u v a b

x w z

ACTIVIDAD NUMERO 3 MATEMATICA 1.

PARTE A :

Elijo el Modelo 2 , Ejemplo 17 :

La figura representa en forma sencilla un plano urbano en el que las flechas indican la circulacin en las calles de un sentido nico y los Nodos representan puntos de referencia de la ciudad : monumentos, museos, parques, teatros , cines , entre otros.

Hacemos de cuenta que en la actualidad se han agregado dos puntos de inters en esta ciudad : un estadio de futbol y un parque temtico, representados por los nodos a y b respectivamente.

Hemos diagramado tambin las nuevas posibilidades de circulacin para los nuevos nodos.

Complejizamos el ejemplo 17 agregando 2 nodos (a y b) y 4 conexiones (flechas rojas) :

Para poder contestar preguntas como :

- Cuntos caminos hay para llegar de un punto a otro sin pasar por puntos intermedios?. - pasando por 1 punto intermedio?. - pasando por n puntos intermedios?.

Debemos realizar la MATRIZ DE ADYACENCIA para lo cual nos ayudamos de la siguiente tabla en la que introducimos un 1(uno) en la celda ij si existe un camino para ir desde i hasta j, y un 0 (cero) en caso contrario.

Hacia

Desd

e

u v w x z a b u 0 0 0 1 0 0 0 v 1 0 0 0 0 1 0 w 0 1 0 1 1 0 0 x 1 1 1 0 0 0 0 z 0 0 1 0 0 0 1 a 0 1 0 0 1 0 1 b 0 0 0 0 1 0 0

Hemos resaltado con color Rojo los nodos agregados y sombreado con amarillo los nuevos datos de la complejizacion.

Lo valores 0 (cero) de la diagonal corresponden al hecho que : Desde un punto hasta el mismo punto no se cuenta como Camino.

Ahora si confeccionamos la Matriz de adyacencia (7 filas x 7 columnas) :

=0 0 0 1 0 0 01 0 0 0 0 1 00 1 0 1 1 0 01 1 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0 10 1 0 0 1 0 10 0 0 0 1 0 0

Esta matriz nos indica cuantos caminos directos existen para ir desde un punto i (fila) hasta el punto j (columna).

Observaciones :

- Esta matriz es necesariamente cuadrada puesto que los puntos origen son los mismos puntos destino. - Esta matriz no tiene por qu ser simtrica puesto que un camino puede salir de un punto hacia otro pero no viceversa. - Se puede ir desde el punto a (fila 6) hasta el punto v (columna 2) en forma directa sin puntos intermedios. - No existe camino directo para ir desde el punto b (fila 7) hasta el punto x (columna 4).

Para conocer los caminos que unen dos puntos pasando por un punto intermedio debemos calcular la matriz A2(7 filas x 7 columnas) :

Observaciones :

- Existe un solo camino para ir desde el punto a hasta el mismo punto a pasando por un punto intermedio. A esto lo vemos en el 1 (uno) del elemento A266 , es decir el elemento de la sexta fila y sexta columna de la matriz A elevada al cuadrado.

- El camino del punto anterior es el que va de a hasta v y luego de v hasta a. Esto se ve en la columna 6 de la matriz A. El nico 1 de esta columna es el correspondiente a la fila 2 (punto v). Es decir desde el nico punto desde el cual se puede llegar a a es v.

- Podemos ver que la diagonal principal de A2 ya no contiene solo ceros. Esto se debe a que se puede ir desde un punto hasta el mismo punto pasando por un punto intermedio.

- El elemento A244 =2 nos dice que existen 2 caminos posibles para ir desde el punto x hasta el mismo punto x pasando por un punto intermedio.

- Los caminos del punto anterior pueden deducirse de la columna 4 de la matriz A. All observamos que los puntos desde los cuales se puede llegar a x son solo u y w . Es decir, dichos caminos son x-u-x y x-w-x.

- En A2 podemos ver tambin algunos otros elementos con valor 2. Dicho valor nos indica que desde el punto indicado por la fila hasta el punto indicado por la columna existen 2 caminos posibles pasando por un punto intermedio.

Para conocer los caminos que existen desde un punto a otro pasando por 2 puntos intermedios, calculamos A3 (7 filas x 7 columnas).

Observaciones :

- El elemento A365 = 3 , nos indica que existen 3 caminos posibles para ir desde el punto a (fila 6) hasta el punto z (columna 5) pasando por dos puntos intermedios.

- El elemento de A334 = 4 , nos indica que existen 4 caminos posibles para ir desde el punto w (fila 3) hasta el punto x (columna 4) pasando por dos puntos intermedios.

- En general si queremos saber cuntos caminos posibles existen para ir desde un punto a otro pasando por n puntos intermedios, debemos calcular An+1.

Para conocer la cantidad total de posibles caminos para ir desde un punto a otro pasando hasta por n puntos , debemos sumar

S = A + A2 + ..+ An+1.

Por ejemplo para saber la cantidad total de caminos para ir de un punto a otro pasando a lo sumo por 2 puntos, debemos calcular :

S = A + A2+ A3.

Observaciones :

- El elemento S32 = (A + A2 + A3)32 = 5 , nos indica que existen 5 caminos posibles para ir desde el punto w hasta el punto v pasando por ninguno, uno y dos puntos intermedios.

- El elemento S76 = A + A2 + A3)76 = 0 , nos indica que no existen caminos posibles para ir desde el punto b hasta el punto a pasando por ninguno, uno o dos puntos intermedios.

Si hacemos el producto entre S y el vector columna [1,1,1,1,1,1,1]T, tenemos :

Ovservaciones :

- El resultado de S [1,1,1,1,1,1,1]T nos indica cuantos caminos en total salen desde cada punto (cada fila) contando los que pasan por ninguno, uno y dos puntos internedios.

- Por ejemplo desde el punto a (fila 6) salen 18 caminos en total. - El punto del que salen ms caminos es el punto w con 24 caminos.

Si hacemos el producto entre el vector fila [1,1,1,1,1,1,1] y S tenemos :

Ovservaciones :

- El resultado de [1,1,1,1,1,1,1]S nos indica cuantos caminos en total llegan a cada punto (cada columna) contando los que pasan por ninguno, uno y dos puntos intermedios.

- Por ejemplo hasta el punto b (columna 7) llegan 14 caminos en total. - Los puntos a los que llegan mas caminos son el punto v y el punto z con 20 caminos cada uno.

PARTE B :

La actividad consiste en recrear el Ejemplo 28 del material de estudio. Para recrearlo:

1) Reemplace la matriz T de la Gua de estudio por otra de la lista y observe la accin que, sobre la letra N realiza el pre multiplicar la matriz D por T.

Nombres identificatorios:

T= nueva matriz de transformacin D= matriz de coordenadas. TD=H=nueva matriz del transformado por T.

Qu matriz calculara y cmo la usara con la matriz del transformado H, para obtener la matriz de coordenadas original? Esto es, cmo procedera, operando con matrices, para obtener las coordenadas de la letra original?

Dibuje. Realice los clculos con los ya conocidos paquetes Wolfram Alpha, Wiris, OnLineMSchool. Capture pantallas.

2) Seguidamente, seleccione otra matriz de la lista, llmela S, y repita el proceso pero ahora tomando como matriz de coordenadas a H.

Nuevos nombres identificatorios:

S= nueva matriz de transformacin H= nueva matriz de coordenadas. SH=J=nueva matriz del transformado por S.

La idea es aplicar un movimiento atrs de otro y estudiar cmo cambia de posicin la letra N (esto es, hacer una composicin). As se trabajan las imgenes en una pantalla.

Punto 1 :

Primero obtenemos el grafico inicial de la letra N.

Puntos 1 2 3 4 5 6 7 8 Coordenada x 0 0.5 6 5.5 0.5 0 5.5 6 Coordenada y 0 0 0 1.58 6.42 8 8 8

Elegimos la matriz de transformacin T (numero 7 de la lista) y calculamos la transformacin :

Obtenemos el grafico transformado de la letra N.

Vemos que la transformacin anterior intercambia las coordenadas x con las coordenadas y.

Si nuevamente realizamos la misma transformacin sobre la matriz transformada H, es decir el producto H1 = T.H, nos queda :

Y vemos que H1 = D, es decir aplicando nuevamente la transformacin T sobre la transformada H, obtenemos la matriz original D.

Punto 2 :

Elegimos la matriz de transformacin numero 3 con un valor para k = 0.75 :

Aplicamos la nueva transformacin S a la matriz previamente transformada H y al resultado lo llamamos J.

Es decir J = S.H

Obtenemos el grafico nuevamente transformado de la letra N.

Vemos que la transformacin anterior con k = 0.75 inclina el grafico hacia la derecha.

Si le hubiramos dado un valor a k = -1.5 , tendramos :

Vemos que la transformacin anterior con k = -1.5 inclina el grafico hacia la izquierda.

Si ahora aplicamos una reflexin respecto del eje x (transformacin S1) a la matriz J anterior, obtenemos la matriz transformada F cuyo grafico es un reflejo de J :