ACTIVIDAD 2 INTERVALOS

7/24/2019 ACTIVIDAD 2 INTERVALOS

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ACTIVIDAD 2.1 Conjuntos y Subconjuntos.

CONJUNTO:Es la coleccin de varios elementos, cosas, objetos con ciertas caractersticasque lo hagan permanecer a este.

Xej: A={A,B,,!,",#,$,%,&,',(,),*,+,,-,,etc./

A= {ABEE!A0%/

SUBCONJUNTO:Es parte del conjunto que tiene las mismas caractersticas.

1ej: B= {A, E, %, , 2/

B= {3A(E4/

Ahora... Tenemos que sacar los subconjuntos propios de M=[a,b,c,d]

Comencemos con los que slo poseen un elemento de M.

1) [a]

2) [b]

3) [c]

4) [d]

Ahora con los que tienen dos elementos de M.

5) [a,b]

6) [a,c]

7) [a,d]

8) [b,c] (ya que [a,b] = [b,a])

9) [b,d]

10) [c,d]

Ahora pasemos a los que tienen tres elementos de M.

11) [a,b,c]

12) [a,b,d]

13) [a,c,d]

14) [b,c,d]

Por ltimo, sabemos que el conjunto vaco esta incluido en cualquier conjunto. Por


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lo tanto ser tambin un subconjunto PROPIO de M

15) []

CONJUNTO DE REEM!A"AMIENTO:Es cuando en un conjunto, deseamos reempla5ar unelemento, 6 para no nombrarlo al elementos se le reempla5a con una variable 789.

1ej: M # $1%2% &% '% (%)*.

4 = {8 ) 8 es menor que ;/

CONJUNTO DE VERDAD:Esto nos indica cuando en un conjunto de reempla5amiento lavariable solamente corresponde a dicho conjunto, para no


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n7a9= @

CONJUNTOS EUIVA!ENTES: Este se de, ?, D, ;/ 6 B= {rojo, amarillo, morado, a5ul/

CONJUNTOS I3UA!ES:4on aquellos que tienen e8actamente los mismos elementos, noimportando el orden siempre 6 cuando los tenga uno 6 el otro.

1ej: B= {rojo,amarillo,morado,a5ul/

B= {a5ul, morado, rojo, amarillo/

CONJUNTO DE NUMEROS NATURA!ES: Es el conjunto que mas utili5amos, pues es el quenos sirve para contar son todos los nHmeros positivos 6 se les llama nHmeros naturales 6 es%n,?,@,;,D,,F,G,I,,>/

SE3UNDA ARTE

1.4 ,+, e0 s-5u-ente conjunto% +es6on7e 0, 6+e5unt, en c,7, -nc-so: A # $ +os,% c0,8e0%

5,+7en-,% 9,+5,+-t,% 5-+,so0%8-o0et,*

Ha sido el conjuntoA bien defnido?, justifca

Es clavel elemento deA ?

Es or elemento deA ?

no

si

si

2.4 E0 conjunto 7e +e e960,,9-ento es M # $1%2%&%'%(%)*. Dete+9-n, e0 conjunto 7e

8e+7,7 ;ue co++es6on7, , c,7, conjunto ;ue se 7, en 0, not,c-n 6,+, const+u-+

conjuntos% us, 0, /o+9, enu9e+,t-8,:

S = {x M | x es menor que !

4= {,>,?,@/


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" = {x M | x # $ = !

( = {@J=;/

% = {x M | x es ma&or que ' !

K = {?, @, ;,D/

&.4 !os s-5u-entes conjuntos se 7,n en /o+9, enu9e+,t-8,% c/

= {lunes, martes, mi-rcoles, jueves, viernes, s.bado, domin/o!

B = {son los das de la semana/

'.4 Dete+9-n, 0, c,+7-n,0-7,7 7e 0os s-5u-entes conjuntos:

( = {', ), 0, !

n7a9= @

= {1!

n7b9=

2 = { !

n7c9=I

(.4 To9,n7o en cuent, ;ue N es e0 conjunto 7e 0os n=9e+os n,tu+,0es% +e0,c-one 0,s

s-5u-entes e>6+es-ones ut-0-,n7o 0os s?9bo0os,,

{34meros 5ares! 66666 3 & tambi-n se 5odr7a usar, 5orque es un subconjunto

de los naturales8

{34meros entre el 1 & el $! 66666 3

{ 1 ! 666666 3

{n4meros m4lti5los del )! 6666 3


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Introduccin a los conjuntos

Olvida todo lo que sabes sobre nmeros. Olvdate de que sabes lo que esun nmero. Aqu es donde empiezan las matemticas. En vez de

matemticas con nmeros, vamos a hacer matemticas con cosas.

