Academia Sabatina 12 mar 2011

Taller Olimpiadas Matematicas: Conteo

Dra. Karen R. Rıos-Soto

March 11, 2011

¿Sabıas que el sistema de contar de los egipcios era en 10 mientras que para los mayas, aztecas y celtasutilizaban el sistema de 20 porque contaban con los dedos de las manos y los pies?

Por ejemplo, los egipcios utilizaban los siguientes sımbolos para escribir los numeros:

¿Como podrıamos formar el numero 10, 325?

1 Principio de la Adicion

Vamos a suponer que queremos escoger un libro entre tres clases: ingles, matematicas y ciencias. Existen 7libros de ingles, 4 de matematicas y 6 de ciencias. Entonces tenemos 7 + 4 + 6 = 17 opciones para escoger ellibro. En otras palabras, el total de opciones es la suma del numero de opciones de cada tipo.

Principio de la Adicion

Si tenemos m opciones para escoger un objeto y n opciones para escoger un segundo objeto y no es posibleescoger los dos, entonces para escoger cualquiera de los objetos hay m + n opciones.

En general, si tenemos que escoger un objeto entre r objetos distintos, y para el primer objeto hay m1

opciones, para el segundo hay m2 opciones, para el tercero m3 opciones, y ası sucesivamente hasta mr para elultimo, entonces hay m1 + m2 + m3 + ... + mr opciones de escoger cualquiera de los objetos.

Ejemplo

1. Se lanza una peseta al aire tres veces. ¿De cuantas formas distintas pueden obtenerse una, dos o trescaras?

Solucion: Una opcion es que salgan las tres caras: (c, c, c), otra opcion es que salgan dos caras:{(c, c, x), (c, x, c), (x, c, c)} y por ultimo que salga una cara: (c, x, x), (x, c, x), (x, x, c) ası que por el prin-cipio de la adicion la contestacion correcta es 1 + 3 + 3 = 7.

1

2 Principio de la Multiplicacion

Principio de la Multiplicacion

Si alguna tarea se puede hacer en dos etapas y si existen m posibilidades para la primera etapa, y para cadauna de estas posibilidades existen n posibilidades para la segunda etapa, entonces la tarea total se puede hacer,en el orden dado, de m× n formas.

En general, si una tarea se puede hacer en n etapas, y si la primera de estas etapas tiene k1 posibilidadespara hacerse, la segunda tiene k2, y ası sucesivamente hasta kn, posibilidades de realizar la ultima, entonces elnumero de formas de hacer la tarea total es k1 × k2 × k3 × ...× kn.

Ejemplos

1. ¿ Cuantos resultados distintos son posibles al tirar cuatro dados diferentes?

Solucion: La posibilidad de numeros en el primer dado es 6, al igual que para el segundo, para el terceroy para el cuarto dado. Por lo tanto por el principio de la multiplicacion habra

6× 6× 6× 6 = 1296 posibilidades.

Notar que el resultado hubisese sido distinto si los dados no fueran diferentes , pues serıa imposibledistinguir 1523 de 3251.

2. Tenemos un set de 30 cartas de la cual sacamos cuatro sin devolver ninguna de las cartas extraıdas. ¿Decuantas formas diferentes podemos obtener las cuatro cartas?

Solucion: Hay 30 posibilidades de extraer la primera carta, 29 de la segunda, 28 de la tercera y 27 de lacuarta (pues no se devuelven), entonces hay

30× 29× 28× 27 = 657720

formas de extraer las cuatro cartas.

3. Si tenemos el mismo set de 30 cartas de la cual sacamos cuatro pero esta vez, con la devolucion de cadacarta extraıda . ¿De cuantas formas diferentes podemos obtener las cuatro cartas?

Solucion: Hay 30 posibilidades de extraer la primera carta, 30 en la segunda, 30 en la tercera y 30 en lacuarta (pues ahora si se devuelven), entonces hay

30× 30× 30× 30 = 810000

formas de extraer las cuatro cartas.

2

4. Si te quieres vestir y cuando vas a tu closet tienes para escoger entre 4 camisas, 6 pantalones, 5 calcetinesy 2 zapatos, cuantas formas de vestirte tendras? Ver figura.

Los principios de conteo se pueden utilizar para resolver problemas en la mayoria de los casos, pero hayalgunas formulitas que nos ayudaran a calcular mas rapidamente.

3 Permutaciones

Supongamos que Pedrito va al cine con sus papas y sus dos hermana y hay cinco asientos disponibles, ¿Decuantas formas diferentes se pueden sentar?

1er asiento 2do asiento 3er asiento 4to asiento 5to asiento

Cualquiera de los cinco miembros de la familia puede ocupar el primer asiento. Como ya alguien se sentoen el primer asiento, para el segundo asiento podemos escoger entre 4 personas. De esta manera solamentetenemos una persona para ocupar el quinto asiento. Esto produce

5× 4× 3× 2× 1 = 120

formas diferentes en las que se pueden sentar. Notar que se obtiene exactamente la misma contestacion si losasientos se ocupan en otro orden, digamos

papa hermana1 hermana2 Pedrito mama

1er asiento 2do asiento 3er asiento 4to asiento 5to asiento

En general, si existen n objetos distintos, el numero de permutaciones para los n objetos es

P (n) = n(n− 1)(n− 2)...3× 2× 1 = n!,

este nuevo numero se lee n factorial. Vamos a notar que en este caso no podemos volver a repetir lo que yaescogemos.

3

3! = 3× 2× 1 = 6

10! = 10× 9× 8× 7× 6× 5× 4× 3× 2× 1 = 3628800

Notar que

n!n

=n(n− 1)(n− 2)...3× 2× 1

n= (n− 1)(n− 2)...3× 2× 1 = (n− 1)!,

Por ende podemos definir 0! con la formula anterior para n = 1, es decir,

0! = (1− 1)! =1!1

= 1.

Permutaciones

Dado un conjunto de n objetos, una permutacion es cada uno de los conjuntos que se pueden formar conestos objetos tales que cada uno de ellos es diferente del otro en el orden en que son considerados los objetos.

3.1 Arreglos: K Permutaciones de N Objetos

En un salon de clases de 10 estudiantes se escogeran 5 que se pondran en fila para almorzar primero. ¿Decuantas formas diferentes se pueden poner estos 5 en fila?

10 9 8 7 6

1ro en fila 2do en fila 3ro en fila 4to en fila 5to en fila

Entonces, cualquiera de los 10 ninos puede ocupar el primer lugar en la fila, ası que para ocupar la segundaposicion en la fila tenemos 9 ninos. De esta forma, quedan 6 ninos para escoger el quinto turno en la fila. Porlo tanto, tenemos

10× 9× 8× 7× 6 = 10240

formas diferentes para poner 5 de los ninos en fila.

Arreglos

Dado un conjunto de n objetos, se denomia arreglos de tamano k a todos los conjutos de k objetos escogidosde entre los n, tales que un cojunto es diferente del otro en por lo menos un objeto o en el orden en que seconsideran los objetos.

En general, si existen n objetos distintos, y k es un entero, con 0 ≤ k ≤ n, entonces el numero de arreglosde tamano k para los n objetos es:

A(n, k) = n(n− 1)(n− 2)...(n− k + 1) =n!

(n− k)!.

Ejemplos:

4

1. Dado 6 libros, ¿de que maneras podemos formar 6 arreglos de tamano dos?

SolucionSupongamos que los 6 libros son a,b,c,d,e y f. Ejemplos de arreglos de tamano dos serıan ab, cd, bf , etc.Entonces esto es un arreglo,

A(6, 2) =6!

(6− 2)!=

6!4!

=6. 5. 4!

4!= 30.

2. El alfabeto tiene 27 letras. ¿Cuantas palabras de 4 letras se pueden formar sin que ninguna se repita?

SolucionLa contestacion es

A(27, 4) =27!

(27− 4)!=

27. 26. 25. 24. 23!23!

= 421200.

4 Combinaciones

Ahora, consideraremos el siguiente clase de problemas: dada una coleccion de n objetos; ¿de cuantas manerasse pueden escoger k de ellos?

Por ejemplo, si en el grupo de 10 ninos se escogeran 5 para ponernos en final para ir a almorzar, ¿cuantosgrupos de 5 pueden formarse si el orden no importa?

Una combinacion podrıa ser Marıa, Pepito, Luis, Jose y Tomas pero como el orden no importa, esa mismacombinacion podrıa ser Pepito, Luis, Tomas, Jose y Marıa. Entonces, cada grupo de 5 ninos puede ordenarsede 5! formas diferentes, ası que cada combinacion correponde a 5! permutaciones. Por lo tanto, el numero decombinaciones es los arreglos de colocar 5 ninos de los 10, entre el numero total de odenar a esos 5 ninos, esdecir:

A(n, k)P (k)

=n!

(n−k)!

k!=

10!(10−5)!

5!=

10!(10− 5)!5!

= 252.

Combinaciones

En general, dados n objetos diferentes, el numero de combinaciones de tamano k de estos objetos, con0 ≤ k ≤ n, lo denotamos C(n,k) es:

C(n, k) =A(n, k)P (k)

=n!

(n−k)!

k!=

n!(n− k)! k!

.

Ejemplos:

1. Para conjunto de las vocales, {a,e,i,o,u}, ¿de cuantas maneras podemos escoger 3 de ellas?

SolucionComo en este caso el orden no importa, es decir, escoger {a,e,i} es lo mismo que escoger {a,i,e}, {e,a,i},{e,i,a}, {i,a,e} o {i,e,a}, entonces la contestacion serıa:

C(5, 3) =5!

(5− 3)! 3!=

5 .42. 1

= 10.

5

2. Si en las Olimpiadas de Matematicas participan 60 ninos, ¿De cuantas maneras podemos escoger losprimeros tres lugares?

SolucionLa contestacion correcta es

C(60, 3) =60!

(57)! 3!=

60. 59. 58. 57!3. 2. 1. 57!

= 34220.

3 Regresando al problema de los numeros egipcios

Una pregunta diferente podrıa ser, ¿Cuantos numeros puedo formar si utilizo solo tres sımbolos de estos,pero que sean diferentes? La respuesta correcta es 35. A continuacion detallamos la solucion.

Un ejemplo de un numero de tres sımbolos diferentes es,

.

Este numero es el 1 + 10 + 100 = 111. Vamos a asumir que enumeramos cada uno de estos sımbolos conlos letras desde a hasta g. Es decir, el numero 111 lo podemos representar con los sımbolos abc. Debemosnotar en este caso que abc, acb, bac, bca, cab y cba representan todos el mismo numero, es decir 111.Veamos todas las posibilidades:

abc, abd, abe, abf, abg, bcd, bce, bcf, bcg, cde, cdf, cdg, def, deg, efgacd, ace, acf, acg, bde, bdf, bdg, cef, ceg, dfg

ade, adf, adg, bef, beg, cfgaef, aeg, bfg

afg

6

Total 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35.

Utilizando combinatorias el resultado serıa mucho mas rapido de calcular:

C(7, 3) =7!

(7− 3)! 3!=

7. 6. 5. 4!3. 2. 1. 4!

= 35.

5 Problemas Adicionales

1. Tengo 2 manzanas, 2 peras y 1 guineo. En la semana, de lunes a viernes, quiero comer una fruta por dıa.¿De cuantas maneras puedo hacerlo?

2. En un tablero de luz, debe haber 7 lamparas alineadas: 3 rojas, 2 verdes y 2 azules. Si no puede haber, 2lamparas contiguas del mismo color, ¿De cuantas formas puede armarse el tablero?

3. La caja un juego educativo contiene fichas en forma de: triangulo, cırculo, cuadrado y rectangulo. Decada forma hay una de cada color: rojo, blanco y azul. Todas se presentan en dos tamanos: grande ypequno y en dos grosores: grueso y delgado. ¿Cuantas fichas tiene en total la caja?

4. La compania de celulares KRS utiliza 10 dıgitos, del 0 al 9, para crear sus numeros de telefono, los primeros6 numeros pueden ser 787−424 o 939−424. ¿Cuantos numeros de telefono podra crear la compania KRSsi los ultimos 4 numeros los puede escoger de entre el 0 al 9?

5. Paco, Ramon, Francisco y Gabriel van a acampar esta noche en una actividad de los ninos exploradores.Si ellos tienen dos casetas de acampar y van dos ninos en cada caseta, ¿de cuantas formas diferentes sepuede acomodar?

6. ¿Cuantos numeros de 5 cifras estan formados por unos y tres?

7. ¿Cuatos numeros de 5 cifras no tienen ni dos ni cuatros?

8. Si las tablillas de los carros tienen 4 numeros y 2 letras, y ningun numero o letra se puede repetir, ¿cuantasposibles tablillas pueden haber?

9. ¿De cuantas formas podemos ordenar 6 libros en un armario?

10. Juanito tiene que visitar a sus cinco tios con su mama, Tio Ariel, Tio Beto, Tio Carlos, Tio Dan y TioEdgar, teniendo su base en casa de Tio Ariel. ¿Cuantas rutas distintas puede tomar si no puede visitar alTio Edgar hasta despues de haber visitado los Tios Beto o Carlos?

11. Se lanzan dos dados, uno rojo y uno verde,

(a) ¿En cuantos resultados la suma es 7 u 11?(b) ¿En cuantos uno y solo uno de los resultados muestra un 3?(c) ¿En cuantos resultados ninguno de los dados muestra un 3?

12. Si en las Olimpiadas de Matematicas participan 60 ninos, ¿De cuantas maneras pueden quedar repartidosel primer, segundo y tercer lugar?

13. El alfabeto tiene 27 letras, ¿cuantas palabras de 10 letras se pueden formar sin que ninguna se repita?,¿cuantas de k letras?

7

Prof. Jahzeel Silva OMPR Ejercicios de Geometría Nivel Elemental

1. ¿Cuánto suma los ángulos internos de un cuadrilátero convexo? 2. Dibuja un triángulo ABC que tenga ∠A = 30º y ∠B = 70º. Sobre la

prolongación del AC marca el punto D de tal manera que CD = CB. Completa el triángulo DCB. ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos?

3. Considera la siguiente figura. Si el área del triángulo es 2, ¿cuál es el área del cuadrado?

4. El valor de x en el diagrama es:

5. Se tiene una hoja de papel de forma cuadrada. Si se corta por la mitad formando

dos rectángulos iguales, el perímetro de cada uno de ellos es de 18 cm. ¿Cuál es el perímetro de la hoja original?

6. En un rectángulo de 3 metros de ancho por 6 metros de largo se trazan sus diagonales y éste queda dividido en cuatro triángulos. ¿Cuál es el área de cada uno de éstos triángulos?

7. En la siguente figura, los números representan la longitud del segmento en el que se encuentran. ¿Cuál es el área ocupada por la figura, si todos los ángulos son rectos?

8. En la figura, la longitud del segmento AD es de 12 cm, todos los arcos son

semicircunferencias, c es el punto medio de AD y B es el punto medio de AC. Determinar el perímetro y el área de la figura sombreada.

9. Se ha dibujado un rectángulo con centro O. Se sabe que el área del triángulo rectángulo OPQ es 7 cm2. Calcular el área de la figura sombreada.

10. Hallar el ángulo x en la siguiente figura:

11. Considera el cuadrado ABCD. Sean E, F, G, y H los puntos medios de AB, BC,

CD y DA respectivamente. Sean I, J, K y L los puntos medios de EF, FG, GH y HE respectivamente. Si el perímetro del cuadrado ABCD es 4, ¿Cuál es el perímetro del cuadrado IJKL?

