APLICACIONES INTEGRAL

CAPÍTULO 6

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

• Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región en un plano alrededor de un eje, o recta que no corta la región.

• La recta sobre la cual la rotación se denomina eje revolución.

• Sea una función continua f(x) ≥0 para a ≤ x ≤ b. Se genera una región plana R bajo la gráfica, por encima de del eje x, y entre x=a y x=b.

CÁLCULO DE VOLÚMENES SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

• El volumen V de un sólido de revolución obtenido al girar la regiónR sobre el eje x o y es posible calcularlo, mediante:– Método del Disco– Método de Washer o de arandelas– Método de Capas Cilíndricas– Método de las Tajadas

MÉTODO DEL DISCO

• El volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región R sobre el eje x, está dado por:

• Cuando el eje de rotación es el eje y, y la región que está girando entre el eje y, y una curva x= g(y) entre y= c y y=d, el volumen del sólido de revolución está dado por:

MÉTODO DE WASHER O DE ARANDELAS

• Se asume que 0 ≤ g (x) ≤ f (x) para a ≤ x ≤ b. Se considera la región x=a y x=b que queda entre y= g(x) y y= f(x). Entonces el volumen V del sólido de revolución obtenido al girar está región sobre el eje x, está dado por:

• De forma análoga se cumple cuando la región queda entre dos curvas x= f(y) y x=g(y), entre y= c y y=d, gira en torno del eje y. Se asume que 0 ≤ g (y) ≤ f (y) para c ≤ x ≤ d.

MÉTODO DE CAPAS CILÍNDRICAS

• Se considera el sólido de revolución obtenido al girar en torno del eje y, y la región R en el primer cuadrante entre el eje x y la curva y=f(x), que queda entre x=a y x=b gira en torno al eje y. El volumen del sólido está dado por:

• Una fórmula similar se cumple cuando los papeles de x y y se invierten, es decir la región R en el primer cuadrante entre el eje y y la curva x= f(x), que queda entre y=c y y=d, gira en tono del eje x.

• DIFERENCIA DE LA FÓRMULA DE CAPAS:Se asume que 0 ≤ g (x) ≤ f (x) en un intervalo [a, b] con a ≥ 0 . Sea la región R del primer cuadrante que está entre las curvas y= g(x) y y= f(x) para x=a y x=b. Entonces el volumen V del sólido de revolución obtenido al girar R en torno al eje y, está dado por:

Sea la región R del primer cuadrante que está entre las curvas x= g(y) y x= f(y) para y=c y y=d. Entonces el volumen V del sólido de revolución obtenido al girar R en torno al eje x, está dado por:

MÉTODO DE LAS TAJADAS

• Se asume que un sólido queda completamente entre el plano perpendicular al eje x en x=a y el plano perpendicular al eje x en x= b. Para cada x tal que a ≤ x ≤ b.

• Se asume que el plano perpendicular al eje x en dicho valor de x corta el sólido en una región de área A(x). Entonces el volumen del sólido está dado por: