-95- - | UTN · 2. Movimiento Armónico Amortiguado. Aquí, ver Figura 3, consideraremos F(t) = 0 y...

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Abordaje del Movimiento Armónico utilizando TIC’s en la Clase Teórico-Práctica-Laboratorio

Zerbino, Lía M.(1 ,2 ); Baade, Noemí N.( 1 );

Del Zotto, Ruben( 1 ); Devece, Eugenio( 1 , 3 );

Attilio, Gabriel( 1 ); Chancel, Myrian(1 );

Ronconi, Jorge(1 )

1: IEC Ciencias Básicas, Facultad Regional La Plata UTN

2: UID OPTIMO, Facultad de Ingeniería UNLP

3: UID IMAPEC, Facultad de Ingeniería UNLP

e-mail: [email protected]

Resumen

El uso de las NTIC’s está difundido ampliamente en el

ambiente ingenieril y en la Didáctica de las materias

universitarias, debido a su versatilidad y a la rapidez con que los

alumnos se familiarizan con ellas desde temprana edad. En

nuestro grupo, y en el marco del proyecto Entornos

multimediales y estrategias integradoras para el aprendizaje de

Ciencias Básicas (EMEIPACiBa) desarrollamos estrategias

incorporando estas nuevas tecnologías en la enseñanza de la

-98-

Física. En esa línea implementamos propuestas que

complementan las experiencias de laboratorio, aprovechando las

nuevas tecnologías informáticas NTIC´s, para distintas instancias

presenciales, virtuales y on-line, tendiendo a detectar variables

que contribuyan a mejorar la adquisición de competencias en

docentes y alumnos. Entre ellas surge esta innovación, que se

refiere al diseño, organización e implementación de una

estrategia que reúne simulaciones, laboratorios in situ realizados

por un grupo de alumnos, laboratorios a distancia generados a

partir del laboratorio realizado in situ y filmado. Se describen las

características del material didáctico desarrollado y las

estrategias metodológicas de implementación. Cabe destacar que

este caso permite una integración horizontal con materias del

mismo año (Algebra, Fundamentos de Informática) y de años

posteriores (Análisis II, Cálculo numérico).

Palabras Clave: NTIC’s; Competencias propias; Integración

horizontal y vertical; Teoría-practica-laboratorio integrados.

Introducción

La exigencia y obligación de modificar el dictado

teórico-práctico-laboratorio de la Física se ve incrementada ante

la disminución del tiempo de dictado del curso y la necesidad de

incorporar nuevos temas. La disponibilidad de nuevas

herramientas computacionales permite agilizar las clases y

organizarlas de manera más integrada. Así, las NTIC’s resultan

una herramienta que permite flexibilizar y optimizar los tiempos

áulicos.

-99-

Los alumnos que ingresan al ámbito universitario traen

incorporadas competencias que les facilitan el uso de las NTIC’s,

pero el docente deberá ser capaz de que, aprovechando esta

familiaridad, incorpore los contenidos del curso. Otro punto

importante a favor de estas herramientas es que permiten

agilizar el análisis de los resultados de la experimentación y su

puesta en común en cursos numerosos. Ya se ha evaluado en

Didáctica de las Ciencias el rol fundamental de la

experimentación en el proceso de enseñanza aprendizaje ya que

la misma desarrolla en el alumno competencias y aptitudes que

le servirán con posterioridad en el desarrollo de su carrera. Con

el fin de incorporar efectivamente estas estrategias en las clases,

y analizar sus posibilidades y ventajas, hemos diseñado esta

propuesta para el aprendizaje del tema Movimiento Armónico en

los cursos de Física 1 de todas las carreras, y una vez puesta en

práctica, hemos evaluado los resultados preliminares

comparándolos con los obtenidos en cursos tradicionales. Como

pretende preparar el camino para el tratamiento del tema en

otras materias de 1er y 2do Año, quedará para otro trabajo

realizar el seguimiento correspondiente.

