A Money Interest and Simple Discount 1

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  • Luego de un breve repaso de algunos conceptos bsicos en los primeros dos captulos, propia-mente aqu comenzamos con el estudio de las matemticas financieras, un rea importante dela matemtica aplicada, en la que se analizan los elementos y la metodologa para trasladar, enel tiempo y de manera simblica, pero que refleja la situacin de la vida real, los capitales queintervienen en cualquier operacin de ndole financiera y comercial. Como en los otros, alfinal de este captulo se incluyen interesantes ejemplos de aplicacin, relacionados con la te-mtica que aqu se aborda; sin embargo, antes veremos algunos conceptos y definiciones im-portantes.

    94 Captulo 3: Inters y descuento simple

    3.1 Algunas definiciones

    Definicin 3.1

    Inters es el pago por el uso del dinero ajeno, se denota con I.

    Otras formas de conceptualizar los intereses o rditos son:

    El cambio en el valor del dinero con el paso del tiempo. El dinero que produce un capital al prestarlo o invertirlo para que otros lo usen sin ser desu propiedad. Por ejemplo, si usted consigue un prstamo bancario, estar utilizando undinero que no es suyo sino del banco. Tambin si invierte un capital en un banco, enton-ces el banco le pagar intereses por usar el dinero de usted. Es el precio que tiene el dinero como cualquier otro bien; es el pago por la adquisicinde bienes y servicios en operaciones de crdito, etctera.

    Numricamente hablando, los intereses son la diferencia entre dos cantidades: el capital y elmonto.

    Definicin 3.2

    Si al transcurrir el tiempo una cantidad de dinero, C, se incrementa hasta otra, M, entonces elinters es I = M C, donde C es el capital, y M el monto del capital.

    Definicin 3.3

    Al nmero de das u otras unidades de tiempo que transcurren entre las fechas inicial y finalen una operacin financiera se le llama plazo o tiempo.

    Dependiendo del caso y de las circunstancias, el capital tambin tiene el nombre de principal,valor presente o valor actual. De igual manera, algunos sinnimos del monto del capital sonvalor futuro, montante, valor acumulado o simplemente monto.

  • En la figura 3.1 se ilustran estos conceptos.

    FIGURA 3.1

    Desde este punto de vista, el monto siempre es mayor que el capital y se ubica en un tiempofuturo respecto del capital.

    953.1: Algunas definiciones

    Definicin 3.4

    La razn entre el inters I y el capital C por unidad de tiempo se llama tasa de inters, por lotanto:

    i = I/C

    Gracias a la estabilidad econmica que actualmente se vive en el pas, las tasas de inters sonrelativamente bajas, muy por debajo de las que se tuvieron en pocas anteriores, cuando a lapar que la inflacin, llegaron a porcentajes aun mayores del 100% anual. No obstante, a pesarde lo anterior, estas tasas son variables y se determinan sumando puntos porcentuales a las ta-sas de referencia siguientes:

    a) La tasa lder, de rendimiento, con que se ofrecen los Certificados de la Tesorera de laFederacin, CETES, a 28 das de plazo en su colocacin primaria.

    b) El CPP, o costo porcentual promedio de captacin.c) La TIIE o tasa de inters interbancaria de equilibrio.

    stas varan con lapsos diferentes y su nuevo valor se publica en el Diario Oficial de la Fede-racin; por ejemplo, la TIIE se publica a diario, ya que cotidianamente se determina por las co-tizaciones que algunos bancos presentan al Banco de Mxico. El CPP, por otro lado, es una ta-sa que el mismo banco estima de acuerdo con los saldos de captacin bancaria en un periodomensual, para aplicarse en el siguiente mes.

    Si la tasa de inters se multiplica por 100 se obtiene la tasa de inters en porcentaje. Deesta manera, la tasa de inters es el valor de una unidad monetaria en el tiempo. Si est en por-ciento ser el valor de 100 unidades monetarias en el tiempo.

    CAPITAL CAPITAL

    INTERESES

    Fechainicial

    Fechaterminal

    Plazo

    MONTO

  • Cuando la tasa de inters se expresa en porcentaje se le llama tipo de inters, y al valor co-rrespondiente expresado en decimales, el que se emplea para las operaciones, se denominacomo tasa de inters, pero en la prctica es al primero al que le llaman tasa de inters.

    96 Captulo 3: Inters y descuento simple

    Ejemplo 1

    Intereses, capital, monto, tasa de inters, plazo y tipo de inters

    La licenciada Adriana invierte $4,000 y al trmino de 1 ao recibe $4,500 por su inversin.El valor presente es C = $4,000, el monto es M = $4,500 y los intereses son la diferencia deM y C:

    I = 4,500 4,000I = $500

    La tasa de inters es i = 500/4,000 = 0.125. El tipo de inters es, por lo tanto, 0.125(100) = 12.5%anual, y el plazo es de 1 ao.

    Inters simple e inters compuesto

    Las dos clases de inters que ms comnmente se utilizan son el inters simple y el com-puesto.

    Definicin 3.5

    El inters es simple cuando slo el capital gana intereses y es compuesto si a intervalos detiempo preestablecidos, el inters vencido se agrega al capital. Por lo que ste tambin generaintereses.

    Suponga que hace una inversin a plazo fijo. Si al final retira el capital y los intereses, en-tonces estar ganando un inters simple; sin embargo, si no hace retiro alguno, entonces losintereses, al trmino del plazo fijo, se suman al capital y a partir del segundo periodo ganarn in-tereses, puesto que ya forman parte integral de dicho capital y en tales condiciones la inversinestar devengando con inters compuesto.

    Cabe sealar que es prctica comn que al final de un periodo se retiren slo los intereses,por lo que en ese caso se estar ganando un inters simple.

    3.2 Inters simple

    En la seccin anterior se dijo que la tasa de inters por unidad de tiempo es i = I/C. Si se despejaI multiplicando los dos miembros de la ecuacin por C, se obtienen los intereses:

    I = Ci

  • Pero si el plazo no es la unidad sino cualquier otro valor, digamos n periodos, entonces losintereses sern

    I = Cin

    Es decir, que son proporcionales al capital, al plazo y a la tasa de inters, lo cual se forma-liza en el siguiente teorema.

    973.2: Inters simple

    Teorema 3.1

    Los intereses que produce un capital C con una tasa de inters simple anual i durante n aosestn dados por

    I = Cin

    solucin

    Ejemplo 1

    Tasa de inters simple en un prstamo

    Cul es la tasa de inters simple anual, si con $14,644 se liquida un prstamo de $14,000en un plazo de 6 meses?

    Los intereses son la diferencia entre el monto y el capital prestado.

    I = 14,644 14,000 I = M Co I = $644El plazo en aos es n = 1/2, que equivale a un semestre. La tasa anual, i, se despeja de laecuacin siguiente que result de sustituir los valores anteriores en I = Cin.

    644 = 14,000(i)(1/2)de donde, 644(2)/14,000 = i

    i = 0.092 o 9.2% simple anual

    Advertencia

    La unidad de tiempo para la tasa de inters puede no ser anual, sino mensual, diaria, trimes-tral o de cualquier otra unidad de tiempo. Sin embargo, en cualquier caso es importante ha-cer coincidirla con las unidades de tiempo del plazo; por ejemplo, si la tasa de inters essemanal entonces el plazo debe expresarse y manejarse en semanas.

    C x

    7 8 9

    4

    5 6

    1 2 3

    0 .

  • Frmula del inters simple

    Anteriormente se mencion que los intereses son la diferencia entre el monto y el capital:

    I = M C

    Si pasamos sumando la C al lado izquierdo, se despeja M.M = C + I porque I = CinM = C + Cin,M = C (I + in), ya que se factoriza C

    98 Captulo 3: Inters y descuento simple

    Si no se dice otra cosa con respecto a la tasa de inters, sta se considerar como simpleanual. Por ejemplo, al decir una tasa del 11.5% se sobreentender como 11.5% simple anual,al menos as se considera en este libro.Recuerde, adems, que para las operaciones la tasa dada debe dividirse entre 100, recorriendo elpunto decimal dos lugares hacia la izquierda y, lo ms importante, debemos en todo caso aclarar laforma en que se estn tratando las tasas de inters de cualquier operacin financiera o comercial,ya que de no hacerlo podran suscitarse ciertos problemas entre las partes que intervienen en talesoperaciones. Veremos que, una tasa del 13% arroja diferentes resultados si es simple, compuestapor meses o compuesta por semestres, por ejemplo, aunque en todo caso es una tasa anualizada.

    Teorema 3.2

    El valor acumulado M de un capital C que devenga intereses con la tasa de inters simpleanual, i, al final de n periodos anuales es

    M = C(1 + in)

    Es muy importante insistir en que si la tasa de inters no es anual, entonces es necesario quetanto la tasa como el plazo estn en las mismas unidades de tiempo.

    Ejemplo 2

    solucin

    Monto acumulado en cuenta bancaria

    Cunto acumula en 2 aos en su cuenta bancaria el seor Morales, si invierte $28,000 ga-nando intereses del 7.3% simple anual?

    Los valores a sustituir en la ecuacin 3.2 son:

  • 993.2: Inters simple

    C = $28,000, el capitaln = 2, el plazo en aosi = 0.073, la tasa de inters simple anual

    M es la incgnita, entonces,

    M = 28,000[1 + 0.073(2)] M = 28,000(1.146)M = $32,088

    Recuerde que de esta frmula, o de cualquier otra, puede determinarse una de las variablesque en ella aparecen. Para despejar una cualquiera, es recomendable hacerlo hasta despusde haber reemplazado los valores que son conocidos, es decir, los datos.

    solucin

    Ejemplo 3

    Plazo en que se duplica una inversin con inters simple

    En cunto tiempo se duplica una inversin con un tipo de inters del 13% simple anual?

    Si C es el capital inicial, entonces el monto M al final del plazo ser el doble de C, es decir,M = 2C, por lo que al reemplazar esto en la ecuacin del teorema 3.2, sta quedar as:

    2C = C(l + 0.13n), ya que M = C (1 + in)Para despejar la incgnita n, la ecuacin se divide entre C y se