9. STATIKA NA RAMNINSKI NOSA^I -...

Mehanika Statika - Glava 9, DRAFT VERZIJA

109

9. STATIKA NA RAMNINSKI NOSAÎ

Vo ovoj del prezentirani se osnovite na grafostatikata. Grafostatikata ja izu~uva ramnoteàta na nosa~ite. Vo ovaa oblast po grafi~ki pat, preku dijagrami, se pretstavuva optovaruvaweto na elementite od konstrukcijata vo pooddelnite preseci na nosa~ot. So pomo{ na ovie dijagrami se steknuva pretstava za optovarenosta na nosa~ite, a potoa vrz osnova na ova se odreduva sostojbata na napregawata vo nivnite kriti~ni (opasni) preseci i nosivosta na konstrukcijata vo celina.

Pri re{avaweto na problemite od statikata se koristat osnovnite teoretski postavki, spored koi edna kruta plo~a vrz koja dejstvuva ramen sistem od sili }e bide vo ramnoteà ako bidat ispolneti trite analiti~ki, odnosno grafi~kite uslovi za ramnoteà. So primena na grafi~kata metoda, uslovite za ramnoteà se zadovoleni toga{ koga se konstruira zatvoren poligon na sili vo koj nasokite na silite se niàt posleduvatelno i zatvoren verièn poligon.

Metodite vo grafostatikata nao|aat mnogu {iroka primena vo tehnikata, pri konstruirawe i dimenzionirawe na elementite. Zatoa, nakratko }e bide objasneto kako se opredeluva goleminata na reakciite (otporite) vo osloncite na nosa~ite, kako se definiraat zakonite na promena na vnatre{nite sili (stati~ki golemini), transverzalnite sili, napadnite momenti i aksijalnite sili po dolìnata na istite, kako i grafi~kata prezentacija na navedenite golemini vo vid na dijagrami, mnogu ~esto vo literaturata nare~eni stati~ki dijagrami.

Kako posebni primeri, vo ovoj del, definirana e ramnoteàta na slednite tipovi nosa~i: prosta greda, greda so prepust, konzola, tovareni so razli~ni vidovi na optovaruvawa. Voedno, dadeni se i osnovnite postavki za re{avawe na re{etkastite nosa~i.

9.1. Poim za nosa~ i vidovi leì{ta

Spored teoretskite postavki vo statikata, sekoe slobodno kruto telo tovareno so ramninski sistemi od sili {to ne e vo ramnoteà }e se dviì translatorno vo pravecot na napadnata linija na rezultantata, odnosno vo pravcite na koordinatnite oski, ili pak }e rotira okolu bilo koja to~ka vo ramninata na teloto. Zna~i, slobodnoto telo ima tri stepeni na sloboda: dve translacii i edna rotacija.

Za da moè bilo koe kruto telo i prakti~no da se upotrebi, istoto treba da se vrze za nekoi nepodvi`ni to~ki ili da se potpre na leì{ta. Na ovoj na~in site tovari {to deluvaat na teloto sega moè da se prenesat vo to~kite na potpiraweto. Zatoa, sekoe kruto telo, Sl. 9.1 Ramninski nosa~


110

plo~a ili stap, koe moè da nosi zadaden sistem od nadvore{ni tovari i istiot preku sistemot leì{ta da go prenese vrz potporite se nare~uva nosa~ (Sl.9.1).

Rastojanieto L me|u zglobovite na leì{tata se vika raspon na nosa~ot, a rastojanieto Lo me|u potporite, odnosno stolbo-vite ili yidovite se nare~uva otvor na nosa~ot (Sl.9.1).

Nosa~ite sostaveni od edna kruta plo~a se prosti nosa~i, dodeka onie {to se sostaveni od dve ili pove}e kruti plo~i se nare~uvaat sloèni nosa~i.

Vo zavisnost od na~inot na deluvawe na tovarite, nosa~ite se delat na ramninski i prostorni. Ako site tovari {to dejstvuvaat na nosa~ot leàt vo edna ramnina, toga{ se veli deka nosa~ot e ramninski. Prostorni nosa~i se onie nosa~i kaj koi tovarite ne deluvaat vo edna ramnina.

Ramninskite ili ramnite nosa~i moàt da bidat polni ili re{etkasti. Pod poimot poln nosa~ se podrazbira nosa~ kaj koj popre~niot presek e poln, t.e. ispolnet so materijal koj u~estvuva vo noseweto na tovarite. Re{etkast nosa~ e takov tip na nosa~ koj e sostaven od stapovi koi me|usebno se povrzani so zglobovi i pretstavuvaat edna celina (Sl.9.2).

Stap pretstavuva kruto telo ~ii{to dve dimenzii, dimenziite na popre~niot presek, se pomali od tretata, negovata dolìna L (Sl.9.3). Stap pricvrsten so potreben broj na leì{ta se vika greda ili greden nosa~ (Sl.9.4). Gredite se konstruktivni elementi koi se proektirani da nosat tovari koi deluvaat upravno na nivnata oska (Sl.9.4).

Polnite nosa~i vo primenetata statika {ematski se pretstavuvaat so edna prava ili kriva linija, koja se

poklopuva so nivnata oska (Sl.9.5).

Pod oska na poln stap ili nosa~ se podrazbira linijata koja gi povrzuva teì{tata na site zamisleni popre~ni preseci {to se pod prav agol so nea. Oskata na nosa~ot moè da bide prava ili kriva linija i zatoa ~esto polnite nosa~i se nare~uvaat i liniski nosa~i.

Sl.9.2 Re{etkast nosa~

Sl. 9.3 Poln stap Sl. 9.4 Greden nosa~


111

Vo zavisnost od na~inot na povrzuvawe na liniskite nosa~i so potporite se razlikuvaat slednite vidovi liniski polni nosa~i:

a) Gredni nosa~i

a.1 Prosta greda e nosa~ koj e vrzan so potporite so edno nepodvi`no i edno podvi`no leì{te (Sl.9.6). êsto se nare~uva i slobodno osloneta greda.

a.2 Greda so prepust se formira toga{ koga nosa~ot preminuva preku osloncite. Ako nosa~ot preminuva samo preku edniot oslonec se vika greda so eden prepust (Sl.9.7a), a ako minuva preku dvata oslonci se vika greda so dva prepusti (Sl.9.7b).

a.3 Gerberova greda e sloèn nosa~ sostaven od pove}e gredi ~ii oski se poklopuvaat, a me|usebno se povrzani so zglobovi. Oskite na zglobovite se upravni na ramninata na dejstvoto na silite (Sl.9.8).

a.4 Konzolen nosa~ (konzola)

Greda povrzana za podlogata so pomo{ na vkle{tuvawe se vika konzola (Sl.9.9).

b) Ramovski nosa~i (ramki)

Sloèniot nosa~, sostaven od pove}e gredi ili konzoli, koi me|usebno se kruto ili zglobno povrzani, taka {to oskite na gredite ili konzolite ne se poklopuvaat, se nare~uva ramovski nosa~ (Sl.9.10).

v) Lak na tri zgloba

Toa e sloèn nosa~ koj e sostaven od dve gredi so kriva oska, koi me|usebno i so potporite se povrzani so zglobovi (Sl.9.11).

Od dosega izloènoto moè da se zaklu~i deka vo primenetata statika ili grafostatikata se tretiraat samo onie prosti i sloèni nosa~i ~ija ramnoteà

Sl.9.6 Prosta greda Sl.9.7 Greda so prepust: (a) so eden prepust;(b) so dva prepusti

Sl.9.8 Gerberova greda Sl.9.9 Konzola

BAL

Sl. 9.5 [ematski prikaz na liniski nosa~


112

moè da bide opredelena so trite osnovni uslovi za ramnoteà na eden sistem od sili vo ramnina.

Za da se obezbedi ramnoteà, nepodvi`nost i stabilnost na nosa~ite, odnosno konstrukciite, kako {to be{e ve}e naglaseno, istite preku soodvetni leì{ta se potpiraat vrz yidovi ili stolbovi. Zna~i, sekoja inènerska konstrukcija e sostavena od slednite elementi: nosa~, stolbovi i leì{ta.

Leì{tata se konstruktivni elementi, na koi se potpiraat nosa~ite i preku koi sopstvenata teìna i nadvore{nite tovari koi dejstvuvaat na nosa~ot se prenesuvaat vrz podlogata.

Leì{tata, isto taka, treba da ovozmoàt i dilatacii na konstrukcijata, predizvikani od temperaturnite promeni.

Vo sekoe leì{te dejstvuvaat dva vida sili: aktivni sili, t.e. sili so koi nosa~ot pritiska na potpira~ot, t.n. akcii, i pasivni sili, odnosno sili so koi potpira~ot se sprotivstavuva na nosa~ot, t.n. reakcii ili otpori (Sl.9.12).

Ovie dve sili {to se javuvaat vo leì{tata imaat ist pravec, ist intenzitet, a sprotivni nasoki, taka {to spored zakonot za akcija i reakcija tie me|usebe se vramnoteùvaat.

Od na~inot na izveduvaweto na vrskata me|u nosa~ot i potporite, odnosno od konstrukcijata na leì{tata, zavisi i kakvi reakcii }e se javat vo tie vrski. Pri re{avawe na prakti~nite zada~i vo statikata na polnite liniski nosa~i od posebna va`nost e vidot na leì{teto i brojot na reaktivnite sili vo nego. Spored toa, vo zavisnot od konstrukcijata leì{teto moè da bide:

reakcija

akcija

Sl. 9.12 Akcija i reakcija vo leì{te

Sl. 9.10 Ramovski nosa~ Sl. 9.11 Lak na tri zgloba


113

1. Podvi`no leì{te ili podvièn zglob

Konstrukcijata na podvi`noto leì{te, glavno se sostoi od eden ili pove}e cilindri~ni valci koi moàt da se dviàt vo pravec paralelen na povr{inata vrz koja nalegnuvaat (Sl.9.13).

Glavna osobenost na podvi`noto leì{te e toa {to se javuva reakcija ~ij{to pravec sekoga{ e upraven na ramninata na potpirawe, nezavisno od toa kakov e pravecot na dejstvuvawe na tovarite.

Spored toa, kako nepoznata se javuva samo intenzitetot na reakcijata, za ~ie odreduvawe dovolen e samo eden uslov za ramnoteà, odnosno samo edna ravenka. Nasokata na reaktivnata golemina se pretpostavuva i voobi~aeno e taa da e orientirana od potporot kon potprenata to~ka. Dokolku pri presmetuvaweto se dobie negativna vrednost, toga{ treba so posebni konstruktivni merki da se obezbedi podignuvaweto na nosa~ot od potporot.

Zaradi poednostavuvawe, podvi`noto leì{te se pretstavuva {ematski, spored voobi~aenite {emi prikaàni na Sl.9.14.

Podvi`noto leì{te moè da bide oformeno i so eden stap, t.n. stapasto podvi`no leì{te (Sl.9.14g).

2. Nepodvi`no leì{te - zglob

Nepodvi`noto leì{te, zaradi zglobnata vrska so nosa~ot, dozvoluva nezna~itelno zavrtuvawe na nosa~ot okolu oskata koja minuva niz zglobot kako napadna to~ka na reakcijata, me|utoa ne dozvoluva pomestuvawe, odnosno translacija na nosa~ot nitu vo horizontalen, nitu vo vertikalen pravec (Sl.9.15).

Sl. 9.13 Konstrukcija na podvi`no leì{te: (a) so pove}e cilindri;

(b) na nakloneta povr{ina na nalegnuvawe, so dva cilindra; (v) stapasto

Sl. 9.14 [ematski prikaz na podvi`no leì{te

A

A

b)

A

A

a)

B

B

A

stap

nosa~v) B

αα

g)

Bx = Bsinα

By = Bcosα

(a) (b) (v)


114

Reakcijata vo nepodvi`noto leì{te moè da ima proizvolen pravec, vo op{t slu~aj taa e kosa, i mora da minuva niz geometriskoto sredi{te na zglobot kako odnapred fiksirana napadna to~ka, vo ramninata na dejstvo na silite.

Za opredeluvawe na reakcijata vo nepodvi`noto leì{te potrebni se dve ravenki, koi se sostavuvaat so pomo{ na dva uslovi za ramnoteà, od koi voglavno se definira pravecot i intenzitetot na reakcijata. So drugi zborovi, vo nepodvi`noto leì{te se javuvaat dve nepoznati golemini, horizontalnata i vertikalnata komponenta na reakcijata (Sl.9.15a). Nepodvi`noto leì{te na nosa~ot moè da se oformi so dva leì{ni stapa koi se se~at vo edna to~ka, na oskata na gredata, ili nadvor od nea (Sl.9.15b).

Ako nosa~ot e potpren na tri leì{ni stapovi, za da se obezbedi potpolna stabilnost, nepodvi`nost, trite stapa ne treba da se prese~uvaat vo edna to~ka (9.15 g), nitu pak trite stapa da se paralelni (9.16 d), bidej}i toga{ tie se se~at vo edna to~ka vo beskone~nost.

3. Vkle{teno leì{te, vkle{tuvawe

Vkle{tenoto leì{te pretstavuva takov konstruktiven element so koj se obezbeduva kruta vrska me|u nosa~ot i potporata. Ova naj~esto se obezbeduva so vyiduvawe na nosa~ot, so {to se odzemaat site tri stepeni na sloboda na dvièwe. Poradi toa vkle{tuvaweto onevozmoùva translacija i rotacija na nosa~ot. Reakcijata na vrskata vo vkle{tuvaweto e potpolno definirana so trite elementi: intenzitet, napadna to~ka i napadna linija, koi moè da se zamenat so horizontalnata i vertikalnata komponenta na reakcijata i so momentot na vkle{tuvawe, vkupno 3 nepoznati golemini. Komponentite na reakcijata se sprotivstavuvaat na translacijata, a momentot na vkle{tuvawe se sprotivstavuva na rotacijata (Sl.9.16).

Sl. 9.15 a)Nepodvi`no leì{te; (b) stapasto nepodvi`no leì{te; v) prosta greda potprena so stapasti leì{ta; g) i d) kinemati~ki labilni

Ax

b)A

Ay

Ay

Ax

h

A Ay

Ax

kako mala golemina se zanemaruva

Ay

F1

A

Ax

a)

(v)

g d


115

Ako site reakcii vo leì{tata moàt da se opredelat so koristewe na

osnovnite uslovi za ramnoteà (rav.1), toga{ se veli deka nosa~ot e stati~ki opredelen.

∑ = 0X ∑ = 0Y ∑ = 0M (1)

So koristewe na trite ravenki (1) mo`no e da se opredelat samo tri nepoznati reaktivni golemini.

Nosa~ite koi se taka potpreni {to imaat pove}e od tri nepoznati leì{ni reakcii, koi ne moàt da se opredelat so trite poznati uslovi za ramnoteà se narekuvaat stati~ki neopredeleni nosa~i.

Nosa~ot e onolku pati stati~ki neopredelen, kolku {to e i brojot na prekubrojnite reaktivni golemini pogolem od tri, odnosno s=n-3, kade n pretstavuva vkupen broj na leì{ni reakcii, a tri (3) e brojot na poznatite uslovi za ramnoteà. Stati~ki neopredelenite nosa~i se re{avaat so pomo{ na dopolnitelnite ravenki so koi se zemaat vo predvid i deforмaciite na istite. Nekoi pokarakteristi~ni primeri na stati~ki neopredeleni nosa~i se prikaàni na Sl.9.17.

a) greda na dve nepodvi`ni leì{ta

n = 2 + 2 = 4 nepoznati

s = n - 3 = 4 - 3 =1 stati~ki neopredelen

b) nosa~ na edno vkle{teno i edno podvi`no leì{te



v) kontinuiran nosa~



Stati~kata neopredelenost na nosa~ite koja e direktno vrzana so brojot na reakciite se vika nadvore{na stati~ka neopredelenost.

Sl. 9.17 Stati~ki neopredeleni

Sl. 9.16 Vkle{tuvawe

Reakcijata A e reducirana vo to~kata na potpirawe


116

9.2. Vidovi tovari

Tovarite koi dejstvuvaat na nosa~ite moàt da bidat predizvikani od najrazli~ni pri~ini, kako na primer: tovari od sopstvenata teìna na nosa~ot, tovari od lu|e, tovari od razni prevozni sredstva, tovari od sneg ili veter, tovari od razna stoka {to se skladira vo prostoriite itn. Site ovie tovari zaedno so leì{nite reakcii, so koi {to se vramnoteùvaat, pretstavuvaat nadvore{ni sili koi dejstvuvaat na nosa~ot.

Spored na~inot na deluvaweto, tovarite moàt da bidat koncentrirani i podeleni. Podelenite tovari, pak, moàt da bidat ramnomerni i neramnomerni.

Vo zavisnost od toa dali napadnite to~ki na deluvawe na nadvore{nite tovari se menuvaat ili ne, tovarite se delat na podvi`ni i nepodvi`ni. Tovarite moè da deluvaat posredno i neposredno na nosa~ot. Taka tovarite spored vremeto na traewe se delat na postojani (sopstvena teìna) i promenlivi (sneg, veter). Site optovaruvawa moàt da bidat vertikalni i kosi, a kako merna edinica se koristi osnovnata edinica wutn (N) ili izvedenite: kilowutn (kN) ili megawutn (MN).

1. Koncentrisan tovar

Koncentrisaniot tovar e takvo optovaruvawe koe na nosa~ot dejstvuva vo edna to~ka. Vsu{nost, koncentrisani tovari ne postojat, bidej}i sekoj tovar se predava vrz nekoja povr{ina. Me|utoa, koga intenzitetot na tovarot e golem vo sporedba so povr{inata na koja dejstvuva, bez golema gre{ka moè takviot tovar da se aproksimira da dejstvuva kako koncentrisana sila vo edna to~ka.

Koncentrisanite tovari moàt da bidat:

a) Nepodvi`ni, (Sl.9.18a) koga rastojanijata me|u tovarite kako i rastojanijata na sekoj od niv do osloncite na nosa~ot se nepromenlivi, fiksni.

b) Podvi`ni, (Sl.9.18b) bidej}i sistemot od koncentrisani tovari se dviì po nosa~ot (primer: tovari od razni prevozni sredstva koi se predavaat na podlogata preku trkalata na istite).

a) Nepodvi`ni b) Podvi`ni

Sl.9.18 Koncentrisan tovar


117

2. Ramnomerno podelen tovar

Dokolku intenzitetot na podeleniot tovar q(z) e konstanten, tovarot e ramnomerno podelen po celata dolìna na nosa~ot. Obi~no, toa e tovar na sopstvenata teìna, dejstvoto na veter ili sneg, i pretstavuva teìna na edinica dolìna q=G/L=(N/m') (kN/m)

a) b)

Sl. 9.19 Ramnomerno raspredeleno optovaruvawe: a) po cela dolìna na nosa~ot; b) delumno na nosa~ot

Za poednostavuvawe, pri opredeluvawe na reakciite na nosa~ite, kontinuiraniot tovar moè da se zameni so negovata rezultanta, ~ij intenzitet e ednakov na povr{inata na pravoagolnikot, Sl.9.19a,

Fq=qL (2)

so napadna to~ka vo teì{teto na povr{inata na polovina od dolìnata na koja deluva. Kontinuiraniot tovar moè da dejstvuva i delumno na nosa~ot, Sl.9.19b.

3. Triagolen tovar e podeleno optovaruvawe koe se menuva po linearen zakon pome|u minimalnata vrednost ednakva na nula i maksimalnata so golemina q(kN'm), Sl.9.20a,b. Intenzitetot na rezultantata e ednakov na povr{inata na triagolnikot so napadna to~ka vo teì{teto na triagolnikot na rastojanie 1/3 i 2/3 od dolìnata na triagolnikot.

Sl. 9.20 Triagolen tovar: a) po celata dolìna na nosa~ot; b) delumno na nosa~ot

4. Trapezen tovar

Toa e podelen tovar koj se menuva liniski od edna po~etna vrednost q0 do maksimalna vrednost q. Istiot najednostavno moè da bide aproskimiran so eden triagolen i ramnomerno raspredelen tovar, Sl.9.21.


118

LqFq ⋅= 01

( )2

02

LqqFq

⋅−= (3)

5. Neramnomerno podeleno optovaruvawe

Intenzitetot na neramnomerno raspredelenoto optovaruvawe zavisi od rastojanieto na oslonecot, Sl.9.22, i e dadeno so ravenkata q=f(x).

Sl. 9.22 Neramnomerno podeleno optovaruvawe

Kone~no, tovarite moè da bidat: korisni tovari (predvidenite aktivni sili), sopstveni tovari (teìnata na nosa~ot) i slu~ajni tovari (sneg i veter). Vkupnoto optovaruvawe na nosa~ot spored ova, se sostoi od korisno optovaruvawe, sopstvena teìna na nosa~ot i slu~ajnoto optovaruvawe. Sopstvenata teìna vo praksata, ~esto se zanemaruva, me|utoa za slu~ajnite optovaruvawa mora da se vodi smetka.

9.3. Definirawe na ramnoteàta kaj nosa~ite

(opredeluvawe na reakciite)

Vo statikata na ramninskite nos~i tovareni so proizvolen sistem na tovari od razli~en vid, kako osnovno se nametnuva najprvo da se opredelat reakciite vo leì{tata.

Leì{nite reakcii se sili vo to~kite na potpiraweto na nosa~ot, koi se vo ramnoteà so tovarite koi dejstvuvaat na istiot. Pri definirawe na ramnoteàta na nosa~ite se pretpostavuva deka nosa~ot zamisleno se osloboduva od vrskite, odnosno od leì{tata i nivnoto vlijanie se zamenuva so soodvetnite nepoznati leì{ni reakcii. So postavuvaweto na uslovite za ramnoteà na vaka formiraniot ramninski sistem od nadvore{ni sili (vo koj se vklu~eni i nepoznatite leì{ni reakcii), se dobiva sistem od ravenki ~ie {to re{enie vo potpolnost gi definira nepoznatite reaktivni sili so nivniot intenzitet i nasoka.

Sl. 9.21 Trapezno raspredelen tovar


119

Nepoznatite leì{ni reakcii mo`no e da bidat opredeleni na dva na~ina: analiti~ki i grafi~ki. Pri analiti~koto opredeluvawe na reakciite kaj stati~ki opredelenite nosa~i se koristat trite analiti~ki uslovi za ramnoteà na eden sistem od proizvolni sili vo ramnina. Grafi~ki reakciite vo leì{tata se dobivaat so koristewe na grafi~kite uslovi za ramnoteà, odnosno so konstruirawe na zatvoren poligon na sili (vo koj silite se nadovrzuvaat posledovatelno vo ista nasoka) i zatvoren verièn poligon.

a) Analiti~ko opredeluvawe na reakciite

Kaj stati~ki opredelenite ramninski nosa~i sistem prosta greda, greda so prepust i konzola se javuvaat tri nepoznati reaktivni golemini, tri teìnski reakcii, koi moàt da se opredelat od trite analiti~ki uslovi za ramnoteà vo oblik:

ΣX=0 ΣY=0 ΣM=0 (4)

Voobi~aeno e pri presmetuvawe na reakciite da se koristi tretiot uslov za ramnoteà ΣM=0, pri {to za momentni to~ki se izbiraat to~kite niz koi {to minuvaat pogolem broj od nepoznatite reaktivni sili. Na ovoj na~in se dobivaat linearni ravenki vo koi figurira samo po edna nepoznata.

Ostanatite dva uslova ΣX=0 i ΣY=0, obi~no sluàt za kontrola na to~nosta na opredelenite reakcii. Ova zna~i deka zbirot na aktivnite sili mora da bide ednakov na zbirot na leì{nite reakcii.

Prakti~no, opredeluvawe-to na reakciite }e bide ilustrirano preku defini-raweto na ramnoteàta na eden slobodno oslonet nosa~ AV, tovaren so zadaden sistem od ver-tikalni sili F1, F2,...Fn, prikaàna na Sl.9.23.

Vo op{t slu~aj, vo nepodvi`noto leì{te A se javuva kosa reakcija, koja se razloùva na edna vertikalna komponenta Au upravna na oskata na nosa~ot i horizontalna komponenta Ah, koja se pok-lopuva so negovata oska, Sl.9.23. Pravecot na reak-cijata vo podvi`noto leì{te V se poklopuva so normalata na ramninata po koja moè da se dviì

leì{teto, odnosno reakcijata V e vertikalna. Bidej}i pravecot na reakcijata vo podvi`noto leì{te e paralelen so pravecot na napadnite linii na aktivnite

Sl. 9.23 Reakcii kaj slobodno oslonet nosa~ od vertikalni tovari


120

sili, proizleguva deka i pravecot na reakcijata na nepodvi`noto leì{te mora da bide isto taka, paralelen so silite.

Ova zna~i deka prvata ravenka Σx=0 od uslovite za ramnoteà avto-matski e zadovolena, zaradi toa {to na nosa~ot ne dejstvuvaat horizontalni sili, {to uslovuva horizontalnata komponenta na reakcijata Ah, da bide ednakva na nula:

X = ⇒∑ 0 Ax = 0 (5)

Koristej}i gi ostanatite dve ravenki od prviot alternativen oblik na uslovite za ramnoteà,

M B∑ = 0 i M A∑ = 0 (6)

kade momentnite to~ki V i A se to~kite na oslonuvawe na nosa~ot, se opre-deluvaat oslone~kite reakcii A i V. Soodvetno va`no e da se napomene deka pri sostavuvaweto na ovie momentni ravenki, nasokata na nepoznatite reaktivni golemini se pretpostavuva, taka da se dobiva:

M B∑ = 0 ; A.L - F1b1 - F2b2 -........- Fnbn = 0 ⇒ AL

F bii

ni= ∑ ⋅

=

11

(7)

M A∑ = 0 ; -B.L + F1a1 + F2a2 +........+ Fnbn=0 ⇒ BL

F aii

ni= ∑ ⋅

=

11

(8)

Dokolku pri presmetuvaweto se dobie negativna vrednost na reakcijata, toga{ vistinskata nasoka na reakcijata e sprotivna od po~etno pretpostavenata.

Kontrolata, dali zadadeniot aktiven sistem od vertikalni sili se vramnoteùva so vertikalnite reaktivni golemini, se vr{i so koristewe na uslovot da algebarskiot zbir na site sili vo pravec na u-oskata da e ednakov na nula, odnosno:

Y∑ = 0 ; A+B-F1-F2-.....-Fn=0 (9)

spored koj se dobiva:

A + B = Fii

n

=∑

1 (10)

Pri analiti~koto opredeluvawe na reakciite se koristi desniot pravoagolen koordinaten sisten so koordinaten po~etok vo edna od to~kite na oslonuvawe, obi~no vo leviot potpor, i h-oska {to se poklopuva so oskata na nosa~ot. Na Sl.9.24 prikaàn e nosa~ot AV natovaren so nakloneti-kosi koncentrisani sili F1, F2,...Fi do Fn. Site horizontalni komponenti Fix na zadadeniot sistem sili Fi gi prima nepodvi`noto leì{te vo A. Poradi toa zamisleno otstranetata nepodvi`na potpora A se zamenuva so dve sili, komponentite Ah i Au na nepoznatata reakcija A. Vo podvi`noto leì{te V se javuva vertikalna reakcija upravna na leì{nata plo~a.


121

Vertikalnata komponenta Au na nepoznatata reakcija A se opredeluva so koristewe na tretiot ramnoteèn uslov, pri {to za momentna to~ka se bira to~kata V:

ΣMB=0; Ay.L - F1sinα1b1 -....- Fisinαibi -...- Fnsinαnbn = 0

∑=

α=n

iiiy b

LA

1i sinF1

(11)

Od momentnata ravenka vo odnos na nepodvi`noto leì{te A se presmetuva reakcijata V:

ΣMA=0; -B.L + F1sinα1a1 +....+Fisinαiai+...+ Fnsinαnan = 0

∑=

α=n

iiiaL

B1

i sinF1 (12)

Horizontalnata komponenta Ah se opredeluva so uslovot za ramnoteà:

ΣX=0; Ax - F1cosα1 - F2cosα2 -...- Ficosαi -...- Fncosαn = 0

∑=

α=n

iixA

1i cosF (13)

Kontrola na ramnoteàta na nosa~ot za vertikalnite reakcii se vr{i od uslovot za ramnoteà.

ΣY=0; Ay - F1sinα1 - F2sinα2 -...- Fisinαi -...- Fnsinαn + B = 0

∑=

α=+n

iiy BA

1i sinF (14)

Intenzitetot na reakcijata vo nepodvi`noto leì{te A iznesuva:

A A Ax y= +2 2 (15)

Sl.9.24 Reakcii kaj nosa~ tovaren so kosi koncentrisani sili


122

dodeka pravecot na istata definiran so agolot α Sl.9.24, se dobiva kako odnos na komponentite Ah i Au:

tgAA

y

xα = ⇒

x

y

AA

arctg=α (16)

Ako nosa~ot AV e potpren na edno podvi`no leì{te ~ija leì{na povr{ina e nakloneta, toga{ i reakcijata vo A, ako se zanemari trieweto, mora da bide normalna na podlogata, na leì{nata plo~a, Sl.9.25. Reakciite na ovoj nosa~ se opredeluvaat spored istite principi, so koristewe na uslovite za zramnoteà, so taa razlika {to i pri vertikalni tovari dvete reakcii A i V se kosi.

Od uslovite za ramnoteà po dolunavedeniot redosled se dobivaat nepoznatite reaktivni golemini Ah, Au, Vh i Vu:

(1) ΣMB=0; Ay.L - F1b1- F2b2 = 0 [ ]22111cos bFbFL

AAy +=α=⇒ (17)

[ ]AA

LF b F by= = +

cos cosα α1

1 1 2 2 (18)

(2) ΣMA=0; -By.L + F1a1 + F2a2 = 0 [ ]2211

1 aFaFL

By +=⇒ (19)

(3)kontrola: ΣY=0; Ay - F1- F2 + By= 0 ⇒ + = +A B F Fy y 1 2

(4) ΣX=0; Ax - Bx = 0 α+

=α==⇒ tgL

bFbFAAB xx2211sin (20)

Ova {to vaì za opredeluvawe na reakciite na nosa~ot tovaren so razli~ni vidovi na koncentrisani tovari, vaì i za nosa~ot tovaren so karakteristi~nite tipovi na podeleno optovaruvawe, bidej}i istoto kako {to be{e naglaseno vo to~ka 9.2., za poednostavuvawe se aproksimira so rezultantna sila vo teì{teto na povr{inata na tovarot.

Sl. 9.25. Oslone~ki reakcii kaj nosa~ so nakloneto podvi`no leì{te


123

9.4. Vnatre{ni stati~ki golemini - poim za napaden moment, transverzalna i aksijalna sila

Pri proektiraweto na konstruktivnite elementi od golema va`nost e da se opredeli sostojbata na napregawata, t.e., vnatre{-nite sili koi deluvaat na povr{inata na popre~niot presek na nosa~ot, bidej}i vrz osnova na toa se vr{i dimenzionirawe odnosno op-redeluvawe na potrebnite dimenzii na presekot za da moè nosa~ot so dovolna sigurnost da gi nosi nadvo-re{nite sili (aktivnite i reaktivnite sili) koi se vo ramnoteà.

