(x - 0.7) / a g x (x) = ( 0 . 8 - x ) / a

0

0.7 < x < 0.75 0.75 < x < 0.8 en otro caso

a. Determine la constante a.

b. Establezca la funcin generadora de momentos.

c. Calcule E(X) y V(X)

d. P(0,74 < X < 0.85) =?

6. Suponga que la duracin de cierto tubo de radio es una variable aleatoria continua con funcin de densidad

l 0 0 / k 2 k>100 gx(k)=

[0 enotrocaso

a. Cul es la probabilidad de que un tubo dure menos de 200 horas si se sabe que el tubo todava funciona despus de 150 horas de servicio?

b. Cul es la probabilidad de que si se instalan tres de esos tubos en un conjunto, exactamente uno tenga que ser substituido despus de 150 de horas servicio?

c. Cul es el nmero mximo de tubos que se pueden poner en un conjunto de modo que haya una probabilidad de 0.5 de que despus de 150 horas de servicio funcionen todava?

7. Una compaa generadora de energa elctrica enfrenta la opcin de construir una planta de reactor hidroelctrico (RHE) o una planta de energa de combustibles fsiles (CF). La construccin de la planta de RHE constar US$300 por kilovatio; y la planta de CF, US$150 por kilovatio. Debido a la incertidumbre en cuanto a la disponibilidad de combustible y del impacto de reglamentos futuros sobre calidad de aire y agua, se desconoce el periodo de vida til de operacin de cada planta, pero se han estimado las siguientes probabilidades

Vida til (aos) 10 20 30 40

Probabilidad de la planta RHE .05 .25 .50 .20

Probabilidad de la planta CF .10 .50 .30 .10

Calcule la vida til de operacin esperada de cada planta, y la razn del costo de construccin respecto a la vida til. Que le sugieren los resultados obtenidos?

73

8. Cierta aleacin se forma al combinar la mezcla fundida de dos metales. Su resultado contiene cierto porcentaje de plomo (X), el cual se comporta en forma aleatoria con funcin de densidad g x (x) = K * (1 - x2) 0 < x < 1

a. Para que valor de K, g x (x) es funcin de densidad.

b. Obtenga F x (x).

c. S el precio de venta del compuesto, V, depende del contenido de plomo y se vende segn

Calcular el valor esperado de V, y su dispersin.

9. S X es una variable aleatoria con funcin de densidad: gx(x) = x / 2 0 < x < 2

a. Muestre que la funcin de densidad de Y = X2 es gY(y) = 1 / 4 0 < y < 4

b. Encuentre M x ( t ) , E(X), V(X)

c. Encuentre MY(t) , E(Y) , V(Y)

10. Un ingeniero encuentra que una medida del error X es una variable aleatoria con distribucin en forma de curva de coseno.

N cos(mx) - E < x < E g x ( x ) = ] n [0 en otro caso

a. Hallar el factor N de normalizacin, que hace de gx una funcin de densidad. b. Cul es la probabilidad de que X sea mayor que E/2. c. Cul es la probabilidad de que X en valor absoluto sea mayor de E? d. Cul es el valor esperado y la desviacin estndar de X?

11. Las velocidades de molculas de gas, V, se pueden modelar mediante la funcin de densidad gv(V) = 4 n (m / 2 n k T)3/2 v2 exp(-v2 (m / 2kT)) v > 0

Conocida como distribucin de Maxwell, donde m es la masa de la molcula, k la constante de Boltzmann y T la temperatura absoluta.

a. Calcular la velocidad media de una molcula. b. La energa cintica esta dada por E= mv2/2. Determine la energa promedio para una partcula.

la funcin:

V = 12 + 5 * X S 1/3 < x < 2/3 2 + X en otro caso

74

c. Obtenga la funcin generadora de momentos de V y de E.

d. Deduzca a partir de la M(t) la varianza de las dos variables.

12. En un departamento de mercadotecnia se considera que la ganancia del diseo A puede estimarse, con bastante exactitud, en 3 millones de pesos. La ganancia de diseo B es mas difcil de evaluar. El departamento de mercadotecnia concluye que existe una probabilidad de 0.3 de que la ganancia del diseo sea de 7 millones de pesos, pero existe una probabilidad de 0.7 de que sta sea de solo 2 millones de pesos. Que diseo debe preferirse?

13. Suponga que una variable aleatoria X toma tres valores -1, 0, 1, con probabilidades 1/3, 1/2 y 1/6. Sea i. Y= 3x + 1 ii. Z = x2

a. Encuentre la funcin de distribucin de Y y Z.

b. Calcule el valor esperado de cada una de las variables y su desviacin estndar

c. Cuales de las variables son simtricas alrededor del valor esperado?

d. Determine la funcin generadora de momentos de X, Y, y Z.

14. Se desea hacer algo para reducir el nmero de accidentes sucedidos en la ciudad, en los que estn implicados automviles y ciclistas. Actualmente, la distribucin de probabilidad del nmero de tales accidentes por semana es la siguiente:

Nmero de accidentes: 0 1 2 3 4 5

Probabilidad: 0.05 0.10 0.20 0.40 0.15 0.10

El alcalde tiene dos alternativas de accin: puede instalar semforos adicionales en las calles de la ciudad o puede aumentar el nmero de carriles para bicicleta. Las respectivas distribuciones de probabilidad revisadas de las dos opciones son las siguientes:

Nmero de accidentes: 0 1 2 3 4 5

Probabilidad(semforos): 0.10 0.20 0.30 0.25 0.10 0.05

Probabilidad(carriles): 0.20 0.20 0.20 0.30 0.05 0.05

Que plan de accin debe aprobar el alcalde s desea producir la mayor reduccin posible en:

a. El nmero esperado de accidentes por semana?

b. La probabilidad de ms de tres accidentes por semana?

c. La probabilidad de tres o ms accidentes por semana?

d. La variacin del nmero de accidentes por semana?.

75

15. Se supone que la temperatura, en grados Fahrenheit, a la que ocurre una determinada reaccin es una variable aleatoria X con funcin de distribucin:

0 x 172)

d. E (X), E(Z); V(X), V(Z)

e. Si z = 352, encuentre la probabilidad acumulada en grados Fahrenheit

16. La proporcin de personas que contestan una cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria X que tiene la funcin de densidad:

a. Demuestre que g x (x) es una funcin de densidad.

b. Encuentre la probabilidad de que ms del 25% y menos del 50% de las personas responde la encuesta.

c. Que porcentaje de personas se espera que contesten la encuesta; indique su variabilidad

d. Encuentre M(t).

17. En un sistema de comunicacin por voz con 50 lneas:

a. Que variables aleatorias pueden considerarse, de tipo discreto y continuo?

b. S la variable aleatoria es el nmero de lneas ocupadas en un momento en particular, Cmo la caracterizara?.

18. Cmo caracterizara la variable aleatoria nmero de ciclos de reloj de una computadora necesarios para finalizar un calculo aritmtico?

en otro caso 0 < x < l

76

19. El espacio muestral de un experimento aleatorio v los valores de una determinada variable aleatoria asociada, se presentan a continuacin:

Q = a b c d e f X = 0 0 1.5 1.5 2 3

a. Encuentre: f x (x), Fx(x), E(X), V(X) y M(t).

b. Calcular: P(X = 1.5), P(X>3), P(0.5 < X < 2.7), P(0 < X < 2), P(X=0 U X=2)

0 x < - 2 -2

23. Suponga la variable aleatoria X con funcin de probabilidad

f x (k)= C / 2k k = 0 1 ,2 ,3 ,4

a. Determine C, tal que f x (k) sea una funcin de probabilidad.

t>. Halle la funcin de distribucin de X y su funcin generadora de momentos.

. Calcule: P ( 1 < X < 3 ) , P ( 1 < X ) , P ( X = 3 / X > 2 )

24. Suponga que la funcin de distribucin acumulada de la variable aleatoria X es:

a. Determine: P (X < 1.8 ), P (X > - 1.5 ), P (X < - 2 ), P (-1 < X < 1)

b. E(X), CTx , M(t).

25. El ancho del entre- hierro, en unidades codificadas, es una propiedad importante de una cabeza de grabacin magntica. S el ancho es una variable aleatoria continua sobre el rango 0 < x < 2 con gx(x) = 0.5x.

a. Calcule la funcin de distribucin acumulada del ancho del entre- hierro.

b. Cul es el valor de: E(X), a x ?

c. Determine k s P(0.5 < X < k) = 0.3.

d. Encuentre P(X < 1, U, X > 0.7)

26. Sea la corriente elctrica medida en miliamperios, utilizando un conductor delgado de cobre, considerada como una variable aleatoria con funcin de densidad:

gx(x) = 0.05 0 < x < 20

a. Calcule: P(X 8).

b. Hallar Fx(x),M(t).

27. Sea V, la velocidad (en cm/seg.) de un objeto de un kilogramo de masa, de una variable aleatoria con distribucin normal de parmetros cero y 25. Y sea W = 500 V2 su energa cintica. Calcular:

a. La probabilidad de que la energa sea menor que 200 ergios

b. La funcin generadora de momentos de W.

c. El valor esperado y la varianza de la energa.

0

Fx(x)= 0.25 1

x < - 2 - 2 < x < 2

2 < x

78

III. MODELOS PRO BAB ILSTI COS

Un modelo probabilstieo es una representacin matemtica deducida de un conjunto de supuestos con el doble propsito de estudiar los resultados de un experimento aleatorio y predecir su comportamiento futuro cuando se realiza bajo las mismas condiciones dadas inicialmente.

El modelo permite conocer la distribucin de probabilidades de los valores que toma la variable aleatoria, de ah que tambin se mencione con el nombre de Distribucin de Probabilidad.

En el captulo anterior se reconoci el comportamiento de una variable aleatoria a travs de su funciones de probabilidad, densidad, distribucin y generadora de momentos, adems de los parmetros de tendencia, variabilidad, asimetra y curtosis. Tales funciones construidas corresponden propiamente al modelo probabilstieo.

En ste captulo se presentan modelos que reciben un nombre especifico y son frecuentemente utilizados.

1. MODELOS DISCRETOS

Entre los modelos discretos se cuenta con: Uniforme, Bernoulli, Binomial, Geomtrico, Binomial Negativo, Pascal, Hipergeomtrico, Poisson y Multinomial, entre otros.

1.1 Modelo Uniforme

Sea X una variable aleatoria discreta definida sobre un espacio de probabilidad Laplaciano, que indica el resultado del experimento aleatorio.

X = l,2,3,...n => f x (x) = sucesos elementales equiprobables n

M(t)=E(e) = t e i

M ^ . - l i . - l f i i f i s . - i i - , . n X=1 n X=1 n 2 2

79

1 - 2 tx . . v . r\\ 1 ^ 2 n ( n + l ) ( 2 n + l ) (n + 1) (2n+l) M"(t) = Xx 2 e , x => M"(t = 0) = x 2 -n x=l n x=l 6n

V(x) = -(n + 1) (2n + l) ( n +1Y _ (n + 1) (n -1 ) _ n2 - 1 _ 2 12

- c

Ejemplo 7

Suponga el experimento lanzar un dado. Sea la variable aleatoria X: Nmero de puntos al lanzar el dado una vez.

_ , ^ [1/6 x = l ,2 ,3,4,5,6 f * ( x ) = P(X = x) = f x (x) = p x (1 - p)1_X X = 0,1

[O siAc ocurre P(X = 0) = 1 - P ; X

M(t) = e x t f x (x) = (1 - p) + e l p = q + e'p = M(t) x=0

80

M'(t) = Xxe t x px (1 - p)'"x => M'(t = 0) = p = E(X)

M"(t) = (pet)' = pet => M"(t = 0) = p = E(X2)

V(X) = p - p 2 = p ( l - p ) = pq = a 2

1.3 Modelo Binomial

Suponga que un ensayo de Bernoulli se repite n veces, entonces se presentan las siguientes caractersticas adicionales:

1. Cada vez que se repite un ensayo es independiente de las dems.

2. La probabilidad de que suceda el evento A, no cambia a lo largo del experimento (seleccin con repeticin).

3. X: Variable aleatoria que indica el nmero de veces que ocurre el resultado A en los n ensayos del experimento.

4. f x (x ) = c \ n

v x / p x ( l - p ) n x x = 0,1,2,...n

Vanse a continuacin, las grficas correspondientes a cuatro variables aleatorias con distribucin Binomial y diferentes parmetros.

A L G U N A S D I S T R I B U C I O N E S B I N O M I A L E S P A R A M E T R O S 0.2,10 X 0.2,5

O 0 4,5 \ 4 + 0.5,10

0.5

0.4

fe 0.3

0 . 2

0.1 j? O

O

m -El

i r S Cu 3 l

6 10

5. M(t) = t i l PX q"'X etx = n ] QpY qn x = (P + q) = M(t)

81

AYUDA. Para resolver la serie M(t), tngase en cuenta (A + B)n =

x=o

n A x B n - x

6. M'(t) = npe' (pe' + q)n_1 => M'(t = 0) = nP = E(X)

7. M"(t) = npe'(pe' + q)n_1 + (n -1) npe' pe' (pe' + q)n_2

=> M"(t = 0) = nP + (n -1) n p2 = np (1 + (n -1 ) p) = E(X2)

8. V(X) = np np (1 + (n -1 ) p) - (np)2 = "y

= np (1 + (n -1 ) p - np) = np (1 - p) = npq = CT~

NOTACION: X ~ B ( n , P ) Indica que la variable X tiene distribucin Binomial con parmetros n y P.

Ejemplo 3

El movimiento de la partcula permite definir la variable aleatoria X que indica el nmero de movimientos a la izquierda en las tres observaciones.

P(X=X) = vxy

0.5X 0.53"x X =0,1,2,3

E (X) = M'(t = 0) = 3 = 1.5

V(X) = M"(t = 0) - [M'(t = 0)] 2 = 3 ^ * - = 0.75

Ejemplo 4

En una sucesin de 30 aos interesa la ocurrencia o no de un caudal mayor que la capacidad de un vertedero, si las magnitudes del caudal son independientes ao tras ao y la probabilidad de una ocurrencia no cambia a travs de los 30 aos, suponiendo p = 0.02.

82

Solucin:

X: Nmero de aos en los cuales ocurren grandes inundaciones, en la sucesin de 30 aos. X = 0, 1,2, 30

Durante un ao cualquiera pueden ocurrir no, grandes inundaciones independientemente una de la otra, con probabilidad fija de 0.02.

Por lo tanto, X ~ B (n=30, P =0.02)

a. Cul es la probabilidad de que ocurra al menos una gran inundacin durante los 30 aos, de un sistema propuesto de control de inundaciones?

P ( X > 1 ) = 1 - P ( X = 0) = 1 v0 ,

(0.02) (0.98)30 0 = 0.4545

Si se considera, muy grande el riesgo de tener al menos una gran inundacin, el ingeniero debe incrementar la capacidad de diseo, de modo que la magnitud de la inundacin crtica sea slo excedida con la probabilidad 0,01 en un ao cualquiera. De sta manera

P(X > 1) = 1 -'30^

v y (0.01) (0.99)30"0 = 0.26

NOTA. Tambin se pueden utilizar Tablas de Probabilidades en las cuales se encuentra tabulados de la Distribucin Binomial.

1.4 Distribucin Hipergeomtrica

Sea un experimento aleatorio, con las siguientes caractersticas:

1. N: tamao de la poblacin (Q) M: nmero de elementos con caracterstica especial tipo I N-M: nmero de elementos con caracterstica especial tipo II n: tamao de la muestra

2. X: Indica el nmero de elementos tipo I en la muestra.

3. La muestra se elige sin restitucin (sin sustitucin)

4. P(X = x) = f x (x) = M

v * ,

N - M

v n - x ,

/'tvA N

vn y x = 0, l,...inf (n, M) M < N

83

, N , V , M . _ , . M N - N N - M 5. E(X) = n- V(X)= n * * N N N - l N

NOTACION. X ~ H(N, M, n): la variable aleatoria X tiene distribucin hipergeomtrica con parmetros N, M, y n.

NOTA 1

S Y = X - 1 X y=0

y

N - M '

v n - l - y , ' N - 0

v n - l ,

AYUDA. Lo anterior con base a: 2 i=0

m ( \ t a + b

v m

Ejemplo 5

Se capturan M animales de la misma especie se les marca y se les suelta nuevamente. Cierto tiempo despus se capturan n animales y se registra el nmero de animales marcados entre los n, X. Las probabilidades asociadas a X son una funcin de N. Suponga M = 4 animales marcados y despus soltados, se toma una muestra de tres de la misma poblacin. Calcular: a. P(X=1) b. Suponga N=8, N=9, N=10, N=l l , N=12. Qu valor de N maximiza P(X= 1)?

