Materia: Matemáticas de 4to año

Tema: Propiedades de las Funciones Exponenciales

Marco Teórico En esta lección aprenderá sobre las funciones exponenciales, una familia de funciones distintas a las otras familias de funciones debido a que la variable x es el exponente de una potencia.

Una función de la forma donde siendo "a" la base y "X" el exponente

Por ejemplo, las funciones f (X) = 2 x y X

Xg ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=21 )( son funciones

exponenciales. Evaluación de funciones exponenciales

Considere la función f (x) = 2 x. Al introducir un valor para x, encontramos el valor de la función elevando 2 al exponente de x. Por ejemplo, si x = 3, tenemos que f (3) = 2 3 = 8. Si elegimos valores más grandes de x, obtendremos valores de la función de mayor tamaño, como los valores de la función serán las grandes potencias de 2. Por ejemplo, f (10) = 2 10 = 1024. Si optamos por valores más pequeños de x, terminaremos rápidamente con fracciones. Por ejemplo, si x = 0, tenemos que f (0) = 2 0 = 1. Si x = -3,

tenemos . Si elegimos cada vez valores más pequeños para la variable X, los valores de la función serán más pequeñas y las fracciones

más pequeñas. Por ejemplo, si x = -10, tenemos

XaY =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≠

>

1 0

aa

Representación gráfica y estudio de la función exponencial. Ejemplo 1

Dadas las funciones f (x) = 2 x y X

Xg ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=21 )(

Para realizar la representación gráfica, damos valores a la variable X X

Xg ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=21 )(                                                                                                                                                                                                                                             f (X) =

2 x   X Y -2 4 -1 2 0 1 1

21

2 41

Propiedades generales de la función exponencial

1.- Si a0 = 1, la gráfica siempre pasa por el punto (0,1).

2.- Si a1 = a, la gráfica siempre pasa por el punto (1,a).

3.- El DOMINIO (posibles valores de X), son todos los números reales D = R.

4.- El RANGO (posibles valores de Y), son (0 , + ). 5.- Es una función inyectiva (si a elementos distintos del conjunto de salida le corresponden elementos distintos del conjunto de llegada). 6.- El eje X es asíntota horizontal. La gráfica nunca cortará al eje X, se acercará infinitesimalmente a ella. Propiedades particulares de la función exponencial 7.- Si a > 1 es creciente. Ejemplo f (x) = 2 x

8.- Si 0 < a < 1 es decreciente X

Xg ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=21 )(

X Y

-2 14

-1 12

0 1

1 2

2 4

∞

Comparación de gráficas de funciones de crecimiento exponencial

Grafiquemos algunas funciones exponenciales más y observemos qué pasa cuando cambiamos las constantes en la función. La forma básica de la función exponencial debería de ser la misma. Pero la función podría crecer más rápido o más lenta dependiendo de las constantes que usemos.

Mencionamos que la forma general de la función exponencial es XabY = , donde “b” es la cantidad inicial y “a” es el factor que multiplica a la cantidad cada vez que “x” es incrementada en uno. Veamos qué pasa para valores diferentes de “b”.

Ejemplo 2

Graficar la función exponencial 𝑌 = 2!    y compararla con la gráfica 𝑌 = 3 ∙ 2!

Solución

Hagamos una tabla de valores para las funciones f (x) = Y = 2 x y 𝑓 𝑋 =𝑌 = 3 ∙ 2! Con estos valores graficaremos las funciones

X Y = 2X Y = 3. 2X -2 2-2 = !

! = 0,25 3 .2-2 = 3. !

! = !

! = 0,75

-1 2-1 = !! = 0,5 3 .2-1 = 3. !

! = !

! = 1,5

0 20 = 1 3 .20 = 3. 1 = 3 1 21 = 2 3 .21 = 3. 2 = 6 2 22 = 4 3 .22 = 3. 4 = 12 3 23 = 8 3 .23 = 3. 8 = 24

Podemos ver que la función cree más rápidamente que la función . En ambas funciones, los valores de “Y” se duplican cada vez que “X”

incrementa en uno. Sin embargo, “comienza” con un valor de 3, mientras que “comienza” con un valor de 1, por consiguiente, se puede observar que crecerá cada vez más rápido.

Pensarías que si el valor inicial de “b” es menor que 1, entonces la función exponencial correspondiente sería menor que . Al final esto es correcto. Veamos cómo en la comparación de las gráficas para b = !

! .

Ejemplo 3

Graficar la función exponencial 𝑌 = 2!    y compararla con la gráfica 𝑌 = !!∙ 2!

Solución Hagamos una tabla de valores para las funciones f (x) = Y = 2 x y 𝑌 = !

!∙ 2!

Con estos valores graficaremos las funciones

Como era de esperar, la función exponencial es menor que la función exponencial .

X Y = 2X Y = !! . 2X

-2 2-2 = !! = 0,25 !

! . 2-2 = !

! . !

! = !

!" = 0,083

-1 2-1 = !! = 0,5 !

! . 2-1 = !

! . !

! = !

! = 0,166

0 20 = 1 !! . 20 = !

! . 1 = !

! = 0,333

1 21 = 2 !! . 21 = !

! . 2 = !

! = 0,666

2 22 = 4 !! . 22 = !

! . 4 = !

! = 1,333

3 23 = 8 !! . 23 = !

! . 8 = !

! = 2,666

Comparemos funciones exponenciales cuyas bases son diferentes.

Ejemplo 4

Graficar las siguientes funciones exponenciales en un mismos eje de coordenadas.

Solución

Para graficar estas funciones empezaremos construyendo una tabla de valores para cada una.

