Actividad 5 Elaboracion de Ensayo

ENSAYO DE

CALCULO Integración por sustitución o cambio de variables,

Integración por partes e Integración por partes

fraccionarias.

UNIVERSIDAD SABES CELAYA PROFESOR : ING FRANCISCO SAMANIEGO 23 DE FEBRERO DE 2015

Noe Rivera Velázquez Calculo 2

Noe Eliezer Rivera Velázquez Centro UNIDEG Celaya

[email protected]. Actividad 5 Elaboración de Ensayo

23 de febrero de 2015

1

Contenido INTRODUCCION .............................................................................................................................. 2

Método de Integrales por Sustitución. ........................................................................................... 3

Ejercicios ...................................................................................................................................... 4

Conclusión ......................................................................................................................................... 7

Método de integrales por partes. ................................................................................................... 8

Ejercicios ...................................................................................................................................... 9

Conclusión ....................................................................................................................................... 11

Método de integración por fracciones parciales ........................................................................ 12

Ejemplos ...................................................................................................................................... 14

Factores lineales distintos ......................................................................................................... 14

Ejemplos ...................................................................................................................................... 16

Conclusión ....................................................................................................................................... 22

Bibliografía ........................................................................................................................................ 22

mailto:[email protected]




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INTRODUCCION

Las matemáticas son un área muy extensa que jamás tiene fin, ya sea en

resultados, problemas ejercicios etc.... Cabe resaltar que estas se aprenden desde

el inicio de nuestros días en las escuelas, en este momento tan crucial que es la

universidad se lleva a cabo la realización de las matemáticas aplicadas con el

conocimiento del algebra, aritmética y razonamiento, derivadas, limites, el cual nos

lleva a él calculo integral que nos sirve para determinar áreas.

Se entiende que el cálculo integral es la esencia de calcular áreas de superficies,

sumar áreas etc. en fin de una diversidad de problemas son moldeados y resueltos

a través de una integral como por ejemplo la física, la química por lo que resulta

importante que el ingeniero domine el cálculo integral.

El origen del cálculo integral se remonta a la época de Arquímedes (287-212 ac)

matemático griego de la antigüedad que obtuvo resultados importantes como el

valor del área encerrada por un segmento parabólico .La derivada apareció veinte

siglos después para resolver otros problemas que en principio no tenían nada en

común con el cálculo integral.

El descubrimiento más importante del cálculo infinitesimal (creado por Barrow,

Newton y Leibniz) es la íntima relación relación entre la derivada y la integral

definida.





3

Método de Integrales por Sustitución. Las operaciones de integración de funciones pueden llegar a ser muy complicadas,

Para facilitarlas se han inventado diversos procedimientos generales, de los cuales

los más extendidos son los llamados métodos de sustitución o cambio de variable y

de integración por partes.

Esta técnica consiste en introducir una nueva variable T para sustituir a una

expresión apropiada del integrando, de manera que la expresión resultante sea más

fácil de integrar, este se basa en la regla de la cadena.

∫ 𝑓"(u)∙u" 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑢) + 𝐶

El método se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una variable

T, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

∫ 𝑓(u)∙u" 𝑑𝑥

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, procedemos a integrar:





4

3º Se vuelve a la variable inicial:

Ejercicios





5





6

(Vitutor, 2015)





7

Conclusión

Respecto a las integrales por sustitución esta manera resulta más fácil de lo que

parece, esto implica al tener ciertos conocimientos de igual manera determinar

cómo o cual es la parte de la integral que tenemos que sustituir, ya que en muchas

ocasiones cuando la integración no es tan obvia, es posible resolver la integral

simplemente con hacer un cambio de variable adecuado.





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Método de integrales por partes.

El método de integración por partes se emplea para simplificar el cálculo de la

integral de un producto de funciones que puedan interpretarse como el tipo u (x) –

v” (x).

La fórmula que se emplea para resolver este tipo de integrales es

∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

Este método resulta indicado particularmente cuando vd es mas fácil que integrar

que u-dv. Ahora para diferentes tipos de expresiones a veces es difícil determinar

cual es u y cual es dv , una de las maneras rapidas para hacer esto es tomar el

método ILATE que significa:

I = Inversa

L = Logarítmica

A= Algebraica

T= Trigonométrica

E= Exponencial

Con esta regla se determiná cada uno de los valores para la elaboración de la

integral por partes.

Conociendo cual es u y dv aplicamos los conceptos para comenzar.

Tenemos que derivar u e integrar v', por lo que será conveniente que la integral de

v' sea inmediata.

Las funciones polinómicas, logarítmicas y arco tangente se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen

como v'.

El objetivo al aplicar la integración por partes es obtener una integral más sencilla

que la inicial. 7l decidir una selección par u y dv se trata que u =f(x') sea una función

que se simplifique cuando se derive X o al menos no se complique' mientras que

dv=g (x’) dx se pueda integrar fácilmente para encontrar v. (peña, 2015)





9

Ejercicios





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11

Conclusión

El método de sustitución por partes es de demasiada ayuda ya que nos sirve para

evaluar la función de una manera más sencilla si esta es muy grande o difícil de

analizar su forma, ahora el método que plantee a un inicio para determinar cuál es

u Y cual dv es efectivo ya que este es un problema al observar ya sea la integral o

el problema que se nos plantee.





