Act 3 Reconocimiento Unidad 1

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA

Código del Curso- Ecuaciones Diferenciales

Act 3: Reconocimiento Unidad 1

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Hasta el momento (semestre 2012-2) el contenido de la primera unidad es el que

sigue:

UNIDAD I. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Capítulo 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.

Lección 1: Fundamentos generales como apoyo a las ecuaciones diferenciales.

Lección 2: Conceptualización de una ecuación diferencial.

Lección 3: Resolución de una ecuación diferencial.

Lección 4: Clasificación de las ecuaciones diferenciales.

Lección 5: Ejercicios propuestos.

Capítulo 2: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN.

Lección 6: Ecuaciones con variables separables.

Lección 7: Ecuaciones Homogéneas.

Lección 8: Ecuaciones exactas.

Lección 9: El factor integrante.

Lección10: Ejercicios Propuestos.

Capítulo 3: CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES LINEALES DE

PRIMER ORDEN.

Lección 11: Trayectorias Ortogonales.

Lección 12: Los campos de fuerza. Una aplicación de las Ecuaciones

diferenciales.

Lección 13: Aplicaciones de familias de curvas y trayectorias ortogonales.

Lección 14: Otras aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.

Lección 15: Ejercicios Propuestos.

ECUACIONES DIFERENCIALES1

Definición 1. Ecuación diferencial: Es una relación de igualdad entre una función,

una o varias de sus derivadas y otras funciones conocidas en función de la

variable independiente; en otras palabras es una ecuación donde puede figurar:

una función (función incógnita, casi siempre y), algunas de sus derivadas, y otras

expresiones en función de la variable independiente (casi siempre x).

1 Este texto lo elaboró el docente Pablo Pinto Avellaneda, vinculado en la sede José Acevedo y

Gómez - Bogotá.




2

En nuestro curso de Cálculo Diferencial teníamos una función y = f(x) y

aprendimos algunas técnicas para encontrar su derivada y’ = f’(x).

Ejemplo 1. Si xSeny , supimos que xCosy .

Nótese que ésta última es una Ecuación Diferencial (revisa la definición 1),

tenemos una relación de igualdad entre una función o variable dependiente (en

esta expresión no aparece la función y, pero no es necesario), una o varias de sus

derivadas (la primera derivada de y) y otras funciones conocidas en función de la

variable independiente x (en este caso Cos(x)).

Entonces ya estamos familiarizados con las Ecuaciones Diferenciales, todas las

expresiones que encontramos al derivar lo son.

Ejemplo 2. Si

3xey , sabemos que

323 xexy o lo que es lo mismo yxy 23 (Ojo, esto es importante,

en la segunda ecuación sólo hemos reemplazado el factor exponencial por y pues

son iguales).

Estas dos últimas son Ecuaciones Diferenciales.

Otros ejemplos:

yxdx

dy 4 Esta es otra Ecuación Diferencial que nos dice que la primera

derivada de la función y es igual a la cuarta potencia de la variable dependiente multiplicada por la función misma (aquí aún no podemos saber quién es esa función).

xyLnyy 2 Es una Ecuación Diferencial que nos dice que la segunda

derivada de la función disminuida en el doble de la primera derivada de la función es igual al producto entre la función y el logaritmo natural de la variable dependiente.




3

La notación (escritura) de una Ecuación Diferencial es:

0,,,,,, nyyyyyxF . Recuérdese lo dicho en nuestro repaso (1).

Esta notación nos dice que una Ecuación Diferencial es una relación de igualdad

en donde pueden aparecer la variable independiente, la variable dependiente y al

menos una de sus derivadas.

Otro ejemplo:

yy Esta es otra Ecuación Diferencial que nos dice que la primera

derivada de la función y es igual a su derivada. ¿Puedes recordar cuál es esa función?

Observa que en ella no aparece la variable independiente (no es necesario), lo

importante es que en ésta aparezca al menos una derivada de la variable

dependiente.

En el estudio de las ecuaciones diferenciales la variable de estudio es la función y,

a diferencia de lo que anteriormente hacíamos en donde dada una

ecuación 0xf , se tenía como variable de estudio a x.

Ahora en el estudio de las ecuaciones Diferenciales se tiene por ejemplo:

15 ydt

dy Aquí la función incógnita o variable dependiente es y

y la variable independiente es t.

CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden, grado y linealidad,

así:

a) Según su tipo: Las ecuaciones diferenciales pueden ser Ordinarias (cuando la variable dependiente sólo depende de una variable independiente) o Parciales (cuando la variable dependiente depende de dos o más variables independientes).




4

1. xSenyyye x 3 Es una ecuación diferencial

Ordinaria.

2. 0

z

y

x

y Es una ecuación diferencial Parcial

Obsérvese la notación: Cuando la función incógnita y depende de más de una

variable independiente, en la notación para las derivadas utilizamos la letra griega

en vez de la d en las diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales parciales son muy importantes, pero su estudio exige

una buena base en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Por ello en

este curso limitaremos nuestra atención a las ecuaciones diferenciales ordinarias

(de aquí en adelante EDO´s).

3. 0322

2

xCosdx

dyx

dx

yd Es una ecuación diferencial

Ordinaria.

b) Según su orden: El orden de una ecuación diferencial es la derivada de mayor orden que figura en dicha ecuación.

4. x

Sen

z

y

x

y

2

2

Es una ecuación diferencial parcial de Segundo

Orden.

5. 04 dx

dyxxy Es una ecuación diferencial ordinaria de Primer

Orden.

6. xyey x 2 Es una ecuación diferencial ordinaria de Tercer

Orden.




5

7.

22

2

4

43 xSen

dx

yd

dx

ydx Es una ecuación diferencial ordinaria de

Cuarto. Orden.

8. 0tg32

53

2

2

xC

dx

dyx

dx

yd Es una ecuación diferencial

ordinaria de Segundo Orden.

9. 03 3 xeyyyx Es una ecuación diferencial ordinaria de

Tercer Orden.

En conclusión. Llamamos ecuación diferencial (ED) a una ecuación que relaciona una función (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas. Si la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO); y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes se llama ecuación en derivadas parciales (EDP).

c) Según su grado: El grado de una ecuación diferencial es el exponente de la derivada de mayor orden, luego de expresar la ecuación de forma que la variable dependiente (y) o sus derivadas no queden incluidas en radicales o denominadores.

10.

x

ySen

x

yx

x

y

2

2

23

3 Es una ecuación diferencial parcial de

segundo orden y de Grado Dos.

11. xyxyy 345

3 Es una ecuación diferencial ordinaria de

tercer orden y Grado Tres.

d) Según su estructura de linealidad:

Una ecuación diferencial es lineal si la variable dependiente y sus derivadas son a los más de grado uno (1), y no se hallan en productos, además si la variable dependiente no aparece como argumento de funciones




6

trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, ni radicales (en general funciones trascendentes, no lineales).

Una ecuación diferencial es no lineal si la variable dependiente y sus derivadas son de grado mayor que uno (1), y/o se hallan en productos, además si la variable dependiente aparece como argumento de funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, ni radicales (en general funciones trascendentes, no lineales).

12. 0 yxey Es una ecuación diferencial no lineal ya que la función

ye es no lineal.

13. 0322

2

xCosdx

dyx

dx

yd Es una ecuación diferencial lineal (el

término Cos(x) no afecta esta característica ya que x es la variable independiente).

14. 22

3

3

5xyxCosdx

yd Es una ecuación diferencial no lineal, debido a

la presencia del factor y2 en el segundo término.

15. xe

x

y

x

y 2

2

2

4

Es una ecuación diferencial parcial lineal.

16. 0122

yxyx Es una ecuación diferencial no lineal,

debido a la presencia de la potencia de y".

17. 03 ySeny Es una ecuación diferencial no lineal ya

que la función Sen(y) es no lineal.

Ejercicio 1: Clasifique según su tipo, orden, grado y linealidad las ecuaciones 1 al

17.




7

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

En el álgebra cuando teníamos una ecuación y al pretender solucionarla lo que se

quería era buscar el (los) valor(es) de la variable independiente x, que satisfacía(n)

dicha ecuación.

Decíamos que 1x y 3x satisfacen o son las soluciones de la ecuación

0342 xx

Es decir que al reemplazar la x en la ecuación por alguno de estos valores (-1 ó -

3) la igualdad se cumple.

El problema al que nos enfrentamos ahora no es el de determinar los valores de la

variable x; más bien, el problema consiste en: si se da una ecuación diferencial

como yxy 23 , hallar de alguna manera una función (o un conjunto de

funciones) xfy que satisfaga dicha ecuación.

En una palabra, se desea resolver o solucionar ecuaciones diferenciales.

Por ejemplo:

i. La función xCosey , es una solución de la ecuación diferencial

0 yxSendx

dy. En efecto si reemplazamos en la EDO la función y su

derivada, recordando que la derivada de xCosey es

xCosexSendx

dy , se obtiene

0 xCosxCos exSenexSen

Mira bien la EDO

dx

dy y




8

ii. La función 2

4

1xy es solución de la ecuación diferencial yy . En

efecto, la derivada de la función es xy2

1 , con lo cual se cumple que

yy

2

4

1

2

1xx

En conclusión. En este curso solucionar una ecuación diferencial es determinar

el conjunto de funciones que satisfacen dicha ecuación diferencial.

Ejercicio 2:

Verifica que la función

x

xSeny es solución de la EDO

02

yyx

y

¿Cuáles de las funciones siguientes son soluciones de la ecuación diferencial

02 yyy ?

a) tey

b) ttey

c) tey

d) tety 2

Verifica si son soluciones de las ecuación diferencial que se dan, las funciones que se indican:

a) 22 yxy

xy

1




9

xCosxSenyxCosy 1 xSeny

Más adelante retomaremos el concepto de Solución de una ecuación diferencial

.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

En esta parte del curso trataremos el tema de las EDO´s de primer orden, es decir

que sólo incluyen a la primera derivada.

IMPORTANTE ¡

Obsérvese que

03 5 xeyyx

03 5 xeydx

dyx

03 5 dxeyxdy x

Son tres formas de escribir la misma ecuación diferencial.

APLICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Aplicaciones a la Biología:

Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde os microrganismos más elementales hasta la misma humanidad sorprende a la imaginación.

Crecimiento Biológico:

Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población.

Problemas de Epidemiología:




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Un problema importante de la biología y de la medicina trata de la ocurrencia, propagación y control de una enfermedad contagiosa, esto es, una enfermedad que puede transmitirse de un individuo a otro. La ciencia que estudia este problema se llama epidemiología K, y si un porcentaje grande no común de una población adquiere la enfermedad, decimos que hay una epidemia.

Los problemas que contemplan la propagación de una enfermedad pueden ser algo complicados; para ello presentar un modelo matemático sencillo para la propagación de una enfermedad, tenemos que asumir que tenemos una población grande pero finita. Supongamos entonces que nos restringimos a los estudiantes de un colegio o universidad grande quienes permanecen en los predios universitarios por un periodo relativamente largo y que no se tiene acceso a otras comunidades. Supondremos que hay solo dos tipos de estudiantes, unos que tienen la enfermedad contagiosa, llamados infectados, y otros que no tienen la enfermedad, esto es, no infectado, pero que son capaces de adquirirla al primer contacto con un estudiante infectado. Deseamos obtener una formula para el numero de estudiantes infectados en cualquier tiempo, dado que inicialmente hay un numero especificado de estudiantes infectados.

Aplicaciones a la Economía:

En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra muchos factores impredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas, la formulación matemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.

Bibliografia

Edwards J, P. D. (1986). Ecuaciones Diferenciales elementales con aplicaciones.

Mexico: Calypso S.A.

SHEPLEY, R. (1979). Ecuaciones Diferenciales. Barcelona: Reverté S.A.

Simmons, G. F. (1993). ECUACIONES DIFERENCIALES, Con aplicaciones y

notas historicas. Mexico: McGrawHill.

ZILL, D. G. (1997). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado.

Mexico: Thomson Editores.

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