ActivaDos Matemática 1

MATEMÁTICAEquivalente a 7.º

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Directora editorialGraciela Valle

Gerente editorialDaniel Arroyo

Jefe del área de MatemáticaGabriel H. Lagoa

EditorasYanina Sousa Belén Boscaroli

AutoresRoxana AbálsamoAdriana BerioCintia KotowskiLourdes LibertoSilvana MastucciGabriela PrandiniNora QuirósSusana VázquezFoto Activados: Laura Pezzatti

Corrector de estiloGabriel Valeiras

Coordinadora del área de Marcas y derechosAmorina Scalercio

Gerente de Diseño y Producción EditorialCarlos Rodríguez

Jefe del departamento de Arte y DiseñoLucas Frontera Schällibaum

Coordinadora de DiseñoNatalia Udrisard

Diseñadora de maquetaPatricia Cabezas

DiagramaciónPablo Alarcón y Alberto Scotti para Cerúleo

IlustradoresWally GómezViñetas de humor: Claudio Kappel

FotografíasArchivo de imágenes de Grupo MacmillanLatinstockThinkstockWikimedia commons

Matemática 1. Fotoactivados: versión para el docente / Roxana Abálsamo ... [et.al.]. - 1a ed. - San Isidro: Puerto de Palos, 2012.

224 p.: il.; 28 x 20 cm - (Activados)

ISBN 978-987-547-530-4

1. Matematica. 2. Guía Docente. I. Abálsamo, Roxana CDD 371.1

© Editorial Puerto de Palos S.A., 2012.Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan.Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina.Internet: www.puertodepalos.com.arQueda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723.Impreso en Argentina.Printed in Argentina.ISBN 978-987-547-530-4

La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto.

No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor.Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.

Primera edición. Esta obra se terminó de imprimir en noviembre de 2012 en los talleres de FP Compañía Impresora, Beruti 1560, Florida, provincia de Buenos Aires, Argentina.

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matemáticaEs una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de

635 actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas.En formato binarizado, la sección Foto Activados conecta la matemática con la

vida cotidiana a través de la fotografía.

Foco y Mira son los personajes de esta serie. Les gusta mucho sacar fotos, principalmente de todo aquello que los hace recordar algún tema de matemática. Así, le encuentran sentido a todas las cosas que aprenden día a día en la escuela.

Apertura: cada capítulo comienza con una actividad ilustrada relacionada con la foto que aparece en la sección Foto Activados.

En la situación inicial de aprendizaje se introduce el tema del capítulo a través de una estrategia de resolución de problemas.

En el cuadro de contenidos aparecen los temas numerados para su fácil identificación.

InfoActiva: brinda definiciones, clasificaciones, procedimientos básicos y ejemplos de cada contenido que facilitan la comprensión.

Conector: invita a repasar conceptos explicados en páginas anteriores.

Test de comprensión: incluye preguntas básicas que permiten evaluar la comprensión de la teoría y revisar errores comunes.

MiraFoco

LOS capítuLOS incLuyen LaS SiguienteS SecciOneS y pLaquetaS:


Actividades: para cada tema se proponen distintas actividades que están organizadas de manera secuencial (las actividades de cada capítulo llevan una numeración independiente a la de los otros).

menteACTIVA: propone situaciones problemáticas con un mayor nivel de complejidad.

Integración: incluye más actividades para resolver en la carpeta.

Autoevaluación: propone más actividades para que cada alumno pueda evaluar los conocimientos adquiridos durante el capítulo.

Trabajos prácticos: incluyen más actividades para practicar los temas del capítulo.

Foto activados: en esta sección, Laura Pezzatti, especialista en el área de la matemática, ofrece una serie de actividades que conectan la matemática con la vida cotidiana a través de la fotografía.

Foco y Mira presentan las fotos que obtuvieron para que podamos advertir cuánta matemática hay a nuestro alrededor.

foto


Capítulo 1: NúMeros Naturales .............. 8 1. Sistema de numeración decimal. ......... 9 2. Multiplicación y división. Propiedad distributiva. ........................ 11 3. Potenciación y radicación. ................. 13 4. Operaciones combinadas. .................. 15 Integración .......................................... 19 5. Divisibilidad y factorización. .............. 21 6. Múltiplo común menor y divisor común mayor. ..................... 23 7. Lenguaje simbólico. Ecuaciones. ........ 25 Integración .......................................... 29 Autoevaluación ................................ 31

Capítulo 2: FraccioNes y expresioNes deciMales ......................... 32 8. Orden y representación. ..................... 33 9. Fracciones equivalentes. .................... 35 10. Operaciones con números racionales. .......................................... 37 11. Potenciación y radicación de fracciones. ..................................... 41 12. Operaciones combinadas con fracciones. ................................... 43 Integración .......................................... 47 13. Fracciones y expresiones decimales. .... 49 14. Operaciones con expresiones decimales. Porcentaje. ....................... 51 15. Operaciones combinadas. .................. 55 Integración .......................................... 57 Autoevaluación ................................ 59

Capítulo 3: FuNcioNes ............................. 60 16. Gráficos y tablas. ................................ 61 17. Funciones. ........................................... 65 18. Función de proporcionalidad directa. ... 67 19. Función de proporcionalidad inversa. ... 69 Integración .......................................... 71 Autoevaluación ................................ 73

Capítulo 4: cuerpos ................................. 74 20. Clasificación de los cuerpos. .............. 75 21. Poliedros regulares. ............................ 77 22. Desarrollo plano de cuerpos. ............. 79 23. Punto, recta y plano. ......................... 83 Integración .......................................... 85 Autoevaluación ................................ 87

Capítulo 5: ÁNgulos ................................ 88 24. Sistema sexagesimal. Operaciones. ...... 89 25. Ángulos complementarios y suplementarios. ............................... 91 26. Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice. ..................................... 93 27. Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo. ................... 95 Integración .......................................... 97 Autoevaluación ................................ 99

Capítulo 6: Figuras plaNas .................. 100 28. Triángulos. Elementos y propiedades. ................................... 101 29. Construcción de triángulos. ............. 103 30. Cuadriláteros. Elementos y propiedades. .................................. 107 31. Construcción de cuadriláteros. ......... 109 Integración ......................................... 113 32. Círculo y circunferencia. Elementos y propiedades. ................................... 115 33. Construcción de circunferencias. ....... 117 34. Polígonos. .......................................... 119 35. Construcción de polígonos regulares. ............................................ 121 Integración ........................................ 125 Autoevaluación .............................. 127

Índice general


Capítulo 7: períMetro, Área y voluMeN ................................................ 128 36. Perímetro y área de figuras planas. .................................. 129 37. Área lateral y total de prismas, pirámides y cilindros. ....................... 133 38. Unidades de capacidad y unidades de volumen. ...................... 137 39. Volumen del prisma, de la pirámide, del cilindro y del cono. .................... 139 Integración ........................................ 143 Autoevaluación .............................. 145

Capítulo 8: probabilidad y estadística ............................................ 146 40. Variables, población y muestra ........ 147 41. Recolección y organización de datos. Tablas. .............................. 149 42. Frecuencias absolutas y relativas. ....... 151 43. Gráficos. ............................................ 153 Integración ........................................ 157 44. Promedio, mediana y moda. ............ 159 45. Experimentos aleatorios. Probabilidad simple. ......................... 161 46. Cálculo combinatorio. ....................... 163 Integración ........................................ 165 Autoevaluación .............................. 167

Capítulo 9: NúMeros eNteros ............. 168 47. Números negativos. Orden y representación. ................... 169 48. Adición y sustracción. ....................... 171 49. Multiplicación y división. ................. 173 50. Operaciones combinadas. ................ 175 Integración ........................................ 177 Autoevaluación .............................. 179

Trabajos prácticos .................................... 180 Trabajo práctico 1 .............................. 181 Trabajo práctico 2 ............................ 183 Trabajo práctico 3 ............................ 185 Trabajo práctico 4 ............................ 187 Trabajo práctico 5 ............................ 189 Trabajo práctico 6 ............................. 191 Trabajo práctico 7 ............................ 193 Trabajo práctico 8 ............................ 195 Trabajo práctico 9 ............................ 197

Control de resultados ............................... 199

foto


8

NÚMEROS NATURALESContenidos1. Sistema de numeración

decimal.

2. Multiplicación y división.

Propiedad distributiva.

3. Potenciación y radicación.

4. Operaciones combinadas.

5. Divisibilidad y factorización.

6. Múltiplo común menor y

divisor común mayor.

7. Lenguaje simbólico.

Ecuaciones.

1

Situación inicial de aprendizaje1. Observen la imagen y resuelvan.

a. Si todos van a ir al Circo Mágico, ¿cuánto dinero deberán pagar en total de entradas? Escriban un cálculo para encontrar el resultado.b. Si solo van a ir algunas personas, inventen situaciones que se respondan con cada uno de los siguientes cálculos. Luego, respóndanlas.

• 2 . 13 + 2 . 30 = • 3 . 13 + 2 . 30 + 4 . 20 =c. Comparen las situaciones que inventaron con las de sus compañeros.

capítulo

a. 3 . $13 + 2 . $30 + 4 . $20 = $179 Deberán pagar $179. b. Solución a cargo del alumno.

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9

3 4 5 7 86 9 10

Sistema de numeración decimal

Nuestro sistema de numeración es:• decimal, porque utiliza diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.• posicional, porque el valor de cada cifra depende de la posición que ocupa en el número.

billón mil de millón millón mil

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

cent

ena

cent

ena

cent

ena

cent

ena

dece

na

dece

na

dece

na

dece

na

unid

ad

unid

ad

unid

ad

unid

ad

unid

ad

Los números naturales se pueden descomponer de distintas formas. Por ejemplo:35 042 = 30 000 + 5 000 + 40 + 235 042 = 3 . 10 000 + 5 . 1 000 + 4 . 10 + 2 . 135 042 = 3 . 104 + 5 . 103 + 4 . 101 + 2 . 100

Se lee: treinta y cinco mil cuarenta y dos.

20 040 010 000 = 20 000 000 000 + 40 000 000 + 10 00020 040 010 000 = 2 . 10 000 000 000 + 4 . 10 000 000 + 1 . 10 00020 040 010 000 = 2 . 1010 + 4 . 107 + 1 . 104

Se lee: veinte mil cuarenta millones diez mil.

Todos los números se pueden escribir como una suma de productos en los cuales uno de los factores es una potencia de base 10.

Las unidades de un número se pueden expresar como el producto entre este y una potencia de diez de exponente cero (tengan en cuenta que todo número elevado a la cero es igual a uno).

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Cuál de las descomposiciones del número 3 085 es correcta?

3 . 102 + 8 . 101 + 5 . 100 3 . 103 + 0 . 102 + 8 . 101 + 5 . 100

b. En la descomposición del número 38 548 194, ¿el 5 se multiplica por 105 o por 106?c. ¿Es verdad que 1 000 000 000 es igual a 1 . 109?d. ¿Es cierto que 10 es uno de los símbolos del sistema de numeración decimal?

9

1 2

Nombre: Curso: Fecha: / /

test de comprensión

infoactiva

a. La segunda. b. 105. c. Sí. d. No.

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10

1. Unan con flechas cada número con su descomposición.a. 4 048 080 380 • 4 . 108 + 4 . 107 + 8 . 106 + 8 . 105 + 8 . 103 + 4 . 100

b. 4 480 080 840 • 4 . 108 + 8 . 107 + 3 . 105 + 8 . 104 + 8 . 103 + 8 . 102

c. 480 388 800 • 4 . 109 + 4 . 107 + 8 . 106 + 8 . 104 + 3 . 102 + 8 . 101

d. 448 808 004 • 4 . 109 + 4 . 108 + 8 . 107 + 8 . 104 + 8 . 102 + 4 . 101

2. Completen para que se verifique la igualdad.

a. 6 . 107 + . 10 + 3 . 102 + 2 . 100 = 60 050 302

b. 1 . 109 + 1 . 106 + 5 . 105 + . 10 + 1 . 101 = 1 001 501 010

c. 9 . 1012 + 9 . 107 + . 10 + 9 . 103 = 9 000 090 019 000

d. 8 . 1014 + . 10 + 8 . 106 + 3 . 105 + 5 . 100 = 800 000 908 300 005

3. Escriban la descomposición en potencias de diez de los siguientes números.

a. 4 040 404 =

b. 78 615 615 =

c. 142 208 056 =

4. Marquen con una X las expresiones que correspondan al número 360 306.

a. Trescientos seis mil trescientos seis.

b. 300 000 + 6 000 + 300 + 6

c. 3 . 107 + 6 . 105 + 3 . 103 + 6 . 101

d. Trescientos sesenta mil trescientos seis.

e. Tres centenas de mil, seis decenas de mil, tres centenas y seis unidades.

f. 3 . 106 + 6 . 105 + 3 . 103 + 6 . 101

g. 3 . 105 + 6 . 104 + 3 . 102 + 6 . 100

h. Trescientos millones sesenta mil trescientos seis.

i. 300 000 + 60 000 + 300 + 6

5. Rodeen con color el número que cumple con las condiciones dadas.Es mayor que doscientos mil y menor que doscientos diez mil. El valor de dos de sus cifras equivale a 5 . 10 3 y 3 . 10 2 . La cifra de las unidades es el doble de tres.

205 356 215 356 206 536 205 303

1 Sistema de numeración decimalACTIVIDADES

10

5

1

1

9

4

3

4

8

1 . 108 + 4 . 107 + 2 . 106 + 2 . 105 + 8 . 103 + 5 . 101 + 6 . 100

7 . 107 + 8 . 106 + 6 . 105 + 1 . 104 + 5 . 103 + 6 . 102 + 1 . 101 + 5 . 100

4 . 106 + 4 . 104 + 4 . 102 + 4 . 100

X

X

X

X

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11

1 4 5 6 8 97 10 11

Multiplicación y división. Propiedad distributiva


11

2 3

Los números que intervienen en una multiplicación y en una división tienen nombres especiales.

Multiplicación División

a . b = c D d r c /

D = d . c + r

producto dividendo divisor

factores resto cociente

Propiedades de la multiplicación

Asociativa: si se cambia el orden de los paréntesis, el resultado no cambia.

(5 . 12) . 4 = 5 . (12 . 4)

Conmutativa: el orden de los factores no cambia el resultado.

6 . 8 = 8 . 6

Disociativa: un factor se puede descomponer en otros factores.

7 . 24 = 7 . (2 . 12)

Elemento neutro: el número 1 como factor no cambia el resultado.

15 . 1 = 1 . 15 = 15

Propiedad distributiva de la multiplicación

3 . (4 + 5) = 3 . 4 + 3 . 5 (9 – 3) . 2 = 9 . 2 – 3 . 2

Propiedad distributiva de la división

(12 + 4) : 2 = 12 : 2 + 4 : 2 (15 – 9) : 3 = 15 : 3 – 9 : 3

En la división, solo se puede distribuir el divisor.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. Si se multiplica un número por uno, ¿qué número se obtiene?b. ¿A qué es igual 532 . 70? ¿Cómo se puede resolver aplicando propiedades?c. Los cálculos (3 + 6) . 5 y 3 + 6 . 5, ¿dan el mismo resultado?d. ¿Cuál es el resultado de 0 : 5? ¿Y de 5 : 0?e. Los cálculos (15 + 20) : 5 y 5 : (15 + 20), ¿dan el mismo resultado?f. Para obtener el resultado de 120 : (10 + 2), ¿se puede aplicar la propiedad distributiva?

infoactiva


a. El mismo número. b. 37 240. Disociativa y asociativa. c. No. d. 0. No se puede resolver. e. No. f. No.

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6. Expresen las siguientes sumas como multiplicación, si es posible, y resuelvan.

a. 3 + 3 + 3 + 3 = = d. 3 + 4 = =

b. 2 + 2 + 2 = = e. 5 + 4 + 21 = =

c. 4 + 4 = = f. 9 + 9 + 9 = =

7. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), según corresponda.

a. 1 . 3 = 1 c. 0 . 0 = 0 e. 0 : 10 = 0

b. 3 . 0 = 3 d. 10 : 10 = 0 f. 10 : 0 = 0

8. Resuelvan las siguientes divisiones.

a. 45 : 3 = d. 108 : 12 =

b. 78 : 6 = e. 248 : 8 =

c. 140 : 10 = f. 1 260 : 20 =

9. Completen con = o ≠, según corresponda. Expliquen la respuesta.

a. 3 + (2 + 4 + 1) 3 . 2 + 3 . 4 + 1 d. (20 + 40) : 5 20 + 40 : 5

b. (20 + 40) . 5 20 . 5 + 40 . 5 e. 120 : (20 + 40) 120 : 20 + 120 : 40

c. (6 + 12) : 6 6 : 6 + 12 : 6 f. (165 – 90) : 15 165 : 15 – 90 : 15

10. Resuelvan de dos maneras diferentes, cuando sea posible.

Sin aplicar la propiedad distributiva Aplicando la propiedad distributiva

(96 + 60 + 12) : 6

7 . (20 – 6)

150 : (20 + 10)

(25 – 13 + 18) . 4

(25 + 15) : 5

11 . (13 + 5)

2 Multiplicación y división. Propiedad distributivaACTIVIDADES

12

≠ ≠

≠=

= =

F

6

8

12 7

30

27

3 . 2

2 . 4

4 . 3

15 9

63

13 31

14

No.

No.

3 . 9

F F F

V V

= 168 : 6= 28

= 96 : 6 + 60 : 6 + 12 : 6= 16 + 10 + 2= 28

= 7 . 14= 98

= 7 . 20 – 7 . 6= 140 – 42= 98

= 150 : 30= 5

No se puede aplicar la propiedad distributiva.

= 30 . 4= 120

= 25 . 4 – 13 . 4 + 18 . 4= 100 – 52 + 72= 120

= 40 : 5= 8

= 11 . 18= 198

= 25 : 5 + 15 : 5= 5 + 3= 8

= 11 . 13 + 11 . 5= 143 + 55= 198

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5 6 7

Potenciación y radicación


13

2 3 4 98 11 1210

PotenciaciónLa potenciación es una operación que permite escribir en forma abreviada una multiplicación de

factores iguales.

4 2 = 4 . 4 = 16 “cuatro elevado al cuadrado” 4 3 = 4 . 4 . 4 = 64 “cuatro elevado al cubo”

Propiedades de la potenciación Ejemplo

• Para multiplicar dos potencias de igual base, se escribe la misma base y se suman los exponentes.

32 . 33 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3= 3 2+3 = 35

• Para dividir dos potencias de igual base, se escribe la misma base y se restan los exponentes.

25 : 22 = (2 . 2 . 2 . 2 . 2) : (2 . 2)

= 25–2 = 23

• Para calcular la potencia de otra potencia, se escribe la misma base y se multiplican los exponentes.

(52) 3 = (5 . 5) 3 = (5 . 5) . (5 . 5) . (5 . 5)= 52 . 3 = 56

• La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división.

(4 . 3)2 = 42 . 32

(12 : 4)2 = 122 : 42

RadicaciónLa radicación es la operación inversa a la potenciación.

√ ___ 64 = 8, porque 82 = 64 3 √

___ 27 = 3, porque 33 = 27

Se lee “la raíz cuadrada de 64 es 8”. Se lee “la raíz cúbica de 27 es 3”.

Propiedades de la radicación Ejemplo

• La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división.

√ ______ 9 . 16 = √

__ 9 . √

____ 16

√ ________ 64 : 16 = √

____ 64 : √

___ 16

• Para multiplicar o dividir raíces de igual índice, se escribe una raíz con el mismo índice y con el radicando igual a la multiplicación o división de los radicandos dados, según corresponda.

√ __ 8 . √

__ 2 = √

_____ 8 . 2

3 √ _____ 243 : 3 √

__ 9 = 3 √

________ 243 : 9

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Cuáles son los cuadrados de los primeros diez números? ¿Qué raíces pueden calcular conociéndolos?b. El procedimiento 30 . 3 . 32 = 33, ¿es correcto?c. Para resolver

4 √ ___ 16 , ¿se debe calcular 16 : 4?

infoactiva


a. 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100. b. Sí. c. No.

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3 Potenciación y radicaciónACTIVIDADES

14

11. Escriban el desarrollo de cada potencia y resuelvan.

a. 72 = e. 105 =

b. 35 = f. 28 =

c. 14 = g. 54 =

d. 41 = h. 63 =

12. Escriban cómo se lee cada potencia.

a. 25:

b. 32:

c. 23:

13. Escriban como potencia los siguientes productos y resuelvan.

a. = 5 . 5 . 5 = d. = 7 . 7 . 7 =

b. = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = e. = 6 . 6 . 6 . 6 =

c. = 3 . 3 = f. = 9 . 9 . 9 =

14. Completen con V (Verdadero) o F (Falso).

a. (5 + 3)2 = 52 + 32

d. (8 : 4)2 = 82 : 42

b. (5 . 3)2 = 52 . 32

e. 23 = 32

c. (8 – 4)2 = 82 – 42

f. ( 2 7 ) 2 = 27 . 22

15. Completen con los números que faltan.

a. √ __ 9 = , porque

2

= 9 f. 3 √ ___________

= 10, porque 10 =

b. √ ___ 25 = , porque

2

= 25 g. √ ___________

= 8, porque 8 =

c. 3 √ __ 8 = , porque

3

= 8 h. 4 √ ___________

= 2, porque 2 =

d. 3 √ __ 1 = , porque

3

= 1 i. √ ___________

= 11, porque 11 =

e. √ ____ 100 = , porque

2

= 100 j. 4 √ ___________

= 5, porque 5 =

16. Resuelvan aplicando propiedades, cuando sea posible.

a. 23 . 23 . 2 . 20 = f. √ __ 2 . √

___ 18 =

b. 1012 : 1010 . 10 = g. √ ___ 75 : √

__ 3 =

c. 843 : 810 . 825 : 857 = h. 3 √ __ 5 . 3 √

___ 25 =

d. (32)2 . 32 = i. √ _________ 81 . 16 : 4 =

e. (10 . 2 : 5)2 = j. 3 √ ____________

64 . 27 . 125 =

7 . 7 = 49 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 100 000

3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 256

4 6 . 6 . 6 = 216

dos elevado a la quinta potencia.

tres elevado al cuadrado.

dos elevado al cubo.

1 . 1 . 1 . 1 = 1 5 . 5 . 5 . 5 = 625

5 7

2 6

3 9

125 343

64 1 296

9 729

3 3

6 4

2 3

F V

V F

F F

3 3

5 5

22

1 1

1010

1 0001 000

6464

1616

625625

121121

3

2

4

2

4

23+3+1+0 = 27 = 128 √ ______ 2 . 18 = √

___ 36 = 6

843–10+25–57 = 81 = 8 3 √ ______ 5 . 25 = 3 √

____ 125 = 5

32.2 . 32 = 34+2 = 36 = 729 √ ___ 81 . √

___ 16 : √

__ 4 = 18

102 . 22 : 52 = 16 3 √ ___ 64 . 3 √

___ 27 . 3 √

____ 125 = 60

1012–10+1 = 103 = 1 000 √ ______ 75 : 3 = √

___ 25 = 5

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6 7 8 109 12 1311

Operaciones combinadas


15

3 4 5

Para resolver una operación combinando todas las operaciones, se pueden seguir estos pasos.

1. Se separa en términos.2 . √

____ 36 + 12 : 2 + 52 . 3 – 615 . 68 : 621 = 2. Se resuelven las potencias y raíces

2 . 6 + 12 : 2 + 25 . 3 – 62 = (aplicando las propiedades cuando 2 . 6 + 12 : 2 + 25 . 3 – 36 = sea posible).

12 + 6 + 75 – 36 = 3. Se resuelven las multiplicaciones y 93 – 36 = divisiones.= 57 4. Se resuelven las sumas y restas.

Si hay operaciones en el radicando o como base de una potenciación, se deben resolver antes de calcular la raíz o la potencia.

√ ______________

52 + 12 . 3 + 3 – (15 : 3 – 3) 2 + 144 : 12 = 1. Se separan los términos.

√ _______________

25 + 12 . 3 + 3 – (15 : 3 – 3) 2 + 144 : 12 = 2. Se resuelven las operaciones que hay √ ____________

25 + 36 + 3 – (5 – 3) 2 + 144 : 12 = en el radicando y en la base de la √ ____ 64 – 22 + 12 = potencia respetando la jerarquía.

8 – 4 + 12 = 3. Se resuelven las potencias y raíces.= 16 4. Se resuelven las sumas y restas.

1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En el cálculo 10 . (5 + 4) : 3, ¿se separó en términos correctamente?b. ¿En qué orden se deben resolver las operaciones que encierran los paréntesis?c. ¿Cómo se suprimen los paréntesis en el cálculo (3 + 8) . 2 + 6 . (5 + 4), sin resolver las operaciones que ellos encierran?d. ¿Es cierto que √

_____________ 2 . 12 + 3 . 22 = 36?

En la página 13 podrán repasar las propiedades de la potenciación y la radicación.

infoactiva


a. No. b. Solución a cargo del alumno. c. Aplicando la propiedad distributiva. d. No. Es igual a 6.

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4 Operaciones combinadasACTIVIDADES

16

17. Resuelvan.a. 2 . √

___ 81 – 42 = e. 25 . √

____ 100 + 3 . 42 =

b. (50 . 2 – 62 : 12)0 = f. √ __ 52 + 50 : 16 + √

___ 25 . 9 – 33 =

c. ( 3 √ __ 1 + 13)3 = g. (0 . 3 √

__ 1 + 3 . 5 . 14 – 3 √

___ 27 ) : √

____ 144 =

d. √ ____ 100 + √

___ 25 : (22 + 50) – 14 = h. ( 25 + √

___ 36 ) . √

__________ 22 + 72 : 6 =

18. Escriban el cálculo y resuélvanlo.a. El doble de la raíz cuadrada de veinticinco.

b. La raíz cuadrada del doble de cincuenta.

c. La raíz cúbica del triple de setenta y dos.

d. El cuadrado del producto entre diez y el doble de cinco.

e. El cuadrado de la resta entre el cubo de cinco y cien.

f. El doble de la suma entre dieciocho y el cubo de tres, menos veintitrés.

2 . √ ___ 25 = 10

√ ______ 2 . 50 = 10

3 √ ______ 3 . 72 = 6

(10 . 2 . 5)2 = 10 000

(53 – 100)2 = 625

2 . (18 + 33) – 23 = 67

2

1

298

24

1

152

8

10

P12-3083-C01.indd 16 10/31/12 4:53 PM


17


19. Resuelvan aplicando las propiedades de la potenciación y la radicación, cuando sea posible.

a. 317 : 315 + 4 √ ___ 16 = h. 23 . 2 . 23 + 5 . 3 √

__________ (2 + 7) . 3 =

b. 52 . 5 . 5 + √ __ 8 : √

__ 2 = i. 42 : 7 + (23)2 . ( √

___ 121 – 3 √

__ 6 . 3 √

___ 36 ) =

c. 100 : (102 – 52 . 3) – 3 √ _________ 1 000 : 103 = j. 3 √

__________ 10 000 : 10 + √

___ 10 . √

_____ 1 000 =

d. (47)12 . 43 : (442)2 – 32 : 16 = k. (53)9 . (54)8 : 526 : (55)6 + 83 : 43 =

e. 29 . 27 . 2 : (28 . 28) – 0 : 3 √ _____ 1 000 = l.

4 √ ___________

103 + 74 . 4 + 154 : (3 . 5)2 – 480 : 60 =

f. ( √ ___ 81 + √

__ 9 ) : 22 + 517 : 516 = m. √

____ 441 : √

___ 49 . ( 5 – 3 √

__ 8 + 22 ) =

g. √ __ 3 . √

___ 27 + (10 + 3)2 : √

____ 169 = n. (39)2 : (315 . 3) + √

_______________ 10 . (2 + 3) – 30 =

11

627

143

326

110

133

223

21

16

3

62

2

8

22

P12-3083-C01.indd 17 10/31/12 4:53 PM


20. Completen con <, > o =, según corresponda.

a. √ ______ 4 . 36 4 . √

___ 36 e. 112 + 122 – 63 11

2 + 63 – 122

b. 26 . 16 82 . 15 . 3 √

__ 1 f. √

____ 100 . 102 + 1 1 + 102 . √

____ 100

c. [29 . (27)2] (220 . 23) g. √ ___ 20 . √

__ 5

( 3 √ __ 3 . 3 √

__ 9 ) 2

d. 6 √ ___ 64 . 27 6 √

___ 64 . 72 h.

3 √ __ 82 + 22 + √

___ 16 4

0 + 0 : 52 + 4 √ ___ 81

21. Marquen con una X el cálculo que corresponde a cada situación y resuelvan.a. ¿Cuál es el resultado de la suma entre el cubo de la raíz cuadrada de veinticinco y la raíz cúbica del cuadrado de ocho?

253 + √ __ 82 ( √

___ 25 )3 +

3 √ __ 82 3 . √

___ 25 + 3 √

_____ 2 . 8

b. ¿A qué es igual el doble de la diferencia entre el cuadrado de cinco y la raíz cuadrada del cubo de cuatro?

2 . 52 – √ __ 43 2 . (5 . 2 –

4 √ __ 43 ) 2 . (52 – √

__ 43 )

22. Completen.

a. √ ___ 16 + √

___________

= 4 + 5 =

b. √ _______________

50 – = √ ___________

= 7

c. √ __ 9 + √

___________

= 3 + = 12

d. 3 √ ___________

+ 102 = + = 109

e. 3

+ 3 √ _____ 1 000 = + = 74

f. 2

+ 120 : = + 20 = 69

g. √ ________ 144 . 100 + = √

___________

. √ ____ 100 +

= . 10 + = 168

h. – √ _______ 64 : 16 = – √

___ 64 : √

___________

= – : = 13

18

Para hacer un trabajo de educación artística, Luis y Juan deben cortar figuras de cartón. Luis necesita doce cuadrados de 25 cm de lado y Juan, diez rectángulos de 15 cm por 42 cm.a. ¿Cuánto mide la superficie de cada cuadrado? ¿Y la de cada rectángulo?b. ¿Quién usará más cartón para cortar todas las figuras?

menteACTIVA

<

=

=

> >

>

X

X

=

<

25

1

81

729

4

7

48 144 48

4812

15 16

15 8 4

15

496

64 10

9 100

9

49

9

a. Luis: 625 cm2. Juan: 630 cm2. b. Luis.

P12-3083-C01.indd 18 10/31/12 4:53 PM

Integracióncapítulo

11.2.3.4COnTEnIDOS


23. Escriban los números que corresponden a las siguientes expresiones. Luego, ordénenlos de mayor a menor.

a. 4 C de mil, 8 U de mil y 4 u b. 4 . 106 + 8 . 103 + 4 c. 5 unidades de millón, 5 unidades.d. 500 000 + 6 000 + 5 e. 4 . 104 + 8 . 103 + 5 . 100 f. 400 000 + 80 000 + 80 + 6

24. Escriban el mayor y el menor número posi-ble usando todas las cifras de cada uno de los siguientes números.

número Mayor Menor

28 719

162 357

84 165

98 716

25. Marquen con una X el número que corres-ponde a la siguiente expresión.

4 . 108 + 4 . 105 + 3 . 104 + 9 . 103 + 1 . 102

a. 400 439 100

b. 404 309 100

c. 400 403 910

26. Descompongan cada número de tres for-mas diferentes.

a. 500 641 d. 948 999b. 1 206 181 e. 35 112 048 910c. 400 004 f. 6 200 200 200 200

27. Respondan.a. En una división el cociente es 20, el divi-sor es el doble de 12 y el resto es la cuarta parte del cociente. ¿Cuál es el dividendo?b. Al multiplicar dos números, se obtiene 9 526. Si uno de los factores es 11, ¿cuál es el otro factor?

28. Completen las operaciones teniendo en cuenta el siguiente cálculo.

30 . 25 = 750

a. 60 . 25 =

b. 30 . 5 = 750

c. 3 . 25 =

d. 30 . 250 =

29. Resuelvan las multiplicaciones y divisiones.a. 16 . 3 . 5 =b. 47 . 2 . 100 =c. 32 . 6 . 10 : 30 =d. 15 . 4 : 6 . 5 =e. 104 . 15 : 5 . 24 =f. 450 : 90 . 20 . 13 =g. 8 100 : 9 : 3 . 5 =h. 12 . 21 : 14 . 8 : 24 =

30. Completen con = o ≠, según corresponda. Expliquen la respuesta.

a. 3 . 4 4 + 4 + 4

b. (3 + 8) . 2 3 . 2 + 8 . 2

c. 10 : (20 + 30) 20 : 10 + 30 : 10

d. (2 + 8) . (8 + 3) 2 + 8 . 8 + 3

e. (20 + 30) : 10 20 : 10 + 30 : 10

f. (3 + 8) . 2 3 + 8 . 2

31. Resuelvan.a. 3 + 4 . 12 – 10 : 2 =b. (3 + 4) . 12 – 10 : 2 =c. 3 + 4 . (12 – 10) : 2 =d. 3 + (4 . 12 – 10) : 2 =

32. Resuelvan aplicando la propiedad distributiva.a. (384 + 336) : 12 =b. 35 . (42 – 18) =c. 27 . (12 + 15 – 21) =d. (105 – 40 + 75) : 5 =

e. (16 + 8 – 10) . 26 =

19

Solución a cargo del alumno.

240

9 400

64

50

7 488

1 300

1 500

46

60

79

840

7

162

22

28

364

6

408 004

4 008 004

48 005

480 086

485

866

5 000 005

506 005

98 721 12 789

7 500

75

1 500

86 541 14 568

765 321 123 567

98 761 16 789

X

2

=

=

=

≠

≠

≠

P12-3083-C01.indd 19 10/31/12 4:53 PM

20

33. Escriban un par de paréntesis para obtener el resultado indicado.

a. 12 + 56 : 8 . 2 + 36 = 74b. 100 : 50 – 5 . 5 + 8 . 6 = 52c. 34 – 16 : 2 + 7 . 2 = 12d. 15 + 3 . 18 – 50 : 2 + 26 = 43

34. Resuelvan.a. 340 . 2 + 120 . 3 – 110 . 2 = b. 100 . 7 – 10 . 5 + 8 . 9 =c. 16 . 4 + 8 : 2 – 4 . 2 =d. 158 + (78 : 2 – 27) =e. 372 + (28 + 36 : 4) – 119 = f. 543 – (25 . 5 + 16 : 2) =

35. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), según corresponda. Expliquen las respuestas.

a. 34 = 12

b. (3 . 2)5 = 35 . 25

c. 32 = 23

d. √ ____ 100 = 50

e. (3 + 2 + 5)2 = 32 + 22 + 52

f. √ __ 9 + √

___ 16 = √

___ 25

g. √ __ 8 . √

__ 2 = √

___ 16

h. 3 √ ___ 16 : 3 √

__ 2 = 3 √

______ 16 : 2

36. Completen.

a. ( 6 – ) . 8 = – 40 = 8

b. (3 + 4) . = 39 + =

c. 2 . ( + ) = 36 + 22 =

d. ( 27 + ) : 9 = + 5 =

e. ( + ) : 2 = + 13 = 39

f. (84 – 28) : = – = 4

37. Escriban el cálculo y resuélvanlo.a. La tercera parte del cubo de seis.b. La raíz cuadrada de la suma entre ocho y cincuenta y seis.c. La raíz cuadrada de treinta y seis, más la quinta parte de doscientos cincuenta.

38. Resuelvan aplicando las propiedades.a. 2318 . (235)4 : (2330 . 237) . 23 =b. 658 : (613)3 : 619 . (62)2 =c. (1015)10 . 10124 : (1010)20 : 1070 =d. 5 √

__ 5 .

5 √ __ 53 .

5 √ __ 54 :

5 √ __ 53 =

e. 6 √ ___ 16 . 6 √

__ 8 : 6 √

__ 2 =

f. √ ___________

81 . 64 : 144 =

39. Rodeen con color el valor que hace cierta la igualdad en cada caso.

a. 28 . 2 . 27 = 2 15 | 1 | 16

b. ( + 5 ) 2

= 36 13 | 1 | 6

c. 32 + = 12 3 | 6 | 2

d. 3 √ ____

. 3 √ ____ 125 = 5 5 | 1 | 25

e. (32)8 : (3 . 3 . 310) = 9 3 | 4 | 2

f. √ __________

100 + = 11 121 | 1 | 21

40. Escriban el cálculo y resuélvanlo.a. La resta entre el cubo del doble de diez y el triple del cuadrado de cuarenta.b. La resta entre el cubo de seis y la mitad de la raíz cuadrada de cuatro.c. El triple del producto entre el cuadrado de dieciséis y la raíz cuadrada de dieciséis.d. La mitad de la mitad del triple del cuadra-do de dieciséis.e. La mitad de la raíz cúbica de la resta entre el cuadrado de diez y el cuadrado de seis.f. La tercera parte de la diferencia entre ochenta y seis y cinco, aumentada en la raíz cuadrada de ciento sesenta y nueve.

41. Resuelvan.a. √

____ 100 . 4 + 53 – 3 . 17 =

b. ( √ ___ 25 + √

__ 9 ) . 4 =

c. 102 . 3 + 92 . 5 =d. 10 . (106 . 109 : 1012) – 103 =e. 3 √

____________ 100 : 10 + 17 + 82 =

f. 25 : (29 : 27 + 16) + 4 . 10 =g. √

___________________ (2 . 8 : √

___ 64 + 50) . 3 =

h. 3 √ _____ 4 + 4 – √

__ 4 + 3 . (27 : 64) =

i. 3 √ ____ 343 + 3 √

____ 512 . 53 – √

___ 49 =

j. 8 . ( √ ____ 900 + √

_____ 1 600 – √

_____ 2 500 ) =

20

5

52 26 26

2614

13

18 11 58

8345

52 91

48

(

(

(

(

)

)

)

)

F

F

F

F

F

V

V

V

820

722

60

170

290

410

64 = 1 296

232 = 529

104 = 10 000

5 √ __ 55 = 5

6 √ ___ 64 = 2

√ ___ 81 . √

___ 64 : √

____ 144 = 6

114

32

705

3

9 000

6

67

1 000

45

160

3 200

192

2

40

a. 72. b. 8. c. 56.

3 072

215

P12-3083-C01.indd 20 10/31/12 4:53 PM

Un número a es divisible por otro b, cuando a : b es exacta, es decir, tiene resto igual a 0.15 es divisible por 3 15 es múltiplo de 3 3 es divisor de 15

Criterios de divisibilidad

Un número es divisible por: Ejemplo• 2, cuando es par. 76; 174• 3, cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. 153; 6 231• 4, cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 4. 12; 300• 5, cuando termina en 0 o en 5. 80; 315 • 6, cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez. 138; 942• 9, cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de nueve. 198; 909• 10, cuando termina en 0. 50; 230

Un número es primo cuando tiene dos divisores: el 1 y el mismo número. Por ejemplo, 5 es primo, ya que tiene como divisores el 1 y el 5.

Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores. Por ejemplo, 12 es compuesto, ya que tiene los siguientes divisores: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

Un número compuesto se puede descomponer de manera única en factores primos. A la descom-posición se la denomina factorización. Para factorear un número, se pueden utilizar los siguientes esquemas:

35

70

5

7270

3571

257 70 = 2 . 5 . 7

Para encontrar todos los divisores de un número, se puede realizar el siguiente procedimiento. 70 = 2 . 5 . 7 1. Se factoriza el número.

2 . 5 = 10 2 . 7 = 14 5 . 7 = 35 2. Se calculan todos los productos posibles de sus factores primos.Divisores de 70: 1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70 3. Todo número es divisible por 1 y por sí mismo.

Divisibilidad y factorización


21

4 7 8 9 11105 6 13 1412

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. Para saber si un número es divisible por 6, ¿alcanza con saber que es divisible por 2?b. ¿Es correcto decir que 1 es un número primo?c. El número 95 356, ¿es múltiplo de 4?

infoactiva


a. No. b. No. c. Sí.

P12-3083-C01.indd 21 10/31/12 4:53 PM

5 Divisibilidad y factorizaciónACTIVIDADES

22

42. Escriban los números que cumplen con la condición indicada.

a. Los múltiplos de 3, mayores que 120 y menores que 141:

b. Los múltiplos de 8, mayores que 200 y menores que 250:

c. Los divisores de 6:

d. Los divisores de 20:

e. Los divisores primos de 60:

43. Escriban un número que cumpla con las condiciones dadas, usando las cifras 4, 5, 7 y 8.

a. Múltiplo de 2, pero no múltiplo de 4:

b. Múltiplo de 4 menor que 7 000:

c. Múltiplo de 11 y par:

d. Divisible por 4 y que la cifra de las unidades sea menor que 8:

e. Divisible por 5 y mayor que 8 000:

44. Marquen una X, según corresponda.

Es divisible por... 1 2 3 4 5 6 8 9 10 25 100

20

264

415

550

1 125

6 500

9 801

48 000

45. Factoreen los siguientes números y exprésenlos como una multiplicación.a. 792 b. 600 c. 1 089 d. 4 410

792 = 600 = 1 089 = 4 410 =

46. Completen con la factorización de los siguientes números. Tengan en cuenta el ejemplo.

a. 280 = . . d. 390 = . . .

b. 165 = . . e. 297 = .

c. 720 = . . f. 3 025 = .

2 7 53 1 1

23 . 32 . 11 23 . 3 . 52 32 . 112 2 . 32 . 5 . 72

123, 126, 129, 132, 135, 138

4 578, 4 758, 5 478, 5 874, 7 458, 7 854, 8 574, 8 754

208, 216, 224, 232, 240, 248

5 784, 5 748, 7 548, 7 584

1, 2, 3, 6

5 478, 5 874, 7 458, 7 854

1, 2, 4, 5, 10, 20

5 784, 7 584

2, 3, 5

8 745, 8 475

X X X X X

X X X X X X

X X

X X X X X

X X X X X

X X X XX X X

X X X

X X X X X X X X X X

2

3 3

2 5

3

5 11

3 11

11

5 13

5

1

1 3

4 2

1

1 1

2 2

1

1 1

1

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Múltiplo común menor y divisor común mayor


23

5 8 9 14 1512 1310 116 7

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. Para calcular el mcm de dos o más números, ¿siempre hay que multiplicar los números?b. Dos números son coprimos si su dcm es 1. ¿Dos números consecutivos siempre son coprimos?c. ¿Cuáles son los factores primos comunes entre 10 y 15? ¿Y los no comunes?

El múltiplo común menor (mcm) entre dos números es el menor de los múltiplos que tienen en común esos números, sin tener en cuenta el 0.

Algunos múltiplos de 4 son: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24…Algunos múltiplos de 6 son: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36…

12 es el menor múltiplo que tienen en común.mcm (4;6) = 12

Para hallar el mcm (12;30) se factorean los números y se eligen los factores para obtener el múltiplo común menor.

12 3 4 2 2 2 1

30 215 3 5 5 1

12 = 3 . 2 . 2 30 12 . 30 = 3 . 2 . 2 . 2 . 3 . 5 30 = 2 . 3 . 5

12

mcm (12;30) = 22 . 3 . 5 = 60 Para calcular el mcm se multiplican los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

El divisor común mayor (dcm) entre dos números es el mayor de los divisores que tienen en común esos números.

Los divisores de 18 son: 1, 2, 3, 6, 9, 18Los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Para hallar el dcm (28;98) se factorean los números y se eligen los factores para obtener el divisor común mayor.

28 214 2 7 7 1

98 249 7 7 7 1

28 = 2 . 2 . 7 2 . 7 es divisor común mayor entre 28 y 98. 98 = 2 . 7 . 7 dcm (28;98) = 2 . 7 = 14 Para calcular el dcm se multiplican los factores comunes con su menor exponente.

6 es el mayor de los divisores que tienen en común.dcm (18;24) = 6

infoactiva


a. No. b. Sí. c. 1 y 5; 2 y 3.

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6 Múltiplo común menor y divisor común mayorACTIVIDADES

24

47. Factoreen los siguientes números. Luego, hallen el mcm y el dcm en cada caso.

a. 108 180 392 108 =

180 =

392 =

mcm (108;180;392) = dcm (108;180;392) =

b. 20 200 2 000 20 =

200 =

2 000 =

mcm (20;200;2 000) = dcm (20;200;2 000) =

c. 60 36 65 60 =

36 =

65 =

mcm (60;36;65) = dcm (60;36;65) =

48. Planteen y resuelvan.a. En un local de iluminación decoraron la vidriera con tres tipos distintos de luces LED azules, blancas y lilas. Las luces azules se encienden cada 20 minutos; las blancas, cada 30 minutos y las lilas, cada 15 minutos. ¿Cada cuántos minutos se encienden simultáneamente los tres tipos de luz?

b. Un grupo de chicos recolectó 300 muñecas, 420 pistolas de agua, 480 pelotas y 600 rompe-cabezas para formar paquetes y regalar en el Día del Niño en un club del barrio. Si en cada paquete colocarán la misma cantidad de cada juguete, ¿cuál es la mayor cantidad de paquetes que podrán armar? ¿Cuántos juguetes de cada tipo tendrá cada paquete?

c. Juan va al club cada tres días, Santiago cada cuatro y Agustín cada seis días. Si fueron los tres juntos el 1 de junio, ¿cuándo volverán a encontrarse? ¿Se encontrarán el 23 de junio? ¿Y el 25?

d. Para festejar el Día del Amigo, Camila compró 12 esmaltes, 6 collares, 18 anillos y 36 carame-los. Si quiere armar bolsas de regalo con la misma cantidad de obsequios de cada tipo, ¿para cuántas amigas le alcanza? ¿Qué deberá colocar en cada bolsa?

122 . 32 . 5 . 13 = 2 340

5 . 13

22 . 32

22 . 3 . 5

22 . 5 = 2024 . 53 = 2 000

24 . 53

23 . 52

22 . 5

22 = 423 . 33 . 5 . 72 = 52 920

23 . 72

22 . 32 . 5

22 . 33

Se encienden cada 60 minutos.

Podrán armar 60 paquetes con 5 muñecas, 7 pistolas, 8 pelotas y 10 rompecabezas cada uno.

El 13 de junio. No. Sí.

Para 6 amigas. Deberá colocar 2 esmaltes, 1 collar, 3 anillos y 6 caramelos.

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Lenguaje simbólico. Ecuaciones


25

6 9 10 11 13127 8 15 1614

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. El siguiente de un número, ¿cómo se expresa en lenguaje simbólico?b. ¿Cómo se traduce x 2 al lenguaje coloquial?c. La ecuación 5x + x + 2x = 56, ¿es equivalente a 7x = 56?

El lenguaje de las palabras, que puede ser oral o escrito, se denomina lenguaje coloquial.La matemática utiliza un lenguaje particular denominado lenguaje simbólico.

Lenguaje coloquial Lenguaje simbólicoEl triple de un número. 3 . xLa cuarta parte de un número. a : 4El anterior de un número. b – 1El doble de un número, disminuido en cuatro. 2 . x – 4

Si entre un número y la letra no se indica la operación, se entiende que hay un signo de multiplicar.

6 . x = 6x

Una ecuación es una igualdad en la que hay, por lo menos, un valor desconocido llamado incógnita.x – 3 = 20

1.° miembro 2.° miembro

Resolver una ecuación significa encontrar el valor o los valores de la incógnita que hacen verda-dera la igualdad. Cada valor de la incógnita es una solución de la ecuación.

Para resolver una ecuación, se deben obtener ecuaciones equivalentes, es decir, con la misma solución, teniendo en cuenta las siguientes propiedades.

• Se suma o resta un mismo número a ambos miembros de la igualdad.• Se multiplica o divide por un mismo número (distinto de cero) a ambos miembros de la igualdad.• Se aplica una potencia o raíz a ambos miembros de la igualdad.

x + 3 = 12 6 . x = 42 x4 = 81 x + 3 – 3 = 12 – 3 6 . x : 6 = 42 : 6 4 √

__ x4 = 4 √

___ 81

x = 9 x = 7 x = 3

x – 8 = 21 x : 5 = 8 3 √ __ x = 5

x – 8 + 8 = 21 + 8 x : 5 . 5 = 8 . 5 3 √ __ x 3 = 53

x = 29 x = 40 x = 125

infoactiva


a. x + 1. b. Un número elevado al cuadrado. c. No, a 8x = 56.

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49. Traduzcan al lenguaje simbólico.

a. El doble de un número.

b. El anterior del doble de un número.

c. El doble del anterior de un número.

d. La mitad de un número.

e. La diferencia entre un número y su anterior.

f. El producto entre el doble de un número y su consecutivo.

50. Unan con flechas cada enunciado con la expresión simbólica correspondiente.a. La tercera parte del cuadrado de un número. • (x : 3)2

b. El cuadrado de la tercera parte de un número. • x2 : 3

c. El producto entre un número y su cubo. • x . x3

d. El cubo del producto entre un número y su cubo. • [x + (x – 1)] : 2

e. La mitad de la suma entre un número y su anterior. • 3 √ _________ x – (x – 1)

f. La raíz cúbica de la resta entre un número y su anterior. • (x . x3)3

51. Escriban un problema para cada una de las siguientes ecuaciones y resuélvanlas.a. 2 . (x – 5) = 36 b. x : 2 + 24 = 2 . 15

52. Encuentren el valor de cada incógnita y verifiquen.a. 8 + m = 52 d. 3 + a : 2 = 19

b. t – 8 = 23 e. y3 = 25 . 2

c. 3 + x . 2 = 19 f. √ __ n = 32 + 50

7 Lenguaje simbólico. EcuacionesACTIVIDADES

26

El doble de la diferencia entre un número y cinco es igual a treinta y seis.

La mitad de un número, aumentada en 24 es igual al doble de quince.

m = 17 a = 32

t = 16 y = 4

x = 8 n = 100

2a

2a – 1

2 . (a – 1)

a : 2

a – (a – 1)

2a . (a + 1)

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27


53. Resuelvan cada ecuación y verifiquen la solución.a. 3 + x = √

_______ 25 – 16 h. 10x + 15 + 4 = 37 + 4x

b. 5x – 2 2 = √ ___ 36 i. 42 + 9x + √

__ 4 = 16 . 5 + 2 + 7x

c. x . (4 + 50) = 53 j. 6x – 6 + 3x = 3x + 6

d. √ __ 9 + x : 3 = 32 k. 3x + 5x – 49 = 2x + x + 11

e. 5 + x : 2 = 20 : 4 l. 9x + 45 – 5x = 16 + 5 . 6 + 3x

f. 6x + 3x + 7 . 3 = 5 + 35 . 2 m. 6x + 343 : 72 – x = (22 + 1) : 5 + 14 + 3x

g. 3x + 50 + x = 25 + 3 √ __ 1 n. 4x + 15 + 6x + 3 √

__ 8 : 2 = √

____ 100 + 8x

x = 0 x = 3

x = 2 x = 32

x = 25 x = 2

x = 87

x = 0

x = 6

x = 8

x = 12

x = 1

x = 4

x = 4

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28


28

El triple de la edad que Sebastián tendrá dentro de cinco años es igual al doble de la edad que tendrá dentro de 23 años. ¿Cuál es la edad actual de Sebastián?

menteACTIVA

54. Resuelvan las siguientes ecuaciones aplicando la propiedad distributiva.a. 4 . (x + 2) = 28 e. 17x – 5 = 5 . (2x + 1) – 3

b. 36 + 59 = (20x + 10) : 2 f. 6 . (3x + 5) = 3 . (20 + x)

c. 3 . (4x + 6) = 198 g. 3 . (x + 2) = 2 . (x + 2) + 2

d. (x + 6) . 9 + 19 = 181 h. 3 . (x – 6) = (2x + 1) . 5 – 8 . 9

55. Resuelvan las siguientes ecuaciones con potenciación y radicación. Verifiquen los resultados.a. x3 + 3 . 14 = 52 . 10 + 8 c. (x – 2)3 + 18 = 530

b. 3 . 100 + 26 + √ __ x = 12 . 28 d. √

_________ 6 . (x + 9) = 2 . 6

x = 5 x = 1

x = 9 x = 2

x = 15 x = 0

x = 12

x = 6

x = 100

Sebastián tiene 31 años.

x = 7

x = 10

x = 15

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29

56. Escriban.a. Todos los divisores de 28.b. Todos los divisores de 45.c. Todos los múltiplos de 15 mayores que 16 y menores que 90.