Definicin

!"u# es un conjunto$ %ueno, por decirlo de una manera simple es una coleccin.

&rimero eli'es una propiedad comn a unas cosas (esto lo de)iniremos lue'o* +

despu#s renes las cosas que tienen esa propiedad.

&or ejemplo, la ropa que llevas podran ser

zapatos, calcetines, sombrero, camisa,

pantalones + otras cosas.

-e'uro que a ti se te ocurriran cien por lo

menos.

Esto es un conjunto.

Otro ejemplo sera tipos de dedos.

Este conjunto tendra pul'ar, ndice, medio, corazn +

meique.

As que son slo cosas juntas que tienen una misma propiedad.

Notacin

/a+ una notacin para conjuntos bastante simple. 0os dos ejemplos de arriba son

{calcetines, zapatos, relojes, faldas, ...}

{pulgar, ndice, medio, corazn, meique}

1jate que uno tiene .... Esto slo quiere decir que el conjunto si'ue inde)inidamente.

A lo mejor no ha+ in)initas cosas distintas que ponerse, pero no esto+ se'uro de eso.


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2espu#s de pensarlo durante una hora, todava no esto+ se'uro. El primer conjunto es

un conjunto infinito, el se'undo es un conjunto finito.

Conjuntos de nmeros

!"u# tiene esto que ver con matemticas$ 3uando de)inimos un conjunto, todo lo que

hace )alta es una propiedad comn. !"ui#n dice que no se puede hacer lo mismo con

nmeros$

3onjunto de nmeros pares 4..., 56, 57, 8, 7, 6, ...9

3onjunto de nmeros impares 4..., 5:, 5;, ;, :, ...9

3onjunto de nmeros primos 47, :, ltiplos positivos de : que son menores que ;8 4:, ?, @9

la lista si'ue. &odemos inventar muchos conjuntos distintos.

Bambi#n ha+ conjuntos de nmeros que no cumplen una propiedad comn,

simplemente se definen as. &or ejemplo

47, :, ?, C7C, :C:@, CC7=9

46,


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Al principio usamos la palabra cosas entre comillas. Esto sellama el conjunto universal. Es un conjunto que contiene

todo. %ueno, Do todo de erdad. Todo lo que tiene que vercon el problema que tienes entre manos.

/asta ahora, los conjuntos que te he dado contenan nmeros

enteros. As que el conjunto universal aqu seran los enteros.2e hecho, cuando uno hace Beora de Dmeros, casi siempreese es el conjunto universal, porque la Beora de Dmeros esla parte de las matemticas que estudia los enteros.

-in embar'o en Anlisis eal, el conjunto universal es casisiempre los nmeros reales. en Anlisis 3omplejo, elconjunto universal es los nmeros complejos.

Ms notacin

Cuando hablamos de conjuntos, es normal usar letras maysculas para llamar al

conjunto, y letras minsculas para los elementos de ese conjunto.

As que por ejemplo A es un conjunto, y a es un elemento de A. Lo mismo con B y b, y

con C y c.

Do pasa nada si no si'ues esa re'la, puedes usar al'o como mpara representar un

conjunto sin romper re'las matemticas (ojo, pasars aos en la crcel por dividir

entre 8*, pero esta notacin es )cil de se'uir, as que !por qu# no usarla$

Bambi#n, cuando decimos que un elemento aest en un conjunto A, usamos el

smbolo para mostrarlo.

si al'o no est en un conjnto usamos .

Ejemplo el conjunto Aes 4;,7,:9. 3omo puedes ver A, pero ! A

Iualdad

2os conjuntos son i'uales si tienen eFactamente los mismos miembros. "uizs no

parezcan i'uales a primera vista, Gtienes que mirarlos bienH

Ejemplos -on A + % i'uales si

A es el conjunto de los cuatro primeros enteros positivos

% 46, 7, ;, :9


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Jamos a verlo. 0os dos contienen ;. 7. :, + 6. +a hemos comprobado los

elementos de los dos conjuntos, as que "#, son iguales$

el si'no i'ual (* se usa precisamente para indicar i'ualdades, as que escribimos

A %

!u"conjuntos

3uando de)inimos un conjunto, si tomamos partes de #l tenemos al'o que se llama

un subconjunto.

As que por ejemplo tenemos el conjunto 4;, 7, :, 6,


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!&ero es % un subconjunto de A$ %ueno, podemos probar a hacer lo mismo.