12. En una hoja rectángular se dibuja un rectángulo dejando márgenes de 2 cm

arriba y abajo y 3 cm en cada lado. El rectángulo que resulta tiene el lado horizontal igual a las tres cuartas partes del lado vertical y un área de 675 cm2. ¿Cuáles son las dimensiones de la hoja?

13. Un rectángulo tiene 48 cms de perímetro y se puede dividir en 3 cuadrados iguales. ¿Cuál es el área de cada uno de estos tres cuadrados?

14. De una hoja rectángular se cortan tres pedazos como indica la figura. A es un cuadrado con área de 144 cm2. B es un cuadrado con área de 81 cm2. C es un triángulo rectángulo con área de 102 cm2.¿Cuál es el área del pedazo que sobra?

15. En la figura, ABCE es un rectángulo de 80 cm de perímetro. CE = 4BC y CD = DE. El triángulo CDE tiene 86 cm de perímetro. ¿Cuál es el perímetro de la figura ABCDE?

16. Dos rectángulos tienen las medidas que se muestran en el dibujo. El área sombreada oscura es 31. ¿Cuál es el área de la región sombreada clara?

17. Arturo tiene triángulos y rectángulos de madera. ¿Si en total sus piezas tienen 17

esquinas, cuántos triángulos tiene Arturo? 18. Dividamos un rectángulo en cuatro partes, un cuadrado y tres rectángulos como

se muestra en la figura. Las áreas están escritas dentro de las partes. ¿Cuánto mide el área total en unidades cuadradas?

19. En la figura se muestran tres líneas que se cortan en un punto. Se dan dos

ángulos, hallar la medida del ángulo α.

20. Jorge cortó un cuadrado de papel que tenía 20 cm de perímetro y obtuvo dos

rectángulos. Si el perímetro de uno de los rectángulos recortados es 16 cm, ¿cuál es el perímetro de otro?

21. Hallar la medida del ángulo A.

22. El diagrama representa un hexágono regular con perímetro de 42 cms y se ha

dibujado una de sus diagonales. Encontrar la longitud de ésta diagonal.

Introduction to Functional Equations Roman Kvasov

Problem 1

Find all functions : such that for all 2

Problem 2

Find all functions : such that for all 1 1

Problem 3

Find all functions : such that 3 2

Problem 4

Find all one-to-one functions : such that

Problem 5

Find all functions : such that for all 3 2 2

Problem 6

Find all functions : \ 0 such that for all 0

2 1

Problem 7

Find all functions : \ such that for all 12 3 1

Problem 8

Find all functions : \ , such that for all 11 3 11 3 11 3

Problem 9

Find all functions : \ 0,1 such that 1 1

Problem 10

Find all one-to-one functions : such that for all 1 1

7.3 Functional Equations

K 1. Prove that there is a function f from the set of all natural numbers into itself such thatf(f(n)) = n2 for all n ∈ N.

Singapore 1996

K 2. Find all surjective functions f : N → N such that for all m, n ∈ N:

m|n ⇐⇒ f(m)|f(n).

Turkey 1995

K 3. Find all functions f : N → N such that for all n ∈ N:

f(n + 1) > f(f(n)).

IMO 1977/6


f(f(f(n))) + f(f(n)) + f(n) = 3n.


f(f(m) + f(n)) = m + n.


f (19)(n) + 97f(n) = 98n + 232.

IMO unused 1997


f(f(n)) + f(n) = 2n + 2001 or 2n + 2002.

Balkan 2002


f(f(f(n))) + 6f(n) = 3f(f(n)) + 4n + 2001.

USAMO Summer Program 2001

K 9. Find all functions f : N0 → N0 such that for all n ∈ N0:

f(f(n)) + f(n) = 2n + 6.

Austria 1989

K 10. Find all functions f : N0 → N0 such that for all n ∈ N0:

f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n).

48

www.cienciamatematica.com

IMO 1996/3

K 11. Find all functions f : N0 → N0 such that for all m, n ∈ N0:

mf(n) + nf(m) = (m + n)f(m2 + n2).

Canada 2002

K 12. Find all functions f : N → N such that for all m, n ∈ N:

• f(2) = 2,

• f(mn) = f(m)f(n),

• f(n + 1) > f(n).

Canada 1969

K 13. Find all functions f : Z → Z such that for all m ∈ Z:

f(f(m)) = m + 1.

Slovenia 1997

K 14. Find all functions f : Z → Z such that for all m ∈ Z:

• f(m + 8) ≤ f(m) + 8,

• f(m + 11) ≥ f(m) + 11.

K 15. Find all functions f : Z → Z such that for all m, n ∈ Z:

f(m + f(n)) = f(m)− n.

APMC 1997

K 16. Find all functions f : Z → Z such that for all m, n ∈ Z:

f(m + f(n)) = f(m) + n.

South Africa 1997

K 17. Find all functions h : Z → Z such that for all x, y ∈ Z:

h(x + y) + h(xy) = h(x)h(y) + 1.

Belarus 1999

K 18. Find all functions f : Q → R such that for all x, y ∈ Q:

f(xy) = f(x)f(y)− f(x + y) + 1.

APMC 1984

49


K 19. Find all functions f : Q+ → Q+ such that for all x, y ∈ Q:

f(x +

y

x

)= f(x) +

f(y)f(x)

+ 2y, x, y ∈ Q+.

K 20. Find all functions f : Q → Q such that for all x, y ∈ Q:

f(x + y) + f(x− y) = 2(f(x) + f(y)).

Nordic Mathematics Contest 1998

K 21. Find all functions f, g, h : Q → Q such that for all x, y ∈ Q:

f(x + g(y)) = g(h(f(x))) + y.

KMO Winter Program Test 2001

K 22. Find all functions f : Q+ → Q+ such that for all x ∈ Q+:

• f(x + 1) = f(x) + 1,

• f(x2) = f(x)2.

Ukrine 1997

K 23. Let Q+ be the set of positive rational numbers. Construct a function f : Q+ → Q+

such thatf(xf(y)) =

f(x)y

for all x, y ∈ Q+.

IMO 1990/4

K 24. A function f is defined on the positive integers by

f(1) = 1,f(3) = 3,

f(2n) = f(n),f(4n + 1) = 2f(2n + 1)− f(n),f(4n + 3) = 3f(2n + 1)− 2f(n),

for all positive integers n. Determine the number of positive integers n, less than or equal to1988, for which f(n) = n.

IMO 1988/3

K 25. Consider all functions f : N → N satisfying f(t2f(s)) = s(f(t))2 for all s and t in N .Determine the least possible value of f(1998).

IMO 1998/6

K 26. The function f : N → N0 satisfies for all m, n ∈ N:

f(m + n)− f(m)− f(n) = 0 or 1, f(2) = 0, f(3) > 0, and f(9999) = 3333.

Determine f(1982).

50


IMO 1982/1

K 27. Find all functions f : N → N such that for all m, n ∈ N:

f(f(m) + f(n)) = m + n.

IMO Short List 1988

K 28. Find all surjective functions f : N → N such that for all n ∈ N:

f(n) ≥ n + (−1)n.

Romania 1986

K 29. Find all functions f : Z \ {0} → Q such that for all x, y ∈ Z \ {0}:

f

(x + y

3

)=

f(x) + f(y)2

, x, y ∈ Z \ {0}

Iran 1995

K 30. (copy of K4)

K 31. Find all strictly increasing functions f : N → N such that

f(f(n)) = 3n.

K 32. Find all functions f : Z2 → R+ such that for all i, j ∈ Z:

f(i, j) =f(i + 1, j) + f(i, j + 1) + f(i− 1, j) + f(i, j − 1)

4.

K 33. Find all functions f : Q → Q such that for all x, y, z ∈ Q:

f(x + y + z) + f(x− y) + f(y − z) + f(z − x) = 3f(x) + 3f(y) + 3f(z).

K 34. Show that there exists a bijective function f : N0 → N0 such that for all m, n ∈ N0:

f(3mn + m + n) = 4f(m)f(n) + f(m) + f(n).

IMO ShortList 1996

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Recinto Universitario de Mayagüez

Departamento de CienciasMatemáticas

Olimpiada Matemáticade Puerto Rico

PRIMERA FASE2010-2011

NIVEL INTERMEDIO

(7mo, 8vo y 9no grado)

Universidad de Puerto Rico

1. Catorce estudiantes en una clase estudian español y ocho estudian francés. Sabemos que tres estudian amboslenguajes. ¾Cuántos estudiantes hay en la clase si cada uno de ellos estudia al menos un lenguaje?

a) 16

b) 18

c) 19

d) 20

e) 22

Solución: Como 3 alumnos estudian ambos lengüajes, 11 estudian sólo español y 5 estudian sólo francés.Utilizemos el siguiente diagrama de Venn para organizar nuestros hallazgos.

311 5

Español Francés

Sumando estos números obtenemos 11 + 3 + 5 = 19. La respuesta c es la correcta.

2. Katya y sus amigos están parados formando un círculo. Resulta que los dos vecinos de cada integrante delcírculo son siempre del mismo género. Si hay 5 hombres en el círculo, ¾cuántas mujeres habrá?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Solución: Organizamos a Katya y a sus amigos en forma circular. K representa a Katya, h representa a unhombre y m a una mujer. Como Katya es mujer a ambos lados tendrá hombres. Cada uno de estos, a suvez tendrá una mujer de vecina en el lado opuesto. Así sucesivamente hasta ubicar los 5 hombres. Entoncesobtenemos una situación como la siguiente.

K

hm h

m

h

mhm

h

1

Contando a Katya tenemos 5 mujeres. La respuesta e es la correcta.

3. Si el perímetro de un triángulo es 100, ¾cuál es el valor mínimo que puede tener su área?

a) 0.1

b) 1

c) 10

d) 100

e) ninguna de las anteriores

Solución: Considere el siguiente triángulo:

h

49.99949.999

.002

Utilizando Pitágoras podemos encontrar h, su altura

(.001)2 + h2 = (49.999)2

h2 = (49.999)2 − (.001)2

h2 = 2499.9

h ≈ 49.99899999

Por lo tanto su área

A ≈ 1

2· .002 · 49.99899999 ≈ 0.049999

es menor que .1, que es la contestación más pequeña de las posibles. Este ejemplo ilustra que con unperímetro �jo siempre se puede hacer un triángulo con área tan pequeña como uno quiera. Por lo tanto nohay área mínima. La respuesta e es la correcta.

4. En la �gura de abajo, P es el centro del rectángulo ABCD. Si la distancia de P a AB es el doble de ladistancia de P a BC y el perímetro de ABCD es 120cm, encontrar el área de ABCD.

a) 200cm2

b) 400cm2

c) 600cm2

d) 800cm2

e) 1000cm2

A

B C

D

P

Solución: Sea x la distancia de P a BC. Entonces la distancia de P a AB es 2x. Con esta informaciónpodemos encontrar el largo de los lados del rectángulo ABCD en términos de x.

2

A

B C

D

P

4x

2x

x

2x

El perímetro del rectángulo ABCD es 120cm. Por lo tanto

2(2x) + 2(4x) = 120cm

4x+ 8x = 120cm

12x = 120cm

x =120

12cm

x = 10cm

Ahora podemos calcular el área del rectángulo ABCD,

A = (2x)(4x) = 8x2 = 8(10cm)2 = 800cm2

La respuesta d es la correcta.

5. En un tablero de ajedrez, una torre sale de una esquina y vuelve a esa esquina despues de n movidas (latorre se mueve horizontal o verticalmente cualquier número de casillas). ¾Cuál de los siguientes valores den no es posible?

a) 16

b) 18

c) 22

d) 23


Solución: Si n fuera par, nos movemos a alguna celda contínua y regresamos a la esquina. Repetimos esteproceso el número de veces que sea necesario. Siempre que estemos de vuelta en la casilla será en un númeropar de movidas. Hacemos las que sean necesarias para alcanzar n.Si n fuera impar, nos movemos 2 celdas en alguna dirección en la primera movida. Luego regresamos a lacelda que dejamos entre medio. Luego a la celda dónde estabámos al terminar la primera movida. Al igualque el caso anterior continuamos moviendonos entre estas dos celdas. Cuándo estemos en la celda continuaa la de la esquina siempre habremos hecho un número par de movidas. Para alcanzar n, cuando hayamoshecho n− 1 movidas estaremos en la celda continua a la de la esquina, una movida a la celda de la esquinay así regresamos a esta en un número n de movidas. La respuesta e es la correcta.

6. ¾Cuántos números de cuatro dígitos satisfacen la condición de ser múltiplos de 3, 4 y 5 cuyo primer dígitoes el doble del tercer dígito y el segundo dígito siempre es 6?

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

Solución: Sea abcd uno de estos números de cuatro dígitos, dónde cada letra signi�ca un dígito. Sabemosque b = 6. Como el número es divisible por 5, entonces d solamente puede ser 0 ó 5 pero como también

3

es divisible por 4, el número que estamos buscando debe ser par. Así que d = 0. Siendo divisible por 4,entonces las posibilidades para los últimos dos dígitos son: 00, 20, 40, 60 y 80. Sin embargo como el primerdígito es el doble del tercero, descartamos que c sea 6 u 8 por que su doble sería un número de más de undígito. Así que llegamos a las siguientes posibilidades:

060046208640

El primero de estos números no tiene cuatro dígitos. La respuesta c es la correcta.

7. ¾A qué potencia se debe elevar el número 96 para obtener el número 278?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

Solución: Sea x el número que estamos buscando. Entonces

96x

= 278

326x

= 338

312x = 324

12x = 24

x =24

12x = 2

La respuesta a es la correcta.

8. En cierto experimento de ciencias tengo algunos conejos y algunas cajas. Si coloco 5 conejos por caja al �nalme sobran 15 conejos. Si los ubico 8 por caja me sobran 3 cajas. ¾Cuántas cajas tengo?

a) 5

b) 7

c) 10

d) 13

e) 20

Solución Sea c el número de cajas y n el número de conejos. El enunciado si colocamos 5 conejos por caja

al �nal sobran 15 conejos lo podemos expresar con la siguiente ecuación

5 · c+ 15 = n

El enunciado si colocamos 8 conejos por caja me sobran 3 cajas lo podemos expresar con la siguiente ecuación

8 · (c− 3) = n

4

Igualando estas dos ecuaciones obtenemos

8(c− 3) = 5c+ 15

8c− 24 = 5c+ 15

3c = 15 + 24

3c = 39

c =39

3c = 13


9. La �gura muestra un cuadrado de lado 12cm, dividido en tres rectángulos del mismo perímetro. ¾Cuál es elárea del rectángulo sombreado?

a) 36cm2

b) 40cm2

c) 48cm2

d) 54cm2

e) 72cm2

Solución: Identi�quemos los lados de cada uno de los rectángulos como indica la �gura.

l3

l1

l2

l2

l1

l3

l1

l4

l4

12cm

12cm

El área del rectángulo sombreado con las identi�caciones que hemos hecho es

A = l1 · l2

Como el cuadrado tiene lado 12cm, obtenemos

l1 + l3 = 12cm l2 + l4 = 12cm

En particular l3 = 12− l1. Como los tres rectángulos tienen el mismo perímtero

2l1 + 2l2 = 2l1 + 2l4 = 2l3 + 24cm

De aquí obtenemos que l2 = l4 y combinado con las ecuaciones anteriores sabemos que l2 = 6cm. Tambien

5

obtenemos

2l1 + 2 · 6 = 2l3 + 24

2l1 = 2(12− l1) + 24− 12

2l1 = 36− 2l1

4l1 = 36

l1 =36

4l1 = 9cm

Por lo tanto el área del rectángulo sombreado es

A = l1 · l2 = 9cm · 6cm = 54cm2


10. Un número par tiene 10 dígitos y la suma de sus dígitos es 89. ¾Cuál es el dígito de las unidades de esenúmero?

a) 0

b) 2

c) 4

d) 6

e) 8

Solución: Si todos los dígitos del número fueran 9, la suma de sus dígitos sería 10 · 9 = 90. Así que unoy solamente uno puede ser 8 y nada menor. Como el número es par, este debe ser el último dígito. Lacontestación e es la correcta.

11. ¾Cuál es el número de cuadritos negros en la �gura que deben ser pintados de blanco para que cada �la ycada columna tenga exactamente un cuadrito negro?

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) no se puede

Solución: Si podemos tener únicamente un cuadrito negro en cada �la y columna, solamente podemos tener5 cuadritos negros. Así que debemos eliminar 6. En la siguiente �gura obtenemos lo requerido.

La respuesta c es la correcta.

6

12. María dibujó 5 puntos en una hoja de papel y después dibujó segmentos de línea entre los puntos. Ellatuvo que dibujar 10 segmentos. Pedro hará lo mismo, pero él dibujó 12 puntos. ¾Cuántos segmentos deberádibujar Pedro?

a) 12

b) 55

c) 60

d) 66

e) 78

Solución: Cuando María dibujó segmentos de línea entre los puntos, para el primer punto necesitó 4 palitospara poder llegar a cada uno de los demás puntos. Para el segundo necesitó 3 por que ya no necesitabaun palito para el primer punto y así sucesivamente. Los 10 palitos que dibujó los podemos encontrar de lasiguiente forma

4 + 3 + 2 + 1 = 10

Pedro dibujó 12 palitos, siguiendo de la misma forma el necesitará dibujar

11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 66 palitos


13. ¾Cuántas veces hay que escribir el dígito 2 para marcar las páginas de un libro que tiene 2010 páginas?

a) 612

b) 610

c) 591

d) 572


Solución: Hagamos un conteo de cuantas veces necesitamos el dígito 2 como unidad, decena, centena yunidad de mil. Para ello veamos cuantas veces necesitamos el 2 como unidad en cada decena; como decenaen cada centena; como centena en cada unidad de mil; y como unidad de mil del 1 al 2010. En cada decenanecesitamos el dígito 2 una vez como unidad (tenemos 10 · 10 · 2+1 decenas). En cada centena, necesitamosel dígito 2, 10 veces como decena (tenemos 10 · 2 centenas). Por cada unidad de mil, lo necesitamos 100veces como centena (tenemos 2 unidades de mil). En los 2000 lo necesitamos como unidad de mil 11 veces.En la siguiente tabla organizamos nuestros hallazgos.

dígito númerounidad 1 · (10 · 10 · 2 + 1)decena 10 · (10 · 2)centena 100 · (2)unidad de mil 11

En total tenemos 612. La respuesta a es la correcta.

14. Decimos que un número es impa si todos sus dígitos son impares. ¾Cuántos números impas de cuatro dígitoshay?

a) 5 + 5 + 5 + 5

b) 54

c) 5× 4× 3× 2

d) 45

7


Solución: Tenemos 4 digítos y para cada uno de ellos tenemos 5 opciones: 1, 3, 5, 7 y 9. Cada una de estasopciones es independiente de las otras. Así que tenemos 54 números impas de 4 dígitos. La respuesta b es lacorrecta.

15. En el cuadrado se deben ubicar los números del 1 al 16 de tal forma que la suma de ellos en cada �la y encada columna sea siempre la misma. ¾ Cuánto vale esa suma?

a) 16

b) 28

c) 34

d) 36


Solución: Imaginemos que hemos colocado los números de la forma que indica el problema. Ahora sea Sla suma de cada �la. Si sumamos luego el resultado de la suma de cada �la obtenemos 4S. Pero esto es lomismo que sumar los números del 1 al 16. Si utilizamos la fórmula de Gauss:

1 + 2 + 3 + · · ·+ 16 =16(16 + 1)

2= 8 · 17

Pero esto es igual a 4S:

4S = 8 · 17

S =8 · 174

S = 2 · 17S = 34

La respuesta c es la correcta.

16. Considere el siguiente diagrama, compuesto por 9 puntos:· · ·· · ·· · ·Si queremos pasar por los 9 puntos con una curva continua (que no se rompe) compuesta por varios segmentosrectilíneos, ¾cuál es el número mínimo de segmentos rectilíneos necesarios para lograrlo?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

Solución: El problema no indica que sea necesario que los extremos de los segmentos de línea sean de lospuntos indicados.

8

1

2

3

4

Es fácil ver que con menos segmentos rectilíneos no se puede. La respuesta c es la correcta.