57. Con las cifras 0, 2, 8 y 5 escriban un número que cumpla con las condiciones dadas.

a. Un número de cuatro cifras distintas que sea múltiplo de 2 y de 5 a la vez. b. Un número de cuatro cifras distintas que sea divisible por 2, pero que no sea divisible por 5.c. Un número de cuatro cifras distintas que sea divisible por 3, pero que no sea divisible por 6.

58. Resuelvan.a. Marcos dividió un número por 15 y obtuvo resto 0.• ¿El número es múltiplo de 15?• ¿El número es múltiplo de 3?• ¿El número es múltiplo de 10?• ¿El número es múltiplo de 5?• ¿El número es múltiplo de 30?b. Florencia dividió un número por 8 y obtu-vo resto 5.• Si quiere convertir el número para que sea divisible por 8, ¿cuánto deberá sumarle?• Si quisiera que el nuevo número fuera múl-tiplo de 80, ¿por qué número debería multi-plicarlo?

59. Factoreen los siguientes números y expré-senlos como multiplicación.

a. 1 400 = d. 2 835 = b. 1 056 = e. 2 548 =c. 2 500 = f. 7 007 =

60. Observen las siguientes potencias de diez y respondan. Expliquen sus respuestas.

1023 1012 1021 103

a. ¿Cuál expresa el dcm entre ellas?b. ¿Cuál expresa el mcm entre ellas?

61. Resuelvan.a. Si se divide un número por 3, por 5 y por 7, el resto es 0; pero si se lo divide por 6, sobra 3. ¿Cuál es el número?b. Si al número de la actividad anterior se lo divide por 2, ¿qué resto se obtiene? ¿Por qué? c. Si se divide un número por 5, por 9 y por 7, el resto es 0; pero si se lo divide por 2, sobra 1. Si se cuadruplica el número, ¿qué número se obtiene?d. ¿Por qué número se debe dividir 1 548 para que el cociente sea 64? ¿Cuál será el resto?

62. Tengan en cuenta la descomposición de los siguientes números y escriban V (Verdadero) o F (Falso), según corresponda. Expliquen la res-puesta.

2 100 = 2 2 . 3 . 5 2 . 7 441 = 3 2 . 7 2 2 200 = 2 3 . 5 2 . 11 440 = 2 3 . 5 . 11

a. 8 es divisor de 2 200.

b. 440 es divisible por 22.

c. 49 es divisor de 441.

d. 25 es divisor de 2 100 y de 2 200.

e. 2 200 es divisible por 55.

f. El dcm entre los cuatro números es 4.

g. El mcm entre los cuatro números es:

23 . 32 . 52 . 72 . 11

h. 440 y 441 son coprimos.

i. 2 200 y 441 son coprimos.

j. 1 es el dcm entre los cuatro números.

k. 2 100 es divisible por 7, pero no por 49.

l. El dcm de 2 100 y 2 200 es: 22 . 52.

63. Escriban.a. Tres números mayores que 4 y que tengan el 64 como mcm.b. Tres números menores que 80 y que ten-gan el 20 como dcm.

29


15.6.7COnTEnIDOS


1, 2, 4, 7, 14, 28

Sí.

3

No se sabe.

1, 3, 5, 9, 15, 45

Sí.

Sí.

Por 10.

103

102320; 40; 60

192; 128; 320

No se sabe.

30, 45, 60, 75.

105

1 260

Por 24. El resto será 12.

2 850

1

5 028

8 025

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

23 . 52 . 7

25 . 3 . 11

22 . 54

34 . 5 . 7

22 . 72 . 13

72 . 11 . 13

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3030

64. Hallar el mcm y el dcm entre los siguien-tes números.

a. 60; 90; 150.b. 175; 200; 280.c. 48; 80; 120; 180.d. 17; 7; 11.e. 84; 350; 450.f. 27; 243; 729.

65. Resuelvan.a. Si el papá de Ema recibe una publicación deportiva trimestralmente, una revista de actualización médica bimestralmente y un suplemento deportivo europeo cada 5 meses, ¿cada cuántos meses recibe simultáneamente las tres publicaciones?b. La mamá de Andrea tiene 300 cintas ver-des y 450 blancas para armar moños de rega-lo. Si todos los moños deben tener la misma cantidad de cintas de cada color, ¿cuántos moños podrá hacer? ¿Qué cantidad de cintas verdes y blancas tendrá cada moño?

66. Planteen la ecuación y resuelvan. Luego verifiquen.

a. El doble de la edad de Mariana es igual a la mitad de cincuenta y seis. ¿Cuál es la edad de Mariana?b. El precio de tres kilogramos de helado es igual a cuatro veces cuarenta y cinco. ¿Cuánto cuesta el kilo de helado?c. El peso de Luca aumentado en seis es igual a la mitad de veinte kilogramos. ¿Cuántos kilogramos pesa Luca?d. La cuarta parte de lo vendido en el puesto de panchos es igual al doble de ciento ocho. ¿Cuánto se vendió en total?

67. Resuelvan las ecuaciones y verifiquen.a. (x + 12) : 6 – 5 = 3b. (x – 3) : 3 + 20 = 42 + 8c. 5x – 100 = 69 – 8xd. 6x – 18 + 2x = 3x + 17 . 6e. 3 . (x + 5) – 2x + 1 = 48 : 3f. (x – 2) . 4 + 36 = 45 . 2 + x + 4

68. Resuelvan.a. Agustín y su hermana Belén completaron un álbum de 420 figuritas deportivas. Agustín con-siguió 162 figuritas más que su hermana. Si x representa la cantidad de figuritas que consiguió Belén, ¿cuál de las siguientes expresiones permi-te calcular esas figuritas? ¿Cuántas figuritas obtu-vo cada uno de ellos? x + 162 = 420 162 + x + x = 420

x + 162 + x – 162 = 420b. Dos amigas, Sandra y Andrea, han tejido mantitas para vender. Andrea tejió 8 mantitas menos que Sandra y entre ambas se compro-metieron a entregar 60 mantitas. Si x represen-ta la cantidad de mantitas que tejió Sandra, ¿cuál de las siguientes expresiones permite cal-cular esa cantidad? ¿Cuántas mantitas tejió cada una? 8 – x – 60 = x 8 – x + x = 60

x – 8 + x = 60

69. Escriban la ecuación y resuélvanla.a. La suma entre el triple de un número y el doble de su siguiente es igual a la mitad de 84.b. El cociente entre 20 y 5 es igual al doble del anterior de un número, aumentado en 4. ¿Cuál es el número?

70. Resuelvan las ecuaciones e indiquen cuá-les tienen la misma solución.

a. √ ____ 144 + x : 23 = 70 + 6 . 2

b. x + 3x – 812 : 811 = √ ___ 64

c. (x + 2) . 32 = (37)3 : 318

d. (54 – 53) . x – 25 . 10 = 250

71. Resuelvan las siguientes ecuaciones con potenciación y radicación. Verifiquen los resul-tados.

a. x2 – (36 + 2 . 5) = 2 . 32

b. 25 + x3 = 36 + 82 + 2 . 25c. 45 : (7 + 23) = 3x2

d. 3 √ __ x + 6 . 8 = 52 . 2

e. (7 + 2)2 + √ __ x = 9 . 10

f. √ __ x + 6 . 5 = 22 . 32

30

mcm = 900; dcm = 30

Cada 30 meses.

mcm = 720; dcm = 4

mcm = 1 400; dcm = 5

mcm 1 309; dcm = 1

mcm = 729; dcm = 27

150 moños. 2 cintas verdes y 3 blancas.

mcm = 6 300; dcm = 2

14 años. 20 : 5 = 2 . (x – 1) + 4; x = 1

3x + 2 . (x + 1) = 84 : 2; x = 8

4 kg

$60

864

x = 15 x = 5

x = 4

x = 24 x = 8

x = 1

x = 13 x = 1

x = 1

x = 0 x = 81

x – 8 + x = 60; x = 34

x = 36 x = 8

x = 8

162 + x + x = 420; x = 129

x = 22 x = 36

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31

Autoevaluación 172. Descompongan de tres formas diferentes.

26 062 206 =

73. Resuelvan aplicando propiedades cuando sea posible.

a. 4 . (5 . 7 + 10) + 270 : 30 – (18 – 4 . 2) =

b. 58 . 513 : 519 + (4 . 9 – 12)0 – √ ___ 45 : √

__ 5 =

c. 3 √ ___________

23 . 40 + 231 + 102 . 5 =

74. Resuelvan.El médico le recetó a Florencia tomar un antibiótico cada 8 horas y un analgésico cada 6 horas.a. ¿Cada cuántas horas debe tomar los dos medicamentos juntos?

b. ¿Cuántas pastillas del antibiótico debe tomar por día? ¿Y del analgésico?

75. Calculen el mcm y el dcm entre 675, 540 y 180.

76. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. Verifiquen el resultado.El doble de la suma entre un número y veinticinco es igual a la mitad de ciento ochenta y cuatro, disminuido en cuatro.

31

capítulo

2 . 107 + 6 . 106 + 0 . 105 + 6 . 104 + 2 . 103 + 2 . 102 + 0 . 101 + 6 . 100

2 . 10 000 000 + 6 . 1 000 000 + 6 . 10 000 + 2 . 1 000 + 2 . 100 + 6

20 000 000 + 6 000 000 + 60 000 + 2 000 + 200 + 6

507

Cada 24 horas.

3 pastillas del antibiótico y 4 del analgésico.

mcm (180;540;675) = 2 700; dcm (180;540;675) = 45

2 . (x + 25) = 184 : 2 – 4; x = 19

179

23

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32

Fracciones y expresiones decimales

Contenidos8. Orden y representación.

9. Fracciones equivalentes.

10. Operaciones con números

racionales.

11. Potenciación y radicación

de fracciones.

12. Operaciones combinadas

con fracciones.

13. Fracciones y expresiones

decimales.

14. Operaciones con

expresiones decimales.

Porcentaje.

15. Operaciones combinadas.

2


a. Completen.En el grupo hay chicos, donde son varones y son mujeres.b. Inventen preguntas cuyas respuestas sean cada una de las siguientes fracciones.

4 __ 9 ; 5 __ 9 ; 3 __ 5 ; 2 __ 9

c. Comparen con sus compañeros las preguntas que realizaron.

capítulo

9 5 4

b. ¿Qué fracción representa la cantidad de mujeres que hay? ¿Y la cantidad de varones? ¿Qué fracción repre-senta a los varones de remera rayada? ¿Y a los chicos que usan anteojos?

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33

Orden y representación

Números racionalesLos números racionales son aquellos que se pueden escribir como fracción.Se denomina fracción al cociente entre dos números naturales a y b (con b distinto de 0).

5— 8

numeradordenominador

Queda 5 __ 8 de torta.

Toda fracción mayor que un entero se puede expresar como número mixto.

4 __ 3 = 1 1 __ 3

un entero 1 __ 3

Representación en la recta numéricaPara representar fracciones en la recta numérica, se divide cada unidad en tantas partes iguales

como indica el denominador y se toman tantas partes como indica el numerador.

Para representar 3 __ 2 :

0 1 23 2

Como el denominador de la fracción es 2, se divide cada unidad en dos partes iguales.

Como el numerador es 3, se toman 3 de esas partes.

Comparación de fraccionesPara comparar dos fracciones, se pueden usar distintos procedimientos.• Para comparar 1 __ 4 y 5 __ 6 : se multiplican cruzados los numeradores y denominadores, comenzan-

do por el numerador de la primera fracción. Se escriben los resultados obtenidos y se los compara. 1 __ 4 y 5 __ 6 1 . 6 < 4 . 5 6 < 20, entonces 1 __ 4 < 5 __ 6 .

• Para comparar 1 __ 3 y 1 __ 7 : como los numeradores son iguales y en 1 __ 3 se divide al entero en menos partes que en 1 __ 7 , entonces 1 __ 3 > 1 __ 7 .

• Para comparar 5 __ 6 y 6 __ 5 : como 5 __ 6 es menor que un entero y 6 __ 5 es mayor que 1, entonces 5 __ 6 < 6 __ 5 .

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. Para representar 4 __ 6 en la recta numérica, ¿en cuántas partes se puede dividir la unidad?b. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor? 4 __ 3 o 20 ___ 15

c. ¿Cómo pueden comparar 3 __ 8 con 3 __ 5 ? ¿Y 7 __ 8 con 8 __ 7 ?


33

10 11 12 14 15138 97 16 17

infoactiva


a. 6 o 3. b. Son iguales. c. Se analizan los denominadores. 7 __ 8 es menor que 1 y 8 __ 7 es mayor.

P12-3083-C02.indd 33 10/31/12 5:56 PM

34

1. Representen en la recta numérica las siguientes fracciones.a. 5 __ 3 ; 1 __ 3 ; 3 __ 3 ; 7 __ 3

10 2

b. 1 __ 3 ; 2 __ 3 ; 3 __ 4 ; 5 __ 4

0 1

c. 1 __ 4 ; 3 __ 6 ; 2 __ 3 ; 5 __ 6

0 1

2. Escriban la fracción que representan los puntos indicados con letras.

0 dca b 1 e2 3

a = b =

c =

d =

e =

3. Escriban como número mixto las fracciones de la actividad anterior, siempre que sea posible.

a = b = c = d =

e =

4. Ordenen de menor a mayor las fracciones que aparecen en el enunciado.Elvira decidió hacer un pan dulce para compartir con sus nietos. Compró 3 __ 4 kg de frutas abrillanta-das, 1 __ 2 kg de pasas de uva, 3 __ 5 kg de almendras acarameladas y 4 __ 5 de nueces.

5. Escriban la fracción que indica la parte pintada. Luego, ordénenlas de mayor a menor.

a.

b.

c.

6. Ordenen de menor a mayor las siguientes fracciones y represéntenlas en una recta numérica. 10 ___ 9 - 7 __ 6 - 5 __ 6 - 4 __ 9 - 4 __ 3 - 2 __ 3 - 1 __ 6 - 5 __ 9

8 Orden y representaciónACTIVIDADES

34

5 __ 3 7 __ 3 1 __ 3

1 __ 3 2 __ 3 3 __ 4 5 __ 4

1 __ 4 3 __ 6 2 __ 3 5 __ 6

3 __ 3

4

4

3 10 7

6 3 6 20 0 1 2 3

6 12 24 29

9

9

5 5 5

9 9 9 9

9 9 9 9

1 __ 2 ; 3 __ 5 ; 3 __ 4 ; 4 __ 5

1 __ 6 < 4 __ 9 < 5 __ 9 < 2 __ 3 < 5 __ 6 < 10 ___ 9 < 7 __ 6 < 4 __ 3

10 ___ 5 ; 7 __ 5 ; 3 __ 5

P12-3083-C02.indd 34 10/31/12 5:56 PM

35

Fracciones equivalentes


35

8 11 12 13 15149 10 17 1816

Dos fracciones son equivalentes cuando representan el mismo número racional.

0 13— 5

6—— 10

3— 5

6—— 10

Para obtener fracciones equivalentes a una dada, se pueden aplicar estos procedimientos.

Procedimientos para obtener fracciones equivalentes

Amplificación Simplificación

Se multiplican el numerador y el denominador por un mismo número natural distinto de cero.

4—— 14

2— 7

. 2

. 2

Se dividen el numerador y el denominador por un mismo número natural que sea divisor de los dos.

2— 5

8—— 20

: 4

: 4

2— 5 es irreducible porque

no se puede simplificar.

Para verificar si dos fracciones son equivalentes, se puede aplicar la propiedad fundamental de las proporciones. Si al multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, se obtiene el mismo resultado que al multiplicar el denominador de la primera por el numerador de la segunda, las fracciones son equivalentes.

15 ___ 12 es equivalente con 20 ___ 16 , porque 15 . 16 = 12 . 20 = 240

Fracción irreducibleUna fracción es irreducible cuando el numerador y el denominador son coprimos, es decir que

solo tienen a 1 como divisor común.

4 __ 7 es irreducible porque 4 y 7 son coprimos.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Cómo reconocen una fracción irreducible?b. La fracción irreducible de 35 ___ 15 , ¿es 7 __ 3 ?

c. ¿Cómo se puede comprobar que 36 ___ 30 y 48 ___ 40 son equivalentes?

d. ¿Cuál es la fracción irreducible de 56 ___ 36 ?


infoactiva

a. El numerador y el denominador son coprimos. b. Sí. c. 36 . 40 = 30 . 48. d. 14 ___ 9 .

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7. Escriban la fracción irreducible que representa cada color, en la siguiente figura.

a. Rojo:

d. Amarillo:

b. Verde:

e. Blanco:

c. Azul:

8. Tachen las fracciones que no son equivalentes a la fracción dada.

a. 2 __ 7 12 ___ 17 6 ___ 21 20 ___ 70 10 ___ 42 32 ___ 112 c. 18 ___ 4 9 __ 2 45 ___ 10 90

___ 20 27 ___ 6 216 ____ 52

b. 4 __ 5 44 ___ 55 16 ___ 25 36 ___ 45 68 ___ 85 56 ___ 75 d. 6 __ 3 120 ____ 60 2 108 ____ 57 30 ___ 15 1 __ 2

9. Escriban como fracción irreducible la parte sombreada de cada figura.

a. d.

b. e.

c. f.

10. Simplifiquen las siguientes fracciones y exprésenlas como fracción irreducible.

a. 84 ___ 48 =

c. 248 ____ 52 =

e. 630 ____ 180 =

g. 420 ____ 840 =

b. 72 ___ 96 =

d. 36 ____ 108 =

f. 150 ____ 225 =

h. 825 ____ 396 =

11. Completen con una fracción que se encuentre entre las fracciones dadas.

a. 3 __ 8 < < 6 __ 8 c. 7 __ 4 < < 7 __ 3 e. 2 __ 3 < < 3 __ 2 g. 2 __ 7 < < 1 __ 2

b. 4 __ 6 < < 5 __ 6 d. 9 __ 5 < < 9 __ 2 f. 1 __ 8 < < 1 __ 5 h. 2 __ 7 < < 3 __ 8

9 Fracciones equivalentesACTIVIDADES

36

1 1

1 1

1

2 24

4 8

12

1

3

1

4

3

8

1

4

1

2

7

4

62

13

7

2

1

2

3

4

1

3

2

3

25

12

3

16

5

8

25

12

5

6

5

14

13

18

20

10

6

40

19

56

P12-3083-C02.indd 36 10/31/12 5:56 PM

Operaciones con números racionales


37

9 12 13 14 161510 11 18 1917

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Es cierto que 8 __ 5 + 3 __ 5 = 11 ___ 10 ?b. Cuando se multiplican dos fracciones, ¿conviene simplificar antes de hacer el cálculo?c. En el cálculo 2 ___ 15 : 5 __ 3 , ¿se pueden simplificar el 15 y el 5?


infoactiva

Adición y sustracciónPara sumar o restar dos fracciones de distinto denominador, se buscan fracciones equivalentes

que tengan el mismo denominador. Para encontrar un denominador común, se busca el múltiplo común menor entre los denominadores.

2 __ 5 + 1 __ 4 = 8 ___ 20 + 5 ___ 20 = 13 ___ 20 7 __ 4 – 5 __ 6 = 21 ___ 12 – 10 ___ 12 = 11 ___ 12

mcm (5;4) = 20 mcm (4;6) = 12

Los siguientes cálculos se pueden resolver mentalmente.

1 entero son 5 __ 5 1 + 2 __ 5 = 7 __ 5 2 enteros son 14 ___ 7 2 – 3 __ 7 = 11 ___ 7

Multiplicación y divisiónPara multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí.

3— 4

2— 3

2 __ 3 . 3 __ 4 = 2 . 3 _____ 3 . 4 = 1 __ 2 2 __ 3 . 3 __ 4 = 2 . 3 ____ 3 . 4 = 6 ___ 12 = 1 __ 2 1 1 1

2 21Se simplificaron las fracciones que se quiere multiplicar.

En los dos casos se llega al mismo resultado.

Se simplificó la fracción resultado.

Para calcular una fracción de un entero, se debe multiplicar el número por el numerador de la fracción y dividirlo por el denominador.

3 __ 4 de 1 000 = 3 __ 4 . 1 000 = 3 . 1 000 ________ 4 = 750

Toda fracción distinta de cero admite un inverso multiplicativo. Por ejemplo, el inverso multipli-cativo de 2 __ 3 es 3 __ 2 , porque 2 __ 3 . 3 __ 2 = 1. Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda.

3 __ 4 : 1 ___ 12 = 3 __ 4 . 12 ___ 1 = 9

a. No, es 11 __ 5 . b. Sí. c. No.

P12-3083-C02.indd 37 10/31/12 5:56 PM

38

12. Resuelvan mentalmente.

a. 1 __ 7 + 8 __ 7 = c. 8 __ 5 – 3 __ 5 + 1 __ 5 = e. 3 __ 8 + 2 =

b. 10 ___ 3 – 4 __ 3 = d. 5 __ 6 – 1 __ 6 + 3 __ 6 = f. 1 – 4 __ 9 =

13. Marquen con una X el cálculo que representa la situación y resuélvanlo.Un micro de larga distancia salió de la estación de Retiro rumbo a la costa atlántica. En el cami-no, realizó varias paradas en las que subieron o bajaron pasajeros. En Retiro subió 3 __ 5 del pasaje, en San Clemente subió 1 ___ 10 del total, en Santa Teresita bajó 1 __ 3 de los pasajeros y en San Bernardo subió 2 __ 5 . Si el recorrido finalizó en Mar de Ajó, ¿qué parte del pasaje llegó?

a. 3 __ 5 + 1 ___ 10 – 1 __ 3 + 2 __ 5 = b. 1 – 3 __ 5 + 1 ___ 10 – 1 __ 3 + 2 __ 5 = c. 1 – ( 3 __ 5 + 1 ___ 10 – 1 __ 3 + 2 __ 5 ) =

14. Resuelvan.

a. 3 __ 4 – 1 __ 2 + 1 __ 8 = =

b. 3 __ 4 – ( 1 __ 2 + 1 __ 8 ) = =

c. 2 __ 5 + 1 __ 2 – 1 __ 3 = =

d. 2 __ 5 – 1 __ 2 + 1 __ 3 = =

e. 9 __ 4 – 2 + 1 __ 7 = =

f. 9 __ 4 – ( 2 + 1 __ 7 ) = =

15. Completen los cálculos.

a. 1 __ 3 + = 8 __ 3 b. – 3 __ 5 = 6 __ 5 c. + 1 __ 4 = 2 d. 17 ___ 9 – = 8 __ 9

16. Escriban <, > o = según corresponda.

a. 6 + 4 __ 3 7 b. 5 – 2 __ 5 3 c. 2 __ 4 + 1 __ 2 1 d. 7 – 20 ___ 6 4

10 Operaciones con números racionalesACTIVIDADES

38

9

7

6

5

19

8

6

3

7

6

5

9

X

18 ___ 30 + 3 ___ 30 – 10 ___ 30 + 12 ___ 30 = 23 ___ 30

Llegó 23 ___ 30 del pasaje.

6 __ 8 – 4 __ 8 + 1 __ 8

6 __ 8 – ( 4 __ 8 + 1 __ 8 ) = 6 __ 8 – 5 __ 8

12 ___ 30 + 10 ___ 30 – 15 ___ 30

63 ___ 25 – ( 56 ___ 28 + 4 ___ 28 ) = 63 ___ 28 – 60 ___ 28

12 ___ 30 + 15 ___ 30 – 10 ___ 30

63 ___ 28 – 56 ___ 28 + 4 ___ 28

3

8

17

30

7

30

11

28

3

28

1

8

7

3

9

5

7

4

9

9

> > = <

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17. Simplifiquen y resuelvan.

a. 12 ___ 5 . 15 ___ 9 = b. 21 ___ 7 . 14 ___ 28 = c. 6 . 1 ___ 12 = d. 3 __ 5 . 10 =

18. Completen las siguientes igualdades.

a. 1 __ 2 . = 5 b. . 7 __ 3 = 6 __ 7 c. . 4 __ 5 = 20 d. 11 . = 55 ___ 4

19. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.

a. El doble de 5 __ 2 : d. Un tercio de 93:

b. El triple de 4 __ 4 : e. Un medio de 412:

c. El cuádruple de 1 __ 8 : f. Tres cuartos de 56:

20. Lean atentamente y resuelvan.a. Florencia regaló 2 __ 5 de las 45 figuritas que tenía repetidas. ¿Cuántas regaló en total? ¿Qué parte aún conserva?

b. Para llegar a Mar del Plata, Rubén consumió 3 __ 4 del tanque de nafta de su auto. Si el tanque tiene una capacidad de 52 litros, ¿cuántos litros le quedan aún?

c. Camila gasta 1 __ 3 de su sueldo en impuestos y 1 __ 4 , en el alquiler de su departamento. Si su suel-do es de $7 800, ¿cuánto dinero destina para alquiler e impuestos? ¿Qué parte de su sueldo le queda para otros gastos?

21. Resuelvan.

a. 13 ___ 9 : 14 ___ 9 = b. 9 __ 4 : 1 ___ 16 = c. 135 ____ 27 : 125 ____ 54 = d. 6 ___ 17 : 24 ___ 34 =

22. Completen con la fracción que verifica la igualdad.

a. 1 __ 4 : = 1 ___ 10 b. 3 __ 7 : = 9 c. : 1 __ 2 = 5 __ 2 d. : 1 __ 2 = 2 __ 5


3939


4

1

3

2

1

2

6

1

5

4

25

1

18

49

10

1

1

5

5

4

1

21

10

4

13

14

36

1

54

25

1

2

2 __ 5 . 45 = 18; 45 – 18 = 27

Regaló 18 figuritas en total. Aún conserva 27.

3 __ 4 . 52 = 39; 52 – 39 = 13

Le quedan aún 13 litros.

1 __ 3 . 7 800 = 2 600; 1 __ 4 . 7 800 = 1 950; 7 800 – 2 600 – 1 950 = 3 250

Para alquiler e impuestos gasta $4 550. Le quedan $3 250 para otros gastos.

2 . 5 __ 2 = 5 1 __ 3 . 93 = 31

3 . 4 __ 4 = 3 1 __ 2 . 412 = 206

4 . 1 __ 8 = 1 __ 2 3 __ 4 . 56 = 42

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23. Resuelvan y completen con <, > o =, según corresponda.

a. 1 __ 5 . 2 __ 3 1 __ 5 : 3 __ 2 c. 5 : 1 __ 5 1 __ 5 . 5

b. 2 __ 7 . 7 14 ___ 5 : 14 ___ 5 d. 1 __ 2 . 3 __ 4 21 ___ 6 : 7 __ 3

24. Escriban la letra del enunciado que corresponde a cada cálculo. Luego, resuélvanlo.a. Un poste se pintó la mitad de blanco y la tercera parte de azul. ¿Qué parte está pintada?b. La mitad de una herencia se reparte entre tres personas. ¿Qué parte le corresponde a cada una?c. Dos amigos recorren un camino en su auto; el primero maneja la mitad del recorrido y el segundo, una tercera parte. ¿Qué parte aún no recorrieron?d. Eduardo llenó el tanque de nafta de su auto para salir de viaje. Luego de consumir la mitad del combustible, cargó nuevamente un tercio de la capacidad del tanque. ¿Qué parte del tanque tiene nafta?

1 – ( 1 __ 2 + 1 __ 3 ) =

1 __ 2 + 1 __ 3 = 1 __ 2 : 3 = 1 –

1 __ 2 + 1 __ 3 =

25. Resuelvan las siguientes situaciones problemáticas.a. La mamá de Josefina compró cuatro cajas de veinte bombones cada una. Entre Josefina y su hermana Micaela comieron una caja y 1 __ 4 de otra. ¿Cuántos bombones quedan?

b. En un micro escolar viajan 36 alumnos. Si 1 __ 3 de los alumnos desciende en el barrio de Saavedra, 2 __ 9 lo hace en Belgrano y 1 __ 4 en Núñez, ¿cuántos alumnos continúan en el micro?

c. En una biblioteca hay 540 libros. Si se prestaron 1 ___ 18 de sus libros el lunes, y el martes se devolvieron 15, ¿cuántos libros quedan aún en la biblioteca?


40

Don Prudencio desea plantar 5 variedades de flores, que en total son 240 plantines: 60 son jazmines, 18 son fresias, 78 son rosales, 30 son lirios y el resto son orquídeas.a. ¿Cuántos plantines de orquídeas tiene?b. ¿Qué fracción representa cada variedad?

menteACTIVA

Quedan 55 bombones.

Quedaron 525 libros.

7 alumnos.

= >

> <

1

6

5

6

1

6

5

6c a b d

Tiene 54 plantines de orquídeas.

J: 1 __ 4 ; F: 3 ___ 40 ; R: 13 ___ 40 ; L: 1 __ 8 ; O: 9 ___ 40

a. 3 __ 6 + 2 __ 6 = 5 __ 6 b. 1 __ 2 . 1 __ 3 = 1 __ 6

c. 1 – ( 3 __ 6 + 2 __ 6 ) = 6 __ 6 – 5 __ 6 = 1 __ 6 d. 6 __ 6 – 3 __ 6 + 2 __ 6 = 5 __ 6

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Potenciación y radicación de fracciones


41

10 13 14 15 171611 12 19 2018

PotenciaciónLa potenciación permite escribir en forma abreviada una multiplicación de factores iguales.

( 1 __ 4 ) 2 = 1 __ 4 . 1 __ 4 = 1 ___ 16 ( 1 __ 4 ) 3 = 1 __ 4 . 1 __ 4 . 1 __ 4 = 1 ___ 64 ( 2 __ 5 ) 1 = 2 __ 5 ( 2 __ 5 ) 0 = 1

1— 3

1— 3

El sector pintado ocupa la novena parte del cuadrado. ( 1 __ 3 ) 2 = 1 __ 3 . 1 __ 3 = 1 __ 9

Para obtener la potencia de una fracción, se debe calcular la potencia del numerador y la del denominador.

( 4 __ 3 ) 2 = 4 2 ___ 3 2

= 16 ___ 9

RadicaciónLa radicación es la operación inversa a la potenciación.Para obtener la raíz de una fracción, se debe calcular la

raíz del numerador y la del denominador.

√ ___

64 ___ 25 = √ ___

64 ————— √ ___

25 = 8 __ 5

√ ___

16 ___ 81 = 4 __ 9 porque ( 4 __ 9 ) 2 = 16 ___ 81 √ ____

1 ___ 27 = 1 __ 3 porque ( 1 __ 3 ) 3 = 1 ___ 27

La potenciación y la radicación de fracciones cumplen las mismas propiedades que para los números naturales.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Qué indica el exponente en la potenciación? ¿Y el índice en la radicación?

b. ¿Es cierto que ( 3 __ 7 ) 2 = 6 ___ 14 ?

c. ¿Cómo se resuelve 4 √ __

16 ___ 81 ?


infoactiva

En la página 13 pueden repasar las propiedades de la potenciación y la radicación.

a. Solución a cargo del alumno. b. No. c. Se calcula la raíz del numerador y la del denominador.

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11 Potenciación y radicación de fraccionesACTIVIDADES

42

Si el área de un cuadrado es de 64 ____ 225 m2, ¿cuál es la longitud de su lado?

menteACTIVA

26. Resuelvan las siguientes potencias.

a. ( 1 __ 5 ) 2 = b. ( 1 __ 3 ) 4 = c. ( 2 __ 7 ) 2 = d. ( 3 __ 2 ) 3 =

27. Resuelvan las siguientes raíces.

a. √ ___

64 ___ 81 = b. √ ___

16 ___ 121 = c. 3 √ ___

125 ____ 64 = d. 5 √ ____

32 ____ 243 =


a. La raíz cuadrada de cuarenta y nueve cuartos.

b. El cuadrado de cuatro tercios.

c. La raíz cúbica de ciento veinticinco sesentaicuatroavos.

d. El cubo de cinco sextos.

e. La raíz quinta de un treintaidosavos.

f. El doble de la raíz cuarta de un medio de treinta y dos.

29. Completen los cálculos.

a. ( ) 3

= 1 ____ 343 b. ( ) 4

= 625 ____ 81

c. √ _____

= 11 ___ 12 d. 5 √ _____

= 3 __ 2

30. Calculen el área de las siguientes figuras.a.

1 __ 5 m

b.

2 __ 3 m

1

25

1

81

4

49

5

4

4

11

8

9

27

8

2

3

√ ___

49 ___ 4 = 7 __ 2

3 √ ____

125 ____ 64 = 5 __ 4

( 4 __ 3 ) 2

= 16 ___ 9

( 5 __ 6 ) 3 = 125 ____ 216

5 √ ___

1 ___ 32 = 1 __ 2

2 . 4 √ ______

1 __ 2 . 32 = 2 . 4 √ ___

16 = 2 . 2 = 4

1

7

121

144

243

32

5

3

( 1 __ 5 m ) 2

= 1 ___ 25 m2

( 2 __ 3 m ) 2

: 2 = 4 __ 9 m2 . 1 __ 2 = 2 __ 9 m2

La longitud del lado del cuadrado es igual a 8 ___ 15 m.

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Operaciones combinadas con fracciones


43

11 14 15 16 181712 13 19

Para resolver una operación combinando las operaciones estudiadas, pueden seguir estos pasos.

( 2 __ 3 ) 2 + √ __

1 __ 4 . 2 + 7 __ 5 : 3 __ 5 = 1. Se separa en términos.

4 __ 9 + 1 __ 2 . 2 + 7 __ 5 : 3 __ 5 = 2. Se resuelven las potencias y raíces.

4 __ 9 + 1 + 7 __ 3 = 3. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.

= 34 ___ 9 4. Se resuelven las sumas y restas.

Existen calculadoras que no respetan la jerar-quía de las operaciones, es decir, no realizan la separación en términos.

Tengan en cuenta que en los cálculos donde aparecen paréntesis, primero se resuelven las operaciones que ellos encierran.

( 3 __ 5 ) 2 + ( √

____

9 ____ 121 . 11 – 5 __ 6 ) : 25 ___ 6 = 1. Se separa en términos.

( 3 __ 5 ) 2 + 13 ___ 6 : 25 ___ 6 = 2. Se resuelven los cálculos que están dentro de los paréntesis.

9 ___ 25 + 13 ___ 6 : 25 ___ 6 = 3. Se resuelven las potencias y raíces.

9 ___ 25 + 13 ___ 25 = 4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.

= 22 ___ 25 5. Se resuelven las sumas y restas.

1. Respondan y expliquen las respuestas.

a. ¿Cuáles son los pasos para realizar un cálculo combinado?

b. ¿Es lo mismo ( 1 __ 3 + 2 __ 7 ) . 4 __ 9 que 1 __ 3 + 2 __ 7 . 4 __ 9 ?

c. En el cálculo 5 __ 7 . 21 ___ 25 . 14 ___ 3 , ¿se puede simplificar antes de resolver la operación?


infoactiva

20 21

a. Solución a cargo del alumno. b. No. c. Sí.

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31. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.

a. ( 1 __ 9 + 1 __ 3 ) . 2 __ 5 – 2 ___ 15 =

d. √ ___

25 ___ 121 . 11 __ 4 – ( 2 __ 3 ) 2 =

b. ( 2 __ 3 – 1 __ 6 ) . ( 54 ___ 5 – 12 ___ 5 . 9 __ 4 ) =

e. ( 12 ___ 4 . 5 ___ 24 ) 2 + 3 √ ___

27 ___ 64 =

c. 5 __ 2 + 10 ___ 6 : 15 ___ 12 – 1 __ 3 =

f. 5 __ 9 + 4 √ _____

1 296 _____ 256 . ( 4 __ 9 ) 2 =

32. Planteen y resuelvan. a. Eduardo leyó un libro de 840 páginas en 3 días. El primer día, leyó 2 __ 5 del libro. El segundo día, la tercera parte del resto. ¿Qué parte leyó el tercer día? ¿Cuántas páginas representan?

b. Tres amigas repartieron una torta de chocolate. Noelia se quedó con la mitad de la torta y Belén, con la tercera parte del resto. ¿Qué parte le corresponde a Celeste?

c. Un atleta participó en una competencia de ciclismo que se realizó en cuatro etapas. • Primera etapa: recorrió 1 __ 8 del total. • Segunda etapa: recorrió 1 __ 7 del resto. • Tercera etapa: recorrió las dos terceras partes de lo que llevaba recorrido.¿Qué parte recorrió en la cuarta etapa?

12 Operaciones combinadas con fraccionesACTIVIDADES

44

2

45

29

36

73

64

27

10

7

2

23

27

1 – 2 __ 5 – 1 __ 3 . 3 __ 5 = 2 __ 5 ; 840 . 2 __ 5 = 336

El tercer día leyó las 2 __ 5 partes restantes, que representan 336 páginas.

Noelia: 1 __ 2 ; Belén: 1 __ 2 . 1 __ 3 = 1 __ 6 ; Celeste: 1 – ( 1 __ 2 + 1 __ 6 ) = 1 __ 3

A Celeste le corresponde 1 __ 3 de la torta.

1.° etapa: 1 __ 8 del total. 3.° etapa: 1 __ 6 del total. 2 __ 3 . 2 __ 8 = 1 __ 6

2.° etapa: 1 __ 8 del total. 1 __ 7 . 7 __ 8 = 1 __ 8 4.° etapa: 7 ___ 12 del total. 1 – ( 1 __ 8 + 1 __ 8 + 1 __ 6 ) = 7 ___ 12

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33. Planteen y resuelvan las siguientes situaciones.a. En la siguiente figura, abc y noc son triángulos equiláteros. Escriban la expresión que permite calcular el perímetro del área sombreada.

1— 4 m

b

o

a

n

c

3— 4 m

b. En la siguiente figura, el lado del cuadrado efcg mide 1 __ 3 m y el del cuadrado abcd, 2 __ 3 m. Escriban la expresión que permite calcular el área sombreada.

a

d g

e

c

f

b

34. Completen con <, > o =, sin hacer los cálculos.

a. ( 1 __ 3 ) 2 + ( 1 __ 3 ) 2 1 c. ( 6 __ 5 ) 2 1

b. 1 __ 2 + 1 __ 2 1 d. 3 __ 4 + 1 __ 3 . 3 2

35. Resuelvan.

a. √ __

1 __ 4 . √ ___

4 ___ 36 + 5 ___ 12 . 18 ___ 5 =

c. √ ___

25 ___ 9 . 9 ___ 25 + 6 ___ 10 – 6 __ 5 : 12 ___ 10 =

b. ( 3 __ 2 ) 2 – 5 __ 3 . 6 ___ 15 . 2 + √ __

9 ___ 16 =

d. 27 ___ 2 : 15 ___ 4 – 35 ___ 5 . 10 ___ 24 =


45


< >

= <

mn – ac = am

3 __ 4 m – 1 __ 4 m = 1 __ 2 m

2 . 1 __ 2 m + 1 __ 4 m + 3 __ 4 m = 2 m

( 2 __ 3 m ) 2 – ( 1 __ 3 m )

2 =

4 __ 9 m2 – 1 __ 9 m2 = 1 __ 3 m2

5

3

41

60

1

9

1

2

P12-3083-C02.indd 45 10/31/12 5:56 PM

46


46

36. Resuelvan.

a. ( 1 __ 2 + 1 __ 4 ) 2 : 1 __ 4 – √ __

9 __ 4 + 1 __ 5 =

d. √ ___

16 ___ 25 + 7 __ 2 : 14 ___ 4 . 13 – √ ___

49 ___ 5 2

=

b. √ ______

2 __ 5 + 6 ___ 25 . 1 __ 2 + 3 √ ___

27 ___ 8 – 2 3 __ 5 =

e. √ ______

2 . 18 ___ 25 + √ _______

1 + 21 ____ 100 – 3 __ 5 =

c. ( 1 __ 2 + 1 __ 4 + 1 __ 3 ) . 1 ___ 13 + 2 __ 3 – 3 √ _____

125 _____ 1 000 =

f. 3 √ _____

3 __ 2 . 9 __ 4 + 4 √ ___ 81 – ( 1 __ 4 ) 2 =

37. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.a. La suma entre un cuarto de diez y dos tercios de trece.

b. La diferencia entre las dos quintas partes de quince medios y la décima parte de doce.

Uno de los lados de una alfombra rectangular mide 3 __ 5 m y el otro, 2 __ 3 m aumentado en 2 m. Indiquen cuál de las expresiones permite calcular.a. El perímetro de la alfombra.

i. 2 . 3 __ 5 + 2 . 2 __ 3 + 2 ii. 2 . 3 __ 5 + 2 . ( 2 __ 3 + 2 ) iii. 2 . 3 __ 5 + 2 __ 3 + 2

b. El área de la alfombra.

i. 2 __ 3 + 2 . 3 __ 5 ii. 2 + ( 2 __ 3 . 3 __ 5 ) iii. ( 2 __ 3 + 2 ) . 3 __ 5

menteACTIVA

1 __ 4 . 10 + 2 __ 3 . 13 = 67 ___ 6

2 __ 5 . 15 ___ 2 – 1 ___ 10 . 12 = 9 __ 5

1 __ 4

3 ___ 10

19 ___ 20

87 ___ 16

17 ___ 10

62 ___ 5

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47

38. Representen en la recta numérica.

a. 1 __ 2 ; 3 __ 4 ; 2 __ 3 ; 5 __ 6

b. 1 __ 6 ; 2 __ 5 ; 4 __ 3 ; 3 __ 2

39. Indiquen la fracción irreducible que repre-sentan los puntos marcados con letras.

0 1

c d ea b

2 3

40. Tengan en cuenta el entero e indiquen la fracción que representa cada figura.

Entero:

a. c.

b. d.

41. Completen para obtener fracciones equiva-lentes.

a. 8 ___ 20 = 10

= 80

= 2

= 48

b. 56 ___ 34 = 28

= 168

= 560

= 204

c. 105 ____ 315 = 21

= 21

= 3

= 35

42. Escriban la fracción irreducible que corres-ponde a la parte sombreada de cada figura.

a. c.

b. d.

43. Completen cada figura para obtener el

entero correspondiente a cada fracción.a. Un tercio. c. Un medio.

b. Dos séptimos. d. Tres cuartos.

44. Simplifiquen las siguientes fracciones.

a. 150 ____ 120 = d. 64 ____ 124 =

b. 86 ____ 108 = e. 200 ____ 450 =

c. 1 800 _____ 108 = f. 336 ____ 288 =

45. Resuelvan. Escriban el resultado como frac-ción irreducible.

a. 2 __ 7 + 5 __ 9 – 1 __ 3 – 1 __ 9 =

d. 20 ___ 16 . 32 ___ 15 . 25 ___ 8 =

b. 9 ___ 18 + 25 ___ 4 – 7 __ 6 =

e. 56 ___ 18 . 15 ___ 14 : 6 __ 5 =

c. 49 ___ 32 : 147 ____ 16 = f. 15 ___ 16 : 21 ___ 20 : 50 ___ 14 =

46. Ordenen de menor a mayor los resultados de la actividad anterior.

47. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.a. El triple de la raíz cuadrada de dieciséis novenos.b. La raíz cúbica de la mitad de cincuenta y cuatro.c. El producto entre un medio y dos quintos.d. El cociente entre diez novenos y diez tercios.e. La mitad de la suma entre dos tercios y cinco cuartos.f. El cuadrado de siete quintos, más uno.

47


28.9.10.11.12CONTENIDOS


4

3

5

4

43

54

50

3

16

31

4

9

7

6

2

3

5

3

2

1

4

200

7 1

63 105

5

10217

120

340

336

1 __ 5 1 __ 2 7 __ 5 2 29 ___ 10

1 __ 3

1 __ 8

2 __ 3

3 ___ 16

23 ___ 24

1 __ 5

1 __ 3

3

4

74 ___ 25


25 ___ 63 25 ___ 3

67 ___ 12 25 ___ 9

1 __ 6

c. 1 __ 6 < f. 1 __ 4 < a. 25 ___ 63 < e. 25 ___ 9 < b. 67 ___ 12 < d. 25 ___ 3

1 __ 4

P12-3083-C02.indd 47 10/31/12 5:56 PM

4848

48. Lean atentamente y resuelvan.a. Anabella tiene 108 fotos que se tomó con sus amigas. La cuarta parte las tiene pegadas en un mural en su pared, la mitad las colocó en un álbum y el resto, las quiere guardar en una caja. ¿Qué parte de las fotos piensa guar-dar? ¿Cuántas fotos tiene pegadas en el mural?b. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado, si se sabe que su área es de 121 ____ 100 cm2?c. Adriana tiene un sueldo de $6 360; desti-na 1 __ 4 para el alquiler de su departamento, 1 __ 5 para impuestos, la tercera parte para dis-tintos gastos del mes y el resto lo ahorra. ¿Qué parte ahorra del sueldo?

49. Resuelvan.

a. 3 √ ___

27 ___ 8 . [ ( 2 __ 3 ) 2 + 8 __ 3 ] – 10 ___ 3 =

b. 1 – ( 1 __ 2 ) 2 + 6 __ 8 . 1 __ 3 + √ ___

36 ___ 9 =

c. 2 . [ 16 ___ 5 : 8 __ 3 + 7 ___ 10 . 5 ___ 14 – 1 __ 2 . ( 4 __ 3 . 12 ___ 8 ) ] =d. √

______

13 ___ 9 – 1 . ( 5 __ 3 + 7 ___ 12 ) + 5 __ 3 =

50. Resuelvan.a. Al casamiento de Graciela asistieron 60 invi-tados, entre adultos, jóvenes y niños. Si hay 1 __ 2 de adultos y 20 jóvenes, ¿cuántos niños hay en la reunión?b. Nicolás tenía ahorrados $432. Destinó la mitad para comprar una bici, la cuarta parte para comprar un videojuego para la computado-ra, la sexta parte para un libro y 1 ___ 12 para hacerle un regalo a su hermana menor. ¿Cuánto dinero gastó en cada compra?c. En el cumpleaños de Rodrigo, su mamá cortó la torta en 16 porciones. Si su amigo Juan come 1 __ 8 de la torta, su hermana Mariana 1 ___ 16 y Rodrigo 1 __ 4 , ¿cuántas porciones sobraron?d. La cuarta parte de un edificio está com-puesta por departamentos de un ambiente, las dos terceras partes por departamentos de dos ambientes y el resto de tres ambientes. Si en total son 48 departamentos, ¿cuántos de cada tipo hay?

51. Planteen y resuelvan las siguientes situa-ciones.

a. El área y el perímetro del siguiente rectángulo.

1— 3 m

2— 5 m

b. El área sombreada sabiendo que abcd y efcg son cuadrados, ab = 6 __ 5 m y cf = 1 __ 2 . ab.

d cg

a b

fe

c. El perímetro de la siguiente figura sabiendo que abce es un cuadrado, cde es un triángulo equilátero y ab = 1 __ 4 m.

a b

e c

d

d. El área sombreada, si abcd es un rectángu-lo, ab = 9 __ 2 cm y bc = 3 __ 4 cm.

a b

d ce

52. Escriban en lenguaje coloquial y resuelvan.

a. 3 __ 8 . 1 __ 6 = c. √ ______

25 ___ 9 – 1 =

b. 3 __ 5 : 10 ___ 3 = d. 3 __ 4 . √ ___

25 ___ 9 =

48

10 niños.

$216; $108; $72; $36

Sobraron 9 porciones.

12 de un ambiente, 32 de dos ambientes y 4 de tres ambientes.

1 __ 4 del total. 27 fotos.

22 ___ 5 cm

$1 378

4 __ 3

19 ___ 6

3

9 ___ 10

a. Á. = 2 ___ 15 m2; P = 22 ___ 15 m

b. AS = 27 ___ 25 m2

c. P = 5 __ 4 m

c. AS = 27 ___ 16 m2

1 ___ 16 4 __ 3

9 ___ 50 5 __ 4

P12-3083-C02.indd 48 10/31/12 5:56 PM



49

12 15 16 17 191813 14

Una fracción representa una relación entre dos cantidades.

Agustina quiere pintar las paredes de su casa. Para lograr el color que le gusta, mezcló dos potes rojos con cinco amarillos. ¿Cuál es la fracción que representa la relación entre los potes rojos y amarillos?La fracción 2 __ 5 indica que cada dos potes rojos se deben utilizar cinco amarillos.

Si se efectúa la división entre el numerador y el denominador de una fracción, el cociente que se obtiene es la expresión decimal de la fracción, que está formada por una parte entera y una parte decimal.

5 ___ 10 = 0,5 “cinco décimos” 5 ____ 100 = 0,05 “cinco centésimos” 5 ______ 1 000 = 0,005 “cinco milésimos”

El denominador de una fracción decimal tiene tantos ceros como lugares decimales tiene la expresión decimal que le corresponde.

Una fracción irreducible tiene una expresión decimal finita, cuando los factores primos del deno-minador son potencias de 2, de 5 o de ambos.

3 __ 2 = 15 ___ 10 = 1,5 8 ___ 25 = 32 ____ 100 = 0,32 1 __ 8 = 125 ______ 1 000 = 0,125

Existen fracciones que no se pueden escribir como fracción decimal y por lo tanto, no tienen una expresión decimal finita.

2 __ 9 no tiene una fracción decimal equivalente, porque uno de sus factores primos (el 3) no es potencia de 2 ni de 5. Por lo tanto, 2 __ 9 es una expresión decimal periódica.

2 __ 9 = 2 : 9 = 0,222… = 0,2 Se puede seguir dividiendo infinitamente.

La expresión tiene infinitas cifras decimales periódicas.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Cómo se obtiene la expresión decimal de una fracción?b. La expresión 2,10, ¿se lee dos enteros diez décimos o dos enteros diez centésimos?c. ¿Qué estrategia pueden utilizar para decidir si la expresión decimal correspondiente a 42 ___ 63

es finita o periódica (sin hacer la división)?


infoactiva

2120 22

a. Dividiendo numerador por denominador. b. Dos enteros diez centésimos. c. Encontrar la fracción irre-ducible; si el denominador es 3 o múltiplo de 3, es periódica.