Solucin

Se distinguen dos poblaciones, los marcados y los no marcados, la muestra capturada es sin repeticin, por lo tanto X ~ H(N, M=4, n=3)

V 'N-4 / V K ,3-1 , / a. p(X=l)= V

b. Queda como ejercicio del lector.

NOTA 2. Se utiliza la Distribucin Hipergeomtrica para la Estimacin del tamao de las poblaciones de animales utilizando el mtodo de marca - recaptura.

84

NOTA 3. La Distribucin Hipergeomtrica se aproxima a la distribucin Binomial

LimH(N,M,n) = B(n,P), = P M,N>co N

1.5 Distribucin Geomtrica

Sea un experimento aleatorio que se repite hasta que ocurre cierto evento A y se caracteriza por

1. El experimento tiene 2 posibles resultados A, Ac

2. Las repeticiones son independientes

3. La probabilidad de A es P (no cambia en cada repeticin)

4. El nmero de experimentos es variable.

5. X: Es la variable aleatoria que indica el nmero de ensayos hasta obtener el resultado A. 6. fx(x) = ( l - p r 1 p = qx-1p x = 1, 2...

7 . M(t) = e V " ' P = E (e t q) x = ^ 7 7 ^ 7 - 7 7 ^ = M(t) q*=i q ( l - e q ) ( 1 - q e )

8. M'(t = 0) =

9. M"(t)

r = p"1 = E(X) (1-q)2

Pe '(l~' q)2 Pe' 2(1-6* q)(-e' q) ( l - e ' q /

>M"(t = 0) = pp 2 -pe '2pp(-q) p+2q 1 + q

10. V(x) = i + q - i = q 2 2 P P

NOTA 1. S Y es la variable que indica nmero de fracasos antes de obtener el nico xito

Y = 0,1,2, fY(y) = QyP ^ M y ( t ) = e V P = P(e tQ)y =P| 7 y l Q e y x=o x=o

M'Y(t)= P ( Q e t > 2 MV(0) = - J ^ = g = E(X) (1-Qe1)- ( 1 - Q r P

85

M y ( t ) = PQe' ( l -qe ' ) -2PQe ' (1-ge1)2 (Qe1)

d - Q e ' ) 4 m " x ( O ) = m :

P

V(Y) = M"(0)- M'(0)2 = ^ = CT

NOTACION. X~ G(P): La variable aleatoria X tiene distribucin Geomtrica con parmetro P.

La figura muestra la forma de la Distribucin Geomtrica cuando P=0.1 y P=0.5.

DISTRIBUCION GEOMETRICA 0.5

0.4

0.3

fe 0.2

0.1

0

PROBABILIDAD(P)

_P 0 1 0.5

^ ^ C D m ^ : L---*^*. J.AJ4. A . . A . i i j ^ 0 10 20 30V

NOTA 2. La probabilidad condicional P(X > s +1 / X > s )=P(X > t) indica que la variable X "No tiene memoria".

Ejemplo 6

Vulvase a considerar el jugador de baloncesto quien lanza a la cesta con probabilidad de encestar igual a 0.8.

a. Encontrar la probabilidad de que tenga que realizar 6 lanzamientos para obtener su primera cesta.

b. Calcular el valor esperado y la desviacin estndar.

Solucin: Sea X: la variable aleatoria que indica el nmero de ensayos que debe hacer el jugador para

obtener su primera cesta.

X~ G (P=0.8) => fx(x) = 0.2X 1 * 0.8 x = 1, 2, 3,

86

a. P(X=6)=0.2 5 *0.8=0.000256

b. E(X) = 1/0.8 = 1.25 V(X) = 0.2 /0.8 2 = 0.3125 => a = 0.559

1.6 Distribucin de Pascal

En el experimento anterior, suponga que pueden ocurrir K resultados A, en cierto nmero de repeticiones del experimento de Bernoulli, donde el ltimo ensayo es A.

1. Sea X: La variable aleatoria que indica el nmero de ensayos necesarios para obtener K

resultados A. DISTRIBUCION DE PASCAL

2. f (n)= x v ' vk-ly p k q n _ k n: k, k+1, k+2,

0.5

0.4

0.3

n es el nmero de ensayos. fe 0.2

Obsrvense algunas de las formas de la distribucin de Pascal en la figura de al lado. 0

p; tOBAI 0 . 6 , 3

ILIDA D(P,k [ o

0 . 3 , 3 0 . 8 , 3

[

[ b p

[

c 3

[

c LJ

iC .

