VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAMENTE DISTRIBUIDAS

Propiedades de Distribuciones Bivariadas

Si X e Y son dos v.a.s definidas sobre el mismo espacio deprobabilidades. Su funcin de Distribucin Conjunta (f.d.c.) F se definepor

F(x, y) = P(X x, Y y), - < x, y < .

Para ver que F est bien definida, observe que, como X e Y son v.a.s,{w|X(w) x} y {w|Y(w) y} son eventos. Su interseccin {w|X(w) x yY(w) y} es tambin un evento, y su probabilidad, por lo tanto, est biendefinida.

La f.d.c. puede usarse para calcular la probabilidad de que la parejaordenada (X, Y) est en un rectngulo sobre el plano. Consideremos elrectngulo: R = { (x, y) | a < x b, c < y d}, donde a b y c d.Entonces

P((X,Y) R) = P(a < X b, c < Y d)

= F(b, d) - F(a, d) - F(b, c) + F(a, c). (1)

Para verificar que (1) se cumple observe que

P(a < X b, Y d) = P(X b, Y d) - P(X a, Y d)

= F(b, d) - F(a, d).Similarmente

P(a < X b, Y c) = P(X b, Y c) - P(X a, Y c)

= F(b, c) - F(a, c).

As P(a < X b, c < Y d) = P(a < X b, Y d) - P(a < X b, Y c)

= [F(b, d) - F(a, d)] - [F(b, c) - F(a, c)]

= F(b, d) - F(a, d) - F(b, c) + F(a, c),

cumplindose (1), como lo aseguramos.

Las f.d. unidimensionales FX y FY definidas por

FX(x) = P(X x) y FY(y) = P(Y y),

son llamadas funciones de distribucin marginal (f.d.m.) de X e Y.

X Yy

F (x) = F(x, ) = limF(x, y) y F (y) = F( , y) = limF(x, y).x

Las f.d.m. estn relacionadas con la f.d.c. F por

Ahora bien, si existe una funcin no negativa f(x, y) tal que

x y

- -F(x, y) = f(u,v)du dv, - < x, y < , (2)

entonces f es llamada funcin de densidad de probabilidades conjunta(f.d.p.c.) (con respecto a integracin) para la f.d.c. F o el par de v.a.s X,Y.

R

Si F tiene densidad f, entonces la ecuacin (1) puede ser reescrita en

trminos de f, para obtener

(3)

Usando las propiedades de integracin y la definicin de un espacio de

probabilidad, puede mostrarse que la relacin

(4)

Se cumple para subconjuntos A, contenidos en el plano del tipo

considerado en clculo.

b d

a cP(a < X b, c < Y d) = f(x,y) dy dx.

A

P((X, Y) A) = f(x,y) dx dy.

Permitiendo que A sea el plano entero obtenemos de (4) que:

- -f(x,y)dxdy = 1 (5)

Tambin obtenemos de (4) que

x

X - -

F (x) = P(X x) = f(u,v)dv du,

de donde FX tiene densidad marginal fX dada por

X -

f (x) = f(x,y)dy,

la cual satisface: x

X X -

F (x) = f (u)du.

Similarmente FY tiene densidad marginal fY dada por

Y -

f (y)= f(x,y)dx.

Como en el caso unidimensional, (2) no define en forma nica a f.Podemos cambiar f en un nmero finito de puntos o an sobre unnmero finito de curvas suaves en el plano sin afectar la integral de fsobre conjuntos en el plano.

Nuevamente, como en el caso unidimensional, F determina a f en lospuntos de continuidad de f. Este hecho puede obtenerse de la expresin(3).

Diferenciando (2) y aplicando las reglas del clculo obtenemos

x y x

- - -F(x,y) = f(u,v)dv du = f(u,y)du

y yy

2

F(x,y) = f(x,y).x y

(6)

Bajo algunas condiciones moderadas podemos justificar estas operacionesy mostrar que (6) se cumple en los puntos de continuidad de f.

En casos especficos en lugar de checar la validez de los pasos que llevan a(6), es generalmente ms simple, mostrar que la funcin f obtenida de (6)satisface (2).

Ejemplo 1. Vamos a ilustrar las definiciones y frmulas anterioresreconsiderando el ejemplo, de un disco de radio R, en elque elegimos un punto uniformemente. Si los puntos enel plano son determinados por sus coordenadas cartesianas(x, y). Entonces el disco puede ser escrito como

{(x, y)| x2+ y2 R2}.

Si X e Y son las v.a.s que denotan las coordenadas aleatorias del puntoelegido. Correspondiendo a la suposicin de uniformidad, supongamos queX e Y tienen f.d.p.c. f dada por

2 2 2

2

1 , para x + y R

f(x, y) = R

0 , d.o.f.

(7)

Entonces, para cualquier subconjunto A del disco,

2

A

Area de AP((X,Y) A) = f(x,y)dxdy = ,

R

lo cual concuerda con nuestra suposicin de uniformidad.

De lo anterior, se tiene que, la densidad marginal fX est dada por

2 2

2 2

R -x 2 2

X 2 2 -

- R -x

1 2 R -xf (x) = f(x,y)dy= dy = ,

R R

La densidad marginal fY(y) est dada por la misma frmula reemplazandox por y. Es decir,

Esto es,2 2

2X

2 R - x, si -R < x < R

f (x) = R

0, d.o.f.

2 2

2Y

2 R - y, si -R < y < R

f (y) = R

0, d.o.f.

INDEPENDENCIA

Las v.a.s X e Y son llamadas v.a.s independientes si siempre que a by c d, entonces

P(a < X b, c < Y d) = P(a < X b) P(c < Y d). (8)

poniendo a = c = - , b = x, y d = y, se sigue que si X e Y sonindependientes, entonces

F(x, y) = FX(x)FY(y), para - < x, y < . (9)

Ahora, ya podemos definir el importante concepto de independencia de v.a.s. Esto es,

Inversamente, (9) implica que X e Y son independientes. Pues si (9) secumple, entonces por (1) el lado izquierdo de (8) es

F(b, d) - F(a, d) - F(b, c) + F(a, c) = FX(b)FY(d) - FX(a)FY(d) - FX(b) FY(c) + FX(a) FY(c)

= [FX(b) - FX(a)]FY(d) [FX(b) - FX(a)] FY(c)

=[FX(b) - FX(a)][FY(d) - FY(c)]

= P(a < X b) P(c < Y d).

En general, puede mostrarse que si X e Y son independientes y, A y Bson uniones de un nmero finito o infinito contable de intervalos, entoncesP(X A, Y B) = P(X A)P(Y B) o , en otras palabras, los eventos{ |X( ) A} y { |Y( ) B} son eventos independientes.

Si X e Y son v.a.s con densidades marginales fX y fY. Entonces, X e Y sonindependientes, si y slo si, la funcin f definida por: f(x, y) = fX(x)fY(y),para -

Las funciones de densidad pueden tambin ser definidas directamente,como hemos visto, en otros contextos.

Una Funcin de Densidad Bidimensional (o Bivariable) f es una funcin no

negativa sobre 2, tal que:

- -f(x,y)dxdy = 1.

Correspondiendo a cualquier funcin de densidad Bivariable f, existe unespacio de probabilidad y un par de v.a.s X e Y definidas sobre talespacio, con funcin de densidad conjunta f.

La forma ms fcil de construir funciones de densidad bidimensionales es,comenzando con dos densidades unidimensionales f1 y f2 y definir lafuncin f por:

f(x, y) = f1(x). f2(y), para - < x, y < . (11)

Luego, f es una f.d.p. bidimensional, ya que, claramente es no negativa y

1 2 - -

f(x,y)dxdy = f (x)dx f (y)dy = 1

Si las v.a.s X e Y tienen como f.d.p.c. a sta f, entonces X e Y sonindependientes y tienen densidad marginal: fX = f1 y fY = f2,respectivamente.

Como una ilustracin de (11), supongamos que f1 y f2 tienen densidadnormal estndar, es decir, (0, 1). Luego, f est dada por:

1 1

2

2 2x y- -

2 2f(x, y) = e e ,2

o bien,

1

2

2 2x y-

2f(x, y) = e , con - < x < . (12)

La densidad dada por (12) es llamada Densidad Estndar Bivariada.

En nuestro siguiente ejemplo modificaremos ligeramente, el lado derechode (12), para obtener una funcin de densidad conjunta que correspondaal caso donde las dos v.a.s tengan densidad marginal normal, siendo estasdependientes.

Ejemplo 2. Supongamos que X e Y tienen f.d.p.c. f dada por

2 2x xy+y

2f(x, y) = ce , - < x < ,

c es una constante positiva que ser determinada en el transcurso denuestra discusin.

Primero completamos a un trinomio cuadrado perfecto en trminos de lavariable y, reescribiendo f como:

221 3x- [(y - x/2) ]

2 4f(x, y) = c e , - < x < ,

y luego observando que:

8

223x 1 - - (y-x/2)

2X

- f (x) = f(x,y)dy = c e e dy.

Haciendo el cambio de variable u = y - x/2, vemos que

22 2 -1/2(y-x/2) -u /2

e dy = e du = ,

Consecuentemente,2

2

x-

4x 2- 338

Xf (x) = c 2 e = c 2 e , - < x < .

De donde resulta claro, que fX es la densidad de una v.a. con distribucin (0, 2) donde 2 = 4/3, por lo que

1 3

2 2 2

1c 2 .

2 2 ( )3

de donde:

3c = .

4

Y as,

23

4

21- (x xy+y )2f(x, y) = e , - < x, y < . (13)

Los clculos, anteriormente hechos, muestran que fX es la densidadde una v.a. (0, 4/3).

En forma semejante, podemos mostrar que fY es tambin ladensidad de una v.a. (0, 4/3). Dado que f(x, y) fX(x)fY(y), es claroque X e Y son v.a.s dependientes.

Distribucin de Sumas y Cocientes

Sean X e Y v.a.s con densidad conjunta f, en muchos contextos, se tieneuna v.a. Z definida en trminos de las v.a.s X e Y, y es necesario calcularla densidad de Z.

Si Z est dada por Z = (X, Y), donde en los valores de las v.a.s X e Yes una funcin de valor real cuyo dominio contiene al producto cartesianodel rango de X y el rango de Y (Soporte del v.a. (X,Y)).

Para z fija, el evento {Z z} es equivalente al evento {(X, Y) Az} donde Azes el subconjunto de R2 definido por: Az = {(x, y) R

2 | (x, y) z}. As

Z

Z Z

A

F (z) = P(Z z) = P((X, Y) A ) = f(x,y)dxdy.

Si podemos encontrar una funcin no negativa g tal que,

Z

z

-A

f(x,y)dxdy = g(u)du , - < z < ,

entonces g es necesariamente la densidad de Z.

Usaremos este mtodo para calcular las densidades de X + Y y Y/X.

Distribucin de sumas

Sea Z = X + Y. Entonces A z = {(x, y) x + y z} es realmente el semiplano por debajo de la recta x + y = z, como se muestra en la Figura 1.

As, Z

z-x

Z - -

A

F (z) = f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx.

Haciendo el cambio de variable v = y + x en la integral ms interna, se tiene que

z

Z - -

F (z) = f(x, v-x) dv dx

z

- -= f(x, v-x) dx dv,

aqu se ha intercambiado el orden de integracin. As, la densidad dela v.a. Z = X + Y est dada por:

X+Y -

f (z) = f(x, z-x) dx, - < z < . (14)

En las principales aplicaciones de (14), X e Y son v.a.s independientes,por lo que (14) puede ser escrita como:

X+Y X Y -f (z) = f (x)f (z - x) dx, - < x < , (15)

Si X y Y son v.a.s no negativas e independientes, entonces fX+Y(z) = 0,para z 0 y

z

X+Y X Y 0

f (z) = f (x)f (z-x) dx, para 0 < z < (16)

El lado derecho de (15) sugiere un mtodo para obtener densidades.Dadas dos densidades unidimensionales f y g, la funcin h definidapor

-h(z) = f(x) g(z-x) dx, - < x < ,

Es una funcin de densidad unidimensional, la cual es llamada laconvolucin de las densidades f y g. As, la densidad de la suma de dosv.a.s independientes es la convolucin de las densidades individuales.

Ejemplo 3. Sean X y Y v.a.s independientes cada una con distribucinexponencial con parmetro . Encontrar la distribucin de lav.a. X + Y.

La densidad de X est dada por fX(x) = e- xI(0, )(x). Adems Y tiene

la misma densidad que X. As, fX+Y(z) = 0, para z 0 y por (16), paraz > 0, se tiene que

z

X+Y X Y0

f (z) = f (x)f (z-x)dx

2 2 z

- z - z

0= e dx = ze .

Esto es, X + Y tiene la densidad (2, ).

z- x - (z-x)

0= e e dx

Ejemplo 4. Sean X e Y v.a.s independientes y uniformementedistribuidas sobre (0, 1). Encontrar la densidad de X + Y.

La densidad de la v.a. X est dada por fX(x) = 1 para 0 < x < 1 y fX(x) = 0d.o.f., la densidad de Y es la misma. As, fX+Y(z) = 0 para z 0.Para z > 0 aplicamos (16).

El integrando fX(x)fY(z - x) slo toma los valores 0 1. Tomar el valor 1si x y z son tales que 0 x 1 y 0 z - x 1.

Obsrvese que la v.a. X + Y toma valores z, tales que, 0 z 2, y que elintegrando tiene valor 1 si x y z son tales que 0 x 1 y 0 z - x 1.

De forma que si 0 z 1 la proposicin dada en el prrafo anteriores equivalente a 0 x z, y si 1 < z 2 la proposicin es equivalente az - 1 x 1 . As por (16)

Ntese que 0 x 1 y 0 z - x 1, es equivalente a, 0 x 1 y0 x z z 1 x.

Si 0 z 1 el integrando tiene valor 1 sobre el conjunto 0 x z, ycero de otra forma. Por lo tanto de (16) obtenemos que

Si 1 < z 2 el integrando tiene valor 1 sobre el conjunto z - 1 x 1 ycero de otra forma. As por (16)

z z

X+Y X Y 0 0

f (z) = f (x)f (z-x) dx = (1) dx = z, para 0 z 1.

2 1 1

X+Y X Y z-1 z-1

f (z) = f (x)f (z-x) dx = (1) dx = 2 - z, para 1 z .

Si 2 < z < el integrando en (16) es idnticamente cero y de donde

fX+Y(z) = 0, para 2 < z < .

En resumen

X+Y

z, si 0 z 1,

f (z) = 2 - z, si 1< z 2,

0 , d.o.f.

La grfica de fX+Y est dada en la Figura 2.

Tambin podemos encontrar la densidadde X + Y calculando el rea delconjunto A z = {(x, y) 0 x 1, 0 y 1 yx + y z} (ver Figura 3) y diferenciando larespuesta con respecto a z.

El Ejemplo 3 tiene una importante generalizacin, la cual se expresa en elsiguiente teorema.

Teorema 1. Si X e Y son v.a.s independientes, tales que,

X ( 1, ) y Y ( 2, ).

Entonces

X + Y ( 1 + 2, ).

Demostracin: Observe que X e Y son v.a.s positivas y que sus f.d.p.estn dadas por:

1 1-1 - x

X (0, )

1

x ef (x) = I (x),

( )

2 2 -1 - y

Y (0, )

2

y ef (y) = I (y).

( )y

As, fX+Y(z) = 0 para z 0, y por (16) para z > 0

1 2

1 2

+ - z z

-1 -1

X+Y 0

1 2

ef (z) = x (z-x) dx.

( ) ( )

1 2

1 2

+ - z 1

-1 -1

X+Y 0

1 2

ef (z) = (zu) (z-zx) zdu

( ) ( )

En la integral anterior hacemos el cambio de variable u = x/z (x = zu,con dx = z du) para obtener

11 2 2

1 2

+ + -1 - z 1

-1 -1

01 2

z e= u (1- x) du

( ) ( )

1

1 2

1 2 2

1-1 -1

+ + -1 - z 0

1 2

u (1- x) du= z e

( ) ( )

Esto es,

1 2 1 2+ + -1 - z

X+Yf (z) = c z e , z>0, (17)

donde

1 2 1

-1 -1

0

1 2

u (1-u) duc = . (18)

( ) ( )

La constante c puede ser determinada debido a que la integral de fX+Ysobre (0, ) debe ser 1. De (17) y la definicin de la densidad gama, esclaro que fX+Y debe ser la densidad ( 1 + 2, ) como se afirm.

De (17) y la definicin de la densidad gama, tambin vemos que:c = 1/ ( 1 + 2). Esto junto con (18) nos permite evaluar la integraldefinida que aparece en (18), en trminos de la funcin gama, esto es:

211 1

-1 -1 1 2

01 2

( ) ( )u ( u) du = . (19)

( + )

Esta frmula nos permite definir una nueva familia de densidades condos parmetros llamada densidad Beta.

As, la densidad Beta con parmetros 1 y 2, est dada por:

1 2-1 -1

1 2

1 2

( + )x (1- x), si 0 < x < 1,

f(x) = (20)( ) ( )

0 , d.o.f.

La razn para esta terminologa es que la funcin de 1 y 2 definida por:

B 1 21 2 1 21 2

( ) ( )( , ) = , para 0 < , < ,

( + )

es llamada funcin Beta.

Teorema 2. Si X e Y son v.a.s independientes con densidadesnormales ( 1, 1

2) y ( 2, 22), respectivamente.

Entonces X + Y tendr la densidad normal( 1+ 2, 1

2+ 22).

Demostracin: Supongamos en principio que 1 = 2 = 0. Esto es

212

1

1

2

2-x /

Xf (x) = e , para - < x < ,

222

2

1

2

2-y /

Yf (y) = e , para - < y < .

As, por (15)

2

1 2 2 X+Y 2 2 -

1 1 2

1 x (z-x)f (z) = exp - dx.

2 2

La evaluacin de esta integral requiere algunos clculos complicados. Unaforma de proceder es trabajar en la transformacin del argumento de lafuncin exponencial que aparece en el integrando, esto es:

2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 1

2 2 2 21 2 1 2

x (z-x) ( + )x - 2 zx + z =

22 2 2 2 2 2

2 21 2 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 2 2 1 2

+ z = x - 2 z x + z + - z

+ + ( + )

22 2 2

21 2 12 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2

+ 1 = x - z + z

+ +

As, sustituyendo la ultima expresin en el integrando obtenemos:

2 2 2

1 2 1

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 2

12

2

X+Y -

1

+ 1 1f (z) = exp - x - z + z dx

2 2 + +

2 2 2 2 21 2 1 2 1

2 2 2 2

2 1 2 1 2

22

-1

1 1exp - z

2 + + 1= exp - x - z dx

2 2 +

2 2

1 2 2

2 22 1 2

2

2

1

1

1 1exp - z

2 + =

2 +

Que al simplificar, resulta:

2 22 21 21 2

1

2

2

X+Y

1 1f (z) = exp - z , para - < z < .

2 + +

Esto es:

2 2

1 20X + Y , +

En general, si X ( 1, 12) e Y ( 2, 2

2) son v.a.s independientes.

Las v.a.s X - 1 (0, 12) e Y - 2 (0, 2

2) son independientes.

As, por el caso especial mostrado anteriormente se tiene que, la v.a.

(X - 1) + (Y - 2) = X + Y - ( 1 + 2) tiene distribucin (0, 12 + 2

2).

Por lo que, X + Y tendr distribucin ( 1 + 2, 12 + 2

2), como se habaafirmado!

Ejemplo 5. Si X e Y son v.a.s independientes cada una con densidad(0, 2). Encontrar la densidad de las v.a.s X + Y y X2 + Y2.

Solucin: Del Teorema 2, observamos inmediatamente que X + Ytiene la densidad (0, 2 2).

Adems, por el Ejemplo 12 del Captulo 5, X2 y Y2, tienen ambas, lamisma densidad (1/2, 1/(2 2)).

Tambin, se tiene que X2 y Y2 son independientes.

As, por el Teorema 1, X2 + Y2 (1, 1/(2 2)), que es la densidadexponencial con parmetro 1/(2 2).

Distribucin de Cocientes

Sean X e Y v.a.s con densidad conjunta f. Ahora derivaremos unafrmula para la densidad de la v.a . Z = Y/X.

El conjunto A z = {(x, y) y/x z} se muestra en la Figura 4.

Si x < 0, entonces y/x z si y slo si y zx,

Si x > 0, entonces y/x z, si y slo si, y zx.

As A z = {(x, y) x < 0, y xz} {(x, y) x > 0, y xz}. Consecuentemente

zA

Y

X

F (z) = f(x,y) dx dy

0

0 xz

- xz -= f(x,y)dy dx + f(x,y)dy dx

Para simplificar la ultima integral, hacemos el cambio de variable v = y/x(y = xv, con dy = xdv) en la integral ms interna, para obtener

0

0 -

- z -Y

X

F (z) = xf(x,xv)dv dx x f(x,xv)dv dxz

0

0

- - -= (-x)f(x,xv)dv dx + xf(x,xv)dv dx

z z

z

- -= |x|f(x,xv)dv dx

Ahora, intercambiando el orden de integracin tenemos que,

z

Y - -

X

F (z) = |x|f(x, xv)dx dv, si - < z < . (21)

De (21) se sigue qu Y/X tiene la densidad fY/X dada por

Y-

X

f (z) = |x|f(x, xz)dx. (22)

En el caso especial cuando X e Y son v.a.s positivas e independientes,(22) se reduce a

0

X Y 0

Y

X

x f (x) f (xz)dx, si z > 0 f (z) = (23)

, si z 0

El prximo teorema es una aplicacin directa de (23).

Teorema 3. Sean X e Y v.a.s independientes con densidades ( 1, )y ( 2, ), respectivamente. Entonces,

2

1 2

-1

1 2

Y 1 2

X

( ) z, si 0 < z <

f (z) = (24)( ) ( ) (z 1)

0 , d.f.o.

Demostracin: Recordemos que

1 1-1 - x

X

1

x ef (x) = , si x 0

( )

2 2 -1 - y

Y

2

y ef (y) = , si y 0.

( )

1 2

1 2

-1 -1- x - xz

Y 0

1 2X

f (z) = x x e (xz) e dx( ) ( )

1 2 2

1 2

-1

-1 - (z 1)x

01 2

z= x e dx.

( ) ( )

y

As, para 0 < z < , se puede aplicar la frmula (23), esto es:

Ahora, se sabe que:

1 2

1 2

-1 - x(z 1) 1 2

0

( )x e dx .

( (z 1))

Siguindose la espresin (24), al sustituir el valor de la integral en laexpresin anterior, como se haba afirmado.

Puesto que (24) define una densidad vemos que para 1, 2 > 0

0 21

21)(-1- .)(

)()( dz1)(zz 212

Ejemplo 6. Sean X e Y v.a.s independientes cada una con densidad(0, 2). Encontrar la densidad de la v.a. 2

2

Y.

X

Solucin: Las v.a.s son las mismas que las del Ejemplo 5. As,nuevamente X2 y Y2 son independientes, cada una teniendo densidad

(1/2, 1/(2 2)). As, al aplicar el Teorema 3,

2

2

-1/2

Y

X

(1) z 1f (z) = , si 0 < z < .

(1/2) (1/2) (z 1) (z 1) z

2

2

Y

X

1, si 0 < z <

(z 1) zf (z) =

0, si z 0

Esto es,

Distribucin de Productos

Sean X e Y v.a.s con densidad conjunta f. Enseguida derivaremosuna frmula para la densidad de la v.a . Z = XY.

El conjunto A z = {(x, y) xy z} se muestra en la Figura 4a. De dondese puede observar que, para cualquier z, con - < z < :

Si x < 0, entonces xy z si y slo si y z/x, y

si x > 0, entonces xy z, si y slo si, y z/x.

As A z = {(x, y) x < 0, y z/x} {(x, y) x > 0, y z/x}. Consecuentemente

z

XY

A

F (z) = f(x,y) dx dy

0

0 z/x

- z/x -= f(x,y)dy dx + f(x,y)dy dx

Para simplificar la ultima integral, hacemos el cambio de variable u = xy(y = u/x, con dy = du/x) en las integrales ms internas, para obtener

Figura 4a

00 -

- z -XY

1 u 1 uF (z) =

x x x xf(x, )du dx f(x, )du dx

z

0

0 z

- - -

1 u 1 u=

|x| x |x| xf(x, )du dx f(x, )du dx

z

z

- -

1 u=

|x| xf(x, )dx du

z

- -

1 u=

|x| xf(x, )du dx

XYZ

-

z f =

x

dF (z) 1(z) = f(x, )dx

dz |x|

Densidad Condicional

Para motivar la definicin de densidad condicional de v.a.s continuas,primero discutiremos este concepto para v.a.s discretas. Supngase que Xe Y son v.a.s discretas con f.d.p.c. f. Si x es un posible valor de X,entonces

X

P(X = x, Y = y) f(x, y)P(Y = y | X = x) = = .

P(X = x) f (x)

La funcin f Y|X definida por

X

XY|X

X

f(x, y), para f (x) 0,

f (x)f (y | x) = (25)

0, para f (x) 0.

es llamada la densidad condicional de Y dado X.

Ahora, para cualquier valor posible x de la v.a. X,

y XY|X

y y X X X

f(x, y)f (x)f(x,y)

f (y | x) = = = = 1,f (x) f (x) f (x)

as que para tal x, f Y|X(y | x) define una f.d.p. discreta en y, conocidacomo la densidad condicional de Y dado que X = x. En el caso discreto ladensidad condicional no contiene, realmente, conceptos nuevos.

Si X es una v.a. continua, sin embargo, P(X = x) = 0, para cualquier x, deforma que P(Y = y | X = x) siempre esta indefinida.

En este caso, cualquier definicin de densidad condicional, necesariamentecontiene un concepto nuevo.

La manera ms simple para definir la densidad condicional de una v.a.continua, es por analoga con la Frmula (25) para densidad condicional enel caso discreto.

Definicin 1. Si X e Y son v.a.s continuas con densidad conjunta f. Ladensidad condicional fY | X se define como:

X

XY | X

X

f(x, y), para 0 f (x) ,

f (x)f (y | x) = (26)

0, para f (x) 0.

Se sigue inmediatamente de esta definicin que, como una funcin de y,fY|X(y|x) es una densidad siempre que 0 < fX(x) < (nuevamente llamadala densidad condicional de Y dado X = x).

Las densidades condicionales pueden usarse para definir probabilidadescondicionales.

As, definimos

b

Y|X a

P(a Y b | X = x) = f (y| x)dy, si a b. (27)

Alternativamente, podramos intentar definir la probabilidad condicionalque aparece en (27) por medio del siguiente lmite:

h 0P(a Y b | X = x) = lim P(a Y b | x - h X x + h). (28)

El lado derecho de (28) puede ser escrito en trminos de f como:

x h b x h b

x - h a x - h a

x h x hh 0 h 0

X x - h - x - h

1

2h

1

2h

f(u, y)dy duf(u, y)dy dulim lim .

f(u, y)dy du f (u)du

b

af(u, y) dy,S, es continua en u = x, el numerador del ltimo lmite converge a

denominador converge a f X(x) cuando h 0. Bajo la condicin adicional deque f X(x) 0, inducimos de (28) que:

b

af(x, y) dy, cuando h 0. Por otro lado, si f X es continua en x el

b

a

X

f(x, y) dyP(a Y b | X = x) = ,

f (x)

Se sigue inmediatamente de la definicin de funcin de densidadcondicional que:

f(x, y) = fX(x) fY|X(y | x), para - < x, y < . (29)

Si X e Y son independientes, se tiene

f(x, y) = fX(x) fY(y), para - < x, y < , (30)

por lo que

f Y|X(y | x) = fY(y), si 0 < fX(x) < y - < y < . (31)

Recprocamente, si (31) se cumple, entonces se sigue de (29) que (30)se cumple y X e Y son independientes.

As (31) es una condicin necesaria y suficiente para que dos v.a.s X eY que tienen una densidad conjunta, sean independientes.

