¿Qué es la demostración?

Juan Carlos Ponce Campuzanoponcecampuzanocarlos@gmail.com

Facultad de Ciencias de la EducaciónUniversidad de Colima

24 de agosto de 2013

1

La demostración es un ídolo ante el cual el matemático setortura a sí mismo.

Sir Arthur Stanley Eddington

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Índice

1. La necesidad de demostrar 7

2. Demostración matemática 8

3. El método axiomático 9

4. Conjeturas 10

4.1. Conjetura de Golbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2. Conjetura de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5. Tipos de demostración 12

5.1. Demostración por contradicción o reducción al absurdo . . . . . . . . . . . . 12

5.2. Demostración por inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.3. Demostración con ejemplos y contra-ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6. Fundamentación de la matemática a través de la demostración 16

7. Comentarios finales 18

Apéndice 19

8. Demostración geométrica 21

Referencias 25

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1. La necesidad de demostrar

Observa los siguientes triángulos:

Figura 1:

En cada uno de ellos se han medido sus ángulos internos. Si realizas las operaciones podrásverificar que se cumplen las ecuaciones que corresponden a cada triángulo. Es decir, observaque α = 38.07◦, β = 58.18◦ y γ = 83.75◦. Entonces

α + β + γ = 38.07◦ + 58.18◦ + 83.75◦ = 180◦

Lo mismo sucede con las demás ecuaciones (¿Será cierto? Verifícalo). Con base en lo anteriorpodemos afirmar que:

La suma de los ángulos internos de un triángulos es igual a 180◦.

Es posible trazar triángulos diferentes a los que se muestran en la Figura 1 con la finalidadde medir los ángulos internos y verificar nuevamente la afirmación anterior. Sin embargo, essuficiente hacer una cantidad finita de casos para convencernos de manera empírica de talhecho, el cual podemos llamar Teorema.

Teorema 1.1. La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180◦.

El resultado anterior se puede sustentar por la evidencia empírica que hemos obtenido almedir los ángulos internos y sumarlos posteriormente. Esta es una estrategia para justificarnuestro Teorema y difícilmente encontraremos un ejemplo que lo contradiga. En este puntosurge la pregunta:

¿Tendríamos que verificar este Teorema para todos y cadauno de los posibles triángulos que se pueden dibujar?

7

La respuesta es no. En matemáticas es posible realizar una comprobación que no dependade la evidencia empírica. Este tipo de comprobación la podemos llamar demostraciónmatemática o formal o simplemente demostración.

2. Demostración matemática

En la antigüedad, la evidencia empírica era suficiente para demostrar un hecho. Podemosutilizar la palabra Justificación para referirnos a una comprobación con base en la evidenciaempírica. Actualmente, la justificación sigue siendo parte de la vida cotidiana en las pequeñaso grandes sociedades, sin embargo, con el desarrollo de las ciencias y en particular de lasmatemáticas, la justificación de algún hecho ha evolucionado en términos de la comprobaciónaxiomática que ha dado lugar a la Demostración matemática. Como ejemplo, veamos acontinuación una demostración del Teorema 1.1:

Sea ABC un triángulo cualquiera con ángulos internos α, β y γ, como se muestra en laFigura:

Figura 2:

Tracemos una recta l que pase por el vértice B, paralela al lado AC, y prolonguemos loslados de los triángulos (Figura 3).

Consideremos los ángulos δ y ε como se muestra en la Figura 3, que junto con el ángulo βforman un ángulo llano, es decir, un ángulo de 180◦. De esta manera, tenemos que

δ + β + ε = 180◦

Ahora, dado que la recta l es paralela al lado AC, entonces los ángulos α y δ son iguales, porser ángulos alternos internos. Lo mismo sucede con los ángulos γ y ε (Figura 3). En otraspalabras α = δ y γ = ε.

De lo anterior podemos deducir que

α + β + γ = 180◦

8

Figura 3:

Por lo tanto, hemos demostrado que la suma de los ángulos internos de un triángulo cual-quiera es igual a 180◦.

Este tipo de demostración se debe principalmente a los griegos (siglo VII a. C.) y su mayorexpositor es el famoso Euclides con su libro Los Elementos1 [6].

Los griegos consideraron a las matemáticas como un cuerpo de conocimiento absoluto endonde los hechos matemáticos se establecían para cada caso sin excepción. La verdad de unhecho matemático debía establecerse, o comprobarse, no sólo por medio de la observaciónprecisa o por la evidencia empírica. Los griegos tenían que evitar una situación en la que lavalidez de los resultados dependía de la experiencia, la intuición o suposiciones implícitas decualquier individuo. La Geometría, por ejemplo, debía basarse en un número relativamentepequeño de los proposiciones fundamentales (conocidos como axiomas) que pueden ser fá-cilmente aceptados y todas las demás proposiciones deben ser demostradas a partir de estosaxiomas mediante la aplicación de las leyes del razonamiento lógico.

El enfoque axiomático de Euclides no sólo es de importancia histórica. Se convirtió en la ideacentral de las matemáticas que se desarrollaron posteriormente e incluso en las matemáticasactuales. Las estructuras matemáticas modernas se describen a menudo a través del métodoaxiomático.

3. El método axiomático

El método axiomático, en su forma actual, consiste en realizar ciertas afirmaciones básicasacerca de un grupo de conceptos matemáticos, usando algunos términos técnicos indefinidos oconceptos primitivos y algunos términos de la lógica clásica. Por regla general no se describenlas significaciones de los términos lógicos, ni se formulan reglas acerca de su uso, ni los

1Para ver otro ejemplo de demostración Euclidiana, ver Apéndice 8.

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métodos disponibles para demostrar los teoremas.

Las afirmaciones básicas se llaman axiomas o postulados, éstos describen relaciones entre lasentidades indefinidas y las propiedades que las caracterizan. Los postulados o axiomas sonproposiciones no definitorias ni demostradas.

Dentro de un sistema axiomático se supone que pueden emplearse las reglas de la lógicaclásica sobre la contradicción y el Principio del tercero excluido2 para demostrar teoremas apartir de los axiomas.

Una vez que se han establecido los términos técnicos indefinidos y los postulados, la teoríaentera se encuentra determinada; en el sentido de que toda ella se puede derivar de lospostulados, es decir, todo término de la teoría es definible a partir de los términos indefinidos,y toda proposición de la teoría es deducible, mediante argumentos lógicos, de los postulados.

Lo anterior significa que una vez formulados los postulados de una teoría, cualquier otraproposición de la teoría tiene que demostrarse exclusivamente por deducción lógica a partirde los postulados.

El carácter deductivo de la demostración matemática es la base de la certeza matemática,la demostración rigurosa de un teorema establece una comprensión condicional de que laproposición es verdadera siempre que sean verdaderos los postulados; la demostración de unaproposición matemática significa que la proposición se deriva lógicamente de los postuladosde la teoría. Una verdad matemática es irrefutablemente cierta porque carece de contenidoempírico o factual.

Una vez formulado un sistema de axiomas y de conceptos indefinidos, se procede a observarqué afirmaciones quedan implicadas, o pueden demostrarse o deducirse a partir del sistema.

Una característica necesaria de un sistema axiomático es su consistencia, es decir, que losaxiomas de un mismo sistema no se contradigan unos a otros. También es importante, perono necesario, que los axiomas sean independientes, esto es, que un postulado de un siste-ma axiomático no pueda deducirse del resto de los postulados del sistema. Jean Cavaillèsmenciona además otra característica de un sistema axiomático, esta es, la saturación: “unsistema es saturado si la adjunción de todo nuevo axioma, independiente de los precedentes,hace que el sistema sea contradictorio” ([4] p. 80).

4. Conjeturas

A pesar de que la demostración ha formado parte esencial en el desarrollo de las matemáticas,los matemáticos algunas veces suelen tomar por verdadera una proposición (o afirmación)

2El principio del tercero excluido, propuesto y formalizado por Aristóteles, también llamado principio deltercero excluso o en latín principium tertii exclusi, es un principio de lógica clásica según el cual la disyunciónde una proposición y su negación es siempre verdadera.

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que no ha sido demostrada. Cuando una proposición no ha sido demostrada formalmente,se le denomina comúnmente Conjetura.

Las conjeturas a menudo desempeñan un papel importante en el desarrollo de las matemá-ticas. Pueden surgir de la experimentación y observación que realizan los matemáticos endistintos contextos, tal y como lo hacen otros científicos. En ese caso, la conjetura forma partede la naturaleza de una generalización. Los matemáticos pueden considerar una afirmacióncomo verdadera para todos los casos porque han visto que es consistente para muchos casosy nunca han encontrado un caso para el cual no es cierto.

Las conjeturas a veces resultan ser ciertas y otras veces se ha demostrado su falsedad. Perohay algunas conjeturas bien conocidas que se han resistido a los esfuerzos de los matemáticospara demostrarlas o incluso no se ha encontrado un argumento lógico formal para refutarlas.Un ejemplo de ello es la famosa conjetura de Goldbach.

4.1. Conjetura de Golbach

En 1742 el matemático prusiano Christian Goldbach (1690-1764) escribió una carta al mate-mático suizo Leonhard Euler (1707-1783), comentando que “todo entero n mayor que 2 es lasuma de dos números primos.” Euler estaba convencido de la veracidad de esta afirmación,aunque no fue capaz de demostrarla.

Conjetura de Golbach: Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dosnúmeros primos.

Algunos ejemplos de la anterior conjetura son: 2 + 2 = 4, 5 + 3 = 8, 11 + 3 = 14, 7 + 3 = 10.

Han pasado ya poco más de 270 años y nadie ha resulto esta conjetura. No se ha podidodemostrar su validez ni su falsedad. Aunque existen algunas esperanzas pues actualmenteexisten matemáticos profesionales enfocados en demostrar la conjetura, tal es el caso delperuano Harald Andrés Helfgott quien, recientemente, hizo pública3 una demostración de laconjetura débil de Goldbach a mediados de Mayo 2013:

Conjetura débil de Golbach: Todo número impar mayor que 5 puede expresarse comosuma de tres números primos.

Se puede tener acceso a la demostración de Helfgott en el sitio arXiv4. Actualmente seencuentra en revisión por expertos matemáticos.

3Para mayores detalles al respecto consultar: [10],[11].4Sitio auspiciado por la Universidad Cornell y por la National Science Foundation. Básicamente, es un ar-

chivo para borradores electrónicos de artículos científicos en el campo de las matemáticas, física, informática,biología cuantitativa, entre otros temas: http://arxiv.org/

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4.2. Conjetura de Fermat

En 1637, Pierre de Fermat (1601-1665) conjeturó que:

Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadra-dos, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potenciasdel mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable,pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla.

Se puede parafrasear lo anterior en lenguaje matemático moderno:

Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros x, yy z, tales que se cumpla la igualdad:

xn + yn + zn.

Actualmente ha dejado de ser una conjetura porque, en 1995, el matemático inglés AndrewWiles demostró que efectivamente era cierto lo que Fermat había conjeturado. Hoy en día sele conoce como el Último Teorema de Fermat, o Teorema de Fermat-Wiles, y es uno de losteoremas más famosos en la historia de la matemática.

Wiles, en un artículo de 98 páginas publicado en Annals of mathematics5, demostró elcaso semiestable del Teorema de Taniyama-Shimura, anteriormente una conjetura, queengarza las formas modulares y las curvas elípticas. De este trabajo, combinado con las ideasdel matemático alemán Gerhard Frey y con el Teorema de Ribet, se desprende la demostracióndel Último Teorema de Fermat6 [14].

5. Tipos de demostración

Hay técnicas bien establecidas para la construcción de una demostración. La más comúnes un argumento directo que comienza con una lista de hechos e hipótesis aceptadas paraproseguir después con el uso de la regla lógica conocida como modus ponens para llegar a laconclusión deseada. Sin embargo, hay otros tipos que son de uso frecuente.

