Recordemos las coordenadas del punto (1, (1)) que agregaron en GeoGebra, las

cuales corresponden a la posición del corredor cuando ha transcurrido 1 segundo. Para

encontrar el límite dado anteriormente, primero evalúen la función () en los siguientes

valores:

(1) =

(1 + ℎ) =

45.

Con lo anterior, encuentren la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto :

= lim→

(1 + ℎ) − (1)

ℎ =

46. ¿Qué representa el valor de la pendiente que acaban de calcular respecto a la situación del

corredor? (Recuerden sus respuestas a las preguntas 39 y 40)


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47. Para poder encontrar la pendiente de una recta tangente a cualquier punto de la gráfica de

(), evalúen primero la función en ( + ℎ):

( + ℎ) =

48. Ahora, sustituyan los valores de () y de ( + ℎ) en la fórmula para encontrar la

pendiente de la recta tangente a un punto y encuentren el límite:

= lim→

( + ℎ) − ()

ℎ =

49. ¿Qué representa la expresión que encontraron como resultado de acuerdo a la situación

del corredor?

Teoría: La derivada de una función en un punto (,()), denotada como ′() está dada por:

′() = lim→

( + ℎ) − ()

ℎ

El cual es el límite con el que se ha estado trabajando a lo largo de esta actividad.

50. En GeoGebra, ubiquen la barra de entrada que se encuentra en la parte inferior de la

ventana y escriban lo siguiente:


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En la vista algebraica, en la parte izquierda de la ventana, debajo de la función ()

aparecerá otra llamada ′():

Escriban la expresión que aparece:

() =

51. ¿Qué representa la derivada de la función respecto a la situación del corredor? Pueden

apoyarse de las preguntas 39 y 48.

52. En la barra de entrada en GeoGebra, escribe lo siguiente:

a) ¿Qué valor aparece como resultado en la vista algebraica? ___________________

b) ¿Qué representa ese valor en cuanto al evento del corredor?

53. Una vez que encontraron la función derivada ′(), ¿qué tendrían que hacer para

encontrar la velocidad del corredor cuando han transcurrido 2 segundos?

54. Completen la siguiente tabla:

Tiempo (s)Velocidad

instantánea (cm/s)

0.5

1

1.5

2

2.5


20/20

55. Si la aceleración de un cuerpo es la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo,

¿cómo calcularían la aceleración que lleva el corredor en este caso en un momento

determinado?

56. Por último, definan con sus palabras lo que entienden por Derivada de acuerdo a los

siguientes criterios:

a)

En relación con la gráfica de una función:

b) Como un límite:

c) En cuanto a velocidad de un cuerpo:

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