La matemtica expulsada de la ,escuela 1 David Block y Martha Dvila Departamento de Investigaciones Educativas. ClNVESTAVIPN

..t~ 1

I Tomado de Educacin Matemtica (3). va) 5. Mxico, 1993.

2 Ferreiro, E., Fuenlabrada, 1. (responsables). Nemirovsky, M. (coordinacin). Nemirovsky, M., Block, D., Dvila, M. (equipo de investigacin), Proyecto de Investigacin: Conceptualizaciones matemticas en adultos no alfabetizados, DIE-CINVESTAV-IPN, 1987.

Las matemticas de Margarita

Margarita es una mujer alta, fornida, morena, de pelo corto, negro y ondulado, ojos oscuros, y su s~rnblante se ve demacrado, Tiene 37 aos, es casada y ha tenido 10 hijos cuyas edades oscilan entre los 8 y los 22 aos. Ha trabajado desde muy joven en los quehaceres domsticos, lavando y planchando ajeno. Nunca fue a la escuela, no sabe leer ni escribir, y slo conoce la representacin de los nmeros del 1 al 10.

Ella es uno de los adultos que fueron entrevistados en el Proyecto de Investigacin Conceptualizaciones matemticas de adultos no alfabetizados 2 que se llev a cabo en el Departamento de Investigaciones Educativas, en el ao de 1987.

Durante la entrevista, Margarita proporcion algunos datos que se utilizaron para plantearle problemas matemticos que resolvi acertadamente, aunque en varias ocasiones coment no saber nada: "Es que yo no s nada, no puedo".

Veamos cmo se desempea Margarita frente a algunos de los problemas que se le plantean:

Entrevistador: "Cunto vale ahorita el camin?" (refirindose a lo que cobran por el trayecto en el autobs). Margarita: "Pues ahorita estn cobrando veinte pesos". Entrevistador: "5i yo le dijera que me gast quinientos cuarenta pesos en camiones a lo largo de todo el . mes, usted podra saber cuntas veces us el camin?" M.: "5r'. E.: "Cmo?". M.: "Bueno, pues haciendo la cuenta".

7

E.: "Cmo?"

M.: "Quinientos qu, me do?"

E.: "Me gast quinientos cuarenta pesos durante el

mes, en viajes de veinte pesos. Usted, a partir de esto,

podra adivinar cuntas veces me sub a un camin?"

M.: (Se queda pensati va, tiene las manos sobre las

piernas, suelta la risa y dice): "se subi veintisiete veces

al camin".

E.: "Ahora, me puede platicar cmo le hizo?"

M.: "Bueno pues, es que si cobran veinte pesos, cien

pesos tiene cinco veintes, con cien pesos se sube cinco

veces, no?"

E.: "Aj". M.: "Entonces, si se sube diez veces son doscientos, si se sube quince veces son trescientos (se re) si se sube veinte veces son cuatrocientos pesos y si se sube veinticinco veces son quinientos pesos (se riel y sobran otros dos veintes, son veintisiete veces"(se re divertida).

En la resolucin de este problema cabe destacar, por un lado, '" la claridad muy particular en Margarita para explicitar los procediO mientas que sigui para llegar a los resultados de los problemas

(en general. esta claridad no se dio con todos los sujetos que se entrevistaron). y por otro lado, la habilidad que demostr en el manejo de algunos elementos matemticos, de manera implcita, en los procedimientos que utiliz para resolver los problemas.

En este caso, el problema que se le plante, poda resolverse con la divisin (540 ~ 20). Margarita, para resolverlo, hace lo siguiente:

Reduce el problema a 1 00 ~ 20. Subyace una descomposicin del dividendo:

540 = 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 20 + 20 Resuelve la divisin 1 00 ~ 20, buscando cuntas veces cabe el

20 en 100: 100 = 20 + 20 + 20 + 20 + 20

Encuentra que el 20 cabe 5 veces en el 100. Posteriormente, se puede apreciar en su explicacin el manejo

de la relacin proporcional entre las veces que se usa el autobs y el costo:

Fue necesario que Margarita llevara mentalmente una doble cuenta: por un lado, el nmero de veces que se suba al camin, y por otro, la suma de los cientos de pesos gastados.

8 Le c t u 7 -- a s

~.

