Universidad Autónoma de Yucatán

Facultad de Ingeniería

Mecánica Cuántica

Actividad # 4: Matrices, espín, suma de momentos y

teoría de perturbaciones

Maestra: Dra. Maritza de Coss

Carrillo Gómez Alejandro

Díaz Serrano Alejandro

Xool Herrera Manuel

Fecha de entrega: jueves 28 de mayo de 2015

1. Realice una investigación del experimento de Stern-Gerlach donde conteste:

Explicar el experimento Stern-Gerlach.

El experimento Stern-Gerlach consiste en revelar una de las propiedades más

importantes de las partículas como lo es el momento magnético intrínseco que poseen

las partículas, independientes del número cuántico que caracteriza el nivel de energía.

Consistió en lo siguiente:

Se hace pasar un haz de átomos de plata a través de

unas rendijas colimadoras para ajustar la trayectoria

del haz de luz, luego el haz colimado atraviesa un

campo magnético no homogéneo que su función

principal es: si el haz de átomos de plata es totalmente

neutro, no posee carga neta para que un campo

magnético homogéneo lo desvíe de su trayectoria rectilínea, que es como sucede. Pero

si el campo magnético es no homogéneo, la geometría de las líneas de campo

cambiarán y se esperaría que el haz de átomos neutros no se desviara; sin embargo

existe una desviación hacia arriba y hacia abajo de las partículas que llegan a la

pantalla receptora, lo que indica que existe una propiedad magnética de las partículas

que se pone de manifiesto en este experimento.

¿Qué es el momento magnético y como se relaciona con el espín de la

partícula?

El momento magnético es una propiedad de las partículas que les permite interactuar

con campos magnéticos externos, ya que se produce un torque que hace que un

material, objeto o partícula con momento magnético sienta una fuerza y tienda a

alinearse en la misma dirección que las líneas e campo magnético.

Se relaciona con el espín del electrón debido a que para que exista un momento

magnético es necesario tener un momento angular, lo que revela el experimento de

Stern-Gerlach es que los electrones en el átomo de plata poseen un momento angular

intrínseco que genera a su vez un momento magnético que les permite interactuar con

el campo no homogéneo, esta característica de los electrones que poseen un

movimiento de rotación alrededor de su propio eje, generando una corriente y a su

vez un pequeño campo magnético que les lleva a tener un momento magnético se le

denomina espín.

Investigue sobre alguna o algunas propiedades macroscópicas

originadas por la propiedad de espín de las partículas.

Una propiedad originada por el espín de las partículas es el magnetismo, cada partícula

genera un momento magnético ya sea por su movimiento alrededor del núcleo del

átomo o por su movimiento de rotación sobre su mismo eje, esto contribuye a que el

momento magnético total de un material sea la suma de los momentos magnéticos

individuales de cada uno de sus electrones.

Investigue sobre alguna tecnología (o aplicación) basada en el espín de

las partículas.

La magnetorresistencia gigante que consiste en un efecto mecánico cuántico que se

observa en estructuras de película delgada compuesta de capas alternadas

ferromagnéticas y no magnéticas. Se observa en una bajada significativa de la

resistencia eléctrica observada bajo la aplicación de un campo magnético externo. Este

efecto se debe a las orientaciones de los espines electrónicos cuando se aplica el

campo magnético externo.

La principal aplicación es la creación por parte de IBM de la cabeza de lectura de los

discos duros de las computadoras actuales.

2. Realice un resumen sobre el tema “suma de momentos angulares”.

Existen tres tipos de sumas de momentos angulares. Suma de espines, suma de

momentos angulares orbitales y suma de momento angular orbital con espín.

Suma de espines:

En un electrón con espín ½ s=(1/2) puede suceder que el espín se encuentre con

espín hacia arriba (1/2) o espín hacia abajo (-1/2), como en la siguiente figura.

Cuando se consideran d os e le c tron e s , cada uno de ellos tienen la propiedad

de espín, entonces se puede considerar que la propiedad de espín son

independientes entre sí.

Considerando que el espín de un electrón es descrito por un operador S1 y el espín

del segundo electrón es S2, se satisfacen las condiciones de conmutación:

Análogamente, las componentes del operador de espín satisfacen:

Debido a que los operadores de espín son independientes entre sí, se

cumple:

Se define el operador de suma de espín o espín total, como: S=S1+S2

Así mismo se define el operador de bajada en función de los operadores de bajada de

cada partícula

S−¿=S1−¿+S2−¿¿¿

¿

Consecuencias de la definición anterior:

1.-Las componentes del operador suma de espín son:

2.- Las componentes del operador suma también cumplen con relaciones de

conmutación.

Por ejemplo:

3.- El operador suma al cuadrado se define:

Considerando 2 electrones, cada uno puede estar en dos estados de espín:

El electrón 1 puede estar en estados

El electrón 2 puede estar en estados

Se espera que los estados del operador suma, sean productos de los estados de

espín de la partícula 1 y los estados de espín de la partícula 2. Existen 4 posibles

estados:

Para poder determinar la proyección hacia el eje de los 4 estados posibles de espín

(de esta forma se va a determinar el valor de cada estado), se aplica el siguiente

operador:

De la misma forma se obtiene:

Recordemos que el eigenvalor del operador S2 es h2 s (s+1) Entonces, si m=1, 0, -

1 corresponde al valor de s=1 (excepto que hay un estado extra adicional con ms=0).

Para resolverlo, se realiza este procedimiento:

Al sumar dos espines ½ (S1=S2= ½) se espera que el valor máximo que puede tomar

la suma de espines sea:

En este caso, si s=1 entonces m=1, 0, -1 . Por lo que de los 4 estados posibles, se

tiene que el estado más alto de la suma de espines, que en notación de brakets (s, m)

corresponde a:

Por lo que se puede aplicar el operador de bajada para conocer todos los estados

posibles:

Entonces, el estado |1,0> se encuentra dado por,

Aplicando nuevamente el operador de bajada (8) al estado dado por (9), se obtiene:

Existe otro estado ortogonal a (9), dado por:

2. Suma de momentos angulares orbitales

Se pueden sumar momentos angulares orbitales utilizando las relaciones triangulares

de la siguiente manera:

Se define el operador de suma de momento angular, en este caso la suma de espines y

con el operador de suma al cuadrado y la proyección en z del operador suma.

y

Sean | j,m> los estados de los operadores mencionados anteriormente, por lo

tanto se cumple que:

La regla de la relación triangular dice que:

Y para cada valor de j, se tiene que:

m = j, j-1, j-2, …, j-1

Estado de la suma de momento angular es una combinación lineal de productos de

los estados de los momentos angulares de las 2 partículas.

3. Suma de momentos angulares orbital y espín

Para este último caso de suma de momentos angulares, se usa nuevamente la

relación, nuevamente se procede en forma análoga al caso anterior.

1.-Se define el operador suma de momento angular, en este caso la suma de espines

J=L+S y se definen los siguientes operadores:

Sean | j, m > los estados de los operadores mencionados anteriormente, se cumple

que:

Aplicando la regla de la relación triangular:

Y para cada valor de j, se tiene que:

m=j, j-1, j-2, …, -j

Ejemplificando los casos de suma de momentos por medio de la relación triangular se

considera el caso de una partícula con momento angular l=1 y espín de s=1/2

Determinar:

a) Los valores que puede tomar el momento angular o suma.

b) El estado más alto de momento angular total.

a) Usando la relación triangular Para este caso:

Entonces, los valores disponibles son: j= 3/2, ½

b) El estado más alto de momento angular, ocurre cuando jmax=32

y mmax=32

El estado de momento orbital más alto es:

En el estado del espín más alto es:

Por lo que el estado del momento angular más alto es:

3. Realice una investigación y resumen de lo visto en clase sobre el tema teoría

de perturbaciones y mencione al menos una aplicación.