Zna~i, otkoga e defi-nirana ramnoteàta na no-sa~ot, ponatamu treba da se prou~i {to se slu~uva vo karakteristi~nite preseci po dolìna na nosa~ot pod dejstvotot na zadaden sistem od aktivni i soodvetniot vramnoteèn sistem na reak-tivni (pasivni) sili. Za taa cel se koristi metodot na preseci pri {to elementot zamisleno se "se~e" so preseci upravni na oskata na nosa~ot vo to~kite kade {to e zna~ajno da se opredelat vnatre{nite sili. Ako eden nosa~ e vo ramnoteà, toga{ vo ramnoteà e i sekoj negov prese~en del, leviot ili desniot.

Za da moè da se ilustrira na~inot, odnosno procedurata na opredeluvawe na vnatre{nite tovari vo konstruktivnite elementi, najednostavno e da se razgleduva slobodno osloneta greda tovarena so koncentrisani sili F1 i F2,

Sl. 9.26. Definirawe na vnatre{nite stati~ki golemini


124

Sl.26a. Reaktivnite golemini Ah, Au i V, moè da se opredelat analiti~ki ili grafi~ki so koristewe na soodvetnite uslovi za ramnoteà, Sl.26b. Nosa~ot so eden zamislen presek S-S, se se~e na dva dela, pri {to dejstvoto na silite od edniot del se prenesuva na drugiot otse~en del.

Silata koja{to vo nekoj presek se prenesuva od eden del na drug, pretstavuva rezultanta na site sili levo ili desno od presekot. Konkretno ako se nabquduva presekot S, beskrajno blisku desno, toga{ vlijanieto na silite Ah,

Au i F1, koi deluvaat na leviot otse~en del, se zamenuvaat so rezultantata Rclevo ,

Sl.26a, koja ja se~e oskata na nosa~ot vo to~kata D.

Poznato e deka daden sistem na sili vo ramnina moè da se zameni so ekvivalenten sistem koj se dobiva so redukcija na rezultantata na tie sili vo

odnos na izbrana to~ka. Zatoa dejstvoto na rezultantata Rclevo moè da se zameni

so nejzinata redukcija vo odnos na teì{teto na popre~niot presek vo presekot S desno, Sl.26v.

Spored ova dejstvoto na nadvore{nite sili koi deluvaat levo od presekot

se sveduvaat na rezultanta Rclevo so napadna to~ka vo teì{teto na presekot S i

na eden moment Mclevo = Rc

levo . a, koj pretstavuva algebarski zbir na stati~kite

momenti na site nadvore{ni sili koi deluvaat levo od presekot.

Ako sega se razgleduva leviot del od presekot vlijanieto na silite F2 i V

od desniot otse~en del se zamenuva so rezultantata Rcdesno , reducirana vo

presekot S, beskrajno blisku levo. So redukcijata se dobiva rezultanta sili i redukcionen moment, koi imaat ist intenzitet, a sprotivna nasoka od nasokite na rezultantata i momentot na leviot otse~en del, taka {to tie me|u sebe se vramnoteùvaat:

levocRr

= 1FAA yxrrr

++ (21)

levoc

desnoc RFBR

rrrr−=+= 2 (22)

odnosno

M Mclevo

cdesno= i M Mc

levocdesno= − (23)

Rezultanta Rclevo , odnosno Rc

desno , koja dejstvuva vo teì{teto na popre~niot presek vo S, se razloùva na dve komponenti:

1) Edna komponenta levocN = levo

cR cosα, koja se poklopuva so oskata na nosa~ot

i koja se nare~uva aksijalna sila ili nadol`na sila i dejstvuva normalno na povr{inata na popre~niot presek po dolìna na nosa~ot.

2) Komponenta levocT = levo

cR sinα, koja e upravna na oskata na nosa~ot i se

nare~uva transverzalna sila ili popre~na sila.

3) Momentot levocM , odnosno desno

cM se nare~uva moment na svitkuvawe ili

napaden moment.


125

Zna~i vo bilo koj proizvolen presek, na rastojanie h od koordinatniot po~etok, po dolìnata na gredata, dejstvoto na nadvore{nite sili levo odnosno desno od presekot, se sveduva na napaden moment, transverzalna i aksijalna sila. Ovie golemini se nare~uvaat i vnatre{ni stati~ki golemini.

Ovie vnatre{ni stati~ki golemini predizvikuvaat i soodvetno dejstvo na popre~niot presek. Napadniot moment ili momentot na svitkuvawe, vr{i svitkuvawe na nosa~ot. Transverzalnata sila predizvikuva smolknuvawe, odnosno prese~uvawe na nosa~ot, dodeka aksijalnata sila teì da go skrati ili izdolì nosa~ot.

Posle razjasnuvaweto na poimot za vnatre{nite stati~ki golemini va`no e da se dadat i to~nite definicii za sekoja od niv:

(1) Momentot na svitkuvawe ili napadniot moment M vo proizvolen presek po dolìnata na eden nosa~ e algebarski zbir na stati~kite momenti na site sili levo ili desno na presekot vo odnos na teì{teto na povr{inata na popre~niot presek. Napadniot moment za silite levo od presekot e pozitiven ako vrti vo nasokata na ~asovata strelka, a negativen ako vrti obratno od ~asovata strelka. Napadniot moment, pak, od site sili desno od presekot e pozitiven ako vrti obratno od nasokata na ~asovata strelka, a negativen ako vrti vo nasoka na ~asovata strelka (Sl. 27(a)).

Spored ovaa definicija, napadniot moment vo presekot S-S za nosa~ot na slika 26 b, }e bide:

Mclevo = ( )A x F x ay − −1

( ) ( )M B l x F a xcdesno = − − −2 2 2sinα (24)

Nezavisno od toa od koja strana e opredelen, napadniot moment vo presekot S-S mora da ima ista vrednost, odnosno:

Mc = Mclevo = Mc

desno (25)

(2) Transverzalnata sila vo proizvolen popre~en presek na nosa~ot ednakva e na algebarskiot zbir na site sili upravni na oskata na nosa~ot, levo ili desno od presekot. Za delot na nosa~ot levo ili desno od presekot, transverzalnata sila e pozitivna ako vrti vo nasoka na ~asovata strelka, a negativna ako vrti obratno od nasokata na strelkata na ~asovnikot.

sl. 9.27. Definirawe na znakot na napaden moment M


126

Transverzalnata sila vo presekot S-S od nosa~ot na Sl.26b, se dobiva kako suma od site vertikalni sili levo ili desno na presekot, bidej}i oskata na nosa~ot e horizontalna linija:

Tclevo = A Fy − 1

Tcdesno = − +B F2 2sinα (26)

Ako razgleduvaniot nosa~ e vo ramnoteà, toga{ intenzitetot na transverzalnata sila levo i desno od presekot e ista.

Tclevo = Tc

desno (27)

(3) Ako na nosa~ot dejstvuvaat kosi sili, toga{ vo sekoj popre~en presek se javuvaat i sili koi{to se poklopuvaat so pravecot na oskata na nosa~ot, t.e., se javuvaat aksijalni sili.

Aksijalnata sila vo eden proizvolen presek od nosa~ot e ednakva na algebarskiot zbir na site sili vo pravecot na oskata na nosa~ot, levo ili desno od presekot (sl.29v). Aksijalnata sila e pozitivna ako na presekot dejstvuva na zategnuvawe (sl.29a), a negativna ako dejstvuva na pritisok, odnosno teì da ja namali dolìnata na zamisleno otse~eniot del (sl.29b)

Vrz osnova na vaka definiranite postavki za transverzalnata sila, napadniot moment i aksijalnata sila, mo`no e da se opredelat goleminite na istite vo karakteristi~nite preseci po dolìnata na prostite i sloènite polni nosa~i. Grafi~kata prezentacija na promenata na stati~kite golemini po dolìnata na nosa~ot, se vr{i so konstruirawe na nivnite dijagrami. Vo ovie

Sl. 9.29 Definicija i znak na aksijalna sila

Sl. 9.28 Definicija i znak transverzalnata sila na proizvolen presek


127

dijagrami apscisite ja opredeluvaat polo`bata na presekot, a ordinatite goleminata na soodvetnata stati~ka golemina i zatoa se vikaat u{te i dijagram na transverzalna sila, dijagram na napaden moment i dijagram na aksijalna sila.

Pri re{avaweto na problemite vo grafostatikata, bitno e da se najde presekot dol` nosa~ot, vo koj ovie stati~ki golemini gi dostignuvaat svoite ekstremni vrednosti, (Tmax, Mmax i Nmax).

Opredeluvaweto na transverzalnata sila, napadniot moment i aksijalnata sila se vr{i analiti~ki i grafi~ki. Pri analiti~koto opredeluvawe na stati~kite golemini, koordinatniot sistem se izbira, taka {to apscisnata oska h se poklopuva so oskata na nosa~ot, a koordinatniot po~etok voobi~aeno e da se poklopuva so zglobot na levoto leì{te.

9.5. Zavisnost pome|u tovarite, transverzalnata sila i napadniot moment

Kako {to ve}e se konstatira vo sekoj presek od poln liniski nosa~, vo zavisnost od tipot na tovarite se javuvaat i soodvetnite stati~ki golemini. Vrz osnova na prezentiranite definicii za stati~kite golemini se pokaà deka silite koi dejstvuvaat normalno na oskata na nosa~ot predizvikuvaat

transverzalni sili i napadni momenti, a silite {to dej-stvuvaat vo pravec na oskata na nosa~ot predizvikuvaat aksi-jalni sili. Zna~i, transver-zalnata sila i napadniot moment vo nekoj presek zavisat od tovarot koj {to dejstvuva na nosa~ot.

Za da se dobie me|usebnata zavisnost na transverzalnata sila i napadniot moment, naj-ednostavno e da se definira ramnoteàta na eden elemen-taren del od nosa~ot so dolìna dx (Sl.30b).

Poznato e deka ako nosa~ot e vo ramnoteà, toga{ vo ramnoteà e i sekoj negov prese~en del. Ako pak prese-~eniot elementaren del dx se izdvoi od nosa~ot toga{ mora dejstvoto na sekoj otstranet del, leviot i desniot, da se zameni so soodvetni stati~ki vlijanija.

Na ovoj na~in na elementarniot del dejstvuvaat, od leviot prese~en del na nosa~ot, transverzalna sila Tx i napaden moment Mx, a dodeka od desniot prese~en del od gredata, transverzalna sila Tx + dTx i napaden moment Mx + dMx.