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53. Escriban la expresión decimal que corresponde a cada fracción.

a. 1 __ 4 =

c. 8 ___ 10 =

e. 1 __ 2 =

g. 4 __ 9 =

b. 1 __ 3 =

d. 5 ___ 10 =

f. 2 __ 3 =

h. 1 ___ 20 =

54. Escriban la fracción que corresponde a cada expresión decimal.

a. 0,5 =

b. 0,14 =

c. 2,5 =

d. 0,23 =

55. Completen con <, > o = según corresponda.

a. 0,7 0,7 d. 0,23 0,2 g. 1,03 1,03

b. 0,24 0,241 e. 2,777 2,7 h. 0,7 7 __ 9

c. 0,6 2 __ 3 f. 1,03 1,3 i. 1 ___ 25 0,04

56. Marquen con una X las fracciones decimales.

a. 1 ____ 100 c. 5 ___ 12 e. 7 ___ 18 g. 4 ____ 125

b. 7 ___ 10 d. 12 ___ 20 f. 3 __ 8 h. 4 ___ 45

57. Completen con una expresión decimal que se encuentre entre los números dados.

a. 1,5 1,7 e. 1,12 1,12

b. 1,5 1,6 f. 0,83 0,83

c. 0,05 0,5 g. 0,83 0,83

d. 1,05 1,5 h. 0,68 0,68

58. Resuelvan.a. Escriban dos cuentas de dividir entre números naturales que den como resultado 0,2.

b. Escriban dos cuentas de dividir entre números naturales que den como resultado 1,75.

59. Completen la tabla.

Fracción irreducible Fracción equivalente Fracción decimal Expresión decimal

3 __ 5

10 ___ 8

1,36

13 Fracciones y expresiones decimalesACTIVIDADES

50

0,25 0,8 0,5 0,444…

0,333… 0,5 0,666… 0,05

5

10

14

100

25

100

23

100

< =

<< >

>

= =<

X

1,6

2 : 10; 1 : 5

175 : 100; 7 : 4

1,123

1,54 0,832

0,5 0,834

1,2 0,685

X XX

X

21 ___ 35 6 ___ 10 0,6

5 __ 4 125 ___ 100 1,25

34 ___ 25 68 ___ 50 136 ____ 100

P12-3083-C02.indd 50 10/31/12 5:56 PM

Operaciones con expresiones decimales. Porcentaje


51

13 16 17 18 1914 15

El resultado de multiplicar dos expresiones decimales finitas tiene tantos lugares decimales como la suma de los lugares decimales de los factores.

Cuando se multiplica una expresión decimal por 10, 100, 1 000, etc., se corre la coma a la dere-cha tantos lugares como ceros tenga el 10, 100, 1 000, etc.

1,21 . 10 = 121 ____ 100 . 10 = 121 ____ 10 = 12,1

Para realizar la división decimal, se debe multiplicar el dividendo y el divisor por 10, 100, 1 000, para que el divisor sea un número natural.

43,25 : 1,5 22,8 : 4,12 . 10 . 10 . 100 . 100

432,5 : 15 2 280 : 412

Cuando se divide una expresión decimal por 10, 100, 1 000, etc., se corre la coma a la izquierda tantos lugares como ceros tenga 10, 100, 1 000, etc.

Para calcular la potencia o raíz de una expresión decimal, se puede escribir la forma fraccionaria de la expresión y luego, se resuelve la operación.

0,72 = ( 7 ___ 10 ) 2 = 49 ____ 100 = 0,49 √ _____ 0,09 = √

____

9 ____ 100 = 3 ___ 10 = 0,3

PorcentajeUn porcentaje indica la proporción de un entero. Para comprender cómo se obtiene un porcen-

taje se puede tener en cuenta el siguiente ejemplo:

28% de 300 = 28 ____ 100 . 300 = 28 . 300 ________ 100 = 84

AproximaciónPara aproximar por redondeo a una cifra decimal determinada hay que observar la cifra decimal

siguiente:• Si es mayor o igual que 5, se suma uno a la cifra

considerada y se eliminan el resto de las cifras.

0,27 aproximado a los décimos es 0,3

• Si es menor que 5, la cifra considerada se deja igual y se eliminan el resto de las cifras.

0,24 aproximado a los décimos es 0,2

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Qué estrategia se puede utilizar para multiplicar 5,24 . 0,3?b. En el cálculo 5 : 1,2, ¿conviene multiplicar ambos números por cien?c. El 13% de 1 690, ¿es lo mismo que 0,13 . 1 690?


infoactiva

2120 22 23

En la página 41 pueden repasar cómo se resuelve la potenciación y la radicación de fracciones.

a. Se pueden aplicar propiedades de la multiplicación. b. No, conviene multiplicarlos por 10. c. Sí.

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60. Resuelvan los siguientes cálculos.

a. 6,25 + 8,73 =

f. 12,07 – 10,28 =

b. 5 + 3,807 = g. 20,08 – 19,19 =

c. 39,06 + 15,41 = h. 3,21 + 4 – 6,17 =

d. 15,097 + 3,809 =

i. 8,12 + 3,15 – 7,01 =

e. 7 – 4,519 =

j. 11,03 – 8,25 – 1,7 =

61. Planteen y resuelvan.a. Natalia compró una remera de $125,30 y unas botas de $339,80. ¿Cuánto gastó en total?

b. Pablo fue al supermercado con $879,50 y gastó $607,45 en sus compras del mes. ¿Cuánto le sobró?

c. Marina tenía ahorrados $578,35, su madrina le regaló $137,20 y luego gastó $308,75 en un par de lentes. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado aún?

d. Ana Clara fue al shopping y gastó $139,99 en una remera, $150,50 en un short y $205,30 en una bikini. Si llevó $500,70, ¿cuánto dinero le sobró?

e. En una carnicería, el kilogramo de lomo cuesta $75,70. Si Claudio compró 2 kilogramos y medio, ¿cuánto dinero gastó?

62. Escriban como expresiones decimales y resuelvan.

a. 10,2 + 3 __ 5 = d. 7 __ 8 + 3,46 – 1 __ 5 =

b. 7,389 – 17 ___ 4 = e. 22,7 – 29 ___ 5 – 7 =

c. 26 ___ 8 – 0,75 = f. 6,23 – ( 1 __ 2 + 6 __ 4 ) =

14 Operaciones con expresiones decimales. PorcentajeACTIVIDADES

52

14,98 1,79

8,807

2,481

0,89

54,47 1,04

18,906 4,25

1,08

125,30 + 339,80 = 465,10

Gastó en total $465,10.

879,50 – 607,45 = 272,05

Le sobró $272,05.

578,35 + 137,20 – 308,75 = 406,80

Aún tiene ahorrados $406,80.

500,70 – 139,99 – 150,50 – 205,30 = 4,91

Le sobraron $4,91.

75,70 . 2,5 = 189,25

Gastó $189,28.

10,8 4,135

3,139 9,9

2,5 4,23

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63. Rodeen con color la respuesta correcta, sin hacer la cuenta.

a. 3,5 . 0,2 = 0,07 | 0,7 | 7 d. 1,2 : 0,3 = 0,04 | 0,4 | 4b. 13 . 0,3 = 0,39 | 3,9 | 0,039 e. 0,6 : 1,5 = 0,4 | 4 | 0,04c. 0,04 . 0,5 = 0,002 | 0,02 | 0,2 f. 9,6 : 3 = 0,32 | 3,2 | 0,032

64. Unan con una flecha cada cálculo con su resultado.

a. 1,5 . 0,2 = g. 4,8 : 2,4 = b. 0,015 . 0,2 = • 3 h. 0,48 : 2,4 = • 2c. 1,5 . 2 = • 0,3 i. 0,048 : 24 = • 0,2d. 0,15 . 0,2 = • 0,03 j. 0,48 : 0,24 = • 0,02e. 0,15 . 0,02 = • 0,003 k. 0,048 : 0,24 = • 0,002f. 0,15 . 2 = l. 0,048 : 2,4 =

65. Completen las tablas.

Número : 10 : 100 Número : 100 : 1 000

2 0,05

3,55 300

384 0,45

0,87 2

0,3 0,07

66. Escriban cada número como fracción y resuelvan.

a. 0,43 = g. √ ____ 0,81 =

b. 1,92 = h. 3 √ ______ 0,027 =

c. 0,15 = i. √ ____ 2,25 =

d. 1,12 = j. √ ____ 1,69 =

e. 0,73 = k. 4 √ ______ 0,0016 =

f. 2,92 = l. 3 √ ______ 0,343 =

67. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. Expresen el resultado como fracción y como expresión decimal.

a. La diferencia entre la cuarta parte de 128 y el cuadrado de 2,5.

b. La suma entre la tercera parte de 106,5 y la raíz cuadrada de 1,44.


53


128 . 1 __ 4 – 2,52 = 103 ____ 4 = 25,75

106,5 . 1 __ 3 + √ ____

1,44 = 367 ____ 10 = 36,7

0,2

0,355

38,4

8,7

0,02

0,0355

3,84

0,03

87 2 000

45

20

5 0,005

3 70 0,7

0,33

0,045

( 29 ___ 10 ) 2

= 841 ____ 100 = 8,41 3 √ _____

343 _____ 1 000 = 7 ___ 10 = 0,7

( 7 ___ 10 ) 3 = 343 _____ 1 000 = 0,343

4 √ ______

16 ______ 10 000 = 2 ___ 10 = 0,2

( 11 ___ 10 ) 2 = 121 ____ 100 = 1,21 √ ____

169 ____ 100 = 13 ___ 10 = 1,3

( 1 ___ 10 ) 5 = 1 _______ 100 000 = 0,00001 √

____

225 ____ 100 = 15 ___ 10 = 1,5

( 19 ___ 10 ) 2

= 361 ____ 100 = 3,61 3 √ _____

27 _____ 1 000 = 3 ___ 10 = 0,3

( 4 ___ 10 ) 3

= 64 _____ 1 000 = 0,064 √ ____

81 ____ 100 = 9 ___ 10 = 0,9

P12-3083-C02.indd 53 10/31/12 5:56 PM

68. Calculen mentalmente los siguientes porcentajes.

a. 20% de 100 = d. 10% de 200 =

g. 30% de 1 000 =

b. 50% de 70 =

e. 10% de 50 =

h. 5% de 120 =

c. 25% de 80 =

f. 30% de 100 = i. 3% de 100 =

69. Resuelvan los siguientes porcentajes.

a. 4% de 120 =

e. 55% de 7 000 =

b. 10% de 580 = f. 42% de 300 =

c. 26% de 2 000 =

g. 130% de 500 =

d. 70% de 130 =

h. 175% de 400 =

70. Resuelvan las siguientes situaciones y redondeen el resultado a los centésimos, si es necesario.a. Daniela compró una licuadora que costaba $355,5. Como abonó en efectivo, le hicieron un descuento del 20%. ¿Cuánto pagó por la licuadora?

b. Silvia compró la misma licuadora que Daniela, pero como abonó con tarjeta de crédito, le recargaron un 16%. ¿Cuánto pagó Silvia?

c. A una fiesta de egresados asistieron 160 personas. El 25% de los asistentes era de otras escuelas y de los restantes, el 15% eran los alumnos organizadores. ¿Cuántos chicos de otras escuelas asistieron a la fiesta? ¿Cuántos chicos la organizaron?


54

Un librero aumentó un 25% el precio de una novela que costaba $110. Una semana después se la vende a un amigo al mismo precio que tenía antes del aumento; ¿debió descontar un 25% al nuevo precio para llegar al mismo costo que tenía el libro?

menteACTIVA

20

4,8 3 850

58 126

520 650

91 700

20 300

35 5 6

20 30 3

$284,4

No, debe descontarle el 20% al nuevo precio.

$408,825

Asistieron 40 chicos de otras escuelas. 15 chicos organizaron la fiesta.

P12-3083-C02.indd 54 10/31/12 5:56 PM



55

14 17 18 1915 16 24

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Cómo se resuelve un cálculo combinado que incluye fracciones y expresiones decimales?b. ¿Cómo se resuelve √

________

1 ___ 25 + 0,12 ?


infoactiva

Para resolver una operación donde intervienen fracciones y expresiones decimales combinando las operaciones estudiadas, pueden seguir estos pasos:

2,5 . 4 __ 5 + 0,42 : 3 ___ 10 – √ _____ 0,36 = 1. Se separa en términos.

25 ___ 10 . 4 __ 5 + ( 4 ___ 10 ) 2 : 3 ___ 10 – √ ____

36 ____ 100 = 2. Se pasan las expresiones decimales a fracción.

25 ___ 10 . 4 __ 5 + 16 ____ 100 : 3 ___ 10 – 6 ___ 10 = 3. Se resuelven las potencias y raíces.

2 __ 3 + 16 ___ 30 – 6 ___ 10 = 3 __ 5 4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. Luego las

sumas y restas, y se simplifica.

Si en el cálculo aparecen paréntesis, primero se resuelven las operaciones que ellos encierran.

3 __ 2 . ( 1,2 + 3 __ 5 ) – √ _____ 1,21 = 1. Se separa en términos.

3 __ 2 . ( 12 ___ 10 + 3 __ 5 ) – √ ____

121 ____ 100 = 2. Se convierten las expresiones decimales a fracción.

3 __ 2 . 18 ___ 10 – √ ____

121 ____ 100 = 3. Se resuelven los paréntesis.

3 __ 2 . 18 ___ 10 – 11 ___ 10 = 4. Se resuelven las potencias y raíces.

27 ___ 10 – 11 ___ 10 = 8 __ 5 5. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. Luego las sumas y restas, y se simplifica.

En algunos casos, es posible aplicar la propiedad distributiva para suprimir los paréntesis.

2,5 . ( 3 __ 2 + 0,8 ) – ( 3 __ 2 ) 2 = 1. Se separa en términos.

5 __ 2 . ( 3 __ 2 + 4 __ 5 ) – ( 3 __ 2 ) 2 = 2. Se convierten las expresiones decimales a fracción.

5 __ 2 . 3 __ 2 + 5 __ 2 . 4 __ 5 – ( 3 __ 2 ) 2 = 3. Se aplica la propiedad distributiva.

5 __ 2 . 3 __ 2 + 5 __ 2 . 4 __ 5 – 9 __ 4 = 4. Se resuelven las potencias y raíces.

15 ___ 4 + 20 ___ 10 – 9 __ 4 = 7 __ 2 5. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. Luego las sumas y restas, y se simplifica.

2120 22 23

a. Se expresan todos los números como fracción. b. Primero se resuelve el radicando y luego, la raíz.

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56

71. Coloquen >, < o = según corresponda.

a. 3 √ ______ 0,008 + 1 3 √

______ 0,027 + 1 c. 2 . √

____ 0,64 2 . 3 √

______ 0,064 e. 5 √

________ 0,00032 4 √

______ 0,0016

b. 1,22 – 1 1,12 – 1 d. 0,043 + 0,1 0,42 + 0,1 f. (0,1 + 0,03)2 1,32

72. Resuelvan los siguientes cálculos.

a. ( 0,62 – 1 __ 5 ) 2 = g. 4 √ ______ 0,0001 : 3 ___ 20 + 1,2 – 14 ___ 3 . 2 __ 5 =

b. √ _______

12 ___ 10 . 0,3 = h. ( 1 __ 3 + 1 __ 5 ) 2 : √ ____ 2,25 + 5 __ 9 – 4 ___ 90 =

c. 1,32 – 1,12 = i. 3 √ ____

( 1 __ 2 ) 3 + 3,2 – ( 0,12 + √ ____ 0,04 ) =

d. 0,23 + √ ___

1 ___ 64 = j. ( √ ___

4 ___ 25 + 0,52 ) : 1,69 + 5 ___ 26 =

e. 1 __ 3 + √ ____ 0,25 – 0,52 = k. ( √

_____ 0,642 + 3 √

__

1 __ 8 – 4 __ 5 ) : 34 =

f. 3 √ ____________

0,05 + 0,075 . 6 __ 5 + 9 ___ 10 = l. ( √ ____ 0,01 + √

____ 0,25 ) 2 . 1 __ 2 + 0,12 =

< > =

> < <

12 ___ 25

21 ___ 20

3 __ 5

1 __ 3

441 _____ 2 500

133 _____ 1 000

349 ____ 100

3 ___ 10

473 ____ 675

1 ____ 100

0

15 ___ 26

P12-3083-C02.indd 56 10/31/12 5:56 PM

73. Ubiquen los siguientes números en una recta numérica.

a. 1 __ 5 ; 0,4; 1,2; 3 __ 2 ; 2

b. 5 __ 3 ; 3,3; 2,6; 2 __ 6 ; 3

74. Escriban cada fracción como expresión decimal. Luego, ordenen de mayor a menor las expresiones obtenidas.

a. 1 ___ 25 b. 5 __ 9 c. 7 ___ 10 d. 7 __ 9


a. 3 ___ 16 f. 17 ___ 8

b. 7 _____ 1 000 g. 23 ___ 15

c. 5 ___ 27 h. 9 ___ 50

d. 2 ____ 625 i. 24 ___ 25

e. 6 ___ 49 j. 3 ___ 81

76. Completen con >, < o = según corresponda.

a. √ ____ 0,64 0,64 f. √

____ 0,04 1 __ 4

b. √ ____ 2,56 23 ___ 5 g. 7,7 7,77

c. 3 √ _____ 0,001 ( 1 ___ 10 ) 2 h. 5 __ 9 0,5

d. 3 √ _____

1 000 _____ 343 ( 1 __ 7 ) 2 i. ( 3 ___ 10 ) 2 ( 3 __ 9 ) 2 e. 3,52 25 ___ 2 j. ( 5 __ 4 ) 2 √

___

25 ___ 4

77. Resuelvan los siguientes cálculos combinados.a. 0,252 + 0,52 – 3 √

______ 0,008 =

b. 3 √ ___

1 ____ 125 – 0,25 : 2 + 17 ___ 40 =

c. 0,32 + √ ___

9 ___ 25 – ( 6 ___ 15 . 1,5 ) 2 =d. 0,2 + √

__

1 __ 9 + 2 __ 3 =

e. 3 √ ____________

0,015 + 0,012 . 5 __ 6 + 3 __ 2 =

f. ( 3 √ ___

27 ___ 8 + 0,52 ) : 1,5 – 1 =

g. ( √ ____ 0,64 + √

____ 0,09 ) 2 – ( 0,9 . 22 ___ 3 . 1 __ 6 ) =

78. Escriban el número que verifica el cálculo.

a. ( 1 ___ 10 + 0,4 ) . = 3 ___ 16

b. 4 √ _____

. 1,5 = 1

c. 0,25 : 4 + = 5 ___ 16

d. ( ) 2

+ 0,5 = 11 __ 4

79. Lean atentamente y resuelvan.a. En una heladería, un kilogramo de helado cuesta $58,40. Cliente 1: compró 5 kilos.Cliente 2: compró 2,5 kilos.Cliente 3: compró 7,5 kilos.¿Cuánto pagó cada cliente por su compra?• Si al comprar más de 4 kilos se realizara un descuento del 10%, ¿cuánto debería pagar cada cliente?b. Un pastelero compró 121 kg de chocolate a $65,5 el kilo para elaborar bombones.• ¿Cuánto pagó por el chocolate que compró? • Si el kilo de bombones cuesta $82, ¿cuán-tos kilos de bombones necesita vender para recuperar el dinero invertido?

80. Calculen el perímetro de las siguientes figuras.

a. ab = 3,85 cmbc = 5,25 cm a d

b c

b. ab = 2,15 cm a d

b c

c. ab = 4,08 cmac = 1 __ 2 . ab cm

b

a c

57


213.14.15CONTENIDOS


X X

X

X

X X

<

>

<

>

=

<

<

>

>

<

3

8

16

81

1

4

3

2

P = 10,2 cm

9 ___ 80

a. C1: $262,8; C2: $146; C3: $394,2b. $792,55. Necesita vender 10 kg.

1 __ 2

33 ____ 100

6 __ 5

7 __ 4

1 __ 6

11 ____ 100


d. 0,7 < c. 0,7 < b. 0,5 < a. 0,04

P = 8,6 cm

P = 18,2 cm

P12-3083-C02.indd 57 10/31/12 5:56 PM

81. Respondan.a. Sabrina multiplicó un número por 10, luego lo dividió por 13 y el resultado que obtuvo fue 9. ¿Cuál es el número?b. A otro número lo dividió por 100, le sumó 50,5 y obtuvo 100. ¿De qué número se trata?


Aproximación por redondeo...

Expresión decimal

al entero a los décimos

a los centésimos

3,49

8,89

0,78

0,008

0,0096

13,0746

83. Resuelvan.a. Antes de llegar a su destino, un avión rea-lizó dos escalas. En la primera descendieron 35 personas, en la segunda 50 y 175 llegaron al destino final. ¿Qué porcentaje descendió en cada escala? ¿Y en el lugar de destino?b. En un curso de 36 alumnos, 3 no asistie-ron el lunes a la escuela, ¿qué porcentaje de asistencia hubo ese día?c. Si durante el mes de abril llovió 6 días, ¿cuál es el porcentaje de días de lluvia?d. Un equipo de música se vendió con un 12% de descuento a $1 337,60. ¿Cuál es el precio sin descuento?e. En un recital, se vendieron 624 entradas de un total de 780. ¿Qué porcentaje de entra-das quedó sin vender?

84. Calculen mentalmente.a. 10% de 140. g. 50% de 88.b. 10% de 55. h. 50% de 1 350.c. 20% de 90. i. 75% de 100.d. 20% de 300. j. 75% de 1 200.e. 25% de 1 000. k. 150% de 64.f. 25% de 80. l. 150% de 1 300.

85. Lean atentamente y marquen con una X el cálculo que permite resolver el problema.En el año 2005, una escuela tenía 600 alum-nos en su matrícula. Si en el 2013 la matrícula aumentó en un 15%, ¿cuántos alumnos tiene ese año?

a. 600 . 1,15

b. 600 + 600 . 15 : 100

c. 600 . 15 : 100

d. 600 . 0,85

86. Respondan.a. El 40% de una cantidad es 1 500. ¿Cuál es esa cantidad?b. El 75% de cierta cantidad es 6 000. ¿De qué cantidad se trata?c. Si el 125% de una cantidad es 120, ¿cuál es esa cantidad? ¿Y su 25%?d. El 20% de cierta cantidad aumentada en 15 es 29. ¿Cuál es esa cantidad?e. El 30% de cierta cantidad, disminuido en 26 es igual a 22. ¿Cuál es esa cantidad?f. El 50% de una cantidad, multiplicado por 3 es 141. ¿Cuál es esa cantidad?

87. Verifiquen que a todos los precios se les haya realizado un 20% de descuento. Corrijan los precios incorrectos.

Precio anterior

Precio con descuento

Camisa $240,20 $192,16

Pantalón $290,50 $246,93

Campera $350 $297,50

Zapatillas $315,70 $252,56

88. Resuelvan los calculos combinados.a. 10% de $580 + 35% de $128 =b. 112% de $53 – 50% de $47 =c. 36% de $54 + 20% de $49 =d. 75% de $81 + 90% de $142 =e. 32% de $65 – 12% de $73 =

58

X

X

3 3,5

9 8,9

1 0,8

0 0

0 0

13 13,1

3,49

8,89

0,78

0,1

0,1

13,07

14

5,5

18

60

250

20

44

675

75

900

96

1 950

$102,8

Pantalón: $232,4; Campera: $280

$35,86

$29,24

$188,55

$12,04

11,7

4 950

a. 1.° escala: 13,5%; 2.° escala: 19,2%; Destino: 67,3%b. 91,7%. c. 20%. d. 1 520. e. 20%

3 750

8 000

96; 24

70

160

94

P12-3083-C02.indd 58 10/31/12 5:56 PM

Autoevaluación 289. Representen en la recta numérica.

a. 1 ___ 12 ; 0,5; 0,3; 5 __ 6 ; 0,75

0

90. Escriban la fracción irreducible y la expresión decimal que corresponde en cada caso.a. b. c.

= = =


a. La suma entre la raíz cuadrada de 0,64 y el cuadrado de 1 __ 2 . =

b. La diferencia entre la raíz cuadrada de 49 ___ 64 y la raíz cúbica de 1 ___ 64 . =

c. El cociente entre la suma de 0,5 y 1 __ 5 , y la raíz cuadrada de 49 ____ 100 . =

d. El producto entre la suma de 5 __ 8 y 5 ___ 10 , y la raíz cuadrada de 2,56. =

92. Lean atentamente y resuelvan.a. En la librería “Pitágoras” se vendieron 120 novelas románticas durante el mes de marzo. En abril, la venta de esas novelas disminuyó un 15% y en mayo, aumentó un 25% respecto de marzo. ¿Cuántas novelas se vendieron durante los meses de abril y mayo?

b. En la misma librería hay un estante con libros de Matemática, Física y Biología. Los libros de Matemática son 32 y los de Física son 16; entre ambos representan el 60% del total de los libros del estante. ¿Cuántos libros hay en el estante? ¿Cuántos son de Biología?

93. Resuelvan los cálculos combinados.

a. 3 √ _______

27 ___ 64 . 125 ____ 8 + √ ________ 1 – 0,75 – ( 1 – 1 __ 2 ) 2 =

b. 2 __ 3 . √

___

1 ____ 144 + √ ____ 1,44 : 0,42 – ( 1 __ 3 ) 3 =

59

capítulo

3

4

2

3

3

8

21

20

5

8

1

1

9

5

17

8

203

27

0,75 0,6 0,375

102; 150

80; 32


√ ____ 0,64 + ( 1 __ 2 ) 2

√ ___

49 ___ 64 – 3 √ ___

1 ___ 64

( 0,5 + 1 __ 5 ) : √ ____

49 ____ 100

( 5 __ 8 + 5 ___ 10 ) . √ ____ 2,56

P12-3083-C02.indd 59 10/31/12 5:56 PM

60

FuncionesContenidos16. Gráficos y tablas.

17. Funciones.

18. Función de

proporcionalidad directa.

19. Función de

proporcionalidad inversa.

3capítulo

Situación inicial de aprendizaje1. Observen la escena y respondan.

a. ¿De qué depende la cantidad de personas que podemos encontrar en cada puesto?b. Si una persona tiene $50 para comprar naranjas, ¿de qué depende la cantidad que puede comprar?c. Si solo se vende fruta por kilogramo y una señora gastó $36 en manzanas, ¿dónde compró?d. ¿Cuántos kilos de cada fruta compró una persona que gastó $38 en “Lo de Fermín”? Pueden ayudarse armando una tabla donde registren los precios de cada fruta según la cantidad.e. Modifiquen las situaciones anteriores para que tengan una única solución. Luego, respóndanlas.a. De los precios, la calidad de la fruta, etc. b. Del precio del kg. c. “Sebastián” o “Don Juan”. d. Por ejemplo, 4 kg de manzanas y 6 kg de naranjas. e. Solución a cargo de los alumnos.

P12-3083-C03.indd 60 10/31/12 4:59 PM

61

Gráficos y tablas

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Es posible representar un punto a sabiendo que su abscisa es x = 3?b. ¿Se pueden usar diferentes escalas para cada eje de coordenadas?c. El punto a = (2;3), ¿coincide con el punto b = (3;2)?


61

18 19 20 22 232116 1715 24 25

infoactiva


Un sistema de ejes cartesianos está formado por dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas.

La recta horizontal se denomina eje de abscisas (eje x) y la vertical, eje de ordenadas (eje y).Cada punto queda determinado por un par ordenado de valores, donde el primero representa la

abscisa y el segundo, la ordenada.

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5

ba

c

y

x

o

250

200

150

100

50

0 1 2 3 4 5

qp

y

x

Para representar estos puntos conviene tomar unidades distintas en cada eje.

o = (0;0) es el origen de coordenadas p = (1;150)a = (1;1) b = (2;0) c = (0;4) q = (5;200)

Los gráficos permiten leer con mayor facilidad los

datos de una situación. El siguiente gráfico muestra la variación de la temperatura a través de las horas.

• En el eje x se representó el tiempo (expresado en horas) y en el eje y, la temperatura (en °C).

• A las 13 horas se registró la mayor temperatura y a las 10 horas, la menor.

• Entre las 10 horas y las 13 horas la temperatura aumentó y, luego, empezó a descender.

• Entre las 16 horas y las 17 horas la temperatura se mantuvo constante.

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0 10 11 12 13 14 15 16 17

tem

pera

tura

(en

°C)

tiempo (en horas)

//

Los datos del gráfico se pueden traducir a una tabla como la siguiente.

Tiempo (en horas) 10 11 12 13 14 15 16 17

Temperatura (en °C) 14 16 19 20 18 17 16 16

a. No. b. Sí. c. No.

P12-3083-C03.indd 61 10/31/12 4:59 PM

1. Representen los puntos en el sistema de ejes cartesianos.

a = (3;1)b = (2;3)c = (6;7)d = (7;0)e = (0;9)f = (0;0)g = (9;5)h = (5;10)i = (1;6)

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

y

x

2. Escriban las coordenadas de cada uno de los puntos representados en el gráfico.

a = ( ; ) b = ( ; ) c = ( ; ) d = ( ; ) e = ( ; )

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y

x

b

ea

cd

3. Representen los datos de la tabla en el sistema de ejes cartesianos.

x y

3 5

0 2

0 0

5 1

6 0

7 8

8 6

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y

x

16 Gráficos y tablasACTIVIDADES

62

e

f

b

c

a

d

g

2

4

5

0

8

2

0

6

6

2

i

h

P12-3083-C03.indd 62 10/31/12 4:59 PM

4. Completen con el par ordenado que cumple con lo indicado y luego, representen.

a. La ordenada es 5 y la abscisa, 7.

a = ( ; ) b. La abscisa es 4 y su ordenada el doble.

b = ( ; ) c. Un punto que se encuentre sobre el eje de ordenadas y otro, sobre el eje de abscisas.

c = ( ; ) d = ( ; ) d. La abscisa vale la mitad que la ordenada.

e = ( ; ) e. El punto que cumple la condición anterior si y = 5.

f = ( ; )

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

x

5. Observen el gráfico y resuelvan.a. Completen la tabla.

Hora Temperatura (en °C)

1

16

7:30

24

b. ¿A qué hora la temperatura fue de 12 °C?

c. ¿A qué hora se registró la temperatura máxima? ¿Cuál fue dicha temperatura?

24

22

20

18

16

14

12

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

tem

pera

tura

(en

°C)

tiempo (en horas)

//

6. Observen el gráfico y respondan.Clara fue desde su casa al parque en bicicleta, tomó un refresco y regresó. El gráfico representa la distancia desde la casa de Clara al parque a medida que transcurrió el tiempo.

a. ¿Cuántos minutos...

• ... tardó en llegar al parque?

• ... estuvo en el parque?

• ... tardó en regresar a su casa? b. ¿Tardó más para ir al parque o para volver? Expliquen

la respuesta.


63


60

50

40

30

20

10

0 10 20 30 40 50 60 70 80

dist

anci

a (e

n cu

adra

s)

tiempo (en minutos)

Estuvo 30 minutos.

Tardó 30 minutos.

A la hora 0 y entre las 2 y las 4 h.

A las 11 h. Fue de 24 °C.

Tardó 20 minutos.

Tardó más para ir que para volver. En el

gráfico se ve que para ir tardó 30 min y para volver, 20 min.

c

f a

b

e

7 5

4 8

3 6

0 3 7 0

2,5 5

6

14

20

11

d

P12-3083-C03.indd 63 10/31/12 4:59 PM

64


64

7. Lean atentamente y respondan.Para controlar el sano crecimiento de su perra India, Abigail decidió anotar su peso durante 360 días.

a. ¿Cuánto pesaba India al nacer?

b. ¿Cuántos días tenía India cuando pesa-ba 3 kg?

c. ¿Cuál era el peso de la perra a los cua-tro meses?

d. ¿En algún período la perra mantuvo un peso constante? En caso de ser afirmati-vo, indiquen en qué período.

6

5

4

3

2

1

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

peso

(en

kg)

edad (en días)

8. Observen y respondan.Una empresa registró mediante el siguiente gráfico sus ingresos de los últimos 18 meses.

30

25

20

15

10

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

ingr

esos

(en

mil

es d

e $)

meses

a. Transcriban en la siguiente tabla los ingresos de la empresa en los seis últimos meses.

Mes

Ingreso (en $)

b. ¿En qué mes se registró el mayor ingreso? ¿Y el menor?

c. ¿En qué momento del año los ingresos de la empresa descienden? d. Completen la tabla, sabiendo que en los cuatro meses siguientes, las ganancias de la empre-sa aumentaron $2 500 por mes.

Mes 22

Ingreso (en $)

e. Continúen el gráfico con los datos obtenidos en el punto anterior.f. Si en los meses 23 y 24 se registró un ingreso de $22 500 cada mes, ¿el ingreso aumentó o disminuyó con respecto al mes 22? Representen estos datos en la gráfica.

150 días.

2 kg

No, siempre aumentó de peso.

0,5 kg

En el mes 12. En el mes 18.

A mitad de año.

El ingreso disminuyó.

19 20 21

17 500 20 000 22 500 25 000

13

22 500

14

25 000

15

25 000

16

27 500

17

22 500

18

15 000

P12-3083-C03.indd 64 10/31/12 4:59 PM

65

17Funciones


65

16 19 20 21 232218 25 2624

Cada una de las siguientes gráficas representa una relación entre dos variables.

30

24

18

12

6

0 1 2 3 4 5

y

x

prec

io (

en $

)

paquetes de salchichas

32

24

16

8

0 100 200 300 400

y

x

prec

io (

en $

)

cantidad de jamón (en g)

En el gráfico se relaciona la cantidad de paque-tes de salchichas con su precio. Los puntos apare-cen aislados porque se usan cantidades enteras (no se fraccionan).

En el gráfico se relaciona la cantidad de jamón con su precio. El gráfico está formado por una línea recta porque el jamón se puede vender en distintas cantidades.

Los dos gráficos corresponden a relaciones que son funciones.

Una relación es función cuando para todo valor representado sobre el eje x le corresponde un único valor representado sobre el eje y.

Para una determinada cantidad (variable independiente) existe un único precio (variable dependiente). Se dice que el precio depende de la cantidad o que el precio está en función de la cantidad.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. Si un mismo valor de x tiene tres valores de y distintos, ¿se puede decir que es función?b. Si a cada valor de la variable independiente le corresponde por lo menos un valor de la variable dependiente, ¿es función?c. ¿El gráfico de una recta siempre es función?d. La variable independiente, ¿se representa en el eje horizontal?


infoactiva

a. No. b. No. c. Sí, salvo que sea paralela al eje y. d. Sí.

P12-3083-C03.indd 65 10/31/12 4:59 PM

17 FuncionesACTIVIDADES

66

9. Escriban tres ejemplos de relaciones que sean función.

10. Marquen una X en los gráficos que corresponden a funciones. Expliquen la respuesta.a. c. e. y

x

y

x

y

x

b. d. f.

y

x

y

x

y

x

11. Resuelvan.a. Completen la tabla teniendo en cuenta la medida del lado de un pentágono regular y su perímetro.

Lado (en cm) 3 5

Perímetro (en cm) 5 10

b. Representen la información de la tabla en un sistema de ejes cartesianos.

c. ¿Es correcto unir los puntos del gráfico anterior? ¿Por qué?

d. La relación entre los lados de un pentágono regular y su perímetro, ¿es función? ¿Por qué?

X

X

X

a., b. y c. no son funciones, porque para el mismo valor de x le corresponden dos o más valores de y.

Sí, es función porque a distintas medidas del lado le corresponden perímetros diferentes.

35

30

25

20

15

10

5

0 1 2 3 4 5 6

perí

met

ro (

cm)

lado (cm)

Sí, es correcto porque el lado de un pentágono regular puede ser un número decimal.

y = 5 . x

1 2

15 25

El peso de la fruta en el comercio y el precio a pagar.

El lado de un triángulo equilátero y su perímetro.

La velocidad con la que circula un automóvil y el tiempo que tarda en recorrer cierta distancia.

P12-3083-C03.indd 66 11/2/12 11:49 AM

2418Función de proporcionalidad directa


67

17 20 21 22 2319 26 2725

1. Respondan y expliquen sus respuestas.a. Si las dos variables aumentan o disminuyen, ¿se puede decir que son directamente pro-porcionales?b. En una relación de proporcionalidad directa, si una variable aumenta el doble, ¿cuánto debe aumentar la otra?c. Si se multiplica por 1 __ 3 la variable independiente, ¿por cuánto se debe multiplicar la variable dependiente para que se mantenga una relación de proporcionalidad directa?d. A partir de los datos de una tabla, ¿cómo se puede identificar si se trata de una relación de proporcionalidad directa?


infoactiva

Dos variables son directamente proporcionales cuando el cociente entre las cantidades es constante.El número que se obtiene al dividir las cantidades se denomina constante de proporcionalidad (k).

El perímetro de un cuadrado es directamente proporcional a la medida del lado.

x: lado del cuadrado (en cm)

y: perímetro(en cm)

1 4

2 8

4 : 1 = 4

8 : 2 = 4k = 4 (constante de proporcionalidad)

• Lenguaje coloquial: el cociente entre dos cantidades correspondientes es igual a 4.• Lenguaje simbólico: y : x = 4, entonces y = 4 . x

fórmula de la función

La representación gráfica de cantidades directa-mente proporcionales da como resultado un conjun-to de puntos alineados sobre una recta que pasa por el origen de coordenadas.

8

4

0 1 2

y

x

perí

met

ro (

en c

m)

lado (en cm)

y = 4 . x

a. No. b. El doble. c. Por 1 __ 3 . d. Si el cociente entre las dos variables es constante.

P12-3083-C03.indd 67 10/31/12 4:59 PM

18 Función de proporcionalidad directaACTIVIDADES

68

12. Escriban tres ejemplos de que sean directamente proporcionales.

13. Marquen con una X las relaciones que son directamente proporcionales.

a. b. c. d.

x y

2 5

4 7

6 9

x y

3 12

7 28

10 40

x y

10 5

30 15

40 20

x y

5 2

10 4

16 6

14. Resuelvan.a. Completen la tabla para que las variables se relacionen en forma directamente proporcional. Luego, representen los puntos en un sistema de ejes cartesianos.

x y

49

14

4 28

5

6

9

b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

15. Observen el gráfico y respondan.El siguiente gráfico representa el precio de un postre helado según su peso.

a. Completen la tabla.

Peso (en gramos) Precio (en $)

10

1 000

60

1 750

b. Las variables, ¿se relacionan de forma directamente proporcional? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

prec

io (

en $

) 80

70

60

50

40

30

20

10

0

250

500

750

1 00

0

1 25

0

1 50

0

1 75

0

2 00

0

peso del postre (en g)

El tiempo que tarda en subir un ascensor según la cantidad de pisos que tiene que subir.

La cantidad de km que se pueden recorrer según la cantidad de nafta que tiene un auto.

La cantidad de litros de pintura que se necesitan para pintar una pared.

42

35

63

X X

56

49

42

35

28

21

14

7

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y

x

250

1 500

70

40

Sí. La constante es 25.

La constante es 7.

2

7

P12-3083-C03.indd 68 10/31/12 4:59 PM

21 232219Función de proporcionalidad inversa


69

24 25 26 2720

Dos variables se relacionan de forma inversamente proporcional cuando el producto entre los valores que se corresponden es constante. A ese producto se lo denomina constante de proporcionalidad (k).

En la siguiente tabla se registraron algunos valores que corresponden a la base y la altura de rectángulos de 24 cm2 de área.

Base (en cm) Altura (en cm)

2 12

3 8

4 6

2 . 12 = 24

3 . 8 = 24

4 . 6 = 24

k = 24 (constante de proporcionalidad)

El producto entre dos cantidades correspondientes es igual a 24.

x . y = 24, entonces y = 24 ___ x .

Cuando los valores de una variable aumentan, los de la otra variable disminuyen en la misma proporción.

La representación gráfica de variables inversamente proporcionales da como resultado una curva denominada hipérbola.

12

10

8

6

4

2

0 1 2 3 4 5 6

y

x

altu

ra (

en c

m)

base (en cm)

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. En una relación de proporcionalidad inversa, si una variable aumenta al doble, ¿qué suce-de con la otra?b. En el gráfico de una función de proporcionalidad inversa, ¿los puntos están alineados?c. Si en una función, una variable aumenta y la otra disminuye, ¿se puede decir que las variables son inversamente proporcionales?d. Si el producto entre la variable dependiente y la independiente es cero, ¿se puede decir que se trata de una relación inversamente proporcional?


infoactiva

2818

a. Disminuye a la mitad. b. No. c. No. d. No.

P12-3083-C03.indd 69 10/31/12 4:59 PM

70

19 Función de proporcionalidad inversaACTIVIDADES

70

16. Escriban tres relaciones que sean inversamente proporcionales.

17. Marquen con una X las tablas que corresponden a funciones de proporcionalidad inversa y hallen la constante de proporcionalidad. Luego, representen los datos de esas tablas en un siste-ma de ejes cartesianos.

a. b. c. d.

x y

1 3

3 1

15 5

x y

2 15

3 10

5 6

x y

2 63

3 42

9 14

x y

4 6

7 4

10 2

18. Lean atentamente y respondan. Laura está organizando un festival de danzas árabes. Para ello, alquiló una sala en el complejo cultural Plaza. Como los gastos a cubrir por el alquiler del lugar son de $8 000, deberá cobrar la entrada en función de la cantidad de butacas que pueda ubicar en la sala.


Cantidad de butacas de la sala 125 320

Valor de la entrada 40

b. Las variables, ¿se relacionan en forma inversamente proporcional? Si es así, escriban la cons-

tante de proporcionalidad. c. Representen en sus carpetas los valores de la tabla en un sistema de ejes cartesianos.

X X

Sí, son variables inversamente proporcionales. k = 8 000.


64

200

25

Cantidad de personas que pintan un edificio y el tiempo que tardan.

El tiempo que tarda un micro en recorrer una distancia y su velocidad.

Cantidad de recipientes necesarios para colocar dulce de leche según su tamaño.

b. c.

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

x

k = 30

63

56

49

42

35

28

21

14

7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

y

k = 126

P12-3083-C03.indd 70 10/31/12 4:59 PM

7171


316.17.18.19COnTEnIDOS


19. Representen los siguientes puntos en un sis-tema de ejes cartesianos.a = (2;6) c = (5;18) e = (8;9)b = (6;0) d = (7;14) f = (12;5)

20. Observen el gráfico y escriban las coorde-nadas de cada punto.

300

250

200

150

100

50

0 1 2 3 4 5 6 7

y

x

a

d

b

c

e

21. Ubiquen el vértice que falta para que se forme la figura indicada en cada caso.

a. Cuadrado.

10

6

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y

x

d c

a

b. Romboide.

7

5

3

1

0 0,5 2 4

y

x

d

c

a

c. ¿Las soluciones son únicas? Si no lo son, indiquen otra posibilidad.

22. Resuelvan.a. Indiquen cuál o cuáles de los siguientes puntos están bien representados en el siste-ma de ejes cartesianos.a = (2;1) c = (7;7) e = (7;3) b = (5;6) d = (7;2) f = (8;6)

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

y

x

e

c f

b

a

d

b. Representen correctamente los puntos mal ubicados.

23. Lean atentamente y respondan.Una enfermera registró la temperatura de un paciente en el siguiente cuadro.

Hora Temperatura (en °C)

7:00 38

8:00 37

9:00 37

10:00 38

11:00 39

12:00 38,5

13:00 39

a. Representen los valores de la tabla en los ejes cartesianos.b. ¿La relación es función? Expliquen la res-puesta.c. ¿Se pueden unir los puntos del gráfico? ¿Por qué?

24. Escriban ejemplos según la condición.a. Dos relaciones directamente proporcionales.b. Dos relaciones inversamente proporcionales.c. Dos relaciones no proporcionales.

Los puntos mal ubicados son b, c y e.

Sí.


Sí.

b

b

c

e

b


En a. es única y en b., no. Otra posibilidad: (4;1).



P12-3083-C03.indd 71 10/31/12 4:59 PM

7272

25. Resuelvan.a. Completen la tabla para que sea una fun-ción de proporcionalidad directa. Indiquen la constante de proporcionalidad.

Peso (en kg) 2 5 9 10

Precio (en $) 7 24,50

b. Representen los datos en un gráfico carte-siano.

26. Lean atentamente y resuelvan.Para el cumpleaños de Julia, su mamá está preparando un gran bizcochuelo y necesita tres sobres de preparación.

3 cucharadas de leche tibia.2 huevos.5 cucharadas de agua.200 g de manteca derretida.

por cada sobre de preparación

a. ¿Qué cantidad de cada ingrediente necesita la mamá de Julia?b. Las variables ¿se relacionan en forma direc-tamente proporcional? Si es así, indiquen cuál es su constante.

27. Resuelvan.Gabriel compró las entradas para él y sus cinco amigos, para asistir a un recital.

a. Si pagó $900 por las seis entradas, ¿cuán-to dinero le tiene que dar cada amigo?b. Completan la tabla.

Cantidad de entradas Dinero que se debe abonar

2

450

5

6 900

c. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? d. Representen la información en un gráfico.

28. Resuelvan.Héctor, el dueño de una estancia, se irá de va-caciones por 14 días y deja a Úrsula a cargo de sus cinco caballos. Respetando la dieta indicada por el veterinario, la cantidad de alimento que le deja alcanza para esas dos semanas.

a. Si antes de irse, Héctor trae dos caballos más, pero no agrega comida, ¿para cuántos días alcanzará?b. Si solo hubiera dos caballos para alimentar con la misma cantidad de comida, ¿para cuántos días alcanzará el alimento?c. ¿La relación es una función de proporciona-lidad directa o inversa?d. Completen la siguiente tabla de acuerdo con la información anterior.

Caballos Días para alimentarlos

1

2

5 14

7

5

e. Representen la información de la tabla en un sistema de ejes cartesianos.

29. Indiquen si las siguientes relaciones son directamente proporcionales (DP), inversamente proporcionales (IP) o no proporcionales (nP).

a. La cantidad de harina y de pizzas que se

pueden hacer con ella.

b. La cantidad de agua para regar una planta

y su crecimiento.

c. La cantidad de agua que arroja una man-

guera por minuto y el tiempo que tarda en

llenar una piscina.

d. La superficie representada de una provincia

en el mapa y los kilómetros cuadrados que

abarca dicha provincia dentro del territorio

nacional.

72

DP

NP

DP

DP

7

31,50 3517,50

300

750

3

14

70

35

10


Sí. k = 3

$150

c. k = 150. d. Solución a cargo del alumno.


10

35

Inversa.


P12-3083-C03.indd 72 10/31/12 4:59 PM

73

Autoevaluación 330. Observen el gráfico y respondan.Mariana realizó una excursión a las termas de Cacheuta. El siguiente gráfico representa la excursión desde que partió del hotel hasta su regreso, en función del tiempo.

18016014012010080604020

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

dist

anci

a (e

n km

)

tiempo (en h)

a. ¿Cuántas horas estuvo fuera del hotel?

b. ¿Cuánto tiempo estuvo en las termas?

c. ¿A cuántos kilómetros del hotel se encontraban las ter-

mas de Cacheuta?

d. ¿Realizaron alguna parada en el camino? ¿A la ida o a la

vuelta?

e. ¿Cuántas horas duró el viaje de regreso?

31. Resuelvan.Pablo tiene varias peceras con forma de prisma. Todas miden 40 cm de largo y 20 cm de ancho,

pero distintas alturas. La primera mide 60 cm de altura; la segunda 50 cm y la tercera, 70 cm.a. ¿La altura de cada pecera y su volumen son variables directamente proporcionales? ¿Por qué?

b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente?

c. Completen la siguiente tabla y luego representen la información en un sistema de ejes cartesianos.

Altura de la pecera (en cm) 40 70

Volumen de la pecera (en cm3) 40 000 48 000

32. Piensen y resuelvan.En la reunión de consorcio del edificio de Ana, decidieron cambiar la decoración del frente. El costo de la reforma es de $2 100 y será dividido entre todos los propietarios.

a. Si en total son 14 los propietarios, ¿cuánto dinero deberá abonar cada uno? ¿Y si fueran 30 pro-pietarios?

b. Las variables, ¿se relacionan en forma directa o inversamente proporcional? Indiquen la cons-tante de proporcionalidad.

c. Completen la tabla teniendo en cuenta la información de los ítems anteriores y representen los puntos en un sistema de ejes cartesianos.

Cantidad de propietarios 14 30

Monto a pagar (en $) 100 75

73

capítulo

Sí. Porque las dos variables aumentan en proporciones iguales.

k = 800. La variable independiente es la altura. La variable dependiente es el volumen.

Cada uno deberá pagar $150. Si fueran 30, deberían pagar $70.

Las variables se relacionan en forma inversamente proporcional. k = 2 100

10 horas.

Duró 2 horas.

4 horas.

Se encontraban a 160 km del hotel.

Sí, a la ida.

32 000

50 60

56 000

150

21 28

70

P12-3083-C03.indd 73 10/31/12 4:59 PM

74

Cuerpos

Contenidos20. Clasificación de los

cuerpos.

21. Poliedros regulares.

22. Desarrollo plano de

cuerpos.

23. Punto, recta y plano.

4


a. El siguiente texto tiene datos incorrectos. Léanlo atentamente y escríbanlo como corresponde.La gaseosa tiene forma de rectángulo; el helado, de triángulo y la pelota, de círculo. Esta últi-ma es una figura que rueda, por lo tanto su superficie no es plana.b. ¿Qué errores encontraron?c. La cajita de jugo, ¿es una figura o un cuerpo? ¿Qué forma tiene?d. Comparen el texto que escribieron con el de sus compañeros.

capítulo

a. La gaseosa tiene forma de cilindro; el helado, de cono y la pelota, de esfera. Esta última es un cuerpo que rueda, por lo tanto su superficie no es plana. b. Se nombra a los cuerpos con nombres de figuras.c. Es un cuerpo. Tiene forma de prisma de base rectangular.

P12-3083-C04.indd 74 10/31/12 5:32 PM

75

Clasificación de los cuerpos

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. Un cubo, ¿es un prisma?b. ¿Qué figuras geométricas son las caras laterales de las pirámides?c. ¿Qué cuerpos tienen una sola cara plana?d. Las caras laterales de todos los poliedros, ¿son paralelogramos?


75

22 23 24 26 272520 2119 28 29

infoactiva


Los cuerpos se clasifican en:• Poliedros: tienen todas sus caras planas.

Prisma: sus caras laterales son paralelo-gramos y sus bases son polígonos paralelos.

Pirámide: todas sus caras concurren en un vértice, excepto una que es la base.

cara lateral cara lateral

base

vértice vértice

bases

arista

arista

• Redondos: tienen al menos una cara no plana.

bases

radio de la base

altura

vértice

vérticegeneratriz

radio

circunferencias máximas

Cilindro Cono Esfera

a. Sí. b. Triángulos. c. Los conos. d. No.

P12-3083-C04.indd 75 10/31/12 5:32 PM

76

1. Unan con flechas, cuando sea posible.

• Prisma • Pirámide • Cilindro • Cono • Esfera

2. Escriban los nombres de los cuerpos que forman los siguientes objetos. a. c. e.

b. d. f.

20 Clasificación de los cuerposACTIVIDADES

76

Cubo, pirámide de base cuadrada.

Esfera, cilindro.

Cono, cilindro.

Prisma de base hexagonal, cilindro.

Prisma de base triangular, pirámide de base triangular.

Prisma de base rectangular, prisma de base triangular.

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77

Poliedros regulares


77

20 23 24 25 272621 22 29 3028

Se llaman poliedros regulares a aquellos en los que todas sus caras son polígonos regulares iguales.Existen solo cinco poliedros regulares.

Tetraedro Cubo Octaedro

Sus caras son cua-tro triángulos equi-láteros iguales.

