Instituto Universitario de Tecnología

Antonio José de Sucre

Extensión Barquisimeto

Alumno:

Abrahán Gamboa

CI: 22.326.114

Ejercicio Nº 1

Un campo de béisbol, es un cuadrado de 90 pies de lado. Un jugador está corriendo de la primera base a la segunda con una velocidad de 17 pies/seg. Hallar la velocidad con que se acerca el jugador a la tercera base en el instante en que este se encuentra a 60 pies de la primera. Realice la figura que ilustre el problema.

Sabemos que:

X+Y= 90

Y=90-X

R= Z+Y

R=90+Y

Aplicando Pitágoras

R²= Z² + Y²

R= √Z ² + Y²

R=√90 ²+Y²

R= √8100+Y ² Sustituye 1 en r

R=√8100+(90−x )²

Derivando r

drdt

=−(90−x )

√8100+(90−x )2

dxdt

ahora si: Y=30 y X=60 y

dxdt

=17

Sustituyendo en

drdt

drdt

= −30

√(8100+(30 )2) .17= -5,37587 p/seg

Ejercicio Nº 2

Un edificio de 60m. Proyecta su sombra sobre el piso horizontal. El ángulo que forman los rayos solares con el piso disminuye a razón de 15º por hora. En determinado instante del día la sombra del edificio es de 80m. Hallar la razón en que cambia la sombra en ese instante. Realice la figura que ilustre el problema.

dθdt

=15 º

Tan θ = CoCa

Tan θ = yx

θ= tan−1 yx

dθdt = − yx ²+ y ² .

dxdt

dθdt = −60x ²+3.600 . dxdt

60

80

15= −6080²+3.600 . dxdt

15= −3500 . dxdt

dxdt = 15.500−3

dxdt

= -2.500

Ejercicio Nº 3.

Un faro está situado a 2km. De una playa recta y su luz gira a Razón de 2 revoluciones por minuto. Hallar la rapidez con que se mueve el rayo de luz a lo largo de la playa en el momento en que este pasa por un punto situado a 1km del punto frente al faro. Realice la figura que ilustre el problema.

dθdt

= 2 revmin

Tan θ= CoCa

Tan θ= yx

θ= tan−1 xy

1 km

2 km

dθdt

= − yx ²+ y ²

. dxdt

dθdt

= −2x ²+4

.dxdt

2= −21+4

.dxdt

2= −25

.dxdt

dxdt

=2 .5−2

dxdt

= -5 revmin

Ejercicio Nº 4

v (t ) y A (t ) volumen y área de la bola que se derrite a una razón proporcional a su superficie, significa que:

V ' (t )=KA (t )

V ' (t )=43 ∏ r (t )3

A( t )=4∏ r ( t )2

De donde

V '( t )=4∏ r ( t )2 . r ' ( t )ahora

r '( t )=V ' ( t )

4∏ . r ( t )2

La bola se derrite a razón de

78cm /horas

Ejercicio Nº 5

El gas escapa a razón de 360 pies 3

/ min quiere decir que la razón de cambio de volumen del globo respecto al tiempo es de 360.

La formula del volumen de la esfera es V= 4

3∏ r3

Al derivar respecto a “t” resulta

dvdt

=3( 43

)(∏ r2 )( drdt

) dvdt

=4∏ r2 drdt

a)dvdt

=360 y r=3

360=4 .∏ . (3 )2 drdt

O sea

360

4 .∏ (3 )2=drdt

Asi

drdt

=3 ,181 piesmin rapidez con que disminuye el radio.

b) Para hallar la rapidez con que disminuye el área de la superficie del

globo se requiere la formula A=4∏ r2

dadt

=8∏ rdrdt

dadt

=8 .∏ .(3 ).(3 ,1831)

De modo que

dadt

=2010 ,6200 pies2 /min Rapidez con la que se

disminuye el área de la superficie del globo

Ejercicio Nº 6

Después de dos horas de nulo el barco Y ah recorrido =

6kmh

(1h )=6 km

Después de dos horas de nulo el barco X ah recorrido=

8kmh

(1h )=8km

La distancia que separa los barcos después de una hora de navegación

h2=x2+ y2⇒h=√x2+ y2⇒h=√(6 )2+(8 )2⇒h=√36+64⇒h=√64⇒h=8kmDerivando implícitamente

h2=x2+ y2

2hdhdt

=2xdxdt

+2 ydydt

⇒hdhdt

=xdxdt

+ ydydt

si h=8km

Se trata de derivar dhdt como la razón de cambio

dxdt

=6 kmh

dydt

=8kmh Sustituyendo

8kmdhdt

=6km(6kmh

)+8km(8kmh

)

8kmdhdt

=36km .kmh

+64 km .km ¿h ¿¿

¿

Despejando

dhat

;dhdt

=36 km .

kmh

+64km .kmh

8km

dhdt

=12 ,5kmh

Una hora antes de que el barco B cruzara por el punto donde A cruzo la distancia de h separa ambos barcos tiene una razón de

cambio de 12,5kmh como el resultado es positivo esto significa que

la distancia es creciente.

