Acap 2 Conceptos Basicos de Algebra

7/31/2019 Acap 2 Conceptos Basicos de Algebra

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CAPTULO 2CONCEPTOSBSICOSDELGEBRA

al-Khwarizmi

Matemtico rabe, conocido como elpadre del lgebra.

Sus obras incursionan en las ramas de las ma-temticas, astrologa, astronoma, geografa ehistoria. Una de sus obras importantes por sucontenido algebraico es la que lleva por ttulo

Hisab al-gabr walmuqqabala, considerada uno de los primeros libros delgebra.

Es el autor de uno de los mtodos geomtricos ms antiguos para resolverecuaciones de segundo grado, el cual se conoce como completar cuadrado.

En las ecuaciones llamaba cosa (xayen castellano) a la incgnita, a lse debe que se utilice la letra x para representarla.

Sello ruso dedicado a al-Khwarizmi(780-850 d.C.)

ReseaHISTRICA


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Eje

mplosEJEMPLOS

lgebra

Rama de las matemticas que trata a las cantidades de manera general.

Expresiones algebraicas

Se conoce as a la combinacin de nmeros reales (constantes) y literales o letras (variables) que representan cantidades,mediante operaciones de suma, resta, multiplicacin, divisin, potenciacin, etctera.

Ejemplos

3a+ 2b 5, en esta expresin son constantes 3, 2, 5 y las variables son a y b.(z2+ 8)(5z4 7), en esta expresin son constantes 8, 5 y 7, variable z y 2, 4 exponentes.

Trmino algebraico. Es un sumando de una expresin algebraica y representa una cantidad. A todo trmino algebraicose le denomina monomio y consta de: coeficiente, base(s) y exponente(s).

Ejemplos

Trmino Coeficiente Base(s) Exponente(s)

8 3y 8 y 3

13

mnx 1

3m, n 1,x

+( )34

2 1 2x 34

2x+ 1 2

Trminos semejantes. Dos o ms trminos son semejantes cuando los mismos exponentes afectan a las mismas bases.

Ejemplos

Los siguientes trminos tienen las mismas bases con sus respectivos exponentes iguales, por lo consiguiente sonsemejantes.

7b con 4b

8x2

y

3

con 7x2

y

3

1

6abc2

con abc2

Reduccin de trminos semejantes

Para simplificar expresiones que involucren trminos semejantes, se suman o restan los coeficientes.

1 Simplifica la expresin 7a+ 3a.

SolucinSe agrupan los coeficientes y se realiza la operacin que da como resultado:

7a+ 3a= (7 + 3)a=4a

2 Cul es el resultado de simplificar la expresin 6xy2+ 9xy2xy2?

Solucin

Se agrupan los coeficientes y se realiza la operacin para obtener el resultado:

6xy2+ 9xy2xy2= (6 + 9 1)xy2= 2xy2

Por consiguiente, el resultado de la simplificacin es: 2xy2


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3 Reduce la expresin 10x2ayb+ 5x2ayb 6x2ayb+ 11x2ayb.

Solucin

Se efecta el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores y se obtiene:

+ + = + +( )10 5 6 11 10 5 6 112 2 2 2x y x y x y x ya b a b a b a b xx y x ya b a b2 20 0= =

El resultado es igual a 0

4 Simplifica la expresin 7x 3y+ 4z 12x+ 5y+ 2z 8y 3z.

Solucin

Se agrupan los trminos semejantes:

7x 3y+ 4z 12x+ 5y+ 2z 8y 3z= 7x 12x 3y+ 5y 8y+ 4z+ 2z 3z

Se realiza la reduccin:

= (7 12)x+ ( 3 + 5 8)y+ (4 + 2 3)z = 5x 6y+ 3z

Por tanto, el resultado es: 5x 6y+ 3z

5 Simplifica 0 5 3 5 0 75

2

33 3 3 3 3. .a b ab a b ab a b + .

Solucin

Se expresan los decimales en fracciones, se agrupan y simplifican los trminos semejantes.

0 5 3 5 0 7523

12

3 53 3 3 3 3 3 3. .a b ab a b ab a b a b ab + = aa b ab a b3 3 334

23

+

= +12

523

334

3 3 3 3 3a b a b a b ab ab

=

+ +

12

523

334

3 3a b ab

= 31

6

9

4

3 3a b ab

Entonces, el resultado es: 316

94

3 3a b ab

EJERCICIO 20

Simplifica:

1. 3x 8x

2. 6a2b+ 7a2b

3. 6xy2xy2 3xy2

4. 4xy4z3 4xy4z3

5. 2a2b+ 12a2b

6. 3a+ 5a 10a

7. 4x 3x 2x

8. 7ab+ 4ab 3ab


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EjemplosEJEMPLOS

9. 5a2 7a2+ 3a2 2a2

10. m+n+m+n

11. 14

35

16

3 3 3a b a b a b +

12. 3ax+1+ 2ax+1ax+1+ 2ax+1

13. 0.25b 0.4b+ 0.2b

14.1

2

3

23 3 3

ab c ab c ab c

15. 4mx2 10mx2+ 3mx2

16. 8x 3y 9x+ 5y 2x+y

17. 10a 7b+ 4a+ 5b 14a+ 3b

18. 12m+ 3n 4m 10n+ 5mn

19. 12a2b+ 3ab2 8a2b10ab2 3a2b+ 6ab2

20. 9a3b2c 5a2bc2 12a3b2c+ 3a2bc2+ 4a3b2c

21. 3x2+ 2y27 + 10x2 12y2+ 15

22. 81m2 17mn+ 15n2+ 20m2+ 3mn 17n2+ 53m2+18mn+ 7n2

23. x2a+1 3x3a 2 7x2a+1 4x3a2+ 8x2a+ 1+ 12x3a2

24. 3am+5+ 10xm+2+ 2am+5 3xm+2 8am+5

25. + + 5

4

3

2

1

25 3

1

22 2 2

a ab a ab a ab

26. 2

3

1

10

1

2

3

441 2 1 2 1x b x b xm m m m m +

27. 0.5x 2.5y+ 0.4x1

2

2

5

y x

Verifica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente

Valor numrico

El valor numrico de una expresin algebraica se obtiene al sustituir a las literales o letras con sus respectivos valoresnumricos y entonces se realizan las operaciones indicadas.

1 Determina el valor numrico de la expresin:x4y2z3; six= 4,y= 3,z=

12

.