En mecánica cuántica la gran mayoría de las veces los problemas que se presentan no

tienen solución analítica por lo que es necesario utilizar métodos aproximados para

obtener información relevante de ellos. Se presentara la teoría de perturbaciones

independientes del tiempo no degeneradas. Para este método partimos de un

Hamiltoneano el cual tiene sus eigenvalores ya conocidos, así como sus

eigenfunciones.

H 0ϕn=En0ϕn

Ahora se trata de encontrar los eigenvalores y las eigenfunciones de un Hamiltoniano

de la forma:

H=H 0+ λ H 1

Cuyas ecuaciones de valores propios es:

(H 0+λ H 1)ψn=Enψn

El Hamiltoniano no perturbado está acompañado de una λ que es el factor que indica

cuanto afectará la perturbación.

Las soluciones de ψn serán una combinación lineal de las soluciones de ϕk por lo que

las soluciones de ψnserán:

ψn=N ( λ )¿

N ( λ ) es el factor de normalización de ψn

La energía estará dada por:

En=En0+λEn

1+ λ2En2+…

Para calcular las correcciones de la energía de primer y segundo orden se tienen las

formulas:

λEn1=⟨ϕn|λ H 1|ϕn ⟩

Para la corrección de primer orden.

En2=∑

k ≠n

⟨ϕn|λ H 1|ϕn ⟩En0−E k

0

Para la corrección de segundo orden.

La teoría de perturbacional es una herramienta extremadamente importante para la

descripción de sistemas cuánticos reales, ya que es muy difícil encontrar soluciones

exactas a la ecuación de Schrödinger a partir de hamiltonianos de complejidad

moderada. De hecho, la mayoría de los hamiltonianos para los que se conocen

funciones exactas, como el átomo de hidrogeno, el oscilador armónico cuántico y la

partícula en una caja están demasiado idealizados como para describir a sistemas

reales. A través de la teoría de las perturbaciones, es posible usar soluciones de

hamiltonianos simples para generar soluciones para un amplio espectro de sistemas

complejo. Por ejemplo, añadiendo un pequeño potencial eléctrico perturbativo al

modelo mecanocuántico del átomo de hidrogeno, se pueden calcular pequeñas

desviaciones en las líneas espectrales del hidrogeno causadas por un campo eléctrico.

4. Por último, realice un cuadro sinóptico del material visto durante el curso.

5. Conclusión

De acuerdo en lo investigado en esta actividad, se distinguen muchas cosas

importantes en los conceptos nuevos; para el espín, es increíble que las

partículas por sí mismas, en este caso del electrón, posean un momento

angular intrínseco que les permitan interactuar con campos magnéticos y con

un estudio de sus propiedades mediante experimentos, se puedan llegar a

desarrollos tecnológicos en beneficio de las personas.

Por otro lado, la teoría de perturbaciones que se basa en cambios o

perturbaciones, valga la redundancia, que afectan a un sistema mecánico-

cuántico y son importantes porque al añadirlos, los modelos físicos se

aproximan a lo que es la realidad, no se queda como un sistema idealizado en

el que se tengan que ignorar ciertos aspectos para simplificar las cosas

didácticamente, pero que en la realidad no se aplican cuando se están

llevando a cabo experimentos.

6. Bibliografía y referencias.

Robinett Richard W., Quantum Mechanics, 1st Edition, p. 376-380, New York

1997, Edit. Oxford University Press.

Griffiths David J., Introduction to Quantum Mechanics, 2nd edition, United

States, Pearson Prentice Hall, 2005, ISBN 0-13-191175-9.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/spin.html#c4

http://la-mecanica-cuantica.blogspot.mx/2009/08/el-experimento-

stern-gerlach.html