Sus caras son seis cuadrados iguales.

Sus caras son ocho triángulos equiláteros iguales.

Dodecaedro Icosaedro

Sus caras son doce pentágonos regulares iguales.

Sus caras son veinte triángulos equiláteros iguales.

En todo poliedro se verifica la relación de Euler.

C: cantidad de caras C + V = A + 2 V: cantidad de vértices A: cantidad de aristas

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. Un prisma de base cuadrada, ¿es un poliedro regular?b. ¿Todas las pirámides son poliedros regulares?c. Las caras de una pirámide regular, ¿pueden ser triángulos isósceles?d. La relación de Euler, ¿se puede aplicar a los poliedros no regulares?

infoactiva


a. No siempre. b. No. c. No. d. Sí.

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21 Poliedros regularesACTIVIDADES

78

3. Marquen con una X los poliedros regulares.

a. c. e.

b. d. f.

4. Unan con flechas cada cuerpo con el número de vértices que tiene. a. Cubo • 6 b. Tetraedro • 20 c. Octaedro • 4 d. Dodecaedro • 15 e. Icosaedro • 12 • 85. Completen la tabla y verifiquen la relación de Euler.

Poliedro Nombre No de caras No de vértices No de aristas Verificación

Cubo

Tetraedro

X X

X X

6

8Octaedro

Pirámide de base cuadrada

Pirámide de base hexagonal

Dodecaedro

Icosaedro

5

4

8

6

5

4

12

12

8

6

6 + 8 = 12 + 2

8 + 6 = 12 + 2

5 + 5 = 8 + 2

4 + 4 = 6 + 2

7 7 12 7 + 7 = 12 + 2

12 20 30 12 + 20 = 30 + 2

20 12 30 20 + 12 = 30 + 2

P12-3083-C04.indd 78 10/31/12 5:32 PM

Desarrollo plano de cuerpos


79

21 24 25 26 282722 23 30 3129

El desarrollo plano de un cuerpo es la forma del cuerpo cuando se lo desarma.

El desarrollo de un cuerpo permite conocer las figuras que lo forman y también, construirlo. Para ello, es necesario agregarle al desarrollo del cuerpo solapas en algunas de sus aristas para poder doblarlas y pegarlas uniendo las caras.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. El desarrollo de un cubo, ¿puede tener más de 6 cuadrados? b. El desarrollo de una pirámide de base triangular, ¿puede tener rectángulos?c. El desarrollo del cono, ¿es igual al del cilindro, pero con solo un círculo de base?

infoactiva


a. No. b. No. c. No.

P12-3083-C04.indd 79 10/31/12 5:32 PM

22 Desarrollo plano de cuerposACTIVIDADES

80


Cuerpo Nombre Vista de frente Vista de abajo

Cono

Cilindro

7. Indiquen el nombre del cuerpo al que pertenece cada desarrollo.

a. c. e.

b. d. f.

8. Marquen con una X el desarrollo correspondiente al siguiente cuerpo.

a. c.

b. d.

Prisma de base rectangular

Pirámide de base triangular o tetraedro

Pirámide de base cuadrangular

Cono

Prisma de base pentagonal


Prisma de base cuadrada


Esfera

X

P12-3083-C04.indd 80 10/31/12 5:32 PM


81


9. Marquen con una X el nombre de los siguientes cuerpos teniendo en cuenta su desarrollo.a. b. c.

Prisma de base triangular. Prisma de base triangular. Prisma de base triangular.

Prisma de base cuadrada. Prisma de base cuadrada. Prisma de base cuadrada.

Pirámide de base cuadrada. Pirámide de base cuadrada. Pirámide de base cuadrada.

10. Respondan teniendo en cuenta que el cuerpo está formado por cubos iguales y se pintó de violeta toda la superficie.

a. ¿Cuántos cubos forman el cuerpo?

b. ¿Hay algún cubo que tenga todas las caras pintadas?

c. ¿Cuántos cubos tienen solo dos caras pintadas?

d. ¿Hay cubos que tengan la mitad de sus caras pintadas? ¿Cuántos?

e. ¿Cuántos cubos más debería tener el cuerpo para que queden cuatro cubos con solo dos caras pintadas? ¿Dónde los ubicarían?

11. Marquen con una X los prismas que corresponden al siguiente desarrollo.

a. c.

b. d.

El cuerpo está formado por 11 cubos.

No.

Uno solo.

No.

Habría que agregar seis cubos más. En el centro del cuerpo.

X

X

X

X

P12-3083-C04.indd 81 10/31/12 5:32 PM


82

La caja en la que Martín guarda sus ahorros tiene forma de prisma rectangular. Si decide pintarla de modo que dos caras que tengan una arista en común no queden pintadas con el mismo color, ¿cuántos colores diferentes necesita como mínimo?

menteACTIVA

12. Completen con las caras que faltan para obtener el desarrollo del cuerpo indicado. Luego, copien los desarrollos y armen los cuerpos.

a. Cilindro. c. Prisma de base hexagonal.

b. Prisma recto de base triangular. d. Cubo.

13. Construyan un octaedro regular y numeren sus caras como se muestra en la imagen. Luego, marquen con una X el desarrollo que corresponde al cuerpo que armaron.

a. c.

b. d.

1

2 4 3

1

2 3 4

21 3 4

2

1 4 3

2

3

1

4

X

Necesita, como mínimo, 3 colores diferentes.

P12-3083-C04.indd 82 10/31/12 5:32 PM

Punto, recta y plano


83

22 25 26 27 292823 24 31 3230

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Cuántos puntos determinan una única recta?b. ¿Cuántas rectas pasan por un punto?c. Dos rectas paralelas, ¿pueden tener puntos en común?d. Dos rectas alabeadas, ¿son perpendiculares?

infoactiva

En el siguiente prisma se pueden obser-var los tres elementos fundamentales de la geometría del espacio: plano (α), recta (A) y punto (b).

Cada cara del cubo representa una por-ción de un plano, las aristas son segmentos de rectas y los vértices son los puntos donde concurren tres o más aristas.

α

A

b

En el siguiente cubo, las rectas A, B y D son coplanares porque están incluidas en un mismo plano.Las rectas coplanares pueden ser secantes (tienen

un punto en común) o paralelas (no tienen puntos en común).

B y C son secantes. A y B son paralelas.

Las rectas secantes pueden ser perpendiculares (se intersecan formando cuatro ángulos rectos) u oblicuas.

B y C son perpendiculares. A y D son oblicuas.

Si dos rectas no están incluidas en el mismo plano, se denominan alabeadas.

D y E son alabeadas.

A

B

C

D

E


a. Dos. b. Infinitas. c. No. d. No.

P12-3083-C04.indd 83 10/31/12 5:32 PM

84

23 Punto, recta y planoACTIVIDADES

84

14. Marquen con una X las opciones correctas.a. Por un punto pasan... c. Dos rectas perpendiculares...

infinitas rectas. son secantes.

una sola recta. no tienen puntos en común.

solo dos rectas. forman cuatro ángulos de 90°.

b. Dos rectas paralelas... d. Dos rectas alabeadas...

son secantes. son paralelas.

no tienen puntos en común. no tienen puntos en común.

pueden ser alabeadas. son perpendiculares.

15. Nombren dos rectas que cumplan las condiciones indicadas en cada caso.

a. Dos rectas perpendiculares. y

b. Dos rectas paralelas. y

c. Dos rectas secantes. y

d. Dos rectas oblicuas. y

e. Dos rectas alabeadas. y

EC

D

A

B

16. Pinten con el color indicado.a. Azul: b. Rojo: c. Verde: dos planos paralelos. dos planos perpendiculares. dos planos oblicuos.

X X

X

XX

X

A B

CB

C E

ED

A D


P12-3083-C04.indd 84 10/31/12 5:32 PM

85

17. Marquen una X donde corresponda.a.

El cuerpo está compuesto por:

Un cubo.

Un prisma de base rectangular.

Una pirámide de base cuadrada.

Una pirámide de base triangular.

b.


Un cubo.


Una esfera.

Un cilindro.

Un cono.

c.


Un prisma de base triangular.

Una pirámide de base rectangular.


Un cilindro.

Una esfera.

18. Completen con V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda.

a. Las pirámides tienen un solo vértice.

b. Todos los poliedros son prismas.

c. El cono tiene un solo vértice.

d. La base del cono es una circunferencia.

e. Un prisma de base pentagonal tiene cinco

aristas.

19. Completen teniendo en cuenta la relación de Euler.

a. Un poliedro regular que tiene 6 caras, 8 vérti-

ces y aristas es un .

b. Un tiene 12 caras,

vértices y 30 aristas.

c. Un poliedro que tiene caras, 6 vértices

y 12 aristas recibe el nombre de

.

d. Si un poliedro tiene 4 caras, vértices y

6 aristas es un .

20. Verifiquen si se cumple la relación de Euler en los siguientes cuerpos compuestos.

a.

b.

85


420.21.22.23CONTENIDOS


b. Sí. 7 + 10 = 15 + 2

X

X

X

X

X

X

X

F

F

V

F

F

12

8

4

cubo

dodecaedro

octaedro

tetraedro

a. Sí. 9 + 9 = 16 + 2

20

P12-3083-C04.indd 85 10/31/12 5:32 PM

8686

21. Marquen con una X el desarrollo que corresponde a un cubo.

a.

b.

c.

d.

22. Escriban rectas que cumplan con las condi-ciones pedidas en cada caso.

A

C D

EF

B

a. Tres rectas paralelas.b. Un par de rectas paralelas.c. Un par de rectas perpendiculares.d. Dos pares de rectas oblicuas.

23. Completen con // (paralelas) o ⊥ (perpendi-culares). Pueden ayudarse realizando los gráficos.

a. A // B; B // C, entonces A C.

b. A // B; B ⊥ C, entonces A C.

c. A ⊥ B; B // C, entonces A C.

d. A ⊥ B; B ⊥ C, entonces A C.

e. A // B; B ⊥ C; D // C entonces A D.

f. A ⊥ B; B ⊥ C; C ⊥ D, entonces A D.

24. Dibujen en sus carpetas dos rectas que cumplan con las condiciones indicadas en cada caso.

a. Que dividan el plano en cuatro regiones.b. Que dividan el plano en tres regiones.c. Que dividan el plano en dos regiones.d. ¿Cómo son los pares de rectas trazados en cada uno de los casos anteriores?

25. Realicen en sus carpetas un gráfico que cumpla con las siguientes condiciones.

A // B; C ⊥ A; D ⊥ B y E // D

26. Copien en sus carpetas los siguientes cuer-pos y pinten en cada uno de ellos un par de pla-nos que cumplan con las condiciones indicadas.

a. α y β son perpendiculares.

b. ε y δ son oblicuos.

c. π y γ son paralelos.

86

//

⊥

⊥

//

⊥

⊥

C, D y E.

A y E, E y F.

A y B.

F y A.




X

X

P12-3083-C04.indd 86 10/31/12 5:32 PM

87

Autoevaluación 427. Completen.

a. Una pirámide de 6 caras tiene vértices y su base es un .

b. Un prisma de 8 caras tiene aristas y su base es un .

c. Un prisma de 10 vértices tiene caras y su base es un .


Cuerpo No caras No vértices No aristas Relación de Euler

29. Marquen con una X los desarrollos que corresponden a este cuerpo.

a. c.

b. d.

30. Marquen con una X la opción que representa las siguientes relaciones entre rectas.A // B, A // C y D ⊥ C

a. b. c.

B

D

AC

A

B

D

CA

B

C

D

87

capítulo

6

18

7

pentágono

hexágono

pentágono

X

X X

X

6 6 10 6 + 6 = 10 + 2

P12-3083-C04.indd 87 10/31/12 5:32 PM

88

ÁngulosContenidos24. Sistema sexagesimal.

Operaciones.

25. Ángulos complementarios

y suplementarios.

26. Ángulos adyacentes y

opuestos por el vértice.

27. Mediatriz de un segmento

y bisectriz de un ángulo.

5


a. ¿Dónde rebotará la bola violeta si se le pega con la blanca en el centro? Dibujen la trayectoria que hace la bola blanca hasta pegar en la violeta y la trayectoria de la violeta hasta tocar la banda.b. ¿Dónde ubicarían la bola blanca para que haga entrar a la violeta en un agujero? Dibujen las trayectorias como en el punto anterior.c. Comparen el ángulo que forman las dos trayectorias de la bola violeta con el que forman las trayectorias de la bola blanca.d. Comparen las respuestas con sus compañeros.

capítulo

a. y b. Solución gráfica. c. Son iguales.

a.

b.

c.

P12-3083-C05.indd 88 10/31/12 5:35 PM

89

Sistema sexagesimal. Operaciones

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Por qué se llama sexagesimal al sistema para la medición de ángulos?b. ¿Cuál es el procedimiento para encontrar el equivalente a 15° en minutos?c. ¿Cómo se pasan 72 000” a grados?d. La suma de dos ángulos, ¿es correcto escribirla como 12° 65’ 78”?


89

26 27 28 30 312924 2523 32 33

infoactiva


El sistema sexagesimal se utiliza para escribir medidas de ángulos. En este sistema, si se divide un giro completo en 360 partes iguales; cada una de esas partes se denomina grado. Para ángulos menores que un grado se utilizan el minuto (’) y el segundo (”).

1° = 60’ Un grado equivale a 60 minutos. 1’ = 60” Un minuto equivale a 60 segundos.

• Adición de dos ángulos. • Sustracción de dos ángulos.

107o 92’ 48o 19’ 42” 108o 32’ 51”+ – 65o 35’ 53” 67o 41’ 47” 113o 54’ 95” 40o 51’ 4” + – 1’ 60” 113o 55’ 35”

• Multiplicación de un ángulo • División de un ángulopor un número natural. por un número natural.

17o 51’ 5” . 3 51o 153’ 15” + – 2o 120’ 2 veces 60’ 53o 33’ 15”

86o 17’ 12” 2 – – + 86o 16’ 60” 43o 8’ 36” 0o 1’ 72”

+

72” 0”

/ /

/

a. Porque las unidades se agrupan de a 60. b. Se multiplica por 60. c. Se divide por 3 600. d. No.

P12-3083-C05.indd 89 10/31/12 5:35 PM

90

1. Expresen en segundos.

a. 23’ = c. 10° 3’ =

b. 2° = d. 3’ 40” =

2. Expresen en minutos.

a. 360” = c. 3° 2’ =

b. 45° 120” = d. 15° =

3. Unan con flechas las operaciones que dan el mismo resultado.a. 43° 15’ + 21° 35’ = • 32° 25’ . 2 =b. 79° 20’ – 14° 30’ = • 11° 3’ 20” . 4 =c. 132° 40’ : 3 = • 78° 30” + 85° 45” =d. 1 304° 10’ : 8 = • 87° 20’ 10” – 43° 6’ 50” =

4. Escriban el cálculo y resuelvan.a. El doble de la suma entre 15° 35’ y 36° 42’.

b. La diferencia entre la tercera parte de 126° 45” y 32° 7’.

c. La suma entre la mitad de 47° 34’ y el doble de 26° 56”.

d. El cuádruple de 65° 23’ menos 23° 45”.

5. Completen para que se verifique la igualdad.

a. + 35° 50’ = 73° 5’ d. : 4 = 43° 10’ 30”

b. 165° 40’ 30” – = 149° 50’ 10” e. 3 . = 263° 1’ 15”

c. 27° 30” + = 119° 11’ f. . 4 = 169° 22’

6. Completen.

a. 79° + 36’ 15”

120° 51’ 5”

b. 84° 40’ 30” – 40°

37’ 29”

c . 35° 30” . 2

31’

d. 173° 4 + 60’ 26’

108’ 0’

/

24 Sistema sexagesimal. OperacionesACTIVIDADES

90

1 380”

6’ 182’

36 180”

7 200”

2 702’ 900’

220”

64° 50’ 64° 50’

64° 50’ 44° 13’ 20”

44° 13’ 20” 1 630° 1’ 15”

1 630° 1’ 15” 44° 13’ 20’’

2 . (15° 35’ + 36° 42’) = 104° 34’

126° 45” : 3 – 32° 7’ = 9° 53’ 15”

47° 34’ : 2 + 2 . 26° 56” = 75° 48’ 52”

4 . 65° 23’ – 23° 45” = 238° 31’ 15”

37° 15’ 172° 42’

15° 50’ 20” 87° 40’ 25”

92° 10’ 30”

3’

44’

44°

1°

14’ 50’’

41°

43°

45’

71° 0’’

1’’

42° 20’ 30”

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91

Ángulos complementarios y suplementarios


91

24 27 28 29 313025 26 33 3432

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. Si dos ángulos suman 90° 1’, ¿son complementarios?b. Si

∧ α y

∧ β son suplementarios, ¿se puede asegurar que

∧ α =

∧ β ?

c. ¿Se puede calcular el complemento de un ángulo obtuso?d. ¿Cuánto mide el suplemento de un ángulo recto?


infoactiva

Para nombrar un ángulo, pueden utilizar una de las siguientes formas:

^ aob , se escribe el vértice en el medio; o , se escribe solo el vértice; ∧

α , se escribe una letra griega.

b

a

o α

Los ángulos se clasifican según su amplitud en: nulos (miden 0°), agudos (miden más de 0° y menos de 90°), rectos (miden 90°), obtusos (miden más de 90° y menos de 180°) y llanos (miden 180°).

• Dos ángulos son consecutivos cuando tienen el vértice y un lado en común. α

γ

• Dos ángulos son complementarios • Dos ángulos son suplementarios cuando suman 90°. cuando suman 180°.

γ

α

δβ

∧

γ y ∧ α son complementarios ∧

β y ∧

δ son suplementarios

porque ∧

γ + ∧

α = 90°. porque ∧

β + ∧

δ = 180°. ∧

γ es el complemento de ∧

α . ∧

β es el suplemento de ∧

δ . ∧

α es el complemento de ∧

γ . ∧

δ es el suplemento de ∧

β .

Si ∧ γ mide 75°, entonces ∧

α mide 15°, Si ∧

β mide 75°, entonces ∧

δ mide 105°, porque 90° – 75° = 15°. porque 180° – 75° = 105°.

a. No. b. No. c. No. d. 90°.

P12-3083-C05.indd 91 10/31/12 5:35 PM

25 Ángulos complementarios y suplementariosACTIVIDADES

92

7. Coloquen <, > o =, según corresponda.

a. Suplemento de 130°. Complemento de 1°.

b. Suplemento de 156°. Suplemento de 145° 30’.

c. Complemento de 45°. Suplemento de 135°.

d. Suplemento de 166° 56’. Complemento de 78° 45”.

8. Marquen con una X los ángulos consecutivos.

a. b. c. d.

β α

δ

γ

π

ε θ

γ

9. Planteen las ecuaciones, resuelvan e indiquen el valor de cada ángulo.a. Datos: c. Datos: ∧

α = 3x + 10° ∧

ε = 4x – 10° ∧

β = 2x + 35° ∧

δ = 5x + 100° ∧

α y ∧

β son complementarios. ∧

ε y ∧

δ son suplementarios.

∧

α = ∧

β = ∧

ε = ∧

δ =

b. Datos: d. Datos:

ση ∧

η = 2x – 10° ∧

σ = 8x – 40° π

γ ∧

γ = 4x ∧

π = 3x + 96°

∧

η = ∧

σ = ∧

γ = ∧

π =

10. Planteen las ecuaciones y resuelvan.a. El complemento de un ángulo, disminuido en 30°, da por resultado 21°. ¿Cuánto mide el ángulo?

b. La suma entre el complemento de un ángulo y el suplemento es igual a su doble. ¿Cuánto mide el ángulo?

<

<

=

>

X X

3x + 10° + 2x + 35° = 90°

2x – 10° + 8x – 40° = 90°

90° – x – 30° = 21° 90° – 30° – 21° = x x = 99°

(90° – x) + (180° – x) = 2x 270° = 4 67° 30’ = x

4x – 10° + 5x + 100° = 180°

4x + 3x + 96° = 180°

x = 9°

x = 14°

x = 10°

x = 12°

37°

18°

53°

72°

30°

48°

150°

132°

P12-3083-C05.indd 92 10/31/12 5:35 PM

Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice


93

25 28 29 30 323126 27 34 3533

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. Si dos ángulos tienen un lado en común, ¿son adyacentes?b. ¿Todos los ángulos adyacentes son suplementarios?c. Los ángulos opuestos por el vértice, ¿siempre son suplementarios?d. ¿Todos los ángulos suplementarios son adyacentes?e. Si dos ángulos miden lo mismo, ¿se puede asegurar que son opuestos por el vértice?


infoactiva

Ángulos adyacentesDos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y suplementarios.

∧

α + ∧

β = 180°αβ

Ángulos opuestos por el vérticeDos ángulos son opuestos por el vértice cuando tienen el vértice en común y sus lados son

semirrectas opuestas.

∧

α y ∧

β son opuestos por el vértice. ∧

π y ∧ γ son opuestos por el vértice.γπ

α

β

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

∧

π + ∧

α = 180° ∧

γ + ∧

α = 180°

deben ser iguales

γπ

α

a. No siempre. b. Sí. c. No. d. No. e. No.

P12-3083-C05.indd 93 10/31/12 5:35 PM

26 Ángulos adyacentes y opuestos por el vérticeACTIVIDADES

94

11. Completen la tabla teniendo en cuenta el gráfico.

γ

πα

β

R

T

∧

α ∧

β ∧

γ ∧

π 35°

47° 30’

98° 45’

115° 20’ 10”

12. Escriban las ecuaciones, resuelvan y calculen el valor de los ángulos dados.a. Datos: c. Datos: ∧

α = 2x – 18° ∧

π = 17x – 20° ∧

β = 5x – 5° ∧

ε = 2 . (7x + 5°)α β

π ε

∧

α = ∧

β = ∧

π = ∧

ε =

b. Datos: d. Datos: ∧

δ = 3x + 33° ∧

θ = 3x – 13° ∧

ω = 8x – 47° ∧

γ = (x + 15°) . 4δ ω

θ

γ

∧

δ = ∧

ω = ∧

γ = ∧

θ =

13. Tracen un par de ángulos que cumplan con las condiciones indicadas en cada caso.a. Que tengan un lado en común b. Que tengan el vértice en común y no sean adyacentes. y no sean opuestos por el vértice.

132° 30’

81° 15’ 98° 45’

145° 145° 35°

47° 30’ 132° 30’

81° 15’

64° 39’ 50”115° 20’ 10” 64° 39’ 50”

2x – 18° + 5x – 5° = 180°

3x + 33° = 8x – 47°

17x – 20° = 2 . (7x + 5°)

(x + 15°) . 4 + 3x – 13° = 180°

7x = 203

x = 29°

33° + 47° = 8x – 3x

x = 16°

17x – 20° = 14x + 10°

x = 10°

4x + 60° + 3x – 13° = 180°

x = 19°

40°

81°

140°

81°

150°

136°

150°

44°

αβ

β

α

P12-3083-C05.indd 94 10/31/12 5:35 PM

Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo


95

26 29 30 31 333227 28 35 3634

Mediatriz de un segmentoLa mediatriz de un segmento (Mz) es la recta perpendicular que pasa por su punto medio. Los

puntos de la mediatriz equidistan, es decir, están a la misma distancia de los extremos del segmento.

Para trazar la mediatriz pueden seguir estos pasos:

ba

punto medio del ab.

Mz1. Se apoya el compás en uno de los extremos del

segmento con una abertura mayor a la mitad del segmento y se traza una circunferencia.

2. Se repite el procedimiento apoyando en el otro extremo del segmento, con la misma abertura.

3. Se dibuja la recta que determinan los dos puntos de intersección de las circunferencias.

Bisectriz de un ánguloLa bisectriz de un ángulo (Bz) es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. Los puntos

de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo.

Para trazar la bisectriz, pueden seguir estos pasos:

b

p

Bz

ao

1. Se clava el compás en el vértice o y se traza un arco que corte a los dos lados del ángulo.

2. Con la misma abertura se apoya en a y se traza un arco; luego, se apoya en b y se traza otro arco que corte el anterior, por ejemplo, en p.

3. Se dibuja la semirrecta ___

› op , que es la bisectriz

del ángulo.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Cualquier recta perpendicular a un segmento es su mediatriz?b. La bisectriz de un ángulo, ¿lo divide en dos ángulos consecutivos?c. ¿Se puede trazar la mediatriz de una recta?d. ¿Se puede dividir un ángulo en cuatro ángulos iguales utilizando la bisectriz?e. ¿Se puede trazar la bisectriz de un segmento?


infoactiva

a. No. b. Sí. c. No. d. Sí. e. No.

P12-3083-C05.indd 95 10/31/12 5:35 PM

27 Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ánguloACTIVIDADES

96

14. Tracen la bisectriz de cada uno de los siguientes ángulos.a. b. c.

15. Tracen la mediatriz de cada uno de los siguientes segmentos.a. b.

16. Resuelvan.a. Tracen la mediatriz del ab. Llamen o al punto medio del ab.b. Marquen el punto c sobre la mediatiz. c. Tracen la

___ › om , bisectriz del c o b.

d. Tracen la __

› ot , bisectriz del m o b.

e. Completen con las medidas de los ángulosobtenidos.

a o c = m o a = m o t = c o t =

17. Completen el rt teniendo en cuenta las indicaciones en cada caso.a. La recta R es mediatriz del rt. b. La recta M es la mediatriz del segmento que representa la mitad del rt.

R

r

M

r

¿Cómo pueden dividir un segmento de 7,5 cm en cuatro segmentos iguales usando solo el compás y una regla no graduada?

menteACTIVA

a

b

Solución gráfica a cargo del alumno.


Hay dos opciones posibles.——— Opción 1.——— Opción 2.

Se debe trazar la mediatriz del segmento y luego, las mediatrices de cada mitad del segmento original.

90° 135° 22° 30’ 67° 30’

t t

o

c c'

Mz

m

t t'm'

P12-3083-C05.indd 96 10/31/12 5:35 PM

18. Resuelvan.a. Tracen un par de ángulos opuestos por el vértice y un par de ángulos adyacentes.b. Tracen las bisectrices de cada uno de los ángulos del ítem anterior.c. Completen las siguientes oraciones tenien-do en cuenta los gráficos realizados.

• Las bisectrices de los ángulos opuestos por

el vértice forman un ángulo .

• Las bisectrices de los ángulos adyacentes es-

tán incluidas en rectas .

• Las bisectrices de los ángulos adyacentes

forman un ángulo .

19. Calculen los ángulos indicados.a. Datos: ___

› om bisectriz.

γβ

oα

138o

m

∧

β =

∧ γ =

∧ α =

b. Datos:R ⊥ S

Sπ

εθ

δ

20o

R

∧

π = ∧

θ =

∧

δ = ∧

ε =

20. Elijan un par de los siguientes ángulos de modo que cumplan con la condición indicada en cada caso. ∧

α = 28° 30’ ∧

β = 71° 30’ ∧

δ = 151° 30’ ∧

ε = 18° 30’a. La suma es un ángulo obtuso.b. Son ángulos suplementarios.c. Son ángulos complementarios.

21. Tracen un par de ángulos que cumplan con las condiciones indicadas en cada caso.

a. Un par de ángulos complementarios no consecutivos.b. Un par de ángulos suplementarios no con-secutivos.c. Un par de ángulos opuestos por el vértice y complementarios.d. Un par de ángulos adyacentes e iguales.e. Un par de ángulos opuestos por el vértice y suplementarios.

22. Escriban la medida de cada uno de los ángulos indicados.

a. El suplemento de 130° 25’ – 12° 50’. b. El complemento de 35° 30” . 2.c. El ángulo adyacente al que mide 72° + 15° 15’. d. Cada uno de los ángulos que se obtienen al trazar la bisectriz del ángulo que mide 133° 40’. e. El ángulo opuesto por el vértice al que mide 145° 20’ – 37° 50’.

23. En cada caso, tracen el ángulo a o b sabien-do que

___ › om es bisectriz del mismo.

a.

o

m

a

b.

o

m

a

97




llano

recto

perpendiculares

42°

138°

21°

20° 90°

160° 70°


α + β = 100°

β + ε = 90°

α + δ = 180°

a. 62° 25’ b. 19° c. 92° 45’ d. 66° 50’ e. 107° 30’

b

b

P12-3083-C05.indd 97 10/31/12 5:35 PM

24. Planteen la ecuación e indiquen los valores de cada ángulo.

a. Datos: ∧

ε = 3x – 3° ∧

β = 5x + 2° __

› hj bisectriz.

βαε

γj

h

b. Datos: ∧

δ = 6x ∧

π = 2x + 50°T mediatriz del ab.

β αδ

π

a

T

b

c. Datos: ∧

α = 4x – 10° ∧

β = 5x + 28°

γ

β

δ α

d. Datos: ∧

π = 3x – 16° ∧

ω = 5x + 40° ___

› om bisectriz

ρ

θπ

ω0

m

25. Marquen una X donde corresponda tenien-do en cuenta el siguiente gráfico.

Datos:R ⊥ S ___

› om es bisectriz del

∧ α .

π

εβ

θo α

γ

δ

m

S

R

Clasificación

Cons

ecut

ivos

Com

plem

enta

rios

Supl

emen

tarios

Igua

les

Adya

cent

es

Opu

esto

s po

r el

vé

rtic

e

∧

α y ∧

β

∧

α y ∧

γ

∧

α y ∧

π

∧

ε y ∧

θ

∧

γ y ∧

δ

∧

α y ∧

δ

∧

π y ∧

γ

26. Resuelvan.Datos: ∧

α : 2 = 17° __

› ot bisectriz de

∧ β .

m o t = 45° ___

› om bisectriz de

∧ α .

m

t

45o

β α

o

a. ∧

α c. ∧

α + ∧

β e. ∧

β + ∧

α : 2

b. ∧

β d. ∧

β : 2 f. ∧

β – ∧ α

98

x = 8°; ε = α = 21°;

β = 42°; γ = 138°

x = 12° 30’; δ = π = 75°;

β = 15°; α = 105°

x = 18°; δ = α = 62°;

β = γ = 118°

x = 12°

r = ω = 20°

θ = ρ = 160°

X X

X X X

X

X

X

X

X

X

X

XX

34° 90° 73°

56° 28° 22°

P12-3083-C05.indd 98 10/31/12 5:35 PM

Autoevaluación 527. Escriban el cálculo y resuelvan.

a. El doble del complemento de 34° 25’ b. La mitad de la diferencia entre elmás la tercera parte de 158°. suplemento de 12° 10’ y 56° 34’.

28. Completen con “a veces”, “siempre” o “nunca”, según corresponda.

a. Si dos ángulos son suplementarios, entonces son iguales.

b. Si dos ángulos son adyacentes, entonces son obtusos.

c. El complemento de un ángulo de 120° es el ángulo de 60°.

d. Si dos ángulos son suplementarios, entonces son rectos.

e. Dos ángulos adyacentes son suplementarios.

29. Planteen la ecuación e indiquen la medida de los ángulos indicados.

βα

δ

qt

Datos: __

› tq bisectriz

∧

α = 3x – 10° ∧

β = x + 40°

x = ∧ α =

∧

β = ∧

δ =

30. Tracen la mediatriz correspondiente al ab y la bisectriz del d .

c

b

d

a

99

capítulo

2 . (90° – 34° 25’) + 1 __ 3 . 158° =

= 68° 50’ + 52° 40’

= 163° 50’

3x – 10° = x + 40°

2x = 50°

x = 25°

[(180° – 12° 10’) – 56° 34’] : 2 =

= 111° 16’ : 2

= 55° 38’

a veces

nunca

nunca

a veces

siempre

25° 65°

65° 50°

bisectriz

mediatriz

P12-3083-C05.indd 99 10/31/12 5:35 PM

100

Figuras planasContenidos28. Triángulos. Elementos y

propiedades.

29. Construcción de triángulos.

30. Cuadriláteros. Elementos y

propiedades.

31. Construcción de

cuadriláteros.

32. Círculo y circunferencia.

Elementos y propiedades.

33. Construcción de

circunferencias.

34. Polígonos.

35. Construcción de polígonos

regulares.

6


a. ¿En qué objetos se pueden identificar figuras de tres lados? ¿Y de cuatro lados?b. ¿Hay algún objeto en el que se pueda identificar una figura que tenga todos sus lados iguales?c. Modifiquen las preguntas anteriores para que las respuestas sean únicas. Luego, respóndanlas.d. Comparen con sus compañeros las preguntas que realizaron.

capítulo

a. Servilletas, servilletero. Cuadro, sillas. b. En la guarda de la pared, la silla. c. Solución a cargo del alumno.

P12-3083-C06.indd 100 10/31/12 5:37 PM

101

Triángulos. Elementos y propiedades


101

30 31 32 34 353328 2927 36 37

infoactiva


Los triángulos se clasifican según sus lados en:• Escalenos: todos sus lados miden distinto.• Isósceles: tienen al menos dos lados iguales.• Equiláteros: todos sus lados son iguales.

Los triángulos se clasifican según sus ángulos en:• Acutángulos: tienen tres ángulos agudos.• Rectángulos: tienen un ángulo recto.• Obtusángulos: tienen un ángulo obtuso.

En todo triángulo se cumplen las siguientes propiedades:

hc es la altura.

γ

β

α

c

a hb

• La medida de cada lado es menor que la suma de los otros dos.ab < bc + ca bc < ca + ab ca < ab + bc

• La suma de los ángulos interiores es igual a 180°. a +

^ b + c = 180°

• La suma de los ángulos exteriores es igual a 360°. γ + β + α = 360°

• Cada ángulo exterior es suplementario con el ángulo interior correspondiente. a + α = 180°

^ b + β = 180° c + γ = 180°

• Todo ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. α =

^ b + c β = a + c γ = a +

^ b

Dos triángulos son iguales cuando al superponerlos coinciden en todos sus puntos.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. Un triángulo obtusángulo, ¿puede tener un ángulo menor que 90°?b. ¿Se puede construir un triángulo cuyos ángulos interiores midan 35°, 27° y 118°?c. Un ángulo exterior, ¿puede medir más de 180°?d. ¿Es posible construir un triángulo equilátero rectángulo?a. Sí, los ángulos que no son obtusos, son agudos. b. Sí, pues cumple la propiedad de los ángulos de los triángulos. c. No. d. No.

P12-3083-C06.indd 101 10/31/12 5:37 PM

102

28 Triángulos. Elementos y propiedadesACTIVIDADES

102

1. Calculen las medidas de los lados y de los ángulos que faltan.a. El abc es isósceles y rectángulo. b. El def es obtusángulo e isósceles.

δd

f

e7 cm

11 cm

78°

c

a b6 cm

45°

8,5 cm

2. Calculen la medida de los ángulos teniendo en cuenta las propiedades.a. Datos: c. Datos: a = 7x + 3° α = 8x – 39°

^ b = 95° – 2x β = 7x – 41°

c = 4x + 37° ε = 26° + 3x

c

a

b

αβ

εg

i

h

b. Datos: d. Datos: δ = 77° α = 90°

^

d = 4x – 8° ^

j = 2x + 7°

^

f = 6x – 35° ^

k = 8° + 3xδ

d

f

e

α

j

l

k

__ ac = 6 cm; c = 45°

x = 5°; a = 38°; ^

b = 85°; c = 57°

x = 12°; ^ d = 40°; e = 103°;

^ f = 37°

__ df = 7 cm; e =

^ f = 39°;

^ d = 102°

x = 23°; α = 145°; ^ β = 120°; ε = 95°

x = 15°; ^ j = 37°;

^ k = 53°;

^ l = 90°

P12-3083-C06.indd 102 10/31/12 5:37 PM

103

Construcción de triángulos


103

28 31 32 33 353429 30 37 3836

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Cuántos datos se necesitan conocer como mínimo para construir un triángulo?b. Si se conocen las medidas de los tres lados, ¿cuántos triángulos distintos se pueden construir?c. ¿Es posible construir un triángulo conociendo la medida de los tres ángulos?


infoactiva

Construcción de un triángulo dados sus tres ladosDatos:

___ ab = 4,5 cm;

__ ac = 3 cm;

__ bc = 4 cm

a b a

c

b a

c

b

1. Se traza el __ ab . Se apoya la punta del

compás en a y con una abertura igual al

__ ac , se traza un arco.

2. Se apoya la punta del compás en b y con una abertura igual al

__ bc se traza

un arco que corte al anterior en c.

3. Se trazan los lados del triángulo.

Construcción de un triángulo dados dos lados y el ángulo comprendido entre ellosDatos:

___ ab = 3,5 cm;

__ ac = 2,5 cm; a = 97°

a b a b a b

c

1. Se traza el a y con centro en a se traza un arco con radio igual al

__ ab que

interseque a uno de sus lados en b.

2. Con una abertura igual al __ ac , se

apoya la punta del compás en a y se traza un arco que interseque al otro lado del ángulo en c.

3. Se traza el segmento __ bc para formar

el triángulo.

Construcción de un triángulo dados dos ángulos y el lado común a ellosDatos:

___ ab = 3,5 cm; a = 65°;

^ b = 42°

a b a b a b

c

1. Se traza el a . Se traza un arco con centro en a y radio igual al

__ ab que

interseque a uno de sus lados en b.

2. Sobre b se traza el b y se prolon-gan los lados de ambos ángulos.

3. La intersección de las prolongacio-nes de los lados de los ángulos deter-mina el punto c del triángulo.

a. Se deben conocer al menos tres datos. b. Se puede construir un único triángulo. c. Sí, se pueden construir infinitos triángulos porque no se conoce la medida de los lados.

P12-3083-C06.indd 103 10/31/12 5:37 PM

3. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas.a. Se puede construir un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 9 cm y el ángulo comprendido entre

ellos, de 40°.

b. No se puede construir un triángulo cuyos lados midan 15 cm, 8 cm y 6 cm.

c. No se puede construir un triángulo cuyos ángulos interiores midan 77°, 24° y 90°.

d. Se puede construir un triángulo con un ángulo exterior de 103° y cuyos ángulos interiores no

adyacentes a él midan 50° y 53°.

e. No se puede construir un triángulo cuyos lados midan 8 cm, 6 cm y 12 cm.

4. Resuelvan.a. Completen la tabla con un gráfico de análisis de un triángulo que cumpla con las condiciones. Propongan las medidas de los lados y los ángulos.

Según sus lados

Equilátero Isósceles Escaleno

Segú

n su

s án

gulo

s

Acutángulo

Rectángulo

Obtusángulo

b. ¿Se pueden construir todos los triángulos? ¿Por qué?

29 Construcción de triángulosACTIVIDADES

104

2,8 cm

2 cm

2 cm

450

450

3 cm5 cm

4 cm

600

300

7,1 cm

250

1300

5 cm

250

5 cm

3 cm

3 cm

3 cm600

600

600

V

No se puede.

No se puede.

No. No se pueden construir triángulos equiláteros rectángulos ni obtusángulos porque en ambos casos la

suma de los ángulos interiores excede los 180°.

V

V

F

V

650

650

500

3 cm 5 cm

5 cm

620330

8503 cm2 cm

3,5 cm

2,5 cm

4,5 cm

9 cm

3501250

200

P12-3083-C06.indd 104 10/31/12 5:37 PM

5. Respondan y expliquen cómo lo pensaron. Luego, construyan los triángulos.¿Es posible construir los siguientes triángulos utilizando solo el compás y una regla no graduada?

a. Un triángulo equilátero. c. Un triángulo escaleno.

b. Un triángulo isósceles. d. Un triángulo obtusángulo.

6. Construyan los siguientes triángulos usando solo transportador y regla.a. Un triángulo isósceles def cuya base mida 5 cm y los ángulos adyacentes a la base midan 50°.

b. Un triángulo obtusángulo mno de lados ___ mn = 5 cm y

___ no = 7 cm, y ángulo n = 105°.


105




P12-3083-C06.indd 105 10/31/12 5:37 PM


106

7. Construyan los siguientes triángulos.a. abc; ab = 3 cm; bc = 5 cm; ac = 6 cm. c. ghi; gh = 4 cm; gi = 5,5 cm; g = 105°.

b. def; de = 5,5 cm; ^

d = 60°; e = 55°. d. jkl; jk = 4 cm; jl = 6 cm; ^

k = 40°.

Diego está realizando una tarea para la escuela. Debe dibujar un avión, pero está preocupado por el diseño de las alas. Sabe que deben tener forma triangular y que uno de sus ángulos debe medir 60°. ¿Qué tipo de triángulo puede usar para dibujar las alas?

menteACTIVA

Equilátero, todos los ángulos deben medir 60°. Rectángulo, los otros ángulos deben medir 30° y 90°. Escaleno, sus otros ángulos podrían medir 50° y 70°.


P12-3083-C06.indd 106 10/31/12 5:37 PM

29 32 33 34 363530 31 38 3937

Cuadriláteros. Elementos y propiedades


107

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Por qué el rombo, el paralelogramo, el rectángulo y el cuadrado son paralelogramos?b. ¿Se puede decir que el cuadrado es un rombo?c. ¿Por qué los trapecios no son paralelogramos?


infoactivaUn cuadrilátero es una figura que tiene cuatro lados, cuatro ángulos y cumple con las siguientes

propiedades:

Nombre Figura Lados Diagonales Ángulos

Trap

ezoi

des Trapezoide

No tienen lados paralelos.

El romboide tiene dos pares de lados consecutivos iguales.

RomboideLa principal es mediatriz de la otra.

Tiene un par de ángulos opuestos iguales.

Trap

ecio

s

Trapecio rectángulo

Tienen un solo par de lados opuestos paralelos.

En el trapecio isósceles los lados no paralelos son iguales.

No se cortan en el punto medio.

En el trapecio isósceles son iguales.

Los ángulos no opuestos ni adya-centes a las bases son suplementarios.

En el trapecio isós-celes los ángulos adyacentes a las bases son iguales.

Trapecio isósceles

Trapecio escaleno

Para

lelo

gram

os

Rombo

Tiene cuatro lados iguales. Los lados opuestos son paralelos.

Son perpendiculares y se cortan en su punto medio. Los ángulos

opuestos son iguales.

ParalelogramoTienen dos pares de lados paralelos y opuestos iguales.

Se cortan mutuamente en su punto medio.

RectánguloSon iguales y se cortan en su punto medio.

Tienen cuatro ángulos rectos.

CuadradoTiene los cuatro lados iguales y paralelos dos a dos.

Son iguales, perpendiculares y se cortan en su punto medio.

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360°.

a. Porque poseen dos pares de lados paralelos. b. Sí. c. Porque poseen solo un par de lados paralelos.

P12-3083-C06.indd 107 10/31/12 5:38 PM

30 Cuadriláteros. Elementos y propiedadesACTIVIDADES

108

8. Observen los cuadriláteros y resuelvan.a. Completen la tabla teniendo en cuenta que puede ir más de un cuadrilátero por cada casilla y que cada cuadrilátero puede ir en más de una casilla.FIGURA A FIGURA C FIGURA E FIGURA G FIGURA I

FIGURA B FIGURA D FIGURA F FIGURA H FIGURA J

Cuadrilátero

Paralelogramos Trapecios Trapezoides

Cuatro lados iguales.

Cuatro ángulos iguales.

Dos pares de lados iguales.

Dos pares de ángulos iguales.

Solo un par de lados iguales.

Solo un par de ángulos iguales.

Ningún par de lados ni de ángulos iguales.

b. ¿Pudieron ubicar todos los cuadriláteros? ¿Quedó alguna celda vacía? ¿Por qué?

9. Hallen la medida de los lados y los ángulos de los siguientes cuadriláteros. Expliquen la respuesta.a. Trapecio isósceles. b. Romboide.

d

a 4 cm

2 cm

7 cm c

b

1300

j

i

l

k

4 cm3 cm1260

2x x

Sí, quedaron celdas vacías porque no hay cuadriláteros que cumplan con las condiciones pedidas para

esas celdas.

a = ^

b = 130°; c = ^ d = 50°; da = 2 cm

^

d + a = 180°

^ j = 126°;

^ k = 36°;

^ i = 72°

126° + 126° + x + 2x = 360°

x = 36°

jk = 4 cm, ij = 3 cm

B, F, J No hay. No hay.

No hay.B, F, I No hay.

E, I No hay. G

E, J A No hay.

No hay. A No hay.

CNo hay. G

No hay. H D

P12-3083-C06.indd 108 10/31/12 5:38 PM

30 33 34 35 373631 32 39 4038

Construcción de cuadriláteros


109

Para construir un paralelogramo, teniendo como datos los lados, pueden seguir estos pasos. ___ ab = 4,5 cm;

___ ad = 3 cm

a b a

d

b a

d

b

c

1. Se trazan dos rectas paralelas y se determina sobre una de ellas el lado

__ ab .

2. Con centro en a y abertura igual al __ ad , se traza un arco que corte a la recta

paralela en d.

3. Con la misma abertura y centro en b, se repite el procedimiento anterior para obtener el punto c. Se trazan los segmentos

__ ad y

__ bc para determinar el

paralelogramo.

Para construir un rombo conociendo la medida de sus dos diagonales, pueden seguir estos pasos. __ ac = 6 cm;

___ bd = 3 cm

a c a

d

b

c a

d

b

c

1. Se traza una semirrecta, sobre ella se determina la diagonal

__ ac y se traza

la mediatriz.

2. Con centro en el punto medio de la diagonal se trazan dos arcos cuyo radio sea la mitad de

__ bd y se determinan los

puntos b y d.

3. Se trazan los segmentos para formar el rombo.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Es posible construir un único rectángulo conociendo la medida de uno de sus lados?b. ¿Es posible construir un rombo conociendo la medida de sus diagonales? ¿Es único?c. ¿Es posible construir un cuadrilátero conociendo dos de sus lados y el ángulo comprendi-do entre ellos? ¿Es único?


infoactiva

En la página 95 pueden repasar los pasos para trazar la mediatriz de un segmento.

a. No, no es posible. b. Sí y es único ya que sus diagonales se cortan en su punto medio. c. Sí, es posible, pero el cuadrilátero no es único.

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10. Construyan los siguientes cuadriláteros en sus carpetas, tracen las diagonales y respondan.

• Cuadrado de 3 cm de lado. • Rombo de 3 cm de lado.• Paralelogramo cuyos lados midan 3 cm y 4 cm. • Rectángulo de 4 cm por 3 cm.

a. ¿Cómo se clasifican los cuadriláteros que construyeron? ¿Cuántas diagonales tienen?

b. En cada cuadrilátero, ¿las diagonales miden siempre lo mismo? ¿Se cortan en su punto medio?

c. ¿En qué paralelogramos las diagonales forman un ángulo recto?

11. Construyan los siguientes trapecios en sus carpetas, tracen sus diagonales y respondan.

• Trapecio rectángulo cuyas bases miden 5 cm y 3 cm y el lado perpendicular a las bases mide 2 cm.• Trapecio isósceles cuyas bases miden 5 cm y 3 cm y su altura sea de 2 cm.• Trapecio escaleno cuyas bases miden 5 cm y 3 cm.

a. ¿Cuántas diagonales tienen los trapecios?

b. ¿Cómo son las diagonales? ¿Se cortan en su punto medio?

12. Completen teniendo en cuenta las actividades anteriores.

a. Los tienen dos diagonales.

b. Las diagonales de los paralelogramos se cortan en su punto medio y tienen igual medida en

el y en el y diferente en el

y en el .

c. Las diagonales de los trapecios no se cortan en su punto medio y tie-

nen igual medida.

d. Las diagonales de los trapecios y no se cortan

en su punto medio y tienen diferente medida.

31 Construcción de cuadriláterosACTIVIDADES

110

Los cuadriláteros construidos son paralelogramos. Tienen dos diagonales.

Depende del paralelogramo; por ejemplo, en el cuadrado y el rectángulo son iguales, en el rombo y el

paralelogramo, no. Sí, las diagonales se cortan en su punto medio.

Las diagonales forman un ángulo recto en los cuadrados y en los rombos.

Los trapecios tienen dos diagonales.

Solución gráfica a cargo del alumno. Existen muchas posibilidades.

En el trapecio isósceles las diagonales son iguales, pero no lo son en los trapecios rectángulo y escale-

no. No, en ninguna de sus clases.

cuadriláteros

rectángulocuadrado

rombo

paralelogramo

rectángulo escaleno

isósceles

P12-3083-C06.indd 110 10/31/12 5:38 PM

13. Construyan los siguientes cuadriláteros usando regla y compás. Expliquen los pasos que rea-

lizaron para construirlos.a. Un cuadrado cuya diagonal es el

__ pr . c. Un romboide defg.

p rd

g

e

b. Un trapecio rectángulo de altura ___ mo , cuya d. Un trapecio isósceles abcd.

base menor sea igual a su altura.

o

m nba

c

14. Resuelvan.Martín desea cubrir un rectángulo de telgopor con cuadriláteros de diversas formas, de modo tal que no quede espacio libre entre ellos.

a. ¿Podrá usar solo rombos y trapecios? Realicen un diagrama.

b. Si decidiera usar paralelogramos, ¿con qué otros cuadriláteros los podría combinar para que no queden espacios libres? Realicen un diagrama.


111


Sí, puede usar solo rombos y trapecios. Para que no queden

espacios vacíos, la suma de los ángulos de las distintas figuras

que queden consecutivos deben sumar 360° y 180°.

Podría combinarlos con rombos y trapecios.

s

q

M

f

q

pd

P12-3083-C06.indd 111 10/31/12 5:38 PM

112


112

15. Calculen los ángulos interiores de cada uno de los siguientes cuadriláteros.a. Datos: c. Datos: Paralelogramo efgh Trapecio isósceles abcd ε = 110°

^ d = 2 a

h

ε

g

f

d

b

c

ae

b. Datos: d. Datos: Romboide mnop Rombo ijkl δ = 78° r = 69° p = 2 n

δ

m o

p

n

i k

Bz

l

j

π

Julián y su papá quieren hacer un barrilete con forma de rombo; para ello tienen un papel rec-tangular cuyos lados miden 60 cm y 90 cm. ¿Cómo debe ser el barrilete para que sobre la menor cantidad posible de papel?Pueden construir en sus carpetas un rectángulo de 6 cm por 9 cm para analizar los posibles casos.

menteACTIVA

e = 70°; ^

f = 110°; g = 70°; ^ h =110°

m = 102°; o = 102°; n = 52°; p = 104°

a = ^ b = 60°; c =

^ d = 120°

^

i = ^ k = 42°;

^ j =

^ l = 138°

Para que sobre la menor cantidad posible de papel, se debe construir un rombo cuya diagonal mayor sea igual a la diagonal del rectángulo.

P12-3083-C06.indd 112 10/31/12 5:38 PM

113113




16. Resuelvan.a. ¿Con cuáles de los siguientes segmentos se puede construir el abc? Constrúyanlo.•

___ ab = 12 cm;

__ bc = 6 cm; ca = 6 cm

• ___ ab = 9 cm;

__ bc = 4 cm; ca = 3,5 cm

• ___ ab = 7,5 cm;

__ bc = 5,5 cm; ca = 4 cm

b. Clasifiquen el abc que construyeron según sus lados y sus ángulos.

17. Resuelvan y expliquen cómo lo pensaron.a. Con varillas de madera de 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm y 7 cm; ¿cuántos triángulos diferentes se pueden armar? b. Con varillas de 3 cm, 4 cm, 6 cm y 9 cm; ¿cuántos triángulos diferentes se pueden armar?

18. Construyan los triángulos cuando sea posi-ble y clasifíquenlos.

a. ___ de = 2 cm ;

__ ef = 3 cm;

__ fd = 4 cm

b. ___ gh = 3 cm;

__ hi = 2,5 cm;

__ ig = 3 cm

c. ___ mn = 8 cm;

___ no = 4,5 cm;

___ om = 4,5 cm

d. __ xy = 2 cm;

__ yz = 5 cm;

__ zx = 3

19. Resuelvan.Paula necesita recortar doce triángulos rectán-gulos cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 5 cm.

a. Si tiene una hoja de cartulina de 10 cm por 30 cm, ¿podrá recortar los triángulos que necesita? ¿Le sobra cartulina?b. Si le sobra, ¿cuántos triángulos más podría recortar?

20. Resuelvan.a. Construyan en una hoja cinco triángulos isósceles cuya base mida 3 cm y los lados iguales midan 4 cm.b. Recorten los triángulos y armen un parale-logramo, un rectángulo, un cuadrado, un tra-pecio isósceles y un trapezoide.c. ¿Pudieron armar todas las figuras? ¿Por qué? ¿Cuánto miden los lados y los ángulos de cada uno de los cuadriláteros que arma-ron? ¿Cómo calcularon las medidas?

21. Lean atentamente, observen lo que hicieron los chicos y respondan.La profesora les pidió a Laura, a Mariano y a Georgina, que resuelvan el siguiente problema: “Calculen la medida de los ángulos exteriores de un triángulo abc cuyos ángulos interiores miden: a = 65°; b = 35° y c = 80°.”

α

δ

β

c

ab

a. ¿Quiénes resolvieron correctamente el pro-blema?b. ¿Qué propiedades usaron?c. ¿Qué propiedad pueden usar para verificar si las medidas que calcularon son correctas?

22. Piensen y respondan.a. ¿Todo cuadrado es rombo? ¿Todo cuadrado es rectángulo? ¿Por qué?b. ¿Todo paralelogramo es rectángulo?

Laura α = 180° – 35° – 80° = 65° β = 180° – 65° – 80° = 35° δ = 180° – 65° – 35° = 80°

Mariano

α = 80° + 35° = 115°

β = 65° + 80° = 145°

δ = 65° + 35° = 100°

Georgina α = 180° – 65° = 115° β = 180° – 35° = 145° δ = 180° – 80° = 100°

Escaleno obstusángulo.

No.

No.

Sí.

a. 7. b. 2.

a. Sí. Sí. b. 36 triángulos más.

a. y b. Solución a cargo del alumno. c. No son posibles las construcciones del rectángulo y del cuadrado, ya que no es posible formar un ángulo recto con los triángulos isósceles dados.


a. Mariano y Georgina. b. Solución a cargo del alumno. c. Suma de ángulos exteriores.

a. Sí. Sí. b. No.

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23. Hallen la medida de los ángulos indicados.a. Datos:abcd cuadrado; abe equilátero

ce

b

d

a

α β

α = β =

b. Datos:fghi trapecio rectángulo g = x – 32°

^

h = 3x – 12°

i h

f g

g = ^

h =

c. Datos:jklm paralelogramo; jkn rectángulo __

› jn bisectriz del j

m = 122°

nm l

kjφ μ

φ = μ =

d. Datos:opqr rombo r = 80°

θ

π

r

p

o q

π = θ =

24. Construyan las siguientes figuras y respon-dan.

a. Un triángulo rectángulo en el que los lados que forman el ángulo recto midan 4 cm y 5 cm.b. Un triángulo isósceles, cuyo ángulo desigual mida 35° y sus lados midan 3 cm y 5 cm.c. Un cuadrado cuyo lado mida 3,5 cm.d. Un rombo que tenga un ángulo de 50° y una de sus diagonales mida 3 cm.e. Un trapecio isósceles, cuyas bases midan 3 cm y 6 cm y dos de sus ángulos midan 60°.f. Un paralelogramo que tenga un lado de 7 cm y los ángulos adyacentes a él midan 50° y 130°.g. Un rectángulo cuyas diagonales midan

8 cm y formen entre sí un ángulo de 45°.h. Las figuras que construyeron, ¿son únicas? ¿Por qué?

25. Calculen los lados y los ángulos interiores de los siguientes cuadriláteros, sin medir.

a. abcd paralelogramo

4 cm

cd

750

ba

6 cm

b. efgh rombo

7,2 cm

650

e g

h

f

26. Calculen el valor de x.abcd trapezoide

a b

c

d

700

1300

2x

3x

114

30°

24°

29°

40°

30°

156°

61°

50°

φ = 29°

μ = 61°

a. Sí, b. Sí, c. Sí, d. No, e. Sí, f. No, g. No.

ad = 4 cm; ab = 6 cm; c = 75°; d = b = 105°

ef = fg = he = 7,2 cm; g = 65°; ^

f = ^ h = 115°

x = 32°

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31 34 35 36 383732 33 40 4139

Círculo y circunferencia. Elementos y propiedades


115

Se denomina lugar geométrico al conjunto de puntos que cumplen con una condición.Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que se encuentran a

igual distancia de otro llamado centro.Los siguientes son los elementos de la circunferencia.El radio es la distancia de cualquier punto de la circun-

ferencia al centro.Una cuerda es un segmento que une dos puntos de una

circunferencia.La cuerda de mayor longitud es la que pasa por el cen-

tro. Se llama diámetro y equivale a dos radios.Un arco es la parte de la circunferencia determinada por

dos puntos de la misma. Por ejemplo abc es un arco de la circunferencia (el punto del medio se utiliza para identificar de qué lado de la circunferencia está el arco).

Se denomina ángulo central al que tiene como vértice el centro de la circunferencia.

α es un ángulo central.

La circunferencia y todos los puntos del plano interio-res a ella determinan el círculo.

r

círculo

circunferencia

Posiciones relativas de dos circunferencias

Dos circunferencias son tangentes, si tienen un único punto en común.

Dos circunferencias son secantes, si tienen dos puntos en común.

Dos circunferencias son concéntri-cas, si tienen el centro en común.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. El radio, ¿es una cuerda?b. ¿El diámetro es la cuerda más larga?c. La circunferencia, ¿forma parte del círculo?


infoactiva

a

b

0

c

α

centro

cuerda

radio

diámetrocuerda

arco

a. No, porque las cuerdas unen dos puntos de la circunferencia y el radio une el centro con un punto de la circunferencia. b. Sí. c. Sí.

P12-3083-C06.indd 115 10/31/12 5:38 PM

32 Círculo y circunferencia. Elementos y propiedadesACTIVIDADES

116

27. Realicen los pasos y respondan.

Elementos: hoja, lápiz, gancho mariposa e hilo.Pasos:1. Marquen un punto en el centro de la hoja.2. Aten un extremo del hilo al gancho mariposa y claven el gancho en el punto que marcaron.3. Aten el otro extremo del hilo al lápiz.4. Extiendan el hilo y tracen la figura que se forma.

a. ¿Qué figura geométrica se formó? ¿Qué representa el gancho mariposa en la figura? ¿Y el hilo?

b. Si se mantiene el centro, pero se modifica el largo del hilo, ¿cómo es la circunferencia que se obtiene?

c. Si se mantiene el largo del hilo, pero se modifica el centro, ¿cómo es la circunferencia que se obtiene?

d. ¿Cómo son las circunferencias del ítem b? ¿Y las del ítem c? ¿Por qué?

28. Unan con flechas las respuestas correctas.a. La cuerda más larga de una circunferencia es... … radio.b. El arco es una parte de... … el diámetro. c. Una cuerda divide al círculo en dos... … el círculo. d. La distancia del centro a la circunferencia es... … la circunferencia. e. El diámetro es el doble del... … el radio. f. Los radios unen un punto de la circunferencia con... … arcos. g. Si se unen dos semicircunferencias se forma... … el centro. h. El interior de la circunferencia es... … la circunferencia.

29. Marquen en la circunferencia los elementos que se indican.a. El radio y el diámetro. ¿Cuánto miden?b. Un ángulo central de 60°.c. Un ángulo central de 210°.d. Una cuerda de 2 cm y marquen con distinto color los arcos que corresponden a la cuerda.

Una circunferencia. El centro. El radio.

Se forma una circunferencia con el mismo centro, pero de radio distinto.

Se forma una circunferencia del mismo radio, pero con el centro corrido.

Las del ítem b. son concéntricas, ya que comparten su centro. Las del ítem c. son iguales, pero no concéntricas.


P12-3083-C06.indd 116 10/31/12 5:38 PM

33 35 36 37 3938 41 42403432

Construcción de circunferencias


117

Se pueden construir circunferencias a partir de diferentes datos sin utilizar una regla graduada.• Dado el radio: se toma la medida del radio con el compás, se pincha en el centro y se traza

la circunferencia.

• Dado el diámetro: se encuentran el centro y el radio trazando la mediatriz del diámetro y luego se dibuja la circunferencia con el método anterior.

• Dada una cuerda, se pueden seguir estos pasos.

ba

Mz (mediatriz de ab)

o

ba

radio

Mz (mediatriz de ab)

o

1. Se traza la mediatriz de la cuerda y sobre ella se marca un punto o cualquiera (excepto el que pertenece a la cuer-da) porque todos los puntos de la mediatriz equidistan de sus extremos.

2. Se traza la circunferencia de centro o que pasa por los extremos de la cuerda. En este caso, se pueden trazar infini-tas circunferencias según el centro elegido.

• Dado un arco de circunferencia, se pueden seguir estos pasos.

c

o

a

bc

o

a

b

1. Se marcan tres puntos sobre el arco y se trazan las dos cuerdas que los unen. Se traza la mediatriz de cada una. El punto de intersección de las mediatrices (o) es el centro de la circunferencia.

2. Se pincha el compás en o y se traza la circunferencia que pasa por los puntos marcados sobre el arco.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. Si se conoce el diámetro de una circunferencia, ¿se puede construir una única circunferencia?b. A partir de una cuerda, ¿se puede construir una única circunferencia?c. Si se conocen dos cuerdas consecutivas, ¿es posible construir la circunferencia?

Pueden repasar cómo se traza una mediatriz en la página 95.

infoactiva


a. Sí. b. No, a partir de una cuerda se pueden construir infinitas circunferencias. c. Sí, porque conocer dos cuerdas consecutivas es lo mismo que conocer un arco de la circunferencia.

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30. Construyan en cada caso una circunferencia que cumpla con las condiciones dadas.a.

___ oa radio. c.

__ fg cuerda.

a

o f

g

b. ___ mn diámetro. d. rst

(

arco

r

s

t

n

m

31. Construyan una circunferencia que pase por los vértices de las siguientes figuras. Expliquen cómo lo pensaron.

a. b.

a b

d

fe

g

33 Construcción de circunferenciasACTIVIDADES

118

c

o

radio

radio

Mz

Mz

Mz

Mz

Hay infinitas posibilidades.

oo

radio

P12-3083-C06.indd 118 10/31/12 5:38 PM

34 36 37 38 4039 42 43413533


Polígonos


119

Se llama polígono a toda figura que tiene tres o más lados.

Clasificación según sus ángulos:Convexo: cuando todos sus ángulos interiores

son menores que 180º.Cóncavo: cuando alguno de sus ángulos inte-

riores es mayor que 180º.

Clasificación según sus lados:Regular: cuando todos sus lados y sus ángulos

son iguales.Irregular: cuando uno de sus lados o de sus

ángulos es distinto a los demás.

Elementos del polígono:• Diagonal: es el segmento que tiene por extre-

mos un vértice a otro no adyacente a él.• Apotema (Ap): es el segmento perpendicular

al lado del polígono cuyos extremos son el punto medio del lado y el centro del polígono.

• Ángulo central: es el ángulo cuyo vértice es el centro del polígono. a b

cf

de

α

apotemadiagonal

ángulo central

La suma de los ángulos interiores de un polígono es:180º . (n – 2), donde n es la cantidad de lados.

En un hexágono (n = 6) la suma de los ángulos interiores es 180º . (6 – 2) = 720º.

Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es 540º, ¿cuántos lados tiene?180º . (n – 2) = 540º n – 2 = 540º : 180º n = 3 + 2 n = 5 Entonces, el polígono es un pentágono.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. Un polígono irregular, ¿puede tener tres lados iguales?b. Un polígono convexo, ¿puede tener una diagonal que no pase por su interior?c. ¿Qué triángulo y qué cuadrilátero son polígonos regulares?d. El ángulo central de un polígono regular, ¿puede medir 80°?

infoactiva

a. Sí. b. No. c. El triángulo equilátero y el cuadrado. d. No.

P12-3083-C06.indd 119 10/31/12 5:38 PM

32. Midan los ángulos de los siguientes polígonos y respondan. FIGURA A FIGURA B

a. Clasifiquen los polígonos según sus lados y según sus ángulos.

b. Calculen la suma de ángulos interiores de cada uno de los polígonos. ¿Cómo son los resultados?

c. Tracen las diagonales desde uno de los vértices en cada uno de los polígonos. ¿Cuántos trián-gulos se forman? ¿Se puede relacionar la cantidad de triángulos que quedan formados con la suma de los ángulos interiores?

33. Calculen la amplitud de los siguientes ángulos.a. Datos: c. Datos: a = 8x + 12° m = 53° – x

^ b = 7x + 35° n = 10x + 30°

c = 153° – x o = x + 4°

^ d = 8x – 13° p = 3x

e = 6x – 1°

^ f = 3x + 38°

o

p

m

n

e

f

a

b

c

d

b. Datos: d. Datos: g = 4x – 10° r = 4x – 70° h = 5x – 64° s = 2x + 15° i = 3x + 16° t = 90° j = 2x – 4° u = 3x – 25° k = 8x + 1° v = x + 20° l = x – 1°

r

v

t

u

s

l

g

h

i

j

k

34 PolígonosACTIVIDADES

120

El “A” es convexo regular, el “B” es cóncavo irregular.

En ambos casos la suma es la misma, 900°.

Se forman 5 triángulos. Sí, la suma de ángulos interiores de cada triángulo por la cantidad de triángulos

es igual a la suma de ángulos interiores del polígono.

a + ^ b + c +

^ d + e +

^ f = 720°

a = 140°; ^ b = 147°; c = 137°;

^ d = 112°;

e = 95°; ^

f = 86°

m + n + o + p = 360°

m = 32°; n = 231°; o = 25°; p = 63°

g + ^

h + ^

i + ^

j + ^ k +

^ l = 720°

g = 126°; ^

h = 106°; ^ i = 118°;

^ j = 64°;

^ k = 273°;

^ l = 33°

r + s + t + u + v = 540°

r = 134°; s = 117°; u = 128°; v = 71°

P12-3083-C06.indd 120 10/31/12 5:38 PM

35 37 38 39 4140 43 44423634


Construcción de polígonos regulares


121

Para construir un pentágono regular con compás, regla y transportador, pueden seguir estos pasos.b

a

c

de

720

720

720

720

720

1. Se dibuja una circunferencia y un radio. Se calcula el valor del ángulo central del polígono haciendo 360° : 5 = 72°.

2. A partir del radio de la circunferen-cia y tomando como vértice el centro, se dibujan cinco ángulos consecutivos de 72°.

3. Los puntos en donde se cortan los lados de los ángulos con la circunfe-rencia son los vértices del pentágono.

Se puede construir un polígono regular a partir de un triángulo isósceles. Para ello, la medida del ángulo desigual del triángulo debe ser divisor de 360°.

Por ejemplo, dado un triángulo isósceles con el ángulo desigual de 45°, se puede realizar la siguiente construcción.

450 450450

1. Se traza la circunferencia tomando como centro el vértice del ángulo desi-gual y como radio uno de los lados iguales.

2. Se toma con el compás la medida del lado desigual del triángulo y se marca sucesivamente en la circunfe-rencia comenzando en uno de los vér-tices del triángulo que intersecan a la circunferencia.

3. Se determinan los segmentos que son lados del polígono regular. El polí-gono obtenido en este caso es un octógono.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Es correcto decir que el ángulo central de un eneágono regular mide 40°? ¿Qué cálculo se debe realizar?b. Si se conoce el ángulo central de un polígono regular, ¿se puede averiguar la cantidad de lados que tiene? ¿Cómo?c. Si se unen el centro de un pentágono regular con cada uno de los vértices, ¿en cuántos triángulos isósceles se lo puede dividir?d. A partir de un triángulo escaleno, ¿se puede construir un polígono regular?

infoactiva

a. Sí. 360° : 9. b. Sí. Se realiza la división entre un giro y la amplitud del ángulo. c. En 5 triángulos. d. No, solo se pueden construir polígonos regulares a partir de triángulos isósceles.

P12-3083-C06.indd 121 10/31/12 5:38 PM

34. Completen sabiendo que los polígonos son regulares.

Polígono Cantidad de lados

Suma de ángulos interiores

Ángulo interior Ángulo central

Decágono 10

8 1 080

Pentágono

720 120

Dodecágono 150

35. Construyan los siguientes polígonos regulares.a. Cuadrado. c. Eneágono.

b. Hexágono. d. Decágono.

35 Construcción de polígonos regularesACTIVIDADES

122

5

6

108 72

30

135 45

60

540

Hexágono

Octógono

144 361 440

12 1 800

60o

36o

40o

P12-3083-C06.indd 122 10/31/12 5:38 PM

36. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen las respuestas.

a. El ángulo central de un polígono regular de 20 lados mide 18°.

b. Para construir un triángulo equilátero se debe trazar un ángulo central que mida 60°.

c. A partir de un triángulo equilátero se puede construir un polígono regular.

d. Para calcular el ángulo central de un polígono de 15 lados se resuelve 360° : 15.

e. Los lados de un polígono regular son cuerdas de una circunferencia.

f. Para construir un polígono regular se debe conocer la medida de un ángulo interior.

37. Ubiquen el centro, el radio, la apotema y la circunferencia que pasa por los vértices de cada polígono. Expliquen cómo lo pensaron.

a. b. c.

38. Construyan un octógono y un dodecágono con regla y transportador. Expliquen cómo lo pensaron.


123


Ap0

Radio

Ap0Radio

Ap

0

Radio

V

V

V

V

F

F


P12-3083-C06.indd 123 10/31/12 5:38 PM

39. Construyan un polígono a partir de los siguientes triángulos, cuando sea posible. Luego escri-

ban el nombre del polígono construido.a. c.

b. d.


Mariano fue a una granja y vio cómo las abejas construían su panal. Se dio cuenta de que cada una de las celdas tenía forma de hexágono, y que cada celda compartía sus lados con la celda vecina, sin dejar espacios vacíos.

a. ¿Es posible construir un panal con otras figuras geométricas que no sean hexágonos? Si fuera posible, ¿qué polígonos usarían?b. Diseñen en sus carpetas, dos posibles panales teniendo en cuenta las siguientes opciones:• Usando un polígono regular de más de seis lados.• Usando dos polígonos regulares distintos.

menteACTIVA

124

a. Cuadrados y triángulos equiláteros. b. No se puede. Por ejemplo, hexágonos y triángulos equiláteros.

Hexágono regular.

Cuadrado.

No se puede construir el polígono.

Eneágono regular.

P12-3083-C06.indd 124 10/31/12 5:38 PM

125




40. Resuelvan.Eugenia compró un nuevo compás y para pro-barlo realizó las siguientes figuras.

FIGURA A

FIGURA B

a. Según su posición, ¿cómo se clasifican las circunferencias de cada figura?b. Copien las figuras en sus carpetas. Expliquen cómo lo realizaron.c. Los puntos de la figura B, ¿están alinea-dos?

41. Construyan teniendo en cuenta las indica-ciones dadas en cada caso.

a. Una circunferencia cuyo radio mida 2 cm.b. Marquen los puntos b y c. Luego, tracen una circunferencia con centro en c de modo que b sea un punto interior.c. Marquen los puntos d y e. Luego, tracen una circunferencia con centro en e y que pase por d.d. Marquen los puntos f y g. Luego tracen una circunferencia que contenga a f y no a g.e. Tracen el hi y luego una circunferencia que tenga al segmento como cuerda.f. Tracen el jk y una circunferencia, de modo que el segmento sea su mayor cuerda.

42. Copien las siguientes figuras en sus carpe-tas y luego, tracen la circunferencia que pasa por los vértices de cada una de ellas. Expliquen cómo lo pensaron.

a.

c

b

d

a

b.

f

ed

43. Resuelvan.a. ¿Qué elementos del cuadrado permiten trazar una circunferencia que pase por sus vértices?b. ¿Es posible trazar una circunferencia que pase por todos los vértices de un trapecio rectángulo? ¿Por qué?

44. Construyan los polígonos.a. Un pentágono regular cuyas diagonales midan 5 cm.b. Una circunferencia a partir de una cuerda de 3,5 cm.c. Un hexágono regular a partir de un triángu-lo equilátero de 3 cm.

45. Construyan los siguientes polígonos tenien-do en cuenta los datos.

a. Es regular, el ángulo central mide 60° y es convexo.b. Es regular, tiene en total cinco diagonales y la suma de sus ángulos interiores es de 540°.c. Comparen los gráficos con sus compañeros. ¿La solución es única? ¿Por qué?

M

mediatricesM, N y P

NP

a. Solución a cargo del alumno. c. Alineados.

mediatricesL, M y N

M

d

L

N

a. Mediatrices o diagonales. b. No.


Solución a cargo del alumno.Solución a cargo del alumno.

oo

o

P12-3083-C06.indd 125 10/31/12 5:38 PM

126126

46. Construyan y luego, respondan.• Triángulo equilátero.• Cuadrado.• Pentágono regular.• Hexágono regular.a. Tracen todas las diagonales que tienen cada uno de los polígonos construidos y completen la tabla.

Polígono regular Cantidad de diagonales

Triángulo

Cuadrado

Pentágono

Hexágono

b. ¿Cuántas diagonales tiene un heptágono? ¿Y un octógono? Expliquen cómo lo pensaron.

47. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas.

a. Una cuerda es un segmento que une dos

puntos de la circunferencia. b. En un polígono regular, los lados y los

ángulos son iguales. c. El ángulo central de un octógono regular

mide 45°. d. La suma de los ángulos interiores de un

polígono es 412°. e. El círculo es el contorno de la circunferen-

cia.

f. El radio es el doble del diámetro.

g. Un rectángulo es un polígono regular. h. El ángulo central de un triángulo equilátero

mide 120°. i. Un pentágono puede dividirse en cuatro triángulos al trazar las diagonales desde uno

de sus vértices. j. El decágono es un polígono que tiene doce

lados. k. Para calcular el ángulo interior de un polí-gono regular, se debe dividir 360° por la can-

tidad de lados.

48. Observen los polígonos y respondan. A

B

C

D

E

F

a. Clasifiquen los polígonos en cóncavos y convexos.b. ¿Cuántas diagonales tiene cada polígono?c. Si dos polígonos tienen la misma cantidad de lados, ¿tienen la misma cantidad de diago-nales?

49. Completen con “siempre”, “a veces” o “nunca”.

a. Un cuadrado es rectángulo.b. Los pentágonos, hexágonos y octógonos,

son regulares.

c. Un rectángulo es un cuadrado.

d. es posible que un polígono regular sea cóncavo.

50. Lean atentamente y averigüen de qué polí-gono regular se trata, en cada caso. Luego, cal-culen la medida del ángulo central.

a. Desde uno de sus vértices se pueden tra-zar solo 12 diagonales.b. La suma de sus ángulos interiores es 900°.c. Es un polígono que no tiene diagonales.d. Es un polígono que tiene el doble de lados que el polígono que tiene un ángulo central de 72°.e. Su ángulo central mide el doble de 20°.

126

0

2

5

9

V

V

V

F

F

F

F

V

F

F

F

a. y b. Solución a cargo del alumno. c. Sí.

14. 20

a. Polígono de 15 lados. 24° b. Heptágono. 51,42° c. Triángulo. 120° d. Decágono. 36° e. Eneágono. 40°

siempre

a veces

nunca

a veces

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127

Autoevaluación 651. Construyan las siguientes figuras.

a. Un triángulo isósceles cuyos lados iguales c. Un rombo cuya diagonal mayor mida 5 cm, midan 4,5 cm y el ángulo entre ellos mida 50°. su diagonal menor mida 3 cm y uno de sus lados mida 4 cm.

b. Una circunferencia a partir de la cuerda mn. d. Un polígono regular a partir del siguiente triángulo isósceles.

52. Calculen los ángulos interiores.a. Datos: b. Datos: c. Datos: a = 12x – 14° m = 3x r = 8x + 2° c = 9x + 15° n = 5x – 16° s = 6x β = 7x + 99° o = x t = 22x – 14° u = 3x – 6°

127

capítulo

c

a

β

b

p

n

om

t

s

u

v

r

m

n

a = 70°; ^

b = 32°; c = 78° m = 84°; n = 124°; o = 28°; p = 124°

r = 98°; s = 72°; t = 250°; u = 30°

50o

Mz

P12-3083-C06.indd 127 10/31/12 5:38 PM

128

Perímetro, área y volumenContenidos36. Perímetro y área de figuras

planas.

37. Área lateral y total de

prismas, pirámides y

cilindros.

38. Unidades de capacidad y

unidades de volumen.

39. Volumen del prisma, de la

pirámide, del cilindro y del

cono.

7

Situación inicial de aprendizaje1. Observen la imagen y respondan.

a. Las siguientes son algunas de las preguntas que realizó un interesado por uno de los depar-tamentos con las respuestas que recibió.• Si quisiera colocar una guarda en las paredes, ¿cuántos metros necesitaré? 24 m• ¿El largo y el ancho coinciden? No.• Si quisiera ubicar un mueble de 5 m de largo, ¿puedo hacerlo sobre cualquiera de las paredes? No.¿Sobre qué departamento realizó la consulta? ¿Cuáles son sus dimensiones?b. Si hubiese preguntado por el otro departamento, ¿cuáles serían las respuestas?

capítulo

a. Sobre el monoambiente de 32 m2. Las dimensiones son: 8 m de largo y 4 m de ancho.b. Por ejemplo, si el monoambiente es de 6x6 las respuestas serán 24 m, Sí, No, Sí; si es de 4x9, serían 26 m, No, Sí, No.

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129

Perímetro y área de figuras planas

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Cómo se calcula el perímetro de un triángulo equilátero con una multiplicación?b. Si se divide un rombo por sus dos diagonales, ¿se obtienen cuatro triángulos de igual área? ¿Y si es un romboide?c. ¿Se puede calcular el área de un cuadrado teniendo como dato el perímetro?d. ¿Qué figuras tienen la misma fórmula del perímetro? ¿Y el área?


129

38 39 40 42 434136 3735 44 45

infoactiva


Medir una longitud significa compararla con otra considerada como unidad de medida.

km kilómetro

hm hectómetro

dam decámetro

m metro

dm decímetro

cm centímetro

mm milímetro

: 10

. 10

: 10

. 10

: 10

. 10

: 10

. 10

: 10

. 10

: 10

. 10

Perímetro y área El perímetro de una figura es igual a la suma de las medidas de todos sus lados. Para calcular

el perímetro, todos los lados deben estar expresados en la misma unidad de medida.

Se llama área a la cantidad de veces que entra en una superficie la unidad de medida elegida.Un cuadrado de 1 metro de lado tiene un área igual a 1 m2.

Figura Fórmula del perímetro Fórmula del área

Triángulo l 1 + l

2 + l

3 b . h _____ 2

Trapecio B + b + l 1 + l

2

(B + b) . h __________ 2

Romboide 2 . l 1 + 2 . l

2 D . d _____ 2

Rombo 4 . l D . d _____ 2

Paralelogramo 2 . l 1 + 2 . l

2 b . h

Rectángulo 2 . l 1 + 2 . l

2 b . h

Cuadrado 4 . l l2

Polígono regular n . l perímetro . apotema

__________________ 2

Círculo 2 . π . r π . r2

a. 3 . l. b. Sí. No. c. Sí, porque ambas fórmulas dependen de la medida del lado. d. Perímetro: cuadrado y rombo; rectángulo, paralelogramo y romboide. Área: paralelogramo y rectángulo, rombo y romboide.

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1. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. En caso de que sea F, escriban la res-puesta correcta.

a. 45 hm = 45 000 m d. 7,2 dam = 0,72 hm

b. 0,054 m = 5,4 cm e. 0,721 hm = 7 210 cm

c. 3,18 dm = 0,00318 km f. 32 cm = 0,0032 dam

2. Calculen y escriban el resultado en cm.a. El perímetro de un rombo de 30 mm de lado.

b. El perímetro de un rectángulo si uno de sus lados mide 0,2 dm y el otro mide el doble.

c. La longitud de cada lado de un triángulo equilátero, si su perímetro es 0,15 m.

d. El perímetro de un cuadrado de 0,6 dm de lado.

e. Los lados de un romboide sabiendo que su perímetro es de 32 cm y el lado mayor es el tri-ple del menor.

3. Calculen el perímetro de las siguientes figuras. Escriban el resultado en cm.a. c.

8 cm

20 mm

0,000021 km0,32 dm

12 cm

0,5 dm

b. d.80 mm

2 cm

0,15 m

1,2 dm40 mm

36 Perímetro y área de figuras planasACTIVIDADES

130

F

F F

V

V

V

4 500 m

0,000318 km 0,032 dam

12 cm

12 cm

5 cm

24 cm

4 cm y 12 cm

15,3 cm

22,28 cm

42 cm

41,42 cm

P12-3083-C07.indd 130 10/31/12 5:41 PM

4. Completen según corresponda.

a. 3,2 m2 = dam2 c. 3 cm2 = dm2

b. 0,005 hm2 = dm2 d. 0,0042 hm2 + 0,5 dam2 = m2

5. Indiquen cuántos cuadrados de área tienen las siguientes figuras.

a. b. c.

6. Rodeen con color la respuesta correcta.a. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado de 9 cm2 de área?

1,2 dm 36 cm 12 cm2

b. Si en un rectángulo, la medida de la base y de la altura son números consecutivos y su perí-metro es 18 cm, ¿cuál es su área?

81 cm2 20 cm2 90 cm2

c. ¿Cuál es el perímetro de un círculo cuya área es 7,065 dm2?

7,065 dm 9,42 dm 14,7 m

d. Si la base y la altura de un paralelogramo son iguales a las de un triángulo de área 15 cm2, ¿cuál es su área?

30 cm2 7,5 cm2 ninguna de las anteriores

7. Calculen.

a. La base de un rectángulo de perímetro 30 cm y altura 6 cm.

b. La base de un triángulo de área 12 cm2 y altura 3 cm.

c. El radio de un círculo de perímetro 12,56 cm.


131


0,032 0,03

5 000 92

11 10 23

9 cm

8 cm

2 cm

P12-3083-C07.indd 131 10/31/12 5:41 PM

132


132

8. Calculen el área y el perímetro de las siguientes figuras.

a. b.

6 dm2 cm

6 cm

2,82 cm

4 cm

8 cm

Perímetro = Perímetro =

Área = Área =

9. Calculen el área sombreada de las siguientes figuras.a. c.

6 cm

8 cm

5 cm

1 cm

Área sombreada = Área sombreada =

b. d.

2 cm

1,7 cm 5 cm

5 cm

4 cm

1 cm

Área sombreada = Área sombreada =

10. Lean atentamente y resuelvan.a. El área de un pentágono es de 7,5 dm2. Si la apotema mide 30 mm, ¿cuánto mide el lado?

b. Si al área de un rectángulo de 15 cm de base, se le resta el área de un pentágono de 80 cm2 se obtiene 55 cm2. ¿Cuánto mide la altura del rectángulo?

De una masa rectangular de 30 cm de largo y 20 cm de ancho se cortan círculos de 5 cm de radio para preparar empanadas, de modo que se aproveche la mayor cantidad de masa posible.

a. ¿Cuántas tapas de empanadas saldrán? ¿Cuántos cm2 de masa sobran?b. ¿Se pueden cortar más tapas con la masa que sobra? ¿Cómo?

menteACTIVA

21,64 cm

7,74 cm2

14,2 cm2

37,5 cm2

9 cm2

27,42 dm

20 cm2 50,13 dm2

9 cm

10 dm

a. 6 empanadas. Sobran 129 cm2. b. Sí, una más. Amasándola y estirándola de nuevo.

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133

Área lateral y total de prismas, pirámides y cilindros


133

36 39 40 41 434237 38 45 4644

El área lateral de un poliedro es la suma de las áreas de todas las caras laterales.El área total de un poliedro es la suma de las áreas de todas sus caras.

Área del prisma

Área lateral = perímetro de la base . alturaÁrea total = área lateral + 2 . área de la base

perímetro de la base

h (a

ltur

a)

Área de la pirámide

Área lateral = perímetro de la base . altura de la cara lateral

________________________________________ 2

Área total = área lateral + área de la base b (base)

h(a

ltur

a)

Área del cilindroPara calcular el área lateral de un cilindro, se debe calcular el área del rectángulo que forma su

parte lateral.La base del rectángulo coincide con la longitud de la circunfe-

rencia de la base del cilindro.

Área lateral = área del rectángulo = b . h = 2 . π . r . hÁrea total = área lateral + 2 . π . r2

h(altura)

r

r

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. Si un prisma de base triangular y un prisma de base cuadrada tienen la misma altura, ¿el área total es la misma?b. La diferencia entre el área total de una pirámide y su área lateral, ¿es el área de la base?c. Si se conoce el área total de un cilindro, ¿se puede calcular el área de la base?d. Para empapelar la columna de una habitación, ¿se debe calcular su área total?

infoactiva


a. No, depende de las dimensiones de la base. b. Sí. c. No, se necesita la altura. d. No, se debe calcu-lar el área lateral porque las bases no se podrían cubrir.

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11. Unan con flechas los nombres de los cuerpos con sus correspondientes áreas laterales y totales.

Cuerpo Área lateral Área total

Prisma de base triangular regular • l2 . 4 • Área lateral + 2 . π . r2

Cilindro • b . h . 3 • Área lateral + b . h _____ 2 . 2

Cubo • b . h _____ 2 . 7 • Área lateral + l2 . 2

Pirámide de base rectangular • 2 . π . r . h • Área lateral + Per . Ap : 2

Pirámide de base heptagonal regular • b

1 . h

1 ______ 2 . 2 +

b 2 . h

2 ______ 2 . 2 • Área lateral + b . h . 2

12. Calculen el área lateral y el área total de los siguientes cuerpos. Pueden ayudarse realizando una figura de análisis de los desarrollos correspondientes.

a. Prisma de base cuadrada. c. Cilindro.

4 cm

5 cm

10 cm

2 cm

b. Pirámide de base cuadrada. d. Pirámide truncada de base cuadrada.

5 cm

3 cm

2 cm

3 cm

4 cm

13. Resuelvan.Sofía quiere cubrir cinco macetas con forma de prisma de base rectangular de 0,5 m de largo, 2 dm de ancho y 300 mm de alto, con venecitas cuadradas de 3 cm de lado. Si solo debe cubrir los latera-les, ¿cuántas venecitas necesita?

37 Área lateral y total de prismas, pirámides y cilindrosACTIVIDADES

134

Área lateral: 80 cm2


Área total: 88 cm2

Área total: 39 cm2

Área lateral: 62,8 cm2


Área total: 87,92 cm2

Área total: 56 cm2

50 cm . 30 cm . 2 + 20 cm . 30 cm . 2 = 4 200 cm2

4 200 cm2 : 9 cm2 = 466,7. Necesita 467 venecitas.

P12-3083-C07.indd 134 10/31/12 5:41 PM

14. Calculen el área lateral y el área total. Escriban el nombre del cuerpo al que pertenece cada desarrollo.

a. c.

5 cm

2 cm

4 cm

7 cm

8 cm

Área lateral: Área lateral:

Área total: Área total:

Nombre: Nombre:

b. d. 3 cm

10 cm

2 cm

6 cm

3 cm



Nombre: Nombre:

15. Lean atentamente y calculen. Escriban el resultado en dm2.a. El área lateral de un prisma de base rectangular, si las medidas de su base (en dm) son dos números impares y múltiplos de 3 comprendidos entre 8 y 18 y su altura es 10 cm.

b. El área total de un cilindro si el radio y la altura son dos números consecutivos, cuya suma es 15 cm.

c. El área lateral de una pirámide de base cuadrada si la altura de sus caras es la mitad de la medida del lado de la base, sabiendo que el área de la base es 16 cm2.


135


0,16 dm2

6,59 dm2

4,8 dm2

60 cm2

188,4 cm2

112 cm2

96 cm2

76 cm2

244,9 cm2

161 cm2

144 cm2

Prisma de base rectangular.

Cilindro.

Pirámide de base cuadrada.

Prisma de base octogonal.

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16. Calculen el valor de la incógnita.a. Datos: b. Datos: Área total = 62 cm2 Todas las aristas miden lo mismo. Área total = 2 200 mm2

5 cm3 cm

xx

x = x =

17. Resuelvan.Una empresa fabrica dos tipos de carpas. ¿Cuántos m2 de lona se necesita para cada una de ellas?

a. b.

3 m

10 m

5,2 m

15 m

1 m

10 m 3 m15 m

18. Respondan.Pedro quiere pintar el tanque de agua de su casa, de forma cilíndrica, de 2 m de diámetro y 3 m de alto.

a. Si la pintura rinde 1 m2 por cada medio litro, ¿cuántos litros serán necesarios?

b. Si el balde de 5 l cuesta $80, ¿cuántos baldes deberá comprar? ¿Cuánto gastará en total?

19. Resuelvan.a. Agustín quiere cubrir las paredes de su cochera de 3 m de largo, 2 m de ancho y 2,5 m de alto con listones de madera de 1 m por 5 cm. ¿Cuántos listones necesitará?

b. Cada cara de un cubo mágico se compone de 9 cuadrados de 20 mm de lado. Si se quieren construir sus caras en acrílico, ¿cuántos cm2 serán necesarios?


136

62 cm2 = 2 . 5 cm . 3 cm + 2 . (3 cm . x + 5 cm . x)

286 m2

2 200 mm2 = 22 . x2

464 m2

12,56 l

Deberá comprar 3 baldes. Gastará $240.

23 m + 2,5 m + 2,5 m . 2 m = 20 m2; 20 m : 0,05 m2 = 400 Necesitará 400 listones.

2 cm . 2 cm . 9 . 6 = 216 cm2

2 cm 10 mm

P12-3083-C07.indd 136 10/31/12 5:41 PM

Unidades de capacidad y unidades de volumen


137

37 40 41 42 444338 39 46 4745

Se llama volumen al lugar que ocupa un cuerpo en el espacio y capacidad a aquello que puede contener.

Unidades de volumenUn metro cúbico es el volumen que ocupa un cubo de un metro de arista.Un decímetro cúbico es el volumen que ocupa un cubo de un decímetro de arista.Para armar 1 m3 son necesarios 1 000 dm3.Para pasar de una unidad de volumen a otra que sea su inmediata inferior, se debe multiplicar

por 1 000 y para pasar a su inmediata superior, se debe dividir por 1 000.

Se lee... Se simboliza... Equivale a...

Múltiploskilómetro cúbico

hectómetro cúbicodecámetro cúbico

km3

hm3

dam3

1 000 000 000 m3

1 000 000 m3

1 000 m3

Unidad metro cúbico m3 1 m3

Submúltiplosdecímetro cúbicocentímetro cúbicomilímetro cúbico

dm3

cm3

mm3

0,001 m3

0,000001 m3

0,000000001 m3

Unidades de capacidadLa capacidad de un cuerpo se mide en litros.

kl kilolitro

hl hectolitro

dal decalitro

l litro

dl decilitro

cl centilitro

ml mililitro

. 10

: 10

. 10

: 10

. 10

: 10

. 10

: 10

. 10

: 10

. 10

: 10

La siguiente tabla muestra las equivalencias entre las unidades de volumen y las de capacidad.

Volumen 1 m3 1 dm3 1 cm3

Capacidad 1 kl 1 l 1 ml

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. Para pasar de cm3 a m3, ¿qué cálculo se debe realizar? ¿Y a mm3?b. ¿Es cierto que 1 kl equivale a 100 litros?c. Para llenar un tanque, ¿es lo mismo saber el volumen que la capacidad?

infoactiva


a. Se debe dividir por 1 000 000. Para pasar a mm3 se debe multiplicar por 1 000. b. No, equivale a 1 000 litros. c. Sí, porque son equivalentes.

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38 Unidades de capacidad y unidades de volumenACTIVIDADES

138

20. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. En caso de que sea F, corrijan el error.

a. 2 m3 = 200 cm3 d. 0,540 dm3 – 40 cm3 = 0,5 dm3

b. 0,000034 hm3 = 34 m e. 0,06 dam3 + 55 cm3 = 0,01 dam3

c. 4 200 m2 . 0,5 hm = 2 100 dam3 f. 3 cm2 . 1,2 cm + 0,004 dm3 = 3,64 cm3

21. Completen las siguientes equivalencias.

a. 250 cm3 = ml d. 0,00018 m3 = cl

b. 1 000 cm3 = l e. 280 dl = dm3

c. 32 dl = cm3 f. 135 kl = dm3

22. Resuelvan los siguientes problemas.a. Para su fiesta de cumpleaños Pablo compró botellas de gaseosa de 2,5 l. Si tiene 40 invitados y calculó 3 vasos de 300 cm3 por persona, ¿cuántas botellas de gaseosa compró?

b. En un supermercado ofrecen tres botellas de aceite de la misma calidad. La primera es de 750 cm3 y cuesta $15, la segunda es de 1 l y su costo es de $18 y la tercera es de 500 cm3 y cuesta $12. ¿Cuál conviene comprar?

c. Matías prepara un licuado con 500 cm3 de leche, 1 __ 4 litro de pulpa de frutillas y 200 ml de pulpa de durazno. ¿Podrá colocar la preparación en una jarra de un litro? ¿Por qué?

d. Ana prepara un perfume para sus dos mejores amigas mezclando 2 ___ 25 l de alcohol, 120 cm3 de esencia de jazmines y 5 cl de agua. Si los frascos que consiguió tienen una capacidad de 80 ml, ¿cuántos frascos puede llenar? ¿Le sobra perfume?

e. Para el mantenimiento de la piscina de un club, se le debe agregar cloro al agua semanal-mente. Si la piscina tiene una capacidad de 138 kl y por cada 10 m3 de agua se debe agregar medio litro de cloro, ¿cuántos litros por semana son necesarios?

Las equivalencias entre unidades de capacidad y de volumen pueden servir, por ejemplo, para averiguar el volumen de una piedra. Si se dis-pone de un vaso medidor lleno de agua, cuya capacidad es de 500 ml y de una piedra que cabe dentro de ese vaso, ¿cómo pueden hacer para calcular el volumen de la piedra?

menteACTIVA

F F

F V

V F

250 18

1 28

3 200 135 000

Sí, porque en total son 950 cm3 de preparación.

Conviene la de 1 litro.

Compró 15 botellas de gaseosa.

a. 2 000 000 cm3. c. 2 250 dam3. e. 60,55 m3. f. 7,6 cm3.

Puede llenar tres frascos y le sobran 10 ml.

Serán necesarios 6,9 l de cloro por semana.

Se puede llenar con agua el vaso, sumergir la piedra y luego, registrar la variación del volumen de agua.

P12-3083-C07.indd 138 10/31/12 5:41 PM

Volumen del prisma, de la pirámide, del cilindro y del cono


139

38 41 42 43 454439 40 47 4846

Volumen del prisma y de la pirámideVolumen del prisma = área de la base . h Volumen del cubo = a3

a

aa

a: arista

base

altura(h)

El volumen de un prisma es tres veces mayor que el volumen de la pirámide que tiene igual base y altura.

Volumen de la pirámide = 1 __ 3 . área de la base . h

h

Volumen del cilindro y del conoVolumen del cilindro = área de la base . h Volumen del cono = área de la base . h _________________ 3

Volumen del cilindro = π . r2 . h Volumen del cono = π . r2 . h __________ 3

r

h

r

h

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. El volumen del cubo, ¿se puede calcular utilizando la fórmula del prisma de base cuadrada?b. Si un cono y un cilindro tienen la misma base y altura, ¿es cierto que el volumen de cilin-dro es el triple que el del cono?

infoactiva


a. Sí, porque el cubo es un prisma cuya altura es igual a los lados de la base. b. Sí.

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23. Calculen el volumen de cada cuerpo. Escriban el resultado en cm3.a. d.

b. e.

7 cm

0,6 cm

0,05 m

3 cm

17 mm

c. f.

0,3 dm

12 mm

6 cm

2 cm

1 cm

39 Volumen del prisma, de la pirámide, del cilindro y del conoACTIVIDADES

140

4 cm

3 cm

3 cm

50 mm

0,15 dm

18 cm . 3 cm ____________ 2 . 4 cm = 108 cm3

14 cm . 1 cm ___________ 2 . 6 cm = 42 cm3

1 __ 3 . π . (0,3 cm)2 . 7 cm = 0,6594 cm3

π . (5 cm)2 . 1,5 cm = 117,75 cm3

1 __ 3 . π . (0,6 cm)2 . 3 cm = 1,13 cm3

1 __ 3 . 15 cm . 1,7 cm

_____________ 2 . 5 cm = 21,25 cm3

P12-3083-C07.indd 140 10/31/12 5:41 PM


141


24. Completen el siguiente cuadro correspondiente a prismas de base rectangular.

Largo Ancho Altura Volumen Capacidad

2 cm 3 cm 4 cm cm3

ml

5 dm 0,1 m mm 15 dm3 l

6 cm cm 12 mm 36 cm3 ml

m 2 m 5 m m3 40 kl

10 mm 20 mm 30 mm cm3

ml

25. Calculen la capacidad de los siguientes cuerpos. Expresen el resultado en litros.a. b.

60 cm

4 dm 360 mm

700 mm

26. Resuelvan.a. Completen la siguiente tabla con el volumen correspondiente a cada cilindro.

Radio 1 cm 2 cm 3 cm 1 cm 1 cm 2 cm

Altura 4 cm 4 cm 4 cm 8 cm 12 cm 3 cm

Volumen 12,56 cm3

b. Observen la tabla y completen.

• Si el radio se duplica, el volumen es veces mayor.

• Si el radio se triplica, el volumen es veces mayor.

• Si la altura se duplica, el volumen es veces mayor.

• Si la altura se triplica, el volumen es veces mayor.

50,24 cm3 113,04 cm3 25,12 cm3 37,68 cm3 37,68 cm3

4

5 36

6

300

24 24

15

40

6

1 __ 3 . π . (2 dm)2 . 6 dm = 25,12 dm3

= 25,12 l

1 __ 3 . (3,6 dm)2 . 7 dm = 30,24 dm3

= 30,24 l

4

2

9

3

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27. Calculen lo pedido en cada caso, teniendo en cuenta los siguientes datos.a. Prisma de base rectangular c. ConoLargo = 4 cm Diámetro de la base = 6 cmAncho = 3 cm Altura = 8,5 cmLa altura es igual a la mitad del largo.

Volumen = Volumen =

b. Cilindro d. Pirámide de base cuadradaDiámetro de la base = 6 cm Altura = 10 cmVolumen = 141,3 cm3 Volumen = 30 cm3

Altura = Lado de la base =

28. Calculen el volumen de los siguientes cuerpos.a. b.

6 cm

5 cm

2 cm

2 cm

9 cm 4 cm

29. Resuelvan las siguientes situaciones problemáticas.a. En una caja rectangular de 8 dm de largo, 60 cm de ancho y 1 m de alto se quieren colocar velas de 20 cm de diámetro y 50 cm de altura. ¿Cuántas velas se pueden colocar? ¿Qué volumen de la caja queda vacío?

b. Como souvenir de su fiesta de 15 años Leila construye pirámides de vidrio que rellenará con arena de colores. Si quiere construir 90 pirámides de base cuadrada de 5 cm de lado y 4 cm de altura, ¿cuántos cm3 de arena necesitará?

142

Un cm3 de oro pesa 17,4 g, ¿cuántos kg pesa el lingote de oro?• l: 0,15 m • B: 8 cm• b: 0,65 dm • h: 400 mm

menteACTIVA

h

Bl

b

24 cm3

5 cm

80,07 cm3

3 cm

π . (2 cm)2 . 9 . 1 __ 2 = 56,52 cm3 5 cm . 4 cm . 2 cm + 2 cm . 6 cm . 5 cm = 100 cm3

Se pueden colocar 30 velas y quedan 9 000 cm3 de la caja vacíos.

Necesitará 3 000 cm3 de arena.

75,69 kg

P12-3083-C07.indd 142 10/31/12 5:41 PM




30. Calculen. a. El perímetro de un paralelogramo de área igual a 20 cm2, si la altura es 4 cm y sus otros lados miden 3 __ 5 de la base.b. El perímetro de un trapecio isósceles, si el área es de 30 cm2, la altura es de 4 cm y cada uno de los lados iguales mide 6 cm.c. El área de un romboide cuyas diagonales son dos números primos que al sumarlos se obtiene 15.d. El área de un trapecio de base mayor igual 6 dm, base menor igual a 2 __ 3 de la base mayor y altura igual a la diferencia entre la base mayor y menor.e. El área de un cuadrado de lado igual al diámetro de un círculo de área 3,14 m2.

31. Calculen el área sombreada en cada caso.a.

8 cm

b.4 cm

3 cm

10 cm

c.

2 cm

6 cm

12 cm

d.

10 cm

8 cm

32. Calculen el área lateral y total de cada uno de los siguientes cuerpos.

a.

4 cm

3 cm

b.

10 dm

4 dm

c.

6 cm

3 cm

2 cm

33. Resuelvan las siguientes situaciones pro-blemáticas.

a. Se desea colocar etiquetas alrededor de 20 frascos de mermelada de 6 cm de diá-metro e igual altura. ¿Cuántos cm2 de papel

serán necesarios?b. Se quieren construir cinco cubos de 50 cm de arista para un juego didáctico. ¿Cuántos m2 de cartón serán necesarios?c. Manuel quiere cambiar el piso y las pare-des de su baño, de 1,5 m de ancho y 2 m de largo y 3 m de alto, colocando cerámicas cuadradas de 25 cm de lado. Si cada caja contiene 20 baldosas, ¿cuántas cajas deberá comprar?

143

a. 16 cm. b. 27 cm. c. 13 cm2. d. 10 dm2. e. 4 m2.

13,76 cm2


Área total: 40 cm2

Área lateral: 125,6 dm2

Área total: 282,6 dm2


Área total: 120 cm2

14,72 cm2

18 cm2

79,25 cm2

a. 2 260,8 cm2. b. 7,5 m2. c. 20 cajas.

P12-3083-C07.indd 143 10/31/12 5:41 PM

144144

34. Respondan.Una jarra contiene 1 litro de agua y al colocar en ella un cubo de plástico se derramaron 64 ml.

a. ¿Cuánto mide la arista del cubo?b. Si se colocan nueve cubos más en la misma jarra, ¿qué volumen de agua quedará? Escriban la respuesta en cm3.

35. Resuelvan.Una nueva fragancia de perfume será envasada en frascos de forma piramidal con base cuadra-da de 9 cm de lado y 12 cm de altura.

a. Si se quieren envasar 32 litros de perfume, ¿cuántos frascos serán necesarios?b. Si se quiere colocar de a nueve frascos en cajas cuadradas sin apilar, ¿qué dimensiones debe tener cada caja?