Solucin

Se sustituyen los respectivos valores dex,y,z y se efectan las operaciones indicadas para obtener el valor numricode la expresin:

x y z4 2 34 2

3

4 31

2

256 91

8

2= ( ) ( )

= ( )( )

=

3304

8

288=

Entonces, el resultado es: 288


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2 Cul es el valor numrico de

53

25 3

214

2x xy y

xx y + = =; , ?

Solucin

Al seguir los pasos del ejemplo anterior, se obtiene:

5

3

2

5 3

5 2

3

2 214

5

1

43 2

2 2x xy y

x + =( )

+ ( )

( )

=5 4

3

4

45

1

46

( ) +

=20

3

1

5

1

24 +

=800 24 5

120

781

120

+=

Por tanto, el valor numrico de la expresin es igual a:781

120

3 Encuentra el valor numrico de 3m2

2mn+

n2

p; si m=

3, n=

4,p=

5.Solucin

Se sustituyen los respectivos valores en la expresin y se realizan las operaciones:

3m2 2mn+n2p= 3( 3)2 2( 3)(4) + (4)2( 5) = 3(9) 2( 3)(4) + (16)( 5) = 27 + 24 80

= 29

Por consiguiente, el valor numrico es: 29

EJERCICIO 21

Encuentra el valor numrico de cada una de las siguientes expresiones si:

m= 2, n= 3, p x y z= = = =1

4

1

310

1

2, , ,

1. 2m+n 10. z xm n+

2

2

18. m pn

n xm

+

2. mn+y11. p2+ 2px+x2 19.

8

2

12 2p z

n

x m

z x

+

3. 8p+ 3x

12. m2 3mn+n2 20.m

p zn

n n

32 +4.

2 6z xn

+

13.p

x

y

z + 3 21. (mn)(px)5. 5m 2n+ 3y

14. m n y2 2 22 3 4

+ 22. (6x 2p)(3m2z3)6. x+zp

15.mn

z

mp

x

np

m+ 23.

2 2 2p x

z

m n

p

( )

+7.3 4 9x z

n

+

16.9

382

32 2x z

+ 24. 3(px)m8.m

n

ym

26+ +

17. 23 24

5

p

x

xy + 25.5

2

3 6

4

32 2

m n yp+

+9.

m n

p x

2 2 1+ +

+



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EjemplosEJEMPLOS

12. Diez unidades menos que cinco veces un nmero.

13. La sexta parte de la suma de dos nmeros.

14. La suma de tres nmeros pares consecutivos es igual al triple del menor, ms las tres cuartas partes del mayor.

15. Un nmero de dos cifras, cuyo dgito de las decenas es el doble del de las unidades.

16. La cuarta parte del producto de tres nmeros cualesquiera menos 4.

17. El cuadrado de la suma de dos nmeros es igual a 49.

18. El rea de un cuadrado de ladoxunidades.

19. El permetro de un rectngulo, si se sabe que el largo es tres veces su ancho.

20. El permetro de un tringulo rectngulo, si se sabe que el cateto mayor mide tres unidades ms que el cateto menory que la hipotenusa es dos unidades mayor que el cateto mayor.

21. El precio de un artculo disminuido en su 15%.

22. El exceso de 50 sobre el doble de un nmero.

23. Dos nmeros cuya suma sea 80.

24. Tres nmeros impares consecutivos.

25. El rea de un rectngulo, si se sabe que su largo mide tres unidades menos que el triple de su ancho.

26. La edad de una persona hace 10 aos.

27. El exceso del cubo de un nmero sobre la mitad del mismo.

28. Los ngulos de un tringulo, si el primero es el doble del segundo.

29. La cantidad de alcohol en un recipiente dexlitros de una mezcla si la concentracin de alcohol es 30%.

30. La edad de Alberto si tiene cuatro aos ms que el doble de la edad de Patricia.

31. Las dos terceras partes de un nmero, ms el triple de su consecutivo, menos su recproco equivale a 10.

32. El doble de un nmero equivale al triple de su antecesor excedido en siete.


Dada una expresin algebraica, se representa en lenguaje comn de la siguiente manera:

1 Representa en lenguaje comn la expresin: 3x 8.

Solucin

Primero se expresa la multiplicacin y posteriormente la diferencia.

3x 8 = el triple de un nmero disminuido en ocho

2 Expresa 2x+x2 en lenguaje comn.

Solucin

La expresin queda de la siguiente manera:

2x+x2= la suma del doble de un nmero y su cuadrado

Otra forma de representar en lenguaje comn la misma expresin es:2x+x2= doble de un nmero aumentado en su cuadrado.


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Ejem

plosEJEMPLOS

16. Suma los polinomios5

25

2

3

1

3

3

2

1

42

1

2

32 2 2 2 2x xy y x xy y x xy + + + ; ;44

2y

17. Efecta +

+ + +

16

18

12

13

14

56

2 2 2 2a b ab a b ab+ + +

23

34

56

2 2b ab a

18. Suma los polinomios16

35

18

12

23

14

2 3 2 3 2 3 3 2x y y xy x x y y x xy + ; ;225

3y

19. Efecta x y x y x y2 312

213

+

+

13

52

20. Sumax5y5;1

1034

16

35

56

19

3 2 4 5 4 2 3 5x y xy y x y x y y y ; 2 4; x

25

13

3 2 5x y y

21. 1

2

3

42

1

6

1

2

3

4

1

34 3 2 4 3

x x x x x x +

+ +

+ +

+ +

x x x x2 4 23

41

2

3

1

2

22. Cul es el resultado de sumar (5a3x 2a2x+ 7ax) + ( 2a3x+ 4a2x 6ax)?

23. Suma 3x2a 5x2a 1+ 4x2a 2;x2a+ 4x2a1+x2a 2; 3x2a 7x2a 2;x2a 1+ 3x2a 2

24. Cul es el resultado de sumar38

56

2b b bx x + , + 14

23

2b b bx x y +b bx2 2 ?

25. 13

54

16

23

1 1 2 1 3 1 1 3x x x x xy y y y y

+ + + xx x xy y y1 2 1 1 212

13

+ +


Resta

En esta operacin es importante identificar el minuendo y el sustraendo, para posteriormente realizar la reduccin detrminos semejantes.

1 Realiza la siguiente operacin: 4 2 5 3 5 7a b c a b c ( ) ( ).

Solucin

En este ejemplo 4 2 5a b c representa al minuendo y 3 5 7a b c al sustraendo. Se suprimen los parntesis y seprocede a efectuar la reduccin de trminos semejantes.