Veces 5

10 15 20 25 1 1

Total 27

Pesos 100 200 300

1400 i500

20 20

540

L

Si se desea describir el procedimiento de Margarita con una propiedad formal de la divisin, puede destacarse que, implcitamente, aplica la propiedad distributiva de la divisin con respecto a la suma:

540 + 20 =(100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 20 + 20) + 20 = (100 + 20) + (100 + 20) + (100 + 20) + (100 + 20) I + (100 + 20) + (20 + 20) + (20 + 20) j

Esta misma propiedad sustenta, junto con otras propiedades, nuestro algoritmo de la divisin.

Dos concepciones de lo que es hacer matemticas

Veamos cmo resuelve el siguiente problema una nia de 4 grado de primaria:

7atia 4~ e fJ9 2 ~ de ~. &.,. et ttt.-~ 9-. 69~. ~ to4~ 9-. e41- et jtJUHu7t ~. ~~%3~.~ ~ 9-. e41- et jtJUHu7t ~7

2 69 %3 lS4

f lS4

Tala no relaciona los datos de manera adecuada, sino que aplica la suma sin entender de qu se trata el problema, usa todos los datos que aparecen en el texto, sin discriminar aqullos que no le sirven para resolverlo. Utiliza las operaciones que la escuela le ha enseado pero sin echar a andar su capacidad de razonamiento. Tampoco hace uso de los recursos propios que le sirven fuera de la escuela para res olver situaciones an ms difciles.

Estos ejemplos, aunque extremos, expresan de manera muy viva un hecho inquietante: nuestros alumnos no logran resolver satisfactoriamente los problemas, aunque conozcan las mecanizaciones, mientras que las personas que no fueron nunca a la escuela, que no saben escribir ni conocen los nmeros escritos, mayores que 10, han desarrollado una capacidad sorprendente para resolver problemas aritmticos y geomtricos que tienen que ver con su vida diaria.

NlATENlT1C~S 9

Frente a esto surge una primera pregunta: lo que hace Margarita para resolver problemas, son matemticas? Si por saber matemticas entendemos slo conocer el lenguaje convencional y los algoritmos cannicos (es decir, los procedimientos usuales para resolver las operaciones), es cierto que Margarita no sabe. Pero si, atendiendo a los objetivos sealados Como prioritarios en la enseanza escolar, definimos "saber matemticas" como tener la capacidad de usar flexiblemente herramientas matemticas para resolver los problemas que se nos presentan en nuestra vida, ivaya que Margarita s sabe matemticas! Segn esta misma definicin, nuestros alumnos egresados de primaria quiz no quedaran tan bien parados.

Est en juego aqu, entonces, nuestra concepcin de qu son las matemticas: un conjunto de contenidos definidos formalmente o una capacidad, una manera de actuar, de proceder frente a diversos problemas.

Creemos que, sin desatender la necesidad de COnocer las herramientas matemticas que la humanidad ha creado a lo largo de la historia para resolver problemas, es fundamental que analicemos nuestra concepcin de lo que es saber matemtca's,

I

de la formacin histrica de las concepciones de "saber matemtico" es una importante tarea pendiente 3

Por otro lado, sabemos tambin que el mejoramiento de la enseanza en el saln de clases no depende de un solo factor. Adems de las concepciones sobre el contenido, acerca de el aprendizaje y sobre la enseanza, hay numerosos factores que influyen, presionan, limitan o posibilitan el trabajo de los maestros (tiempos disponibles para la enseanza, programas escolares, exmenes externos, expectativas de los padres de familia, condiciones laborales de los maestros ... l.

En este artculo, trataremos de mostrar nicamente cmo el desarrollo de nuestros alumnos y sus producciones en matemticas, se pueden ver sumamente favorecidos cuando se les mira a partir de otra concepcin de lo que es hacer matemticas. Empecemos por distinguir dos problemas:

a) Por qu nuestros alumnos son poco creativos en el uso de herramientas matemticas? Desde nuestro punto de vista, uno de los motivos importantes e.s,

, simplemente, porque no se los permitimos. En las clases de mateiJ\ mticas, aun en las clases de problemas, en general se tiene la ~ expectativa de que las cosas se hagan de un modo nico, de

la manera que se convino es la "matemtica", que incluye la aplicacin de operaciones y frmulas. No se da cabida a otros recursos matemticos, a aquellos procesos de matematizacin que los mismos nios hacen y que se expresan verbalmente o por escrito, en un lenguaje informal como el de las matemticas de Margarita.

En un Proyecto de Formacin de Maestros4, se analizaron varios problemas resueltos por nios escolarizados, con procedimientos no convencionales. Veamos un ejemplo de las evaluaciones que se hicieron al principio:

Problema 2 Ramn, 4 grado En la granja de Menelao hay conejos y gallinas; cuando Menelao

cuenta las cabezas de sus animales llega hasta 20: si cuenta las patas encuentra que hay 56. Cuntos conejos y cuntas gallinas tiene Menelao?

~ {{~ ~{1s1~199~?1q99 c??9? ~ 8 el\> n Q1 05' I?- 5n.H.. ;no.

dividir. Por otro lado, nunca se da un espacio en el que los alumnos desarrollen por s mismos procedimientos de resolucin informales, previamente a la enseanza del algoritmo, de tal forma que el algoritmo no es para ellos una herramienta que evita esfuerzos, ahorra tiempo, etctera. Un algoritmo es una forma de resolver una operacin, pero la

variedad de prcblemas que se resuelven con una operacin puede ser muy grande. Aun cuando ya se identifican algunos problemas que se resuelven con cierta operacin, reconocer que otros se resuelven tambin con ella no es nada inmediato. Implica un proceso en el que, durante un tiempo, se ponen en juego nuevamente procesos informales hasta que ms adelante se descubre que aquella operacin los resuelve. Cuando esto sucede, se ha enriquecido el significado que tal operacin tiene para el alumno. La resta, por ejemplo, permite resolver - entre otros - pro

blemas en los que se quita una cantidad a otra, o aquellos en los que se desea conocer la diferencia entre dos cantidades. Estos dos tipos de problemas tienen una estructura semntica muy distinta, aunque nosotros, adultos, los vemos similares porque ya sabemos que ambos se resuelven con resta.

An cuando los alumnos ya hayan aprendido que los problemas de J "quitar" se resuelven con resta, suelen tardar ms en aprender que CI\ los problemas de "diferencia" tambin se resuelven con resta. u-J Y cmo lo aprenden? Justamente resolviendo estos proble, mas con recursos informales, es decir, sin usar la resta convencio

nal. Poco a poco, los alumnos mismos identifican las relaciones comunes a ambos tipos de problemas, lo que les permite ver que la resta resuelve tambin los problemas de diferencia.

Si los alumnos han aprendido que los procedimientos informales noson vlidos,consecuentemente ya no los usan y por lo tanto, cuando se enfrentan a los muy numerosos problemas en los que todava no logran identificar " la operacin" con la que "se deben" resolver, recurren al descifrado de pistas (dadas por el maestro o por el texto mismo), o bien, a la seleccin al azar.

Una de las profesoras que particip en el proyecto de formacin de maestros antes citado, plante a sus alumnos de 3er. grado (42 nios) un problema de diferencia, adviertindoles que lo podan resolver como ellosfquisieran. El problema era el siguiente:

,

"Chayo est juntando revistas usadas para luego llevarlas a vender. Quera juntar 10 y apenas tiene 34. Cuntas revistas necesita para completar la?

14 L e e , . u .~ a s

-._

De las 42 resoluciones de los alumnos, en seis no se supo lo que hicieron para resolver el problema . Slo haban anotado el resultado, algunos correcto y otros no. Diecisiete nios lo resolvieron con resta, obteniendo el resultado correcto.

Cinco nios intentaron resolverlo con la resta, pero no lo lograron ya que no supieron cul era el minuendo, o se equivocaron al restar.

iPl.-=---=="""'.,......,,:::E:;;;O:::=;_...;;;;-;........-==-..............,,'1

i)o.+as Opel'\). ~\Q" R~\h:,.d~) 31\ 3't 14 10 -to -:J.- -101(1) ~)L\ "lG Te",.sf~

I o'l 10'1 U

(2)DuJos p~""'c:..c., R

Al ver estos resultados, los participantes en el taller se mostraron, en general, desalentados:

"."No saben leer". "Todos tienen la idea o ser que ' no saben hacer operaciones". "Es que la mayora est en la calle de la amargura ... n "Yo slo pasaba a los 17que restaron convencionalmente". Estn mal, "porque se supone que ya se les dio el concepto de la resta, ya saben qu es la diferencia, se supone que ya saben porque han practicado en segundo ao con problemas bien sencillos y ya saben cmo hacerla, colocar el mayor arriba porque es al mayor al que se le va a quitar, y son nios de tercer ao los que lo hicieron, ya deberan de saber".