36. Piensen y resuelvan.a. Para festejar el Día del Estudiante, los chicos llevaron a la escuela gaseosas para compartir. En total había tres botellas de 2,25 litros, dos de 1 000 cm3 y cuatro botellitas de 600 cm3. Si cada alumno tomó dos vasos de 1 __ 5 litro, ¿para cuántos alumnos alcanzó la bebida?b. Nicolás debe llenar frascos de forma cilín-drica de 6 cm de diámetro y altura igual a 10 ___ 3 del radio de la base con dulce de leche. Si cada bolsa contiene 47,1 cm3 de dulce de leche, ¿cuántas bolsas serán necesarias para llenar 12 frascos?c. Se quieren fabricar conos de 50 cm de diá-metro y 90 cm de altura para señalizar un camino. Con 2 m3 de plástico, ¿cuántos conos pueden fabricarse?d. Si el volumen de una pirámide de base cuadrada es 45 cm3 y su altura es 5 cm, ¿cuánto mide el lado de la base?

37. Resuelvan.Los caramelos de dulce de leche vienen enva-sados en cajas de a 20, apilados en dos capas. Las dimensiones de cada caramelo son 2 cm de largo, 2 cm de ancho y 1 cm de espesor.

a. ¿Qué dimensiones tiene la caja?b. Si se duplican las dimensiones de la caja, ¿cuántos caramelos podrá contener?

38. Resuelvan.a. Si el volumen de un cubo es de 0,064 dm3, ¿cuánto mide la arista?b. Si la altura de un cilindro mide 6 cm y su radio es igual a 5 __ 3 de su altura, ¿cuál es el volumen?c. El volumen de una pirámide cuya base es un hexágono regular es de 67 375 mm3. Si la altura mide 0,7 dm y el lado de la base mide 3,5 cm, ¿cuánto mide la apotema?d. Si el volumen de un cono es de 42,39 cm3 y el radio de la base mide 3 cm, ¿cuánto mide la altura?

39. Calculen el volumen en cada caso.

a.

0,3 m

50 cm4 dm

Volumen = dm3

b. 60 cm

4 dm

100 mm

Volumen = cm3

40. Calculen en cada caso según corresponda.a. Para llenar las 3 __ 4 partes de un balde cilín-drico de 24 cm de diámetro y 50 cm de altu-ra, ¿cuántos litros de agua se necesitan?b. Si el área de la base de un cilindro es de 12,56 cm2 y el volumen es de 125,6 cm3, ¿cuál es el área lateral?c. Si el área total de un prisma de base cua-drada es 38 cm2 y el área lateral es de 13 cm2, ¿cuánto mide el lado de la base?d. En una pirámide de base pentagonal regu-lar, el lado de la base mide 4 cm y la apote-ma, 2,5 cm. Si el área total es 75 cm2, ¿cuál es el área de cada una de las caras?

144

a. 4 cm. b. 360 cm3.

a. 98. b. Largo: 27 cm. Ancho: 27 cm. Alto: 12 cm.

a. 0,4 dm. b. 1 884 cm3. c. 0,92 cm. d. 4,5 cm.

a. 22 alumnos. b. 72 bolsas. c. 33 conos. d. 3 cm.

a. 20 cm de largo, 2 cm de ancho y 2 cm de altura. b. Podrá contener 160 caramelos.

a. 17 litros. b. 62,8 cm2. c. 5 cm2. d. 5 cm2.

91,4

24 000

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145

Autoevaluación 741. Completen.

a. El perímetro de una figura es igual a la de todos sus lados.

b. La fórmula del área de un paralelogramo es a la fórmula del área de

un rectángulo.

c. La fórmula para obtener el perímetro de cualquier figura regular de n lados de longitud l

es .

d. El área lateral de un cilindro de diámetro d y altura h es .

e. El área total de un cubo es .

42. Respondan.Alrededor de una cancha de fútbol se colocan publicidades utilizando lonas de 80 cm de ancho. Si la cancha mide 100 m de largo y 80 m de ancho, ¿cuántos m2 de lona se necesitarán?

43. Resuelvan.Agustín acomodó su cuarto como se ve en el siguiente plano. ¿Cuántos m2 le quedarán libres para circular?

0,70 m

100 cm

5 dm

1,90 m

90 cm

44 cm

2,5 m

3 m

1 200 mm

cama

tele

mesa de luz

escritorio

44. Resuelvan las siguientes situaciones problemáticas.a. Naty prepara conos rellenos de mousse de chocolate para una fiesta de 100 invitados. Si los conos tienen 6 cm de diámetro y 0,08 m de altura, ¿cuántos litros de crema necesita? Escriban la respuesta aproximada al litro.

b. Para preparar pan se necesitan 400 ml de agua tibia por cada 750 cm3 de harina leudante. Si se colocan esas cantidades en una máquina de amasar que tiene una capacidad de 1,75 dm3, ¿qué volumen de la máquina quedará libre?

145

capítulo

4,99 m2

288 m2

75 litros.

600 cm3

suma

igual

π . d . h

l2 . 6

n . l

P12-3083-C07.indd 145 10/31/12 5:42 PM

146


a. Inventen un enunciado con preguntas cuyas respuestas sean:• 120 alumnos. • 80 alumnos. • 40 alumnos.

b. Comparen los enunciados con los de sus compañeros.

Votan 200 alumnos.

Probabilidad y estadísticaContenidos40. Variables, población y

muestra.

41. Recolección y organización

de datos. Tablas.

42. Frecuencias absolutas y

relativas.

43. Gráficos.

44. Promedio, mediana y

moda.

45. Experimentos aleatorios.

Probabilidad simple.

46. Cálculo combinatorio.

8capítulo

Alumnos de secundaria

básica

Alumnos de secundaria

superior

a. Solución a cargo del alumno.

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147

Variables, población y muestra

EstadísticaLa Estadística se ocupa de la recolección, organización y análisis de datos para obtener determi-

nada información. Los datos se recolectan, en algunos casos, a través de encuestas y se los puede organizar a través de tablas y gráficos para poder entenderlos y utilizarlos mejor.

Población y muestraSe denomina población al conjunto de individuos (personas, animales, plantas, etc.) que se pre-

tende estudiar estadísticamente. Cuando es difícil estudiar toda la población, se selecciona una parte de ella denominada muestra. La muestra debe ser representativa, es decir, debe elegirse de manera tal que del estudio estadístico se obtengan resultados muy próximos a los que se obten-drían con toda la población.

Variables estadísticasCada uno de los temas que se estudia de una población o

muestra se denomina variable estadística. Por ejemplo, si se hace una encuesta para averiguar las alturas de los alumnos de primer año, la variable es “altura de los alumnos de primer año”.

Las variables se clasifican en:• Cualitativas: se miden a partir de datos no numéricos.

“Comida preferida de los alumnos de primer año”.

• Cuantitativas: se miden a partir de datos numéricos. “Edad de los jugadores de un equipo de fútbol”.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Cuál es el primer paso del trabajo estadístico?b. La población, ¿es parte de la muestra?c. Si se quiere conocer el lugar preferido para el viaje de egresados de los 80 alumnos del último año (repartidos en 3 cursos), ¿cuál puede ser una muestra representativa?d. Una variable, ¿puede ser cualitativa y cuantitativa a la vez?


147

42 43 44 46 474540 4139 48 49

infoactiva


a. Recolección de datos. b. No, la muestra es parte de la población. c. La muestra podría ser de 8 alumnos de cada curso, aunque también podría coincidir con el total de la población, ya que no son muchos. d. No, ya que la cuantitativa se expresa mediante una cantidad y la cualitativa mediante una característica.

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148

1. Marquen con una X el tipo de variable en estudio.

Variable Cualitativa Cuantitativa

La edad de los empleados de una empresa.

Cantidad de hijos de las familias de cierto barrio.

Buscador de Internet que utilizan los alumnos de una escuela.

Modelo de automóvil más vendido durante el último año.

Peso de cada uno de los jugadores de un equipo de fútbol.

Película más vista durante el mes de febrero.

2. Lean atentamente y respondan.Una empresa de programación de juegos para computadora quiere crear un nuevo producto. Para ello, realiza una encuesta entre los usuarios, de entre 12 y 20 años, registrados en su sitio web para saber qué tipo de juegos prefieren. Entre las opciones están los juegos de acción, de estrate-gia, de cartas, de búsqueda y de carreras. La encuesta fue respondida por 125 chicos de entre 12 y 14 años, 132 chicos de entre 15 y 17 años y 93 chicos de entre 18 y 20 años.

a. ¿Cuál es la población a la que estará destinado el juego? ¿Cuál fue la muestra?

b. ¿Cuál es la variable en estudio? Clasifíquenla.

3. Escriban un ejemplo de variable cualitativa y un ejemplo de variable cuantitativa que puedan ser analizados en las siguientes poblaciones. Luego, propongan una muestra para cada población.

a. Un grupo de alumnos de 1.° año.

b. El personal de una empresa.

c. Golosinas vendidas en los 200 quioscos de un barrio, en el transcurso de una semana.

40 Variables, población y muestraACTIVIDADES

148

La población a la que estará destinado el juego son los chicos de entre 12 y 20 años. La muestra está

compuesta por 350 chicos.

La variable es el tipo de videojuego. Es cualitativa.

Hay varias respuestas posibles. Por ejemplo, cuantitativa, las edades y cualitativa, el color de ojos.

5 alumnos de 1.°

Hay varias respuestas posibles. Por ejemplo, cuantitativa, la antigüedad en el puesto y cualitativa, el

cargo jerárquico. 10 empleados de cada categoría.

Hay varias respuestas posibles. Por ejemplo, cuantitativa, los precios y cualitativa, las marcas o los tipos

de productos. 40 quioscos.

X

X

X

X

X

X

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149

Recolección y organización de datos. Tablas


149

40 43 44 45 474641 42 49 5048

Para realizar un estudio estadístico, es necesario usar una serie de herramientas y técnicas que permitan recolectar la información necesaria. Entre los principales instrumentos de recolección de datos se encuentran las encuestas, los cuestionarios, las entrevistas. También se puede recolectar información mediante la observación directa o experimentos. Luego, los datos obtenidos se pueden organizar en tablas.

Las tablas se utilizan para mostrar información sobre la relación entre dos o más datos.

En la historia de los juegos olímpicos, la delegación argentina obtuvo un total de 70 medallas: 18 de oro, 24 de plata y 28 de bronce. El deporte que más medallas obtuvo es el boxeo, con 24.En la siguiente tabla se muestra la cantidad de medallas obtenidas según el deporte.

Deporte Medallas Oro Plata Bronce %Boxeo 24 7 7 10 34,3

Vela 9 0 4 5 12,9

Atletismo 5 2 3 0 7,1

Fútbol 4 2 2 0 5,7

Remo 4 1 1 2 5,7

Hockey 4 0 2 2 5,7

Tenis 4 0 1 3 5,7

Natación 3 1 1 1 4,3

Polo 2 2 0 0 2,9

Básquet 2 1 0 1 2,9

Pesas 2 0 1 1 2,9

Ciclismo 1 1 0 0 1,4

Taekwondo 1 1 0 0 1,4

Equitación 1 0 1 0 1,4

Tiro 1 0 1 0 1,4

Vóley 1 0 0 1 1,4

Esgrima 1 0 0 1 1,4

Yudo 1 0 0 1 1,4

Total 70 18 24 28 100

a. ¿Qué datos aparecen en la tabla?La cantidad de medallas, el detalle del tipo de medalla por deporte y el porcentaje de cada uno sobre el total de medallas.

b. ¿Con qué criterio se ordenaron los deportes que obtuvieron la misma can-tidad de medallas?Se tuvo en cuenta cuál deporte obtuvo más medallas de oro, luego más medallas de plata y finalmente, el que obtuvo más medallas de bronce.

c. Si se suman los porcentajes de cada deporte, ¿coincide con el total? ¿Por qué ocurre esto?Si bien la suma de los porcentajes repre-senta el total de los datos (100%), no coincide porque los porcentajes de cada deporte están aproximados a los décimos.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Para qué se escriben los datos en una tabla? ¿Qué información brinda?b. A través de una tabla, ¿se puede saber de qué tipo es la variable en estudio?c. En una tabla se sumaron los porcentajes y se obtuvo 99,6%, ¿por qué ocurre esto?


infoactiva

a. Para poder organizar los datos que se obtienen a partir de la recolección. Se pueden obtener el núme-ro total de registros y los registros parciales. b. Sí, también se puede saber si la variable es cuantitativa o cualitativa. c. Porque los porcentajes están aproximados.

P12-3083-C08.indd 149 10/31/12 5:43 PM

41 Recolección y organización de datos. TablasACTIVIDADES

150

4. Resuelvan.Martín hizo una encuesta entre sus compañeros de colegio acerca de cuál es el club favorito de fútbol de cada uno de ellos y obtuvo los siguientes datos.

River, River, River, Boca, Boca, Racing, Independiente, Racing, River, Boca, River, River, Boca, Boca, San Lorenzo, Huracán, Racing, Independiente, Boca, San Lorenzo, Racing, San Lorenzo, Gimnasia, Vélez, River, River, Boca, San Lorenzo.a. Completen la tabla.

Equipos River Boca Racing San Lorenzo Independiente otros

Cantidad de compañeros


c. ¿Cuál es el club con mayor cantidad de simpatizantes?

d. ¿Cuántos clubes tienen al menos tres simpatizantes? ¿Cuáles?

5. Completen la tabla y respondan.El profesor de matemática está preparando un informe sobre los alumnos de primer año para pre-sentar junto con la planilla de notas. Las siguientes fueron las notas obtenidas por los alumnos al finalizar el año.

10; 9; 9; 8; 8; 8; 5; 5; 4; 4; 10; 8; 8; 6; 6; 6; 6; 8; 7; 7; 10; 9; 3; 6; 6; 6; 10; 5a. Completen la tabla.

Notas 10 9 8 7 6 5 4 3

Cantidad de alumnos


c. ¿Cuántos alumnos hay en el curso?

d. Si se aprueba con al menos 7 puntos, ¿cuántos alumnos aprobaron? ¿Cuántos desaprobaron?

e. ¿Cuántos alumnos obtuvieron 8 puntos como mínimo?

f. Si la nota obtenida está entre 4 y 6, los alumnos deben rendir la materia en diciembre y si es menor que 4, deben rendir en marzo; ¿cuántos alumnos deben rendir en cada instancia?

La variable es el equipo de fútbol. Es cualitativa.

River.

Cuatro clubes tienen al menos tres simpatizantes. San Lorenzo, Racing, Boca y River.

La variable es la nota del trimestre. Es cuantitativa.

28 alumnos.

Aprobaron 15 alumnos y desaprobaron 13.

13 alumnos.

En diciembre deben rendir 12 alumnos y en marzo, 1 alumno.

7 348 4 2

1236 73 24

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Frecuencias absolutas y relativas


151

41 44 45 46 484742 43 5049

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Es posible que la suma total de las frecuencias relativas sea 1,4?b. ¿Qué significa que un valor de la variable en estudio tenga frecuencia absoluta igual a 3?c. Si en un caso el porcentaje de un valor de la variable es 27%, ¿significa que la frecuencia relativa correspondiente es 2,7?d. ¿Puede suceder que para un valor de la variable el porcentaje sea 125%?


infoactiva

Se denomina frecuencia absoluta (se escribe f) al número de veces que se repite cada valor de la variable. La suma de las frecuencias absolutas es el total de encuestados.

Se denomina frecuencia relativa (se escribe fr ) al cociente entre la frecuencia absoluta y el total de elementos que forman la muestra. La suma de las frecuencias relativas siempre es 1.

Si a cada frecuencia relativa expresada en forma decimal se la multiplica por 100, se obtiene el porcentaje de la variable.

fr = f __ n n es el número de elementos que forman la muestra.

Entre los alumnos de primer año de una escuela se tomó una muestra de diez alumnos para averiguar cuántas materias tenían con calificación debajo de seis. Los resultados fueron: 0; 0; 3; 4; 3; 5; 4; 3; 6; 5.

Cantidad de materias f fr Porcentaje

0 2 2 ___ 10 = 0,2 20%

3 3 3 ___ 10 = 0,3 30%

4 2 2 ___ 10 = 0,2 20%

5 2 2 ___ 10 = 0,2 20%

6 1 1 ___ 10 = 0,1 10%

Total 10 10 ___ 10 = 1 100%

a. No, ya que las frecuencias relativas siempre suman 1. b. Que ese valor se registró 3 veces cuando se buscaron los datos. c. No, le correspondería una frecuencia relativa de 0,27. d. No, ya que la suma total del porcentaje es del 100%.

P12-3083-C08.indd 151 10/31/12 5:43 PM

42 Frecuencias absolutas y relativasACTIVIDADES

152

6. Resuelvan.Los chicos de 1.° año tuvieron que elegir el nombre que los representará en una competencia in-tercolegial. Las opciones fueron nombres de pueblos originarios de la Argentina: toba (T), mapuche (M), wichí (W) y diaguitas (D). De la votación se obtuvieron las siguientes respuestas.

M - M - M - W - W - W - M - D - D - T - M - T - D - M - M - M - D - M - M - WW - D - D - M - W - M - W - M - T - D - M - M - W - W - W - W - D - T - T - W

a. Completen la tabla de frecuencias.

Nombre f fr %

Toba

Mapuche

Wichí

Diaguitas

Total

b. ¿Qué nombre resultó ganador? ¿Cómo se dieron cuenta? ¿Qué porcentaje obtuvo?

c. ¿Qué pueblos obtuvieron como máximo diez votos?

7. Lean atentamente y resuelvan.El siguiente cartel muestra los horarios de las clases que se dictan en un gimnasio.

18 - 19 AEROBOX SPINNING PILATES AEROBOX AEROBOX PILATES

19 - 20 SPINNING PILATES ELONGACIÓN PILATES SPINNING RITMOS

20 - 21 RITMOS ELONGACIÓN RITMOS SPINNING RITMOS RITMOS

a. Completen la tabla de frecuencias.

Clases f fr %

Aerobox

Elongación

Pilates

Ritmos

Spinning

Total

b. ¿De qué clase hay más horarios disponibles?

c. ¿Qué clase tiene el menor porcentaje? ¿Por qué?

5 0,125 12,5

15 0,375 37,5

12 0,30 30

8 0,20 20

40 1 100

Mapuche, porque es el que tiene mayor frecuencia. Obtuvo 37,5%.

Los tobas y los diaguitas.

Ritmos.

Elongación, porque solo tiene 2 horarios disponibles.

3 0,17 16,67

2 0,11 11,11

4 0,22 22,22

5 0,28 27,78

4 0,22 22, 22

18 1 100

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Gráficos


153

42 45 46 47 494843 44 50

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Qué diferencias hay entre un gráfico circular y uno de barras? ¿Cómo muestra la información cada uno?b. En un gráfico circular, ¿qué ángulo central debe tener un sector que representa el 25% del total?


infoactiva

En muchas situaciones, los datos se pueden leer con mayor facilidad a través de gráficos. El tipo de gráfico puede variar según la información que se quiere brindar.

Gráfico circularLos gráficos circulares o de secciones sirven para mostrar la distribución de respuestas en rela-

ción con el total de resultados obtenidos.Se realizó una encuesta para conocer la opinión de 20 personas sobre un nuevo chocolate.

Es un círculo dividido en sectores. Cada sector representa una parte del total de los datos. El ángulo central de cada sec-tor se puede obtener, por ejemplo, usando una regla de tres:

100% 360°10% x = 10% . 360° __________ 100% = 36° Corresponde a excelente.

bueno50%

malo 20%

regular 20%

excelente 10%

Gráfico de barrasLos gráficos de barras sirven para comparar la cantidad de datos que corresponden a cada valor

de la variable. Para confeccionar un gráfico de barras, en el eje horizontal se representan los distintos valores de la variable y en el vertical, las frecuencias absolutas. Luego, se construyen rectángulos del mismo ancho cuya altura coincide con la frecuencia absoluta del valor de la variable.

Por ejemplo, diez personas opinan que es bueno.

opiniónexcelente bueno regular malo

10

6

2

0

12

8

4

cant

idad

de

pers

ona

s

PictogramasLos pictogramas son gráficos donde se representan cantidades a través de dibujos. Cada dibujo

representa una determinada cantidad.

a. Solución a cargo del alumno. b. 90°.

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154

8. Completen las oraciones teniendo en cuenta la relación entre los porcentajes, la fracción del total y el ángulo central del gráfico de torta.

a. El % se representa con la mitad de un círculo y su ángulo central es de °.

b. El % se representa con la cuarta parte de un círculo y su ángulo central es de °.

c. El % se representa con la octava parte de un círculo y su ángulo central es de °.

d. El % se representa con la décima parte de un círculo y su ángulo central es de °.

9. Pinten según corresponda. Luego, escriban el porcentaje.

a. 1 __ 4 b. 1 __ 5 c. 3 __ 4 d. 3 __ 5

% % % %

10. Representen en un gráfico circular. Pinten del mismo color cada sector y su referencia. Mariana distribuye las actividades del día viernes de la siguiente manera.

8 horas para dormir. 6 horas pasa en la escuela. 2 horas para realizar la tarea. 2 horas para jugar con sus amigas. 1 hora y media para viajar. 1 hora y media para navegar por internet. El resto lo utiliza en las distintas comidas.

11. Resuelvan.Luego del estreno de una película se realizó una encuesta para conocer la opinión de los especta-dores. Las respuestas fueron las siguientes.

Opinión Excelente Muy buena Buena Regular Mala

Cantidad de personas 20 15 10 15 5

a. ¿De qué tipo de variable se trata? ¿A cuántas personas se encuestó?

b. Realicen el gráfico circular con los datos de la tabla.

43 GráficosACTIVIDADES

154

50 180

25 90

10 36

12,5 45

25 20 75 60

Cualitativa. A 65 personas.

excelente

mala

regular

buena

muybuena

descanso

escuela

comida

internet

dentista

amigas

tarea

P12-3083-C08.indd 154 10/31/12 5:43 PM


155155


12. Observen los gráficos y respondan.Los gráficos muestran la cantidad de alumnos distribuidos por sexo en cada curso que hay en el último año.

CURSO A CURSO B CURSO C

sexom v

1410

cant

idad

de

alum

nos

sexom v

1412

cant

idad

de

alum

nos

sexom v

15

12

cant

idad

de

alum

nos

a. ¿Cuántas mujeres hay en cada curso?

b. ¿En qué curso hay menor diferencia entre la cantidad de varones y de mujeres?

c. Entre los tres cursos, ¿cuántos varones hay? ¿Y en total cuántos alumnos hay?

13. Completen la tabla con los datos de sus compañeros de aula y realicen el gráfico de barras correspondiente.

SexoCantidad de

alumnos

Mujeres

Varones

14. Resuelvan.a. Realicen el gráfico de barras de acuerdo con la información de la tabla.

Mascotapreferida

Cantidad de personas

Perro 30

Gato 24

Peces 8

Aves 10

b. ¿A cuántas personas se encuestó para obtener la información anterior?

Hay 10 en el A, 12 en el B y 15 en el C.

En el B es donde hay menos diferencia entre la cantidad de varones y mujeres.

Hay 38 varones. Hay 75 alumnos en total.

Se encuestó a 72 personas.


cant

idad

de

pers

ona

s

mascotaperro pecesgato aves

24

30

108

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156

15. Observen los siguientes pictogramas y respondan.

sala

El pictograma muestra la cantidad de libros que hay en cada una de las salas de una biblioteca.

a. ¿En qué sala hay mayor cantidad de libros? ¿Cuántos hay?

b. ¿Cuántos libros hay en total entre todas las bibliotecas?

B C DA

Representa 1 000 libros.

cant

idad

de

libr

os

16. Completen el gráfico y respondan.La siguiente tabla muestra el total de habitantes de la Argentina registrados en los últimos cinco censos de problación.

Año 1970 1980 1991 2001 2010

Habitantes(en millones)

23 28 33 37 41

a. ¿Cuántos millones de habitantes creció la población entre 1980 y 2010?

Habitantes (en millones)

años

2001

2010

0 12 3216 3620 40 44

1991

1980

8 28

1970

4 24

Representa 4 millones.

Fuente: INDEC, Censo de Población y Vivienda.

17. Observen los siguientes pictogramas y respondan.

Cantidad de días que permane-cen en la Argentina

Brasil

Chile

Estados Unidosy Canada

Resto de América

Europa

Resto del mundo

Representa 5 días.

Fuente: INDEC, encuesta de turismo internacional 2010.

En el pictograma se observa la cantidad de días que permanecen en el país los turistas que visi-tan la Argentina, según su lugar de procedencia.

a. A partir del pictograma, ¿se puede saber desde dónde provienen los turistas que se quedan la mayor cantidad de días?

b. ¿Se puede saber la cantidad de gente encuestada?

En la sala B hay 6 000 libros.

En total hay 18 000 libros.

13 millones de habitantes.

Europa.

No, ya que no se tiene ninguna referencia numérica.

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18. Resuelvan.En una editorial se realiza un control de calidad analizando uno de cada 100 libros impresos. Se los revisa y se decide si la impresión final es correcta o incorrecta.

a. El conjunto de libros utilizados para el control de calidad, ¿representa la muestra o la población?b. La variable estudiada ¿es cualitativa o cuantitativa?

19. Lean los siguientes datos y resuelvan.En 30 comercios minoristas se averiguó el total de paquetes vendidos de una marca de galleti-tas. Los datos obtenidos fueron los siguientes.

6; 6; 4; 5; 9; 7; 6; 8; 3; 4; 5; 5; 7; 4; 9; 8; 8; 5; 6; 9; 8; 9; 8; 7; 6; 6; 6; 7; 5; 3

a. ¿Cuál es la variable? Clasifíquenla.b. Realicen la tabla de frecuencias.c. Representen en un gráfico la información obtenida.

20. Resuelvan.La siguiente tabla muestra el estado civil de los empleados de una empresa.

Estado civil Mujer Varón Total

Casados 4 8 12

Divorciados 2 3 5

Solteros 4 6 10

Viudos 2 1 3

Total 12 18 30

a. ¿Qué variables están en estudio? Clasifíquenlas.b. Realicen un gráfico circular donde figuren los porcentajes según el sexo de los emplea-dos de la empresa.c. Realicen un diagrama de barras que mues-tre el estado civil de los empleados.d. ¿Qué porcentaje de las mujeres son casadas?

21. Observen y respondan.Las tablas muestran el deporte preferido en dos cursos distintos.

Curso A

Deporte preferido f

Básquet 10

Fútbol 15

Vóley 8

Natación 12

Curso B

Deporte preferido f

Básquet 8

Fútbol 10

Vóley 10

Natación 12

a. ¿Cuál es la variable? ¿De qué tipo es?b. ¿En qué curso es menor el porcentaje que prefiere natación? ¿Y básquet?

22. Resuelvan.Se analizó la frecuencia con la que los usuarios de 50 automóviles cargan combustible durante un mes.

a. Completen la tabla con los datos faltantes.

Cantidad de cargas

f fr %

2 6

3 8

4 10

5 0,24

6 14

7 8

8 6

b. ¿Cuál es la variable? Clasifíquenlas.c. ¿Cuántos autos cargan al menos cinco veces al mes?d. ¿Qué porcentaje carga como mínimo ocho veces al mes?

157




a. Representa la muestra. b. Es cualitativa.

a. Deporte preferido. Cualitativa. b. Natación, en el curso A, es del 26,67%. Básquet, en el B, 20%.

b. Cantidad de cargas al mes. Cuantitativa. c. 33 d. 12%

a. Cantidad de paquetes vendidos. Cuantitativa. b. y c. solución a cargo del alumno.

a. El sexo y el estado civil. Las dos son cualitativas. b. y c. Solución a cargo del alumno. d. 33,33%

3

4

0,06

0,14

0,08

0,16

0,2

0,12

12 24

12

20

16

7

P12-3083-C08.indd 157 10/31/12 5:43 PM

158158

23. Observen el gráfico y resuelvan.El siguiente gráfico muestra la cantidad de publicaciones de viviendas (en venta) según la cantidad de ambientes, de una página de anun-cios clasificados.

cantidad de ambientes 1 2 3 4 5 6

cant

idad

de

depa

rtam

ento

s

10

7

4321

12

a. Realicen una tabla de frecuencias a partir de la información del gráfico.b. ¿Cuántos departamentos se publicaron en total?c. ¿Qué porcentaje de los departamentos es de tres ambientes?d. ¿Qué porcentaje de los departamentos tiene como mínimo tres ambientes?e. ¿Cuántos departamentos tienen como míni-mo cuatro ambientes?f. ¿Cuántos departamentos tienen como máxi-mo dos ambientes?

24. Lean atentamente y resuelvan.A un grupo de 24 personas se les preguntó qué juego de mesa preferían. La mitad contestó las cartas; la cuarta parte, el ajedrez; dos, el ludo y el resto, las damas.


Juego Cantidad de personasAjedrez

Cartas

Damas

Ludo

b. ¿Cuál es el porcentaje de los que prefieren jugar al ajedrez? ¿Y a las damas?

25. Observen el pictograma y resuelvan.

Ana Pedro LuisJuan

cant

idad

de

pája

ros

a. ¿Cuál es la variable? ¿De qué tipo es?b. Completen la siguiente tabla.

Nombre Juan Ana Pedro Luis

%

c. Representen la situación en un gráfico cir-cular, indicando el porcentaje que le corres-ponde a cada uno.d. Si cada pájaro del pictograma representa a tres, ¿cuántos pájaros tiene Juan?e. Si entre todos tienen 72 pájaros, ¿cuánto representa un pájaro dibujado?

26. Tengan en cuenta la información y resuelvan.En la siguiente tabla se registró por edad un grupo de personas de un club.

1 - 10 11 - 20 21 - 30 31 - 40Esteban

Julieta

Belén

Mía

Matías

María

Rocío

Micaela

Daniel

Javier

Pamela

Valeria

Juan

Ana

Rodrigo

José

Hernán

Carolina

Germán

Carlos

Graciela

Roberto

Anabella

Silvana

a. Realicen una tabla de frecuencias para hombres y otra para mujeres.b. La suma total de los porcentajes en las tablas anteriores ¿es igual al 100%? Expliquen la respuesta.c. Realicen un gráfico circular para cada tabla.

158

b. 29. c. 13,8%. d. 34,5% e. 6. f. 19.

25%; 16,67%

b. En el primero, sí. En el segundo, no, ya que se van aproximando los resultados; es 99%.c. Solución a cargo del alumno.

a. Cantidad de pájaros que tiene cada uno, es cuantitativa. d. 15 pájaros. e. 4,5 pájaros.

6

12

4

2

31,25 12,5 37,5 18,75

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Promedio, mediana y moda


159

43 46 47 48 504944 45

PromedioEl promedio, también llamado media aritmética (se escribe x ), es el resultado de dividir la suma

de todos los valores de la variable por la cantidad de valores que forman la muestra.

Se registraron las ventas diarias de gaseosas de 600 ml en determinado quiosco, durante una semana y se obtuvieron los siguientes datos: 20, 16, 17, 23, 20, 26, 25.

x = 16 + 17 + 20 + 20 + 23 + 25 + 26 ______________________________ 7 = 16 + 17 + 2 . 20 + 23 + 25 + 26 ____________________________ 7 = 21

ModaLa moda (se escribe mo ) es el valor de la variable que aparece más veces, es decir, la que tiene

mayor frecuencia.En el ejemplo anterior, mo = 20.

MedianaLa mediana (se escribe me ) es el valor de la variable que está ubi-

cado en el lugar central luego de ordenar todos los datos de menor a mayor. La mediana divide la muestra de tal forma que deja igual can-tidad de datos a su izquierda que a su derecha.

Cuando la cantidad de datos es un número par, la mediana es igual al promedio de los dos valores centrales.

Si se ordenan las cantidades de gaseosas vendidas, se obtiene lo siguiente.

mediana

16; 17; 20; 20; 23; 25; 26

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. Si la variable es cualitativa, ¿se pueden calcular las tres medidas anteriores?b. La moda, ¿es el mayor valor que alcanza la variable?c. ¿Cuál es la medida que divide los datos obtenidos en dos grupos?d. El promedio, ¿siempre es representativo de los datos?


infoactiva

a. Solo la moda, ya que no se puede calcular el promedio y tampoco se pueden ordenar de menor a mayor para calcular la mediana. b. No es el valor que mayor frecuencia tiene, o sea, la que más se repite. c. La mediana. d. No siempre, puede haber un valor muy diferente al resto que haga variar el promedio.

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44 Promedio, mediana y modaACTIVIDADES

160

27. Calculen el promedio, la mediana y la moda para cada uno de los siguientes grupos de datos.a. 36; 38; 40; 40; 38; 38; 38; 42; 38; 36; 42; 36; 36; 38.

x = me = mo =

b. 28; 30; 28; 28; 28; 28; 29; 35; 29; 30.

x = me = mo =

c. 32; 29; 42; 34; 34; 40; 28.

x = me = mo =

d. 25; 40; 56; 14; 74; 12; 120; 12; 22; 44; 77; 100; 16; 80; 11; 32; 17; 5.

x = me = mo =

28. Calculen el promedio, la mediana y la moda.Al lanzar un dado 30 veces los resultados que se obtuvieron fueron los siguientes.

Número 1 2 3 4 5 6

f 8 4 3 5 7 3

x = me = mo =

29. Completen los datos para que se verifiquen los resultados.

a. 15; 16; 17; 16; ; c. 15; 16; 17; 16; ;

me = 16 mo = 16 me = 16,5 mo = 17

b. 15; 16; 17; 16; ; d. 15; 16; 17; 16; ;

me = 16,5 mo = 16 me = 15,5 mo = 16

30. Resuelvan. Juliana, Pablo y Ana han recibido las notas de sus dos primeras evaluaciones. Mariana obtuvo 7 y 6, Pablo 8 y 5 y Ana, 9 y 6.

a. Si Juliana quiere tener un promedio de 8 y todavía debe rendir dos evaluaciones más, ¿qué notas tendría que obtener para alcanzar el promedio deseado?

b. A Pablo le falta rendir una sola evaluación, ¿puede alcanzar un promedio de 9 con las notas que ya tiene?

c. Si Ana rinde dos evaluaciones más y obtiene un promedio de 7, ¿cuáles son las notas que obtuvo?

38,29 38 38

29,3 28,5 28

34,14 34 34

42,1

3,27

30

3,5

12

1

En a. y b. las soluciones no son únicas.

Tiene que sumar entre las dos pruebas que faltan 19 puntos.

No, porque para alcanzar un promedio de 9 debería obtener 14 puntos en la evaluación que le falta.

Hay varias posibilidades: 10 y 5; 9 y 6; 8 y 7.

16 17

18 16

16 17

19 13

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Experimentos aleatorios. Probabilidad simple


161

44 47 48 49 5045 46

Experimentos aleatoriosExisten situaciones en donde no se puede anticipar cuál será el resultado. A este tipo de situa-

ciones, que dependen del azar, se las llama experimentos aleatorios.

Se denomina espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento. Cada uno de los resultados que forman el espacio muestral se denomina suceso.

Experimento: tirar un dado y observar el resultado.Espacio muestral: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Para determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio, se pueden usar, por ejemplo, diagramas de árbol y tablas.

En una bolsa se colocaron fichas con números de tres cifras distintas formados por los dígi-tos 1, 2, 3. ¿Cuál es el espacio muestral?

El espacio muestral está formado por los números: 123, 132, 231, 213, 321, 312.

1

3 2

2 3

2

1 3

3 1

3

1 2

2 1

Probabilidad simpleEn matemática se asigna un número a la probabilidad de que ocurra un suceso. Ese número

puede ser 0, 1 o cualquier número comprendido entre el 0 y el 1.

Probabilidad de un suceso (P) = número de casos favorables _________________________ número de casos posibles

Se tira un dado: • Todas las caras de un dado tienen la misma probabilidad de salir.• Es más probable que salga un número par que un divisor de 3.• Es seguro que salga un número natural menor que 7.• Es imposible, por ejemplo, que salga el número 10.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. Elegir qué remera usar, ¿es un experimento aleatorio?b. ¿Puede el resultado de una probabilidad ser 3?c. ¿En qué caso la probabilidad es igual a 0?


infoactiva

a. No, porque no depende del azar. b. No, el valor máximo de la probabilidad es 1, nunca puede haber más casos favorables que casos totales. c. Cuando no hay posibilidad que el suceso ocurra.

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45 Experimentos aleatorios. Probabilidad simpleACTIVIDADES

162

31. Marquen con una X los sucesos que son aleatorios.

a. El número que saldrá al tirar un dado. c. Que llueva dentro de dos días.

b. Próximo partido de un campeonato. d. Ganar la lotería.

32. Escriban el espacio muestral en cada caso.a. Se tira un dado.

b. Se tiran dos dados y se suman los puntos.

c. Se lanzan dos monedas.

d. Se lanza una moneda dos veces.

33. Lean atentamente y calculen la probabilidad en cada caso.En la ruleta, los números van del 0 al 36 inclusive (el cero está pintado de color verde y del resto de los números, la mitad son rojos y la mitad, negros). Calculen la probabilidad de que al arrojar una bola resulte alguno de los siguientes casos.

a. Un número par.

d. Un múltiplo de 5.

b. Un número de color rojo.

e. Un número mayor que 40.

c. Un número menor que 22.

f. Un número menor o igual que 36.

34. Respondan.En la escuela están organizando un festival para recaudar fondos para una excursión. Los chicos prepararon un puesto de tiro al blanco con dos discos y los siguientes premios.

Azul Oso peluche

Rojo Pelota

Verde Globo

DISCO A DISCO B

a. ¿Con cuál de los dos discos se tiene más posibilidades de ganar un oso de peluche?

b. En el disco A, ¿cuál es la probabilidad de acertar en el color rojo?

c. ¿En cuál de los dos discos es mayor la probabilidad de acertar en el color verde?

X X

X

1; 2; 3; 4; 5; 6.

Con el disco B, la probabilidad de azul es 1 __ 2 .

2; 3; 4; 5; 6; 7; 8, 9; 10; 11; 12.

1 __ 3

cara-cara; cara-ceca; ceca-ceca.

En el A.

cara-cara; cara-ceca; ceca-cara; ceca-ceca.

19

37

22

37

37

37

18

37

0

37

8

37

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Cálculo combinatorio


163

45 48 49 5046 47

El cálculo combinatorio permite conocer la cantidad de grupos que se pueden formar con determi-nados elementos, de acuerdo con una serie de condiciones, sin necesidad de enumerarlos uno por uno.

Pablo, Guillermo, Verónica y Lidia compraron entradas para ir al teatro y deben decidir cómo ubicarse. ¿De cuántas maneras pueden hacerlo?La primera ubicación tiene 4 posibilidades; la segunda posición, 3; la tercera, 2, y la cuarta, 1.4 . 3 . 2 . 1 = 24. Tienen 24 maneras distintas de ubicarse en los asientos.

Si se quieren formar grupos con determinadas condiciones a partir de otro con mayor cantidad de elementos, también se puede utilizar el cálculo combinatorio.

En el ejemplo anterior, si pierden dos entradas y deben decidir quiénes van al teatro y cómo se ubican, ¿de cuántas maneras distintas pueden hacerlo?En este caso, la primera ubicación sigue teniendo 4 posibilidades y la segunda, 3. Y no quedan más lugares.Por lo tanto, 4 . 3 = 12. Tienen 12 maneras distintas de decidir quié-nes van y en qué asientos se ubican.

Hay casos donde se deben combinar elementos de distintos grupos.Marcos va a ir al cine y debe elegir qué ropa ponerse. No se decide si llevar remera roja, blanca o negra; si ponerse jeans negros o azu-les y si llevar sus zapatillas preferidas o los zapatos nuevos. ¿Cuántas posibilidades tiene para vestirse?Tiene 3 posibles remeras, 2 jeans y 2 pares de zapatillas. Por lo tanto, 3 . 2 . 2 = 12.Tiene 12 posibilidades distintas para vestirse.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Qué ventaja tiene el cálculo combinatorio respecto de los diagramas de árbol?b. Si además de saber cuántos números se pueden formar con distintas cifras, se quiere saber cuáles son los números, ¿qué estrategia de resolución se debe utilizar?c. ¿Cuántos números de dos cifras distintas se pueden formar con los dígitos del 1 al 9?


infoactiva

a. Si los datos del problema generan demasiadas soluciones, es más rápido realizar el cálculo. b. Para saber cuáles son los números, se puede realizar un diagrama de árbol. c. 9 . 8 = 72. Se pueden formar 72 números diferentes.

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164

46 Cálculo combinatorioACTIVIDADES

164

Para confeccionar un examen se dispone de 4 problemas de geometría, 3 de aritmética y 2 de ingenio. Si los ejercicios que corresponden a un mismo tema deben aparecer en forma consecuti-va, ¿de cuántas maneras pueden ordenarse los problemas?

menteACTIVA

35. Lean y resuelvan.Laura está organizando sus vacaciones y tiene que elegir entre el campo, el mar o la montaña como destino. Para viajar tiene que elegir entre auto, micro o tren y para alojarse, entre el hotel o la casa de una amiga.

a. ¿De cuántas maneras distintas puede combinar las opciones para poder organizar sus vacaciones?

b. Si decide viajar en auto, ¿cuántas opciones tiene para elegir?

c. Si su amiga no puede prestarle la casa, ¿cuántas opciones tiene?

36. Respondan.Con los dígitos 2, 3, 5, 6 y 7 se desean formar números de tres cifras distintas.

a. ¿Cuántos números se pueden formar? ¿Cuántos de ellos son pares?

b. ¿Cuántos son múltiplos de 5 y cuántos son mayores que 500?

37. Resuelvan.Se está realizando una selección para poner en escena la obra “Romeo y Julieta”. Se presentaron 7 actores y 4 actrices. ¿De cuántas maneras pueden elegirse a los integrantes de la pareja protagónica?

38. Respondan.El papá de Matías, Daniela y Marilina quiere regalarles a sus hijos un libro a cada uno. Tiene para elegir entre 3 libros de poesías, 4 novelas y 5 cuentos.

a. Si a cada uno le puede tocar un libro cualquiera, ¿de cuántas maneras puede realizar la compra?

b. Si a Matías solo le gustan los libros de novelas, ¿de cuántas maneras puede comprar?

c. Si quiere comprar un libro de cada clase, ¿de cuántas maneras puede realizar la compra?

3 . 3 . 2 = 18 maneras.

3 . 1 . 2 = 6 maneras.

3 . 3 . 1 = 9 maneras.

Se pueden formar 5 . 4 . 3 = 60 números. Números pares hay 3 . 4 . 2 = 24.

3 . 4 . 1 = 12 números y 3 . 4 . 3 = 36 números.

De 28 maneras distintas.

12 . 11 . 10 = 1 320 maneras distintas.

4 . 11 . 10 = 440 maneras distintas.

3 . 4 . 5 = 60 maneras distintas.

De 6 maneras distintas combinando los temas. De 24 formas distintas de organizar los de geometría. De 6 formas distintas de organizar los de aritmética. De 2 maneras de colocar los de ingenio. Total: 6 . 24 . 6 . 2 = 1 728 exámenes distintos.

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165

39. Respondan.En la siguiente lista se muestra el peso de un grupo de 12 amigos.

45 kg; 50 kg; 51 kg; 47 kg; 55 kg; 60 kg;55 kg; 53 kg; 48 kg; 50 kg; 46 kg; 50 kg

a. ¿Cuál es la variable? ¿De qué tipo es?b. Calculen el promedio, la mediana y la moda.

40. Resuelvan.La siguiente tabla muestra la edad de un grupo de chicos que integran el equipo de fútbol.


Edad f fr %

12 9

13 6

14 9

b. ¿Cuántos chicos conforman el equipo de fútbol?c. Calculen el promedio, la mediana y la moda de las edades del equipo.d. Realicen un pictograma que muestre la situación presentada.

41. Calculen el promedio, la mediana y la moda en cada caso.

a. 3; 4; 9; 12; 4; 7; 8; 6; 1; 4.b. 8; 15; 7; 9; 10; 6; 5; 5; 3.c. 2; 7; 8; 10; 10; 12; 4; 3.

42. Resuelvan.Dado el siguiente conjunto de datos.

4; 5; 6; 7; 8; 9; 8; 8; 9; 10; 12;11; 10; 10; 11; 8; 7; 5; 9; 8; 8; 8

a. Calculen el promedio, la moda y la mediana.b. Si a los datos anteriores se agrega el 654, ¿qué ocurre con las medidas? ¿Cambian? Expliquen sus respuestas.c. En determinadas situaciones, ¿son repre-sentativas todas las medidas estadísticas? ¿Por qué?

43. Marquen con una X la opción correcta.Se lanzó un dado 50 veces, con los siguientes resultados.

número 1 2 3 4 5 6

f 8 7 12 10 8 5

a. ¿Cuál es la frecuencia absoluta correspon-diente a la cara 4?

1,6% 10 10%

b. ¿Cuál es el porcentaje correspondiente a la cara 1?

0,16% 1,6% 16%

c. ¿Cuál es la probabilidad de que salga el 3?

0,24 2,4 24%

44. Respondan.La siguiente tabla muestra la cantidad de amonestados que hubo en la última fecha del campeonato de fútbol.


Equipos f fr %

Racing 6

Independiente 4

Boca 6

River 0

San Lorenzo 7

Vélez 2

Rosario Central 3

Total 28

b. ¿Cuál fue el porcentaje de amonestados que tuvo Boca?c. ¿Cuál es la frecuencia relativa de amonesta-dos que tuvo de San Lorenzo?d. ¿Cuántos amonestados tuvo Independiente?e. Realicen un gráfico de barras con las fre-cuencias absolutas.

165


844.45.46CONTENIDOS


a. Es el peso de cada uno y es una variable cuan-titativa. b. x = 50,83 kg; me = 50 kg; mo = 50 kg.

b. 24. c. x = 13 años. Es bimodal = 12 años y 14 años. me = 13 años. d. Solución a cargo del alumno.

a. x = 5,8; me = 5; mo = 4. b. x = 7,5 ; me = 7; mo = 5. c. x = 7; me = 7,5 ; mo = 10

a. x = 8,23; me = 8; mo = 8. b. La moda se man-tiene, la mediana también, pero el promedio queda 36,30. c. No, se debe analizar la situación para determinar cuál de los parámetros es más representativo.

0,375 37,5

0,25 25

0,375 37,5

X

X

X

0,21 21

0,14 14

0,21 21

0 0

0,25 25

0,07 7

0,10 10

0,98 98

b. 21%. c. 0,25. d. 4. e. Solución a cargo del alumno.

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45. Resuelvan.Los siguientes valores corresponden a las pre-cipitaciones registradas (en mm) mensualmente en una ciudad del interior del país. 40 36 24 43 56 78 78 78 44 78 40 40

a. Calculen el promedio, la mediana y la moda.b. Realicen un pictograma que muestre los registros.

46. Escriban tres experimentos aleatorios y determinen sus espacios muestrales.

47. Resuelvan.Se tiene un mazo de cartas españolas (50 car-tas) y se toma una. Calculen la probabilidad en cada uno de los siguientes casos.

a. Sea de oros.b. No sea de espadas.c. Sea impar.d. Sea un comodín.e. Sea un número menor que siete.f. Sea un múltiplo de tres.

48. Resuelvan.Una urna contiene siete bolillas rojas, cuatro blancas y nueve negras. Calculen las siguientes probabilidades al extraer una bolilla al azar.

a. Que sea roja.b. Que sea blanca o negra.c. Que no sea negra.d. Que sea de cualquier color.

49. Calculen la probabilidad en cada caso.Antonella y sus dos hermanas compraron una docena de facturas: tres medialunas de grasa, tres churros, cuatro medialunas de manteca y dos vigilantes.

a. Si Antonella decide comer tres facturas, ¿cuántas posibilidades tiene para combinar las facturas?b. Si eligen al azar una factura, ¿cuál es la probabilidad de comer un vigilante? ¿Y de comer una medialuna de manteca? ¿Y una de grasa?

50. Respondan.Con los dígitos 3, 4 y 2 se forman todos los núme-ros de tres cifras posibles para realizar un sorteo.

a. ¿Cuántos números conforman el espacio muestral?b. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un múltiplo de 4?c. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número impar?

51. Resuelvan los siguientes problemas.a. Con las cifras 5, 6, 7 y 8, ¿cuántos núme-ros de dos cifras distintas se pueden formar? ¿Y de cuatro?b. En una camioneta entran ocho personas. Si todos saben manejar, ¿de cuántas formas se pueden ubicar? c. Una persona tiene cuatro remeras, tres pantalones, dos camperas y tres pares de zapatos. Si quiere vestirse con una prenda de cada tipo, ¿cuántas combinaciones distintas puede realizar?

52. Resuelvan.a. Para crear la bandera que represente al colegio de Ana se deben utilizar los colores rojo, verde, azul y amarillo. Si la bandera tiene que ser con rayas horizontales, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden ubicar los colores?b. Eliana posee cuatro collares, cinco pulseras y cuatro anillos. Si desea ponerse un acceso-rio de cada tipo, ¿cuántas combinaciones dis-tintas puede realizar?c. Nicolás tiene que rendir un examen oral en el que debe explicar tres de los siete temas que se vieron durante el año. ¿De cuántas maneras puede organizar su exposición?d. En un restaurante el plato del día se puede armar combinando cada una de las siguientes opciones: una porción de carne o una de pollo; como acompañamiento, se puede elegir entre papas fritas, puré o ensa-lada y como postre, helado, flan o ensalada de frutas. ¿De cuántas maneras se puede armar el plato del día?

166

a. _ x = 52,92 mm; me = 43,5 mm; mo = 78 mm.

b. Solución a cargo del alumno.

a. 12 ___ 50 . b. 38 ___ 50 . c. 24 ___ 50 . d. 2 ___ 50 . e. 24 ___ 50 . f. 16 ___ 50 .

a. 7 ___ 20 . b. 13 ___ 20 . c. 11 ___ 20 . d. 20 ___ 20 .

a. 12 . 11 . 10 = 1 320. b. 2 ___ 12 ; 4 ___ 12 ; 3 ___ 12 .


a. 27. b. 1 __ 3 . c. 1 __ 3 .

a. 12 y 24. b. 40 320. c. 72.

a. 24. b. 80. c. 210. d. 12.

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Autoevaluación 853. Resuelvan.En la siguiente tabla se observa la cantidad de materias que deben recuperar los alumnos de una escuela en el mes de diciembre.


Cantidad de materias 0 1 2 3 4 5 6 7 Total

Cantidad de alumnos 170 30 45 35 10 15 10 5

fr

%

b. ¿Cuál es la variable? ¿Es cualitativa o cuantitativa?

c. Los datos obtenidos, ¿corresponden a la población o a una muestra? ¿Por qué?

d. Realicen en una hoja el gráfico de barras que muestra la situación.e. Calculen el promedio, la mediana y la moda.

f. ¿Cuál es el porcentaje de alumnos que tiene que recuperar entre una y tres materias inclusive?

54. Resuelvan.Se tira dos veces un dado.

a. Escriban todos los pares que se pueden obtener.

b. Calculen la probabilidad de que la suma sea 7.

55. Respondan.En una escuela se deben cubrir los puestos de rector, director y vicedirector. Si hay diez candida-tos, ¿de cuántas formas se pueden cubrir los cargos?

167

capítulo

La cantidad de materias; es cuantitativa.

Los datos corresponden a la población porque se tienen en cuenta todos los alumnos de la escuela.

x = 1,36; me = 0; mo = 0


34%

(1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6), (2;1), (2;2), (2;3), (2;4), (2;5), (2;6), (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6),

(4;1), (4;2), (4;3), (4;4), (4;5), (4;6), (5;1), (5;2), (5;3), (5;4), (5;5), (5;6), (6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5), (6;6).

P = 1 __ 6

720

0,53 0,09

53 9

0,14 0,11

14 11

0,03 0,05

3 5

0,03 0,02 1

320

3 2 100

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168

Números enterosContenidos47. Números negativos. Orden

y representación.

48. Adición y sustracción.

49. Multiplicación y división.

50. Operaciones combinadas.9


a. Inventen un enunciado con los datos que se necesitan para responder a las siguientes pregun-tas. Luego respóndanlas.• Si se utilizaron 20 metros de soga, ¿a qué profundidad se encuentra el gancho?• ¿Cuántos metros de soga son necesarios para alcanzar el cofre desde el barco?• ¿Cuántos metros debe descender aún el buzo para enganchar el cofre?b. Comparen el enunciado que inventaron con el de sus compañeros. ¿Son iguales? ¿Tienen las mismas respuestas?

capítulo

a. Por ejemplo, “Se quiere sacar un cofre que está en el fondo del mar desde un barco. El barco lanza una soga desde 4 metros de altura y el cofre está a una profundidad de 36 metros.El buzo está a 10 metros de profundidad y debe ayudar a enganchar el cofre”.Respuestas: Se encuentra a 16 metros de profundidad. Son necesarios 40 metros de soga. El buzo debe descender 26 metros.

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169

Números negativos. Orden y representación


169

49 5047 4846

infoactiva


Números negativosLos números naturales también se denominan enteros positivos.Los números negativos son aquellos que tienen adelante un signo menos. Estos números suelen

utilizarse, por ejemplo, para escribir las temperaturas bajo cero, indicar los subsuelos de un edificio, las pérdidas de dinero, las fechas ocurridas antes del nacimiento de Cristo, etc.

+3 = 3 Es un entero positivo. –3 Es un entero negativo.

Los enteros negativos, el cero y los enteros positivos forman el conjunto de los números enteros.

...–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3... Los puntos suspensivos indican que existen infinitos negativos y positivos.

Orden y representación Para representar números enteros en la recta numérica, pueden seguir estos pasos:1. Se ubica el cero y se determina una distancia

entre dos enteros consecutivos.2. Se representan los negativos a la izquierda

del cero y los positivos a la derecha. –3–4 0 1–2 3–1 42

A partir de la representación en la recta, se puede decir que un número es mayor que otro que se encuentra a su izquierda.

–5 es mayor que –6.

Módulo o valor absolutoSe llama módulo o valor absoluto de un número entero a la distancia que existe entre ese núme-

ro y el cero.|–2| = 2 Se lee “valor absoluto de –2 es igual a 2”.

|2| = 2 Se lee “valor absoluto de 2 es igual a 2”. –3 0 1–2 3–1 2

Dos números son opuestos cuando tienen el mismo valor absoluto y distinto signo.2 y –2 son opuestos. –(–2) = 2 Se lee “el opuesto de –2 es igual a 2”.

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. El cero ¿es positivo? ¿Y negativo?b. ¿Es cierto que el valor absoluto de un número entero siempre es positivo? c. Dos números distintos ¿pueden tener el mismo módulo?a. El cero no es un número positivo ni negativo. b. No. |0| = 0. c. Sí, dos números opuestos tienen el mismo módulo.

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170

47 Números negativos. Orden y representaciónACTIVIDADES

170

1. Indiquen el número entero que corresponde a cada situación.a. Se realiza un descuento de $20 en la primera compra con tarjeta de crédito.

b. Se acreditan $15 al saldo telefónico por una promoción.

c. La playa de estacionamiento se encuentra en el tercer subsuelo.

d. María Angélica tiene una deuda de $300.

e. En el nordeste de Francia la temperatura llegó a los 15 grados bajo cero.

f. La empresa disminuyó las ventas en un promedio de 5 000 unidades por mes.

2. Escriban una situación que represente el número entero indicado.

Número entero Situación

–5

12

–3

–9

5

8

3. Completen con <, > o =.

a. –3 4 c. –5 –2 e. |–4| |–5| g. |+3| |–3|

b. –9 |–9| d. –34 –1 952 f. –2 –4 h. |37| –37

4. Representen en la recta numérica cada número y su opuesto con un mismo color.–5; 4; –9; 6; –2; 8

0 1

5. Observen y resuelvan teniendo en cuenta que a, b y c representan números enteros.

0 ab c

a. Indiquen el signo de cada uno de los números que representan las letras y expliquen por qué.

b. Teniendo en cuenta el ítem anterior, ¿qué signos tendrán –a, –b y –c?

c. ¿Cuál es el opuesto de b?

–20

15

–3

–300

–15

–5 000

5 años antes de Cristo.

3 grados bajo cero de temperatura.

Abigail tiene 5 años.

El edificio tiene 12 pisos.

9 m bajo nivel del mar.

Juan se compró 8 caramelos.

< < < =

< > > >

2–8 –6 5–4 –2 9

Como representan sus opuestos, b es positivo y a y c son negativos.

b representa un número negativo porque está a la izquierda del cero. a y c representan números positi-vos porque están a la derecha del cero.

–b

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171

Para resolver sumas y restas de números enteros, se deben tener en cuenta estos casos.

• Si los números enteros tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y el resultado lleva el mismo signo que los sumandos.

En una ciudad, a las 7 de la mañana se registraron 3 grados bajo cero. Una hora después, la temperatura bajó un grado. ¿Cuál fue la temperatura registrada a las 8 de la mañana?–3 – 1 = –4 La temperatura fue de –4 ºC.

• Si los números enteros tienen signos distintos, se restan sus valores absolutos y el resultado lleva el signo del sumando que tiene el mayor valor absoluto.

Si dos horas después, la temperatura subió 5 grados, ¿a cuánto aumentó la temperatura?–4 + 5 = 1 La temperatura aumentó a 1 ºC.

Si en el cálculo aparecen paréntesis, se los debe eliminar aplicando estas reglas.

• Si el signo que lo precede es “+”, el signo del número encerrado entre los paréntesis no cambia.

–15 + (+12) = –15 + 12 = –3– 9 + (–4) = –9 – 4 = –13

• Si el signo que lo precede es “–”, el signo del número encerrado entre los paréntesis cambia.

3 – (–20) = 3 + 20 = 235 – (+16) = 5 – 16 = –11

5048 4947

Adición y sustracción


171

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. La suma de dos números negativos, ¿da como resultado un número negativo?b. La suma de dos números enteros, uno positivo y el otro negativo, ¿da como resultado un número negativo?c. ¿Cómo se puede escribir una resta de números negativos como una suma?d. ¿Es cierto que la suma de dos números opuestos es 1?


infoactiva

a. Sí. b. No siempre, porque depende del signo que tenga el sumando de mayor valor absoluto. c. Restar dos números enteros es equivalente a sumarle al primero el opuesto del segundo. d. No, no es cierto, es 0.

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48 Adición y sustracciónACTIVIDADES

172

En la calculadora de Malena no funciona el signo “+” y necesita verificar si resolvió correcta-mente la suma 340 + 520.

a. ¿Qué operación pueden hacer? b. ¿Cuál es el resultado?

menteACTIVA

6. Resuelvan las siguientes sumas.

a. 3 + (–4) = = f. 3 – (+5) = =

b. –2 + (–3) = = g. –2 – (–2) = =

c. –5 + (+3) = = h. –3 – (–5) = =

d. –2 + (+9) = = i. –4 – (+3) = =

e. 3 + (–3) = = j. –9 – (–3) = =

7. Completen con el número que verifica la igualdad.

a. + (–2) = 1 c. + (+5) = 3 e. 4 + ( ) = –6

b. –5 + (–3) = d. –3 + ( ) = –9 f. + (+12) = 0

8. Lean atentamente y respondan.Jazmín tiene una deuda bancaria de $300. Si quiere saldar la deuda, ¿cuánto dinero tiene que de-positar? ¿Cuál es la operación que representa esta situación?

9. Escriban en lenguaje simbólico y calculen cuál es el número.a. La diferencia entre un número y –5 es igual a 2.

b. La diferencia entre un número y –9 es igual a 10.

c. La diferencia entre un número y 3 es igual a 0.


a b a + b b – a b – (–b + a) a + (a – b) –b – a

–3 –2

–1 5

–5 5

–2 1

–1 –2

–5 0

–2 2

7 –7

0 –6

3 –2 –10

–8 –6 –12

Tiene que depositar $300. –300 + 300

x – (–5) = 2; x = –3

x – (–9) = 10; x = 1

x – 3 = 0; x = 3

a. 340 – (–520). b. 860

3

4

0

3

–5 1 –1 –4 5

–5 5 5 –10

–5 –7 8 –1

9 –6 –3

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Multiplicación y división


173

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Es cierto que (–3) . (–3) es igual a 6?b. El producto de un número positivo por un número negativo ¿es un número positivo?c. El cociente de dos números negativos ¿es un número positivo?d. ¿La regla de los signos para el producto es la misma que para el cociente?e. ¿A qué es igual el cociente entre un número y su opuesto?

infoactivaPara multiplicar o dividir números enteros, se deben tener en cuenta estos casos.

• El producto entre dos números de igual signo es un número positivo.

4 . 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8–(–3) = (–1) . (–3) = 3

• Si se dividen dos números de igual signo, el resultado es positivo.

10 : 5 = 2 porque 2 . 5 = 10(–10) : (–5) = 2 porque 2 . (–5) = –10

• El producto entre dos números de dis-tinto signo es un número negativo.

4 . (–2) = –2 – 2 – 2 – 2 = –8(–4) . 2 = –4 – 4 = –8

• Si se dividen dos números de distinto signo, el resultado es negativo.10 : (–5) = –2 porque (–2) . (–5) = 10(–10) : 5 = –2 porque (–2) . 5 = –10

Para saber el signo de una división o multiplicación de números enteros, se puede utilizar la regla de los signos.

• Si los signos de los dos números son iguales, el resultado es positivo.

+ . + = + – . – = + + : + = + – : – = +• Si los signos de los dos números son distintos, el resulta-

do es negativo.+ . – = – – . + = – + : – = – – : + = –

El resultado de 864 . (–216) y de (–864) : 216 es negativo. El resultado de 864 . 216 y de (–864) : (–216) es positivo.

49 5048


a. No es cierto, porque primero se multiplica el valor absoluto de los números y luego se aplica la regla de los signos. b. No, es negativo. c. Sí. d. Sí. e. –1.

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49 Multiplicación y divisiónACTIVIDADES

174

¿Qué signo tiene el resultado de cada cálculo?a. (–5) . (–15) . (–25) . (–45) : (–5) : (–15) . (–115) . (–115) : (–5)b. (–8) . (–8) . (–64) : (–8) . (–4) . (–128) : (–16) : (–1)c. (–240) . (–344) . 0 . (–441) : (–3) . 504 : (–4) . (–115) : (–80)

menteACTIVA

11. Resuelvan las siguientes multiplicaciones.

a. 3 . (–2) = d. –2 . 3 = g. –2 . 3 . (–2) =

b. 7 . 0 = e. 125 . (–2) . 0 = h. –3 . (–2) . (–1) =

c. (–12) . (–2) = f. –2 . (–5) . (–4) = i. –2 . (–4) . 10 =


a b –a –b a . b a . (–b) –a . (–b)

–2 3

5 –3

7 0

–1 –4

–2 4

13. Resuelvan las siguientes divisiones.

a. 12 : (–2) = c. –34 : (–2) = e. –60 : 12 =

b. –18 : (–3) = d. –125 : 25 = f. –100 : (–2) =

14. Completen con el número entero que falta para que se cumplan las siguientes igualdades.

a. 3 . = –6 d. . (–3) = 42 g. –125 : = –25

b. . (–5) = 100 e. 15 . = –45 h. : (–6) = 0

c. –7 . = –210 f. : (–43) = 1 i. –15 : = 3

15. Lean atentamente y respondan.Romina le pidió a su papá $600 prestados.

a. ¿Cuál es el número entero que representa la deuda que tiene Romina con su padre?

b. Si en el mes de septiembre le devuelve un tercio del dinero, ¿cuál es la operación que debe realizar para calcular cuánto le tiene que dar a su papá?

c. ¿Cuál es el número que representa la cantidad que aún le falta pagar?

–6 –6 12

0 0 –6

24 –40 80

6–6–32

–70

3

–6

00 0

–44

–422–2

41 4

4

–1515–5 15

–6 17 –5

6 –5 50

(–2) –14 5

–20 (–3) 0

30 –43 (–5)

–600

–600 : 3

–400

a. Negativo. b. Positivo. c. El resultado es 0, por lo tanto, no es negativo ni positivo.

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175

Para resolver un cálculo combinando las cuatro operaciones con números enteros, se deben seguir los mismos pasos que con los números naturales.

–42 . 6 : 4 + 4 + 5 . (–3) – (–16)= 1. Se separa en términos.–252 : 4 + 4 + (–15) – (–16) = 2. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones, –63 + 4 + (–15) – (–16) = aplicando la regla de los signos.

–63 + 4 – 15 + 16 = 3. Se suprimen los paréntesis.(4 + 16) – (63 + 15) = 4. Se resuelven las sumas y restas. 20 – 78 = –58

Para resolver un cálculo combinado donde hay paréntesis, primero se separa en términos. Luego se resuelven las operaciones que ellos encierran.

(–17 – 41) . (–2) + 96 : (–32) – 100 = 1. Se separa en términos y se resuelven las (–58) . (–2) + 96 : (–32) – 100 = operaciones que se encuentran entre paréntesis. 116 + (–3) – 100 = 2. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.116 – 3 – 100 = 3. Se suprimen los paréntesis.116 – (3 + 100) = 4. Se resuelven las sumas y restas.116 – 103 = 13

1. Respondan y expliquen las respuestas.a. ¿Es cierto que –1 + 1 . 2 = 0?b. En un cálculo combinado, ¿se pueden resolver primero las sumas y las restas y luego las multiplicaciones y divisiones?c. ¿Qué significa el signo menos delante de un paréntesis?


infoactiva

En la página 173, pueden repasar la regla de los signos.

5049

a. No, es igual a 1. b. No, hay que separar en términos y resolver cada uno de ellos. c. El signo menos delante del paréntesis representa el número opuesto al que está entre paréntesis.

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176


176

16. Unan con una flecha cada cálculo con su resultado.a. 3 – 5 . (–2) + 8 = • –25b. –23 . (–2) + 23 – 12 : (–6) = • 71c. 45 – 45 : (–9) + 8 – 7 . (–3) = • –55d. 19 : (–19) + 15 . 0 – 18 . 3 = • 21e. 15 + 16 : (–4) + 12 . (–3) = • 79

17. Observen cómo resolvieron Martín y Laura los cálculos y respondan.

Martín

2 – 5 . ( –2) + 4 =

–3 . ( – 2) + 4

6 + 4 = 10

Laura2 – 5 . ( –2) + 4 = 2 – 10 + 4 –8 + 4 = 4

¿Resolvieron correctamente los cálculos? ¿Por qué?

18. Resuelvan los siguientes cálculos combinados.a. –1 . (–3) + 6 : (2 – 15 : 3) + 4 = c. 24 – 672 : (–36 – 5 . 12) – 15 =

b. 18 : (12 – 3 . 2) + 2 . (26 – 12 . 3) = d. (17 + 16) . (–1) – (23 – 6) . 3 =

19. Coloquen los paréntesis donde corresponda para que se verifiquen los resultados.a. 12 – 3 . 4 – 5 . 2 = 26 d. 12 – 3 . 4 – 5 . 2 = –54b. 12 – 3 . 4 – 5 . 2 = –10 e. 12 – 3 . 4 – 5 . 2 = 10c. 12 – 3 . 4 – 5 . 2 = –2 f. 12 – 3 . 4 – 5 . 2 = –18

20. Rodeen el resultado correcto en cada caso.a. El triple de la diferencia entre cinco y doce.

–21 21 3

b. El doble del opuesto de tres más cuatro.

1 –14 2

c. La tercera parte de la suma del opuesto de ocho y el módulo de 5.

1 –3 –1

La resolución de Martín es incorrecta porque no aplicó la separación en términos. El procedimiento que reali-

zó Laura también es incorrecto porque no aplicó correctamente la regla de los signos.

3 + 6 : (–3) + 4 =

3 – 2 + 4 = 5

24 – 672 : (–96) – 15 =

24 + 7 –15 = 16

18 : 6 + 2 . (–10) =

3 –20 = –17

33 . (–1) – 17 . 3 =

–33 –51 = –84

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

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177177




21. Ubiquen en una recta numérica los siguien-tes números.

a. –5; –1; 2; –2; –6; 8b. –1; –3; 0; –10; 12; –12

22. Escriban un número que represente cada situación.

a. La temperatura fue de 3 grados bajo cero.b. La deuda bancaria es de $500.c. Una fosa marina es de 8 800 m.d. Tengo $200.e. Debo $200.f. Un bebé bajó 300 g en su último control.

23. Lean atentamente y respondan.a. ¿Qué número es mayor: –3 o el opuesto de 8? b. ¿Qué número es mayor: el módulo de –5 o 5? c. ¿Qué número es menor: –4 o el opuesto de 5? d. ¿Qué número es menor: el opuesto de 3 o el opuesto del módulo de –3?

24. Completen con el anterior y el posterior de cada número.

a. < –3 <

b. < –4 <

c. < –500 <

d. < |–3| <

e. < –(–31) <

25. Lean atentamente y respondan.a. ¿Cuántos números naturales se encuentran entre –6 y –3?b. ¿Cuántos números enteros se encuentran entre –6 y –3?

26. Completen con <; > o =.

a. –3 –1 e. –12 –15

b. 0 –2 f. –4 –2

c. –8 |–8| g. –|17| –17

d. 10 –20 h. 4 |–2|

27. Ordenen de menor a mayor.a. –120; 34; –36; |–7|; –137; 0b. –40; –|–4|; 52; –3; 4; 123; 7c. –15; 44; 0; –2; 33; 140; –12; 3

28. Resuelvan las siguientes sumas y restas.a. –3 + (–5) = b. –4 + (+8) = c. –9 – (–3) = d. 0 – (+3) =

e. –12 – (+2) = f. –19 – (+19) = g. –19 – (–19) = h. 20 – (+24) =

29. Lean atentamente y respondan.a. Si a pertenece a los números enteros, ¿qué número hay que sumarle para que dé como resultado cero?b. Si b pertenece a los números enteros, ¿qué número hay que restarle para que dé como resultado cero?c. Si c es un número entero negativo, ¿su opuesto es un número negativo?

30. Lean atentamente y resuelvan.a. Un famoso matemático nació en el año 384 antes de Cristo y murió en el año 322 antes de Cristo. ¿Cuántos años vivió?b. Algunos documentos afirman que Thales de Mileto nació en el año 624 a. C. y falleció en el año 547 a. C. ¿Cuántos años vivió?c. Si una persona nació en el año 15 a. C. y murió en el año 43 d. C., ¿cuántos años vivió?

31. Resuelvan los siguientes problemas.a. En una montaña donde se practica esquí, la temperatura más alta fue de –3 °C, y la más baja, de –25 °C. ¿Cuál fue la diferencia de temperatura?b. Un avión vuela a 9 000 m y un submarino está a –850 m. ¿Cuál es la distancia entre ambos?c. Cecilia tiene $250 en el banco y debe pagar $150 de Internet y $180 de expensas. ¿Le alcanza el dinero? ¿Cuánto le falta, si además quiere pagar $120 de la cuota del gimnasio?

Solución a cargo del alumno. a. –137; –120; –36; 0; 7; 34. b. –40; –4; –3; 7; 52; 123. c. –15; –12; –2; 0; 3; 33; 44; 140.

a. –3. b. –500. c. –8 800 m. d. 200. e. –200. f. –300.

a. Hay que sumar –a. b. Hay que restar b. c. No, es positivo.

a. Vivió 62 años. b. Vivió 77 años. c. Vivió 58 años.

a. 22°. b. 9 850 m. c. No. $200.

a. –3. b. Son iguales. c. El opuesto de 5. d. Son iguales.

a. No existe ningún número natural entre estos valores. b. Se encuentran dos números enteros.

–4

–5

2

30

–501

–2

–3

4

32

–499

< >

< =

> >

> <

–8 –14

4 –38

–6 0

–3 –4

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178178

32. Resuelvan.Hernán se retrasó varios meses con el pago del servicio de televisión por cable y financió su deuda de $780 en 6 pagos.

a. Si abonó $520, ¿cuántas cuotas pagó? ¿Cuál es el valor de cada cuota?b. ¿Cuánto dinero le falta pagar? ¿Qué opera-ción debe realizar para averiguarlo?

33. Respondan.a. ¿Cuál es el triple de –3?b. ¿Cuál es el número que al dividirlo por –2 dé como resultado 5?c. ¿Hay algún número que al dividirlo por –7 dé como resultado cero?

34. Completen y respondan.a. ¿Cuáles pueden ser los factores para que se verifique el siguiente producto?

. = –12b. ¿Existe una única posibilidad? En caso de existir otra, indiquen cuál. c. ¿Pueden ser los dos factores positivos? ¿Por qué?

35. Resuelvan las siguientes divisiones.a. –15 : (–3) = d. 14 : (–7) = b. 10 : (–2) = e. 24 : (–1) =c. –18 : (–3) = f. 16 : 0 =

36. Completen con <, > o = sin hacer la cuen-ta. Expliquen cómo lo pensaron.

a. 2 . ( –3) 6

b. – 4 . ( –3) 12

c. – 4 : ( – 2) –2

d. 18 : ( –9) 2

37. Resuelvan los siguientes cálculos combinados.a. 2 . (–3) + 5 – 15 : (–3) = b. 12 + 3 : (–3) – 16 – 4 : (–2) = c. –3 . 6 . (–7) – 60 + 12 : (–6) = d. 34 . (–6) + 12 : (–3) – 4 . (–3) = e. 23 – 25 . (–5) + 125 – 12 =

38. Observen atentamente y respondan.Julia introdujo el siguiente cálculo en la calcula-dora: 3 – 5 . 2 + 4 y obtuvo 0 como resultado. ¿Es correcto? ¿Por qué?

39. Resuelvan.a. 2 – (12 – 45) + 3 – 12 . (–3) =b. –(23 – 36) . (–3) – 34 : (–2) =c. 48 – 3 . 29 – (3 – 23 . 4) – 24 : (–24) =d. –53 – (4 . 2 + 18) – 20 =e. –30 – 12 . 2 – (16 – 4 . 2) =f. 25 – (–3 . 4 + 5 . 8) – 3 . (–7) =

40. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.a. El doble del módulo de –8 disminuido en 4 unidades, ¿a qué es igual?b. La mitad de la suma entre el opuesto de 8 y 20, ¿a qué es igual?c. El producto entre el opuesto de 4 y un número es igual a –12. ¿Cuál es ese número?d. El cociente entre un número y el módulo de –5 es igual a –6. ¿Cuál es ese número?e. La diferencia entre el siguiente de –3 y el opuesto de un número da por resultado –5. ¿Cuál es ese número?f. La suma entre el opuesto de 4 y un núme-ro es igual a 14. ¿Cuál es ese número?

41. Resuelvan los siguientes cálculos combinados.a. –22 : (–11) – (–18 + 14 : 2) + (–7) =b. 7 + 8 : (–4) – [4 + (–12) : 4] =c. (–24) : (–6) – [8 : (–4) – (–2 – 3)] . 2 + 1 =d. (–3) + 3. (–4 + 5) – 5 . [–2 + 7 . (–1) + 9] =e. (–1 – 8) : (–3) + ( 9 – 2 . 5) . (–2) . (–2) =f. –(–4 + 5) + 3 – 21 : (–7) : 3 . (–19 + 22) =

42. Respondan.a. ¿El triple del opuesto de qué número sumado cinco da como resultado 14? b. ¿El doble del siguiente de qué número da como resultado –10? c. ¿La tercera parte de qué número es –30? d. ¿La suma entre qué dos números enteros es –15?e. ¿La diferencia entre qué dos números enteros es –10?

178

a. 12. b. 6. c. 3. d. –30. e. –3. f. 18.

a. 3. b. –6. c. –90. d. –8 y –7. e. 5 y 15.

a. Pagó 4 cuotas de $130. b. 780 – 520 = 260

No, no es correcto porque la calculadora no realizó la separación de términos.

a. 6. b. 4. c. –1. d. 0. e. –1. f. 5.

a. 3 . ( –3) = – 9. b. El número es –10, porque –10 : ( –2) = 5. c. Si el 0, porque 0: (–7)= 0.

b. No, también puede ser. 2. (– 6) c. No, porque en ese caso el resultado sería positivo.

4 (–3)

5

4

–2

–5

–3

–196

–24

6

64

261

No es posible realizar esta operación.

<

=

>

<

74

–22

18

–99

51

–62

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179

Autoevaluación 943. Escriban un número que represente cada situación.

a. Segundo subsuelo. b. Debo $300. c. Quinto piso.

44. Ordenen de menor a mayor y representen en la recta numérica. –18; |–21|; 6; –15; 9

0


a Anterior Siguiente Valor absoluto Opuesto

–3

4

8

–9

46. Resuelvan las siguientes operaciones.

a. 15 + (–3) = c. –9 – (+12) = e. 18 : (–9) =

b. –12 + (+8) = d. 16 . (–2) = f. –15 : (–5) =

47. Unan cada cálculo con su resultado. • –17a. 3 . (–2) + 5 . 4 = • 14b. –2 + 3 . (–4) + 7 = • 19c. 12 : (–2) + 4 . (–8) + 6 = • –22d. –4 – 16 : (–4) – 12 + 5 . (–2) = • –32e. 12 + (–2) . 4 – 10 . (–2) = • 24f. 15 – (–16) : (–8) + 3 . 2 = • –4 • –7

48. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.a. 3 . (–2 + 5) – (4 – 5 . 2) = c. –12 – (3 . 2 – 8) + 12 : (–6) =

b. 7 – (2 – 4) + 6 = d. –(–3 + 4 . 2) . 5 – (5 . 2 + 3) =

179

capítulo

–2 –300 5

–18; –15; 6; 9; 21

12 –21 –2

–4 –32 3

3 . 3 – (–6) =

9 + 6 = 15

–12 – (–2) – 2 =

–12 + 2 – 2 = –12

7 – (–2) + 6 =

7 + 2 + 6 = 15

–5 . 5 – 13 =

–25 – 13= –38

3

8

10

5

3

10

–5

–2

–7

6

–4

–9

–11

–8

–10

5

6–18 9–15 |–21|

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Trabajos prácticosTpfecha de entrega calificación

Números naturales

capítulo 1


capítulo 2

Funciones

capítulo 3

Cuerpos

capítulo 4

Perímetro, área y volumen

capítulo 7

Ángulos

capítulo 5

Probabilidad y estadística

capítulo 8

Figuras planas

capítulo 6

Números enteros

capítulo 9

P12-3083-TP.indd 180 10/31/12 5:47 PM

1. Resuelvan.En un juego de mesa, hay cartas con descomposiciones de distintos números. Cada jugador recibe una tarjeta con un número y debe levantar cartas del mazo hasta juntar las tres descomposiciones que corresponden a su número. Gana el que logra juntar primero las tres descomposiciones.Lola jugó con Flor y con Marcos. Estos son los números que les tocaron a los chicos.

LoLa

fLor

marcos

40 048 404 00844 008

a. Flor dice que ganó. Estas son las cartas que juntó. ¿Tiene razón? ¿Por qué?

400 000 + 4 000 + 8 4 . 105 + 4 . 103 + 8 . 100

4 . 100 000 + 4 . 1 000 + 8

b. ¿Qué cartas debía juntar Lola para ganar? ¿Y Marcos?

2. Descompongan los siguientes números en potencias de diez y respondan.

45 650 =

54 506 =

a. Si las cifras de los números anteriores son las mismas, ¿por qué los números no lo son?

b. ¿Qué posición ocupa la cifra 6 en cada número? ¿Representan el mismo valor? ¿Por qué?

3. Rodeen con color el número que cumple con las condiciones indicadas.Es mayor que 372 y menor que 123. Todas sus cifras son diferentes. La cifra de las unidades es la mitad de la de las centenas. La diferencia entre las centenas y las decenas es 100.

1 412 1 540 1 545 1 653

181

1capítulo

Trabajo práctico

Trabajos prácticos Números naturales

Nombre: Curso Fecha / /

Sí, porque las tres descomposiciones corresponden a su número.

Porque el sistema de numeración decimal es posicional.

En el a. ocupa el lugar de las decenas y en el b., el de las unidades. No, porque las posiciones son distintas.

4 . 104 + 5 . 103 + 6 . 102 + 5 . 101 + 0 . 100

5 . 104 + 4 . 103 + 5 . 102 + 0 . 101 + 6 . 100

Lola: 40 000 + 40 + 8; 4 . 10 000 + 4 . 10 + 4 . 1; 4 . 104 + 4 . 101 + 4 . 100

Marcos: 40 000 + 4 000 + 8; 4 . 10 000 + 4 . 1 000 + 8 . 1; 4 . 104 + 4 . 103 + 8 . 100

P12-3083-TP.indd 181 10/31/12 5:47 PM

4. Resuelvan e indiquen las operaciones que tienen el mismo resultado.

a. 3 √ _____ 1 000 . 23 – √

____ 900 : 3 = c. (56 . 5 . 58) : ( 5 7 ) 2 + √

___ 25 . √

____ 169 =

b. ( 103 ) 2 : (103 . 103) + 3 √ ___ 64 = d. √

_____ 16 +9 + √

___ 16 – √

__ 9 – ( 3 . 2 ) 0 =

5. Escriban lo pedido en cada caso.

a. Todos los divisores de 36:

b. Los primeros seis múltiplos de 13:

c. El mcm (18;24;30):

d. El dcm (18;24;30):

e. El mcm (48;56;84):

f. El dcm (48;56;84):

6. Unan con flechas la expresión simbólica que corresponda con cada enunciado.a. El doble del triple del anterior de un número. • 2 . (a + 1) + 10b. El doble del anterior del triple de un número. • 2 . 3 . (a – 1)c. El siguiente del doble de un número aumentado en 10. • 2 . (3a – 1)d. La suma entre 10 y el doble del siguiente de un número. • (2a + 10) + 1

7. Resuelvan las siguientes ecuaciones.a. 2 . (3 + 4x) = 2x + √

___ 81 . 22 c. 3 . (x2 + 50) + √

____ 169 = 3 √

____ 125 . 2 + 6 . 3

b. 3x + 16 + 5x – (2 . 5 + 1) = 6x + (72 – 8) d. √ __ x – √

____ 100 : 2 = 42 – 4 . 2

Trabajo prácticoNúmeros naturales

capítulo

1

182

Tienen el mismo resultado a y c, b y d.

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

13, 26, 39, 52, 65, 78

18 = 2 . 32; 24 = 23 . 3; 30 = 2 . 3 . 5; mcm (18;24;30) = 23 . 32 . 5 = 360

18 = 2 . 32; 24 = 23 . 3; 30 = 2 . 3 . 5; dcm (18;24;30) = 22 = 4

48 = 24 . 3; 56 = 23 . 7; 84 = 22 . 3 . 7; mcm (48;56;84) = 24 . 3 . 7 = 336

48 = 24 . 3; 56 = 23 . 7; 84 = 22 . 3 . 7; dcm (48;56;84) = 2 . 3 = 6

10 . 8 – 30 : 3 =

80 – 10 = 70

515 : 514 + 5 . 13 =

5 + 65 = 70

106 : 106 + 4 =

1 + 4 = 5

√ ___ 25 + 4 – 3 – 1 =

5 + 4 – 3 – 1 = 5

6 + 8x = 2x + 9 . 4

8x – 2x = 36 – 6

x = 5

3x2 + 3 + 13 = 5 . 2 + 18

x2 = 12 : 3

x = 2

3x + 16 + 5x – 11 = 6x + 41

3x + 5x – 6x = 41 + 11 – 16

x = 18

√ __ x – 5 = 8

√ __ x = 13

x = 169

P12-3083-TP.indd 182 10/31/12 5:47 PM

1. Marquen con una X las figuras en donde se pintó 3 __ 8 .

a. b. c. d.

2. Indiquen la fracción que representa cada letra. Luego, escriban la expresión decimal que corresponde en cada caso.

0 2a c ed 3b 1 f

a = = c = = e = =

b = = d = = f = =

3. Expresen como fracción irreducible.

a. 32 ___ 30 = b. 27 ___ 28 = c. 25 ___ 55 = d. 65 ___ 13 = e. 48 ___ 30 =


a. 1 __ 8 b. 8 ___ 17 c. 99 _____ 1 000 d. 12 ___ 35 e. 9 ___ 30

5. Ordenen de menor a mayor. 31 ____ 100 ; 2 __ 5 ; 0,2; 3 __ 9 ; 0,301; 0,3; 1 __ 4 ; 0,2

6. Escriban la expresión decimal que corresponde a cada fracción.

a. 13 ___ 10 = c. 8 __ 9 = e. 9 ___ 10 =

b. 7 __ 3 = d. 4 __ 5 = f. 8 __ 6 =

7. Completen con <, > o =, según corresponda.

a. 1 __ 5 0,21 c. 16 ___ 25 0,604 e. 0,57 0,571

b. 3,3 3,3 d. 5 __ 3 1,6 f. 1,2 24 ___ 20

183

2capítulo

Trabajo práctico



X X

0,4

0,9 2.1 3,2

1,5 2,62

5

16

15

27

28

5

11

5

1

8

5

9

10

21

10

16

5

3

2

13

5

X X X

0,2; 0,2 ; 1 __ 4 ; 0,3; 0,301; 31 ____ 100 ; 3 __ 9 ; 2 __ 5

1,3 0,8 0,9

2,3 0,8 1,3

<

>

>

=

<

=

P12-3083-TP.indd 183 10/31/12 5:47 PM

8. Escriban como fracción irreducible.

a. 0,99 = b. 0,9 = c. 0,09 = d. 0,21 = e. 0,12 =

9. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan.a. La diferencia entre la raíz cúbica de 27 ___ 8 y el cuadrado de 1,2.

b. El cociente entre el cubo de 0,2 y la raíz cuadrada de la diferencia entre 1 y 16 ___ 25 .

c. La suma entre el cuadrado de la mitad de 1 __ 5 y 0,39.

d. El producto entre la raíz cuarta de 1 ___ 81 y la raíz quinta de 1 ___ 32 .

10. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas.

a. 19 ___ 12 – √ _______

25 ___ 36 + 7 ___ 48 : 11 ___ 13 = c. 0,22 . 50 ___ 3 + 3 √ ___

8 ___ 27 – 0,6 =

b. ( 2 __ 3 ) 3 – ( 1 __ 3 ) 2 + 4 ___ 15 . 25 ___ 2 = d. 0,52 : 5 __ 4 + 2,5 – 4 √ __

16 ___ 81 =

11. Resuelvan las siguientes situaciones problemáticas.a. De un rollo de cinta de 25 m, se deben cortar 1,2 m para la confección de moños. ¿Cuántos moños se pueden obtener? ¿Qué porcentaje de la cinta sobra?

b. En un libro de Matemática se destina el 65% de las páginas para ejercicios, el 25% del total para la teoría y el resto para los trabajos prácticos. Si tiene 24 páginas de trabajos prácticos, ¿cuántas páginas tiene el libro? ¿Y las demás secciones?

Trabajo prácticoFracciones y expresiones decimales

capítulo

2

184

99

100

9

10

9

100

21

10

6

5

0,23 : √ ______

1 – 16 ___ 25 = 0,008 : √ ___

9 ___ 25 = 0,008 : 3 __ 5 = 0,13

3 √ ___

27 ___ 8 – 1,22 = 3 __ 2 – 1,44 = 0,06

( 1 __ 5 : 2 ) 2 + 0,39 = 1 ____ 100 + 39 ____ 100 = 2 __ 5

4 √ ___

1 ___ 81 . 5 √ ___

1 ___ 32 = 1 __ 3 . 1 __ 2 = 1 __ 6

Se pueden obtener 20 moños. Sobra el 4% de la cinta.

El libro tiene 240 páginas. Tiene 156 páginas de ejercicios y 60 de teoría.

19 ___ 12

– 11 ___ 12

: 11 ___ 13

=

19 ___ 12 – 13 ___ 12 = 1 __ 2

1 ___ 25 . 50 ___ 3 + 2 __ 3 – 3 __ 5 = 11 ___ 15

8 ___ 27 – 1 __ 9 + 10 ___ 3 = 95 ___ 27 1 __ 4 . 4 __ 5 + 5 __ 2 – 2 __ 3 =

1 __ 5 + 5 __ 2 – 2 __ 3 = 61 ___ 30

P12-3083-TP.indd 184 10/31/12 5:47 PM

1. Resuelvan.a. Escriban las coordenadas de cada punto.

a = ( ; ) b = ( ; ) c = ( ; ) d = ( ; ) e = ( ; ) f = ( ; )

15

0 3 x

y

d

a

e

f

c

b

b. Representen los siguientes puntos

en un sistema de ejes cartesianos.a = (200;4)b = (400;6)c = (50;2)d = (0;8)e = (250;10)f = (450;12)

2. Resuelvan.El siguiente gráfico muestra la cantidad de casas vendidas durante un año.

a. ¿Cuántas casas se vendieron en el mes de

marzo?

b. ¿En qué meses se vendieron más casas?

c. ¿En qué mes se vendieron 180 casas?

¿Y menos de 170?

d. ¿En algún mes no se vendieron casas?

e. ¿Cuántas casas se vendieron entre abril y

julio inclusive?

185

3capítulo

Trabajo práctico

Funciones


230

220

210

200

190

180

170

160

150

0 E F M A M J J A S O N D

cant

idad

de

casa

s

meses del año

2

5

6

0

9

11

10

25

5

30

15

30

12

10

8

6

4

2

100 200 300 400 500 x

y

d

a

f

c

b

e

150

En agosto y septiembre.

Se vendieron 720 casas.

En junio. En enero y marzo.

No.

P12-3083-TP.indd 185 10/31/12 5:47 PM

3. Completen las tablas para que se cumpla lo indicado en cada caso. Escriban la constante de proporcionalidad.

a. Variables directamente proporcionales. b. Variables inversamente proporcionales.

x y

5

21

10

x y

42

14

35

k = k =

4. Escriban un ejemplo de proporcionalidad directa, uno de relación de proporcionalidad inversa y otro de relación no proporcional.

5. Resuelvan.Malena quiere ampliar una foto de su perra para colocarla en un portarretrato, sin que se deforme. Las medidas reales de la imagen son de 10 cm de ancho por 15 cm de alto.

a. Si el ancho de la foto debe ser de 30 cm, ¿cuánto debe medir el alto?

b. Si el alto de la foto pasa a ser de 30 cm, ¿cuánto debe medir de ancho?

c. La relación entre el ancho y el alto de la foto, ¿es directa o inversamente proporcional? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

6. Lean atentamente y respondan.Guadalupe recorrió, con su bicicleta, cierta distancia en 2 horas con una velocidad de 20 km/h.

a. Si quiere reducir la velocidad a la mitad, ¿cuánto tiempo tardará?

b. Si quiere recorrer la misma distancia en una hora, ¿a qué velocidad debe ir?

c. ¿Las variables son directa o inversamente proporcionales? ¿Cuál es la constante de proporcio-nalidad?

Trabajo prácticoFunciones

capítulo

3

186

PD: La cantidad de minutos que se pueden hablar con el crédito del celular, si no se tiene promoción.

PI: La cantidad de páginas de cierto tamaño que se necesitan para escribir un texto, según el tamaño de

la letra. NP: La hora del día y la temperatura.

Debe medir 45 cm de alto.

Debe medir 20 cm de ancho.

La relación entre los lados es directamente proporcional. k = 1,5

Tardará 4 horas.

Debe ir a 40 km/h.

Las variables son inversamente proporcionales. k = 40.

3

7

5

6

15

15

30

210

P12-3083-TP.indd 186 10/31/12 5:47 PM

1. Completen con el cuerpo que corresponde a cada objeto.

a. Rollo de servilletas. e. Pelota de tenis.

b. Caja de zapatos. f. Tanque de agua.

c. Dado. g. Ladrillo.

d. Bonete. h. Lata de pintura.

2. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas.

a. En cualquier pirámide, la cantidad de caras coincide con la cantidad de vértices.

b. Un prisma de diez caras tiene diez vértices.

c. Un cilindro no tiene caras.

d. La cantidad de aristas de la base de cualquier pirámide es igual a la cantidad de vértices

menos 1.

3. Marquen con una X cuál de los desarrollos corresponde a un prisma de base hexagonal.a. b. c.

4. Copien el siguiente desarrollo y construyan el cuerpo. Luego, rodeen con color el cuerpo que corresponde al desarrollo.

a. b. c.

187

4capítulo

Trabajo práctico

Cuerpos


F

V

F

V

Cilindro Esfera

Prisma Cilindro

Cubo Prisma

Cono Cilindro

X

P12-3083-TP.indd 187 10/31/12 5:47 PM

5. Unan con flechas la cantidad de caras con el nombre del poliedro regular correspondiente.

a. 12 • Cubob. 8 • Octaedroc. 4 • Icosaedrod. 15 • Tetraedroe. 20 • Dodecaedrof. 6

6. Representen la siguiente situación y luego, completen con // (paralelas) o ⊥ (perpendiculares).A B; C A y B D

B C C D A D

7. Completen con // (paralelas), ⊥ (perpendiculares), _⁄ (oblicuas) o AL (alabeadas).

AB

D

C

A B C D

A

B

C

D

Trabajo prácticoCuerpos

capítulo

4

188

⊥ ⊥ //

B

D

AC

⊥ _⁄ //

⊥ AL AL

_⁄ AL AL

// AL AL

P12-3083-TP.indd 188 10/31/12 5:47 PM

189

5capítulo

Trabajo práctico

Ángulos


1. Calculen lo pedido en cada caso teniendo en cuenta los ángulos dados. α = 30° 45’;

^ β = 72° 27’; γ = 110° 8’ 30”

a. ( α + ^

β ) : 3 = c. γ – ( α + ^

β ) =

b. γ : 2 – α = d. ^ β : 9 + γ =

2. Coloquen una X para indicar la relación que existe entre α y ^ β .

α ^

β Complementarios Suplementarios

15° 20’ 37° 20’ . 2

45° 30’ – 27° 161° 30’

80° 90° – α

3. Escriban las ecuaciones y resuelvan.a. El triple de un ángulo es 165° 30’. ¿Cuánto mide el ángulo?

b. La tercera parte de un ángulo es de 15° 20’. ¿Cuánto mide el ángulo?

c. La suma entre el doble de un ángulo y su suplemento es 200°. ¿Cuánto mide el ángulo?

4. Calculen el valor de los ángulos desconocidos y resuelvan.Datos:

P ⊥ Q ^

β =

α = 22° 35’ ^

δ =

ε =

εβ

α

δ

P

R

Q

a. ε – α = d. ^

β + ^

δ – α =

b. ^

δ + α = e. ( ^

δ – ^ β ) . 2 =

c. ^

δ + α + ε = f. α : 2 + ε =

(30° 45’ + 72° 27’) : 3 =

103° 12’ : 3 = 34° 24’

110° 8’ 30" – (30° 45’ + 72° 27’) =

110° 8’ 30" – 103° 12’ = 6° 56’ 30"

110° 8’ 30" : 2 – 30° 45’ =

55° 4’ 15" – 30° 45’ = 29° 19’ 15"

72° 27’ : 9 + 110° 8’ 30" =

8° 3’ + 110° 8’ 30" = 118° 11’ 30"

X

X

X

2 . x + (180° – x) = 200°; x = 20°

x : 3 = 15° 20’; x = 46°

3 . x = 165° 30’; x = 55° 10’

67° 25’

67° 25’

112° 35’

157° 25’

90° 20’

78° 42’ 30"

44° 50’

135° 10’

202° 35’

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5. Resuelvan.a. Dibujen un ángulo obtuso y divídanlo b. Dibujen un ángulo cóncavo y tracen en cuatro ángulos iguales. su bisectriz.

6. Tracen lo pedido en cada caso y completen.a. Tracen la mediatriz de

___ mq y llamen t al punto medio.

b. Tracen las mediatrices del ___ mt y del

__ tq . Llamen r al

punto medio de ___ mt y z al punto medio de

__ tq .

c. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. m q

• ___ mr mide lo mismo que

__ tz .

• ___ mr mide lo mismo que

__ tq .

• t es punto medio del __ rz .

7. Planteen la ecuación y calculen el valor de cada uno de los ángulos de las figuras.

a. Datos: M ⊥ T α = 7x

^

β = 4x + 18°

ε = 5x + 8°

εβ α

T

M

α = ^

β = ε =

b. Datos: π = 4x + 12° α = 6x – 24°

^

β = 2x – 10°

πε

β

α

^ α = ^

β = π = ε =

Trabajo prácticoÁngulos

capítulo

5

190

Solución a cargo del alumno. Solución a cargo del alumno.

Solución a cargo del alumno.V

F

V

4x +12° = 6x – 24°

36° = 2x

18° = x

7x + 4x + 18° + 5x + 8° = 90°

16x = 64°

x = 64° : 16

x = 4°

28°

84°

34°

26°

28°

84° 70°

P12-3083-TP.indd 190 10/31/12 5:47 PM

191

6capítulo

Trabajo práctico

Figuras planas


1. Lean atentamente y resuelvan.Una artesana quiere armar portarretratos de forma triangular. Para ello, cuenta con dos maderas de 8 cm, dos de 5 cm, cuatro de 9 cm, dos de 12 cm, dos de 15 cm y tres de 3 cm.

a. Completen la tabla con algunas de las posibles combinaciones que puede armar según la lon-gitud de las maderas. Tengan en cuenta la cantidad que tiene de cada una.

Longitud madera 1 Longitud madera 2 Longitud madera 3

8 cm 5 cm

12 cm

15 cm 8 cm

9 cm

b. ¿Puede armar portarretratos con todas las maderas? ¿Por qué?

c. Clasifiquen los triángulos que forman los portarretratos según sus lados y sus ángulos.

2. Resuelvan.a. Calculen la medida del lado desconocido sabiendo que el perímetro total de cada polígono es 35 cm.

FIGURA A FIGURA B FIGURA C

8,6 cm

6,4 cm

7 cm

3 cm

y

x

z

9,8 cm8,7 cm

7 cm

4 cm

1 cm9 cm

2,5 cm

1,5 cm

x = y = z =

b. Calculen la suma de los ángulos interiores (SAI) de cada uno de los siguientes polígonos.

3. Calculen la medida de los ángulos desconocidos.

a. En el trapecio isósceles defg, el g mide el cuádruple del ^

d y el e mide 36°.

b. En el pentágono irregular stuvw, el t mide la mitad del s . El u mide 37° más que el t . El v mide 47° más que el s . El w mide 1° más que el t y s mide 130°.

SAI A = 540° SAI B = 900° SAI C = 180°

^

d = e = 36° y ^

f = g = 72°

s = 130°; t = 65°; u = 102°; v = 177°; w = 66°


Depende de las combinaciones utilizadas en la tabla.

10 cm 10 cm 16,5 cm

3 cm

3 cm 9 cm

9 cm

9 cm

12 cm

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4. Tracen en las siguientes circunferencias lo pedido en cada caso.a. Una cuerda

___ ab de menos de 3 cm y otra c. Un diámetro

___ pq y una cuerda

__ rs perpendicular

cuerda cd de 3 cm. a pq, de menos de 2,5 cm de longitud.

b. Una cuerda st de más de 1,5 cm y uno de d. Un sector circular con un ángulo de 80°. los arcos que quedan determinados.


Polígono¿Regular o irregular?

Cantidad de lados

Ángulo centralSuma de ángulos

interiores

Irregular 3

Regular 360°

Trapecio isósceles

Irregular 4

Regular 60°

Regular 1 080°

Regular 40°

6. Construyan en sus carpetas las siguientes figuras.a. Un triángulo isósceles cuyos lados iguales midan 5 cm y el lado desigual mida 3,5 cm.b. Un paralelogramo cuyos lados midan 2,5 cm y 4,7 cm y uno de sus ángulos mida 45°.c. Un pentágono regular de 4 cm de lado.

Trabajo prácticoFiguras planas

capítulo

6

192

Triángulo escaleno

Cuadrado

Paralelogramo

Irregular

4

4

6

8 45°

––––––

––––––

90°

–––––– 180°

360°

360°

720°

1 260°9

Hexágono regular

Octógono regular

Eneágono regular


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193

7capítulo

Trabajo práctico

Perímetro, área y volumen


1. Ordenen de mayor a menor.a. 7 500 dm; 48 m; 5 600 mm; 0,5 km; 50,4 dam

b. 3,2 dam2; 500 000 mm2; 0,052 hm2; 800 dm2

c. 0,65 m3; 0,0012 dam3; 420 000 cm3; 3 000 dm3

d. 3 500 l; 4 kl; 9 800 dl; 12 hl

2. Calculen el área lateral, el área total y el volumen de los siguientes cuerpos.

a. Cilindro. b. Pirámide de base cuadrada.



8 cm

12 cm

Volumen: 5 cm

6 cm

6,5 cm

Volumen:

3. Completen la tabla sabiendo que se trata de prismas de base regular.

Base del prisma

Apotema Lado de la base

Altura Área lateral

Área total Volumen Capacidad

Cuadrada 1 cm 2 cm 24 cm3 24 ml

Pentagonal 2 dm 3 dm 15 dm2

Hexagonal 3 m 3 m 1 m 27 m3

Octogonal 3 mm 10 mm 320 mm2 416 mm2 480 mm3 0,48 ml

4. Resuelvan.Se volcaron en tres momentos diferentes 500 l, 25 000 cl y 82 dal de agua en un tanque cilíndrico de 1 m de diámetro. Si el tanque se llenó, ¿cuál es su altura?

5. Ordenen de mayor a menor. Escriban previamente todas las expresiones en litros.

2,5 l - 420 cm3 - 0,075 kl - 3 dm3 - 3,2 dal - 0,008 hl

3 000 dm3; 0,0012 dam3; 0,65 m3; 420 000 cm3

4 kl; 3 500 l; 12 hl; 9 800 dl

0,052 hm2; 3,2 dam2; 800 dm2; 500 000 mm2

7 500 dm; 50,4 dam; 0,5 km; 48 m; 5 600 mm

75 l; 32 l; 3 l; 2,5 l; 0,8 l; 0,42 l

La altura del tanque es de 2 m.

301,44 cm2 65 cm2

401,92 cm2

1 dm

6 cm 48 cm2 56 cm2

25 dm2 15 dm3 15 l

27 kl72 m218 m2

4 mm

90 cm2

602,88 cm3 50 cm3

P12-3083-TP.indd 193 10/31/12 5:47 PM

6. Resuelvan.a. Un prisma tiene una base de forma octogonal. El perímetro de la base es de 40 cm y su apo-tema mide 3 cm. Si el volumen es de 600 cm3, ¿cuánto mide la altura?

b. El perímetro de la base de un cono es de 314 cm. Si la altura es igual al diámetro de la base, ¿cuál es el volumen del cono? Expresen el resultado en dm3.

c. El área lateral de un cubo es de 64 mm2. ¿Cuál es su volumen?

d. El volumen de una pirámide de base pentagonal es de 25,5 cm3. Si la altura mide 6 cm, ¿cuán-to mide el área de la base?

7. Piensen y resuelvan.Pilar quiere pintar un vitraux utilizando acrílicos de diferentes colores como indica el dibujo.

a. ¿Cuál es el área que ocupa cada color?

b. Si cada frasco de acrílico rinde 500 cm2, ¿cuántos frascos de cada color necesita?

2 m

8. Respondan.

a. Andrés llena una bañera con forma de prisma rectangular de 1 m de largo, 60 cm de ancho y 40 cm de alto para bañar a su perro. ¿Cuántos litros de agua necesitará para llenarla?

b. Francisco construye cajas de aluminio de 50 cm de ancho, 70 cm de largo y 30 cm de altura, sin tapa. Si desea construir 20 cajas, ¿cuántos m2 de aluminio necesitará?

c. Martín debe colocar dados de 2 cm de arista en una caja de 1,5 dm de ancho por 100 mm de largo y 8 cm de alto. ¿Cuántos dados entrarán en la caja?

d. El termotanque de la casa de Pedro tiene forma cilíndrica de 1,52 m de alto y 45 cm de diá-metro. Si al bañarse consume 100 l, ¿cuántos litros de agua quedarán en el termotanque?

Trabajo prácticoPerímetro, área y volumen

capítulo

7

194

La altura mide 10 cm.

El volumen del cono es de 785 dm3.

El volumen del cubo es 64 mm3.

El área de la base es 12,75 cm2.

Necesitará 240 l de agua.

Necesitará 21,4 m2 de aluminio.

Entrarán 150 dados.

Quedarán 141,623 l en el termotanque.

Rojo: 43 frascos; azul: 2 frascos; verde: 18 frascos.

Rojo: 2,14 m2; azul: 1 m2; verde: 0,86 m2.

P12-3083-TP.indd 194 10/31/12 5:47 PM

195

8capítulo

Trabajo práctico

Probabilidad y estadística


1. Escriban tres ejemplos de variables cualitativas.

2. Escriban tres ejemplos de variables cuantitativas.

3. Resuelvan.Se encuestó a 25 personas al azar, para saber cuántas veces por día ingieren alguna fruta. Los datos obtenidos fueron los siguientes.

2; 0; 1; 1; 5; 3; 2; 4; 5; 1; 3; 3; 1; 1; 4; 2; 0; 3; 2; 2; 1; 1; 2; 0; 1a. Completen la tabla de frecuencias.

Cantidad de frutas Total

f

fr

%

b. ¿Cuál es la cantidad promedio de frutas que ingieren por día?

c. Calculen la mediana y la moda.

4. Respondan.Juan y Santiago están jugando a los dardos. En la siguiente tabla se observan los puntajes que

obtuvieron.

1° 2° 3° 4° 5°

Juan 60 60 40 100 100

Santiago 80 40 60 80

a. ¿Cuál es el promedio de Juan?

b. ¿Qué puntaje debe obtener Santiago para igualar el promedio de Juan?

8040 6060 4080 100

Santiago debe obtener 100 puntos.

El promedio de Juan es 72 puntos.

me = 2; mo = 2

En promedio ingieren 1,8 frutas por día.

La cantidad de CD que tiene cada persona.

La cantidad de alumnos que hay en cada curso de la escuela.

La cantidad de jugadores que forman un equipo según el deporte.

El sabor favorito de helado de los alumnos de 1.° año.

El estado civil de los docentes de cierta escuela.

El lugar de residencia de un grupo de personas.

100

0 1 2 3 4 5

3 8 6 4 2 2 25

0,12 0,32 0,24 0,16 0,08 0,08 1

12 32 24 16 8 8 100

P12-3083-TP.indd 195 10/31/12 5:47 PM

Trabajo prácticoProbabilidad y estadística

capítulo

8

196

5. Observen y luego, respondan.La tabla muestra el registro de temperaturas mínimas del mes de junio.

a. Completen la tabla de frecuencias y realicen un gráfico de barras.

Temperaturas(en °C)

f fr %

4 5

5 3

6 6

7 2

8 4

9 2

11 4

12 2

13 2

Total

b. ¿Cuál es el promedio, la mediana y la moda?

6. Calculen las siguientes probabilidades.Se extrae una carta al azar de un mazo de 40 cartas españolas.

a. ¿Cuál es la probabilidad que sea oros?

b. ¿Cuál es la probabilidad que no sea un as?

c. ¿Cuál es la probabilidad que sea un rey?

7. Resuelvan.a. Tres corredores participan en una competencia.• ¿De cuántas maneras distintas podrán llegar a la meta? ¿Cuáles?

• Si en la misma carrera se inscriben cinco personas más, ¿de cuántas formas distintas pueden llegar a la meta?

b. En un torneo de fútbol participan 12 equipos.• Si un mismo equipo juega una vez por fecha, ¿cuántas fechas deberá jugar cada uno?

• Al finalizar el torneo, ¿de cuántas formas distintas pueden ubicarse los tres primeros puestos?

x = 7,63; me = 6,5; mo = 6

Podrán llegar a la meta de 6 maneras distintas. ABC; ACB; BAC; BCA; CAB; CBA.

Podrán llegar de 40 320 formas.

Cada equipo deberá jugar 11 partidos.

Pueden ubicarse los tres primeros puestos de 1 320 formas distintas.

1 __ 4

5 __ 6

1 ___ 12


0,16 16

0,10 10

0,20 20

0,06 6

0,13 13

0,06 6

0,13 13

0,06 6

0,06 6

30 0,96 96

P12-3083-TP.indd 196 10/31/12 5:47 PM

1. Escriban el número entero que corresponda a cada situación.

a. Carla gastó $500 de sus ahorros.

b. La temperatura máxima en el mes de enero fue de 39 °C.

c. Un pez se encuentra a 4 m de profundidad.

d. Euclides nació en el año 300 a. C.

e. Mariano dejó el auto en el segundo subsuelo del estacionamiento.

f. Daniela tiene cinco mascotas.

2. Ubiquen en la recta numérica los siguientes números enteros. Marquen con color el opuesto de cada uno de los números marcados.

–30; |–6|; 18; –42;

0

3. Indiquen el número que representa la letra a en cada caso. Expliquen cómo lo pensaron.a. b.

–12 a 4 –40 a –5

4. Completen con <, > o =.

a. –5 –8 c. –32 –35 e. –16 –26 g. –567 –420

b. 9 |–9| d. –5 –|5| f. |–8| –9 h. –234 –100

5. Resuelvan.

a. –3 + (+5) = f. –12 – (–3) =

b. 8 – (+9) = g. –(–3) + (–4) =

c. –7 – (+12) = h. 12 – (+20) =

d. –16 + (+25) = i. –18 – (–18) =

e. –15 + (+7) = j. –8 + (+9) =

197

9capítulo

Trabajo práctico

Números enteros


–500

–4

39

–300

5

a = –4 a = –30

–2

> > > <

= = > <

2 –9

–19 –8

9 0

–8 1

–1 –1

6–42 18–30 30–18 42–6

P12-3083-TP.indd 197 10/31/12 5:47 PM

198

6. Resuelvan.

a. 3 . (–2) = d. –25 . (–5) = g. 57 : (–19) =

b. –7 . (–4) = e. –36 : (–12) = h. –168 : (–7) =

c. –16 . 2 = f. –140 : 20 = i. 418 : (–19) =


a b |a| |b| a + b –a – b –a . b –|a . b| |a| . |b| |a| . b

–3 15

3 5

0 –4

–7 14

–1 –3

8. Resuelvan los siguientes cálculos.a. 16 – 3 . 2 + 15 : (–5) = e. –19 – 57 : (–3) + 18 . (–2) =

b. –10 : (–2) + 4 . 3 – 30 = f. 4 : (–2) + 12 . (–3) + 10 =

c. 12 – (15 – 3 . 2) – 14 = g. (5 – 3 . 4) . (–1) – 3 . (2 – 5) =

d. 16 – 3 . 2 + (12 – 9 . 3) : (–3) = h. 2 . (12 – 14 : 7) – 3 . 5 + 2 =

9. Escriban el cálculo correspondiente y resuelvan.a. La suma entre el opuesto de –20 y el doble b. La diferencia entre –15 y el módulo deldel opuesto de 5. opuesto de 6.

198

Trabajo prácticoNúmeros enteros

capítulo

9

–(–20) + 2 . (–5) =

20 – 10 = 10

–15 – |–6| =

–15 – 6 = –21

16 – 6 + (12 – 27) : (–3) =

16 – 6 + 5 = 15

2 . (12 – 2) – 15 + 2 =

2 . 10 – 15 + 2 = 7

12 – (15 – 6) – 14 =

12 – 9 – 14 = –11

(5 – 12) . (–1) – 3 . (–3) =

7 + 9 = 16

5 + 12 – 30 = –13 –2 – 36 + 10 = –28

16 – 6 – 3 = 7 –19 + 19 – 36 = –36

–6 125 –3

28 3 24

–32 –7 –22

5 3 5 2 –2 –15 15 15

–2 2 3 –5 –6 –6 6 6

–4 0 4 4 0 0 0 0

–2 7 2 9 5 –14 14 –14

–2 1 2 3 –2 –2 2 –2

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199

Control de resultados

capitulo 11. Sistema de numeración decimal1.

Por ejemplo, a. con 3.° opción.

2.a. 5; 4 c. 1; 4 b. 1; 3 d. 9; 8

3.Solución a cargo del alumno.

4.Va X en d., e., g., i.

5.205 356

2. Multiplicación y división. Propiedad distributiva6.

a. 12 d. No se puede, 7.b. 6 e. No se puede, 30.c. 8 f. 27

7.Por ejemplo, a. F.

8.a. 15 c. 14 e. 31b. 13 d. 9 f. 63

9.Por ejemplo, a. ≠.

10. Por ejemplo, fila 1: 168 : 6 = 28; 96 : 6 + 60 : 6 + 12 : 6 = 28.

3. Potenciación y radicación11.

Por ejemplo, a. 49.

12.Por ejemplo, a. Dos elevado a la quinta potencia.

13.Por ejemplo, a. 5; 3; 125.


15.Por ejemplo, a. 3; 3 y f. 1 000; 3; 1 000.

16.a. 128 e. 16 i. 18b. 1 000 f. 6 j. 60c. 8 g. 5d. 729 h. 5

4. Operaciones combinadas17.

a. 2 c. 8 e. 298 g. 1b. 1 d. 10 f. 24 h. 152

18.a. 10 c. 6 e. 625b. 10 d. 10 000 f. 67

19.a. 11 f. 8 k. 133b. 627 g. 22 l. 223c. 3 h. 143 m. 21d. 62 i. 326 n. 16e. 2 j. 110

20.Por ejemplo, a. <.


22.Por ejemplo, a. 25; 9

MenteACTIVASolución a cargo del alumno.

IntegracIón 1.2.3.423.

a. 408 004 d. 506 005b. 4 008 004 e. 48 005c. 5 000 005 f. 480 086

c. > b. > d. > f. > a. > e.

24.Por ejemplo, fila 1: 98 721; 12 789.

25.a. Va X en a.


27.a. 485 b. 866

28.a. 1 500 c. 75b. 2 d. 7 500

29.a. 240 d. 50 g. 1 500b. 9 400 e. 7 488 h. 6c. 64 f. 1 300

30.Por ejemplo, a. =.

31.a. 46 b. 79 c. 7 d. 22

32.a. 60 c. 162 e. 364b. 840 d. 28


34.a. 820 c. 60 e. 290b. 722 d. 170 f. 410


36.Por ejemplo, a. 5, 48.

37.a. 72 b. 8 c. 56

38.a. 529 c. 10 000 e. 2b. 1 296 d. 5 f. 6

39.Por ejemplo, a. 16.

40.a. 3 200 c. 3 072 e. 2b. 215 d. 192 f. 40

41.a. 114 e. 67 i. 1 000b. 32 f. 45 j. 160c. 705 g. 3d. 9 000 h. 6

5. Divisibilidad y factorización42.

a. 123, 126, 129, 132, 135, 138b. 208, 216, 224, 232, 240, 248c. 1, 2, 3, 6d. 1, 2, 4, 5, 10, 20e. 2, 3, 5

43.Por ejemplo, a. puede ser 5 874.

44.Por ejemplo, en la fila 1 va X en: 1, 2, 4, 5, 10.

45.a. 23 . 32 . 11 c. 32 . 112

b. 23 . 3 . 52 d. 2 . 32 . 5 . 72


6. Múltiplo común menor y divisor común mayor47.

a. mcm = 52 920, dcm = 4b. mcm = 2 000, dcm = 20c. mcm = 2 340, dcm = 1

48.a. Cada 60 minutos.b. 60 paquetes.c. El 13 de junio. No. Sí.d. Para 6 amigas.

7. Lenguaje simbólico. ecuaciones49.

Por ejemplo, a. 2a.

50.Por ejemplo, a. con 2.° opción.

51.Por ejemplo, a. El doble de la diferencia entre un número y cinco es igual a 35. x = 13

P12-3083-Control.indd 199 10/31/12 5:48 PM

200

52.a. m = 17 d. a = 32b. t = 16 e. y = 4c. x = 8 f. n = 100

53.a. x = 0 h. x = 3b. x = 2 i. x = 32c. x = 25 j. x = 2d. x = 87 k. x = 12e. x = 0 l. x = 1f. x = 6 m. x = 4g. x = 8 n. x = 4

54.a. x = 5 e. x = 1b. x = 9 f. x = 2c. x = 15 g. x = 0d. x = 12 h. x = 7

55.a. x = 6 c. x = 10b. x = 100 d. x = 15


IntegracIón 5.6.756.

a. 1, 2, 4, 7, 14, 28b. 1, 3, 5, 9, 15, 45c. 30, 45, 60, 75

57.a. 2 850 b. 5 028 c. 8 025

58. a. Sí. Sí. No se sabe. Sí. No se sabe.b. 3. Por 10.

59. a. 23 . 52 . 7 d. 34 . 5 . 7b. 25 . 3 . 11 e. 22 . 72 . 13c. 22 . 54 f. 72 . 11 . 13

60.a. 103 b. 1023

61. a. 105 c. 1 260b. 1 d. Por 24. Resto 12.

62. Por ejemplo, a. V.

63. a. 192, 128, 320 b. 20, 40, 60

64.a. mcm = 900, dcm = 30b. mcm = 1 400, dcm = 5c. mcm = 720, dcm = 4d. mcm = 1 309, dcm = 1e. mcm = 6 300, dcm = 2f. mcm = 729, dcm = 27

65. a. Cada 30 meses. b. 150 moños.

66. a. 14 años. c. 4 kgb. $60 d. 864 panchos.

67. a. x = 36 d. x = 24b. x = 15 e. x = 0c. x = 13 f. x = 22

68. a. x = 129 b. x = 34

69. a. x = 8 b. x = 1

70. a. x = 8 c. x = 1b. x = 4 d. x = 1

71. a. x = 8 d. x = 8b. x = 5 e. x = 81c. x = 1 f. x = 36

autOevaLuacIón72.

2 . 107 + 6 . 106 + 6 . 104 + 2 . 103 + 2 . 102 + 6 100; 2 . 10 000 000 + 6 . 1 000 000 + 6 . 10 000 + 2 . 1 000 + 2 . 100 + 6; 20 000 000 + 6 000 000 + 60 000 + 2 000 + 200 + 6

73.a. 179 b. 23 c. 507

74. a. Cada 24 horas.b. 3 pastillas de antibiótico y 4 del analgésico.

75. mcm = 2 700; dcm = 45

76. 2 . (x + 25) = 184 : 2 – 4; x = 19

capitulo 28. Orden y representación1.


2.a. 4 __ 9 c. 12 ___ 9 e. 29 ___ 9

b. 6 __ 9 d. 24 ___ 9

3.Por ejemplo, a. 0 4 __ 9 .

4. 1 __ 2 ; 3 __ 5 ; 3 __ 4 ; 4 __ 5

5.a. 3 __ 5 b. 10 ___ 5 c. 7 __ 5

10 ___ 5 > 7 __ 5 > 3 __ 5

6. 1 __ 6 < 4 __ 9 < 5 __ 9 < 2 __ 3 < 5 __ 6 < 10 ___ 9 < 7 __ 6 < 4 __ 3

9. Fracciones equivalentes7.

Por ejemplo, a. 1 __ 2 .

8.Por ejemplo, a. 12 ___ 17 , 10 ___ 42 .

9.Por ejemplo, a. 1 __ 3 .


11.Por ejemplo, g. 5 ___ 14 .

10. Operaciones con números racionales12.

a. 9 __ 7 c. 6 __ 5 e. 19 ___ 8

b. 6 __ 3 d. 7 __ 6 f. 5 __ 9

13.Va X en a. Llegó 23 ___ 30 del pasaje.

14.a. 3 __ 8 c. 17 ___ 30 e. 11 ___ 28

b. 1 __ 8 d. 7 ___ 30 f. 3 ___ 28


16.a. > b. > c. = d. <

17.a. 4 __ 1 b. 3 __ 2 c. 1 __ 2 d. 6 __ 1

18.a. 10 ___ 1 b. 18 ___ 49 c. 25 ___ 1 d. 5 __ 4

19.a. 5 c. 1 __ 2 e. 206

b. 3 d. 31 f. 42

20.a. Regaló 18. Aún conserva 27.b. Le quedan aún 13 litros.c. Alquiler e impuestos $4 550. Otros gastos $3 250.

21.a. 13 ___ 14 b. 36 ___ 1 c. 54 ___ 25 d. 1 __ 2

22.a. 10 ___ 4 b. 1 ___ 21 c. 5 __ 4 d. 1 __ 5

23.a. = b. > c. > d. <

24.Por ejemplo, a. con 1 __ 2 + 1 __ 3 = 5 __ 6 .

25.a. Quedan 55 bombones.b. Continúan 7 alumnos.c. Quedan 525 libros.


P12-3083-Control.indd 200 10/31/12 5:48 PM

201

capitulo 225. Opuestos de un número y valor absoluto.

1. a. 3 701b. 45 861:c. 270

2.a. 9b. 45

3.a. 3 701b. 45 861:c. 270

4.a. 9b. 45

5.a. 3 701b. 45 861:c. 270

6.a. 9b. 45

7.a. 3 701b. 45 861:c. 270

8.a. 9

9.a. 3 701b. 45 861:

10.a. 9b. 45

11.a. 3 701b. 45 861:c. 270

12.a. 9b. 45

13.a. 3 701b. 45 861:c. 270

14.a. 9b. 45

26. Orden y representación numérica

1.a. 9b. 45

2.a. 3 701b. 45 861:c. 270

3.a. 9b. 45

4.a. 3 701b. 45 861:c. 270

5.a. 9b. 45

6.a. 3 701b. 45 861:c. 270

7.a. 9b. 45

8.a. 3 701b. 45 861:

9.a. 9b. 45

capitulo 530. Opuestos de un número y valor absoluto.

1.a. 9b. 45

2.a. 9

3.a. 3 701b. 45 861:

c. 270

4.a. 9b. 45

5.a. 3 701b. 45 861:c. 270

6.a. 9b. 45

7.a. 3 701b. 45 861:c. 270

8.a. 9

9.a. 3 701b. 45 861:

10.a. 9b. 45

11.a. 3 701b. 45 861:c. 270

12.a. 9b. 45

13.a. 3 701b. 45 861:c. 270

14.a. 9b. 45

14.a. 9b. 45

13.a. 3 701b. 45 861:c. 270

11. Potenciación y radicación de fracciones26.



28.a. 7 __ 2 c. 5 __ 4 e. 1 __ 2

b. 16 ___ 9 d. 125 ____ 216 f. 4

29.a. 1 __ 7 b. 5 __ 3 c. 121 ____ 144 d. 243 ____ 32

30.a. 1 ___ 25 m2 b. 2 __ 9 m2


12. Operaciones combinadas con fracciones31.

a. 2 ___ 45 c. 7 __ 2 e. 73 ___ 64

b. 27 ___ 10 d. 29 ___ 36 f. 23 ___ 27

32.a. 2 __ 5 , 336 páginas.

b. 1 __ 3 c. 7 ___ 12

33.a. 2 . 1 __ 2 m + 1 __ 4 m + 3 __ 4 m = 2 m

b. 4 __ 9 m2 – 1 __ 9 m2 = 1 __ 3 m2

34.a. < b. = c. > d. <

35.a. 5 __ 3 b. 1 __ 2 c. 1 __ 9 d. 41 ___ 60

36.a. 19 ___ 20 c. 1 __ 4 e. 17 ___ 10

b. 3 ___ 10 d. 62 ___ 5 f. 87 ___ 16

37.a. 1 __ 4 . 10 + 2 __ 3 . 13 = 67 ___ 6

b. 2 __ 5 . 15 ___ 2 – 1 ___ 10 . 12 = 9 __ 5


IntegracIón 8.9.10.11.1238.


39.a. 1 __ 5 c. 7 __ 5 e. 29 ___ 10

b. 1 __ 2 d. 2

40.a. 4 __ 3 b. 2 __ 1 c. 2 __ 3 d. 5 __ 3

41.a. 4; 200; 5; 120b. 17; 102; 340; 336c. 7; 63; 1; 105




45.a. 25 ___ 63 c. 1 __ 6 e. 25 ___ 9

b. 67 ___ 12 d. 25 ___ 3 f. 1 __ 4

46.c. < f. < a. < e. < b. < d.

47.a. 4 c. 1 __ 5 e. 23 ___ 24

b. 3 d. 1 __ 3 f. 74 ___ 25

48.a. 1 __ 4 del total. 27 fotos.

b. 22 ___ 5 cm c. $1 378

49.a. 4 __ 3 b. 3 c. 9 ___ 10 d. 19 ___ 6

50.a. 10 niños.b. $216; $108; $72; $36c. Sobraron 9 porciones.d. 12 de un ambiente, 32 de dos ambientes y 4 de tres ambientes.

51.a. Á. = 2 ___ 15 m2; P = 22 ___ 15 m

b. AS = 27 ___ 25 m2

c. P = 5 __ 4 m

d. AS = 27 ___ 16 m2

52.a. 1 ___ 16 b. 9 ___ 50 c. 4 __ 3 d. 5 __ 4

13. Fracciones y expresiones decimales53.

Por ejemplo, a. 0,25 y b. 0,33...



56.Va X en a., b., d., f., g.

57.Hay infinitas posibilidades. Por ejemplo, a. 1,6.

58.a. 2 : 10; 1 : 5.b. 175 : 100; 7 : 4.

59.Por ejemplo, fila 1: 21 ___ 35 ; 6 ___ 10 ; 0,6.

14. Operaciones con expresio-nes decimales. Porcentaje60.

a. 14,98 f. 1,79b. 8,807 g. 0,89c. 54,47 h. 1,04d. 18,906 i. 4,25e. 2,481 j. 1,08

61.a. $465,10 d. $4,91b. $272,05 e. $189,28c. $406,80

62.a. 10,8 c. 2,5 e. 9,9b. 3,139 d. 4,135 f. 4,23

63.a. 0,7 c. 0,2 e. 0,4b. 0,39 d. 4 f. 3,2

64.Por ejemplo, a. con 0,3. y g. con 2.

65.Por ejemplo, tabla 1, fila 1: 0,2; 0,02.

66.a. 0,064 g. 0,9b. 3,61 h. 0,3c. 0,00001 i. 1,5d. 1,21 j. 1,3e. 0,343 k. 0,2f. 8,41 l. 0,7

67.a. 25,75 b. 36,7

68.a. 20 d. 20 g. 300b. 35 e. 5 h. 6c. 20 f. 30 i. 3

69.a. 4,8 d. 91 g. 650b. 58 e. 3 850 h. 700c. 520 f. 126

70.a. $284,4b. $408,825c. 40 chicos de otras escuelas. 15 chicos organizaron la fiesta.



Por ejemplo, a. <.

P12-3083-Control.indd 201 10/31/12 5:48 PM

202

72. a. 441 _____ 2 500 e. 1 __ 3 i. 349 ____ 100

b. 3 __ 5 f. 21 ___ 20 j. 15 ___ 26

c. 12 ___ 25 g. 0 k. 1 ____ 100

d. 133 _____ 1 000 h. 473 ____ 675 l. 3 ___ 10

IntegracIón 13.14.1573.


74. 0,7 < 0,7 < 0,5 < 0,04

75.Va X en a., b., d., f., h. e i.


77.a. 9 ___ 80 c. 33 ____ 100 e. 7 __ 4 g. 11 ____ 100

b. 1 __ 2 d. 6 __ 5 f. 1 __ 6

78.a. 3 __ 8 b. 16 ___ 81 c.

1 __ 4 d. 3 __ 2

79.a. Cliente 1: $262,8; cliente 2: $146; cliente 3: $394,2b. $792,55. Necesita vender 10 kg.

80.a. 18,2 cm b. 8,6 cm c. 10,2 cm

81.a. 11,7 b. 4 950

82.Por ejemplo, fila 1: 3; 3,5; 3,49.

83.a. 1.° escala: 13,5%; 2.° escala: 19,2%; destino: 67,3%.b. 91,7% d. 1 520c. 20% e. 20%

84.a. 14 e. 250 i. 75b. 5,5 f. 20 j. 900c. 18 g. 44 k. 96d. 60 h. 675 l. 1 950

85.Va X en a. y b.

86.a. 3 750 c. 96; 24 e. 160b. 8 000 d. 70 f. 94

87.Pantalón: $232,4; Campera: $280.

88.a. 102,8 d. 188,55b. 35,86 e. 12,04c. 29,24

autOevaLuacIón89.


90.a. 3 __ 4 = 0,75 c. 3 __ 8 = 0,375

b. 2 __ 3 = 0,6

91.a. 21 ___ 20 b. 5 __ 8 c. 1 d. 9 __ 5

92.a. 102; 150 b. 80; 32

93.

a. 17 ___ 8 b. 203 ____ 27

capitulo 316. gráficos y tablas1.


2.a = (2;2), b = (4;0), c = (5;6), d = (0;6), e = (8;2)


4.a. a = (7;5)b. b = (4;8)c. c = (0;3) y d = (7;0)d. e = (3;6)e. f = (2,5;5)

5.a. Por ejemplo, fila 1: 14.b. 0 horas; entre las 2 h y las 4 h.c. A las 11 horas. Fue de 24 °C.

6.a. Tardó 30 min. Estuvo 30 min. Tardó 20 min.b. Tardó más para ir.

7.a. 0,5 kg d. No, siempreb. 150 días. aumentó de c. 2 kg peso.

8.a. Solución a cargo del alumno.b. En el mes 12. En el mes 18.c. A mitad de año.d. Solución a cargo del alumno.e. Solución a cargo del alumno.f. El ingreso disminuyó.

17. Funciones9.


10.Va X en d., e. y f.

11.a. Fila 1: 1, 2. Fila 2: 15, 25.b. Solución a cargo del alumno.c. Sí, es correcto. d. Sí.

18. Función de proporcionalidad directa12.


13.Va X en b. y c.

14.a. Por ejemplo, fila 1: 7. Solución gráfica.b. k = 7

15.a. Por ejemplo, fila 1: 250.b. Sí. k = 25

19. Función de proporcionalidad inversa16.


17.Va X en b. y c. Solución gráfica.

18.a. Fila 1: 200. Fila 2: 64, 25.b. Sí, son variables inversamente proporcionales. k = 8 000c. Solución gráfica.




21.a. y b. solución a cargo del alumno.c. En a. es único y en b., no. (4;1)

22.a. Puntos mal ubicados: b, c y e.b. Solución a cargo del alumno.

23.a. Solución a cargo del alumno.b. Sí. c. Sí.


25.a. Fila 1: 7. Fila 2: 17,50; 31,50; 35.b. Solución a cargo del alumno.

26.a. Solución a cargo del alumno.b. Sí. k = 3

27.a. $150b. Por ejemplo, fila 1: 300.c. k = 150d. Solución a cargo del alumno.

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203

28.a. 10b. 35c. Inversa.d. Por ejemplo, fila 1: 70.e. Solución a cargo del alumno.

29.a. DP b. NP c. DP d. DP

autOevaLuacIón30.

a. 10 horas.b. 4 horas.c. Estaban a 160 km del hotel.d. Sí, a la ida.e. Duró 2 horas.

31.a. Sí.b. k = 800. La variable indepen-diente es la altura. La variable dependiente es el volumen.c. Fila 1: 50, 60.Fila 2: 32 000, 56 000.

32.a. Cada uno deberá pagar $150. Si fueran 30, debería pagar $70.b. Son variables inversamente proporcionales. k = 2 100c. Fila 1: 21; 28. Fila 2: 150; 70.

capitulo 420. clasificación de los cuerpos1.


2.a. Cubo, pirámide de base cuadrada. b. Esfera, cilindro.c. Cono, cilindro.d. Prisma de base hexagonal, cilindro.e. Prisma de base triangular, pirámide de base triangular.f. Prisma de base rectangular, prisma de base triangular.

21. Poliedros regulares3.

Va X en b., c., e., y f.

4.a. con 8. c. con 6. e. con 12.b. con 4. d. con 20.

5.Por ejemplo, fila 1: solución grá-fica; 6; 8; 12; 6 + 8 = 12 + 2.

22. Desarrollo plano de cuerpos6.


7.a. Prisma de base rectangular.b. Pirámide de base triangular.c. Pirámide de base cuadrangular.d. Cono.e. Prisma de base pentagonal.f. Pirámide de base hexagonal.

8.Va X en b.

9.Va X en:a. Prisma de base triangular.b. Pirámide de base cuadrada.c. Prisma de base triangular.

10.a. El cuerpo está formado por 11 cubos.b. No.c. Uno solo.d. No.e. Habría que agregar 6 cubos más. En el centro del cuerpo.

11.Va X en a.


13.Va X en a.


23. Punto, recta y plano14.

Por ejemplo, en a. va X en infinitas rectas.

15.a. A y B c. C y E e. A y Db. B y C d. D y E



Por ejemplo en b. va X en un cilindro, un cono y un prisma de base rectangular.

18.Por ejemplo, en a. F.

19.a. 12; cubo.b. Dodecaedro; 20.c. 8; octaedro.d. 4; tetraedro.

20.a. Sí. 9 + 9 = 16 + 2b. Sí. 7 + 10 = 15 + 2

21.Va X en a. y d.

22.a. C, D y E.b. A y B.c. F y A.d. A y E; E y F.

23.a. // c. ⊥ e. ⊥b. ⊥ d. // f. ⊥




autOevaLuacIón27.

a. 6; pentágono.b. 18; hexágono.c. 7; pentágono.

28.6; 6; 10; 6 + 6 = 10 + 2

29.Va X en a., b. y d.

30.Va X en b.

capitulo 524. Sistema sexagesimal. Operaciones1.

a. 1 380’’ c. 36 180’’b. 7 200’’ d. 220’’

2.a. 6’ c. 182’b. 2 702’ d. 900’

3.Por ejemplo, a. y b. con 32° 25’ . 2

4.a. 104° 34’ c. 75° 48’ 52’’b. 9° 53’ 15’’ d. 238° 31’ 15’’

5. a. 37° 15’ d. 172° 42’b. 15° 50’ 20’ e. 87° 40’ 25’’c. 92° 10’ 30’’ f. 42° 20’ 30’’

6.a. 14’; 50’’; 41° c. 45’; 71°; 0’’b. 3’; 1’’; 44° d. 44’; 1°; 43°

25. Ángulos complementarios y suplementarios7.

a. < b. < c. = d. >

8.Va X en b. y d.

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204

9.a. α = 37°;

^ β = 53°

b. η = 18°; σ = 72°

c. ε = 30°; ^

δ = 150°

d. γ = 48°; π = 132°

10.a. x = 39° b. x = 67° 30’

26. Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice11.

Por ejemplo, fila 1: 145°; 145°; 35.

12.a. α = 40°;

^ β = 140°

b. ^ δ = 81°; ω = 81°

c. π = 150°; ε = 150°

d. γ = 136°; θ = 44°


27. Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo14.



16.a., b., c. y d. Solución gráfica.

e. ^ aoc = 90°; m o a = 135°;

m o t = 22° 30’; ^ cot = 67° 30’

17. Solución a cargo del alumno.



a. y b. Solución a cargo del alumno.c. Llano; perpendiculares; recto.

19.a.

^ β = 42°; γ = 138°; α = 21°

b. π = 20°; ^

δ = 160°; θ = 90°;

ε = 70°

20.a. α +

^ β = 100° c.

^ β + ε = 90°

b. α + ^

δ = 180°


22.a. 62° 25’ d. 66° 50’b. 19° e. 107° 30’c. 92° 45’


24.a. ε = α = 21°;

^ β = 42°;

γ = 138°

b. ^ δ = π = 75°;

^ β = 15°;

α = 105°

c. ^

δ = α = 62°; ^

β = γ = 118°

d. π = ω = 20°; θ = ρ = 160°

25.Por ejemplo, en fila 1 va X en: consecutivos, suplementarios y adyacentes.

26.a. 34° c. 90° e. 73°b. 56° d. 28° f. 22°

autOevaLuacIón27.

a. 163° 50’ b. 55° 38’

28.a. A veces. d. A veces.b. Nunca. e. Siempre.c. Nunca.

29.x = 25°;

^ β = 65°; α = 65°;

^

δ = 50°


capitulo 628. triángulos. elementos y propiedades1.

a. __ ac = 6 cm; c = 45°

b. __ df = 7 cm; e =

^ f = 39°;

^

d = 102°

2.a. x = 5°; a = 38°;

^ b = 85°;

c = 57°b. x = 12°;

^ d = 40°; e = 103°;

^

f = 37°c. x = 23°; α = 145°;

^ β = 120°;

ε = 95°d. x = 15°;

^ j = 37°;

^ k = 53°;

^

l = 90°

29. construcción de triángulos3.

Por ejemplo, a. V.

4.a. Solución gráfica.b. No. No se pueden construir triángulos equiláteros rectángulos ni obtusángulos.





30. cuadriláteros. elementos y propiedades8.

a. Por ejemplo, en fila 1: B, F, J; No hay; No hay.b. Sí. Sí.

9.a. a =

^ b = 130°; c =

^ d = 50°; ___

da = 2 cm

b. ^

j = 126°; ^ k = 36°;

^ i = 72°; __

jk = 4 cm; _ ij = 3 cm

31. construcción de cuadriláteros10.

a. Paralelogramos. Tienen dos diagonales.b. Depende del paralelogramo. Sí.c. En cuadrados y en rombos.

11.Solución gráfica. Existen muchas posibilidades.a. Dos diagonales.b. En el trapecio isósceles las diagonales son iguales, en los trapecios rectángulos y escale-nos, no. No, en ningún caso.

12.a. Cuadriláteros.b. Cuadrado; rectángulo; para-lelogramo; rombo.c. Isósceles.d. Rectángulo; escaleno.

13.Solución gráfica.

14.a. Sí. Los ángulos de las distintas figuras que queden consecutivos deben sumar 360° o 180°.b. Con rombos y trapecios.

15.a. e = g = 70°;

^ f =

^ h = 110°

b. m = o = 102°; n = 52°;

p = 104°

c. a = ^ b = 60°; c =

^ d = 120°

d. ^ i = ^ k = 42°;

^ j =

^ l = 138°


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205


a. No; No; Sí.b. Escaleno obtusángulo.

17.a. 7 b. 2


19.a. Sí. Sí.b. 36 triángulos más.

20.a. y b. Solución a cargo del alumno.c. No son posibles las construc-ciones del rectángulo y del cuadrado.

21.a. Mariano y Georgina.b. Solución a cargo del alumno.c. Suma de ángulos exteriores.

22.a. Sí. Sí. b. No.

23.a. 30°; 30° c. 29°; 61°b. 24°; 156° d. 40°; 50°

24.a. Sí. c. Sí. e. Sí. g. No.b. Sí. d. No. f. No.

25.a.

___ ad = 4 cm;

___ ab = 6 cm;

c = 75°; ^

d = ^ b = 105°

b. __ ef =

__ fg =

___ he = 7,2 cm;

g = 65°; ^

f = ^ h = 115°

26.x = 32°

32. círculo y circunferencia. elementos y propiedades27.

a. Una circunferencia. El centro. El radio.b. Tiene el mismo centro, pero distinto radio.c. Se forma una circunferencia del mismo radio, pero con el centro corrido.d. En b., son concéntricas. En c., son iguales, pero no concéntricas.

28.Por ejemplo, a. con el diámetro.


33. construcción de circunfe-rencias30.



34. Polígonos32.

a. El “A” es convexa regular, el “B” es cóncava irregular.b. En ambos casos es 900°.c. Se forman 5 triángulos. Sí.

33.a. a = 140°;

^ b = 147°; c = 137°;

^

d = 112°; e = 95°; ^ f = 86°

b. g = 126°; ^ h = 106°;

^ i = 118°;

^ j = 64°;

^ k = 273°;

^ l = 33°

c. m = 32°; n = 231°; o = 25°;

p = 63°

d. r = 134°; s = 117°; u = 128°;

v = 71°

35. construcción de polígonos regulares34.

Por ejemplo, fila 1: 1 440; 144; 36.


36.Por ejemplo, a. V.


38. Solución a cargo del alumno.




a. y b. solución a cargo del alumno.c. Alineados.



43.a. Mediatrices o diagonales.b. No.



46.a. 0; 2; 5; 9 b. 14. 20

47.Por ejemplo, a. V.

48.a. y b. Solución a cargo del alumno.c. Sí.

49.a. siempre c. a vecesb. a veces d. nunca

50.a. Polígono de 15 lados. 24°b. Heptágono. 51,42°c. Triángulo. 120°d. Decágono. 36°e. Eneágono. 40°

autOevaLuacIón51.


52.a. a = 70°;

^ b = 32°; c = 78°

b. m = 84°; n = 124°; o = 28°;

p = 124°c. r = 98°; s = 72°; t = 250;

u = 30°

capitulo 736. Perímetro y área de figuras planas1.

Por ejemplo, a. F.

2.a. 12 cm c. 5 cm e. 4 cm yb. 12 cm d. 24 cm 12 cm

3.a. 15,3 cm c. 42 cmb. 22,28 cm d. 41,42 cm

4.a. 0,032 c. 0,03b. 5 000 d. 92

5.a. 11 b. 10 c. 23

6.a. 1,2 dm c. 9,42 dmb. 20 cm2 d. 30 cm2

7.a. 9 cm b. 8 cm c. 2 cm

8.a. P = 21,64 cm; Á. = 20 cm2

b. P = 27,42 dm; Á. = 50,13 dm2

9.a. 7,74 cm2 c. 37,5 cm2

b. 14,2 cm2 d. 9 cm2

10.a. 10 dm b. 9 cm


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206

37. Área lateral de prismas, pirámides y cilindros11.

Por ejemplo, prisma de base trian-

gular regular se une con b . h . 3

y con Área lateral + b . h _____ 2 . 2.

12.a. AL: 80 cm2; AT: 88 cm2

b. AL: 30 cm2; AT: 39 cm2

c. AL: 62,8 cm2; AT: 87,92 cm2

d. AL: 36 cm2; AT: 56 cm2

13.Necesita 467 venecitas.

14.a. AL: 60 cm2; AT: 76 cm2; Prisma de base rectangular.b. AL: 188,4 cm2; AT: 244,9 cm2; Cilindro.c. AL: 112 cm2; AT: 161 cm2; Pirámide de base cuadrada.d. AL: 96 cm2; AT: 144 cm2; Prisma de base octagonal.

15.a. 4,8 dm2 c. 0,16 dm2

b. 6,59 dm2

16.a. x = 2 cm b. x = 10 mm

17.a. 286 m2 b. 464 m2

18.a. 12,56 lb. 3 baldes. Gastará $240.

19.a. 400 listones. b. 216 cm2

38. unidades de capacidad y unidades de volumen20.

Por ejemplo, a. F.

21.a. 250 c. 3 200 e. 28b. 1 d. 18 f. 135 000

22.a. Compró 15 botellas de gaseosa.b. Conviene la de 1 litro.c. Sí.d. Tres frascos. Sobran 10 ml.e. 6,9 l de cloro por semana.


39. volumen del prisma, de la pirámide, del cilindro y del cono23.

a. 108 cm3 d. 117,75 cm3

b. 0,6594 cm3 e. 21,25 cm3

c. 42 cm3 f. 1,13 cm3

24.Por ejemplo, fila 1: 24; 24.

25.a. 25,12 l b. 30,24 l

26.a. 50,24 cm3; 113,04 cm3; 25,12 cm3; 37,68 cm3; 37,68 cm3.b. 4; 9; 2; 3

27.a. 24 cm3 c. 80,07 cm3

b. 5 cm d. 3 cm

28.a. 56,52 cm3 b. 100 cm3

29.a. 30 velas. 9 000 cm3

b. Necesitará 3 000 cm3 de arena.



a. 16 cm d. 10 dm2

b. 27 cm e. 4 m2

c. 13 cm2

31.a. 13,76 cm2 c. 18 cm2

b. 14,72 cm2 d. 79,25 cm2

32.a. AL: 24 cm2; AT: 40 cm2 b. AL: 125,6 dm2; AT: 282,6 dm2

c. AL: 90 cm2; AT: 120 cm2

33.a. 2 260,8 cm2 c. 20 cajas.b. 7,5 m2

34.a. 4 cm b. 360 cm3

35.a. 98b. Largo: 27 cm. Ancho: 27 cm. Alto: 12 cm.

36.a. 22 alumnos. c. 33 conos.b. 72 bolsas. d. 3 cm

37.a. Largo: 20 cm, ancho: 2 cm y alto: 2 cm.b. Podrá contener 160 caramelos.

38.a. 0,04 dm c. 0,92 cmb. 1 884 cm3 d. 4,5 cm

39.a. 91,4 b. 24 000

40.a. 17 litros. c. 5 cm2

b. 62,8 cm2 d. 5 cm2

autOevaLuacIón41.

a. Suma. d. π . d . hb. Igual. e. l2 . 6c. n . l

42.288 m2

43.4,99 m2

44.a. 75 litros. b. 600 cm3

capitulo 840. variables, población y muestra1.

Por ejemplo, fila 1: Cuantitativa.

2.a. Población: chicos de entre 12 y 20 años. Muestra: 350 chicos.b. Tipo de videojuego. Cualitativa.


41. recolección y organización de datos. tablas4.

a. River: 8; Boca: 7; Racing: 4; San Lorenzo: 4; Independiente: 2; Otros: 3.b. Equipo de fútbol. Cualitativa.c. River.d. Cuatro clubes. San Lorenzo, Racing, Boca y River.

5.a. 4; 3; 6; 2; 7; 3; 2; 1b. Nota del trimestre. Cuantitativa.c. 28 alumnos.d. Aprobaron 15 alumnos y desaprobaron 13.e. 13 alumnos.f. En diciembre deben rendir 12 alumnos y en marzo 1.

42. Frecuencias absolutas y relativas6.

a. Por ejemplo, fila 1: 5; 0,125; 12,5.b. Mapuche, porque es el que tiene mayor frecuencia. 37,5%c. Los tobas y los diaguitas.

7.a. Por ejemplo, fila 1: 3; 0,17; 16,67.b. En ritmos.c. Elongación.

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207

43. gráficos 8.

Por ejemplo, a. 50; 180.

9.a. 25 b. 20 c. 75 d. 60


11.a. Cualitativa. A 65 personas.b. Solución a cargo del alumno.

12.a. 10 en el A, 12 en el B y 15 el C.b. En el B.c. 38 varones. 75 alumnos.


14.a. Solución a cargo del alumno.b. Se encuestó a 72 personas.

15.a. En la sala B, hay 6 000 libros.b. En total hay 18 000 libros.

16.a. 13 millones de habitantes.

17.a. Europa.b. No.


a. Representa la muestra.b. Cualitativa.

19.a. Cantidad de paquetes vendi-dos. Cualitativa.b. y c. solución a cargo del alumno.

20.a. Sexo y estado civil. Cualitativas.b. y c. solución a cargo del alumno.d. 33,33%

21.a. Deporte preferido. Cualitativa.b. Natación, en el grupo A y Básquet, en el grupo B.

22.a. Por ejemplo, fila 1: 3; 0,06.b. Cantidad de cargas por mes. Cuantitativa.c. 33 d. 12%

23. a. Solución a cargo del alumno. b. 29 d. 34,5% f. 19c. 13,8% e. 6

24.a. Solución a cargo del alumno.b. 25% ajedrez y 16,67% damas.

25.a. Cantidad de pájaros. Cuantitativa.b. 31,25; 12,5; 37,5; 18,75c. Solución a cargo del alumno.d. 15 pájaros. e. 4,5 pájaros.

26.a. Solución a cargo del alumno.b. En la de hombres, sí. En la de mujeres, no.c. Solución a cargo del alumno.

44. Promedio, mediana y moda27.

a. _ x = 38,29; m

e = 38; m

o = 38

b. _ x = 29,3; m

e = 28,5; m

o = 28

c. _ x = 34,14; m

e = 34; m

o = 34

d. _ x = 42,1; m

e = 30; m

o = 12

28. _ x = 3,27 m

e = 3,5 m

o = 1

29.a. 16; 16 c. 17; 17b. 18; 19 d. 16; 13En a. y b. las soluciones no son únicas.

30.a. 19 puntos entre las dos pruebas.b. No.c. Hay varias posibilidades: 10 y 5; 9 y 6; 8 y 7.

45. experimentos aleatorios. Probabilidad simple31.

Va X en a., c. y d.

32.a. 1; 2; 3; 4; 5; 6.b. 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12.c. cara-cara; cara-ceca; ceca-ceca.d. cara-cara; cara-ceca; ceca-cara; ceca-ceca.

33.a. 19 ___ 37 c. 22 ___ 37 e. 0 ___ 37

b. 18 ___ 37 d. 8 ___ 37 f. 37 ___ 37

34.a. Con el disco B, P(azul) = 1 __ 2 .

b. 1 __ 3 c. En el A.

46. cálculo combinatorio35.

a. 18 b. 6 c. 9

36.a. 60 números. 24 son pares.b. 12 números son múltiplos de 5 y 36 son mayores que 500.

37.De 28 maneras distintas.

38.a. 1 320 maneras distintas.b. 440 maneras distintas.c. 60 maneras distintas.


IntegracIón 44.45.4639.a. Peso. Cuantitativa.b.

_ x = 50,83 kg; m

e = 50 kg;

mo = 50 kg

40.a. Por ejemplo, fila 1: 0,375; 37,5.b. 24c.

_ x = 13 años; bimodal, 12 años

y 14 años; me = 13 años.

d. Solución gráfica.

41.a.

_ x = 5,8; m

e = 5; m

o = 4

b. _ x = 7,5; m

e = 7; m

o = 5

c. _ x = 7; m

e = 7,5; m

o = 10

42.a.

_ x = 8,23; m

e = 8; m

o = 8

b. La moda y la mediana se mantienen.

_ x = 36,30.

c. No.

43.Va X en:a. 10 b. 1,6% c. 0,24

44.a. Por ejemplo, fila 1: 0,21; 21.b. 21% d. 4c. 0,25 e. Solución gráfica.

45.a.

_ x = 52,92 mm; m

e = 43,5 mm;

mo= 78 mm

b. Solución a cargo del alumno.


47.Por ejemplo, a. 12 ___ 50 .

48.a. 7 ___ 20 b. 13 ___ 20 c. 11 ___ 20 d. 20 ___ 20

49.a. 12 . 11 . 10 = 1 320

b. 2 ___ 12 , 4 ___ 12 y 3 ___ 12

50.a. 27 b. 1 __ 3 c. 1 __ 3

51.a. 12 y 24 b. 40 320 c. 72

52.a. 24 b. 80 c. 210 d. 12

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a. Solución a cargo del alumno.b. Cantidad de materias. Cuantitativa.c. Población.d. Solución a cargo del alumno.e.

_ x = 1,36; m

e = 0; m

o = 0

f. 34%

54.a. Solución a cargo del alumno.

b. P(suma = 7) = 1 __ 6

55.720

capitulo 947. números negativos. Orden y representación1.

Por ejemplo, a. –20.

2.Por ejemplo, fila 1: 5 años a. C.



5.a. b, negativo; a y c, positivos.b. b, positivo; a y c, negativos.c. –b

48. adición y sustracción6.

a. –1 d. 7 g. 0 j. –6b. –5 e. 0 h. 2c. –2 f. –2 i. –7

7. a. 3 c. –2 e. –10b. –8 d. –6 f. –12

8.Debe depositar $300. –300 + 300

9.a. x = –3 b. x = 1 c. x = 3

10. Por ejemplo, fila 1: –5; 1; –1; –4; 5.


49. Multiplicación y división11.

a. –6 d. –6 g. 12b. 0 e. 0 h. –6c. 24 f. –40 i. 80

12.Por ejemplo, fila 1: 2; –3; –6; 6; –6.

13.a. –6 c. 17 e. –5b. 6 d. –5 f. 50

14.a. (–2) d. –14 g. 5b. –20 e. (–3) h. 0c. 30 f. –43 i. (–5)

15.a. –600 b. –600 : 3 c. –400



Por ejemplo, a. con 21.

17.Las dos son incorrectas.

18.a. 5 b. –17 c. 16 d. –84

19.Por ejemplo, a. (12 – 3) . 4 – 5 . 2

20.a. –21 b. –14 c. –1



22.a. –3 c. –8 800 m e. –200b. –500 d. 200 f. –300

23.a. –3 c. –5.b. Son iguales. d. Son iguales.

24.a. –4; –2 d. 2; 4b. –5; –3 e. 30; 32c. –501; –499

25.a. Ninguno. b. Dos.


27.a. –137; –120; –36; 0; 7; 34b. –40; –4; –3; 7; 52; 123c. –15; –12; –2; 0; 3; 33; 44; 140

28.a. –8 c. –6 e. –14 g. 0b. 4 d. –3 f. –38 h. –4

29.a. Hay que sumar –a.b. Hay que restar b.c. No, es positivo.

30.a. 62 años. c. 58 años.b. 77 años.

31.a. 22° c. No. Le faltan $200.b. 9 850 m

32.a. 4 cuotas de $130 cada una.b. 780 – 520 = 260.

33.a. 3 . (–3) = –9b. El número es –10.c. Sí, el 0.

34.a. 4 . (–3) = –12b. No. Puede ser 2 . (–6).c. No. El resultado sería positivo.

35.a. 5 d. –2b. –5 e. –24c. 6 f. No es posible.

36.a. < b. = c. > d. <

37.a. 4 c. 64 e. 261b. –3 d. –196

38.No.

39.a. 74 c. 51 e. –62b. –22 d. –99 f. 18

40.a. 12 c. 3 e. –3b. 6 d. –30 f. 18

41.a. 6 c. –1 e. –1b. 4 d. 0 f. 5

42.a. 3 c. –90 e. 5 y 15b. –6 d. –8 y –7

autOevaLuacIón43.

a. –2 b. –300 c. 5

44.–24; –15; 6; 9; 21Solución a cargo del alumno.

45.Por ejemplo, fila 1: –4; –2; 3; 3.

46.a. 12 c. –21 e. –2b. –4 d. –32 f. 3

47.Por ejemplo, a. con 14.

48.a. 15 b. 15 c. –12 d. –38

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