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IMPLI-COL3: PROGRAMA PARA RESOLVER EDP PARABÓLICAS
TRIDIMENSIONALES NO LINEALES, POR TRIPLE COLOCACIÓN ORTOGONAL
Conference Paper · May 2009
CITATIONS
0READS
49
5 authors, including:
Some of the authors of this publication are also working on these related projects:
Continuous nonlinear Kalman Filter for improvement of ANN Predictions View project
Optimization of hyperspherical path tracking for homotopic continuation methods View project
Mario Calderón-Ramírez
Instituto Tecnológico de Celaya
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Gloria María Martínez-González
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Enrique Botello-Alvarez
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ACADEMIA MEXICANA DE INVESTIGACIÓN Y DOCENCIA EN INGENIERÍA QUÍMICA, A.C.
Memorias
EL CID CASTILLA MAZATLAN, HOTEL DE PLAYA 19-22 de Mayo del 2009
Mazatlán, Sinaloa, México
Academia Mexicana de Investigación y docencia en Ingeniería Química, A. C
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Memorias
EL CID CASTILLA MAZATLAN, HOTEL DE PLAYA 19-22 de Mayo del 2009
Mazatlán, Sinaloa, México
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La presentación y disposición en conjunto de
XXX Encuentro Nacional AMIDIQ
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Derechos reservados conforme a la ley:
© Academia Mexicana de Investigación y Docencia en
Ingeniería Química AC
ISBN: 978-970-764-874-6
Impreso en México / Printed in Mexico
Comité Directivo de la Academia Mexicana de Investigación y Docencia en Ingeniería Química A. C. 2007-2009
Dr. Eduardo S. Pérez Cisneros [email protected] Presidente
Dr. Agustín Jaime Castro Montoya [email protected] Vicepresidente
Dr. Rafael Maya Yescas [email protected] Secretario
Dr. Richard Steve Ruiz Martínez [email protected] Tesorero
Dr. Alejandro González Álvarez [email protected] Vocal de Investigación
Dr. Juan Gabriel Segovia Hernández [email protected] Vocal de Docencia
Comité Organizador del XXX Encuentro de la Academia Mexicana de Investigación y Docencia en Ingeniería Química A. C.
Dr. Ricardo Lobo Oehmichen [email protected] Presidente del Comité Organizador
Dr. Eduardo S. Pérez Cisneros [email protected] Presidente de la AMIDIQ
Dr. Jesús Alberto Ochoa Tapia [email protected] Presidente del Comité Científico
Memorias del XXX Encuentro Nacional de la AMIDIQ 19 al 22 de Mayo de 2009, Mazatlán, Sinaloa
© 2009 Academia Mexicana de Investigación y Docencia en Ingeniería Química AMIDIQ
IMPLI-COL3: PROGRAMA PARA RESOLVER EDP PARABÓLICAS TRIDIMENSIONALES NO LINEALES, POR TRIPLE
COLOCACIÓN ORTOGONAL.
Mario Calderón Ramírez, Gloria M. Martínez González, José L. Navarrete Bolaños, Enrique Botello Álvarez y Hugo Jiménez Islas.a
Departamento de Ingeniería Química-Bioquímica. Instituto Tecnológico de Celaya.
Avenida Tecnológico y Antonio García Cubas s/n. 38010. Celaya, Guanajuato. Apartado Postal 57. Teléfono: +52(461) 611-7575 ext. 209 y 323, Fax: +52(461) 611-7979.