'Tienen una resolucin muylnfantil porque usan los

dedos, y aqu siguen en esta etapa ... "

"Para estar en tercer ao los nios no deberan de trabajar de esa manera; lo que les faIJa a estos nios es usar nmeros ... "

Estos comentarios expresan de manera clara la expectativa, con respecto a la resolucin de problemas, de que los alumnos

tJt utilicen desde el primer momento " la operacin" que los resuelve. .z:: Se considera que los que llegaron al resultado corr,3cto a travs de ,

procedimientos no convencionales estn atrasados en su aprendizaje. Se subvalora el hecho de que esos nios hicieron un razonamiento adecuado para resolver el problema, relacionaron los datos correctamente, y que los procedimientos informales que utilizaron son una parte del proceso que los llevara, ms adelante, a aplicar un algoritmo. Seguramente, si se les hubiera limitado a usar "la operacin", estos nios no hubieran logrado llegar a ningn resultado, o bien, hubieran dado uno sin relacin con el problema.

El valor de los procedimientos

informales. Algunos ejemplos

En el proyecto de investigacin sobre formacin de maestros antes mencionado, se solicit a los maestros que aplicaran a sus alumnos un problema que no les hubieran enseado a resolver, con el objeto de que stos se vieran en la necesidad de echar mano de sus propios recursos para su resolucin.

16 L e e t u r a s

Una maestra de 1 ero grado coment ante esta peticin, que a los nios de 10 no se les poda poner todava problemas porque an no tenan el concepto de nmero, y que todava no podan identificar los nmeros del 1 al 10, puesto que apenas se iniciaba el ao escolar.

Finalmente, por insistencia de los coordinadores, la maestra accedi a poner a sus alumnos un problema de compras. Veamos algunos fragmentos del desarrollo de la clase:

Maestra: "Vamos a guardar todo lo que tenemos en la mesa (repite varias veces), los brazos cruzados". (Ayuda a varios nios a acomodar sus sillas), "Vamos a platicar de cmo debemos hacer al comprar, fjense para que sepan comprar y no los hagan tontos". (Pregunta algo acerca de lo que necesitan saber para poder comprar). Ah.amll1o: "Debemos saber multiplicar y comprar" (los nios platican y hacen mucho ruido).

(::.) M.: "Quin trae dinero para comprar en el recreo?" A.: (Algunos nios sacan su dinero, otros levantan la mano. Todos hablan). M.: "El que quiera que yo lo escuche necesita levantar el dedo, debemos aprender a escuchar y respetar a los nios que estn hablando". A.: (Levantan la manos). M .: "Ricardo, cunto dinero tienes?"

Ricard1o: "Una moneda de cien y ... " (tiene otra moneda en

las manos, parece que desconoce su denominacin).

M.: (Se acerca, toma la moneda que Ricardo no identifica

y la muestra al grupo) "Esta moneda de cunto es?,

esta moneda cunto vale?"

A.: (A coro responden) "iDe doscientos!"

1M.: "Doscientos y cien cunto es?"

A.: ... (A coro) "iTrescientos!"

ADaamll1a: (Una nia se acerca a la maestra y le ensea su

dinero).

M.: (Ve el dinero que le muestra la nia) "Vamos a ver

cunto trae su compaera, ella tiene dos monedas de a

cien. Cunto es?"

Alumnos: (A coro) "iDoscientos!"

M.: "Dos monedas de a cincuenta, cunto es?"

A.: (Contestan inmediatamente a coro) "iCien!"

(.. .)

M_~ T E M TOCAS 17

La maestra in ici la clase de problemas utilizando como material el dinero que los mismos nios llevan a la escuela. Las primeras preguntas que les hace implican sumar 200 + 100; 50 + 50 Y 100 + 100. nmeros redondos mucho mayores que 10. Las respuestas de los nios son acertadas. no tienen ninguna dificultad para obtener el resultado.

Maestra: (\la con otra nia, ve el dinero que tiene y

pregunta al grupo): "Si ella tiene trescientos pesos y

quince pesos, cunto es?"

Alumnos: (La mayora) "iTrescientos quince!'(Algunos

nios cuentan su dinero).

M.: (Toma una moneda de quinientos de una nia, la

muestra al grupo y pregunta): "ESta moneda de cunto

es?"

A.: (A coro) ''Quinientos pesos!"

M.: "Lety trae quinientos pesos, qu va a comprar?"

(pregunta a la nia, hablndole de usted).

Lety: "Un chocolate".

M.: (Pregunta al grupo): "Aqu en la escuela venden

chocolates?"

A.: (A coro) ',siiii!, en la cooperativa".

U'l M.: 'A cmo son los chocolates?" V) Alumno: "A cien pesos".

(oo.) M.: "Cuntos chocolates va a comprar?" (pregunta a

Lety).

Lety: "Tres chocolates".

M.: "Si Lety va a comprar tres chocolates, cunto le

van a tener que dar de cambio? .... Los chocolates cues

tan cien pesos. Cuntas monedas de cien le van a

regresar?"

Lety: (No contesta).

M.: (Comenta a Lety que la van a hacer tonta al

comprar. Pregunta a otra nia): "Elena, cunto le van a

dar de cambio?"

Elena: "Doscientos pesos".

(oo.)

Observemos que la maestra ha complejizado las preguntas, las

operaciones implicadas ahora son:

300 + 15 =315 Y500 - (100 x 3) =200; 200 -;- 100 =2

18 Le c ' "r u -

a s

L

Aunque Elena no llega a contestar cuntas monedas de a cien le van a devolver, el resultado que da es correcto.

(oo.) Erika plantea que quiere comprar un "boing".

M.: "Cunto cuesta el boing?"

. . A.: (Algunos contestan) "Dan dos por quinientos pesos". M.: "Si le dan dos boings por quinientos pesos, cunto cuesta cada uno?" Ricardo: "Doscientos cincuenta pesos". Alumna: (Se acerca r la maestra y le muestra su dinero). M.: (Ve el dinero de la nia y dice al grupo) "Aqu son doscientos cincuenta pesos, si Claudia compra un boing cunto le queda?"A.: (A coro) "iNada!" Alumno: (Se acerca a la maestra y le ensea su dinero), M.: (Cuenta el dinero que le muestra el nio en voz alta y dice):. "Tiene quinientos pesos. Qu va a comprar?" (pregunta al ni.o hablndole de usted). Alumno: "Un boing". M.: (Pregunta al grupo) "Le va a quedar dinero o no? Va a pagar doscientos cincuenta pesos del bOing y le quedan.. ," (Espera que los alumnos respondan). A.: (La mayora a coro) "Doscientos cincuenta pesos",

En esta ocasin la maestra plante otros tres problemas que implicaban hacer divisin (500 entre 2), resta (250 - 250 y 500 - 250). Como podemos ver. los alumnos de primer ao pudieron resolver los problemas echando mano de los conocimientos adquiridos en la vida cotidiana; demuestran conocer el valor de varias monedas. leen cantidades formadas con monedas de $50. $100 y $200. conocen los costos de los productos que se venden en la escuela y a travs de clculos mentales suman, restan y dividen aun cuando en la escuela no se les ha enseado a hacerlo. No es impresionante?

Sin embargo, despus de esta experiencia. la maestra continu enseando a sus alumnos los nmeros y las igualdades 5 =4 + 1. tal como lo haba venido haciendo.

Plantear situaciones como la anterior en la escuela implica cambios profundos. Necesitamos primero reconocer que los alum

;iiiAXEMA.TIC)!.-S ' 19

nos han aprendido "cosas" fuera de la escuela que nosotros no les hemos enseado y, sobre todo, reconocer en esas "cosas" saberes matemticos. Despus, necesitamos encontrar formas de propiciar que esos saberes de los alumnos evolucionen hacia conocimientos ms formales. Esto tampoco es fci l, implica una tarea ardua para los maestros y los investigadores.

