Componentes tangencial y normal de la aceleracin

Las componentes rectangulares de la aceleracin no tienen significado fsico,

pero si lo tienen las componentes de la aceleracin en un nuevo sistema de

referencia formado por la tangente a la trayectoria y la normal a la misma.

Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleracin en un

determinado instante es un simple problema de geometra, tal como se ve en la figura.

Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.

Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la

aceleracin en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleracin en dicho sistema de referencia.

Se dibujan los nuevos ejes, la direccin tangencial es la misma que la

direccin de la velocidad, la direccin normal es perpendicular a la direccin

tangencial.

Con la regla y el cartabn se proyecta el vector aceleracin sobre la direccin tangencial y sobre la direccin normal.

Se determina el ngulo entre el vector velocidad y el vector aceleracin, y se calcula el valor numrico de dichas componentes:at=a cos y an=a sin

Ejemplo:

El vector velocidad del movimiento de una partcula viene dado por v=(3t-

2)i+(6t2-5)j m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la

aceleracin en el instante t=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector

aceleracin y las componentes tangencial y normal en dicho instante.

1. Dadas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la aceleracin

vx =3t-2 m/s, ax=3 m/s2

vy=6t2-5 m/s, ay=12t m/s

2

2. Los valores de dichas componentes en el instante t=2 s son

vx =4 m/s, ax=3 m/s2

vy=19 m/s, ay=24 m/s2

3. Dibujamos el vector velocidad y el vector aceleracin

4. Calculamos el mdulo de la aceleracin a y el ngulo que forman el vector velocidad y el vector aceleracin.

=arctan a y a x arctan v y v x =4.76 a= a x 2 + a y 2 =24.2 5. Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleracin

at=acos =24.1 m/s2

an=asin=2.0 m/s2

Podemos hallar la aceleracin tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar del vector aceleracin a y el vector velocidad v.

va=vacos=v a t a t = va v = v x a x + v y a y v x 2 + v y 2

La aceleracin normal, se obtiene a partir del mdulo de la aceleracin a y de

la aceleracin tangencial at

a n 2 = a 2 a t 2 = a x 2 + a y 2 ( v x a x + v y a y ) 2 v x 2 + v y 2 a n = a x v y a y v x v x 2 + v y 2

Radio de curvatura

En la figura, se muestra el radio de curvatura y el centro de curvatura de una

trayectoria cualesquiera en el instante t. Se dibuja la direccin del vector

velocidad v en el instante t, la direccin del vector velocidad v+dv en el

instante t+dt. Se trazan rectas perpendiculares a ambas direcciones, que se

encuentran en el punto C denominado centro de curvatura. La distancia ente

entre la posicin del mvil en el instante t, y el centro de curvatura C es el radio de curvatura .

En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, la

direccin del vector velocidad cambia un ngulo d. que es el ngulo entre las tangentes o entre las normales. El mvil se desplaza en este intervalo de tiempo un arco ds=d, tal como se aprecia en la figura.

Otra forma de obtener las componentes tangencial y normal de la aceleracin,

es la de escribir el vector velocidad v como producto de su mdulo v por un

vector unitario que tenga su misma direccin y sentido ut=v/v. La derivada de

un producto se compone de la suma de dos trminos

a= dv dt = d(v u t ) dt = dv dt u t +v d u t dt

El primer trmino, tiene la direccin de la velocidad o del vector unitario ut, es la componente tangencial de la aceleracin

El segundo trmino, vamos a demostrar que

tiene la direccin normal un. Como vemos en la figura las componentes del

vector unitario ut son

ut=cosi+sinj

Su derivada es

d u t dt =(sini+cosj) d dt = d dt u n = 1 ds dt u n = v u n

El vector aceleracin es

a= dv dt = dv dt u t + v 2 u n

Las componentes tangencial y normal de la aceleracin valen, respectivamente

a t = dv dt a n = v 2

Esta ltima frmula, la obtendremos de una forma ms simple para una partcula que describe un movimiento circular uniforme.

Como la velocidad es un vector, y un vector tiene mdulo y direccin. Existir

aceleracin siempre que cambie con el tiempo bien el mdulo de la velocidad,

la direccin de la velocidad o ambas cosas a la vez.

Si solamente cambia el mdulo de la velocidad con el tiempo, como en un

movimiento rectilneo, tenemos nicamente aceleracin tangencial.

Si solamente cambia la direccin de la velocidad con el tiempo, pero su

mdulo permanece constante como en un movimiento circular uniforme, tenemos nicamente aceleracin normal.

Si cambia el mdulo y la direccin de la velocidad con el tiempo, como en

un tiro parablico, tendremos aceleracin tangencial y aceleracin normal..