Sl. 9.30. Zavisnost pome|u T i M:

(a)nosa~; (b) elementaren del so dolìna dx


128

Pokraj ovie stati~ki golemini na elementarniot del dejstvuva i silata dFq = qx

.dx od kontinuiraniot tovar {to dejstvuva na elementarniot del dx od nosa~ot. Od uslov za ramnoteà na prese~eniot del se dobiva:

ΣY = 0; Tx - qx.dx - (Tx + dTx) = 0 ⇒ x

x qdx

dT−= (28)

Od ovaa relacija proizleguva deka: prviot izvod na transverzalnata sila po apcisata h e ednakov na intenzitetot na kontinuiraniot tovar, vo presekot na rastojanie h, so sprotiven znak.

Od analiti~kiot uslov za ramnoteà ΣMc' = 0, vo odnos na momentnata to~ka C' vo teì{teto na presekot na elementarniot del dx, se dobiva:

ΣMc' = 0; Mx + Tx.dx - qx

.dx.dx/2 - (Mx+dMx) = 0 (29)

Vo ovaa ravenka vlijanieto od podeleniot tovar qx.dx2/2 e golemina od vtor

red i bidej}i ima beskone~no mala vrednost se zanemaruva (qx.dx2/2 = 0). Kone~no

od relacijata (29) se dobiva deka; prviot izvod na napadniot moment po apcisata h e ednakov na transverzalnata sila vo presekot na rastojanie h.

xx T

dxdM

= (30)

Ako ravenkata (30) se diferencira u{te edna{ se dobiva deka:

Vtoriot izvod na napadniot moment vo nekoj presek od nosa~ot e ednakov na prviot izvod na transverzalnata sila vo istiot presek, odnosno ednakov e na intenzitetot na podeleniot tovar so obraten znak.

xx q

dxdT

dxMd

−==2

2

(31)

Od izvedenite relacii pome|u tovarot, transverzalnata sila i napadniot moment vo nekoj presek na nosa~ot mo`no e da se izvle~at slednite nekolku zaklu~oci:

(1) Zakonot za promena na transverzalnata sila vo nekoj presek e prv izvod od zakonot (odnosno ravenkata) na napadniot moment za istiot presek, dodeka zakonot za promena na tovarot pretstavuva vtor izvod od ravenkata na napadniot moment. Taka ravenkite na tovarot, transverzalnata sila i napadniot moment me|usebe se razlikuvaat za po eden stepen.

Primerno, ako na gredata dejstvuva ramnomerno podelen tovar q(x)=const., koj {to e od nulti stepen, toga{ ravenkata na transverzalnata sila e od prv red (nakloneta prava linija), dodeka ravenkata na napadniot moment e od vtor red, kvadratna parabola.

q(x) = const; T(x) = f(x) - nakloneta prava linija; M(x) = f(x2)-kvadratna parabola.


129

Ako na nosa~ot dejstvuvaat samo koncentrisani sili, {to zna~i deka nema

kontinuiran tovar (qx = 0), toga{ od relacijata (28) sleduva deka izvodot na

transverzalnata sila po apcisata h e ednakov na nula, dTdx

x = 0 . Ova zna~i deka

ravenkata na transverzalnata sila e od nulti red, taka {to vrednosta na transverzalnata sila vo nekoj presek me|u dve koncentrisani sili e konstanta (Tx = const), i grafi~ki vo dijagramot se pretstavuva so prava linija paralelna so oskata h. Ravenkata za napadniot moment e od prv red, odnosno nakloneta prava linija.

(2) Maksimalnata vrednost na napadniot moment e vo presekot kade {to prviot izvod na momentot po apcisata e ednakov na nula, odnosno vo presekot kade {to transverzalnata sila ima vrednost nula.

M = Mmax za x=xmax ⇔ dMdx

= 0 ; T(x) = 0 (31)

Uslovot T(x) = 0 za opredeluvawe na mestoto na maksimalniot moment vaì i za nosa~i tovareni so koncentrisani sili, bidej}i istiot se javuva tamu kade {to transverzalnata sila go menuva znakot i so skok ja presekuva apcisata h.

(3) Vrednosta na napadniot moment vo nekoj presek h e ednakva na povr{inata na dijagramot na transverzalnata sila pome|u koordinatniot po~etok i presekot h, {to proizleguva od ravenkata (30) od koja se dobiva:

dMdx

Txx= ⇒ dxTdM x ⋅= (33)

9.6. Prosta greda

Prosta greda e liniski nosa~ koj se sostoi od edna kruta plo~a slobodno osloneta na edno nepodvi`no i edno podvi`no leì{te i koj za vertikalni tovari ima vertikalni reakcii, Sl.9.31.

Vo praksata naj~esto se koristi prosta greda so horizontalna oska i od teoriski aspekt toa pretstavuva eden od osnovnite nosa~i. Istata moè da bide tovarena so najrazli~ni vidovi na tovari pri {to za definirawe na ramnoteàta }e se koristat osnovnite postavki izvedeni do sega, koi }e bidat ilustrirani na soodvetni primeri prosledeni vo narednite paragrafi.

Sl. 9.31. Prosta greda


130

9.6.1. Prosta greda tovarena so vertikalni koncentrisani sili

Koga prostata greda kako liniski nosa~ e tovarena so vertikalni koncentrisani sili, toga{ vo to~kite na potpiraweto, leì{tata A i V (Sl.30.1a), se javuvaat verti-kalni reakcii koi imaat sprotivna nasoka od nasokata na dejstvoto na silite. Istite se opredeluvaat na ve}e definiraniot na~in so kori-stewe na osnovnite analiti~-ki uslovi za ramnoteà. Ispituvaweto na ramnoteàta na vaka tovareniot nosa~, osven opredeluvaweto na otporite na osloncite, pod-razbira i re{avawe, odnosno definirawe na zakonite na promenata na vnatre{nite stati~ki golemini (napadni momenti i transverzalni sili) i nivna grafi~ka pre-zentacija so pomo{ na sood-vetnite dijagrami.

Zakonot za promena na transverzalnite sili i napadniot moment vo

proizvolniot presek S-S na rastojanie h od leviot oslonec A, spored ve}e iznesenite definicii za vnatre{nite stati~ki golemini (ako se nabquduva leviot prese~en del), se definira so slednite reakcii:

Tx = A - F1 - F2 (34)

Mx = A x - F1(x-a1) - F2(x-a2) (35)

Na ovoj na~in, mo`no e da se definira promenata na transverzalnata sila i napadniot moment za site karakteristi~ni preseci po dolìnata na gredata, a potoa, da se konstruiraat i nivnite dijagrami.

Primenuvaj}i gi osnovnite postavki za opredeluvawe na trasverzalnata sila vo eden presek, zakonite na promena na istite vo oddelni delovi me|u koncentriranite sili se pretstaveni so slednite ravenki:

(od silite levo od presekot )

A - Sl : T(l)= A

Sd- Dl: T(l)= A - F1

Dd- El: T(l)= A - F1 - F2 = Th

Sl. 9.32 Dijagram na vnatre{ni stati~ki golemini

)

)

)


131

(od silite desno od presekot )

El- V : T(d)= - V

T(l)= T(d)

Vrz osnova na ovie zakoni i ravenkata za Th za proizvolen presek (34) (h) moè da se konstatira deka transverzalnata sila me|u dve koncentrisani sili ima konstantna vrednost. Presmetanite vrednosti na transverzalnata sila vo sekoj karakteristi~en presek potoa, se nanesuvaat (grafi~ki) kako ordinati upravno na oskata na nosa~ot, konstruiraj}i go na toj na~in dijagramot na Sl.32b. Od dijagramot na transverzalnite sili moè da se konstatira slednoto:

1. Zakonot na promena na transverzalnata sila za koj i da e presek e od nulti red, odnosno vrednostite na transverzalnata sila pome|u dve napadni to~ki od koncentriranite sili e konstantna.

2. Vrednosta na transverzalnata sila vo sekoj presek pod koncentriranite sili se menuva so skok, {to uslovuva linijata na transverzalnata sila vo dijagramot da ima skalesta forma.

3. Zbirot na site "skokovi" mora da bide ramen na zbirot na reakciite {to uslovuvaat "T" dijagramot da bide zatvoren. Ekstremnite vrednosti na transverzalnata sila se javuvaat vo to~kite na potpiraweto i se ednakvi na reakciite A i V. Preminuvaweto na transverzalnata sila od pozitivna vo negativna vrednost, e pod edna od koncentriranite sili so skok preku nula (pod sila F2 na Sl.32b).

Promenata na napadnite momenti vo karakteristi~ni preseci po dolìnata na nosa~ot e definirana so soodvetnite zakoni, odnosno ravenki, dobieni so primena na definicijata za napaden moment vo eden presek. Za dadeniot primer (Sl.32a) promenata na napadniot moment e ednozna~no definirana so relaciite za pooddelnite delovi me|u koncentriranite sili, od site sili levo ili desno od presekot:

A - S : M(l)= A. h ( )0 1≤ ≤x a

S - D: M(l)= A. h - F1(h-a1) ( )a x a1 2≤ ≤

ili M(l)= A. (h+a1) - F1h ( )0 1≤ ≤x c

D - E : M(l)= A. h - F1(h-a1) - F2(h-a2) ( )a x a2 3≤ ≤

ili M(l)= A. (h+a2) - F1(a2-a1+h)- F2h ( )0 2≤ ≤x c

(od silite desno od presekot )

E - V : M(d)= + V(l -x) ( )a x l3 ≤ ≤

ili M(d)= V(b3 -x) ( )0 3≤ ≤x b

So zadavawe na po~etnata i krajnata vrednost na apcisata za sekoja delnica me|u koncentrisanite sili se dobiva i goleminata na napadniot moment vo karakteristi~nite to~ki dol` nosa~ot:

h = 0 MA = 0

h = a1 MC = A . a1

h = a2 MD = A . a2 - F1 (a2 - a1)


132

h = a3 ME = A . a3 - F1 (a3 - a1) - F2 (a3 - a2) x = l MB = 0 [kNm] Vrz osnova na vaka presmetanite golemini se konstruira dijagram na

napadnite momenti so slednite karakteristiki:

1. Zakonot na promena na napadniot moment na delot od gredata me|u dve koncentrirani sili e od prv red i grafi~ki se pretstavuva so nakloneta (kosa) prava linija.

2. Dijagramot na napadni momenti ima poligonalna forma so prekr{uvawe pod koncentrisanite sili.

3. Napadniot moment e pozitiven po celata dolìna na nosa~ot.

4. Agolot α na naklonot na kosite pravi linii na delot pome|u dve koncentrirani sili se dobiva kako prv izvod od ravenkata na napadniot moment po apcisata (h) za soodvetnata delnica:

( ) ( )tgdMdx

ddx

Ax F x F a F x F a A F F Txx

levoα = = − + − + = − − =1 1 2 2 2 1 2 (35)

Ovaa relacija pokaùva deka tgα }e bide pozitiven ako transverzalnata sila vo presekot ima pozitivna vrednost. Ova zna~i deka so porastot na apcisata (h) }e raste i napadniot moment se dodeka transverzalnata sila T(h) ima pozitivna vrednost. Sprotivno na ova, napadniot moment }e se namaluva so rasteweto na apcisata (h), ako transverzalnata sila bide negativna.

Tokmu zatoa, maksimalniot napaden moment se javuva pod edna od koncentriranite sili i toa vo presekot, kade transverzalnata sila go menuva znakot od pozitiven vo negativen i so skok ja se~e apcisata, odnosno oskata na nosa~ot.

Aksijalnite sili, ili silite vo pravec na oskata na nosa~ot se ednakvi na nula bidej}i na gredata dejstvuvaat samo vertikalni sili, odnosno koncentrirani sili upravni na oskata na nosa~ot koi predizvikuvaat samo promena na transverzalnite sili i napadnite momenti dol` nosa~ot.

9.6.2. Prosta greda tovarena so kosi i vertikalni koncentrisani sili

Ispituvaweto na ramnoteàta na prostata greda tovarena so kombinacija od kosi i vertikalni koncentrisani sili se sveduva na slu~ajot so vertikalni sili bidej}i so razloùvawe na kosite sili na komponenti po apcisnata oska (horizontalna sila) i po ordinatnata oska (vertikalni sili) se dobiva sistem od horizontalni i vertikalni sili.

Horizontalnite komponenti od kosite sili dejstvuvaat vo pravec na oskata na gredata, aksijalno, i nemaat nikakvo vlijanie vrz promenata na transverzalnite sili i napadnite momenti po dolìna na nosa~ot.

Kako {to e ve}e poznato, vo nepo-dvi`noto leì{te od nosa~ot se javuva kosa reakcija A, ~ija {to horizontalna kompo-nenta Ah e ednakva na zbirot na horizon-talnite komponenti od kosite sili. Spored prviot uslov za ramnoteà: ΣX = 0 se dobiva:


133

ΣX = 0; Ax - F1x - F2x = 0

Ax = F1x + F2x (36)

Taka vo sekoja oddelna delnica me|u kosite sili F1 i F2, osven transverzalni sili se javuvaat i aksijalni sili koi se ednozna~no oprede-leni so definicijata na aksijalnata sila vo eden proizvolen pre-sek na rastojanie h po dol`ina na nosa~ot.

( )( )N A Fxlevo

x x= − + 1 ili

( )( )N Fxdesno

x= − 2 (36)

Vrz osnova na ovoj op{t zakon, se definiraat i zakonite na promena na aksijal-nata sila vo karakter-isti~nite preseci:

A - Sl : N(l) = -Ah

Sd-Dl : N(d) = -F2x

{to zna~i deka vo presekot beskrajno blisku desno od to~kata S i od to~kata D se javuva skok vo dijagramot na aksijalnite sili.

Ncd = -Ax + F1x = -F2x

NDd = 0 [kN]

Grafi~kata prezentacija na zakonot na promenata na aksijalnite sili, (Sl.33g), poka`uva deka na delovite me|u koncentriranite horizontalni sili aksijalnata sila e konstantna, a pod samite kosi koncentrirani sili se javuvaat skokovi vo dijagramot.

Dijagramot na transverzalnite sili Sl.33b, i na napadnite momenti Sl.33v, se opredeleni vrz osnova na dejstvoto na vertikalnite sili vo karakteristi~nata to~ka.

Pri konstrukcija na dijagramot na transverzalni sili, voobi~aeno e silite - ordinatite da se nanesuvaat vo nasoka na dejstvoto na silite i toa taka {to pozitivnata transverzalna sila se nanesuva nad horizontalnata oska, a negativnata pod horizontalnata oska.

Sl. 9.33 Dijagram na vnatre{ni stati~ki golemini


134

Site aksijalni sili na zategnuvawe se pozitivni i po dogovor, moè da se nanesuvaat isto kako i transverzalnite sili nad oskata, a aksijalnite sili na pritisok se negativni i se nanesuvaat od obratnata strana.

9.6.3. Prosta greda tovarena so ramnomerno podelen tovar

Ramnomerno podeleniot tovar e naj~est vid na tovar {to deluva na elementite od konstrukciite. Voobi~aeno, gredite se dimenzioniraat vrz osnova na tovarite od sopstvenata teìna i od korisniot tovar. Tovarot od sopstvena teìna deluva po celata dolìna na gredata, a dodeka korisniot tovar moè da bide rasporeden sparcijalno na del od nea. Na Sl.34 prikaàn e slu~aj na tovarewe na prosta greda so ramnomerno raspredelen tovar na del od nejzinata dolìna.

Reakciite vo to~kite na potpiraweto se opredeluvaat so primena na analiti~kite uslovi za ramnoteà. Ramnomerno podeleniot tovar, samo za presmetuvawe na reakciite, moè da se aproksimira so koncentrisana sila Fq=qb so napadna to~ka vo teì{teto na povr{inata na optovaruvaweto.

ΣMB = 0; ( ) 02 =+⋅−⋅ bcbqlA

Al

qb c b= +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

12

(37)

ΣMA = 0; ( ) 02 =+⋅+⋅− bcbqlB

Bl

qb a b= +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

12

(38)

Ako e zadovolen ramnote`niot uslov, zbirot na site vertikalni tovari, aktivni i reaktivni, da e ednakov na nula:

ΣY=0; A + B - q.b=0,

toga{ vo ramnoteà e i sekoj prese~en del od gredata, {to e preduslov za opredeluvawe na stati~kite golemini.

Transverzalnata sila dol` rasponot na gredata se menuva onaka kako {to se menuva i vidot na optovaruvaweto. Na delot od A-S transverzalnata sila e konstantna so vrednosta ednakva na reakcijata vo potporot A:

A - S: T=A

Istoto vaì i za delot od gredata me|u desniot potpor i krajot na podeleniot tovar, bidej}i desno od presekot deluva samo reakcijata V koja predizvikuva negativna transverzalna sila:

D - V: T= -V

Sl. 9.34. Prosta greda tovarena so ramnomerno podelen tovar na

opredelena dolìna


135

Me|utoa za optovareniot del od gredata, me|u to~kite S i D, vo nekoj proizvolen presek na rastojanie h od leviot potpor, deluvaat samo dve vertikalni sili i toa reakcijata A i silata Fq

x=q(x-a). Primenuvaj}i ja definicijata za transverzalna sila vo eden proizvolen presek se dobiva slednata ravenka:

C - D T(x)levo = A - q( x - a) a < x < (a+b) (39)

Ovaa ravenka e od prv red i pretstavuva kosa prava linija. Ekstremnite vrednosti na transverzalnata sila na ovoj del se nao|aat za x=a i x=a+b i toa:

za x=a TS=A; za x=a+b TD=-B Mestopolo`bata na nultata vrednost na transverzalnata sila se dobiva od

uslovot:

h=hmax ⇒ T(h)=0 odnosno T(x) = A - q( x - a)= 0 (40)

od kade sleduva: hmah=A/q+a (41)

Vrz osnova na vrednostite na transverzalnite sili vo site karakteristi~ni to~ki e konstruiran dijagramot na transverzalnite sili. Ovoj dijagram e sostaven od tri dela (Sl.34b). Na delot od nosa~ot kade {to transverzalnite sili se konstantni, dijagramot e pretstaven so pravi paralelni so apcisnata oska pomesteni za vrednosta na transverzalnata sila vo potporite A i V. Linijata na transverzalnata sila me|u to~kite S i D definirana so ravenkata T(x) = A - q( x - a), grafi~ki e prezentirana so nakloneta prava linija.

Primenuvaj}i ja definicijata za napaden moment vo eden proizvolen presek n-n na rastojanie h od le`i{teto A na gredata i zemaj}i gi predvid silite levo od presekot, se dobivaat ravenkite za momentnata linija vo sekoj karakteristi~en del od nosa~ot.

Na delot od gredata pome|u le`i{teto A i po~etokot na ramnomerno podeleniot tovar, zna~i dol` rastojanieto a, kako i dol` rastojanieto s, promenata na momentot na svitkuvawe e linearna, bidej}i po definicija se dobivaat slednive relacii:

A - C M = A.x 0 ≤ ≤x a B - D M = B.x 0 ≤ ≤x b (vo ovoj del apcisata ima sprotivna nasoka od V

kon D).

Za proizvolniot presek n-n, na optovareniot del na gredata, zakonot na promena na momentot e definiran so ravenkata:

C - D ( ) ( )M A x q x a x a A x q

x ax = ⋅ − −

−= ⋅ −

−2 2

2

(42)

kade e: ( )F q x aqx = − - intenzitet na ramnomerno podeleniot tovar levo od

presekot n-n, a

x a−2

- rastojanie na koncentrisanata sila Fqx , so koja e zamenet

podeleniot tovar, do presekot n-n.


136

Ovaa ravenka na momentnata linija e od vtor red i pretstavuva edna kvadratna parabola. Maksimalnata ordinata na ovaa kriva linija, odnosno mestopolo`bata na maksimalniot moment, ili t.n. opasen presek na gredata, se javuva vo onoj presek, kade {to izvodot na ravenkata za momentnata linija e ednakov na nula, t.e. vo presekot kade {to transverzalnata sila ima vrednost nula:

dMdx

A q x a tgx = − − = =( ) α 0 (43)

dMdx

Txx= = 0 a

qAx +=max (44)

Spored toa vrednosta na maksimalniot moment e:

( )M A x q

x amax max

max= ⋅ −− 2

2

Grafi~ki zakonot za promena na momentot dol` nosa~ot e prezentiran so dijagramot na napadnite momenti (Sl.34v), koj na neoptovareniot del od nosa~ot e pretstaven so nakloneta linija (liniski zakon) so ekstremi vo to~kite na oslonuvawe i po~etokot, odnosno krajot na podeleniot tovar. Ovie liniski delovi me|u sebe, dol` optovareniot del se povrzani so edna kriva linija definirana so trite karakteristi~ni ordinati so vrednost

za x=a Mc = A.a

za x=b Md = B.b

za x=xmax=A/q+a ( )

M A xq x a

max maxmax= ⋅ −

− 2

2

Zaradi toa {to ramnomerno podeleniot tovar deluva vertikalno, vo gredata ne se javuvaat aksijalni sili.

Ako ramnomerno podeleniot tovar dejstvuva po celata dolìna na nosa~ot, Sl.35, toga{ nosa~ot e simetri~en, bidej}i a=s=0; b=l. Poradi simetri~nost na tovarot, reakciite vo leì{tata A i V se ednakvi me|u sebe i iznesuvaat:

A B q l= =

⋅2

Promenata na transverzalnata sila e definirana samo so eden zakon za proizvolniot presek n-n na rastojanie h od oslonecot A:

A - B ( )T A q x q l q xx = − ⋅ =⋅

− ⋅2

Sl. 9.35 Prosta greda tovarena so ramnomerno podelen tovar po celata

dolìna


137

Ovaa ravenka e od prv red i pretstavuva kosa prava linija. Ekstremnite vrednosti na transverzalnata sila se nao|aat na apcisite h=0 i h=l i toa:

za x=0 T A q lA = =

⋅2

za x=l T BB = − = −q l⋅2

Mestopolo`bata na presekot vo koj transverzalnata sila ima vrednost

nula e na x l=

2i se opredeluva so ve}e poznatiot uslov T(h) = 0.

Dijagramot na transverzalnite sili pretstaven so nakloneta prava linija so ekstremi vo to~kite na potpirawe e sostaven od dva ednakvi triagolnika so sprotivni znaci, odnosno se dobiva eden antimetri~en dijagram, Sl.31.

So ve}e poznatata postavka, t.n. metod na preseci, se opredeluva ravenkata na napadniot moment za nekoj proizvolen presek:

A - V ( )M A x q x x q l x q xx = ⋅ − ⋅ ⋅ =

⋅⋅ −

2 2 2

2

Linijata na napadniot moment e kriva od vtor red i pretstavuva parabola so teme vo sredinata na rasponot. Vo to~kite na oslonuvawe, za h=0 i h=l, momentot ima vrednost nula, a dodeka sekoja maksimalna vrednost ja dostignuva vo presekot na polovina na rasponot:

za h=0 MA = 0

za h=hmah=l/2 ( )

M M q l l q l q l= =

⋅⋅ − =

⋅max

/2 2

22 8

2 2

za h=l MD = 0

So pomo{ na ovie karakteristi~ni vrednosti se konstruira dijagramot na napadnite momenti, {to pretstavuva parabola od vtor red, Sl.31.

Primer: Prosta greda so kombinirano optovaruvawe.

Sl. 9.36 Prosta greda so kombinirano optovaruvawe


138

9.6.4. Prosta greda tovarena so triagolen tovar

Triagolniot tovar e karakteristi~en slu~aj na podeleno optovaruvawe kade intenzitetot na tovarot se menuva linearno od edna po~etna nulta vrednost do maksimalnata koja se zadava. Ravenkata za linijata na tovarewe se dobiva od sli~nosta na triagolnicite za eden proizvolen presek:

q : l = q(x) : x ⇒ ( )q q xlx =⋅

Vrz osnova na uslovot za ramnoteà ΣM=0, pri {to za momentni to~ki se zemaat leì{tata A i V i pretpostavkata deka vkupniot tovar Fq=ql/2 e ednakov na povr{inata na triagolnikot koj kako koncentrisana sila dejstvuva vo negovoto teì{te, se presmetuvaat reakciite:

ΣMB = 0;

A l q l l⋅ −

⋅⋅ =

2 30 ⇒

6lqA ⋅

= (43)

ΣMA = 0;

− ⋅ +⋅

⋅ =B l q l l2

23

0 ⇒ 3

lqB ⋅= (44)

Za opredeluvawe na transverz-alnata sila i napadniot moment se nabquduva leviot prese~en del od gredata na rastojanie h od oslonecot A. Na toj del dejstvuva reakcijata A i triagolniot tovar so ordinata qx koj moè da se aproksimira so koncentrisana sila Fq

h so intenzitet:

( )Fq x q x

lx q x

lqx x

=⋅

=⋅

⋅ =⋅

2 2 2

2 (45)

Taka, transverzalnata sila vo presekot n-n e definirana so ravenkata:

( )T A F ql qxlx q

x= − = −6 2

2 0 < x < l (46)

Karakteristi~nite vrednosti na linijata na transverzalnite sili koja pretstavuva kriva od vtor red, se dobivaat so zadavawe na apcisite za presecite vo koi transverzalnata sila gi dostignuva svoite ekstremni vrednosti:

za x=0 TA = A = q l⋅6

za x=l TB = -B = - q l⋅3

Sl. 9.37 Prosta greda tovarena so triagolen tovaren


139

za x=xmax T(x) =0 ⇒ q l q xl

⋅−

⋅=

6 20

2 xmax=0.577 l (47)

Dijagramot na transverzalnite sili e parabola od vtor red so vertikalna oska koja minuva niz levoto leì{te i se konstruira so pomo{ na pogore presmetanite vrednosti, Sl.37b.

Napadniot moment za proizvolniot presek n-n, spored definicijata, pretstaven e so slednava ravenka od tret red:

A - B =xM ( ) =⋅⋅−=⋅−=−⋅3263263xx

lqxxqlxxq

xqlxFxA xxq l

qxxql66

3

− (48)

Ekstremnite vrednosti na momentite, potrebni za crtawe na dijagramot na istite, se dobivaat kako {to sleduva:

za x=0 MA = 0

za x = xmax = 0.577 l Mmax = ( )ql l

q ll

ql6

0 5770 577

60 064

33.

..− = (49)

Momentnata linija vo dijagramot e pretstavena so parabola od tret red koja se konstruira so nanesuvawe na vrednostite na momentite na vertikalite povle~eni niz karakteristi~nite to~ki, odnosno pod leì{tata i pod opasniot presek, Sl.39v.

9.6.5. Prosta greda tovarena so spreg od sili

Dosega razgleduvanite slu~ai na tovarewe na prosta greda imaa nekoja zaedni~ka karakteristika. Reakcijata vo nepodvi`noto leì{te vo op{t slu~aj na optovaruvawe e kosa sila, a dodeka vo podvi`noto leì{te sekoga{ se javuva reakcija {to e normalna na podlogata, leì{nata plo~a. Dijagramot na transverzalnite sili ima dve poliwa, pozitivno i negativno. Dijagramot na momentite na svitkuvawe e iskr{en kontinuiran poligon ili kontinuirana kriva. Momentot nad osloncite e sekoga{ nula i ako tovarite dejstvuvaat vertikalno nadolu, toga{ vo celoto pole ima ist znak. Vo presekot kade {to transverzalnata sila go menuva znakot, momentot postignuva ekstremna vrednost.

Ovie odnosi se menuvaat koga prostata greda e tovarena so spreg od sili. Najkarakteristi~no e toa {to momentnata sila nema kontinuitet, tuku vo presecite kade {to dejstvuvaat spregovite se

Sl. 9.38 Spreg od horizontalni sili


140

javuvaat nagli skokovi. Postojat nekolku karakteristi~ni slu~ai za dejstvo na spregovite.

(1) Spreg od horizontalni sili

Prosta greda so raspon L tovarena e so horizontalni sili F koi imaat ist intenzitet i pravec, a sprotivna nasoka i se na fiksirano me|usebno rastojanie s (Sl.38a).

So reakcija na silite +F i -F vo odnos na to~kata S, nivnoto dejstvo se poni{tuva i na gredata dejstvuva samo momentot M=Fs, Sl.38b.

Reakciite vo to~kite na potpiraweto mora, isto taka, da formiraat spreg na sili so moment so ist intenzitet kako i momentot M no so sprotiven znak, koj vsu{nost }e go neutralizira spregot na sili F. Od ova, vedna{ moè da se zaklu~i, bidej}i reakcijata vo potpirot V e vertikalna, toga{ i taa vo nepodvi`niot potpir e vertikalna so ist intenzitet kako V, so toa {to mora da bidat naso~eni taka {to }e formiraat spreg so sprotivna nasoka od nasokata na M, odnosno:

A.L = B.L = M ⇒ A Ml

= i B Ml

= − (50)

Reakciite moè da se presmetaat i od uslovot za ramnoteà ΣM=0 i toa so izbor na momentna to~ka vo A i V. Se pretpostavuva deka nasokite na A i V se onaka kako {to se izbrani na slikata.

ΣMB = 0; A.l - M = 0 ⇒ A Ml

=

ΣMA = 0; B.l - M = 0 ⇒ B Ml

= (51)

Transverzalnata sila dol` celiot raspon na gredata ima konstantna vrednost, pozitivna, i iznesuva:

Tx = A Ml

= = B

Dijagramot na transverzalnite sili e prikaàn so edna prava paralelna so apcisata h.

Napadniot moment vo leì{tata A i V e ednakov na nula. Kon sredinata na rasponot, vo to~kata S se menuva linearno pri {to mora da se posmatra presekot beskone~no blisku pred to~kata S (ili levo od S) i beskone~no blisku desno od S.

A - Clevo Mx = A.x

za x = 0 MA = 0

za x = a Mclevo = A.a =

Ml

.a


141

Cdesno - B Mx = A(x+a) - M = B(b-x) 0 ≤ ≤x b

za x = 0 Mcdesno = A.a - M= ( )

lbM

lalM

llMaM ⋅

−=−−

=⋅−⋅

B - Cdesno Mx = -B.x'

za x' = 0 MB =0

za x' = b Mcdesno =

lbM ⋅

−

Dijagramot na napadni momenti levo i desno od to~kata na dejstvoto na momentot se pretstavuva so dve pravi, kosi linii koi me|usebno se paralelni bidej}i reakciite ja imaat slednava reakcija: A=-V. Ova zna~i deka momentnata

linija vo to~kata S ima diskontinuitet i skok od vrednostaMl

.a do -Ml

.b. Ovoj

skok iznesuva to~no tolku, kolku {to e intenzitetot od spregot na silite M.

Ako spregot dejstvuva na polovina od rasponot, Sl.9.38, za a=b=l/2, toga{ oslone~kite reakcii }e ja imaat istata nasoka i intenzitet kako vo prethodniot slu~aj. Edinstvena razlika e vo toa {to momentot vo presekot beskone~no levo i desno od to~kata S }e ima ist intenzitet ednakov na polovina od intenzitetot na M (Sl.2)

Mcl = A. l M

ll M

2 2 2= ⋅ =

Mcd = B. l M

ll M

2 2 2= ⋅ =

Sl. 9.39 Prosta greda tovarena so spreg vo sredinata

)

b)

)


142

2. Spreg od ekscentri~na horizontalna sila

Mnogu ~esto vo praktikata prostata greda moè da bide tovarena so horizontalna sila koja {to dejstvuva na eden krak (kruto vrzana konzola za gredata) so fiksirana dolìna ili t.n. ekscentri~na horizontalna sila. Dejstvoto na ovaa sila vrz gredata najednostavno bi se analiziralo ako istata se reducira vo odnos na to~kata S (vidi Sl.39b), pri {to se dobiva eden spreg so intenzitet M=F.s i edna aksijalna sila.