Marco Teórico

La experiencia que se comunica fue pensada dentro del

contexto del trabajo abarcativo que involucra el nuevo rol del

profesor como mediador (Mérida, 2006); (Baade, 2008), en un

proceso de enseñanza y aprendizaje que se centra en el alumno,

provocando que su participación sea más activa que la de un

simple espectador. El rol del docente ha cambiado: se corre del

centro de la escena para ser acompañante del alumno y poder

-100-

facilitarle las herramientas necesarias para que adquiera

conocimientos (Zerbino, 2010).

Cuando estudiamos un sistema sobre el que actúan

fuerzas variables, por ejemplo F(y,t) la aplicación directa de las

leyes de Newton y su resolución analítica es muy difícil al nivel

de conocimientos en que se encuentran los alumnos de 1er Año.

Por lo tanto, resulta de importancia el uso de herramientas como

las NTIC’s que permitan la visualización de los resultados sin

tener que resolver las ecuaciones en forma analítica. La idea es

construir una herramienta de resolución gráfica que sirva para

analizar en general diferentes casos que pueden ejemplificarse

en el laboratorio.

Los casos a estudiar, corresponden a diferentes

movimientos de dispositivos que incluyen entre otros elementos

un resorte. Para analizar un caso general que incluya la

posibilidad de que el sistema esté inmerso en un fluido viscoso y

se fuerce una amplificación, se diseñó un software que permite

visualizar la respuesta dinámica de un sistema como el

esquematizado en la Figura 1.

F t( )r

Figura 1. Esquema en el caso general

-101-

Desarrollo de la Clase

Describimos sucintamente, como ejemplo, el desarrollo de

una clase organizada para presentar el tema, y prepara una

experiencia de laboratorio para medir la viscosidad de un fluido a

partir de la caracterización de un movimiento armónico amortiguado.

Se propone a los alumnos analizar diferentes modelos

de montaje, escribir las ecuaciones que, en el marco de la teoría

de Newton, gobiernan la evolución del sistema físico. Luego,

eligiendo los parámetros adecuados por comparación con la

ecuación general que gobierna al software, utilizarlo para

graficar la posición del sistema en función del tiempo.

Durante esta secuencia el docente planteará diferentes

interrogantes, que servirán de guía para que el alumno prediga,

no sólo la forma de la gráfica, sino también, las características

físicas de las distintas interacciones en juego. El análisis irá del

caso más sencillo al más complejo

1. Movimiento Armónico Simple

El sistema a analizar es el representado en la Figura 2.

Figura 2. Diagrama de fuerzas. Se desprecia la viscosidad del mismo.

rP peso

rF resorte

rg

y(+)

-102-

En este caso no consideramos la fuerza exterior ( )rF t ni

el medio viscoso. Podríamos simular la situación de la partícula

en el vacío o en aire que tiene bajo coeficiente de viscosidad.

Aplicando lo anterior a la ecuación (2), la ecuación a

resolver quedará:

=r r

RF m a (1)

que escrita en la componente y quedará

2

2− =d y

k y mdt (2)

Reescribiendo y reordenando para comparar con (4), tendremos

22

2 0+ ω =n

d yy

dt (3)

Preguntas Disparadoras

1- ¿Qué tipo de movimiento realizará el sistema? ¿Uniforme?

¿Oscilatorio?

2-Analizando las fuerzas actuantes, ¿qué puede predecir de

la aceleración? ¿Será constante o variable?, ¿de qué

dependerá?

3-¿Qué esperaría para la energía mecánica del sistema?,

¿será constante o no?

-103-

2. Movimiento Armónico Amortiguado.

Aquí, ver Figura 3, consideraremos F(t) = 0 y

recordando que λ = bm . La ecuación a resolver quedará:

22

2−λ − ω =n

d y d yy

d t dt (4)

Figura 3. Se sumerge en un líquido viscoso


1-¿Qué tipo de movimiento realizará el sistema? ¿Uniforme?

¿Oscilatorio?

2-¿Espera encontrar alguna diferencia respecto la situación

anterior? ¿En la frecuencia? ¿En la amplitud?



rP peso

rF viscosa

rF resorte

rg

y(+)

-104-

3.Movimiento Armónico Forzado y Sin Amortiguación

Aquí, ver Figura 4, consideraremos b = 0, la ecuación a

resolver quedara:

( ) 2

22− ω =n

F t d yy

m dt (5)

Figura 4. Se agrega una fuerza

Simulación utilizando el Soft Matlab

En cada caso, llegamos como resultado a un modelo

matemático en forma de una ecuación diferencial de segundo

grado con coeficientes constantes. A esta altura de la cursada,

los alumnos aun no tienen las herramientas para resolver ese

tipo de ecuación.

Una herramienta para encontrar la respuesta del

sistema en función del tiempo es realizar una simulación

numérica. En nuestro caso, será por intermedio del soft Matlab,

que nos permitirá obtener la posición en función del tiempo en

cada uno de los casos propuestos.

El sistema a estudiar será el bloque que modelaremos

como una partícula. Deseamos estudiar variables cinemáticas

rP peso

( )rF t

rF resorte

rg

y(+)

-105-

que siguen la evolución de la partícula, que serán la posición y

velocidad en función del tiempo. Ubicaremos para ello un sistema

de coordenadas cartesianos constituido por un solo eje y

vertical, con el origen en el extremo del resorte cuando este se

encuentre en su posición de equilibrio, con lo cual la posición de

la masa respecto de ese origen será ( )y t ) y su velocidad ( )v t .

Nuestro sistema de observación inercial será aquél en

que la Tierra plana está fija. Indicamos en el diagrama la

dirección de gr

. Al hacer el diagrama de cuerpo libre quedará el

de la Figura 5, en la que hemos supuesto que la partícula está

por debajo de la posición de equilibrio y alejándose de ella.

rP peso

F t( )r

F viscosar

F resorter

gr

y(+)

rE empuje

Figura 5. Diagrama del cuerpo libre en el caso general

Para este caso general tendremos que sobre el cuerpo

de masa m actúan:

- la Tierra, que supondremos plana y que ejerce la fuerza

peso rP .

-106-

- un medio fluido (representado en la Fig. 1 por el

rectángulo de color) que ejerce hacia arriba la fuerza

empuje rE, la cual despreciaremos por ser el fluido un

medio gaseoso.

- si además, el medio es viscoso, ejercerá una fuerza de

origen viscoso, que suponemos proporcional a la

velocidad del cuerpo y en sentido opuesto al

movimiento. La constante de proporcionalidad

dependerá del fluido y la designaremos con la letra b.

- el resorte, que ejercerá una fuerza proporcional a su

estiramiento. Su valor lo determinamos mediante la Ley

de Hooke. Como el resorte está vertical, al colocar la

masa, el resorte se deformará un ∆0 hasta una posición

de equilibrio (donde hemos puesto nuestro origen de

coordenadas). Así, en ese punto se cumplirá que

0+ − =r r r

resorteF E P de dónde 0⋅ ∆ = −r r

k P E .

- un agente exterior que ejerce la fuerza ( )rF t que

supondremos dependiente del tiempo.

Las condiciones del problema hacen que ( ),0=r

ya a

Si aplicamos la segunda ley de Newton, tendremos la

siguiente ecuación

( ) resorte VF t F F P E m a→

+ + + + =rr r r r

Sabemos que

2

2=y

d ya

d t

Descomponiendo las fuerzas en los ejes propuestos,

tendremos:

-107-

( ) ( )2

0 2-yd y d y

F F t b k y P E md t d t

= − + + + ∆ + =∑ (6)

( )

2

2= − + + =∑ yd y d y

F F t b k y md t d t (7)

Donde en (7) hemos simplificado usando que 0⋅ ∆ = −k P E

La ecuación (7) es una “ecuación diferencial”, su

solución es una función y(t). La podemos reescribir como

( ) 2

2− + + =d yF t b k d y

ym m d t m d t

(8)

Llamamos ω =n k m que será la “frecuencia natural” del

sistema, y representará su modo propio de oscilación.

Llamando λ = bm , entonces quedará

( ) 2

22− + λ + ω =n

d yF t d yy

m d t d t (9)

Por otro lado, se requerirá conocer las condiciones

iniciales del sistema para que la solución de (9) sea única.

( )( )

0

0

=

=

o

o

y t y

v t v

Sin perder generalidad elegimos t0 = 0

Los alumnos de 1er año no pueden evaluar

analíticamente estas ecuaciones.

-108-

Mediante el programa Matlab1 visualizamos la solución

de la ecuación diferencial.

% Introducir las condiciones iniciales

xo=input('posicion inicial=');

vo=input('velocidad inicial=');

ci=[xo;vo];

% introducir los parámetros del sistema

m=input('masa=');

k=input('constante del resorte=');

fn=sqrt(k/m);

b=input('coeficiente de amortiguacion=');

v=b/m;

A=[0 1;-fn^2 -v];

B=[0;1];

C=[1 0;0 1];

D=[0;0];

% Introducción de los parámetros de la fuerza forzante

amp=input('amplitud=');

f=input('frecuencia forzante=');

tmax=input('tiempo máximo de simulación=');

t=0:0.01:tmax;

u=amp*sin(f*t);

[y x ]=lsim(A,B,C,D,u,t,ci);

1 El manejo del software requiere programar en un lenguaje sencillo (Basic) que se ve en Fundamentos de

Informática, materia del mismo nivel.

-109-

% Salida gráfica de la respuesta del sistema (posición y

velocidad)

figure(1)

plot(t,x(1:((tmax/0.01)+1),1))

xlabel('tiempo')

ylabel('posición')

grid

figure(2)

plot(t,x(1:((tmax/0.01)+1),2))

xlabel('tiempo')

ylabel('velocidad')

grid

El programa, para los alumnos, trabaja como una caja

negra en la que se introducirán los parámetros del sistema

analizado, condiciones iniciales y de los agentes exteriores.

Caso 1- En el caso que estamos analizando, como no

están ni el medio viscoso ni la fuerza externa ( )rF t , deberemos

fijar el parámetro b, el parámetro amp y el parámetro f como

cero.

Por ejemplo,

Posición inicial= -4

Velocidad inicial= 0

Masa= 3

Constante del resorte= 12

-110-

Coeficiente de amortiguación= 0

Fo = 0

Frecuencia forzante= 0

Tiempo máximo de simulación=10

Resultarán los siguientes gráficos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

t i e m p o

posi

ción

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0- 8

- 6

- 4

- 2

0

2

4

6

8

t i e m p o

velo

cida

d

Figura 6.

Preguntas de Síntesis

1-¿Qué tipo de movimiento realiza el sistema? ¿Uniforme?

¿Oscilatorio?

2-¿Qué puede decir de la aceleración?, ¿es constante o

variable?, ¿de qué depende?



Preguntas de Afianzamiento

1- Al colocar distintas condiciones iniciales (ejemplo,

y(0)=0, v(0)=v0 ó, y(0) =A, [llamada amplitud del

movimiento] y v(0)=0), ¿por qué la frecuencia natural

o el período de movimiento permanece constante?

-111-

2-¿Cómo es la amplitud del movimiento (máximos

alcanzados) en el tiempo?

3- A partir de la respuesta anterior, ¿qué puede decir de la

energía mecánica del sistema?

Caso 2- Como está el medio viscoso pero no la fuerza

externa ( )rF t , deberemos fijar el sólo el parámetro amp y f como

cero.

Mediante el mismo programa, podremos graficar un

caso. Por ejemplo:



Masa= 3


Coeficiente de amortiguación= 0.8

Fo= 0


Tiempo máximo de simulación= 20

Siendo el grafico de salida el de la Fig.7.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

tiempo

posi

ción

Figura 7. Movimiento amortiguado

-112-

Preguntas de Síntesis


¿Oscilatorio?

2-¿Espera encontrar alguna diferencia respecto la situación

anterior?, ¿en la frecuencia?, ¿en la amplitud?




1-¿Qué diferencia encuentra con el movimiento

analizado en el inciso anterior?

2-Cuando modifica su amplitud, ¿se modifica la

frecuencia?, ¿es un movimiento periódico?

3-Si se modifica el medio viscoso, ¿sobre qué variables

incide?



¿Oscilatorio? ¿Espera encontrar alguna diferencia? ¿En

la frecuencia? ¿En la amplitud?

2- Analizando las fuerzas actuantes, ¿qué puede predecir de

la aceleración?, ¿será constante o variable?, ¿de qué

dependerá?

-113-



Caso 3- Usamos el mismo programa. Tomaremos una

fuerza periódica senoidal del tipo ( ) ( )0= • ω •r rF t F sen t

Mantendremos las condiciones iniciales

Estudiaremos una situación



Masa= 3



Fo= 12

Frecuencia forzante= 0.5


Obtenemos el gráfico de la Figura 8.

0 5 10 15 20-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

tiempo

posi

ción

Figura 8. Forzado, sin amortiguación.

-114-

Un caso interesante es cuando la frecuencia forzante es

igual a la frecuencia natural del sistema

Para graficarlo elegimos:



Masa= 3



Fo= 12



Obtenemos el gráfico de la Figura 9.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-150

-100

-50

0

50

100

150

200

tiempo

posi

ción

Figura 9. Forzado, sin amortiguación.


1-¿Qué coincidencias y que diferencias ve en este

movimiento respecto a los anteriores estudiados?

-115-

2-Este movimiento se puede asociar al que sucede con una

hamaca, ¿En qué punto de la misma se aplica la fuerza

cuando se desea aumentar la amplitud?

3-Si realiza simulaciones variando la frecuencia de la fuerza

forzante haciéndolas menor y mayor que la natural del

sistema, ¿qué observa?

4-¿Qué es la resonancia?

Caso Particular Movimiento Armónico Forzado y Con

Amortiguación

Estudiaremos el caso completo, con todas las

magnitudes de la ecuación (9).

Para ellos usaremos los siguientes valores:

Posición inicial=4

Velocidad inicial=0

Masa=3

Constante del resorte=12

Coeficiente de amortiguación=0.8

F o=12

Frecuencia forzante=4

Tiempo máximo de simulación=50

Al hacer la simulación, obtenemos la gráfica de la figura

10

-116-

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

tiempo

posi

ción

Figura 10. Forzado, con amortiguación.

Preguntas de Síntesis:

1- ¿Qué coincidencias y que diferencias ve en este

movimiento respecto a los anteriores estudiados?

2- Este movimiento se puede asociar al que sucede con un

amortiguador de automóvil que se mueve en camino con

baches. Simulamos la fuerza ejercida por los baches sobre el

amortiguador mediante una función periódica senoidal. ¿Qué

nota que sucede con la gráfica luego de una larga exposición

del sistema a la fuerza exterior?

3- Si va variando el coeficiente de amortiguación dejando la

misma fuerza exterior, ¿qué observa?

Parte de estas preguntas se discuten en la clase

siguiente, a partir del informe generado por los alumnos. Este

trabajo sirve para preparar un laboratorio utilizando TIC´s lo que

permite ajustar y profundizar conceptos integrando los

contenidos con los otros de la currícula. En la sección siguiente

se consigna la Guía para este laboratorio.

Luego de realizado el laboratorio, los alumnos elaboran

un informe.

-117-

Trabajo Experimental

Movimiento Armónico Amortiguado. Construcción de un

Amortiguador Elemental.

Durante una clase de Trabajos Prácticos de problemas se

realizan el planteo de la situación problemática inicial y la propuesta de

diseño de medida experimental con las características del material

disponible y rango de valores a medir.

Los diferentes grupos entregan sus conclusiones al

ayudante y las discuten con él. El enunciado, elementos y

organización del trabajo práctico se encuentran en una

plataforma Moodle, para lo cual los alumnos tienen una clave de

acceso particular. http://moodle.frlp.utn.edu.ar

Resultado de las Preguntas de la Guía. Tema: Mas

Curso Con NTIC’s Vs. Curso Sin NTIC’s

un ifo rme 65 ,079 un ifo rme 55 ,172

o s cila to rio 25 ,397 o s cila to rio 34 ,483

ns /n c 9 ,524 ns /n c 10 ,345

to ta l 100 to ta l 100

co ns ta n te 25 ,397 co ns ta n te 31 ,035

va ria b le 61 ,905 va ria b le 56 ,896

ns /n c 12 ,698 ns /n c 12 ,069


co ns ta n te 95 ,238 co ns ta n te 79 ,31

no co ns t. 4 ,762 no co ns . 20 ,69


1

2

3 3

2

1

P re g un ta s d is p a ra do ra s a n te s d e la e xpe rie n cia

C u rs o co n TIC 's C u rs o s in TIC 's

C a n tid a d d e a lumno s : 63 C a n tid a d d e a lumno s : 58

-118-

Comparación de Resultados en el 1er Curso

Curso Con NTIC’s Curso Sin NTIC’s

u n if o rm e 11,111 u n if o rm e 8 ,6 2 2

o s c ila t o r io 8 5 ,7 14 o s c i la t o r io 7 0 ,6 8 9

n s / n c 3 ,17 5 n s / n c 2 0 ,6 8 9

t o t a l 10 0 t o t a l 10 0

c o n s t a n t e 6 ,3 5 c o n s t a n t e 2 9 ,3 1

v a r ia b le 8 4 ,12 7 v a r ia b le 6 0 ,3 4 5

n s / n c 9 ,5 2 3 n s / n c 10 ,3 4 5

t o t a l 10 0 t o t a l 10 0

c o n s t a n t e 9 5 ,2 3 8 c o n s t a n t e 8 4 ,4 8 3

n o c o n s . 4 ,7 6 2 n o c o n s . 15 ,5 17

t o t a l 10 0 t o t a l 10 0

3 3

1 1

2 2

P re g u n t a s d is p a r a d o ra s d e s p u e s d e la e xp e r ie n c ia

C u rs o c o n T IC 's C u r s o s in T IC 's

C a n t id a d d e a lu m n o s : 6 3 C a n t id a d d e a lu m n o s : 5 8

-119-

Conclusiones

De la experiencia resulta que el alumno puede

visualizar rápidamente la respuesta del sistema a distintas

situaciones sin tener que resolver las ecuaciones diferenciales.

Estas serán retomadas por la cátedra Análisis II, a partir de

estos ejercicios, donde se resuelven mediante los métodos

analíticos obteniendo así la respuesta temporal del sistema

(Integración vertical). Asimismo en Fundamentos de Informática,

materia del mismo nivel tratan lenguajes de programación que se

aplican en el software utilizado.

De los gráficos se puede apreciar que en cada una de

las preguntas, excepto en la tercera, ya que ellos cuentan con

conocimientos previos sobre trabajo y energía, se aprecia una

mejor respuesta de los alumnos que participaron utilizando

NTIC’s.

-120-

Bibliografia

David Báez López. Matlab con aplicaciones a la Ingenieria, Física y Finanzas. Alfaomega 2006

Den Hartog, J P .Mecánica de las vibraciones. CECSA 1979

García, A.F. Física con ordenador, www.sc.ehu.es/sbweb/fisica. (1998-2006)

Lewis, P.-Chang Yang. Sistemas de Control en Ingeniería. Prentice Hall 2006

Serway. Física. Volúmen I. Mc Graw. Hill

Weber– Prodanoff– Zerbino- Baade. Experiencias “que fallan” reparan huecos conceptuales Memorias de la SIEF XI 2012

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