4 2 5 3 5 7 4 3 2 5 5 7a b c a b c a a b b c c ( ) ( ) = + +

= + +a b c3 2

Por consiguiente, el resultado de la resta es: + +a b c3 2

2 De 16x2

7x 8 restar 6x2

3x+ 6.Solucin

El minuendo es 16x2 7x 8 y el sustraendo es 6x2+ 3x 6, entonces al sustraendo se le cambia el signo (6x2 3x+ 6) =6x2+ 3x 6 y se acomodan los polinomios en forma vertical para realizar las operaciones entre los trminos seme-jantes:

16x2 7x 8 6x2+ 3x 6

10x2

4x 14Por tanto, el resultado es: 10x2 4x 14


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3 Resta +

3

46 2

1

22 3 3 2

a b b a ab de1

3a b a b ab

3 3 2 221

3 + .

Solucin

En este caso el minuendo es13

a b a b ab3 3 2 22

13

+ y el polinomio sustraendo al cual se cambia el signo y se ordena

con respecto a los exponentes es: +

3

4 6 2

1

2

2 3 3 2

a b b a ab

+

34

6 212

2 3 3 2a b b a ab = + + +2

34

12

63 2 2 3a a b ab b

Se acomodan los polinomios y se reducen los trminos semejantes:

13

13

23 2 2 3a a b ab b+

+ + +23

4

1

2

63 2 2 3a a b ab b

+ +5

3

13

12

1

243 2 2 3a a b ab b

Finalmente, el resultado es: + +53

1312

12

43 2 2 3a a b ab b

EJERCICIO 25

Realiza las siguientes operaciones:

1. De 5a2 3a+ 2 resta 8a2 5a+ 7

2. Cul es el resultado de (3x3 5x2 6x+ 3) (2x3+ 4x 8)?

3. De 4a4 10a3+ 2a2 3a 4 resta 5a5 3a3+ 6a 3

4. Efecta (4x3y2 5x2y3+ 6x4y 8xy4) (12x2y3 3xy4+ 4x3y2 9x4y)

5. De 7 8a5b+ 3a3b3 6a4b2+ 2ab5 resta 5a3b3 3ab5+ 8 7a5b 2a4b2

6. Realiza (3xa+2

7xa+1

8xa

+ 3xa1

) (4xa+2

+ 6xa+1

7xa

9xa1

)7. De 5a2m 1+ 6a2m 8am+ 1 3am 3 resta 12a2m 5a2m 1 3am+ 1 4am 3

8. Cul es el resultado de3

2

1

46

2

3

5

2

2

313 2 3 2x x x x x x +

1

2??

9. De16

625

32

2 3 4 4 3 2 4 2 3m n mn m n m n m n m n+ + +resta1

3++ 8 4 3 2mn m n

10. De 2

53 4

1

6

1

5

1

2

2 2 3 4 4 4 3x y x y x y x x y y+ + + +resta3

2

44 2 22

3+ x y

11. Resta 8x 3y 6 de 5x+ 4y 1

12. Realiza (a2+a 1) (a2a+ 1)

13. Resta 8x3+ 6x2 3x 2 de 10x3 12x2+ 2x 1

14. Cul es el resultado de restar 12a4 3a2+a 8 de 14a4 5a2 3?

15. Resta 16x6y4 3x3y2+ 8x7y5 de 4x7y5+ 9x3y2+ 10x6y4

16. Resta 3mx6

7mx5

+ 8mx9

12mx+1

de 4mx9

6mx5

+ 2mx2

8mx+1

17. Resta 15an+10 3an+1 8an3+ 10an de 4an+9 5an+2 3an3+ 2an


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EjemplosEJEMPLOS

18. Resta1

3

4

5

3

2

1

6m n p m n p de

5

6

19. Resta34

12

56

23

12

13

2 3 2 3 3 2 2x y x xy y x x y xy + de13

++14

3y

20. Resta1

2

3

4

6 81

4

15 3 3 4 2 5 4 2a b a b a b a b a b +de 3 3 3a b

22

2 4a b


Signos de agrupacin

Los signos de agrupacin se utilizan para indicar que las cantidades en su interior se deben considerar como una sola. Lossignos son:

a) Corchetes [ ] b) Parntesis ( ) c) Llaves { } d) Vnculo ____

Reglas para suprimir los signos de agrupacin

Si el signo de agrupacin est precedido por el signo +, ste se suprime y las cantidades que estn dentro de lconservan su signo.

+ (a+bc) =a+bc

Si el signo de agrupacin est precedido por el signo , ste se suprime y cambia el signo de cada una de lascantidades que se encuentren dentro de l.

(x 2y+ 3z) =x+ 2y 3z

= ( ) = +2 3 2 3 2 3x y x y x y

Si en una expresin existen varios signos de agrupacin se suprimen aquellos que no contengan otros. Este procesose repite hasta llegar a una expresin que carezca de signos de agrupacin.

1 Simplifica 2x+ { [5y+ (3xz) + 2 (x+yz + 4 )] (x+y)}.Solucin

Se suprime el vnculo:

2x+ { [5y+ (3xz) + 2 (x+yz + 4 )] (x+y)}= 2x+ { [5y+ (3xz) + 2 (x+yz 4)] (x+y)}

Se suprimen los parntesis:

= 2x+ { [5y+ 3xz+ 2 +xy+z+ 4] +xy}

Se suprimen los corchetes:

= 2x+ { 5y 3x+z 2 x+yz 4 +xy}

Se suprimen las llaves:

= 2x 5y 3x+z 2 x+yz 4 +xy

Se agrupan y reducen los trminos semejantes:

= 2x 3xx+x 5y+yy+zz 2 4

=x 5y 6Por tanto, el resultado es: x 5y 6


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2 Simplifica:

1

2

3

42 2

2

3

1

4x x y x y x y x y + +

.

Solucin

Se sigue el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior:

1

2

3

4 2 22

3

1

4x x y x y x y x y + +

=

=1

2

3

42 2

2

3

1

4x x y x y x y x y + + +

=12

34

2 223

14

x x y x y x y x y + + +

=1

2

3

4

2 22

3

1

4

x x y x y x y x y + + +

=12

34

2 223

14

x x y x y x y x y + + + +

= +174

4712

x y

Por tanto, el resultado es: +17

4

47

12x y

EJERCICIO 26

Simplifica:

1. 3x {2y (5x+ 3y)}

2. (6a 3b) {5a 9b (2c 9b)}

3. 10x (8x 4y+ 2z) + (5x 4y 2z) (10x 3y 4z)

4. 4m+ {(6m 3n) (9n 5m) + (8m 2n)}

5. 2a {7a (3a 7b) + (10a 9b)}

6. (x+y) + [3x 2y+ { 8x 5y (6x 8y 7y)} 6x]

7. 8x2 {3x2 6y 2 3x y [9x2 6y 4x] (2x2 9y+ 6x) 3x2}

8. { 6x+ 3y (8x [2y 4x 2 6x y + 10x] 9y) + 12x}

9. 9y+ 3z {5x 10y 8z (2x 6y+7z [2x 3y])}

10. 6x+ {8y (2x [4x 9y 6z] 7x) 6y} (8x [3y 2z] 9y)

11.2

3

1

52

3

5

2

3

1

2a b a b a b

+

12. 425

312

15

16

13

x x x y x y x y ( ) +



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Ejemplo

sEJEMPLOS

Multiplicacin

Para realizar esta operacin es conveniente recordar las reglas de los signos.

Regla de los signos

(+)(+) =+ (+)() = ()(+) = ()() =+

Ley de los exponentes para la multiplicacin. En la multiplicacin de trminos con la misma base los exponentesse suman.

a a am n m n = +

Monomio por monomio

Al multiplicar monomios, primero se multiplican los coeficientes y despus las bases.

1 Cul es el resultado de ( 5x4y5z)(3x2y6z)?

Solucin

Se multiplican los coeficientes y las bases:

( 5x4y5z)(3x2y6z) = ( 5)(3)x4x2y5y6zz

Se aplican las leyes de los signos y de los exponentes:

= 15x4+2y5+6z1+1

= 15x6y11z2

Por tanto, el resultado es: 15x6y11z2

2 Realiza la siguiente operacin:

5

4

2

36 5 5 2 4a b c a bc .

Solucin

Se efecta el producto de las fracciones y se aplica la ley de los exponentes para las bases.

= 54 23 54 236 5 5 2 4a b c a bc = =+ + +a b c a b c a b c

6 2 5 1 5 4 8 6 9 8 6 91012 56

Por consiguiente, el resultado es:56

8 6 9a b c

3 Realiza (abc)(3ac).

Solucin

En este ejemplo, la base b no se repite en ambos factores, por tanto, se pasa igual en el resultado.

(abc)(3ac) = 3a1+

1bc1+

1= 3a2bc2

El resultado de la multiplicacin es: 3a2bc2

4 Realiza 3 22 1 3 4 3 2x y x ya a a a ( ) ( ).

Solucin

Se aplica el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores, no importa que los exponentes de las bases seanexpresiones algebraicas.

3 2 6

2 1 3 4 3 2 2 1 4 3 3

x y x y x y

a a a a a a a ( )+ ( )

( ) ( ) = ++

= 2 6 4 5

6

a a a

x y

Por tanto, el resultado es: 6 6 4 5x ya a


15/28

EjemplosEJEMPLOS

5 Efecta ( )( ) ( )3 2 54 2 5 3 2a bc a c ab c .

Solucin

( )( ) ( ) = ( )( ) ( ) + +3 2 5 3 2 54 2 5 3 2 4 2 1a bc a c ab c a b11 3 1 5 2 7 4 830+ + + =c a b c

El resultado del producto es: 30 7 4 8a b c

EJERCICIO 27

Resuelve las siguientes operaciones:

1. (5x)( 3x) 16. (6m2x+8n4x)( 7mx 6n5)

2. (4x3y5z)(6x5y4z) 17. ( 9x3my2n1)(4x5y6)

3. (7a5c2)(2a4bc6) 18. ( 3x2a3y5a+1)( 2x3a+1y4a6)

4.3

4

2

5

4xyz z

19.

+7

6

3

14

4 3 2 4 1a b c a bcx x x x

5. ( ) ( )10 56 2 3m p m p 20. ( )

1

244 1 2 2 3 1 2x y x ya a a a

6. 913

5 9 2 6c m p c m( )

21. (5ab)( 3a2b)(2a3bc)

7. (xyz)(xyz) 22. ( 7x2y5z)( 2x6y2)( 4xyz)

8. ac a b( ) ( )4 3 23. ( 5x)(3y)( 2z)

9. 3

5

5

34

mn m np 24. (4x4

y)( 2xy2

)(3x6

y)( 2y4

)

10.7

4

2

36 8 2 2 5a b c a b c

25.

1

3

2

56

10

33 2 4 2 4 2a b c a bc ac a b

( )

11.

4

5

3

72 3xyz x yz 26.

( )3

4

2

3

1

226 2 2 2a b a bc ac b c

12.9

5152 6mp m p

( ) 27. (4a5b3c)( 5a2xbxc)( 2a4x1b2xcx)

13. 0 5 0 26 5 2. .m p m n( )( ) 28. 14 23 123 1 4 2 1 2x y x y xya a a a a + +

14. (0.4abc)(0.12xyz) 29. (3x3a1y)( 4x2ay4a)( 2x4a1y2a)

15. (5a mbnc)(2a2b3c) 30. (2a8xb6)(2m2xn3)( 5a2m3n5x)


Polinomio por monomio

Se multiplica cada uno de los trminos del polinomio por el monomio o viceversa, como lo ilustran los siguientes

ejemplos:

1 Resuelve (5x5y4 3x4y3z+ 4xz4)( 3x4y).

Solucin

Se multiplica cada uno de los trminos del polinomio por el monomio:

(5x5y4 3x4y3z+ 4xz4)( 3x4y) = (5x5y4)( 3x4y) + ( 3x4y3z)( 3x4y) + (4xz4)( 3x4y)

= 15x9

y5

+ 9x8

y4

z 12x5

yz4

Por tanto, el resultado es: 15x9y5+ 9x8y4z 12x5yz4


16/28

2 Realiza el siguiente producto: ( 7ax+3b1 2x)(4a3x 1b2x 5a3x 2b2x+1+ 3a3x 3b2x+ 2).

Solucin

Se realiza el producto del monomio por cada uno de los elementos del polinomio:

( 7ax+3b1 2x)(4a3x 1b2x 5a3x 2b2x+1+ 3a3x 3b2x+ 2) = ( 7ax+ 3b1 2x)(4a3x 1b2x) + ( 7ax+ 3b1 2x)( 5a3x 2b2x+ 1) + ( 7ax+ 3b1 2x)(3a3x 3b2x+ 2) = 28a4x+ 2b+ 35a4x+ 1b2 21a4xb3

Luego, el resultado es: 28a4x+ 2b+ 35a4x+ 1b2 21a4xb3

3 Resuelve el siguiente producto:

45

23

34

23

1 2 3 1x x x x

m m m m + +

.

Solucin

Se multiplica el monomio por cada uno de los elementos del polinomio:

45

23

34

23

1 2 3 1x x x xm m m m + +

=

+

+ 4

5

2

3

2

3

2

31 1 2x x x

m m mxx x x

m m m+ +

+

1 3 13

4

2

3

= +

8

15

4

9

1

22 2 1 2 2x x x

m m m

Por consiguiente, el resultado es: + 8

15

4

9

1

2

2 2 1 2 2x x xm m m

EJERCICIO 28

Realiza los siguientes productos:

1. (4a2 7ab)(2a3b)

2. ( 3m)(5m4 3m3+ 6m 3)

3. (3x37x2 2x)(xy)

4. ( 3ab)(2a2 7ab+ 8b2)

5. (6a3b2 7a2b3+ 4ab5)(4a5b2)

6. ( 5xy2z) (7x6y2z3x5y 4xz)

7. (5m3n 3m4p+ 6m2)(8mp3)

8. (4a3

c

7a2

b

2c)(

3ac4

)9. (5m6n 3mn4+ 2mn)(3mx+1n2x)

10. ( 2xa 2)(7x5 8x2+ 6x3 9x+ 2)

11. (3a2x+1b4x 7a2xb4x+1 4axb3x+1)( 3ax+1b1x)

12. ( 5x2myn+1)(5x3my2n 2x3m+1y2n+1 4x3m+2y2n+2)

13. (3ax+2bycm 3ax+1by+1c2+ 2ax3by1c)( 4a3b2c5)

14. 12

35

34

23

2 2 2a b ab ab


17/28

EjemplosEJEMPLOS

15.4

3

3

4

1

363 2 2x y x y xy

+

16.25

72

85

116

45

6 4 2 2 4 2a a b a b b ab c +

17.4

5

7

256 1 2 3 3 4a b a c a cm m m m+ +

( )

18.1

2

1

6

1

463 2 1x x x xm m m m +

( )

19. 47

3

4

53 1 3 2ab a b c a b

m n m n( ) +

+

20.

+ + 4

5

4

3

5

4

7

2

4 2 3 3 2 2 3 1 2m n m n m n m n

x x a x a x


Polinomio por polinomio

Para multiplicar polinomios por polinomios, se siguen los pasos indicados en los siguientes ejemplos:

1 Efecta la siguiente operacin: (5x2

3x 2)(4x 3x2

6).Solucin

Se escriben los factores de la multiplicacin en forma escalonada (como en las multiplicaciones aritmticas), y seordenan los polinomios con respecto a los exponentes en forma ascendente o descendente, segn se quiera.

5x2 3x 2

3x2+ 4x 6

Se multiplica el primer trmino del polinomio de abajo por cada uno de los trminos del polinomio de arriba.

5x2 3x 2 ( 3x2)(5x2) = 15x4

3x2+ 4x 6 ( 3x2)( 3x) =+ 9x3

15x4+ 9x3+ 6x2 ( 3x2)( 2) =+ 6x2

A continuacin se multiplica el segundo trmino del polinomio de abajo por cada uno de los trminos del polinomiode arriba y los resultados se colocan debajo de sus respectivos trminos semejantes del primer resultado.

5x2 3x 2 (4x)(5x2) = 20x3

3x2

+ 4x 6 (4x)( 3x) = 12x2

15x4+ 9x3+ 6x2 (4x)( 2) = 8x

+ 20x3 12x2 8x

Se repite el paso anterior para cada uno de los trminos siguientes (si es que existe).

5x2 3x 2 3x2+ 4x 6 ( 6)(5x2) = 30x2

15x4+ 9x3+ 6x2 ( 6)( 3x) = 18x

+ 20x3 12x2 8x ( 6)( 2) = 12 30x2+ 18x+ 12

(contina)

(continuacin)


18/28

(continuacin)Por ltimo, se realiza la suma.

5x2 3x 2 3x2+ 4x 6

15x4+ 9x3+ 6x2

+ 20x3 12x2 8x

30x2+ 18x+ 12 15x4+ 29x3 36x2+ 10x+ 12

Por consiguiente, el resultado es: 15x4+ 29x336x2+10x+ 12

2 Efecta la siguiente operacin: (5x4y 3x2y3 6xy)(3x4y 4x2y3+ 3xy).

Solucin

Se acomodan los polinomios de manera vertical y se realiza el procedimiento descrito en el ejemplo anterior.

5x4y 3x2y3 6xy3x4y 4x2y3+ 3xy

15x8y2 9x6y4 18x5y2

20x6y4 + 12x4y6+ 24x3y4

+ 15x5y2 9x3y4 18x2y2

15x8y2 29x6y4 3x5y2+ 12x4y6+ 15x3y4 18x2y2

Por tanto, el resultado es: 15x8

y

2

29x6

y

4

3x5

y

2

+

12x4

y

6

+

15x3

y

4

18x2

y

2

3 Cul es el resultado de

52

313

23

12

2 2m mn n m n +

?

Solucin

Este es un producto de un polinomio por un binomio, los resultados de los productos se acomodan de manera horizontaly se realizan las reducciones de trminos semejantes.

5

2 3

1

3

2

3

1

2

5

3 2

2 2 3 2

m mn n m n m m n +

= +

22

9

3

2

1

6

2 2 2 3

mn m n mn n +

5

4

= +

53

134

3118

16

3 2 2 3m m n mn n

El resultado de la operacin es: + 53

134

3118

16

3 2 2 3m m n mn n

4 Obtn el resultado de 2 5 23 2 1 2 1 1x x x x x x xa a a a a a a+ + + + + +( ) + ( ).

Solucin

Se acomodan los polinomios verticalmente y en orden decreciente y se obtiene como resultado:

2 53 2 1 2x x x xa a a a+ + + + + x x xa a a+ + 1 12

2 52 4 2 3 2 2x x xa a a+ + ++ 2 1x a+ + + + + + +4 10 22 3 2 2 2 1x x xa a a + 2 2 2x a

++ +2 52 2 2 1 2x x xa a a 2 3x a

2 9 7 7 22 4 2 3 2 2 2 1 2 2 1 2x x x x x x xa a a a a a a+ + + + + + + + + 22 2 3 x a

+

EJERCICIO 29


19/28

EJERCICIO 29

Efecta los siguientes productos:

1. (x 7)(x+ 2) 23.2

3

1

4

3

52

3

22 2x y xy y x +

2. (m+ 9)(m 8) 24. (mx1na1)(mn)

3. (x+ 2)(3 x) 25. (bmbm+1+bm

+2)(b+ 1)4. (3x+ 7)(x+ 4) 26. (2xm+1+xm+2 xm)(xm+3 2xm+1)

5. (2x 5)(3x+ 2) 27. (xa+2 2xa+ 3xa+1)(xa+xa+1)

6. (5x 4y)(5x+ 4y) 28. (3x2 5x 2)(2x2 7x+ 4)

7. (3x+2y)(3xy) 29. (4x 6x2 9)(3x2+ 2x+ 1)

8. (n2+ 4)(n2 7) 30. (4x3 2x2y+ 6xy2)(x2yxy2 2y3)

9. 12

3 43

x x

+

31. (m+np)(mpn)

10.53

12

23

3x y x y

32. (2m 3n+ 5p)(n+ 2pm)

11.3

2

1

3

4

5

1

2y x x y

33. (a+bc)(ab+c)

12. (x2 2xy+y2)(xy) 34. (x2 2x+ 1)(x4 2x2+ 2)

13. (x2+ 2xy+y2)(x+y) 35.12

32

52

2x x +

(6x2 4x 2)

14. (m2mn+n2)(m+n) 36. (xm+xm+1xm+2)(xmxm+1+xm+2)

15. (m2+mn+n2)(mn) 37. (2x2m+1+ 3x2mx2m1)(x2+ 2x+ 1)

16. (5x2 7y2 4xy)(3x 2y) 38. (a2b2a3b+a4 3ab3+b4)(a2 2b2+ab)

17. (4b2 9a2 4ab)(3a 7b) 39. (3ma2 2ma1+ma)(m2+ 2m 1)

18. (2a3

3a+ 4)(2a 1) 40. (3x2a+x

2a+1 5x

2a+2

)(x3a3

8x3a2

6x3a1

)19. (5x4 3x2 6)(3x 4) 41. (m3m+m2+1)(m2+m3 2m 1)

20. (x2 3x+ 1)(x2 1) 42.12

34

13

23

13

214

2 3 2x x x x x +

+

21.15

313

23

72

2 2a ab b a b +

43. (ax+1 2ax+2ax+3+ax+4)(ax3ax1+ax2)

22.5

2

1

5

3

4 4

1

32 2

x y xy x y+

44. (a

x+3

+ 4ax+1

5ax1

)(ax+1

+ax+2

+ax+3

)


Divisin

A continuacin se muestra la regla de los signos de esta operacin:

Regla de los signos

(+) (+) =+ (+) () = () (+) = () () =+

Ley de los exponentes para la divisin


20/28

EjemplosEJEMPLOS

Ley de los exponentes para la divisin

En la divisin los exponentes de las bases iguales se restan.

a

aa

m

n

m n=

Monomio entre monomio

Cuando se dividen monomios, primero se realiza la divisin de los coeficientes y despus se aplica la ley de los expo-nentes para las bases. Si la divisin de los coeficientes no es exacta, entonces se deja especificada; si las bases no soniguales, entonces se deja expresado el cociente.

1 Realiza la siguiente operacin:

168

5 4 6

2 3

a b c

a b c.

Solucin

Se dividen los coeficientes y las bases para obtener:

=

=

168

168

25 4 6

2 35 2 4 3 6 1 3 5a b c

a b ca b c a bc

Finalmente, el resultado es: 2a3bc5

2

Cul es el resultado de

10

6

7 6

2 2

x y c

x y c

?

Solucin

La divisin de los coeficientes no es exacta, por tanto, se deja expresada como fraccin, la cual se simplifica y seefecta la divisin de las bases.

= = = 10

6

10

6

5

3

5

3

7 6

2 27 2 6 2 1 1 5 4 0x y c

x y cx y c x y c xx y

5 4

Por tanto, el resultado es:

5

3

5 4x y

3 Realiza

xyz

xyz.

Solucin

Se aplica la ley de los signos para la divisin y se dividen las bases.

= = = ( )( )( ) = xyz

xyz

x y z x y z1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1

El resultado es: 1

4 Cul es el resultado de 8 23 1 5 4 2 3 3 1x y x ya a a a + ?

Solucin

Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes para obtener como resultado:

8

2 4

3 1 5 4

2 3 3 1

3 1 2 3 5x y

x y x y

a a

a a

a a a

+

( ) +( )

=

44 3 1 3 1 2 3 5 4 3 1

4

( ) ( ) +

=

a a a a a

x y =

4

4 2 3

x y

a a

EJERCICIO 30


21/28

EjemplosEJEMPLOS

EJERCICIO 30

Realiza las siguientes divisiones de monomios:

1.93

6 10

2 5

a b

a b9.

1218

3 2 4

2 3

x y z

xy z17.

35

45

3 2a b a b

2.

42

7

9 2

5 2

x y

x y 10.2

8

4 5

3 2

x y z

x y 18.

2

3

1

65 3 3

xy z z

3.

26

13

5 6

3

a b

b11.

12

6

10 4 5 2

3 2 2 1

x y

x y

a b

a b

+ +19.

7

8

3

42

a b abm n

4.32

8

5 6

3 2

p q

p q12.

+

+

10

2

5 5 4 2

4 1 2 5

a b

a b

n n

n n20.

2

924 5x y

5.36

12

10 8

2 7

a b

a b13.

48

16

2 3 3 2

1 2 5 3

a b c

a b c

x x x

x x

+

+ 21. 3

1

34 5 6 4 5m n p m np

6.25

5

12 9

6 3

a b

a b14.

206

5 2 9 2

3 5 2

x y z

x y z

m n m

22. 3

8

3

43 5c d d

x

7.618

8 9

4 7

x y

x y15.

x y z

x y z

a a

a a

2 1 3 4 5

2 1 3 4 5

23.32

34

2 5 5 7a b a bm n m n

8.4466

5 8

3 2

a b

a b16.

78

52

2 5 8 5 6a b c ab c 24.34

23

1 2 2 3 4a b a bm n m n+ +


Polinomio entre monomio

Se divide cada trmino del polinomio entre el monomio, como se muestra en los siguientes ejemplos.

1 Efecta

2 54 3 2

2

x x x

x

+

.

Solucin

Se divide cada trmino del polinomio entre el monomio.

2 5 2 52 5

4 3 2

2

4

2

3

2

2

24 2x x x

x

x

x

x

x

x

xx x

+

=

+

= + 33 2 2 2 x

= + = + 2 5 2 5 12 0 2x x x x x

2

Determina el cociente de:16 12 6

4

6 5 4 6 2 3 9

2

x y z x y z x y

x y

+

.

Solucin

Al aplicar los pasos del ejemplo anterior se obtiene:

164

124

64

46 5

2

4 6 2

2

3 9

26x y z

x y

x y z

x y

x y

x yx

+

= 22 5 1 4 2 6 1 2 3 2 9 13

32

y z x y z x y +

= + 4 332

4 4 2 5 2 8x y z x y z xy

El resultado es: + 4 3 32

4 4 2 5 2 8x y z x y z xy

3 Cul es el cociente de4 8 122 1 3 2 3x x xm m m+ ++

?


22/28

3 Cul es el cociente de

6 2xm?

Solucin

El monomio divide a cada uno de los trminos que conforman el polinomio.

46

86

126

46

2 1

2

3 2

2

3

22 1x

x

x

x

x

xx

m

m

m

m

m

m

m+

+

++ = (( ) ( ) ( ) ( ) +( ) ( )+ m m m m mx x2 3 2 2 3 2

86

126

= + + + + + +23

43

22 1 2 3 2 2 3 2x x xm m m m m m

= + +23

43

23 2 5x x xm m

Por consiguiente, el resultado es: + +23

43

23 2 5x x xm m

EJERCICIO 31

Realiza las siguientes divisiones:

1.x x

x

2 2+11.

1

5

1

465 7 4 5 3 4 3 2a b a b a b a b

2.4 2

2

3 2

2

x x

x

+12.

14

32

16

34

8 7 6 6 4 3 2a b a b a b ab +

3.8 20

4 2x y x

x

13.

3

5

2

3

4

3

4

157 9 8 7 4 5 5x y x y x y xy +

4.2x x x

x

+14.

1

6

4

3

1

3

6

58 7 6 5 5 10 4 3x y x y x y x y +

5.2 6 8

2

4 3 2

2

x x x

x

+ 15.

12

23

18

52

10 8 8 7 5 6 3 5 2 3x y x y x y x y x y +

6.8 10 12

4

6 4 3

2

x x x

x

16.a b c a b c a b c

a b c

x y z x y z x y z

x y z

2 3 4 3 4 5 4 5 6

2 3 4

6 812

+

7.27 15 3

3

4 6 3 6 2

2

m n m n mn

mn

+17.

x y x y

x y

a a a a

a a

2 1 3 5 6 2 6

2 3 7

12

6

+ +

+

8.32 48

8

7 5 6 4 4 3

3

a b a b a b

ab

+ 18.

16 12 8

4

5 3 7 1 4 2 6 5 3 4 5

2 5

a b a b a b

a b

m m m m m m

m

+ +

+

44 1m+

9.28 49 7

7

9 6 7 3 2

2

x y x y x y

x y

19.

20 50 8

10

6 4 3 10 7 2 3 1 5 5

2 2 2

a b a b a b

a b

m n m n m

m

+

+

+ nn

10.14

52

12

2a a a

20.

34

16

13

112

2 3 4 1 2 3 4

2

x y z x y z x y z

x

a b c a b a b +

3 3 2 1a b cy z


Polinomio entre otro polinomio


23/28

EjemplosEJEMPLOS

A continuacin se enlistan los pasos a seguir para realizar esta operacin:

1 Efecta la siguiente operacin:

3 5 23 2

2x x

x

+

.

Solucin1. Se colocan los polinomios como en la divisin con nmeros reales, y se ordenan segn convenga con respecto a

los exponentes:

3 2 3 5 22

x x x +

2. Se toma el primer trmino del dividendo, se divide entre el primer trmino del divisor y el resultado se coloca en

la parte de arriba:3

3

2x

xx= .

3 2 3 5 22

x

x

x x +

3. Se multiplica el resultado de la divisin por cada uno de los trminos del divisor; a cada resultado se le cambia elsigno y se acomoda debajo del dividendo con su trmino semejante: (x)(3x) = 3x2; (x)( 2) = 2x.

3 2 3 5 23 2

2

2x

xx x

x x

+ +

4. Se reducen los trminos semejantes y se baja el siguiente trmino del dividendo, a la expresin resultante se le llama

primer residuo.

3 2 3 5 23 2

3 2

2

2x

xx xx x

x

+ +

+

5. Se repite el primer paso, es decir, se divide el primer trmino del primer residuo que result de la reduccin anterior

entre el primer trmino del divisor y se escribe el resultado arriba:33

x

x=1.

3 2 3

1

5 2

3 2

3 2

2

2

x x

x

x

x x

x

+ +

+

6. Se multiplica el resultado de la divisin anterior por cada uno de los trminos del divisor y se escribe el resultado deba-jo de cada trmino semejante del residuo anterior (no olvides cambiar el signo): (1)(3x) = 3x; (1)(2) = 2.

3 2 315 2

3 2

3 23 2

2

2x x

xx

x x

xx

+ +

+

7. Se realiza la suma y si el residuo es cero como en el ejemplo, la divisin termin; en caso contrario, se siguen lospasos anteriores hasta obtener cero como residuo o algn polinomio de grado menor al del divisor.

3 2 315 2

3 23 23 2

0

2

2x x

xx

x xxx

+ +

+

Por tanto, el resultado del cociente es:x 1

2 Efecta la siguiente operacin:5 21 82 2a b ab +

.


24/28

2 Efecta la siguiente operacin:

3a b+.

Solucin

Al emplear los pasos del ejemplo anterior:

5a 7ba+ 3b 5a2+ 8ab 21b2

5a2

15ab 7ab 21b2

7ab+ 21b2

0

55 5 3 5 15

22a

a

a a a b a ab= ( ) +( ) = +

= ( ) +( ) =

77 7 3 7 21 2

ab

ab b a b ab b

Por consiguiente, el cociente es: 5a 7b

En una divisin de polinomios, si al dividendo le falta uno de sus trminos, se deja indicado el espacio que ocupa dicho

trmino o se escribe con coeficiente 0.

Ejemplo

Cul es el resultado de + + +

2 11

4 2

2

a a a

a a?

Solucin

Se ordena tanto el dividendo como el divisor en orden decreciente con respecto a los exponentes y, en el caso deldividendo, se deja el espacio correspondiente al trmino de exponente 3:

a2+a+ 1 a4+ 0a3a2 2a 1

Se realiza la divisin como en los ejemplos anteriores:

a2 a 1 a2+a+ 1 a4+ 0a3 a2 2a 1 a4 a3 a2

a3 2a2 2a a3+ a2+ a a2 a 1 a2+ a+ 1

0

a

aa a a a a a a

a

aa a a

4

22 2 2 4 3 2

3

2

1= ( ) + +( ) = + +

= ( ) 22 3 2

2

22 2

1

1 1 1

+ +( ) =

= ( ) + +( ) =

a a a a

a

aa a a aa 1

El resultado de la divisin es: a2a 1

EJERCICIO 32

Determina el cociente de las siguientes divisiones:

1. x xx

2

3 21+ ++ 4.

x xx

2

7 124+ ++

2.x x

x

2 4 33

+ ++

5.x x

x

2 4 122

+

3.x xy y

x y

2 25 62

+ ++

6.x x

x

2 3 183

+


25/28

43.8 32 16 19 34 19 10

2 5

6 5 4 3 2x x x x x x + + + +

49.a ab a b b

b

m y m y + 1 1


26/28

PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIN

2 5x a b

44. 51318

23

343

2 2a ab b a b

50.m m m

m m

a a a+ ++ +

2 2

2

22 1

45.4

5

203

75

2

15

1

5

2

3

2 2x xy y x y +

51.

m m m m

m m

x x x x

x x

2 3 2 2 2 1 2

1

4 2+ + ++

+ +

+

46. 63

2

1

12

3

2

1

42 2m mn n m n +

52.m m m m m

m m

x x x x x

x x

2 5 2 4 2 3 2 2 2 1

3 1

2 3 4 2

2

+ + + + +

+ +

+ +

47.

58

32

1718

43

52

23

2

3 2

2

a a a

a a

+

53. + + +

+

30 46 5 23 38

5 1 5 5 1 5 2 5 3

3 3

m m m m m

m

x x x x x

x mm mx x3 2 3 16 +

48. x x xa a+ +( ) +( )3 1 54. + + +

+ + +

x x x x x x

x x

m m m m m m

m

2 3 2 2 2 1 2 2 1 2 2

32 2 4

mm mx +1 2


1 Una empresa construye estructuras prediseadas para casas y edificios. Sixrepresenta el nmero de estructuras ylos costos de produccin son:x2+ 12x 1 200 para las casas y 3x2+x+ 2 000 para los edificios, cul es el costototal de produccin de la compaa?

Solucin

El costo total se obtiene al sumar el precio de las casas y el de los edificios.

x x2 12 1200+

3 2 0002x x+ +

4x2+ 13x+ 800

Por tanto, la empresa gasta: 4 13 8002x x+ +

2 El largo de un terreno en metros lo determina la expresin 2 3 22

a a+ + y su ancho lo representa 2a 1, cul es lasuperficie del terreno en metros cuadrados?

Solucin

Para obtener la superficie del terreno se multiplica su largo por su ancho.

2 3 22a a+ + 2 1a

4 6 43 2

a a a+ +

2 3 22

a a

4 4 2

3 2a a a+ +

Entonces, la superficie del terreno es de: 4 4 23 2

a a a+ + metros cuadrados.

+

+

3 Al adquirir 2x + 3 artculos se paga un importe de 10x2+ 29x + 21 pesos cul es el precio unitario de los artculos?


27/28

3 Al adquirir 2x+ 3 artculos se paga un importe de 10x+ 29x+ 21 pesos, cul es el precio unitario de los artculos?

Solucin

Para obtener el precio unitario, se divide el importe total entre el nmero de artculos.

5x+ 7

2x+

3 10x2

+

29x+

21 10x2 15x

14x+ 21

14x 21

0

El costo de cada artculo es: 5x+ 7 pesos.

4 Observa el siguiente plano de distribucin de una casa, la cual se proyecta en un terreno rectangular.

De acuerdo con l, calcula la superficie que abarca la construccin, excepto el corredor.

Solucin

Se calcula el largo y ancho del rectngulo que abarca la construccin:

Largo = (6x+ 1) + (2x 1) + (5x+ 3) = 13x+ 3

Ancho = (3x+ 2) +x+ (5x 3) + (2x 1) = 11x 2

Se obtiene el rea del rectngulo que ocupa la casa y la del corredor:

rea del rectngulorea = (Largo)(Ancho) = (13x+ 3)(11x 2) = 143x2 26x+ 33x 6 = 143x2+ 7x 6

rea del corredorrea = (Largo)(Ancho) = ((6x+ 1) + (2x 1))(2x 1) = (8x)(2x 1) = 16x2 8x

5x+ 2 3x 1

3x+ 2

5x+ 2

5x 3

x

2x 1

6x+ 1 5x+ 32x 1

3x 1

4x 3

x+ 1

3x+ 1Recmara Recmara

ComedorSala Estancia

Bao

CocinaCorredor

Para saber cul es la superficie, se resta al rea del rectngulo el rea del corredor:


28/28

A= (143x2+ 7x 6) (16x2 8x)

= 143x2+ 7x 6 16x2+ 8x

= 127x2+ 15x 6

Por tanto, la superficie es: 127x2+ 15x 6

EJERCICIO 33

Resuelve los siguientes problemas.

1. Una partcula recorre 5 4 72t t+ + metros, despus recorre t2 4 y, finalmente, +5 3t metros. Cul es la distanciatotal de su recorrido?

2. Una empresa obtiene con la venta de un artculo un ingreso de 3 7 64002x x + y sus costos de produccin son de

2 9 2000

2

x x + . Cul es la utilidad que obtiene dicha compaa?3. Un obrero pinta una barda, cuya superficie es de 8 6 92 2x xy y+ + metros cuadrados, si le faltan por pintar 3 82 2x y+

metros cuadrados, qu superficie lleva pintada?

4. Un producto tiene un precio en el mercado de 5y+ 3 pesos, si se venden 3y+ 1 productos. Cul es el ingreso quese obtuvo?

5. Si un terreno rectangular mide 4x 3y metros de largo y 5x+ 2y metros de ancho, cul es su superficie?

6. Las dimensiones de una caja en decmetros son: 2w 3 de largo, 3w+ 1 de ancho y 2w+ 1 de altura. Cul es su

volumen?7. Se tienen 12 5 22 2x xy y litros de aceite y se van a envasar en botellas de 3x 2y litros de capacidad, cuntas

botellas se van a emplear?

8. Un mvil se mueve a razn de 3 4 23 2t t t + metros por segundo, calcula la distancia que recorre en un tiempo de2t+ 1 segundos (distancia = (velocidad)(tiempo)).

Utiliza el plano del ejemplo 4 de la pgina anterior, para calcular lo siguiente:

9. La superficie de las recmaras.

10. El rea del bao.

11. La superficie de la cocina.

12. El rea del comedor.


Acap 2 Conceptos Basicos de Algebra

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