8/12/2019 Actividad 16-Unidad 4

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Instituto Universitario Aeronutico

Facultad Ciencias de la AdministracinINGENIERA DE SISTEMASMatemtica I programa 2010

Tutora: A. Olmos

Alumna: Gallo, Liliana AActividad 16

Unidad 4

Ejercicio 4(Este ejercicio se toma de la Gua de la materia Seales y Sistemas, pgina 164y en el marco de resolver ecuaciones diferenciales). Sea T es una transformacinlineal dada por

3 3:

0 6 5

1 0 2

3 2 4

T

X TX

x x

y y

z z

a) Determinelos autovectores de la transformacin. Fundamente su respuesta.

1 paso: Calculo de los autovalores

k

k

k

k

423

21

56

det

100

010

001

423

201

560

det

(1)

Calculo del determinante: Det(A-K.I)= 0

Como Det(A-K.I) = (-k+2). (k-1).(k-1) entonces (-k+2).(k-1).(k-1) = 0

Donde k=1 y k=2 son los autovalores de AK=1 con dimensin: 2 y k=2 con dimensin 1

2 Paso: calculo de los autovalores

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Si K= 1

Resolver la igualdad matricial: AX= k. X

Resolvemos la matriz que resulta de remplazar k=1 en (1) .

z

y

x

z

y

x

.1

423

201

560

Obtenemos el sistema :

zzyx

yzx

xzy

423

2

56

0423

02056

zzyx

zyxzyx

Resolviendo el sistema:

0323

02

056

zyx

zyx

zyx

Resultado:

x + (1.4)z = 0y + (-0.6)z = 0

otarbitraritztytxzyxVk ,,6,0,4,1/,,1

RtVK ,

1

6,0

4,1

1

Para el autovalor k=2

z

y

x

z

y

x

.2

423

201

560

Obtenemos el sistema:

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zzyx

yzx

xzy

2423

22

256

Resolvemos el sistema:

0223

022

0562

zyx

zyx

zyx

Resultado:

x + z = 0

y + (-0.5)z = 0

otarbitrariztytxzyxVK ,5.0,/,,2

RtVK ,

1

5,01

2

b) Determinesi la transformacin es invertible. Fundamente su respuesta.Calculo del determinante de T

Det(T) =

423

201

560

= 2 es distinto de 0, por lo tanto es invertible.

Resultado:

T-1

=

-2 -17 6

1 7.5 -2.5

1 9 -3

c) Analicesi existen las matrices Py Dque hacen verdadera la igualdad 1A PDP .

La matriz D, esta formada por los autovalores K=1 (doble) y k=2 ( simple).

200

010

001

D

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Se observa que al calcular los autovectores la dimensin de K=1 es igual 1 a 2 por lo que

en este caso la matriz no es diagonalizable, ya que se trata de un autovalor doble y debera

ser 2 esta dimensin.

Adems la matriz P contara con columnas repetidas por lo cual el determinante ser igual acero, por lo tanto no se podr calcular la inversa de P. Entonces no son linealmenteindependientes.

Por lo que no se puede determinar la igualdad 1A PDP

423

201

560

A

Se utilizo para calcular los determinantes y sistemas de ecuaciones, los siguientes enlaces:

http://es.ncalculators.com/matrix/matrix-determinant-calculadora.htm

http://es.onlinemschool.com/math/assistance/equation/kramer/

http://es.ncalculators.com/matrix/matrix-determinant-calculadora.htmhttp://es.ncalculators.com/matrix/matrix-determinant-calculadora.htmhttp://es.onlinemschool.com/math/assistance/equation/kramer/http://es.onlinemschool.com/math/assistance/equation/kramer/http://es.onlinemschool.com/math/assistance/equation/kramer/http://es.ncalculators.com/matrix/matrix-determinant-calculadora.htm