5.1. Demostración por contradicción o reducción al absurdo

Este tipo de argumento, a menudo llamado indirecto se basa en la regla lógica modus tollens oreductio ad absurdum. Supongamos que queremos demostrar que A implica B. Comenzamos

5Actualmente se puede consultar en línea el trabajo de Wiles: http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf

6Consultar [1] para una reseña histórica y análisis de la demostración de Wiles.

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la discusión al afirmar que B no es cierto y luego vamos a mostrar que A o alguna otrahipótesis conocida debe fallar. Un ejemplo clásico es el siguiente:

Ejemplo:√

2 es irracional.

Como bien sabemos existen diferentes tipos de números o conjuntos de números. Tenemospor ejemplo, los números naturales N, enteros Z, racionales Q, irracionales I. Todos, enconjunto, se denominan números reales y se expresan con el símbolo R.

En particular, un número irracional es un número que no puede ser expresado como unafracción a

b, donde a y b son enteros, con b diferente de cero, y donde esta fracción es irreducible.

Algunos ejemplos de este tipo de números son:

Las raíces cuadradas de números primos:√

2,√

3,√

5, etc.

La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro: π ≈ 3.1415 . . ..

La constante de Euler: e ≈ 2.7182 . . .

Regresando a nuestro ejemplo, la proposición que deseamos demostrar es la siguiente:

Proposición.√

2 es irracional7.

Como podemos apreciar, la proposición anterior no tiene la forma A implica B (A ⇒ B),pero es posible establecerla de esta manera. Esto es,

Proposición. Si x es un número real tal que x2 = 2, entonces x =√

2 es irracional.

Demostración. Para demostrar que x =√

2 es irracional, procederemos de tal manera queen el proceso encontraremos alguna contradicción.

Supongamos que x =√

2 no es irracional. Es decir, x =√

2 es racional. Entonces supongamosque x =

√2 puede ser escrito como una fracción irreducible, es decir, se puede escribir de la

siguiente forma x =√

2 = pq, donde p y q son enteros cuyo máximo común divisor es 1. De

aquí deducimos lo siguiente

2 =

(p

q

)2

2q2 = p2

Entonces, dado que 2q2 = p2, se tiene que p y q deben ser pares, lo cual contradice nuestrasuposición del máximo común divisor entre p y q.

7Otra forma equivalente es:√

2 no es racional.

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5.2. Demostración por inducción

Para demostrar que algunos resultados son válidos para todo conjunto de números naturalesn, en una demostración por inducción se verifica primero el resultado para el valor máspequeño de n. Posteriormente, a partir de un valor fijo n, se demuestra su verdad para elvalor superior inmediato. Esto se puede comparar con subir una escalera peldaño a peldaño.En primer lugar, uno se debe asegurar que se encuentra en el escalón más bajo, y luegocomprobar que no importa qué peldaño hemos alcanzado, siempre se puede llegar al siguiente.

Ejemplo:

Proposición. Para cada n natural se cumple que

1 + 3 + . . . + (2n + 1) = n2.

Demostración. Dado que 12 = 1, el resultado se cumple claramente por el valor máspequeño de n, el cual es 1. Si aceptamos este resultado para n = m, entonces, cuandon = m + 1, el lado izquierdo se convierte en

1 + 3 + . . . + (2m− 1) + (2(m + 1)− 1) = m2 + (2m + 1) = (m + 1)2,

lo cual da el resultado deseado cuando n se remplaza por m + 1.

5.3. Demostración con ejemplos y contra-ejemplos

Por lo general, los matemáticos hacen conjeturas y tratan de demostrar si son ciertas ofalsas. La comprobación de conjeturas puede ser por medio de casos concretos, por ejemplo,consideremos la siguiente fórmula

P (n) = n2 + n + 41 (1)

Si sustituimos valores enteros positivos en la fórmula, podemos observar que obtenemosnúmeros primos. Los números primos para n = 0, 1, 2, 3 . . . son 41, 43, 47, 53 . . . Entonces,podríamos conjeturar que:

Conjetura. Para todo número entero positivo, la fórmula (1) produce un número primo.