Ovaa horizontalna sila se predava vo nepodvi`noto leì{te i toga{ e:

ΣX = 0; Ax = F

ΣMB = 0; -Ay.l + M = 0 ⇒ Ay = M

l

ΣMA= 0;-B.l + M = 0⇒ B = Ml

kontrola: ΣY = 0

-Ay + B = 0 ⇒ - Ml

+ Ml

=0

Ili kone~no intenzitetot na kosata reakcija vo potporot A e:

A = A Ax y2 2+

Aksijalnata sila vo S dejstvuva na zategnuvawe i na potegot od A-S levo od gredata }e predizvika konstantna aksijalna sila, pretstavena na dijagramot za aksijalni sili.

Dijagramot na transverzalnata sila i na napadniot moment se presmetuvaat i konstruiraat na sosema ist na~in kako vo prethodniot slu~aj, samo {to istite }e imaat sprotiven znak.

Vo zavisnost od goleminata na rastojanijata (a) i (b) moèn e razli~en raspored na ekscentri~nata horizontalna sila dol` rasponot l.

Primerno, ako a=0 i b=l, toga{ ekscentri~nata sila dejstvuva na krak nad potpirot A (Sl.41a,b). So redukcija na horizontalnata sila vo odnos na to~kata A se dobiva eden spreg nad potpirot i aksijalna sila koja direktno se prima vo nepodvi`noto leì{te, Sl.41b.

Sl. 9.40 Prosta greda tovarena so ekscentri~na horizontalna sila


143

Nasokata i intenzitetot na reakciite ostanuvaat isti kako i vo prethodniot slu~aj, {to uslovuva i "T" dijagram da go ima istiot oblik i znak.

Promena edinstveno }e se javi vo dijagramot na aksijalnite sili, koi vo slu~ajov se nula po celata dol`ina na gredata, bidej}i horizontalnata reakcija

vo potpirot A i silata F se poni{tuvaat - anuliraat me|usebno i vo dijagramot na napadnite momenti koj }e se menuvat po liniski zakon so skok vo le`i{teto A.

Zakonot na promena na transverzalnata sila i na napadniot moment za presekot A e:

A - B Txlevo = -Ay = -M/l

Mxlevo = -Ay

.x + M 0 ≤ ≤x l

za h=0 MA = M

za x=l MB = -M/l.(l) + M = 0

Mxdesno = B(l-x) 0 ≤ ≤x l

za x=0 MA = B.l= M/l.(l) = M

za x=l MB = 0

Drug specijalen slu~aj bi bil koga a = l i b = 0, odnosno koga eks-centri~nata horizontalna sila dejs-tvuva nad potpirot V (Sl.42a).

Zakonite na promena na vnatre{nite stati~ki golemini dol` oskata na gredata se:

aksijalni sili:

Nx = Ax = F

transverzalni sili:

Tx = -Ay = -B =-M/l

napadni momenti:

Mx = -Ay.x = -M/l.x 0 ≤ ≤x l

x=0 MA = 0

x=l MB = - M/l.(l) = -M

Sl. 9.41 Prosta greda so spreg nad leviot potpor

Sl. 9.42 Prosta greda tovarena so spreg nad potporot V


144

9.6.6. Grafi~ko opredeluvawe na reakcii i stati~ki golemini kaj prosta greda

Pri grafi~koto opredeluvawe na reakciite se koristat grafi~kite uslovi za ramnoteà na eden ramninski sistem od sili, {to podrazbira formirawe zatvoren poligon na sili i zatvoren verièn poligon.

Najprvo, vo soodveten razmer za dolìni, se crta zadadeniot nosa~ so to~niot raspored na tovarite {to dejstvuvaat na nego. Potoa za vaka zadadeniot sistem na sili, se formira, se crta, poligon na sili so prethodno usvoen razmer za sili, se bira proizvolen pol i se povlekuvaat polnite zraci. Sega, na ve}e poznatiot na~in se konstruira veri`niotpoligon. Bitno e da se napomene deka za

prosta greda tovarena so vertikalni tovari (kon-centrisani sili, ramno-merno podelen tovar, triagolen tovar) za koi se javuvaat vertikalni reak-cii vo to~kite na oslo-nuvaweto, veri`niot po-ligon moè da se kon-struira po~nuvaj}i od proizvolna izbrana to~ka A' na pravecot na reak-cijata vo leì{teto A, Sl.42v, so povlekuvawe na pravi paralelni so polnite zraci 1, 2, 3, 4 se do to~kata V' {to pret-stavuva prese~na to~ka na posledniot zrak 4 so pravecot na reakcijata vo V.

Za da bide zadovolen grafi~kiot uslov za ramnoteà, mora veri`niot poligon od sili za bide zatvoren so

pomo{ na zavr{nata strana Y (prava me|u to~kite A' i V'). Ponatamu vo poligonot na sili niz polot O se povlekuva paralela so zavr{nata strana Y pri {to se dobivaat reakciite vo potporite A i V. Na ovoj na~in ispolnet e vtoriot grafi~ki uslov za ramnoteà, bidej}i poligonot od sili sam od sebe se zatvora.

Vistinskite vrednosti na reakciite se dobivaat so mnoèwe na soodvetnite otse~ki so razmerot za sili.

Dijagramot na transverzalnite sili grafi~ki se konstruira so pomo{ na poligonot na sili, koj za ovaa cel e nacrtan podolu. Od to~kata f na ovoj poligon se povlekuva horizontalnata oska A"V", potoa site sili, reaktivni i aktivni, se proektiraat na nivnite napadni linii. Bidej}i transverzalnata sila za koncentrisani tovari na potegot me|u silite e konstantna, od krajot na sekoja

Sl. 9.43. Grafi~ko re{enie na prosta greda tovarena so vertikalen tovar

B"


145

sila se povlekuvaat horizontali do presekot so pravecot na narednata sila, (Sl.43g), dobivaj}i go na toj na~in skalestiot oblik na dijagramot.

Ako sistemot na sili e vo ramnoteà, toga{ i dijagramot na transverzalnite sili mora da bide zatvoren. Ordinatite vo ovoj dijagram pretstavuvaat, vo usvoenata razmera za sili, transverzalni sili vo pooddelnite preseci na gredata. Ako ordinatite vo dijagramot nad oskata A"V" se pozitivni, toga{ ordinatite pod taa oska se negativni. Mestata kade {to ordinatata od dijagramot preminuva od pozitivna vo negativna vrednost, vsu{nost pretstavuva i mestoto na maksimalniot moment.

Pri opredeluvaweto na napadniot moment vo eden proizvolen presek n-n od gredata po grafi~ki pat se koristi postavkata za iznao|awe na stati~kiot moment na rezultantata na site sili levo ili desno od presekot, vo odnos na momentnata to~ka vo teì{teto na presekot. Zaradi toa se koristi ve}e izvedenata relacija:

Mx = H.yx

kade e: N - polovo rastojanie [kN], Uh [m] - ordinata na veri`niot poligon pod presekot n-n koja e srazmerna so momentot vo istata to~ka. Ova vaì i za ordinatite Ui vo bilo koj presek na gredata, ili:

Momentot na svitkuvawe Mh vo proizvolen presek na nosa~ot ednakov e na proizvodot od polnoto rastojanie N i ordinatata Uh merena na veri`niot poligon na vertikalata pod presekot.

Se razbira za da se dobie vistinskata vrednost na momentot desnata strana od gornata ravenka treba da se pomnoì so razmerot za sili i razmerot za dolìni: Mx = H.yx

.Rs.Rd (M:1cm=n kN=Rs; M:1cm=n m=Rd)

Veri`niot poligon vo ovoj slu~aj se narekuva Kulmanova momentna povr{ina i se konstruira samo za vertikalni koncentrisani sili, odnosno za vertikalnite komponenti dokolku silite se kosi.

Vo nekoi slu~ai se bara Kulmanovata momentna povr{ina da se reducira na horizontala, {to moè da se napravi na tri na~ini:

1. Se povlekuva nova horizontala A'V' i na nea se nanesuvaat karakteristi~nite ordinati Ui pri {to se dobiva sistem od to~ki koi se povrzuvaat me|usebe i formiraat povtorno zatvorena Kulmanova momentna povr{ina;

2. Vo pologonot na sili se izbira nov pol, koj leì na horizontalata povle~ena od to~kata f vo poligonot na sili, pri {to se formira nov sistem na polovi zraci so koj se formira i soodvetniot, nov, verièn poligon, i

3. Pri crtawe na poligonot na sili, vrz osnova na analiti~ki presmetanite reakcii, se fiksira to~kata f i na horizontalata povle~ena niz nea se izbira polot O. Ovoj na~in e najednostaven za primena.

Ako na nosa~ot dejstvuva sistem na kosi koncentrisani sili toga{ vo nepodvi`noto leì{te se javuva reakcija ~ij {to pravec e nepoznat. Tokmu zaradi toa, pri grafi~koto opredeluvawe na reakciite prviot zrak vo veri`niot poligon treba da minuva niz nepodvi`noto leì{te, odnosno A=A', Sl.44a. Prese~nata to~ka na poslednata strana od veri`niot poligon so poznatiot


146

pravec na reakcijata vo podvi`noto le`i{te (upraven na le`i{nata plo~a), ja definira to~kata V' so koja se povlekuva i zavr{nata strana Y=A'V' na poligonot.

Ponatamu postapkata za grafi~ko opredeluvawe na stati~kite golemini M i T e potpolno ista so onaa opi{ana pogore, bidej}i tie se funkcija isklu~ivo samo od vertikalnite komponenti na kosite sili.

Horizontalnite komponenti od silite se poklonuvaat so oskata na nosa~ot i predizvikuvaat aksijalni sili ~ij {to dijagram grafi~ki se dobiva na sli~en na~in kako i dijagramot na transverzalni sili.

Sl. 9.44 Grafi~ko opredeluvawe na reakcii vnatre{ni stati~ki golemini

9. STATIKA NA RAMNINSKI NOSA^I -...

Documents

Transcript of 9. STATIKA NA RAMNINSKI NOSA^I -...