Ejemplo 7. Sean X e Y v.a.s con densidad bivariada f dada por:

2 2 -(x -xy y )/23f(x, y) = e , si - x, y .4

Entonces, como vimos en el Ejemplo 2, X tiene densidad(0, 4/3). As, para - < x, y 0 e y un entero no negativo,

y-1 - ( 1) y y y-1 - ( 1)

|Y

Y

f( ,y) e y! ( )( 1) ( 1) ef ( | y) = = = ,

f (y) ( )y! ( y) ( y)

Esto es, la densidad condicional de dado Y = y es la densidad( +y, +1).

Si alguien en la industria de seguros desea resolver problemas de estetipo, deber muy posiblemente, intentar aproximar la verdadera densidadf por una densidad del tipo ( , ), donde y son elegidos parahacer una aproximacin tan buena como sea posible.

Propiedades de Distribuciones Multivariadas

Los conceptos discutidos, hasta ahora en este captulo, para dos variablesaleatorias X e Y, son fcilmente extendidos a n variables aleatorias.

Si X1, . . ., Xn son n variables aleatorias definidas sobre un espacio deprobabilidades comn ( , A, P).

mX m m m mF (x ) = P(X x ), para - < x <

El valor demX m

F (x ) puede obtenerse de F haciendo que

La funcin de distribucin marginal, para m=1, . . ., n, est definida por

Su funcin de distribucin conjunta F est definida por:

F(x1, . . ., xn) = P(X1 x1, . . ., Xn xn), -

Una funcin no negativa f es llamada funcin de densidad conjunta (conrespecto a integracin) para la funcin de distribucin conjunta F, o paralas variables aleatorias X1, . . ., Xn, si

1

1 nx x

1 n 1 n 1 n n- -

F(x , , x ) = f(u , , u )du du , para - x x . (34)

Bajo algunas condiciones adicionales, la ecuacin

n

1 n 1 n

1 n

f(x , , x ) = F(x , , x ),x x

es vlida en los puntos de continuidad de F.

Si (34) se cumple y A es cualquier subconjunto de Rn del tipoconsiderado en clculo, entonces,

1 n 1 n 1 n

A

P((X , . . ., X ) A) = f(x , . . ., x )dx dx .

En particular,

1 n 1 n- -

f(x , , x )dx dx = 1, (35)

y si am bm, para m=1, . . ., n, entonces

1 n

1 n

b b

1 1 1 n n n 1 n 1 n a a

P(a X b , , a X b ) = f(x , , x )dx dx .

la cual se obtiene integrando f sobre el resto de las n-1 variables. Por ejemplo,

La variable aleatoria Xm tiene la densidad marginal mXf

2X 2 1 n 1 3 n- -f (x ) = f(x , , x )dx dx dx .

En general, las variables aleatorias X1, . . ., Xn se dicen ser independientessi siempre que am bm para m = 1, . . ., n, entonces

P(a1 < X1 b1, . . ., an < Xn bn) = P(a1 < X1 b1) P(an2 requiere de un trucomatemtico y no ser probada aqu. Si F tiene densidad f, entoncesX1, . . ., Xn son independientes si y slo si f es tal que:

1 n1 n X 1 X n 1 nf(x , , x ) = f (x ) f (x ), para - < x , , x < .

Puede definirse directamente una densidad n- dimensional como unafuncin no negativa sobre n para la cual (35) se cumple.

La manera ms simple de construir densidades n-dimensionales escomenzar con n densidades unidimensionales f1, . . ., fn y definir fpor

f(x1, . . ., xn) = f1(x1) fn(xn), para - < x1, . . ., xn< . (36)

Si X1, . . ., Xn son variables aleatorias cuya densidad conjunta f estdada por (36), entonces X1, . . ., Xn son independientes y Xm tienecomo densidad marginal a fm.

Ejemplo 10. Sean X1, . . ., Xn variables aleatorias independientes, cadauna teniendo una densidad exponencial con parmetro .Encuentre la densidad conjunta de X1, . . ., Xn.

La densidad de Xm est dada por

m

m

- x

mX m

e , para 0 x ,f (x ) =

0 , d.o.f.

As, f est dada por

1 n- (x . . . x )n

1 n1 n

e , para x , ,x 0,f(x , , x ) =

0 , d.o.f.

Para calcular la densidad de la suma de n variables aleatoriasindependientes y para otros propsitos diferentes, necesitamos elsiguiente resultado.

Teorema 4. Sean X1, . . ., Xn variables aleatorias independientes.Sea Y una variable aleatoria definida en trminos deX1, . . ., Xm, y sea Z una variable aleatoria definida entrminos de Xm+1, . . ., Xn(donde 1 m

Recordemos que la densidad exponencial con parmetro es lamisma que la densidad (1, ).

As, un caso especial del teorema anterior tiene el siguiente corolario:Si X1, . . ., Xn son variables aleatorias independientes, cadauna teniendo densidad exponencial con parmetro ,entonces X1 + . . . + Xn tiene densidad (n, ).

Teorema 6. Sean X1, . . ., Xn variables aleatorias independientes talque Xm tiene densidad ( m, m

2), m = 1, . . ., n.Entonces X1 + . . . + Xn tiene la densidad ( ,

2), donde= 1+ . . .+ n y

2 = 12 + . . . + n

2.

Si X1, . . ., Xn son variables aleatorias con densidad conjunta f, entoncescualquier sub-coleccin de estas variables aleatorias tiene una densidadconjunta la cual puede encontrarse integrando sobre el resto de lasvariables. Por ejemplo, si 1 m

Frecuentemente las densidades condicionales son expresadas entrminos de una notacin algo diferente. Por ejemplo, sean X1, . . ., Xn, eY, n+1 variables aleatorias con densidad conjunta f. Entonces ladensidad condicional de Y dadas X1, . . ., Xn se define por

1 m

1 n

1 nY|X X 1 m

X , . . ., X 1 n

f(x , . . ., x , y)f . . . (y | x , . . ., x ) .

f (x , . . ., x )

Cambio de Variable Multidimensional

TRANSFORMACIN DE VARIABLES

Considrese una integral de la forma

. A,dx , ,)dx x, ,(x n1n1A

Supngase que se tiene la siguiente transformacin de variables:

1 1 1 2 n

2 2 1 2 n

n n 1 2 n

y = u (x ,x , ,x )

y = u (x ,x , ,x )A B, donde

y = u (x ,x , ,x )

T :

la cual es uno a uno y sobre de A en B n, cuya transformacininversa es:

1

1 1 1 2 n

2 2 1 2 n

n n 1 2 n

x = w (y ,y , ,y )

x = w (y ,y , ,y ) A, donde

x = w (y ,y , ,y )

T :B

TEOREMA: Si las primeras derivadas parciales de las funciones inversasexisten y son continuas, y si el jacobiano J de latransformacin inversa no es igual a cero para todo punto deB entonces

1 n 1 n 1 1 n 1 1 n 1 nA B

(x , , x )dx , , dx [ (y , , y ), , (y , , y )] J dy , , dy

en donde,1 1 1

1 2 n

2 2 2

1 2 n

n n n

1 2 n

x x x

y y y

x x x

y y yJ =

x x x

y y y

Ejemplo 1: Considrese la integral

11 x

1 2 2 10 0I (x x )dx dx

en este caso, es claro que A = {(x1, X2)| 0 < X2 < X1 < 1}; y considrese latransformacin:

1

2

1 2

1 2

= x + x A B, donde , con B = T(A).