[

12 15 18 21' X

3. M x ( t ) = e n=k

00 ( n - 1 tx

vk-ly Pk q""k

p ' - f n - 1 ^ ' - - k ~ t k

v^y z

n=k

P e k - i r v ( l -qe t ) k

pk e tkk(l - qel )K - pKelKk(l - qel )""' ( -qe l ) _ pK elKk txk _ k tk -k tk. 4. M x ( t ) ( l -qe l ) 2 k ( l -qe l ) k + 1

M x (0 ) = ^ = - = kp- 1 =E(X) P" +1 P

5 M . ( t ) k ^ V ^ d - q e ^ ^ - k p V ^ k + D d - q e ^ ^ - q e ' ) ( l - q e 1 ) 2 ^

kpke tkk(l - qe' )k |k( 1 - qe1) - (k +1) ( -qe l ) ] = kpke tk (k + qe1) ( l - q e 1 ) 2 ^ ~ ( l - q e 1 ) 0 ^

M"(0) =

87

6. V(X) = k'+kq

P

Ejemplo 7

En el caso del jugador de bsquetbol, calcular: a. la probabilidad de que tenga que realizar 6 ensayos para encestar 3 veces, b. Encontrar el valor esperado, la varianza de X y la desviacin estndar.

P(X=6)= ^ 5

v2y (0.8)3 (0.2)3= 0.04096

E(X)= = 3.75 V(X) = 3 * : 2 = 0.9375 => a = 0.96 0.8 0 .8

Ejemplo 8

Un estudiante responde un examen de escogencia mltiple (cinco alternativas de respuesta una de las cuales es correcta); hasta obtener cinco respuestas correctas, a. Cul es la probabilidad de que las obtenga al terminar de contestar 25 preguntas? b. Calcular el valor esperado y la varianza de X.

Solucin

Sea X la variable aleatoria: nmero de ensayos necesarios para obtener 5 respuestas correctas

P(X=25)= 24l 5 f4 l , ,5 ) 20

0.0392

5 5*0.8 E(X)= =25 V(X)= T=100 => O=10 0.2 (0.2)

NOTA 1. DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA

La distribucin Pascal se denomina Binomial negativa cuando se presenta as:

Sea X la variable aleatoria, nmero de fracasos, r, ocurridos antes del k-simo xito, con funcin de probabilidad

88

fx 00 = ^r + k -1^ r k fr + k-

v 1 y V K 1 y ( l - p ) r p k k = 1,2,... r = 0; i ,2, .

n = r + k E(X) = V ( X ) = k q P P"

NOTA 2. El nombre de Binomial negativa es debido a:

I f x ( x ) = l = > l = I f x+k-lA k x - k k . . , - k A q . - k

p q =p (i-q) = ( - - - ) P P x=0 V /

El exponente - k determina el nombre de Binomial negativa.

NOTA 3. Con base en la Nota 1:

i r+k-1 Mx(t)=E(e t x)=E

r=0V 4 J

k xtx Tik V" p q e =P X i r+k-1

r=(A 1 ) (qe l)x

teniendo en cuenta que ~k1 Y fr+k-l> =(-D r => v r , v. r V

i \ MX(T)=PK I (-qe

t)x=Pk(l-qe t)"k

x=0v X ^

00 r ^

00 a

AYUDA. I (-B)r= (1-B)a

r=0

As mismo, se puede escribir Mx(t)=M(t)= n 1 (l-p)e

VP P y

- k l-(l-p)er

Ejemplo 9

Otra alternativa de respuesta en el ejercicio 10, el examen de escogencia mltiple, puede ser como sigue:

89

Sea Y la variable aleatoria: nmero de preguntas mal contestadas antes de la quinta respondida correctamente.

P(Y=20) , 20 ,

Y L U

0.0392 haciendo x - f y+k-1

V y y

E(Y)= 5*= 20 V(X)= 5 * - ^ = 100 0.2 0.2

NOTA 4. La Binomial negativa es una alternativa de la Poisson cuando la frecuencia de ocurrencia no es constante en el tiempo el espacio.

