1

MATRICES

2

Zapatos Carteras Correas

Mano de obra: 5 3 2

Material 6 2 1

Introducción En una fábrica se producen zapatos, carteras y correas, siendo los costos de mano de obra y material los que se indican en la siguiente tabla:

COSTOS DE FABRICACIÓN (en $)

3

MATRICES

Definición.- Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en filas (líneas horizontales) y columnas (líneas verticales), encerrados entre corchetes o paréntesis.

Para representar a una matriz se utilizan letras mayúsculas.

4

1

2

0

5

3

AEjemplo: Es una matriz de 3 filas y 2 columnas

ORDEN DE UNA MATRIZ

El orden de una matriz se representa como: m x n, donde “m” es el número de filas y “n” el número de columnas.

Para el ejemplo anterior A es una matriz de 3 x 2

4

REPRESENTACIÓN GENERAL DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n

nxmmnmm

n

n

a...aa.

.

.

.a...aa

a...aa

A

21

22221

11211 Donde:

aij : es el elemento o entrada

general ubicado en la fila “i” , columna j

REPRESENTACIÓN ABREVIADA DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n

A = [ aij ]m x n

Donde:

aij : es el elemento o entrada general

i = 1, 2, 3, ….., m

j = 1, 2, 3, ….., n

5

Matriz fila o Vector fila

Es una matriz que tiene sólo una fila

Ejemplo: B = [ 3 -2 5 6 1 ]1 x 4

Matriz columna o Vector columna

Es una matriz que tiene sólo una columna

Ejemplo:

131

0

2

x

C

6

Construcción de una Matriz

Construir una matriz de 2x3 con la siguiente información:

a21 = -6

a12 = 4

a11 = 0

a23 = 1

a13 = -2

a22 = 5

A

Fila 1

Fila 2

Col. 1 Col. 2 Col. 3

-6

40

1

-2

5

Solución:

7

Construcción de una Matriz

Construir la siguiente matriz:

A = [ aij ]2x3 tal que:

jiSi,ji

jiSi,jiaij

2

2

A

a11 =

a12 =

a13 =

a21 =

a22 =

a23 =

Solución:

Col. 1 Col. 2 Col. 3

Fila 1

Fila 2

1

3/2

2

3/2

2

5/2

1 3/2 2

3/2 2 5/2

8

IGUALDAD DE MATRICES

Definición.- Las matrices A=[aij] y B=[bij] son iguales si y sólo si tienen

el mismo orden, además aij = bij para cada i y cada j (esto es,

entradas correspondientes iguales)

54

31

52

1

y

x 23 yx

2340

31

52

x

A

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

Definición.- La transpuesta de una matriz de orden m x n se denota AT, es la matriz de orden n x m cuya i-ésima columna es la i-ésima fila de A

32435

012

x

TA

PROPIEDAD: (AT)T = A

Ejemplo:

Ejemplo:

9

MATRICES ESPECIALES

Matriz Nula o Matriz Cero.- Es una matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero. Se denota por O.

430000

0000

0000

x

O

Ejemplo:

Matriz Cuadrada.- Es una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas,

Es una matriz nula de orden 3x4

se denota así: O 3x4

Ejemplo:

672

014

523

A Es una matriz cuadrada de orden 3

Diagonal principal

10

MATRICES ESPECIALES

Matriz Diagonal.- Una matriz cuadrada A es llamada matriz diagonal si todos los elementos que se encuentran fuera de la diagonal principal son cero, es decir: aij = 0 para todo i ≠ j

Ejemplos:

500

010

002

A Matriz diagonal de orden 3

7000

0000

0050

0003

B Matriz diagonal de orden 4

11

Matriz Triangular superior.- Una matriz cuadrada A es llamada matriz triangular superior si todos los elementos que se encuentran debajo de la diagonal principal son cero, es decir: aij = 0 para todo i > j.

Ejemplo:

300

150

941

A

Matriz Triangular inferior.- Una matriz cuadrada A es llamada matriz triangular inferior si todos los elementos que se encuentran arriba de la diagonal principal son cero, es decir: aij = 0 para todo i < j.

Ejemplo:

7863

0129

0057

0003

B

12

OPERACIONES CON MATRICES

Considere que un comerciante de vehículos vende dos modelos: Deluxe y Super. Cada uno está disponible en dos colores, rojo y azul. Suponga que las ventas de enero y febrero están representadas por las matrices de ventas:

53

21E

Deluxe Super

Rojo

Azul

24

13F

Deluxe Super

Rojo

Azul

Si queremos las ventas totales para cada modelo y color durante los dos meses, ¿Qué operación debemos hacer y cómo?

Resultado:

77

34V

Deluxe Super

Rojo

Azul

13

SUMA DE MATRICES

Definición.- Si A=[aij] y B=[bij] son matrices de orden m x n, entonces

la suma A+B es la matriz de orden m x n que se obtiene sumando los correspondientes elementos de A y B, es decir:

A+B =[aij + bij]mxn

Ejemplos:

2x32x312

52

87

810

50

32

2x3712

02

55

89

31

92

43

15 No está definida ya que las matrices son de diferente orden

14

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES

1. A + B = B + A (propiedad conmutativa)

2. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)

3. A + O = O + A = A (propiedad del neutro aditivo)

Si A, B y C son matrices del mismo orden, entonces:

15

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

Definición.- Si A es una matriz de orden m x n y k es un número real (también llamado escalar), entonces kA es una matriz de orden m x n que se obtiene multiplicando cada elemento de A por k, es decir:

kA =[ kaij ]mxn

Ejemplo:

704

1532

1408

2106

16

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

1. k(A + B) = kA + kB

2. (k1 + k2)A = k1A + k2A

3. k1(k2A) = (k1k2)A

4. 0A = O

5. kO = O

PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA

1. (A + B)T = AT + BT

2. (kA)T = kAT