17. El lado AC de un triángulo ABC tiene longitud 3.8 y el lado AB tiene longitud 0.6. Si la longitud de BCes un entero, ¾cuál es su longitud?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Solución: En cualquier triángulo la suma de las longitudes de dos de sus lados tiene que ser mayor que lalongitud del tercero. Si la longitud de BC fuera 5, entonces la longitud de AC más la longitud de AB sería3.8 + .6 = 4.4 y esto no es posible. Si fuera 3 o menos, entonces la longitud de AB más la longitud de BC,fuera menor que 3.6. Así que la longitud de BC es 4. La respuesta d es la correcta.

18. ¾Cuál es el último dígito de 22010 + 32010 + 52010 + 72010?

a) 8

b) 7

c) 6

d) 4

e) 2

Solución: Utilizemos la siguiente tabla para estudiar las potencias de 2, 3, 5 y 7.

potencia 2 3 5 71 2 3 5 72 4 9 25 493 8 27 125 3434 16 81 625 2401

Las siguientes potencias comenzarán a repetir sus últimos dígitos: 25 = 32, todas las potencias de 5 suúltimo dígito es 5 y las potencias de 3 y 7 tienen como último dígito 1 para la potencia 4. Así que cada 4 serepiten los últimos dígitos. Al dividir 2010 por 4 obtenemos 2 como residuo. Así que sumamos los últimosdígitos de las potencias que tenemos en la segunda �la de la tabla:

4 + 9 + 5 + 9 = 27

La respuesta b es la correcta.

19. ¾Cuántas soluciones (x, y) con x y y números enteros tiene la ecuación x2 − y2 = 303?

a) 1

b) 2

c) 3

9

d) 4


Solución: Queremos encontrar soluciones enteras para esta ecuación. Observe que factorizando la diferenciade cuadrados y utilizando factorización prima obtenemos lo siguiente:

x2 − y2 = 303

(x+ y) · (x− y) = 3 · 101

Como los números x y y son enteros también lo serán su suma y su resta. Por lo tanto vemos el siguientesistema

x− y = 3

x+ y = 101

Si sumamos las ecuaciones obtenemos 2x = 104 y por lo tanto x = 52 y y = 49. Veamos el otro sistema

x− y = 101

x+ y = 3

Si sumamos las ecuaciones obtenemos 2x = 104 y por lo tanto x = 52 y y = −49. Pero también observe quenuestra ecuación original no se afecta por cambios de signos de las variables. Por lo tanto hay 4 solucionesdistintas: (52, 49), (52,−49), (−52, 49), (−52,−49). La respuesta d es la correcta.

20. Diez monedas se acomodan en forma de triángulo equilátero con cuatro en la base, tres encima de esas,dos encima de las tres y una arriba. ¾Cuál es el número mínimo de monedas que hay que remover para queningunas tres de las restantes tengan sus centros en los vértices de un triángulo equilátero?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

Solución: Considere la situación en la que hemos numerado las monedas de la siguiente manera

2 3

4 5 6

9 10

1

87

Las monedas 1, 2, 3 forman un triángulo. Así que debemos remover al menos una de ellas. De igual forma lasmonedas 4, 7, 8 forman otro triángulo. Así que también debemos remover una de ellas. Las monedas 6, 9, 10tambien forman otro triángulo y por lo tanto una de ellas debe ser removida. De esta manera, entoncesdebemos remover al menos tres monedas. Removiendo las monedas 1, 8, 9 todavía tendríamos triángulos quetendrían la moneda 5 como uno de sus vértices. Si removemos esta, obtenemos.

10

Con esta con�guración encontramos que al remover 4 monedas podemos obtener lo que queremos. Larespuesta c es la correcta.

11

Taller: Competencias de Matemática

El Cuadrado de un Número

Aquí veremos una de las desigualdades más sencillas x2 ≥ 0.

Ejemplo1: Sea x un número real. Demostrar que 4x –x4 ≤ 3.

Solución

Ejemplo2: Determinar si existe una función uno a uno f: R → R con la propiedad

que para todo x, f (x2) - (f (x))2 ≥ 1/4

Solución

Ejercicios

1. La suma de n números reales es cero y la suma de sus productos dos a dos, también es cero. Probar que la suma de sus cubos de estos números es cero.

2. Sean a, b, c, y d números reales. Probar que los números a−b2, b−c2, c−d2 y d−a2 no son mayores que 1/4.

3. Hallar las soluciones del sistema:

4. Sean x, y números en el intervalo (0,1), con la propiedad que existe un numero positive diferente de 1 tal que logx a + logy a = 4logxy a. Probar que x = y

5. Hallar todas las tripletas (x,y, z) tal que x4+y4+z4−4xyz = −1.

6. Mostrar que si x4+ax3+2x2+bx+1 tiene una solución real, entonces a2+b2 ≥ 8.

7. Determine f : N→R tal que para todo k,m,n se cumple que f (km)+ f (kn)− f (k) f (mn) ≥ 1

Suma y Productos Telescópicos

Suma telescópica:

Producto Telescópico:

Ejemplo 1: Calcular

Solución

Ejemplo 2: Calcular

Solución

Ejemplo 3: Mostrar que

Solución

Ejercicios

1. Calcular

2. Si son los elementos de una progresión aritmética de diferencia común

“d”, calcular

3. Calcular

4. Probar que

5. Calcular

Academia Sabatina 12 mar 2011

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