Benemos 7n + queremos que sea como 6m. Kna manera de hacer eso sera

multiplicarlo por 7 para que ten'amos 7L7n o lo que es lo mismo 6n. &ero

recuerda lo de arriba, slo podemos usar el si'no i'ual. -i multiplicas un nmero

por 7, +a no es i'ual a lo que era. As que nos hemos topado con un muro. Do

parece que 7n se pueda hacer parecido a 6m. !A lo mejor lo que queremos es)also$ Jamos a probar lo contrario, a ver si es verdad que % no es subconjunto

de A. !3mo lo haramos$ %ueno, nos basta encontrar un elemento de % que no

est# en A. Bodo lo que ha+ que hacer es buscar un elemento as. "ueremos un

mltiplo de 7 que no sea mltiplo de 6. &ero de hecho, 7 es mltiplo de 7, pero

no es mltiplo de 6. As que 7 est en % pero no en A, + entonces % no es

subconjunto de A.

!u"conjuntos propios

-i nos )ijamos en la de)inicin de subconjunto + dejamos que nuestra mente trabaje unpoco, lle'amos a una conclusin rara. 2i'amos que Aes un conjunto. !Es verdad que

todo elemento ade Atambi#n es un elemento de A$ %ueno, est claro que s, !no$ !

eso no si'ni)ica que! es un subconjunto de !$ Esto no parece mu+ correcto, !no$

"ueremos que nuestros subconjuntos sean propios. As que introducimos la de)inicin

desubconjuntos propios.

A es un subconjunto propio de % si + slo si cada elemento de A est en %, +

eFiste por lo menos un elementode % que no est en A.

Esta pequea parte del )inal es la que hace que A no sea un subconjunto propio de s

mismo. &or lo dems, un subconjunto propio es lo mismo que un subconjunto normal.

As que por ejemplo, 4;, 7, :9 esun subconjunto de 4;, 7, :9, pero no es un

subconjunto propiode 4;, 7, :9.

&or otra parte, 4;, 7, :9 es unsubconjunto propiode 4;, 7, :, 69 porque el

elemento 6 no est en el primer conjunto.

1jate en que si A es un subconjunto propio de %, entonces tambi#n es un subconjunto

de %.

Ms notacin

3uando decimos que A es un subconjunto de %, escribimos A %.

O podemos decir que A no es subconjunto de % A % (A no es subconjunto de %*

3uando hablamos de subconjuntos propios, quitamos la lnea de debajo + queda A %

o para decir lo contrario, A %.


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Conjunto vac#o

&robablemente esto es lo ms raro que tienen los conjuntos.

&or ejemplo, piensa en el conjunto de teclas de piano que tieneuna 'uitarra.

G&ero esperaH se'uro que dices, GKna 'uitarra no tiene teclasH

tienes toda la razn. Este conjunto no tiene elementos.

A este conjunto se le llama conjunto vaco. Do tiene elementos.

Di uno.

-e representa como

Otro ejemplo de conjunto vaco es el conjunto de pases al sur del polo sur.

! qu# es tan eFtrao sobre el conjunto vaco$ %ueno, esa parte viene ahora.

$l conjunto vac#o % su"conjuntos

Jolvamos a la de)inicin de subconjunto. Benemos un conjunto A. Do decimos ms de

#l, podra ser cualquier conjunto. El conjunto vaco es subconjunto de A?

Jolviendo a la de)inicin de subconjunto, si todo elemento del conjunto vaco

tambi/n est0 en A, entonces el conjunto vaco es subconjunto de A. !&ero +

si no 1a+elementos$

/a+ )alta aprender al'o de l'ica para entender esto, pero esa )rase es verdadera de

manera vaca o trivial. &i#nsalo de esta manera no podemos encontrar elementos

en el conjunto aco que no est"n en !, as que todos los elementos del conjunto vaco

estn en A.

As que la respuesta a la pre'unta que hicimos es un sonoro s.

El conjunto vaco es subconjunto de todos los conjuntos, includo #l mismo.

Cardinal

Bodo conjunto tiene una propiedad asociada llamada cardinal. Es simplemente el

tamao del conjunto.


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2e la misma manera que ha+ conjuntos )initos e in)initos, estos tienen cardinal )inito e

in)inito. &ara conjuntos )initos, lo representamos con un nmero, el nmero de

elementos. &or ejemplo, 4;, 7, :, 69 tiene cardinal 6. -obre conjuntos in)initos, slo

podemos decir que tienen cardinal in)inito. Aunque parezca raro, ha+ in)initos ms

'randes que otros, pero este es un tema avanzado en teora de conjuntos.

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