Se usa para modelar estadsticas de accidentes, datos sicolgicos, compras del consumidor y otras situaciones similares. Se denota la variable aleatoria X como el nmero de ocurrencias en el tiempo el espacio cuando la frecuencia de esta no es constante.

NOTA 5. La distribucin Binomial negativa tambin se usa para el muestreo Binomial inverso. Sea una proporcin P de individuos en una poblacin con cierta caracterstica (especial). Si los individuos son muestreados hasta completar r con la caracterstica deseada, entonces el nmero de individuos que sobrepasan los k observados tienen la distribucin comentada.

NOTA 6. Una variable aleatoria X con distribucin Binomial negativa es referida a tiempos de espera. Representa cuan largas son las esperas para obtener k sucesos (en trminos de fracasos)

NOTA 7. La distribucin Binomial Negativa, como la Poisson, tiene enteros no negativos como puntos de masa, de ah que es potencialmente usada como modelo para experimentos aleatorios donde un conteo con algn orden es de inters. Por ejemplo, en salud (estadsticas de pacientes), en comunicaciones, etc.

1.7 Distribucin de Poisson

Sea un experimento aleatorio con las siguientes caractersticas:

1. Los eventos que ocurren en un Intervalo de Tiempo (o en una Regin del Espacio) son independientes de los que ocurren en otro Intervalo de Tiempo (o Regin del Espacio).

2. La probabilidad de que exactamente ocurra un evento en un Intervalo de Tiempo (o Regin del Espacio) es proporcional a la longitud del Intervalo de Tiempo (Regin del Espacio).

P(Un evento por Intervalo de Tiempo)= Ak + O(k), O(k) es una funcin cualquiera de k y K una constante positiva tal que para cualquier intervalo de tiempo (Regin del Espacio) de longitud K

lim 0 (K) = 0 k->0

3. La probabilidad de que ocurra ms de un evento en un mismo Intervalo de Tiempo (Regin del Espacio) es despreciable.

P (Dos ms eventos por Intervalo de Tiempo)= 0(k) lim 0 (K) = 0 k->0

4. X : Es la variable aleatoria que indica el nmero de sucesos en un Intervalo de Tiempo ( Regin del Espacio) t.

5. f x { x ) = e u { l k ) x / x = 0 , l , 2 . . .

Se pueden identificar algunas formas de la distribucin estudiada en la figura.

A L G U N A S D I S T R I B U C I O N E S P O I S S O N

6. M(t) = e t x e ^ k a k ) x / x ! = e ^ k = 1 e 1 x=o x=o

00 Q X Z " _ a r e x-

7. M'(t) = e^k(et -1) (ke1) => M'(t = 0) = Xk = E(X)

8. M"(t) = Xke1 e ^ J - v + ^ ^ ( e ' - i ) k e t ^ M ( 0 ) = + ( ? l k )2 = E ( x ) 2

9. V(X) = ?,k + (k)2-(?ik)2=^k = CT2

NOTACION. X ~ P(,): La variable aleatoria X tiene distribucin Poisson con parmetro X, k=l.

NOTA 1. Tambin se pueden utilizar Tablas de Probabilidades en las cuales se encuentran tabulados de la Distribucin Poisson.

Eiemplo 10

Un conmutador de telfonos maneja 300 llamadas en promedio por hora y el tablero puede hacer a lo ms 10 conexiones por minuto. Estime la probabilidad de que el tablero est sobrecargado en un momento dado.

Solucin

Y, : nmero de llamadas por hora. Yj ~ P (A,! = 300) k= 1

Y2 : nmero de llamadas por minuto. Y2 ~ P Ck2 = 5) k= 1 / 60

10 a - S

Entonces P(Y2>10) = 1 - P(Y2 < 10) = 1 - V = 1 - 0,986 = 0.014 To y:

NOTA 2. El modelo Poisson se acomoda bien para la distribucin de eventos raros que ocurren infrecuentemente en el espacio, unidad de rea, volumen, tiempo, u otra dimensin.

1.8 Aproximacin de la Binomial a la Poisson

Suponga que se desea encontrar la funcin de probabilidad de la variable aleatoria X que indica nmero de accidentes ocurridos en una semana.