Ejercicio Nº 7

Un avión vuela horizontalmente a una altura constante de 900m. De altura y con velocidad constante. La trayectoria pasa sobre una estación de radar desde donde el operador observa el avión. Cuando el ángulo de inclinación de la línea de observación es de π/3, este ángulo está cambiando a razón de de 1/45 rad/seg. Hallar la velocidad del avión.

Ө=n/3

dθdt

= 145

rads

Tan θ =xy

900 m

X = ytan θ

X= 900

tanπ3

= 300 √3

Tan θ= CoCa

Tan θ= yx

θ = tan−1 xy

dθdt

= − yx ²+ y ²

.dxdt

dθdt

= −900x ²+810.000

.dxdt

145

rads

= −900¿¿

. dxdt

145

rads

=−900¿¿

145

rads

= −11.200

.dxdt

dxdt

=1200 .1−1 .45

dxdt

=803

mseg

Ejercicio Nº 8

Las dimensione de un cilindro circular recto están variando. En un cierto instante el radio y la altura son de 8cm y 20cm, respectivamente. Si el volumen permanece constante y el radio aumenta a razón de 3cm/seg. Hallar la variación de la altura en ese instante.

Para un cierto instante

R(to)= 8 cm

A(to)=20 cm

r’(to) = 3cm/seg.

Tenemos que:

V(t) = π . r² (t) . a(t) (Que es constante)

Derivada de to.

V’(to)= o= (π . r²(to) . a(to)

= 2 . r(to) . π . r’(to) . a (to) + π . r²(to) . a’ (to)

Despejando a’(to) tenemos:

A’(to)= −2 .r ( ¿ ) . π . r ' (¿ ) . a(¿)π . r ²(¿)

A’(to)= −2.8cm .3,14 .

3cmseg

.20cm

3,14 .(8cm)²

A’(to)= −3014,4cm ³ /seg

200,96cm²

A’(to)= -15,072cm/seg

Ejercicio Nº 9.

Graficar la siguiente función f(x)= x³- 6x² + 9x +1

Para ello de buscar:

A) Dominio: Dom f(x)= R

B) Simetría y Periodicidad.Para demostrar simetría en un polinomio impar F(-x)= -f(x)F(-x) = (-x)³-6 (-x)²+9 (-x)+1

= -x³-6x² -9x+1 = -(x³+6x²+9x+1) ≠ - F(x)NO HAY SIMATRÍA

C) Intersección con los ejes.Para x= 0F(0) = 0³ -6(o)² + 9(0)+1 = 1→ Y= 1(0,1)

D) Continuidad y Asíntotas.

Es continua.

No tiene Asíntotas.E) Estudio de la primera derivada: Intervalo de monotonía, máximos y

mínimos.

F(x) = x³ - 6x² + 9x +1F’(x) = 3x² - 12x +9Resolviendo la ecuación de segundo grado dividimos ÷ 33x² - 12 x +9 = x² -4x +3 = (x-1) (x-3)De aquí se tiene que:X=1 y x=3F’(1)=0 y F’(3) = 0De esto obtenemos 3 intervalos de estudio para la monotonía.(-∞,1) (1,3) (3, +∞)Tomando un valor de cada intervalo y evaluando

Para x= 0F’(0) = 3(0)²-12(0)+9 =9 F’>0Para x= 2F’(2) = 3(2)² -12(2)+9 =-3

F’ < 0Para x=4F’(4) = 3(4)²-12(4) +9 =9 F’ > 0

Para x=1F’(1) = 3(1)² -12(1) +9 =0 F’= 0

Para x= 3F’(3) = 3(3)² - 12 (3) + 9 = 0 F’= 0

(-∞,1) X=1 (1,3) X=3 (3,∞)F’ > 0 F’= 0 F’= < 0 F’= 0 F’ > 0La función crece

Máximo La función decrece

Mínimo La función crece

F) Estudio de la segunda derivada: Concavidad y punto de inflexión.F’’(x) = 6x-12Si F’’(x) > 0 hay convexidad y para F’’(x) < 0 hay concavidad.Calculemos sus raíces.6x -12 = 0 → 6x= 12 → x=2

(-∞,2) tomamos x= 0F’’ (0)= 6 (0) – 12 = -12 < 0 Cóncava

(2, +∞) tomamos x=3F’’(3) = 6 (3)-12 = 6> 0 Convexa

2

Convexidad: (2, +∞)

Concavidad: (-∞,2)

G) Esbozar el grafico: