5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

1/36

PARTEA I

ELEMENTE DEANALiZA MATEMATICACapitolul1 E

1. GENERALITATI

1.1. Generalitati despre primitive pe un intervalFie I c: R un interval ~i functia F : I ~ R.Am vazut incapitolul "Derivate" (vezi manualul

de clasa a XI-a) ca, in anumite conditii putem sa asociem functiei F 0 alta functie, notataF' : I ~ R, printr-un procedeu pe care l-am numit de derivare. Problema pe care ne-o punemacum este oarecum inversa ~i anume:

Fiind data 0 functie I: I~R, ne punem intrebarea in ce conditii exista 0 functie derivabilaF : I ~ R, astfel incat F' =f 0 alta problema care se poate pune este aceea a gasirii unormodalitati de a determina astfel de functii F.

1.1 .1 . Oef in it ieISpunem ca functia I:I~R admite primitiva pe I daca exista functiaF: I ~R, derivabila, asa ca F'(x) =I(x) pentru orice x E I.Functia F se va numio primitiva a lui!

Exista foarte multe functii care admit primitive!1 .1 .2 . Teorema

Daca ZcR este interval, atunci orice functie continua I: I~R admite primitive.Daca F este 0 primitiva a lui f, atunci, pentru orice numar real C ~i functia F + C este 0

primitiva a !uif Cu alte cuvinte, 0primitiva a lui fnu este unic determinata.Invers, daca F este 0 primitiva a lui f, atunci orice alta primitiva U a luiIeste de forma

U =F + C, unde C este 0 constanta reala oarecare.Intr-adeviir, functia H = U - F : I ~ R este derivabila si avem pentru orice x E I egalitatea:H' (x) = (U - F)'(x) = U' (x) - F' (x) = I (x) - I(x) = 0,

deci H' este functia identic nula. Atunci, stim din clasa a XI-a ca functia H trebuie sa fieconstanta, deci exista C E R , asa ca H(x) = C pentru orice x E I.Deci H = C, adica U - F = C

5

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

2/36

1.1 .3 . Def in i tieIntegrala nedefinita a lui f va fi, prin definitie multimea primitive! _F(x) + < i f o ; ' si vom scrie:

sau U =F + C. In demonstratie a intervenit esential faptul ca functiile sunt definite peinterval (am folosit teorema cresterilor fmite).

Exemp/e31. Fief: R ~ RJ(x) = : r ? Atunci functia F: R ~ R, F (x) = !_ va fi 0 primitive a ....:::3

Intr-adeviir, se verifica imediat ca F ' (x) =f(x), (V) x E R. Dar se mai observa -~-uorice constanta C E R, F (x) + C este de asemenea oprimitiva a lui!

2. Fief: R~ [-1, 1],f(x) = sin x. Atunci functia F (x) = - cos x este 0 primitiva a lui/pe Ravand in vedere ca (-cos x)' = sin x. Totodata, -cos x + C, C E R este de asemenea 0 primi-tiva a luifpe R.

Aten,ie! Daca nu lucram pe un interval, rezultatele de mai sus sunt false. De exem-plu, fief: (-00 , 0)u0, 00) ~ R, f(x) =cos x. Functiile Flo Fz : (-00 , 0)uO,:c - - - 7 > Rdate prin F](x) = sin x, pentru orice x E(-OO, 0) U (0, 00) ~i F2 (x) = sin x daea.r E ,-::c.F 2(x ) = sin x + 1, daca x E (0,00) au proprietatea ca Fj' = F~ = f(sunt primitive eTotusi, nu exista 0 constanta reala C asa ca F2 = FI + C, deoarece, in acesr C2Z.. ar:: e, ~F 2(x ) =F](x)+ C, pentru orice x E (-00, 0) U (0, 00), adica

sin x =sin x + C, daca x E (-00,0) => C =0;sin x + 1 = sin x + C, daca x E (0,00) => C = 1.

In conc1uzie, daca IcR este un interval si f: I~R este 0unctie care 2r'; ;::=:.. ~atuncifadmite 0 infinitate de primitive ~i anume, multimea tuturor primitive r esre

{F + cl C ER},unde F este 0primitiva oarecare (fixata) a lui!

ff(x) = F(x) + r : tunde C f J ? este multimea functiilor constante reale definite pe 1.

consectnt imediatea) Daca F si G sunt doua primitive ale luif, atunci diferenta F - G este 0 functie constanta,b) Daca Xo E I este un punct oarecare, Yo este un numar real si f: I ~ R are primitive,

atunci exista 0unica primitiva F : I ~ R a lui f asa ca F (xo) =Yo.Intr-adevar, fie U: I ~ R 0 primitiva oarecare a lui! Luam F = U + Yo - U (xo) si atunci

F(xo) =Yo si F este evident 0 primitiva a lui!Cu ajutorul notatiei utilizate pentru integrala nedefinita, cele doua exemple se vor scrie astfel:

3f x2 dx = ~ + ~ (x E R) sifSin x dx =-cos x + f, (x E R).

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

3/36

Daca dorim sa aflam primittva F a luif(x) =il,x E R pentru care F (1) = ~, obtinem:4 1 x3- =- + C => C = 1. Deci F (x) = - + 1 x E R.3 3 3 '1.2 . O p eratii cu fu nc tii care adm it p rim itive Fie1cR un interval.1 . 2 .1 . Teorema

Iaca f,g :1~R sunt functii care admit primitive, a, b E R, atunci ~i functiaaf + bg admite primitive si are loc relatia:

f(af(x) + bg(x)) dx =aJ f(x)dx+bJ g(x)dx, (2)Mai general, avem urmatorul rezultat:1.2.2. Coro larIDacal',h, ... , J " :1~R sunt functii care admit primitive, a" a2, ... , ~n E R,atunci: J[~a;.t;(+x = ~aiJ J,(x) dx, (3)

Exempluf(I+2x-2x2 )dx = f dx +2f xdx -2f x2 dx =x+x2 _~x3 + t f x E R.

Fie 1 : R un interval si f: 1~ R 0 functie care admite primitive. Consideram 0primitivaF: 1~R a lui! Fie acum doua numere reale a*-O ~i b, precum si un interval JcR asa caax + b e Ipentru orice x E J. Putem considera functia g : J ~ R, g(x) =f (ax + b). Atunci fadmite ca primitiva functia G : J ~ R, data prin G(x) = . . ! . . F(ax + b) (verificare imediata prinaderivare). Asadar, daca J f(x) dx = F (x) + W , atunci are loc ~i urmatoarea

1 .2 .3 . T eorema f f(ax+b)dx =..!..F(ax+b)+ aa (4)Exemple

Sa calculam:1. J (2x+3)4 dx ,x E R.

Utilizam formula (4) si obtinem: f (2x + 3)4 dx = l~ (2x + 3)5+ ~7

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

4/36

Analog avem: J 1 1--dx = -In(3x - 2) + 'if,3x-2 32. J-1- d X , X E ( 3 . , o o ) .3x-2 3Aplicatie

Fief: R ~ R cu proprietatile ca exista a E R, astfel incat:1) functia g: R ~ R, g(x) =(x + a)f(x) admite primitive;2) functia h :R ~ R, h(x) = x f (x + a) admite primitive.Atuncifadmite primitive pe R. Sase determine 0 primitiva a functieij cu ajutorul primiti-

velor lui g si h.Solut ie: Observam ca daca G este 0primitiva a lui g, atunci functia G data de G (x ) =G (x + a )

este 0primitiva a functiei g , data de g (x) =g(x + a). De asemenea, observam ca:g(x + a) - hex) =2af (x + a), sau: g(x) -hex-a) =2af(x) :}

:} I(x) = _1 [g(x) - hex - a)].2aFunctia f scrisa ca diferenta a doua functii care admit primitive, admite primitive. Daca G

este 0 primitive a lui g, iar H este 0 primitiva a lui h, se observa imediat ca functiaF(x) = L [G(x) - H (x - a)] este 0primitiva a functieij.

In aceasta ultima parte a paragrafului, ne vom ocupa de .Jipirea" primitivelor calculatepe subintervale.

Fie IcR un interval ~i f: I ~ R. Fie si I,cI un subinterval al lui I.Vom spune ca 0functie F, : I, ~ R este 0 primitiva a luifpe It. daca F, este derivabila si Fj' (x) =f(x) pentruoricex E II.

Adeseori nu putem calcula direct primitiva functiei date f :I ~ R pe intregul interval I,ciputem calcula numai primitive ale lui f pe subintervale ale lui Icare, reunite dau intregul 1.Vom arata cum putem .Jipi" aceste primitive pe subintervale pentru a obtine primitiva lui f peintreg intervalul I.

Fie deci IcR un interval si 0 * - A c 0multime finita. Atunci I - A este 0 reuniune finitade intervale disjuncte (verificare!). De exemplu, daca 1 = [-1, 1) si A = { - ~ ' O } , avemI - A = [ - 1,- ~ JU ( - ~ ,O )U (O , l) ,iar dacaA = {-I}, avemI - A = (-1, 1).

Fie f: I ~ R 0 functie care admite 0 primitiva F. Vom considera ea putem calcula cate 0primitiva a luifpe fiecare din intervalele Ii> / Z , . . . , 1m care compun pe I-A.

Fie Fk : Ik ~ R, k = 1, 2, ... , n aeeste primitive. Vom considera cate 0 constanta Ct astfelm e a t F(x) =Fk(X) + Ci.pentru orice k = 1, 2, ... , n si orice x E Ik (aceste constame exista deoa-rece, pentru orice k, functia Fk ~i restrictia lui F la I, au aceeasi derivsrz - '" F fiind

minus, in particular ea este continua inpunctele lui A.

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

5/36

Asadar, in orice a E A avem:F(a) = lim F(x) = lim F(x) = lim F(x) , daca a este interior lui 1 .x~a x~a x~a .xaF (a) = lim F (x) daca a este extremitate dreapta a lui 1 .

x~axa

Egalitatile de mai sus ne vor da relatii intre constantele Ck si aceste relatii vor permiteconstructia lui F. Exemplul care urmeaza va concretiza cele de mai sus . Exemplu

Sa calculam primitiva: f I x I dx, X E R.Explicitam functia: r:x ~o(x) = x, x o OCele doua intervale vor fi: II = (-00, 0] !?ih = (0, 00): Pe aceste subintervale avemurmatoarele primitive:

x2FI:I,~R, F,(x)=-T;x2F2:I2 ~R, F2(x)=-. 2

Atunci 0 primitiva a luifpe R va fi de forma:

{

X2 ~F1(x)+C, =--+C" XE( -OO,O]2F(x) =x 2F2(x)+C2 =T+C2' XE(O,oo).

Din conditia:lim F(x) = lim F(x).x~o x~oxo

obtinem: C, =C2=C, C E R.

{

x2--+C, x E (-00,0]2F(x) = x2T+C, x E (0,00),I I x [dx =F(x) + ~arObservatie: In general, cand avem de calculat f f (x ) d x , X E I, f este continua si ajun-

gem la situatia de .Jipire" este suficienta numai verificarea conditiei de continuitate a lui F(aceasta conditie da relatiile intre constante), deci nu mai este necesara verificareaderivabilitatii in punctele de .Jipire",

9

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

6/36

1 .3 . Tabe l cu p rim itive le u zu ale c are se o btin d irec t p rin d erivareVom da, sub forma de tabel, 0 lista eu primitive des intalnite inealeule.

Functia / Primitiva F Intervalul Integrala1. A Ax+C R fAdx =Ax + ~(functia constantd)

xn xn+l f n+12. (n natural) --+C R xndx=_x_+ ~n +1 . n+I1 (0, co) sau f~dx = In Ixl+ C V i '. - Inlxl+Cx (-00,0)

4. XU xu+1 (0, co) x 0 real) a 2 x 7t= -arccos -+ - + Wa 2

1 1 interval a.i. f~x2I+a dx= Inlx+~x2+al+ C V i '. ~x2+a Inlx+~x2 +al+ C x2 +a> 0,(a;Fe0 real) ('Ii) x E I

9. i' eX+ C R feXdx=eX+W10. 0' aX f aX(a>O,a* 1) -+c R aXdx=-- + WIna lna11. sin x --cos x + C R fSinxdx = -cosx + W12. cos x sinx + C R fcosxdx = sin x + ?!

13. 1 (k~,(k+2)~) f_l_ dx =tgx + ~C052 X tgx + C cos 2 xk E Z impar14. 1 (k7t, (k+ 1)7t) f_l_dx = --ctg x + ' 1 i '

5in2 X --ctgx + C kEZ . 2sm x15. tgx -Inlcos x] + c (k~,(k+2)~) f tg x dx = -Inlcos xl + C V i '

k E Z impar16. ctgx lnlsin x] + C (k7t, (k+ l)n) f ctg x dx = lnlsin r . -r- ':ekEZ___

10

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

7/36

Referitor la formula (8) sunt necesare urmatoarele precizari:i) daca a " * 0 se vede ca x + . J x 2 + a*-O pentru orice x E R, deci In I x + . J x 2 + a I

are sens;ii) daca a > 0 avem x + . J x 2 + a > 0 pentru orice x E R, deci modulul din formula

nu mai este necesar si putem lua intervalul egal cu R;iii) dad a < 0 avem x i+ a > 0 daca si numai daca x E (- 00 ,-~ )v (~ ,oo).

Observatie: Folosind teorema de derivare a functiilor compuse, tabelul de mai sus ne con-la un tabel paralel, in care variabila x este inlocuita cu 0 functie derivabila u care faceila compunerea.

De exemplu: 0 primitiva a unei functii de forma eU(x)u '(x) va fi eU(x)+ C, deci:I(x) = eU(x)u '(x) si F(x) = eU(x)-I; C.

mple de functii care adm it sau nu adm it prim itiveExercitiile pe care le vom prezenta in acest paragraf sunt mai putin obisnuite. Pentru rezol-lor este necesara 0 oarecare experienta, precum si stapanirea catorva "idei directoare",tate in urmatoarele teoreme. I n teoremele enuntate mai jos, IeR este interval.

Teo rema 1 Daca f :I~R este continua, atunci f admite primitive.

Teo rem a 2Iaca I:I~R admite primitive, atunci Iare proprietatea lui Darboux(inconsecinta: dacaj nu are proprietatea lui Darboux, atuncij'nu admite primitive).C o nsecinta 1

Dacal: I~Rare discontinuitati de prima speta, atuncij nu admite primitive.C o nsecinta 2 . .Iaca I: I~R admite primitive si g: I~R este 0 functie cu proprietatea ca{x EIf l(x)"* g (x)} este multime nevida si finita, atunci g nu admite primitive ..4 .1. F unctii care nu adm it prim itive', .Aplieati;:sa ariitiim eli urmatoarele functii nu admit primitive.

1-1, x < 0

f: K ~ K,f(x) = 0, x = 9 . 1, x> 0

se numeste .functia semn" si se mai scrie j'(r) = sgn x). Aceasta functie nu admite primitive deoa-rece imaginea sa nu este un interval: / (R) ={-I, 0, I},deci nu are proprietatea lui Darboux.

- inprograma optionala,11

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

8/36

2. Numim "functia parte intreaga" functia j": R ~ R, definita astfel: [x ] =eel mai mare numar intregu s x (altfel spus, [ xl =U E Z, CU x- I < U s x, X E R). Sa aratam eli .functia parte intreaga" nu ad-mite primitive. intr-adevar,/(R) =Z ~i astfelfnu are proprietatea lui Darboux.

3. f: R ~ R, f (x) =x - [x] nu are primitive pe R. Intr-adevar, daelif ar admite primitive, atunci ~ix - f(x) admite primitive, contradictie, deoarece x - f(x) = [x], care am vazut mai sus ca nu are pro-prietatea lui Darboux.

Observat ie: Functia de mai sus f (x) = x - [ x] se mai numeste "functia parte fractionara" ~i senoteaza adesea {.} sau ]0[ .4 F . f R R, f() { x 2 , x E Q dmite nri .. R. uncpaj : ~ x = nu a mite primitive pe .x3, xER-Q

FieI= (-2, -1). Avemf(f) =f(I nQ) uf(I n (R- Q. Cumf(I n Q) = {x21 x E (-2, -1) nQ} cc (1, 4) ~if(I n (R - Q = {x3 I x E (-2, -1) n (R - Q)} c (-8, -I)}. Rezultacaf(f), nefiind in-terval, fnu are proprietatea lui Darboux, decifnu admite primitive .

.f f I sin. ! _ ,xER' .. . daca ) 05. Functia : R ~ R, (x) = .X nu admite primitive pe R aca","* .f . . . , x=o rPentru aceasta, plecam de la relatia: ( X 2 cos'!_) = 2x cos.!_ + sin.!_ , de unde:x x x1 1 . 2xCO S-,XER- 2xcos ~. Functia g : R ~ R, g(x) = x0, x=Orsin ~ = ( X 2 cos ~) este continua pe R,

Observtuie: Din demonstratie se observa ca functia < p : R ~ 1 . 1 SIn-, pentru xERR,

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

9/36

Functiag2 nu admite primitive, deoarece g2 ([-I, I]) = {-I, 0, I}, imaginea nefiind interval, in timpce g} admite primitive (dupa cum am vazut din observatia de la exercitiul anterior). In aceasta situatie,dacaj'ar adrnite primitive, atunci g2 =1- g} ar admite primitive ca diferenta a doua functii care admitprimitive. Acest lucru intra in contradictie cu faptul ca g2 nu admite primitive.

1J3 -x 1arctg x + arctg -----;:::, x * - - -7. Sa-se arate ca functiaj't Rc-s-R, lex)= l+x,,3 J3 nuadmiteprimitive.I0, x= - J3

Intr-adeviir, utilizam formula: arctg u + arctg v = j1tu+v " -,arctg -- ~l obtinem: f(x) = 31- uv 0,

care se vede ca nu admite primitive, deoarece imaginea sa nu este interval.{/(X),xEQ(J(a,b)

8. Fief,g:(a,b)~R continue si distincte si e rRv-s R, h(x) = ( ) b.Q .g x ,xE(a, )-Atunci h nu admite primitive pe (a, b). . { O , . xEQn(a,b)Demonstratie: Fie < p =h - f Observam ca < p : R ~ R,

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

10/36

{

X2 + C, x < 1similar ca mai sus, gasim 0 primitive: F(x) = 2 1

x2 -x+-+ C, x~ 12 O bserva tie: Mai general, daca avem functiile continue f,g :R ~ R, si 'definim f /\g == minlf, g) ~ifv g = maxlf, g), se poate arata usor ca functiile f /\ g ~ifV g sunt si ele con-tinue pe R, deci admit primitive,

3 F R R -1'..- ' dmite nrimiti i f R R {g(X), XER \'{a}. ie g : ~ 0 tunctie care a rte primitive ~l: ~ ,f(x) = .a, x=aAtuncifadmite primitive dad ~inumai daca a=g(a).Daca a = g(a), atuncif = g admite primitive. Daca a * g(a), consideram functia h =f -g,Ob - - { a , x E R \ {a } D - f dmi ., . '. . h dmiservam ca hex) = _ _ . aca a ite primitive, atunci ~l a itea g(a),x-a 'primitive (deoarece h este diferenta a doua functii care admit primitiva), Deci h are propri-etatea lui Darboux. Acest lucru intra in contradictie cu faptul ca heR) = {O}u {a - g(a)}.Prin urmare, daca a * g(a),fnu admite primitive.

{g( x), pentiu x E(-00, a]4. Fief: R ~ R, f(x) = ,unde a E R, iar g, h: R ~ R sunt functiihex), pentru x E(a,eX)

continue pe R. Atunci functia f admite primitive pe R daca ~inumai daca g(a) =h( a).Pentru a demonstra afirmatia de mai sus consideram functia k =f -g, Observam eli

{ a , pentru x E (-00, a]k( x) = .Daca h(a) =g(a), atunci f este 0 functie continua pehex) - g(x), pentru x E (a, oo]'R. Prin urmare, f admite primitive. Daca h(a) * g(a), atunci, deoarece functia h - g estecontinua, exista E> astfel incat Ih(x) - g(x) I > I h(a) - g(a) I pentru orice x : E (a, a + E).2Fie I =(a - E , a + E ), II = (a - E , a], 1 2 = (a, a + E )~ Daca functia f ar admite primitive, atuncisi k ar admite primitive. Atunci k ar avea proprietatea lui Darboux, deci k(f) ar fi interval.Observam ca k(f) = k(II uh) = k(I!) u(I2) = k(h) uO }. Dar k(h) nu este interval deoa-rece I h ( x ) 1 ~ I h(a) - g(a) I , x Eh2

2. INTEGRAREA PRIN pARTI

Jfg'dr=.m - I F gdr (2)

Pentru calculul primitive lor se utilizeaza, de regula, doua metode de integrare, si anume:integrarea prin parti si schimbarea de variabila. I n acest capitol ne ocupam de prima metoda.

2.1. TeoremaFief, g :I~R functii derivabile cu derivata continua Atunci functii efg' si f'gadmit primitive si avem formula:

14

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

11/36

D e m o n s t r a t i e : Dacaj" este continua, rezulta caf'g este continua, deci admite primitive. La fel,. daca g'este continua. Fie F 0primitiva a luif'g. F unctia G = fg - F este d eriv ab ila si G ' = f'g ++ fg' - f'g =fg', deci G este 0primitiva a luifg'.

Exemp/e1. Sa calculam: f xe" dx , x E R.

In acest caz, 1=R.Utilizam formula (2) si alegem:f(x) = x; g'(x ) = eX = : > f' (x) = 1 si g(x) = e".(Ar fi trebuit g(x) = eX+ C, dar luam C = 0.) Atunci formula (2) ne da;

fxex dx =xe' - fex dx =xe" _ex + ~Asadar, integrala nedefinita a functiei xe" este xe" - ~ + ~~i deci putem scrie:f xe' dx .=xe' - eX + ~

2. Sa se calculeze: f x2 eX dx , x E R.Procedam ca la exemplul precedent.f(x) =x2;g' (x ) =eX = : > f' (x)= 2x si g(x) = r!.Asadar

. fx 2eX dx = .x 2ex - 2 fxex dx .Utilizarea formulei de integrare prin parti conduce de asta data la 0 integral a nedefinita maisimpla prin reducerea gradului polinomului (de altfel am ajuns la cazul anterior). Utilizamdeci inca 0 data formula de integrare prin parti si vom avea:f(x) = x; s' (x ) = eX = : > f' (x) = Isi g(x) =e', Deci:

fx 2e X dx = x2ex - 2(xeX - e X ) + ~ = ex(x2 - 2x + 2) + ~Observatie: Daca primitiva pe care trebuie sa 0 calculam are forma fxnh(x)dx, iar

H(x) este 0 primitiva a lui hex), care se poate calcula usor, atunci este de preferat sa facemalegerea:f(x) = x" = : > f' (x ) = nxn-1 ; g' (x ) = hex) = :> g(x) = H(x) deoarece se obtine 0 inte-grala mai usor de calculat. Adica:

fxnh(x)d x= xnH(x)-n fxn-1H(X)d x.3. Sa se calculeze: In = fxnex dx ,x E R si n E N, n ;:::2.

Calculam In prin parti luand: f(x) = x" = :> f' (x) = nxn-1; g' (x ) = eX = : > g(x) = e',Obtinem:

.I; =n~ - n fxn-1eX dx =xnex -nl.;.Am ajuns, astfel, la 0 formula de recurenta:

In =xn ex -nl;.Aceasta formula permite calculul din aproape inaproape allui In . Se ajunge, prin calcul di-rect sau prin inductie, la formula:

15

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

12/36

I n =e'[xn + I(-I)k A ! X n -k] + Y f i (n ~ 1).k=l

4. Sa se calculeze: f 1 n x dx (x > 0)Yom calcula aceasta integrals prin parti, .fortand pe dx". Aceasta inseamna ca vom alege:

1I(x) = In x=> f' (x) = -; g' (x) = 1 => g(x) = x.xAtunci vorn avea: ,fIn x dx = x 1 n : X - f dx =x In x - x + ~

5. Sa se calculeze: farcsinxdx,x E [-1, 1].Alegem.j (x) = arcsin x => f'(x) =p;'(x) = 1 => g(x) =x.I-xIntnidit functia arcsin: [-1, 1] ~ R este derivabila numai pe (-1, 1),nu vom putea aplicametoda integrarii prin parti pe intreg intervalul [-1, 1].Din acest motiv vom proceda in fe-luI urmator:a) Yom calculamai intiii, ca mai sus, a primitiva G a lui arcsin x pe (-1, 1). Obtinem:f arcsinxdx=xarcsinx- fbdx=xarCSinX-~I-X2 + ~x E (-1, 1).l-x2b) Consideram functia F (x) = x arcsin x - ~1-x2 + C, X E [-1,1], unde C este a con-

stanta, Yom demonstra ca F este a primitiva a luiIpe [-1, 1]. Am vazut ca F este aprimitiva a luiIpe (-1, 1).Yom demonstra ca F este derivabila la dreapta in punctulx = -1 si ca F este derivabila la stanga inpunctul x = 1. Intr-adevarF,i(-l)=F'(-1 +0)= lim F'(x) = lim f(x) =/(-1);x~-l x~-l

x>-l x>-lF; (1)=F '(1-0) = lim F '(x) = lim/(x) =/(1).

x-e l x~lx 21=e'(sin x - cos x) => I = ~ (sin x - cos x) + Y i i .2

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

13/36

3. SCHIMBAREA DE VARIABILA

3.1 . Teo rem a fu nd am en ta lAA doua metoda de calcui a primitivelor este data de formula schimbarii de variabila.3.1.1. TeoremaIie I, J intervale si I~ J .L,R astfel Incat u este derivabila si f admiteprimitive. Atunci, functia if 0u) . u' :I~R admite primitive.Anume, daca F : J ~ R este 0 primitiva a lui f,rezulta ca F 0u : I ~ R este 0primitiva a lui if 0 u) . u'.Schematic: ff{t)dt =F(t) +)f~ ff(u(x))u'(X)dx =F(u(x) + 0/ (*)

Verificarea se poate face imediat prin derivare. Formula de mai sus se reline practic dupaschema urmatoare:

ff(u(~))u'(x)dx =?u(x) = t ~ u'(x) dx =d tff(u(xu'(x)dx = ff(t)dt = F( t ) + ~= F(u(x)) + ~. . . . . . , ~ . . . . .t dt U ( X )- - - - - - - - ~ - - - - ~

Facem schimbarea de variabila (substitutia)u(x)= t. (1)

Functia u(x) a devenit noua variabilii t.Diferentiem formal egalitatea (1) si obtinem:u'(x)dx=dt (2)

Revenind la integral a initiala si inlocuind u(x) =t, obtinemff(u(xu'(X)d x= ff(t)d t= F(t)+ o/=F(u(x)+ ~

Formula schimbarii de variabila se aplica atunci cand vrem sa calculam 0 integrala de for-ma: f< r> ( x) d x, xE I si

a) Observam ca putem scrie

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

14/36

Exemplu I cosxSa calculam . 2 dx, x E R.lr sin xPutem Iua u(x) = sin x, x E R ~i f(u(x = f(sinx) = ' ~ 2 .adica f(/) = ~ , t E R cuI+sin x 1+t

schema: R~R~R. 0 primitiva a luij'(continual) este: ff(t)dt = f~dt =J J 1+t= arctg t + W= F(t) + W~i prin urmare, 0 primitiva rezultat este:

f co.s~ dx =F(u(x+ W=F(sinx) + W= arctg(sinx) + ~l+sm xSchematic, vom aseza calcuIeIe astfeI:f cosx dz>? R2 . , X E1+ sin xsin x = t :::::;.os x dx = dtI c~s~ dx = I' ~ 2 cosxdx = I~dt = arctg t + W= arctg(sin x) + ~ls-sin x l- sin x l+tIn exemplul care urmeaza trebuie sa facem unele transformari pentru a putea aplica formula

schimbarii de variabila,Exemplu

2 .Sa calculam: I~dx,xE(-I,oo).l+xObservam cli (1+ x3),= 3x2 . Atunci, putem scrie primitiva noastra sub forma:

f__dx = . ! _ f~dx .: f_l_(1 + x3),dx. (*)1+ x3 3 1+ x3 3 1+ x33 3 1 1Putem calcula deci u(x) = I + x si f(u(x = f(1 + x ) = --3 ' adica f(t) = - dupa1+ x t

schema (-I,oo)~(O,oo)~R.I .ff(t)dt = ftdt = In t + W= F(t) + < i f , deci:f 3x2--3 dx = F(u(x + W= F(1 + x3) + W = In(1 +x3) + ~l+x

Tinand seama de (*), rezultatul definitiv va fi:f X2 1--3 dx=-ln(1+x3) + ~l+x 3Schematic, vom aseza calculele astfel:2

f~ dx = ?, X E (-1,00); 1 + x3 = t :::::;.x2 dx = dt (prin diferentiere). Rezulta:l+xI x2 1 I 3x2 1 f I 2 1 I I 1 1 3--dx=- --dx=- --3x dx=- -dt=-lnt+W=-In(1+x )+

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

15/36

3.1.2. T e o re m a ( a d o u a fo rm u la a schlmbarl l d e v a r ia b i la ) *)Fie 1, JcR doua intervale,f: J ~ R 0 functie care admite primitive, h : I ~ J 0 functiederivabila si bijectiva, Atunci sunt adevarate urmatoarele afirmatii:a) functia g= (/0 h) h'admite primitive;b) daca G este 0 primitiva a functiei g, rezulta ca FI =G 0 h-1 este 0 primitiva a functiei

f,adicaf f(x)dx=(Goh-I)(x)+ 'if.

D e m o n s t r a t i e : Notam cu F 0 primitiva a functiei f Pentru a demonstra a) este suficient sa observam ca(F 0 h)' =g.

Pentru a demonstra b) observam ca exista C E R astfel incat G =F 0 h + C. Deci, FI = G 0 h-1 ==F 0 h 0 h-I + C =F + C, prin urmare FI este 0prirnitiva a luiJ

Observat ie:Practic, a dopa formula de schimbare de variabila se aplica in urmatorii pasi: se cere sa se calculeze ff(x)dx, undefeste 0 functie care admite primitive; se cauta 0 functie h bijectiva si derivabila astfel incat sa putem calcula usor 0 primitiva G a

functiei (/0 h) . h'; functia G 0 h-Ieste primitiva functiei date.Schematic lucrurile se prezinta astfel:

f f(x)dx=?x = h(t) ~ dx = h'(t)dtff(x)dx = ff(h(t)). h'(t)dt =G(t) + ' i F = GW\x)) + ~

Exemple1. Fie a >O.Sa calculam f~a2 _x2 dx, x E [-a,a]

Este natural sa incercam schimbarea de variabila x = a sin t, deoarece a2 - x2 =a2 co~ t si~ a2 - x2 =alcos tiin acest caz. Avern deci 1= [-a, a] si vom lua J =[ - % , % ] , obtinand

tschema: [- f'f]~ [-~,a~ R, unde h(t) = a sin t (este bijectie strict crescatoaresi derivabila) si f(x) = ~a2 _x2. Varezulta h-I :[-a,a] ~ [ - % , % ] astfel:

x = a sin t = h(t):::::>sint = !...:::::>t = arcsin!... .a aA '.' [ 1 t 1 t ]tunci, pentru once t E - 2'2 ,avem:

'J Pentru programa optionala,

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

16/36

deoarece Icos II = cos I pe [ - ~, ~ 1 Atunci:Jf(h(/))h'(t)dt = Ja2 cos ' t dt = a2 p +C;S21 dz = a2(~+ Si:2t) + ~ pentru I E [-~'~l

. _. . . _ ~ . x ~ d e f . 2 ( t S i n 2 t )Trebuie sa reverum la vechea variabila, punand t = arcsin - m G(/) = a - +-- ,a 2 4

[ 1 t 1 t ] . . xgx2. . .. _ _IE --,-. Avem sin Zr = 2smtcost =2- l-zdeClprumtlvaCautarneste2 2 a aG(h-1(x)) = a2(.larcsin~ +.l~~1- x: l ' adica: F(x) = .l(a2 arcsin ~ + x~ a2 - x2) + C ,2 a 2a a 2 aX E [-a, a] este primitiva cantata.Practic, calculele se aseaza astfel: J~ a2 - x2 dx =? x E [- a, a]. Luam: x = a sin t =:>=:> dx = a cos t dt. Rezulta:

J~a2 - x2 dx = J~ a2 - a2 sin' tacost dt =a2 Jcos2 tdt = a2( + Si:2t) + o / . !. . xx = a sm t =:> t = arcsm - =:>a

f rr:': ,[I . x X g 2 ] I(rt= 2 . x ) + Q9=:> va--x-dx=a- -arCSITI-+- 1-- =- x-q ar=:: +a arcsm- !T.2 a 2a a2 2 a2. Sa calculam f~dx, x E R.eX +1

x In 1e =t=:>x= t=:>dx= -dttf~dx = f-t-~dt = f_I_dt= In(1+ t) + ~= In(1+ e') + ~eX + 1 1+ ttl + tAsadar, vom inlocui si aici, algebric, folosind calculele date de x =h(t), dx =h'(t)dt.

3. Fie a un numar nenul si n ;::.:un numar natural. Sa calculam: f x" e= dx , x E R.Aici vom folosi schimbarea de variabila ax = t.ax=t=:> x=!_ =:>dx= ..!..dta a

R ) n I 1f xne= dx = l: et -d t = - - ftne' dt= G(t) + ~= G(ax) + ~=a a an+1= eax~ (-I)kn(n-I) ...(n-k+I) xn-k + ~L . . J k+lk= O a

Am folosit un rezultat anterior, anume:nftne' d t = e'L (_l)k n(n-l) ...(n - k + I)tn-k .

k= O20

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

17/36

4. PRIMITIVELE FUNCTIILOR RATIONALE

Notam

o functie rationala este 0 functie R : I ~ R (I interval) de forma:R(x) = P(x) , P, Q E R[x] si Q(x) * - 0, (\i) x E I.Q(x)

Primitivele unei astfel de functii sunt functii elementare care se pot determina. Ele suntcombinatii liniare de functii rationale, functii logaritmice si functii trigonometrice inverse. Nu-. ~ d bi . fun" . I . I fu "I d f A Ax + Bmnn, m mo 0 isnuit, ctii rationa e SImp e, nctn e e orma: '2 '(x-a)n (ax +bx+ct

n E N; a, A, B, a, b, c E R, definite pe un interval I(a ~ 1), iar b2 - 4ac < 0 si a * - O .Tipull: f A dx,x EI(x-at

1. Daca n = I, atunci f~ dx = A !nIx- a l + ~x-a .f A A(x_a)l-n2. Daca n ~ 2, atunci dx = + ~(x-at I-nTipulll: f 2Ax+B dx(a * - 0; b2 -4ac < 0)(ax +bx+ct

Utilizam descompunerea canonica a trinomului de gradul II si vom putea scrie:

' . J ( ~ , A : : ~ ~ ) .x f [ { x + t J ~ : dx J " . [ ( x + ; 1 : [ H dxH if ~ ' b " b f e l c a o b t i ~ .-- = a ~Ie ectuam su strtutia: x + - = y ast e ca 0 tinemm contmuare:2a 2aI =~ f y 4 v + 2aB-bAf 1 =~. 1 + 2aB-bAHn d (l+a2t . d (l+a2t 4 v d 2(n-l)0,,2+a2y>-1 d n

unde H; se va calcula incele ce urmeaza,Aplicatii

Dam ca aplicatii, urmatoarele cazuri particulare:f dx 1 x 1. 2 2 =-arctg- + 'ill (a E R ,x E R).x +a a aI x 1 I 2x 1 I C x2 +a2)' 1 2 2 2. 2 2 dx =- 2 2 dx =- 2 2 dx =-In(x +a ) + ' i F , X E R, a E R .x +a. 2 x +a 2 (x +a ) 2fAx+ B A f 2x f 1 A 2 2 B x *3. 2 2 dx=- 2 2 dx+B 2 2 dx=-In(x +a )+-arctg-+ ~ x E R, a E R .(x +a ) 2 (x +a ) (x +a ) 2. a aI x dx = _ ! _ f (x2 + a2)' dx = 1. (x2 + a2t z (x2 + a2)n 2(n -1)(x2 + a2t-1 + ' i F , x ER.

21

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

18/36

f l. f x2Hn = 2 2 dx si In = 2 2 dx . Dar,(x + a t (x + a ) n2~ = J x dx = Ix x dx = x +_1_ J . 1 dx(x2 +a2t (x2 +a2)n 2(n-I)(x2 +a2t-1 2(n-l) (x2 +a2t-1

D . ~ x 1eel: = + H.2(n -1)(x2 + a2t-l 2(n -I) n-lSi, efectuand calculele, obtinem formula de recurenta:Hn= 1 2 [ 2 X2 _1+(2n-3)Hn_l].2(n-l)a (x +a t

6. Se poate arata, 'inmod analog, ea:fin = f (x2 _la2)n dx = - 2a2(~-1) [(X2 _ :2)n-l + (2n -3)fin_l]

7. (Ax+B dx=~ ( 2xdx +B ( 1 dx=- A +B.HJ(x2 +a2t 2 J(x2 +a2t J(x2 +a2t 2(n-l)(x2 +a2)n-l nSa presupunem grad P ~ grad Q, unde P, Q E R[X] si R(x) = P(x) . Atunei exista , eon-Q(x)form teoremei impartirii eu rest la polinoame, L,PI E R[X] astfel incat:P(x) =L(x) Q(x) + PI(X), eu grad P, ~ grad Q. De aici: fP(X) dx = fL(x)dx+ fil(X) dx.. . Q(x) Q(x)Calculul primei primitive este imediat, L(x) fiind polinom. Pentru eea de-a doua, tinem eont

de teorema de deseompunere 'in fractii simple, pe care 0 admitem lara demonstratie.4.1. Teorema

Fie f: 1 - - - + R 0 functie rationala, f(x) = ~~:~ , (Q(x) * " 0, (\7') x E 1).Presupunem ca deseompunerea lui Q 'in faetori primi are forma:

Q(x) =(x -:al)Ul ...(x -aqtq (x2 +MlX +NI)~l ...(x2 +Mrx +Nr)~' .Atuneifse deseompune, 'in mod unie,

f(x) = L(x) + [ Al,n + A2,n +....+ An,n ]+n=l (x-an)Un (x-antn-l (x-an). * " ' [ B1mx+Clm Bmmx+Cmm ]+~ 2' '~+ ...+ 2 ' "m=l (x +Mmx+Nm) m X +Mmx+Nm

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

19/36

unde L E R[X), iar a m , M""N"" Ai.,. Bj."" Y . m sunt constante reale si M;' - 4N m < 0(m= 1, .'" r). In situatia cand Q are forma Q(x)=A(X-alt' ...(X2+Mrx+Nr)Pr ==AQI(X), unde A:;: . 1 este nenul, teorema poate fi aplicata, scriind I(x) =_ ! _ . P(x)A QI(X). d d P .~l escompunan - ca mal sus.QI

In practica se lucreaza pastrand coeficientii initiali, dupa cum vom vedea si in exemplelecare urmeaza.

AplieatiiSa se calculeze urmatoarele integrale pe intervalele mentionate:

1. 1= f_3_dx, X E ( 7 . . . , o o )2x-7 2I=~ f(2X - 7)' dx=~In(2x - 7) + ~i2 2x-7 2

2. I=g :~~dx; x E ( ~ , 0 0 )10 10 {31 1x+- 2x-7+-+7 -I=~ 3 dx=~ 3 dx=~ 1+_3- dx=~ dx+l!. _1_dx =2 f 2x - 7 2 f . 2x - 7 2 2x - 7 2 } 2 f 2x - 7

3 31 f 2dx 3 31=-x+- --=-x+-In(2x-7) + ~2 4 2x-7 2 43. 1= f 1 dx, X E ( - o o , - . ! . . )(3x + 1 )5 3

1= . ! _ f (3x + I)' dx = . ! _ . 1 +~ = _ 1 + ~3 (3x+1)5 3 -4(3x+1)4 12(3x+1)4

4. I = f 2 1 2 dx , X E R(x +1)x 11= 2 + -arctg x + ~2(x +1) 2

5. I= f / x 5 dx , X E R(x + 7)1- 3 f 2xdx _ 3 -f(x2 + 7),dx _ 3-"2 (x2 + 7)5 -"2 (x2 + 7)5 - - 8(x2 + 7)4 + ~

6. 1= f 23x + 1 dx (x ER).2x -5x+723

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

20/36

Suntem in cazul fP(X) dx ,cu grad P < grad Q si A Q < O . Atunci:Q(x)3 4x-5+.!.2. 3 19f dx1=- f 3 -In(2x2 -5x+7)+- =4 2x2 - 5x + 7 4 4 2( x2 _ % x +~)

3 2 1 9 f dx 3 2 19 f dx= 41n(2x -5x+7)+8 '(x_~)2 +2_ 25 =41n(2x -5x+7) +8 (x_~)2 +~ =4 2 16 4 16

= lln(2x2-5x+7)+ l~arctg .J31(4x-5)+ ~4 2'\'31 31

f X2 +27. 1= 3 dx, x E (2 ,0 0)(x+l) (x-2)EJ': ~ d ~ fr ... 1 x2 + 2 ABC Dtectuam escompunerea ill actn simp e: 3 =--3 +--2 +--+--., (x+l) (x-2) (x+l) (x+l) z +I x-2Eliminam numitorii: x2 + 2 =A(x - 2) + B(x + 1)(x- 2) + C(x + I)2(x - 2)+ D(x + 1)3 < = >< = > x2 + 2 = (D + C)x3 + (B + 3D)x2 + (A - B - 3C+3D)x+(-2A - 2B - 2C +D).Prin identifiearea coeficientilor, obtinem: C + D = 0; B + 3D = 1; A - B - 3C + 3D = 0;- 2A - 2B - 2C + D =2, eu solutiile: A= -1; B =.!.; C = ~~; D = ~. Asadar:399f dx I f dx 2 f d x 2 f d x1=- (x+I)3 +3' (x+l)2 -9' x+l +9' x-2 =

1 1 2 2-lnlx+ll+-1n(x-2)+ ' i 1 ?2(x+l)2 3(x+I) 9 98. I= f . X dx2 ,x E (1 ,00) .(x-I)(x +1)

D ~ fr ... 1 x A Bx +Ceseompunem III actn sunp e: 2 = -- + -2 -(x-l)(x +1) x-I x +1x = A(x2 + 1)+(x-l)(Bx+C) < = > x = (A +B)x2 +(C -B)x+ A- CDeei: A + B =O'C- B = I: A - C= 0 e u A = _!_.B = - _!_.C = _!_" 2' 2' 2Cu acesti coeficienti putem caleula integrala:1= _!_~ - _ ! _ f x-I dx =_!_In(x-I)-_!_ f ~ d x + _ ! _ f _ l _ d x =2 x -1 2 x2 + 1 2 4 x2 + 1 2 x2 + 1

1 1 2 1=-In(x-l)--ln(x +1)+-aretgx+ f ! 7 .242

24

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

21/36

s. PRIMITIVE REDUCTIBILE LAPRIMITIVE DE FUNCTII RATIONALE,

5 .1 . P r im it ive l e functillor t r igonomet r iceI n general, prin primitive de functii trigonometrice, intelegem primitivele unei functii

< p : 1~ R(1nterval), data de

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

22/36

f cos x . 1 Isin x-II=2 sm x - . 2 dx = 2 sm x + -In . + W -I- sm x 2 sin x +1

II.Cazul R( -sin x, cos x) = -R(sin x, cos x). Se efectueaza substitutia: cos x = t.Exemplu: F i e f : 0 , 2 : ) ~ K , f(x) =. 1 4 . Atunci:2 SIllX cos x

I=f dx f sinxdx =-f dt 1 +_I_+Intg~ + ~sinx-cos" x sinx2 cos4 x t\l-t2) cosx 3cos' x 2

III. Cazul R(sin x, - cos x) = -R(sin x, cos x), imparitate illfunctia "cos".Se efectueaza substitutia: sin x = t.Exemplu: Fie f: ( 0 , 2 : ) ~ K,f(x) = cos 2x . Atunci:2 cosx1= f cos2x dx = f 2cos2 x-I dx = 2fcosxdx-f-I_dx =cosx cosx cosx

Mai putem mentiona calculul primitivelor functiilor de tipul: f (x) = sin mx cos nx, caz incare utilizam formulele de transformare a produselor in sume:

sin mx cos nx = 2. [sinem + n)x + sinem - n)x] si analoagele.2Exemplu: Fief: R~ R,f(x) = sin x sin 2x sin 3x. Atunci:

f SinxSin2xsin3xdx=~ f (COSX-COS3x)Sin3xdx=~f sin3xc~sxdx-f sin 6x dx == 2.f(sin4x + sin2x)dx + _1_cos6x = -_'!'__cos4x _2.cos 2x + _I_cos 6x + ~4 24 16 8 24Ap/icatii

Sa se calculeze urmatoarele integrale pe intervalele mentionate:1. II=ftgxdx, X E ( - % , % )

f sin xII = --dx = -In(cosx) + ~cosx2. I2 =f tg2 dx; x E ( - % ' % )

12 = f (1 + tg2x)dx- f dx = f (tgx)'dx-x =tgx-x + W -3. 13=ftg3Xdx'.XE(-~' ~)

13 = f tg x(tg2 x + 1)dx _ f tg x dx = f tg x(tg x)' dx - f tg x dx = tg2x + In(cos x) + W -26

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

23/36

4. 14= ftg4xd x, x E (-~, ~).14 = ftg2X(tg2x+I)d x- ftg2xd x= ftg2X(tgx)'d x- ftg2Xd x= itg3X-tgX+X+ ~

5.. In= f tgnxdx, XE(-~,~),nEN,n~2.In = ftgn-2x(tg2x+l)d x- ftgn-2xd x= ftgn-2x(tgx)'d x-In_2 = n~1 tgn-lx-In-2'

6. 11.= f_l_dx, X E ( O , ~ ) .cosx 211=fcOSX d x= f CO SX d x= f (sin x) ' =_..!.Inls~nx-II +~cos 2 X 1 - sin 2 X 1 - sin 2 X 2 sm X + 1

7. 12 = f-\-dx,x E ( O , ~ ) .cos X 2f sin 2 x + cos 2 X f' f .12 = - 2 dx = tg -X dx + dx = tg X - X + X + < if = tg X + < ifcos x

formula din tabelul de primitive.8. 13 = f-\-d x, X E ( o , ~ ) .cos X 2

si am regasit

13= fcosxd x= f (sinx)'d x = f du (u=sinx)cos4 X (l-sin2 x)2 (u2 _1)21 ABC D

--:,----""""""7""=--+ +--+ (*)(u2 _1)2 u -1 (u _1)2 u + 1 (u + 1)2Inmultim (*) cu (u - If Obtinem: 1 2 = A (u - I) + B + (u - I)2[~+ D 2 ] '(u + I) U + 1 (u + 1 )Luam U = 1 si rezulta B = ..!.. Derivam ultima relatie si facem u = 1. Rezulta:4-2(U+1)-3=A+(U_I)[2C + 2D C _ 2D ]~A =-..!..u+1 (U+I)2 (u+I)2 (u+I)3 4In mod analog se gaseste: C =..!. ~i D=..!..4 4Asadar, 13 = ..!.(f--1-dU+ f(u-l)-2d u+ f_ l_d u+ f(u+1)-2dU)=4 u-l u+1= ..!.(In sin X + I + 1 _ 1 ) + ~4 sin x-I sin x + 1 sin x- I

9. 14 =f+,x E ( o , ~ ) .cos x 2f(Sin

2x+cos2x)2 f 4 f 2 f 1314 = 4 dx = tg X dx + 2 tg x dx + dx = - tg x + tg x + c ; r .C~ X 327

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

24/36

5.2 . P rim itiv e d e functll lratlonalein acest paragraf prezentam un gen de clasificare a functiilor irationale, pentru care se efectueaza

transformari specifice de rationalizare, ~i care conduc la 0 anumita tipoLogie.( ! " . ! . . ) P1. Consideram functiaj": I~R,f(x)=R x,x" ,...,x' ,unde R=(j'P, Q E R[Xj,X2, ,Xk] , care este

o functie rational a, Ic0, 00 ) interval care are proprietatea ca numitorul Q(x) * " 0, (\7') x E I.Notam cua eel mai mic multiplu comun numitoriLor n, ..., S ~i efectuarn substitutia: x = f' care conduce larationalizarea expresiei.

AplicalieSa se calculeze integrala functiei f: (0,00) ~ R,f(x) = 1+}, .V x + 4 x3

Solufie:Notam !(;= tc x = tl2~dx = 12tlldt. Deci:1=12f 1+t6 .tlldt = I2ft8(t6 + 1)dt =I2ft8(t6 -1 +2) dt = 12 r t8(t5 _t4 +t3 _tZ + t _ 1) dt + 24ft8 -I + 1dt =t4 +t3 t+I t+I J ' t+I=12 f(t13_t12 +t"_tIO +t9 -t8)dt+24f(t7 _t6 +t5 _t4 + t3 _(2 +t-I)dt +24 ft:1 dt=6 14 1 2 13 12 1 2 II 6 10 4 9 (t8 t7 t6 t5 t4 (3 tZ J If.) cz >=-t --( +l --t +-t --t + 24 ---+---+-- -+--t +24 n\_l+1 + 1 1 > ,713 11 5 3 8765432

unde t = 1 '1 .. { ; .. - . [(ax+bJ'; (ax+bJ~l .. Consideram acum functiaj": I~R,f(x) = R x, -- ,..., -- , unde Ieste un mterval pe_ cx+d cx+dax + b E f - bsti ax+ bad 1 " I' I Iare -- > . ectuam su stitutia -- = t ,un e a este ce mal mic mu tIP u comun a nu-cx+d . cx+d

mitorilor n, ..., q.Aplicalie

Sa se calculeze integrala functieij": (0, 00) ~ R, f(x) = rx+I .I+Vx+lSOlufie: Facem substitutia: V x + 1 = to:::>x t6 -1, dx = 6t5dt. Deci:

t3 t8 (8 - 1+ 1 dt1= 6f--2 t5 dt = 6f-z-dt =6f-2-- = 6f(tZ -1)(/4 +1)d/+6f-z- =l+t t +1 t +1 1 +1= 6 f(t6 _t4 + t2 .; l)dt + 6arctg 1= 6(!!_-~+!_- t J + 6arctgt + Y il =75 36 2 . 6 ~ . ! . . ! .=_(x+I)6 --(x+l)6 +2(x+l)2 -6(x+I)6 + 6arctgVx+ 1 + < i t .7 5

3. Integrale de tipul: f R ( x,~ ax' + bx + c ) dx .Fie I un interval cu proprietatea ca ax2 + bx + c> 0, (\7') x E I fiif: 1--+ R,*) Pentru programa optionala.

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

25/36

f(x) = R ( x,~ ax' + bx + c), unde R :D ~ R este 0 functie rationals (D ~ R2) .Exista doua maniere mai des utilizate de abordare prin calcul a acestor primitive: prin substitutii alge-brice de tip Euler ~i prin substitutii trigonometrice. in ambele cazuri se obtin primitive de functiirationale cunoscute.Dintre substitutiile lui Euler vom prezenta doua mai frecvente in aplicatii, corespunzatoare cazurilorde existenta a radicalului.

I. A bo rd are a a lge bric aIazul a > o . in aceasta situatie se foloseste substitutia lui Euler:. J r: t' -9scriem: axi+bx+c e-l ax+tcs x r = : :b - 2"at ~ax2+bx+c-J;x=t, pe care 0 Aplicatie, .

sa se calcuJeze integrala nedefinita: I = f ~dx, x E (0 ,0 0) , p > O.x' + pS o l u t i e : Avem: I = f x dx+ f 1 dx = _ ! _ f 2x dx + f 1 dx =~x' + p ~x' + p 2 ~x' +P ~X 2 + P

. _ _ . ~ , , z p _ t'Pentru a doua mtegrala efectuam substitutia: "X' + P = x + t> x + P = x + 2xt + t > x = ~t' +p rrr: p-t' p+t'dx= -----;-dt =>"x' + p =+t =--+t =--. Deci:u- . U U

f-==I~=dx = - f_2_t -. _t'_+_,P_dt- fdt = -In t + ~ = -'nl~ x' + p - xl + ~ =~ x' + p p + t' u: t= In Ix + ~I- In p + 'i R Asadar: I = ~x' + p + Inlx + ~x' + pi + 'i RCazul L1= b2 - 4ac > O. Observam ca acest caz cuprinde situatia a < O. in acest caz trinomul sescrie: ax2 + bx + c =a(x - XI)(X - X2) cu XI> X2 radacini reale. Se efectueaza substitutia:. J ax - x t' _. . .ax' + bx + c = (x - xl)t , de unde se deduce: x = ' ~ .Cu aceasta substitutie, totul revme laa-tcalculul unei primitive de functie rationala.Aplicatie

f dxSa se calculeze: I = . J 0 ' X E (1 ,00 )x: + 3x- 4 .S Jut' N -, 4 ( 1+ 4t'. lOt d to , I e : otam x + 3x - = x + 4)t=>X =-1--'- ~I dx = . Atunci:. -t (l-t')'

I=10f t(1-t:), dt=2f~=lnll+tl+'6?=lnl.Jx+4+.r;:l1 +9?5t(l- t )- 1- t 1- t . J x +4-.r;:l29

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

26/36

II. Aborda rea prin substltutl i trigonometriceScrierea sub forma canonica a trinomului a x ! + bx Tc ne permize s a facem urrnatoarea clasificare:

[

2 ] la()'=-a: ,dacaa>Ol?ifl>Ob b2- 4ac _ ~ _ ,ax2+bx+c=a (x+-) '- 2 = a(y--dC) dacaa>Ol?!fl 0

. Aplicatii1. I, = Iv"x-2---3-x-+-2dx, x e (2,00), substitutia;

x - 2 . = _1_ = > I, = I~(X_2.)2 _ 2 . dx = 2 . ISin2 t dt = 2 .Iin2t~ost dt = 2 . I U22? du ,. 2 2 cos t 2 4 4 cos' t 4 cos t 4 (I - u tunde u = sin t, l?iam ajuns la primitiva de functie rationale,

2. 12= Iv'x2+2x+3dx, xeR.12 = I~(x + 1)2+ 2 dx = liI~tg2t +1 ~ dt; am folosit substitutia: x+ 1= Iitgt.

cos t12 = 2 f-I-3-dt = 2 I cos/ dt =2 I c~s~ 2 dt ~i daca punem din nou:cos t cos t (I-sm t)sin t = u; cos t dt = du, rezulta: 12= 2 I (l_d:2)2 ' care este primitiva de functie rationala,

3. 13= FS+4x-x2 dx, xe(-I,S).Deoarece I v '5 + 4x - x2 dx = I ~9 - (x - 2)2 dx ; facem substitutia: x - 2 = 3 sin t; dx = 3 cos t dt.

bunde y = x + -, iar a este 0 constanta,2a in primul caz, ~ax2 +bx+c = r a .~y2 - a2 l?ise efectueaza substitutia:

y = . . . ! ! : _ _ = > ~ y2 _ a2 =atg t.cost In al doilea , facem substitutia:y =a tg t. Atunci: ~ ax' + bx + c = fa .~y2 + a2 = afa ._1_cost In al treilea caz, daca ~ax2 + bx+ c = fa ~a2 - y2, putem lua y = asint (sau y = acost).In toate cazurile, functia se rationalizeaza.

. I v ' I I I + cos 2t 9 {r I \ec!: 13=3 9-9sm

2tcostdt=9 cos

2tdt=9 2 dt="2"dt+ cos2tdtr9 9. 2 (29 9 . x-2 9. 2 . x-2 (29 9 . x-2=-t+-sm t+ II' =-arCSln--+-SIn arCSln--+ II' =-arCSln--+24 2 34 3 2 3

+2.. x-2 .~I_(X-2)2 +~=2.arcsin x-2 + x-2 ~S+4X_X2 + '$:2 3 3 2 3 2

30

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

27/36

6. EXERCITII ,I PROBLEME6.1 . Tabe l cu prim itive le uzua le

Utilizand fonnulele de calcul ale primitivelor, sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii:[' f(x)=x7 -6x5+3x2-2, xER; (!) f(x)=J;+Vx, XE(O,oo);~ 1 x$ ::'\ x32 _ : ; f(x) =$--4-' XE(O,oo); \~ f(x) =$ XE(O,oo);5 f(x) = ~ : + xE +2, x E (O ,O O ); .~ f(x) = J ; , XE(O ,OO ) ;

2 1~ f(x)=x +v: XE(O,oo);" 9 j f(x)=cos7x, xER;lnx11. f(x)=-, XE(O,oo);x~ f(x)= ; , XE(O,2:);~j cos 4x 8\ 115\ f(x) =--, X E(3,00);A 3-x ,

1 7 . ) f(x) = tg 2x, x E( O , ~ }_j l' ( 1t).19. f(x)=--,XE 0,- ;ctg3x 6

f(x) =e3x, x ER ;

f(x) =sin 4x, x ER;. . 1 ( 1t)f(x) =-'-2-' XE 0,- ;SIn 3x 6r: ( )14. j(x) =_1_, x E -00,2 ;, } 3x-7 3t{""-./ 1 ( 5 )16. f(x) =--, X E -,00 ;5-3x 3(y ' f(x)=ctpf.7x-3), XE(H )x20. f(x) =ctg-, x E (0,1t).3

6 .2 . Func tii care nu admit p rim itive')

1. ! SinX x,*f :R ~ R, f(x) = x' ;0, x=oSa se arate ca urmatoarele functii nu admit primitive pe intervale Ie considerate:

( . 1 t 1 t J ltgx, X E ( - 2 : , 2 : J - V }2. f: -'2'2 ~R,f(x)= -~,x=O 2 2 ;3. f:R~R,j(X)=!x_Si:X,x*O ;

a, x= (a '* -1), 1 1sin-, x,*o5. f :R ~ R, f(x) = 1 x

- x=o2'

.) Exercitii facultative.

{Xl, xER4. f: R ~ R, f(x) = 4 ;x,xER-Q

1IcOS-, x,*o6. f: R~ R, f(x) = x .

a, x=O(a,*O)

31

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

28/36

7 . 1 1 1 -eos- xERSa se arate ea functiaj": R ~ R, data de f(x) = x x ' are proprietatea lui Darboux, dar0, x = onu admite primitive pe R.

8 . Sa se arate ca functiaj": [-1, 1] ~ R, definita prin, f(x) =jeos2~, x E R* nu admite primitive. Sa0, x = o

se deduca de aiei ca daca 0 functiej": [a , b] ~ R adrnite primitive, nu rezulta, ingeneral, ea functiat? admite primitive.6.3 . F unctii care adm it p rim itive

{2 X x

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

29/36

8. , { I .os-,xERSa se determine valorile lui a E R, pentru care functiaj": R ~ R, f(x) = xa, x=o

are primitive pe R.

9* . '{2 . 1 1 R*SID--COS-, X E . .. _.Sa se arate ca functia j": R ~ R, f(x) = x x are pnmrtrve daca ~la, x=onumai daca a=0. .

{.31 1 *SID -COS-, XER . . ..Fief:R~R,f(x)= x x .SasearatecafadmltepnmltlvepeR.O,x=O

{. 1 3 1

. SID-COS -, xER . . ...11 . FIe f: R~ R, f(x) = x x .Atuncij admite primitive pe R.0, x=o

12'. {. 2 1 4 1 R*SID -cos -, XESa se determine a E R astfel incat functia f: R ~ R, f(x) = x x saa, x=O

admita primitive peR,

13'. Se considers functiile in :R ~ R (n E N\ definite astfel: {. n 1 R*, SID - XEfn(x) = x'0, x= O

a) Sa se arate ca h nu are primitiva pe R si cah are primitiva pe R.b) Sa se arate cain are primitiva pe R daca si numai daca n este impar.

(o.J.M, 1982)14. Sa se arate ca functiaj": [0, 3) ~ R, data def(x) = [ X ] 3 - 3[xf + 2[x] + 1, admite primiti-

ve pe [0, 3) si sa se afle 0 primitiva a sa.15. Exista functii f,g:R ~ R care sa nu admita primitive pe R si care sa aiba proprietatea ca

fog admite primitive pe R.16. Sa se determine parametrii a, b , C E R astfel incat functia f: R ~ R data de

. axenx +bx2 + C _ . _ . ..f(x) = lim sa admita primitive pe R.n~oo e'" +1

17. . { 1 *rctg2, XE RSa se arate ca functia j": R ~ R, f(x) = 1t X- x=o2'

are primitive pe R.

33

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

30/36

18. Fie f :R ~ R 0 functie care admite primitive pe R. Sa se arate ea urmatoarele functii ad-mit primitive pe R (a, b"* 0):a) fi (x) = (ax + b)f(x), X E R;b) f2(X) =iax + bif(x), x E R;c) jj(x) =f(ax+b), x E R;d) f4(X) = f~ax+bi1 x E R.

19. Fief, g:1~ R (1 - interval) cu proprietatea cafadmite primitive, iar gderivabila si cuderivata continua. Atunci g.f admite primitive.

6.4. In tegrarea prin par1 iUtilizandu~se ~ormula .de integrare prin parti, sa s~~ealculez~primitivele unn~toarelor functii:1. f(x)-xe,xER, 1 2 . f(x)-Inx,XE(O,cx:J),.3.1 f(x) = In2x, X E (0, c x : J ) ; f(x) =x In x, X E (0, c x : J ) ;\ s : f(x) = x 2eX,x E R; (6.) f(x) = (x2 - 3x + 2)e3X , x E R;7. f(x)=x2Inx,xE(0,cx:J); l > s r f(x)=ln(i+l),xER;. f(x)= arcsinx,x E [-1, 1]; ~. f(x) =x-arcsin x, x E [-1, 1];'J f(x)= In(1-x),x E ( - c x : J , 1); . f(x) =arctgx, x E R;

3 ' . f(x) = x arctg x, x E R; ~4. f(x) = e2xsin3x, x E R;~ ~f(x) =eaxsinbx, x E R; 16. f(x) =arctg.rx ,x E [0, c x : J ) ; \ . . . ' \r- , e : : . " - '17. f(x) =eQXcosbx, x E R; \.1~ f(x) =cos(Inx), x E (0, co); (\19. f(x) = sin (In x), x E (0, c x : J ) ; @ J fex) = x(1Inx, x E (0, c x : J ) ; " -~ arcsin.rx . f S ' - '821(x) = r: ,x E (0, I]; C J 2,2. f(x) =arcsm -, x E (0, eo);"X ' x+l .~ f(x) =xsin~x, x E R; "W f(x) =xcos2x; X E R; x arcsin x x arctg xf(x)= r:-?" ,x E (-1, 1); 26. f(x)= 2 . 2 ,x E R;"VI-x2 (x +1)

G'7l f(x) =x arctg ~ x2 -1 ,x E [1, c x : J ) ; 28. f(x) = arcs!nx ,x E (0, 1];~ x\ ( r : - ? " ) x arcsin x29/. 1 f(x)=In x+"Vl+x2 ,x ER; 30. f(x)= 23/2 ,x E (-1, 1);~ O-x )I ',x f - \1. f(x) =-'-2-' XE0, rt); 32. f(x) = sirr'x, x E;sm x@ f(x) =cos2x, X E R; 34. f(x) = sirr'x + 2cos3x, X E R;35. f(x)=~x2+4,XER; 36. f(x)=x2~x2+I,xER;37. f(x)~x3~x2+I,xER; 38. f(x)=~4-x2,XE[-2,2];39. f(x)=x~l-x2 ,x E [-1, 1]; 40. f(x)=x2~I-x2,x E [-1, 1].

34. . . '___-

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

31/36

Sa se gaseasca formule de recurenta pentru urmatoarele integrale: *)41.1" =f x"eIXX dx, (n E N*, a. E R';x E R);42. In = f xn sinaxdx, (n E N*, a. E R*, X E R);43. In = f xn cos ax dx , (n E N*, a. E R*, X E R);44.1n = f xn eIX X sin I3 x dx, (n E N*, c, 1 3 E R*, x E R);45. In = f xn eIX X cospx dx , (n E N*, o, 1 3 E R*, X E R);46. In = f sin" xdx, (n E N,x E R);48. I" = f tg? dx , (n E N , X E ( 0 , % ) . 47. I" =f cos" xdx, (n E N*,x E R);

6.5 . Sch im barea de variab ila~ f(x) =eXctg , X E ( o , ~ }3 . ) f(x) =sin2 XCOSX, X E R;5.') f(x) = x~ x2 + 1, x E R;'-~

7\ x2'7. ) f(x)= rr=: XE(O,OO);

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

32/36

f( ) = arctg x R'x 2 ' X E ,l+xf( ) = arcctg x R'x 2 ' X E ,l+xI x+l

@ V f(x)= 2 'oX E R;X +2x+5~ f(x) = 2x(x2 + 1)7, X E R;

f(x) = tg6x,x E(-~,~);. . I xf(x) = c--1 X E (0,1) ;VI-x)r x2e . ; . f(x) = 1+ x6 ' X E R;

f(x) = 2 1 ,XE(O,2:) ;cos x{1+3tgx) 21f(x) = ;~1-x2 arcsinx

f( ) = cos(lnx) (1) .x ,X\.E ,00 ,X

f(x) = ~ , X E [- f3 ,f 3 l ;1-3x2 3 3( 4 5 . f(x) =p'xE(-3,3);~ 9-x21f(x) = 2 ' X E R;9x +4

1 :f(x) = r-:;--:' X E R;vx2 +4

Xf(x) = '-:--;;' X E (0,1);vl-x4f(x)= r=::XE(-OO,O) ;

vl-e2x

- - - - - . . .22.' f(x) =R' E (-1,1);~ l-x2e " X4. f(x) =-2-' X E;/ X +1 0 cosx(26. f(x)=. , X E R;\__ 2srnx+3r> 5 ( 1 t 1 t )(/28) f(x) =tg x, X E -2'2 ;~. 1 ( 30. f(x) = 2 ' X ER+;(1+ X )arctg X

Xf(x) =--4 ' X ER;l+xXf(x) = '-:--;;' X E (-1,1);vl-x4

"\ tg2x ( 1 t )f(x) =-4-' XE 0,- ;cos X 2_/ cos2xf(x) = . "X E R;3+2srn2x" " . .~ f(x) = eSlnx cos X, X E R;/', 1f4~. f(x) =-2-' X ER;U 2x +1a(x) =~ 1 ,xE(_i,i);~ 16-9x2 3 3

r 146. f(x) =--2 ' X E;9+x__/J~f(x)= 1 2 ' X E(~ 'O O );~ 4-9x 3___ x2Qo:-) f(x) =-6-' X E(2,00);==-- X -5C~ X(52, f(x) = 4 ' a- 0, X E R;

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

33/36

f(x) = r.-r=' x E (0,00);fxvI+fxf(x) = ~'XE(O,2:);sm2 X 2

sin2xf(x) =~ , X E R;1+ cos2 X

f(x) = Vtg:x , X E (0,2:) ;cos X 269. f(x) =.[;2;2, X E R;71. f(x)=~x2+x+I, X E R;73. f(x) =~9-5x2, XE( - } S , } s }

175. I(x) = ~ , X E (1,00);x+vx2 -1177. I(x) = I ' X E (0,00).XVX4 +x2 +1

15 . f(x) = I ' X E (1 ,e) ;xvI-ln2 Xf( ) - X - arctg X R.X - 2 ,XE ,l - x/\ JlJx

~ f(x) = fx ' X E (0,00);~ _ e X . (62. If(x)---2-' X ER,'\__/ l+ex

64. f(x)=~1+3cos2 X sin2x, xER;

cos' X ( 1 t )6. f(x)=-.-4-,XE 0,- ;.sm X 2168. f(x) = . ? , X ER ;2sin2 x+3cos- X

70. f(x) = ~X2 -3x+ 2, X E (2,00);72. f(x) =~_X2 + 6x-5, X E (1,5);74. f(x)=x2~x2+3x+I,xER;

arcsinx76. I(x) = 2 ' X E (0,1) ;X

6.6 . Prim itive le functiilo r ratio na leI If(x) - 2x - 1 X E (2 00).- (x-l)(x-2)' "f(x)- 1 XE( 100)- (x+I)(x+2)(x+3)' -, ,

X4f(x)= 2 . ,xE(I,oo);( X -1)(x+2)x-8f(x) = 2,XE(2,00);x(x-2)

f(x)- X XE(-loo)- (x+I)(x+3)(x+5)'. ' ,x5 +x4-8f(x) = 3 ' XE(2,00);X -4x

1 .f(x) = 2 ' xE(2,00);(x-I) (x-2)1f(x) = 2 ,XE(O,oo);x(x + 1)

37

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

34/36

PR IM ITIVE REDUC TIB ILE LA PR IM ITIVE DE FUNC TII RATIONALE,6 .7 . P rim i tiv e le Iunctlllor t r igonometr ice

1f(x) =-3-' xe(-l,oo);x +1xS11. f(x) = -3-' X e (1,00);x -11

13. f(x) = 2' X e (0,00);x(x + 1) 115. f(x)= 2 4'X e R;(X +1)

17.' . 1f(x)= 4 3 2' xe(O,oo);X (X + 1)119. f(x) = 4 2 ' X e R;X +x +1

21.' x2+3x-2f(x) = 2 2,xe(1,00).;(x-1)(x +x+1)

1. f(x) = sins X, x e R;3 . f(x) = sin ' xcos" X, X e R;

5 . 1 -( n)(x ) =-4-' X e 0,- ;cos X 27. sin x (0 3n)-. , xe, ,l-t sin x . 29. f(x) = sin2x ,X e R;sin4 x r cos" X11. sin2 Xf(x) = 2' X e R;1+ cos X13. f(x) = ~, xe(o,2:}cosx sm2 X 215. f(x) = sin 5 x cos x, X E R;17. f(x) =sin32x cos23x, X e R;

Ex erci ti i facul ta t ive .

110. f (X)=-4-'X E R;X +1112: f(x) 2 2,xe(1,00);x(x-1)(x -x+1)

114. f(x)= 2 2'X e R;(X + 1)

5 X16. f(x)= 3 3 ,xe(-l,oo);(x +l)(x +8) 118. f(x)= 5 2,xe(0,oo);x(x + 1 ) 120. f (X)=-6-'x e R;

X +1 122. f(x) = 4 3' X e (1,00).(x -1)

2. f(x) = cos ' X, X e R;.4. sin3 X (n)f(x) =--4-' xe 0,- ;cos X 26. f(x) = 1 ,XE(O,2:}5-3cosx 28. f(x) = cosx ,X e (0, n);1+ cosx10. f(x) = . 2 1 2' X E (0,2:);sm x+tg X 212. sin4 X (n)f(x) =-6-' XE 0,- ;cos X 214. f(x) =J b , xe(o,2:}tg X 216. f(x) = cos x cos 2x cos 3x, x E R;18. f (x)=. 1. ,xe(o,a),ae(o,2:);smx-sma 2

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

35/36

x+I17. 1:(O,oo)~R,/(x) (x2 +2X)~X2 +2x '19. 1:[O,oo)~R,/(x)= I ;X +~X2 +x+l

x2 -121. I: R ~ R,f(x) = ,--;-: ;(x2 +1)vx4 +123. 1:(~fi-l,oo)~R,/(X)= 1 . ;X ~X4 +2x2-1

x2 +125. I: (I,oo)~R,f(x) = ..[;4;l'(x2 -1) X4+1E XE RC ITII R EC A PIT UL ATIV ESa se determine primitivele functiilor:1. I: R : ~ R,/(x) =max{~, 2 X } ;

() ~I +X22. I: 0,00 ~R,f(x)=--; xl (X-1)e-X,x E ( -00,1 )I:R~R,f(x)= In2x [ ) ;. --,xE 1 ,00x3 .4 : I: R ~ R,f(x) =_.__ 1__smx-cosx+5

{I,xE ( -00 ,0 )I:R~R,f(x)= 12 [)." X -2x+l,xE 0,005 .

~X2 +4x18. I: (0, 00) ~ R, I(x) = 2 ;X

20. I: [0, 00) ~ R, I(x) = X.JX2 - 2x + 2 ;x

22. f: (-1, 1) ~ R, I(x) , r=-(I-x3 )V1-x2I24. 1:(O ,oo)~R,/(x)= ~ ;x x4+x2+1

(Admitere 1. P. B., 1987)

(Admitere Facultatea de matematicii, 1983)6 : Sa se determine valorile parametrului real A, pentru care functiaj": R~ R,

I(X) __leaxcos-xI'XER'(aER) ...are pnmitrve.A , x =

Sa se calculeze urmatoarele primitive:. 1. x-I

7. 1:(-I,oo)~R,f(X)=-( ) 2 ex+ lx+118. I:R~R,f(x)= , ,.1+ I-ex

9 . e XI: R ~ R, I(x) = 2 -2e" +e x( ) X2+x+ 1 X10. I: 0,00 ~R, I(x) = ( \2e.x+I)

12. I: R~ R,f(x) =x( X+.JX2 +1)' .

40

(0. L. M, Cluj, 1983)

(0. L. M, Timis)

(0. L. M, Vrancea)

11. I:R~R, l(x)=ln(x4+a'x2+a4),(a>0).

13: xI:R~R,f(x)= n (n E N).(x+J7;l)

5/11/2018 a Cls.12 Cap.1

36/36

Sli se ealculeze primitivele functiei J : (I, co] - - - + R,f (x) = . Sli se determinex(1 + lnx)

Test de eva luare nr. 11. Fie functia J : R - - - + R de doua ori derivabila si eu derivata a doua continua, Sli se calcule-

ze: fxf"(x)dx, x E R.2. Sli se determine primitive Ie functieij': R - - - + R,f(x) =max {x2, 3x - 2}.3. sa se calculeze:

a) fxsinxcosxdx, x E R;b) fx2lnxdx, x >0;c) f(x+I)~4-x2dx,x E (-2,2).

Test de eva luare nr. 2

(Timp de lucru: 50 de minute)

{xe x, x:: ; 0

Sli se arate eli functiaj": R - - - + R, J(x) = x2 admite primitive si sli se determine-- x o O. x+l'o astfel de primitiva.

primitiva F cu proprietatea F(ee-l) =2.Se considera functiilejiF': R - - - + R,f(x) = (x - l)eX si F (x) = (x - 2)e" + e.a) Sli se arate eli functia F este 0 primitiva a functieij.b) Sa se calculeze: lim F(x\.

x~l (x-I)c) Sa se calculeze: lim F(x) .

x~'" xe"(Bacalaureat, 2000)

de lueru: 50 de minute)