El perodo de una semana se puede dividir en n sub - intervalos, cada uno tan pequeo que podra ocurrir en l a lo ms un accidente. Entonces:

- La probabilidad de que ocurra un accidente en un sub - intervalo es P

- La probabilidad de que no ocurra ningn accidente en un sub - intervalo es 1 - P

- La probabilidad de ms de un accidente en un sub - intervalo es cero.

Haciendo X = np

Lim n - oo

/ \ n P x ( l - p ) n - x = Lim ^ 1 ) - ( n " X + 1 )

n -> oo x!

^ L i m n ( n - l ) . . . ( n - x + l ) f i ^ V n oo n x

ii / , x x ;A _ i A 5^ *)*(. /V*1_" C

x! \ x!'

i > - X AYUDA. Recuerde Lim 1 - - - e_>'

n - > o o l n j

92

Ejemplo 7 7

El 0.005% de la poblacin de un pas muere debido a cierta clase de accidentes cada ao. Una compaa de seguros tiene 10.000 asegurados contra este tipo de accidente. Encuentre la probabilidad de que la compaa deba pagar ms de 3 plizas en un ao dado.

Solucin: Sea Y: nmero de accidentes cada ao.

Se puede verificar que la variable Y es Binomial con parmetros n=10.000 y P =.00005, entonces se aproxima a la Poisson as:

X = n * p = 10.000 *0.00005 = 0.5 P(Y > 3) = 1 - P(Y < 3) = 1 - 0.998 = 0.002

2. MODELOS DE VARIABLE CONTINUA

As como se observ en el caso discreto, existen para el caso continuo un sin nmero de modelos probabilsticos de los cuales se estudiaran aqu los mas importantes con nombre propio, tales son las distribuciones: Uniforme, Normal, Gamma, Beta, Exponencial, Weibull, entre otros.

2.1 Distribucin Uniforme (Rectangular)

Sea un experimento aleatorio y X la variable aleatoria que indica la seleccin de un punto en el intervalo real [a, b], caracterizada por:

flOOOO) P(Y = y) = , (0.00005)y (0.9999) n-y >e"0'5 (0.5)y / y!

a < X < b 1- g x ( x ) H b _ a

0 en otro caso

0 X < b

2. Fx(x)=-x-a

a < x < b b-a

b < X

93

El valor esperado tambin se puede calcular por definicin as:

E(X)= [ k x dx = ^ X J a b-a b-a 2

b b 2 - a 2 (a-b)(a+b) a+b

a 2(b-a) 2(a-b) ~ 2

c , v 2 s fb 2 1 E(X )= i x "x = J a b -a 3 (b-a) b b 3 - a 3 ( b - a ) ( b 2 + a b + a 2 ) b 2 +ab+a 2

3 (b-a) 3 (b-a)

4. V(X)= b 2 +ab+a 2 (a+b)2 4 b 2 + 4 a b + 4 a 2 - 3 a 2 - 3 b 6ab b 2 - 2 a b + a 2 ( b - a ) 2

12 12 12

Ejemplo 12

El tiempo en minutos requerido por una persona para recorrer el camino de su hogar a una estacin de trenes es un fenmeno aleatorio que obedece a una distribucin uniforme en [20 , 25],

a. Cul es la probabilidad de que tome el tren que sale a las 7:28 de la maana, s la persona sale de su hogar a las 7:05 A.M.

b. Cul es E(X)?

c. Cul es V(X)?

Solucin:

Sea la variable aleatoria X que indica el tiempo requerido para ir de la casa a la estacin.

x

En el 60% de los das la persona llega a la estacin a las 7.23 a.m. antes, habiendo salido a las 7.05.

b. E(X)=>=> = 22.5 2 2

Se espera que la persona se demore en ir de su casa a la estacin 22.5 minutos.

c. V(X)= ( 2 5 i 2 2 0 ) =2.08 => c(x) = ,/V(X) = y2m = 1.4422

La variacin del tiempo que gasta la persona a la estacin respecto al promedio es de 1.4422 minutos.

Ejemplo 13

El valor de una divisin de la escala de un aparato de medida es 0.2. La indicacin del aparato se redondea hasta la divisin entera prxima. Hallar la probabilidad de que al leer se cometa un error.

a. Menor que 0.04 b. Mayor que 0.07

Solucin: Sea X la variable aleatoria que indica el resultado de la medicin

0 x < 0

0 < x < 0.2 0.2 1 x > 0.2

gx(

x

)= 0