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Método de integración por fracciones parciales

Entender el concepto de una descomposición de fracciones parciales, este es un

procedimiento para descomponer un función racional en funciones racionales más

simples para poder aplicar las formulas básicas de la integración, este

procedimiento se le llama integración por fracciones parciales.

Este método de descomposición de fracciones parciales fue introducido por John

Bernoulli matemático suizo cuyas investigaciones fueron fundamentadas en el

desarrollo temprano del cálculo.

Estas son las fórmulas que se aplican para este tipo de métodos o pasos para llevar

a cabo.





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Ahora, suponer que se ha observado que:

1

𝑥2 − 5𝑥 + 6 𝑑𝑥 =

1

𝑥 − 3−

1

𝑥 − 2

Entonces evaluar la integral fácilmente como sigue.

∫1

𝑥2 − 5𝑥 + 6 𝑑𝑥 = ∫ (

1

𝑥 − 3−

1

𝑥 − 2) 𝑑𝑥 = ln|𝑥 − 3| − ln|𝑥 − 2| + 𝐶





14

Este método es preferible a los cambios de variable trigonométricos. Sin embargo,

su uso depende de la habilidad para factorizar el denominador 𝑥2 − 5𝑥 + 6 y para

encontrar las fracciones simples o parciales

1

𝑥 − 3 𝑦

1

𝑥 − 2

Ejemplos

Factores lineales distintos

Escribir la descomposición de la fracción simple para 1

𝑥2 −5𝑥+6

Solución: Porque 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 2), incluir una fracción simple para cada

factor y escribir.

1

𝑥2 − 5𝑥 + 6 =

𝐴

𝑋 − 3+

𝐵

𝑋 − 2

Donde A y B serán determinados .Multiplicando esta ecuación por el mínimo común

denominador (𝑥 − 3)(𝑥 − 2) da la ecuación básica.

1 = 𝐴(𝑥 − 2) + 𝐵(𝑥 − 3) Ecuación básica

Porque esta ecuación es cierta para todo x, se puede sustituir cualquier valor

conveniente para x para obtener las ecuaciones en A y B .Los valores más

convenientes son los que hacen los factores particular igual a 0.

Para resolver para A, sea x = 3 y obtener





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1 = 𝐴(3 − 2) + 𝐵(3 − 3)

1 = (1) + 𝐵(0)

𝐴 = 1 Sea x = 3 en la ecuación básica.

Para resolver para B, sea x = 2 y obtener

1 = 𝐴(2 − 2) + 𝐵(2 − 3)

1 = 𝐴(0) + 𝐵(−1)

𝐵 = 1 Sea x = 2 en la ecuación básica.

Así la descomposición es

1

𝑥2 − 5𝑥 + 6=

1

𝑥 − 3−

1

𝑥 − 2

Como se demuestra al principio de esta sección.

Para esto hay que asegurarse de que el método de fracciones simples parciales

solo es práctico para las integrales racionales cuyos denominadores factorizan muy

bien. Por ejemplo, si el denominador en el ejemplo 1 se cambiara a 𝑥2 − 5𝑥 + 5 , su

factorización como.





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𝑥2 − 5𝑥 + 5 = [𝑥 +5 + √5

2] [𝑥 −

5 − √5

2]

Sería demasiado complicada como para usar con las fracciones parciales. En casos

así, es preferible completar el cuadrado o recurrir a integración simbólica, al realizar

esto se obtiene. (Larson, 1999)

∫1

𝑥2 − 5𝑥 + 5 𝑑𝑥 =

√5

5 ln|2𝑥 − √5 − 5| −

√5

5 ln|2𝑥 + √5 − 5| + 𝐶

Ejemplos





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21





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Conclusión

Para entender de lleno este tema es necesario tenerlos conocimientos de algebra

en un nivel adecuado a la carrera de ingeniería ya que varios tipos de fracciones

parciales se usa este tipo de conceptos así como el uso de las fracciones que ya

por demás tenemos que tener muy desarrollado , en mi punto personal este tema

es de demasiado interés ya que se me hizo difícil investigar este tema ya que lo

desconocía por completo y ahora creo que necesito tener más desarrollo

matemático que tenga este curso de cálculo 2.

Bibliografía Analisis matematicos. (23 de Febrero de 2015). Obtenido de

http://ed21.webcindario.com/CalculoIntegral/integracion_por_sustitucion.htm

Castillo, C. J. (13 de Febero de 2015). monogafias.com. Obtenido de

http://www.monografias.com/trabajos99/integrales-fracciones-parciales-calculo-

integral/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral.shtml

Francisco Soler Fajardo, R. N. (23 de Febero de 2015). Geogle Books. Obtenido de Fundamentos de

calculo:

https://books.google.es/books?id=2DFArZinPWgC&pg=PR14&dq=Metodo+de+integraci%

C3%B3n+por+fracciones+parciales&hl=es&sa=X&ei=K_TrVLfHBoOZyATGnIHQCw#v=onepa

ge&q&f=false

Larson, R. (1999). Calculo con geometria analitica Octava edicion. Florida: Mc Graw -Hill.

peña, D. (23 de Febrero de 2015). Scribd.com. Obtenido de

https://es.scribd.com/doc/252319249/Integrales-POR-PARTES

Vitutor. (23 de Febrero de 2015). [email protected]. Obtenido de

http://www.inetor.com/metodos/integracion_sustitucion2.html


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