Con estos valores graficaremos las funciones

Nota que para los valores de todas las funciones son iguales a 1. Esto significa que el valor inicial de las funciones es el mismo e igual a 1. A pesar que todas las funciones comienzan con el mismo valor, estas se incrementan para

X Y = 2X Y = 3X Y = 5X Y = 10X -2 2-2 = !

! = 0,25 3-2 = !

! = 0,111 5-2 = !

!" = 0,04 10-2 = !

!"" = 0,01

-1 2-1 = !! = 0,5 3-1 = !

! = 0,333 5-1 = !

! = 0,2 10-1 = !

!" = 0,10

0 20 = 1 30 = 1 50 = 1 100 = 1 1 21 = 2 31 = 3 51 = 5 101 = 10 2 22 = 4 32 = 9 52 = 25 102 = 100 3 23 = 8 33 = 27 53 = 125 103 = 1000

diferentes razones. Podemos ver que mientras la base es más grande los valores de “Y” crecerán más rápido.

Finalmente, examinemos cómo se vería la gráfica de una exponencial si el valor de “b” fuese negativo. Recuerda que la base de la función exponencial “a” no puede ser negativa por definición.

Ejemplo 5

Graficar la función exponencial .

Hagamos una tabla de valores.

Con estos valores graficaremos las funciones

Este resultado no debería de sorprender. Ya que el valor inicial es negativo y se duplica cada vez es de esperar que el valor de “Y” incremente, pero en una dirección negativa. Nota que la gráfica se mantiene en la forma típica de una función exponencial, pero ahora es una imagen reflejada con respecto al eje horizontal (hacia abajo).

X -2 -5.2!! = −5. !

! = −  !

! = 1,25

-1 -5.2!! = −5. !! = −  !

! = 2,5

0 −5. 2! = −  5  . 1 = - 5 1 −5. 2! = −  5  . 2 = - 10 2 −5. 2! = −  5  . 4 = - 20 3 −5. 2! = −  5  . 8 = - 40

Solución de problemas del mundo real que involucran crecimientos exponenciales

Ejemplo 6

La población de una región se estima que crece el 15% por año. La población actual es de 20 mil habitantes. Construir una gráfica para la función de la población y encontrar cuál será la población en 10 años a partir de hoy.

Solución

Primero necesitamos escribir una función que describa la población del pueblo. La forma general de una función exponencial es

              XabY =

Definir “Y” como la población de la región. Definir “x” como el número de años a partir de hoy. “b” es la población inicial, así b = 20 mil Finalmente, necesitamos encontrar “a”. Se nos ha dicho que la población incrementa el 15% cada año. Para calcular porcentajes es necesario cambiarlos a decimales. El 15% es equivalente a 0.15. El 15% de “b” es igual a “0,15 . b”. Esto representa el incremento de la población de un año a otro. Para calcular la población total del siguiente año debemos añadirle a la población actual el incremento en la población. En otras palabras, 𝑏 + 0,15. 𝑏 = 1,15  𝑏. Podemos ver que la población debe ser multiplicada por un factor de 1,15 cada año. Esto significa que la base de la función exponencial es a = 1,15

La fórmula que describe este problema es 𝑌 = 20 ∙ (1,15)!

Construyamos una tabla de valores.

X 𝑌 = 20 ∙ (1,15)!

- 10 20 . (1,15) -10 = 20 . 0,245 = 4,9 - 5 20 . (1,15) -5 = 20 . 0,495 = 9,9

0 20 . (1,15) 0 = 20 . 1 = 20 5 20 . (1,15) 5 = 20 . 2,01 = 40,2

10 20 . (1,15) 10 = 20 . 4,045 = 80,9

Nota que usamos valores negativos de en nuestra tabla de valores. ¿Es lógico pensar en tiempos negativos? En este caso representa la población que había cinco años atrás, por consiguiente esta información podría ser útil. La pregunta hecha en el problema fue ¿Cuál será la población en esa región en 10 años a partir de hoy?

Para encontrar la población exactamente usamos en la fórmula. Encontramos .

Ejemplo 7 Una sustancia radioactiva decae (se transforma en otro elemento) siguiendo la ley 𝑌 = 𝐴. 𝑒!!,!! en la que “Y” es la cantidad d sustancia presente después de X años.

a) Si la cantidad inicial de A es 80 gramos, ¿cuánto quedará después de 3 años? b) La vida media de una sustancia radioactiva es el tiempo que tarda en

descomponerse la mitad de su cantidad. Calculemos la vida media de esta sustancia, siendo A = 80 gramos.

Solución a) Como A = 80, 𝑌 = 80. 𝑒!!,!!. Necesitamos despejar la cantidad Y cuando X = 3

𝑌 = 80. 𝑒!!,!.! 𝑌 = 80. 𝑒!!,!.(!) 𝑌 = 80. 𝑒!!,!

𝑌 = 43,905  𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 Habrá 43,905 gramos después de 3 años

b) Se pide el tiempo “x” en el cual sólo queda la mitad de la cantidad inicial. Es decir, la vida media, Y = 40 gramos

40 = 80. 𝑒!,!! 12 =  𝑒

!!,!!

                             ln 0,5 =  𝑙𝑛𝑒!!,!!    𝑠𝑒  𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎  𝑝𝑜𝑟  𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜   𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙  𝑎  𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠  𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠

𝑙𝑛0,5 = −0,2.𝑋. 𝑙𝑛𝑒       →      𝑙𝑛𝑒 = 1

𝑋 =𝑙𝑛0,5−0,2 = 3,466

La vida media es de 3.466 años, aproximadamente.

Prof. Ana María Paz Linares