Sin embargo, la fórmula (1) funciona solo para valores de n desde 0, 1, 2, . . . hasta 39. En elcaso de n = 40 se produce un número cuadrado. Es decir

P (40) = 402 + 40 + 41 = 1681 = 412

De esta manera, con un ejemplo específico hemos demostrado que la fórmula (1) no da unnúmero primo para todo n. Por lo tanto, nuestra conjetura es falsa.

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De hecho, se sabe que no existe una función polinómica no constante f(n) que evalúe númerosprimos para todos los enteros positivos n. Esto se puede establecer como un teorema:

Teorema 5.1 ([9], p. 186). No existe un polinomio f(n) no constante, con coeficientesenteros, tal que tome valores primos para todos los enteros positivos n.

Demostración. Supongamos que existe dicho polinomio. Sea

f(n) = aknk + ak−1n

k−1 + . . . + a1n + a0

un polinomio tal que ak 6= 0 para todo k = 0, 1, 2, 3, . . . el cual toma valores primos paratodos los enteros positivos n.

Entonces f(0) = a0 es un número primo y f(ta0) también lo es para todos los valores posiblesde t = 1, 2, 3, . . . Pero

f(ta0) = aktkak

0 + ak−1tk−1ak−1

0 + . . . + a1ta0 + a0

De aquí podemos deducir que a0 divide a f(ta0) para toda t. Dado que f(ta0) es primo,necesariamente

f(ta0) = a0

para toda t = 1, 2, 3, . . .

De esta manera, el polinomio f(n) toma el valor a0 infinitas veces y por lo tanto f(n) debe serconstante. Esto es un contradicción. Por lo tanto, no existe un polinomio f(n) no constante,con coeficientes enteros, tal que tome valores primos para todos los enteros positivos n.8

Consideremos ahora la siguiente conjetura:

Conjetura. Cada fracción 4n, donde n es un entero positivo mayor que 2, se puede escribir

como la suma de tres enteros recíprocos y distintos 1a

+ 1b

+ 1c, donde a y b y c son enteros

positivos diferentes entre sí.

Un ejemplo en particular de la conjetura anterior es

1

8+

1

20+

1

40=

1

5.

Este ejemplo valida la conjetura para el caso de n = 5. Es posible comprobar una cantidadmuy grande de casos específicos, pero en este caso nadie ha encontrado un argumento generalque aplique a todos los casos de n. Para demostrar que es falsa esta conjetura, solamentese debe encontrar un caso en particular de n en el cual una representación que deseamos esimposible (¿Podrías encontrar un ejemplo para el cual no se cumpla la conjetura?).

Como último ejemplo, observemos que los números 31, 331, 3331 son primos y podríamosconjeturar que cualquier número, que se forman por dígitos de 3 con excepción del último, son

8Este es otro ejemplo de demostración por contradicción.

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primos. Sin embargo, para demostrar que esto es falso podemos usar el ejemplo 333333331,el cual es un número compuesto pues

333333331 = 17× 19607843.

6. Fundamentación de la matemática a través de la de-mostración

Claramente, la demostración es el proceso central en un sistema axiomático y es centralen las diferentes teorías matemáticas, e incluso en la práctica. El enfoque axiomático fueadoptado por Euclides y se ha convertido en un paradigma fundamental de las matemáticas.

Sin embargo, la demostración no sólo es un proceso para validar una nueva verdad mate-mática en general, incluso va más allá de los confines de un sistema axiomático. Debido aque es un procedimiento y no un resultado, una demostración puede ser válida en sí misma,incluso si se parte de premisas falsas o inválidas. Normalmente, por supuesto, una demostra-ción comienza con proposiciones verdaderas conocidas verdaderas y culmina con una nuevaproposición que, una vez demostrada, se convierte en un teorema y representa nuevos cono-cimientos matemáticos.

Aquí surge otra pregunta:

¿Es necesario demostrar formalmente cualquier hecho matemático?

La respuesta es negativa. Es cierto que la demostración es esencial en matemáticas, peroincluso algunos matemáticos profesionales aceptan hechos matemáticos sin demostrar [3].

Han existido diversos intentos por sistematizar las matemáticas y las leyes que las gobiernan.Uno de los primeros en realizar esta labor fue Euclides, el cual, como ya se mencionó antes,intentó derivar todas las reglas de la geometría a partir de axiomas básicos. Posteriormente,filósofos y matemáticos como René Descartes, Immanuel Kant, Frank Boole, Gottlob Fregey Giuseppe Peano intentaron hacer lo mismo con otras ramas de las matemáticas.

Los matemáticos ingleses Bertrand Russell y Albert North Withehead trabajaron conjunta-mente para tratar de re-elaborar todas las matemáticas a partir de unos cuantos principiosbásicos, tal como había hecho Euclides dos mil años atrás, en lo que ellos denominaron “teoríade los tipos”. Como resultado de este método publicaron, entre 1903 y 1910, un tratado mo-numental, titulado Principia Mathematica (Principios Matemáticos). Desafortunadamente,la obra era tan vasta y compleja que nadie quedó convencido de que a partir de sus postu-lados podrían derivarse todas las demostraciones posibles sin caer jamás en contradicciones(ver Figura 4).

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Todo el esfuerzo intelectual de filósofos y matemáticos por establecer que era posible demos-trar formalmente cualquier hecho matemático se vio mermado cuando, en 1931, apareció unpersonaje que acabaría con los sueños de aquellos que consideraban a las matemáticas comoun cuerpo de conocimientos absoluto e infalible.

Figura 4: Principia Mathematica: Suma aritmética de cardinales, página 77.

El matemático austriaco Kurt Gödel demostró que no era posible demostrarlo todo en ma-temáticas. En contra de lo que pensaban la mayoría de los especialistas: Las matemáticasson incompletas. Para ser más precisos, Gödel demostró que en los Principia Mathe-matica podía existir una proposición que al mismo tiempo fuese verdadera e indemostrable.Esto ocurriría con cualquier sistema axiomático, con cualquier tipo de matemáticas existente

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ahora o que pudiera existir en el futuro.

Godël, en 1931, publicó un artículo titulado Über formal unentscheidbare Sätze der PrincipiaMathematica und verwandter Systeme. (Una traducción al español sería: Acerca de la propo-siciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas relacionados) enla revista alemana Monatshefte für Mathematik und Physik. El teorema principal de dichoartículo es el siguiente:

Teorema de Gödel [7]:A cada clase k w-consistente y recursiva de formulae corresponden signos de claser recursivos, de modo que ni v Gen r ni Neg (v Gen r) pertenecen a Flg(k)(donde v es la variante libre de r).

Cabe mencionar que Gödel publicó su teorema originalmente en alemán y quizá parece quesigue estando en ese idioma. Una versión más inteligible es la siguiente:

Toda formulación axiomática de teoría de los números incluye proposiciones in-decidibles.

Básicamente, Gödel se estableció que en cualquier sistema (en cualquier ciencia, en cualquierlengua, en cualquier mente) existen aseveraciones que son ciertas pero que no pueden sercomprobadas.

7. Comentarios finales

La demostración en matemáticas es esencial para la construcción del conocimiento matemá-tico. Básicamente, ha permitido establecer hechos generales que trascienden la experiencia ypercepción humana. Las demostraciones matemáticas pueden considerarse como portadoresde conocimiento [13], las cuales permiten el desarrollo ulterior de ideas, conceptos e inclusoteorías.

En la actualidad, la tecnología computacional es una componente que no puede pasar inad-vertida. Con el desarrollo de las computadoras, la demostración en matemáticas ha sufridocambios drásticos. La ventaja con las computadoras es que son capaces de realizar una can-tidad extensa de operaciones en un tiempo considerablemente corto. Así que, para el casode problemas matemáticos donde se pueden utilizar métodos discretos, es posible establecerdemostraciones en este contexto. ¿Será posible que una computadora pueda realizar unademostración matemática como lo hace un matemático experto? Si eso es posible, ¿seránaceptables dichas demostraciones en el futuro? Sin duda, la naturaleza de la demostraciónseguirá evolucionando, pues existe una componente social que interviene sobremanera sudesarrollo.

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Apéndice

Proofs rather than the statement-form of theoremsare the bearers of mathematical knowledge.

Yehuda Rav [13]

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8. Demostración geométrica

Proposición 11, Libro I: Trazar una línea recta que forme ángulos rectos con una rectadada, desde un punto dado en ella.

Antes de proceder con la demostración de Euclides, mencionaré algunos de los resultadosprevios que él utiliza:

Definición 10: Cuando una recta levantada sobre otra recta forma ángulos adyacentesiguales entre sí, cada uno de los ángulos es recto y la recta levantada se llama perpendiculara aquella sobre la que está.

Proposición 1, Libro I: Construir un triángulo equilátero sobre una recta finita dada.

Proposición 3, Libro I: Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta igual ala menor.

Proposición 8, Libro I: Si dos triángulos tienen dos lados del uno iguales respectivamentea dos lados del otro y tienen también iguales sus bases respectivas, también tendrán igualeslos ángulos comprendidos por las rectas iguales.

Con base en lo anterior, podemos proceder con la demostración de Euclides.

Demostración.

Sea AB la recta dada y sea C un punto cualquiera en AB. Así pues, hay que trazar unalínea recta que forme ángulos rectos con la recta AB desde C.

Figura 5:

Tómese un punto D al azar entre AC y hagamos CE igual a CD [Proposición 3, Libro I].

Figura 6:

Sobre DE, construir un triángulo equilátero DFE [Proposición 1, Libro I] y finalmentetracemos CF .

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Figura 7:

Euclides afirma que CF es perpendicular a AB. Y lo demuestra de la siguiente manera:

Consideremos los triángulos DCF y ECF . Por hipótesis, DC es igual a CE y además CFes un lado común. Por lo tanto, los ángulos DCF y ECF son iguales [Proposición 8, LibroI]; y además son adyacentes.

Figura 8:

Cuando la recta CF se levanta sobre otra recta (AB) y hace los ángulos adyacentes igualesentre sí, entonces cada uno de los ángulos es recto [Definición 10]. Por lo tanto, cada uno delos ángulos DCF y ECF es recto.

Por consiguiente, ha sido trazada la línea CF que forma ángulos rectos con la recta dadaAB, desde el punto C en ella.

Comentarios

La demostración de Euclides es suficiente para sus propósitos. Es posible extender el resultadode tal manera que el punto C esté en cualquier parte de la recta AB (aunque para ser másprecisos, ésta recta es un segmento) y el punto D no necesariamente esté entre A y C.

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La idea es realizar una extensión del segmento AB para que se considere una recta cualquieraque pase por los puntos A y B. Sobre esta recta se puede construir un triángulo equiláterocualquiera, cuyos vértices están definidos sobre la recta definida por los puntos A y B (verFigura 9).

Figura 9:

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Referencias

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[2] Bloch, E. D. (2011). Proofs and fundamentals: a first course un abstract mathematics.Springer Science+Business Media. New York.

[3] Brown, J. R. (2008). Philosophy of Mathematics: A Contemporary Introduction to theWorld of Proofs and Pictures. 2d. ed. Taylor & Francis Group. New York. 16

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[5] Devlin, K. (1994). Mathematics: The science of patterns. New York: Scientific AmericanLibrary.

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[7] Gödel. K. (1992). On formally undecidable propositions of Principia Mathematica andrelated systems. Dover Publications. New York. 18

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[10] Helfgot, H. A. (2013) Minor arcs for Goldbach’s Problem. Available as: http://arxiv.org/abs/1205.5252 11

[11] Helfgot, H. A. (2013a) Major arcs for Goldbach’s Problem. Available as: http://arxiv.org/abs/1305.2897 11

[12] Kline, M. (1972). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. New York.Oxford University Press

[13] Rav, Y. (1999). Why do we prove theorems? Philosophia Mathematica, 7(1), 5-41. 18,19

[14] Wiles, A. &, Taylor, R. (1995). Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem.Annals of Mathematics 3 (142). p. 443-551. 12

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