a
Resumen
IMPLI-COL3 es un código computacional diseñado para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas tridimensionales, no lineales empleando colocación ortogonal con polinomios de Jacobi para discretizar las coordenadas espaciales y diferencias finitas hacia adelante para el tiempo, usando un método implícito que genera un conjunto de ecuaciones algebraicas que se resuelven por relajación no lineal. El código fue empleado exitosamente para la solución de problemas tipo de Ingeniería Química. Palabras clave: Colocación Ortogonal, ecuaciones diferenciales no lineales, método implícito. 1. Introducción Muchos de los problemas de interés en el campo de la Ingeniería Química y Bioquímica se expresan en términos de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas (EDP) no lineales que, en su mayoría solamente tienen solución numérica. Existen diversos programas comerciales que se han diseñado para resolver EDP en situaciones específicas, por lo que no es posible emplearlos con versatilidad. Estos programas utilizan principalmente los métodos de diferencias finitas, volumen de control o elemento finito por lo que requieren malleos muy finos para resolver situaciones altamente no lineales (p.e. intensificación de efectos convectivos). Con base en lo anterior, se decidió diseñar un programa genérico que permita resolver sistemas de EDP parabólicas no lineales en tres dimensiones espaciales, que se presentan en la simulación dinámica de procesos, utilizando el método de colocación ortogonal para la discretización de las coordenadas espaciales [1] y diferencias finitas para el tiempo, con este método implícito se obtiene un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales que se resuelven con relajación no lineal. La elección del método de colocación ortogonal se fundamenta en la mayor precisión que tiene con respecto a otros métodos estándares como el de diferencias finitas, ya que a malleos iguales, con la colocación ortogonal se obtiene menor error en la solución [2]. Se utilizó el método implícito debido a que proporciona mayor estabilidad en la solución de problemas no lineales, y el método iterativo de
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relajación no lineal para tener mejor rendimiento en problemas tridimensionales que generalmente requieren mayor uso de memoria. 2. Materiales y Métodos
2.1 Estrategia de solución:
La aplicación de Colocación Ortogonal a la solución de ecuaciones diferenciales con valores en la frontera fue propuesta por Villadsen y Stewart [3], quienes aplicaron este método para resolver múltiples problemas enfocados a ingeniería química. Más tarde otros autores comenzaron a difundir su uso. Las discretizaciones mediante colocación ortogonal 3-D, que fueron deducidas por Jiménez-Islas [4], y son las siguientes:
∑+
=
=∂∂ 2NX
1ppjkipTAX
XT
(1)
∑+
=
=∂∂ 2NX
1ppjkip2
2
TBXXT
(2)
∑+
=
=∂∂ 2
1
NY
pipkjpTAY
YT
(3)
∑+
=
=∂∂ 2NY
1pipkjp2
2
TBYYT
(4)
∑+
=
=∂∂ 2NZ
1pijpkpTAZ
ZT
(5)
∑+
=
=∂∂ 2NZ
1pijpkp2
2
TBZZT
(6)
Como se observa las derivadas parciales utilizan todos los nodos presentes y esto redunda en una mayor precisión. Para el tiempo se utiliza diferencias finitas hacia adelante utilizando la serie de Taylor y de esta forma las derivadas espaciales se aproximan a un nivel de tiempo posterior y esto genera un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales que deben resolverse simultáneamente. La solución numérica de sistemas en tres dimensiones usando colocación ortogonal requiere de generación de matrices muy grandes que se incrementan geométricamente con el número de nodos en la malla, por lo que es necesario encontrar algún método que no requiera del almacenamiento del Jacobiano, una de las alternativas es relajación no lineal, este método consiste en aplicar Newton-Raphson univariable en cada ecuación hasta alcanzar convergencia. Con base a las consideraciones anteriores se desarrolló un programa codificado en lenguaje FORTRAN 90, diseñado de tal manera que pueda emplearse indistintamente en plataformas x86, estaciones de trabajo y supercomputadoras. Para plantear la confiabilidad de este código, fue necesario la solución de problemas tipo conocidos y la comparación con algún problema característico ya reportado que permita realzar las características intrínsecas del código.
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3. Resultados y Discusión Caso I: “Almacenamiento de naranja”
Se desea efectuar un estudio sobre transferencia de calor en el almacenamiento a granel de naranja de diversos tamaños y grados de maduración. En este caso, se desea conocer los patrones de temperatura en una pila de 3x3x3 m, con las condiciones de entorno ilustradas en la Figura 1. Una manera de modelar el efecto del tamaño y de los diversos grados de maduración es considerar anisotropía en la conductividad térmica. Además se incluye el efecto del calor de respiración de la naranja y en este caso en particular se considera un efecto netamente conductivo y las fronteras con temperatura constante.
Datos: kxx = 0.40 W/m °C kyy = 0.42 W/m °C kzz = 0.45 W/m °C ρ = 1100 kg/m3 Cp = 3870 J/kg °C Ky = kyy/kxx Kz = kzz/kxx Az = Ay = 1
Figura 1. Sistema geométrico con sus condiciones de frontera
La ecuación del balance de energía en estado estable es:
0k
LQoZT
AzKz
YT
AyKy
XT
xx
2
2
2
22
2
22
2
=ρ
+
∂∂
+∂∂
+∂∂
(7)
El calor de respiración de la naranja está dado por:
+−= −
15.273T55.8991EXP10x05964.2Qo 12
(8)
Donde T [=] °C, Qo [=] J/kg s Los contornos de isotermas resultados de esta simulación se presentan en la Figura 2, donde se observa el efecto anisotrópico presente con los datos propuestos para análisis, mostrando claramente el efecto esperado en el avance irregular del calor. Esto indica que el código arroja resultados correctos en diferentes condiciones de operación.
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(a)
(b)
(c)
Figura 2. Isotermas en planos volumétricos (a) y (b). Isotermas en el plano ZX a Y = 0.5 (c) Caso II: “Dinámica de la convección natural 3-D en una cavidad cúbica calentada diferencialmente” El fenómeno de la convección natural es muy conocido y es utilizado como benchmarking para el análisis de códigos y eficiencia de los mismos [5][6][7][8]. Se utilizan las ecuaciones de Navier Stokes donde se considera viscosidad y densidad constante a excepción del efecto de flotación, debido a que la fuerza de movimiento está dominada por la diferencial de densidad, el problema se propone usando la técnica de Vector Potencial – Vorticidad, y se resuelve con las condiciones propuestas por los autores. Ecuaciones Vector Potencial – Vorticidad (VPV):
Con las condiciones de frontera @ X=0 ψx ψ =0 y ψ =0 z ω= Aprox. Woods =0 θ=0 (12a) @ X=1 ψx ψ =0 y ψ =0 z ω= Aprox. Woods =0 θ=1 (12b)
@ Y=0 Y=1 ψx ψ =0 y ψ =0 z ω= Aprox. Woods =0 0Yθ∂=
∂ (12c)
@ Z=0 Z=1 ψx ψ =0 y ψ =0 z ω= Aprox. Woods =0 0Zθ∂=
∂ (12d)
@ t=0 ψx ψ =0 y ψ =0 z ω= Aprox. Woods =0 θ=0 (12e) Para la vorticidad se toma la condición de frontera de Woods [9]. Se comparan los resultados de las simulaciones con los presentados por los autores (Figura 3) y se observa gran concordancia con los resultados obtenidos con este código, esto indica la fiabilidad en su utilización para abordar otros problemas.
2ω ψ= −∇
( ) ( )2Pr RaPr∂ +∇× × ∇× = ∇ + ∇×θ ∂ ze
Foω ω ψ ω
( ) 2∂θ+ ∇× ∇θ = ∇ θ
∂
Foψ
(9) (10) (11)
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Figura 3. Comparación de vectores velocidad e isotermas para valores de Ra de 104 y 105
Caso III: “Convección natural en un cilindro” Se analiza la convección natural en un cilindro analizando el punto de singularidad que se presenta en el eje central, donde al aplicar colocación ortogonal se logra un malleo más fino en esta parte, debido a que hay más nodos hacia las fronteras donde existen variaciones súbitas de las funciones. Ozoe y Toh [4] abordan este problema y lo resuelven para dos casos, se realizaron las simulaciones para el caso A y de esta forma se corrobora la efectividad del postulado del promedio de velocidades en el centro.
con [8]
X
Y
Z
0.50000000
X
Y
Z
0.50000000
(a) (b)
X
Y
Z
0
(c)
(a) (b)
(c)
Figura 4. Comparación de Isotermas del caso A en Altura 0.94 y 0.5 Fo =0.5 (a) (b) y con θ=0 y θ=π (c) con[10]
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La mayor dificultad del análisis de este caso de estudio es la singularidad en el centro, pues cuando se presenta un fenómeno asimétrico no es posible definir las condiciones de frontera en el centro del cilindro y por esto se utiliza la estrategia del promedio de nodos adyacentes, como es de esperarse en la medida que exista mayor cantidad de nodos cerca de la frontera mayor probabilidad de convergencia hay, por esta razón el método de colocación ortogonal es el más indicado. Los resultados muestran la dinámica de las isotermas a dos alturas diferentes en corte sagital (Figura 4 (a)(b)), además se presenta las isotermas en una vista lateral (Figura 4 (c)) estos contornos tienden a ser iguales a los del autor, por lo que el código puede resolver exitosamente este tipo de problema. 4. Conclusiones Los resultados muestran que es viable el uso de este código para la resolución de problemas que involucren EDP parabólicas en 3D, utilizado además para mostrar fenómenos clásicos analizados en ingeniería Química, de esta forma el estudiante tendrá una herramienta más para poder comparar diferentes alternativas para resolver un problema y entender las metodologías numéricas de solución. Referencias 1. Jiménez-Islas, H. y López-Isunza, F. (1994). ELI-COL Programa para resolver sistemas de ecuaciones
diferenciales parciales elípticas, por Doble Colocación Ortogonal. Avances en Ingeniería Química, 82-86.
2. Jimenez-Islas H. y Lopez-Isunza F. (1996). PAR-COL2: Programa para resolver EDP parabólicas bidimensionales no lineales, por doble colocación ortogonal. Avances en Ingeniería Química, 4(2) 168-173.
3. Villadsen, J. V. y Stewart, W. E. (1967). Solution of Boundary-Value Problems by Orthogonal Collocation. Chem. Engng. Sci., Vol. 22, 1483-1501.
4. Jiménez-Islas H. (1999). FEN24: Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas 3-D no lineales, mediante colocación ortogonal, XX Encuentro Nacional AMIDIQ. Puerto Vallarta, México.
5. Vahl Davis De, G. (1983). Natural Convection of Air in a Square Cavity: A Benchmark Numerical Solution. Int. J. For Numerical Methods in Fluids, 3, 249-264.
6. Bessonov, O. A., Brailovskaya, V. A., Nikitin, S.A. y Polezhaev, V. I. (1998). Three-Dimensional Natural Convection in a Cubical Enclosure: A Benchmark Numerical Solution. Advances in Computational Heat Transfer Procedures of International Symposium Cesme, Vol 1.
7. Tric, E., Labrose, G. y Betrouni, M. (2000).A first incursion into the 3D structure of natural convection of air in a differentially heated cubic cavity from accurate numerical solutions. International journal of Heat and Mass Transfer 43, 4043-4056.
8. Wakashima Shinichiro y Saitoh Takeo S. (2004). Benchmark solutions for natural convection in a cubic cavity using the high-order time-space method. International Journal of Heat and mass Transfer 47, 853-864.
9. Roache, P.J. (1972). Computational Fluid Dynamics. Hermosa Publishers, Alburquerque, N.M., USA. 10. Ozoe Hiroyuki y Toh Keiji. (1998). A Technique to circumvent a singularity at a radial center with
application for a three-dimensional cylindrical system. Numerical heat transfer, Part B: Fundamentals. An international Journal of Computation and Methodology 33:355-365.
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