= x - x

yT :

y

Cuya transformacin inversa es

11

2

1 2

1 2

y + y =

2 A, donde .

y - y =

2

x

T :B

xcon jacobiano

2

1 -

2

1 -

2

12

1

2

1

J

Ahora, como A = {(x1, X2)| 0 < X2 < X1 < 1}, entonces se tiene que

1 2 1 2

(1) (2) (3)

y y y y0 < 1

2 2

De donde: (1) y2 < y1; (2) 0 < y2; (3) y1 + y2 < 20 < y2 < 2 y1, de aqu que 0 y1 2 & 0 < y2 min{y1, 2 y1}. Asque (ver figuras 1 y 2)

B = {(y1, y2)| 0 y1 2 & 0 < y2 min{y1, 2 y1} }.

Entonces por el Teorema anterior

1 2

0 1

1 1

1 1

1 y 2 2 - y1 2 1 2 1 2 1 2

2 1 2 10 0 1 0

3 2 31 y 2 2 - y

1 1 1 1 12 1 2 10 0 1 0

y y y y y +y y y1 1I ( ) - dy dy ( ) - dy dy

2 2 2 2 2 2

y y y y y 1 dy dy dy dy = + - =

2 2 6 2 6 2.

R

Ejercicio 1: Con respecto al ejemplo anterior, supngase que ahora se tiene la transformacin:

y1 = x1 + x2y2 = x1 2x2

Hallar la integral correspondiente a esta transformacin (o cambio de variable).

APLICACIN DEL TEOREMA DE LA TRANSFORMACIN (O CAMBIO DE VARIABLE) A TRANSFORMACIONES DE VARIABLES ALEATORIAS (v.a.'s).

Sea X = (X1, . . ., Xn) un v.a. continuo de dimensin n con densidadfx(x) y sea A* el conjunto de n donde fX(x) > 0.

Supngase que Y1 = u1(X1, . . ., Xn)Y2 = u2(X1, . . ., Xn)

.

..

Yn = un(X1, . . ., Xn)

Donde las v.a.'s Yi son funciones de las v.a.'s Xi, tal que,yi = ui(x1, . . ., xn) para i = 1, . . ., n definen una transformacin uno auno y sobre de A* en B* n con inversa xi = wi(y1, . . ., yn) parai = 1, . . ., n, y con jacobiano J de la transformacin inversa noidnticamente cero.

Sea A A* y sea B la imagen de A bajo la transformacin. Entonces,

1 n 1 n XA

P((Y , . . ., Y ) B) = P((X , . . ., X ) A) = f (x)dx = (*)

y por el T. C. V.

1 nX , . . ., X 1 1 n n 1 n 1 nB(*) = f ( (y , , y ), , (y , , y )) J dy , , dy . w w

Sea D n entonces,

C

c

D B* D B*

P(Y D) = P(Y D B*) + P(Y D B* )

= (y) dy (y) dy

donde

1 NX , . . ., X 1 1 n n 1 n(y) f ( (y , , y ), , (y , , y )) J w w

De donde la funcin de densidad de Y esta dada por:

1 n

1 n

X , . . ., X 1 1 n n 1 n 1 n

Y , . . ., Y 1 n

f ( (y , , y ), , (y , ,y )) J , si (y , ,y ) B*f (y , , y )

0 , de otro modo

w w

Teorema 2: (Teorema de Transformacin) Sea X = (X1, . . ., Xn) un v.a.continuo de dimensin n con f.d.p.c. fx(x) y sea A* elconjunto de Rn donde fX(x) > 0. Si el sistema de v.a.s Yi =ui(X1, . . ., Xn), para i = 1, ,n, determina una transformacinbiyectiva T de A* en B*=T(A*), cuya inversa T-1 de B* en A*est dada por xi = wi(y1,,yn), para i = 1,,n con jacobiano Jno idnticamente nulo. Entonces, la f.d.p.c. del v.a. Y =(Y1,,Yn) est dada por:

1 n

1 n

X , . . ., X 1 1 n n 1 n 1 n

Y , . . ., Y 1 n

f ( (y , , y ), , (y , ,y )) J , si (y , ,y ) B*f (y , , y )

0 , de otro modo

w w

Con lo que se ha mostrado el siguiente Teorema.

Ejemplo 2: Sean X1, X2 y X3 v.a.s con f.d.p.c. Conocida y seaY1 = u1(X1, X2, X3). Se desea encontrar la densidad de Y1.

Solucin: A veces es posible definir a nuevas v.a.sY2 = u2(X1, X2, X3) e Y3 = u3(X1, X2, X3) tal que latransformacin determinada por tales v.a.s es biyectiva, deforma que aplicando el Teorema 2 se puede encontrar laf.d.p.c. del v.a. Y = (Y1, Y2, Y3) e integrar respecto a y2 e y3para obtener la f.d.p. de la v.a. Y1.

Ejemplo 3: Sean X1, X2 una m.a. de la distribucin E(1). Hallar la

f.d.p. de la v.a. Y1 = X1 + X2.

Solucin: Para aplicar el teorema de la transformacin, se propone elsiguiente sistema de v.a.s: Y1 = X1 + X2 & Y2 = X1; el cualdetermina la siguiente transformacin:

12

1 2

1

y = x + x T : B, donde , con B = T( ).

y = x

La cual es biyectiva con inversa dada por:

11

2

2

1 2

x = y T :B , donde .

x = y - y Cuyo Jacobiano es:

0 1J = -1, es decir, J = 1.

1 1

Ahora, como x1 = y2 >0, es decir, y2 >0; adems x2 = y1 y2 >0 dedonde, y2 < y1. Luego, al considerar las desigualdades anteriores tenemosque: 0

As, por el Teorema de la transformacin para v.a.s tenemos:

2 1 2

1 2 1 2 1 2

-y -(y - y )

Y ,Y 1 2 ,X 2 1 2 2 X 1 2f (y , y ) f (y , y - y ) = f (y ) f (y - y ) = e eX X

Esto es,

1

1 2

-y

2 1Y ,Y 1 2

e , si 00 f (y ) =

0, d.o.f.

Esto es, Y1 (2,1).

Por otro lado, obsrvese que: Y2 Exp(1) (1,1).

Ejemplo 3: Sean X1, . . . , Xn v.a.s independientes cada una teniendo una densidad exponencial con parmetro . Defina Y1, ,Yn por Yi = X1+ +Xi, para 1 i n. Encontrar la densidad conjunta de Y1, . . . ,Yn.

Solucin: Para aplicar el teorema de la transformacin, se tiene elsiguiente sistema de v.a.s: Y1 = X1, Y2 = X1 + X2, , Yi = X1+ +Xi,para 1 i n; el cual determina la siguiente transformacin:

1

2

2

1

1 2n n

1 2 n

y = x

y = x + x T : B, donde , con B = T( ).

y = x + x + + x

La cual es biyectiva con inversa dada por:

12

1

2 1n n

i i i-1

x = y

x = y - y T : B , donde , con B = T( ).

x = y - y , i=1,...,n

Cuyo Jacobiano es:

1 0 0 0 0

-1 1 0 0 0

J = 1, es decir, J = 1.

0 0 -1 1 0

0 0 0 1 1

Ahora, como x1 = y1 > 0, es decir, y1 >0; x2 = y2 y1 >0, de donde,y1 < y2. En general, xi = yi yi-1 > 0, esto es, yi-1 < yi, para i = 1,,n. Luego,al considerar las desigualdades anteriores tenemos que:

B = {(y1,y2) + + | 0

As, por el Teorema de la transformacin para v.a.s tenemos:

1 n 1 2 n

1 2 n

Y ,...,Y 1 n ,X , ,X 1 2 1 n n-1

X 1 X 2 1 X n n-1

f (y , ,y ) = f (y , y - y , ,y - y )

= f (y ) f (y - y ) f (y - y )

X

1 2 1 n n-1- y - (y - y ) - (y - y ) = e e e

n- yn = e

n

1 n

- yn

1 nY , , Y 1 n

e , para 0 y y ,f (y , , y ) =

0 , d.o.f.

As, la densidad conjunta, de1 nY , . . ., Y

f , est dada por:

Ntese que las v.a.s Y1,,Yn no son independientes, ni idnticamentedistribuidas.

Por otro lado,

1 1 2 n

1 n-2 n-1

n

1 n-2 n-1

Y 1 Y ,Y , ,Y 1 2 n n n-1 2

y y y

- y

n n-1 2

y y y

f (y ) = f (y , y , ,y )dy dy dy

= e dy dy dy

n

n

1 n-2 n-1

n-1

1 n-2

- y1

n n-1 2

y y y

- y1

n-1 n-2 2

y y

= e dy dy dy

= e dy dy dy

n

n

2 1 1

1

- y - y - y

2

y

= e dy = e = e

1

1

- y

Y 1 (0, ) 1f (y ) = e I (y )

Esto es,

Estadsticas de Orden

Sean U1, . . ., Un variables aleatorias continuas e independientes, cadauna con funcin de distribucin F y funcin de densidad f.Sean X 1, . . ., X n las variables aleatorias obtenidas al tomar X 1( ), . . .,X n( ) como el conjunto U1( ), . . ., Un( ) permutado y puesto en ordencreciente. En particular, X 1 y X n son definidas como las funciones:

X 1( ) = min{U1( ), . . ., Un( )} y X n( ) = max{U1( ), . . ., Un( )}.

Y X k( ) = min[{U1( ), . . ., Un( )} - {X1( ), . . ., XK-1( )}], k=2,3,,n.

La variable aleatoria X k es llamada la k- sima estadstica de orden. Otravariable aleatoria relacionada con las estadsticas de orden es el rango R,definido por

R( ) = Xn( ) X1( ) = max{U1( ), . . ., Un( )} min{U1( ), . . ., Un( )}.

Se sigue de las suposiciones sobre U1, . . ., Un qu, las Ui son distintascon probabilidad uno, por lo que X 1< X 2< . . . < Xn.

Para ilustrar esta definicin numricamente, supngase que U1( )=4.8,U2( )=3.5, y U3( )=4.3. Entonces X 1( )=3.5, X 2( )=4.3, X 3( )=4.8 yR( )=1.3.

Ejemplo 11. Considrese que una mquina tiene n partes cuyos tiemposde falla son, respectivamente U1, . . ., Un. Supngase tambin quedichos tiempos de falla son independientes y tienen la mismadistribucin. Sea X k el tiempo que tardan en fallar k de las partes.Si la maquina falla en cuanto falla una parte, entonces X1 =min(U1, . . ., Un) es el tiempo de falla de la mquina. Si lamaquina falla hasta que su ltima componente falla,entonces X n = max(U1, . . ., Un) es el tiempo de falla de lamquina.

Ejemplo 12. Si n componentes con idntica esperanza son manufacturadosen una corrida particular de una lnea de ensamble y si U1, . . .,Un denotan las longitudes de las n partes. Un inspector puedeestar interesado en la longitud mnima X 1 y mxima X n paraverificar si las longitudes estn dentro de ciertos lmites detolerancia. Si las componentes son intercambiables, la cantidad devariacin en las longitudes puede mantenerse pequea. Unaposible medida de esta variacin es el rango R de las longitudes.

Ahora calcularemos la funcin de distribucin de la k- sima estadsticade orden X k. Si - x < . La probabilidad de que caigan exactamente jelementos Ui en el intervalo (- , x] y (n-j) elementos caigan en elintervalo (x, ) es:

j n-jn

F (x)(1 - F(x)) ,j

debido a que es aplicable la distribucin binomial con parmetros n yp=F(x). El evento {X k x} ocurre si y slo si k ms de las Ui caen en elintervalo (- , x]. As,

k

nj n-j

X k

j k

nF (x) = P(X x) = F (x)(1 - F(x)) , - < x < . (37)

j

En particular las funciones de distribucin de X n y X 1 pueden escribirsesimplemente como

n 1

n n

X XF (x) = (F(x)) , - < x < , y F (x) = 1 - (1 - F(x)) , - < x <

Para encontrar las correspondientes funciones de densidad, debemosdiferenciar estas cantidades. Encontrando fcilmente que

n 1

n -1 n -1

X Xf (x) = nF (x)f(x), para - < x < , y f (x) = n(1 - F(x)) f(x), para - < x < .

En general, la derivacin correspondiente para X k, es ligeramente mscomplicada. De (37),

k

n n - 1j - 1 n - j j n - j - 1

X

j k j k

n! n!f (x) = F (x)(1 - F(x)) f(x) - F (x)(1 - F( x)) f(x)

(j - 1)!(n - j)! j !(n - j - 1)!

n nj - 1 n - j j - 1 n - j

j k j k+1

n! n! = F (x)(1 - F(x)) f(x) - F (x)(1 - F(x)) f(x)

(j - 1)!(n - j)! (j - 1)!(n - j)!

y por cancelacin se tiene que

k

k - 1 n - k

X

n!f (x) = F (x)(1 - F(x)) f(x), - < x < . (38)

(k - 1)!(n - k)!

Para encontrar la densidad del rango R primero encontramos la densidadconjunta de X 1 y X n. Suponemos que n 2 (puesto que R = 0cuando n = 1). Si x y, entonces

P(X1 > x, Xn y) = P(x < U1 y, . . ., x < Un y) = (F(y) F(x))n,

y por supuesto, P(Xn y) = Fn(y). Consecuentemente

1 nX , X 1 n 1 n 1 n

n 1 n

n n

F (x, y) = P(X x, X y) = P(X < , X y) - P(X x, X y)

= P(X y) - P(X x, X y)

= F (y) - (F(y) - F(x)) .

As, la densidad conjunta est dada por

1 n 1 n

2n-2

X , X X , Xf (x,y) = F (x, y) = n(n-1)(F(y)-F(x)) f(x)f(y), para x y.x y

Es claro y fcil de probar que: 1 nX , X

f (x, y) = 0, para x > y.

Ahora, aplicando un argumento semejante al aplicado en laobtencin de la densidad de una suma, la densidad de R = X n X 1est dada por

1 nR X , X-f (r) = f (x, r x)dx.

En otras palabras

n - 2

- R

n(n - 1) (F(r x)- F(x)) f(x)f(r x) dx, si r 0f (r) =

0 , si r 0.

Existe una forma heurstica , la cual es muy til, para derivar estasfrmulas. Ilustramos esta forma de derivacin, reeditando la frmulapara

kXf .

Supngase que dx denota un nmero positivo pequeo. Entoncestenemos la aproximacin

kX kf (x)dx P(x X x+dx).

El evento {x X k x + dx} ocurrir si k 1 de los Ui toman sus valoresen (- , x], uno de los Ui toma su valor en (x, x + dx], y n k de los Uitoman sus valores en (x + dx, ) (ver Figura 5).

k

k-1 n - kx x dx

X- x x dx

n!f (x)dx f(u)du f(u)du f(u)du

(k-1)!1!(n-k)!

Aplicando la distribucin multinomial con la probabilidad de que elnmero indicado de las Ui tomen sus valores en los intervalosapropiados, se tiene que

k -1 n-kn! F (x)(f(x)dx)(1 - F(x+dx)) ,(k-1)!(n-k)!

de donde obtenemos (38).

Distribuciones Mustrales

Sean X 1, . . ., X n variables aleatorias independientes, cada una condensidad normal (0, 2). En esta seccin encontraremos las funcionesde distribucin de varias variables aleatorias definidas en trminos delas variables Xi. Junto con esto damos aplicaciones del materialprecedente, estas funciones de distribucin son de fundamentalimportancia en inferencia estadstica.

La constante 2 es conveniente pero no esencial puesto que X1/ , . . .,Xn/ son independientes y cada una de ellas tiene la distribucinnormal estndar. As, siempre podremos tomar 2 = 1, sin prdida degeneralidad.

Por el Teorema 6 la variable aleatoria X 1 + X 2 + . . . + X n tiene unadistribucin normal con media 0 y varianza n 2. Si dividimos estasuma por diferentes constantes podemos obtener formas alternativasde este resultado.

As, (1/n)(X1++Xn) (0, 2/n), y

0 11 nn(X . . . X )

( , )

Puesto que X1/ tiene densidad normal estndar, siguindoseque X 1

2/ 2 tiene la densidad gama (1/2, 1/2). As, por elTeorema 5, (X1

2 + . . . + Xn2)/ 2 (n/2, 1/2).

Esta densidad gama particular es muy importante en estadstica. Y sesabe que la variable aleatoria correspondiente tiene una distribucin Ji-cuadrado ( 2) con n grados de libertad, denotada por 2(n).

Aplicando el Teorema 5, obtenemos el siguiente resultado acerca de ladistribucin 2.

Teorema 7. Sean Y1, . . ., Yn variables aleatorias independientes, tales

que, Ym tiene la distribucin . Entonces Y1 + + Yn

tiene la distribucin 2(k), donde k = k 1 + . . . + k n.

m

2

k

Demostracin: Por suposicin Ym (km/2, 1/2). As, por el Teorema 5,Y1+ +Yn (k/2, 1/2) donde k = k 1+ ... + k n. Peroesta distribucin es 2(k), por definicin.

Tambin podemos aplicar el Teorema 3 para encontrar la distribucin dela razn de dos variables aleatorias independientes Y1, Y2 condistribucin 2(k1) y

2(k2) respectivamente. Es tradicional enestadstica expresar el resultado en trminos de las variablesnormalizadas Y1/k1 y Y2/k 2. La distribucin de la variable aleatoria

22

11

/kY

/kY

es conocida como la distribucin F con k 1 y k 2 grados de libertad, ydenotada por F(k 1, k 2) o por

1

2

k

kF .

Teorema 8. Sean Y1 y Y2 variables aleatorias independientes condistribucin 2(k1) y

2(k2). Entonces, la variablealeatoria

1

2

k1 1k

2 2

Y /k F

Y /k

tiene densidad dada por:

1

1 2

(k /2) - 1

1 2 1 2 1 2

(k k )/2

1 2 1 2

(k /k ) [(k k )/2](k x/k ), si x 0,

f(x) = (39)(k /2) (k /2)[1 (k x/k )]

0, si x 0.

Demostracin: Por el Teorema 3, la variable aleatoria Y1/Y2 tienedensidad g, donde g est dada por (24) con 1 = k1/2 y 2 = k2/2.As, la densidad f de k2Y1/k1Y2, est dada por

1 1

2 2

k k xf(x) = g( )

k k

Y (39), ahora, se sigue de (24).

Se puede aplicar este resultado a las variables aleatorias X1, . . ., X ndefinidas al principio de esta seccin. Si 1 m < n, por el Teorema 4,las variables aleatorias:

2 2 2 2

1 m m 1 n

2 2

X X X X, y ,

son independientes y puesto que ellas tienen las distribuciones 2(m) y2(n m) respectivamente, se tiene que la variable aleatoria

2 2m1 mn-m2 2

m 1 n

(X X )/m F

(X X )/(n-m)

Y la densidad dada por (39), donde k1 = m y k 2 = nm.

El caso m =1, es especialmente importante. La variable aleatoria

2

1

2 2

m+1 n

X,

(X X )/(n-m)

tiene distribucin F(1, n 1).

1

2 2

2 n

XY .

(X X )/(n-1)

Puesto que X1 tiene una funcin de densidad simtrica y esindependiente de la variable aleatoria 2 22 n(X X )/(n-1)

se sigue fcilmente por el Teorema 2 del Captulo 5 que Y tiene unafuncin de densidad simtrica fY.

Puede usarse este hecho para encontrar la distribucin de la variablealeatoria

est relacionada con fY por

2 Y YY

1f (z) (f (- z) f ( z)), z > 0.

2 z

Ahora, usando la simetra de fY y poniendo z = y2 se tiene que:

2

2

Y Yf (y) = |y| f (y ).

Puesto que Y2 tiene densidad F(1, n 1) dada por (39) con k 1 = 1y k 2 = n-1, encontramos que

2 -1/2

Y 2 (k 1)/2

|y|(1/k) [(k 1)/2](y /k)f (y) = .

(1/2) (k/2)[1 (y /k)]

Por el Ejemplo 5 del Captulo 5 la densidad 2Yf ,

Puesto que 1

2, = esta expresin se reduce a:

2 -(k 1)/2

Y

[(k 1)/2][1 (y /k)]f (y) = , - y . (40)

k (k/2)

Una variable aleatoria cuya densidad est dada por (40) se dice teneruna distribucin t con k grados de libertad. Observemos que ladistribucin t con 1 grado de libertad es la misma que la distribucinde Cauchy.

La distribucin de la variable aleatoria: 12 2

2 n

XY ,

(X X )/(n-1)

la cual tiene una distribucin t con n1 grados de libertad, depende slo del hecho de que

2

2

n

2

21 XX y X

son independientes y distribuidas como (0, 1) y 2(n-1),respectivamente. De donde se tiene el siguiente resultado:

Teorema 9. Si X e Y son variables aleatorias independientes condistribuciones (0,1) y 2(k), respectivamente.Entonces, la v.a

XT =

Y/k

tiene una distribucin t con k grados de libertad.

Observacin: Para indicar que la v.a. T tiene una distribucin t con k grados de libertad, usamos la siguiente notacin:

T t(k)