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Temas: Ceros racionales de un polinomio, ecuaciones lineales y cuadráticas. Inecuaciones lineales e inecuaciones cuadráticas y con valor absoluto. Ecuaciones logarítmicas y exponenciales Actividades para antes de la clase Con el propósito de iniciar el estudio de este tema, revise el siguiente video como motivación para el aprendizaje sobre la importancia de los polinomios: https://www.youtube.com/watch?v=V3xqeXB3CnA A continuación, responda cada pregunta con sus propias palabras. Seguramente será necesario que realice una búsqueda de algunos de los conceptos planteados en internet o en libros que encontrará en la biblioteca.

a. ¿Qué se entiende por los ceros o raíces reales de un polinomio? b. ¿En qué consiste el Teorema del Residuo y del factor? c. ¿En qué consiste la Regla de Ruffini? d. ¿Qué establece el Teorema Fundamental del Algebra? e. ¿Qué es una inecuación? ¿Cuáles formas conoce? f. ¿Cómo se representan la solución de una inecuación? g. ¿Si una inecuación tiene solución, cuántas se pueden obtener? h. ¿Qué métodos conoces para resolver inecuaciones cuadráticas? i. ¿Cómo se define el logaritmo de un número positivo a en base 10? ¿En otra base?

j. ¿Conoce algunas propiedades de los logaritmos? Enúncielas

k. Investigue el origen del número de Euler o constante de Napier.

l. ¿Cómo se define el logaritmo natural de un real positivo?

Departamento de Matemáticas Fundamentos en Matemática y Matemáticas Fundamentales EJE TEMÁTICO: Conceptos básicos de álgebra ACTIVIDAD No. 3 SISTEMA INSTITUCIONAL DE EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE (SIEA) CASO MATEMÁTICAS

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Actividades durante la clase 1. (Emplear) Determine en cada caso si el numero m dado corresponde o no a una raíz o

cero del polinomio dado:

a. 𝑞(𝑡) = 𝑡 + 𝑡 − 𝑡 + ; 𝑚 = −1 b. 𝑟(𝑢) = (𝑙𝑛2)𝑢 − 0.5𝑢 − 0.1 ; 𝑚 =

2. (Modelar) Calcule las dimensiones de un rectángulo tal que si se aumenta la base en 5

metros y se disminuye la altura en otros 5, la superficie no varía; pero si se aumenta la base en 5 y se disminuye la altura en 4, la superficie aumenta en 4 m².

3. (Interpretar) La curva de Lorenz es una representación gráfica de la desigualdad en el reparto de la renta existente en un determinado territorio. En cierto país se encontró que la distribución de ingresos se puede estimar mediante la ecuación:

%𝐼 =15

16𝑝 +

1

16𝑝 ; 0 ≤ 𝑝 ≤ 1

Donde %𝐼 representa la proporción del ingreso total que recibirá cierto porcentaje de familias, y 𝑝 ese porcentaje de familias. Qué proporción de los ingresos de ese país recibe el 20% de las familias. Qué porcentaje de las familias recibe aproximadamente el 30% de los ingresos. Como interpretaría la situación del país con el resultado anterior.

4. (Interpretar) Exprese cada una de los siguientes enunciados como una desigualdad

a. La utilidad será al menos de $500.000 b. La compañía no contratará menos de 25 ni más de 45 obreros. c. El inventario no debe exceder de 100.000 unidades d. La temperatura promedio está entre 30°C y -10°C

5. (Modelar) Se especifica que una parte exacta de un motor pequeño tiene un diámetro de

0.623 cm. Para que la parte encaje correctamente, su diámetro debe estar a 0.005 cm del diámetro especificado. Escriba una desigualdad con valor absoluto que tenga como soluciones todos los diámetros posibles de las partes que encajarán. Resuelva la desigualdad para determinar esos diámetros.

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6. (Interpretar) La gráfica adjunta utiliza los datos sobre el número de tornados registrados en Estados Unidos durante un período de 20 años. Se reportó un total de 17.252 tornados. Responda las siguientes preguntas:

a. ¿En qué meses el porcentaje de tornados excede el 7.7%?

b. ¿En qué meses el porcentaje de tornados fue por lo menos del 12.9%?

c. ¿En qué meses se reportaron menos de 1500 tornados?

d. ¿Cuántos tornados más ocurrieron en marzo en comparación con octubre?

Fuente: The USA Today Weather Book

7. (Modelar) Los lados de un cuadrado se extienden para formar un rectángulo como se

muestra en la figura. Un lado se extiende 2 cm y el otro 5 cm. Si el área del rectángulo resultante es menor de 130 cm2 ¿Cuáles son las posibles longitudes del cuadrado original?

8. (Emplear) las instrucciones en la botella de un medicamento indica que debe conservarse en lugares donde la temperatura este entre 5°C y 30°C.Qué intervalo de temperaturas corresponden en una escala Fahrenheit

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9. (Emplear) Una droga se inyecta en el flujo sanguíneo del brazo derecho de una paciente. La concentración (en miligramos por mililitro) de la droga en el flujo sanguíneo del brazo izquierdo t horas después de la inyección está dada por:

𝐶 =0.12𝑡

𝑡 + 2

¿Cuándo la concentración de la droga en el brazo izquierdo será mayor de 0.04 miligramos por mililitro?

10. (Emplear) En el siguiente desarrollo se comete un error:

Supóngase que m > n > 0; entonces:

Renglón 1……. ………. mn > n

Renglón 2……. ………. mn − m > n − m Renglón 3……. ……… m(n − m) > (n + m)(n − m) Renglón 4……. ……… m > (n + m) Renglón 5……. ……… 0 > n

Sin embargo, inicialmente se supone que 𝑛 > 0.Encuentre en cuál renglón se cometió el error.

11. (Emplear) Una estudiante tiene $360.000 para gastar en un equipo de sonido y

algunos discos compactos. Si ella compra un estéreo que cuesta $219 000 y el costo de los discos es $2820 cada uno, determine el mayor número de discos que puede comprar.

12. (Emplear) La distancia de frenado de cierto automóvil que corre a V mil/h está dada

por la ecuación:

𝑑 = 𝑣 +𝑣

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Determine las velocidades de frenado de menos de 75 pies. 13. (Modelar) La estatura de una persona típicamente disminuirá en 0.024 pulgadas por

año después de los 30 años. Si una mujer mide 5 pies 9 pulgadas cuando tenía 30 años, prediga su estatura a la edad de 70 años. Si un hombre de 50 años mide 5 pies 6 pulgadas. Determine una desigualdad para el rango de sus estaturas (en pulgadas) que este hombre tendrá entre las edades de 30 y 70 años.

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14. (Emplear) Complete la siguiente tabla:

𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 𝑛 𝑎 = 𝑏 𝑎 = 𝑏 3 = 81

𝑙𝑜𝑔 32 = 5

16 = 2

27 = 81

𝑙𝑜𝑔√ 81 = 8

15. (Emplear) Se lleva una manada de 20 venados cola blanca a una isla costera donde

antes no había venados. Se predice que la población aumentará según la curva logística:

𝑁 =100

1 + 4𝑒 .

Donde N es el número de venados que habrá aumentado la manada después de t años ¿En cuántos años aproxime al año más cercano, habrá 50 venados en la manada?

16. (Modelar) Si se invierte un capital P a una tasa de interés r, durante un periodo de t años, entonces la cantidad A de la inversión se expresa como:

𝐴 = 𝑃(1 + 𝑟) Interés Simple (durante un año)

𝐴(𝑡) = 𝑃 1 +𝑟

𝑛 Interés Compuesto 𝑛 veces por año

𝐴(𝑡) = 𝑃𝑒 Interés capitalizable de manera continua

a. Se invierte una suma de $1000 a una tasa de interés del 4% anual. Encuentre el tiempo requerido para que la cantidad crezca a $4000 si el interés se capitaliza de manera continua.

b. Encuentre el valor futuro en 5 años de una inversión de $10.000 en un proyecto de vivienda, si la tasa de interés anual es de 9% y este es capitalizable trimestralmente de forma compuesta.

17. (Modelar) Que tiempo (años) es necesario para que una inversión de $41.400 efectuada

al 12% anual capitalizable bimestralmente genere intereses ascendentes a $8.076,83.

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18. (Emplear) Una compañía trata de dar a conocer un nuevo producto a tantas personas como sea posible mediante publicidad por televisión en un área metropolitana grande con 2 millones de posibles espectadores. Un modelo matemático establece que el número de personas N, en millones, que conocen el producto t días de publicidad se encontró que era de:

𝑁 = 2(1 − 𝑒 . ) ¿Cuántos días, aproxime al entero más cercano, debe durar la campaña, para que al menos un 80% de los posibles espectadores conozcan el producto?

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Actividades después de la clase 1. (Emplear) Encuentre los valores de 𝑘 talque que permita que el polinomio 𝑃(𝑥) sea

divisible por 𝑞(𝑥): a. 𝑃(𝑥) = 𝑘𝑥 + 2𝑥 + 9𝑘 ; 𝑞(𝑥) = 𝑥 − 1 b. 𝑃(𝑥) = 𝑥 + 𝑘𝑥 − 2𝑘𝑥 + 4 ; 𝑞(𝑥) = 𝑥 + 2

2. (Modelar) ¿Cuáles deben ser las dimensiones de una piscina rectangular de 4 metros de

profundidad sabiendo que el área total es de 2520 m² y su largo es a su ancho como 2:1? 3. (Modelar) De un cubo de juguete, se sabe que se podría duplicar su volumen si se

modifican las dimensiones de sus caras de la siguiente manera: a una de las aristas se le incrementa una longitud de seis centímetros, a otra de las aristas se le incrementan 12 centímetros y a la tercera arista se le disminuye cuatro centímetros. ¿Cuál es la longitud de la arista del cubo original?

4. (Interpretar) Un tinaco de 208 centímetros de altura, que abastece el agua de una casa,

tiene dos salidas que son utilizadas en estos momentos. Al mismo tiempo se llena con una llave del agua proveniente de la cisterna. Una de las llaves que lo vacían lo hace a velocidad variable y la otra con velocidad constante, de manera tal que la ecuación del altura del agua en el tanque con respecto al tiempo está dada por la siguiente expresión:

ℎ = −𝑡 + 12𝑡 − 21𝑡 + 110

¿Será posible que en algún momento se llene el tanque? Si es así, proporcione el momento cuando ocurre. ¿Se vaciara el tanque? Si es así, proporcione el momento cuando ocurre. Use los resultados anteriores para describir el comportamiento de la altura del tanque.

5. (Emplear) La población de peces de cierto lago sube y baja de acuerdo con la formula

𝐹 = 1000(30 + 17𝑡 − 𝑡 )

Aquí 𝐹 es el número de peces en el tiempo 𝑡, donde t se mide en años desde el 1 de enero de 2002, cuando la población de peces se estimó por primera vez. ¿En qué fecha la población de peces será otra vez la misma de como ere el 1 de enero de 2002? ¿Antes de que fecha habrán muerto todos los peces?

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6. (Emplear) El curso de matemáticas de primer semestre tiene asignados los siguientes porcentajes para el cálculo de la nota final: Dos exámenes parciales cada uno del 25%, las actividades en el curso equivalen al 20% y el examen final equivale al 30% de la nota definitiva. Si un estudiante obtuvo una calificación de 3,8 en el primer examen, 4,0 en el segundo examen y tiene en promedio 4,2 en las actividades. ¿Cuál es la calificación mínima que debe obtener en el examen final para tener una calificación definitiva del curso de por lo menos 4,2?

7. (Interpretar) La siguiente gráfica muestra la producción de huevo en los años 2005 y

2006 en varios estados de los Estados Unidos. De acuerdo con ella responda a las siguientes preguntas:

a. Si 𝑥 representa la producción de huevo en Texas (TX) en 2006 y 𝑦 representa la producción en California (CA) en el mismo año, cuál enunciado es verdadero: 𝑥 < 𝑦 ó 𝑥 > 𝑦?

b. Si x representa la producción de huevo en Ohio (OH) en 2005 y y representa la producción huevo en Ohio (OH) en 2006, cuál enunciado es verdadero: x < y ó x > y?

c. ¿En qué estados y en qué años la producción fue al menos de 6687 millones? ¿En qué estados y en qué años la producción fue cuando mucho de 4962 millones?

8. (Emplear) La capacidad de almacenamiento del nuevo teléfono móvil IPhone 2000 es de

400 Megabytes. Se encontró que en promedio el tamaño de fotos almacenadas es de 15 Megabytes y el de videos es de 70 Megabytes. Si se han almacenado 12 fotos, que espacio tiene disponible para tomar videos y a lo más cuantos podría tomar.

9. (Emplear) Cuando se introduce un nuevo software por primera vez y se tiene gran éxito, las ventas semanales por lo general aumentan rápidamente durante un período y después empiezan a disminuir. Suponga que las ventas S (en miles de unidades), t semanas después de que se introdujo el software están dadas por:

𝑆 =200𝑡

𝑡 + 100

¿Cuándo se venderán 8000 unidades o más por semana?

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10. (Modelar) Para el modelo de vehículos articulados utilizado por la empresa Metro Cali S.A.S. en el servicio de transporte masivo (MIO) en la ciudad de Cali, la distancia d que requiere para detenerse si está viajando a una velocidad v km/hora se encuentra mediante la fórmula:

𝑑 = 𝑣𝑡 ó −𝑣

𝑘

Donde d se mide en metros, 𝑡 ó es el tiempo de reacción en segundos y 𝑘 es una constante que depende de la aceleración de la gravedad, de la adherencia de los neumáticos al suelo y de la resistencia del suelo a la detención. La empresa Metrocali S.A.S. desea que la distancia de frenado sea de 10 metros o más en el caso de que una persona se interponga en la vía cuando el bus vaya en su ruta. ¿Cuál es el rango de

velocidades en 𝑘𝑚ℎ a la que debe conducir un operador del sistema, si su tiempo de

reacción es 3 𝑠𝑒𝑔 y la constante 𝑘 = 𝑚/𝑠𝑒𝑔 ?

11. (Modelar) Un submarino está a 160 pies por debajo del nivel del mar, debe recorrer un

tramo de cavernas submarinas donde tiene formaciones rocosas arriba y debajo de él, por lo que no debe cambiar su profundidad por más de 28 pies. Formule una expresión que describa la distancia a la que debe mantenerse la tripulación. Resuelva dicha desigualdad y responda la siguiente pregunta: ¿Entre que distancias verticales (medidas con respecto al nivel del mar) puede moverse el submarino?

12. (Modelar) Cierto local de insumos para construcción ha determinado que atiende en

promedio 100 clientes por semana y en promedio sus productos tienen un valor de $5. Debido a la competencia en el sector, el comerciante a cargo del local debe ajustar sus precios para no perder clientes o comprometer sus ganancias. Según un estudio realizado, si aumenta el precio de sus insumos en $0.75 perderá aproximadamente 10 clientes. ¿Qué precio debería fijar de modo que sus ganancias semanales sean superiores a las obtenidas con la situación actual (insumos por valor de $5)?

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13. (Emplear) Complete la siguiente tabla:

𝑙𝑜𝑔 𝑏 = 𝑛 𝑎 = 𝑏 𝑎 = 𝑏

8 = 4

128 = 2

𝑙𝑜𝑔1

4=

−1

2

14. (Emplear) Complete la siguiente tabla para cada valor de n dado en la columna

izquierda

N 1 + con siete cifras decimales

1 10

100 1000

10000 100000 1000000

10000000

15. (Modelar) Laura quiere invertir $4.000 en certificados de ahorro que producen una tasa de interés de 9.75% por año, capitalizable cada medio año. ¿Qué tan largo debe elegir el período a fin de ahorrar una cantidad de $5.000?

16. (Emplear) Una fábrica de computadores contrata a un empleado para que aprenda a

probar cierto modelo de computadora personal después de que sale de la línea de ensamble. La curva de aprendizaje para un empleado promedio está dada por:

𝑁 =200

4 + 61𝑒 .

Donde N es el número de computadores probados por día después de t días de trabajo. ¿Cuántos días, aproxime al día más cercano, le tomará a un empleado promedio probar 40 computadoras por día?

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17. (Modelar) La población de cierta ciudad era de 680.000 habitantes en 1992 y está creciendo a una tasa de crecimiento relativo de 12% anual. Determine:

a. Una expresión que determine la población de esta ciudad después de 1992. b. La población del año 2000

18. (Modelar) Que deposito debe hacerse a una cuenta de ahorros que abona una tasa de

13.5% anual capitalizable bimestralmente, si se desea tener disponibles $310.500 al cabo de 17 meses.