Veamos ahora cm o enf renta un grupo de alumnos de 6 grado un tpico problema de geomet ra ; ca lcular el rea de un trapecio .5 '

El maestro entreg a los alumnos una hoja en la que vena dibujado un trapecio como el que se muestra a la derecha y les pidi que calcularan el rea,

Maestro: "Voy a entregarles esta ficha para que trabajemos en el tem.a de medicin .. .. "

(TRABAJO INDIVIDUAL DE LOS ALUMN OS) M.: En la confrontacin pide a sus alumnos expliquen los proced imientos que utilizaron para resolver el problema planteado. Paui: "Primero divid la figura en un cuadrado 'y un tringulo, as que busqu un ngulo recto, as: (muestra ~I dibujo (2) ). Como era un cuadrado, hice cuatro

I por cuatro igual a diecisis, luego, para sacar el rea ti' del tringulo vi que meda dos de base y cuatro de

altura y tena que ser base por altura sobre dos, o sea", dos por cuatro entre dos igual a cuatro, luego sum

. las dos reas: diecisis ms cuatro, igual a veinte centmetros cuadrados".

,~L\ ~ II -;:./, :tri+ \fO~)('+:::.~ ~ocrn':l M.: "Ah, en ese procedimiento, hubo una frmula para

calcular el rea de toda la figura? Quiero decir que

primero us base por altura para calcular la del cuadra

do, y base poraltur sobre dos para la del tringulo. Pero,

y para toda la figura ?"

Pablo: "No, mira yo tengo otro procedimiento ".

Oswaldo: "Y yo tambin".

M.: "A ver Oswaldo".

20 3... e e 1: u a s

\4cm~1 , 6cm

(2) 4

4 4

4

5 Saiz, 1. (respensablel. Alvarez. Ma. C.. Balbuena, H .. Dominguez. R. lequipo de investigacin), Proyecto de Invest igacin: Un programa experimental de matemticas en la escuela primaria. Financiado parcialmente por CNACYT, DIECINVESTAV-IPN. Mxico. 1984.

Oswaldo: "Yo hice otro tringulo, as (muest ra lo . siguiente) :

:2 1Wb X -

L-I Oj. Jj 34cm : ~' 0-:

. I - ~ \{ J.O ",",~

1.06cm ---

y luego hice seis por cuatro igual a veinticuatro, pero le

quit-el pedazo imaginario que eran dos por cuatro igual

a ocho, entre dos, igual a cuatro. Luego hice veinticuatro

menos cuatro, igual a veinte centmetros cuadrados".

M.: "Bueno, es otro procedimiento".

Pablo: "Yo tengo otro, ve (muestra lo siguiente)":

5 x. L-j4cm --10 e"'"'l..

6cm ~ "As ya nos queda un rectngulo y hacemos base por

altura o sea cinco por cuatro. igual a veinte centmetros

cuadrados".

M.: "Bueno, es otro. Alguien tiene otro ms?"

Valentina: "Yo me fij que haba un cuadrado de cuatro

centmetros, lo divid a la mitad en dos rectngulos de

cuatro por dos, luego hice (muestra cuatro tringulos que

obtuvo de los dos rectngulos de la siguiente forma) ":

&, ~ 24 4cml \

p-\ b\2LI

- Y I \ I \ O -Yi 1

R: 2D c.~

MATEMATICAS . 21

"Entonces hice base por altura menos un sexto de base por altura".

Qu hay detrs de esta creatividad, de esta capacidad de buscar soluciones a un problema:; Que los alumnos an no disponen de una frmula para sacar el

rea del trapecio. Que saben que su maestro noespera de ellos que apliquen una

frmula especfica . Saben que apreciar las distintas maneras en que logran resolver el problema.

Estos alumnos pertenecen a un grupo experimental que, durante los cinco aos que llevan en la escuela, se han habituado a enfrentar problemas sin enseanza previa ya perfeccionar poco a poco sus propios procesos de solucin. Se han tardado ms que otros nios en conocer el lenguaje formal de las matemticas, as como los algoritmos y las frmulas, pero han desarrollado una actitud, una disposicin creativa y de bsqueda frente a problemas. Como ltimo ejemplo, mostraremos un fragmento de una clase

de fracciones6, en un grupo de alumnos de primer ao. Lo que quisiramos destacar esta vez es otro aspecto de las matemticas tradicionalmente desterradas de la escuela. Se dice que J esta disciplina plantea verdades que no admiten discusin. O\J1 alguien pensara que puede discutirse si 1/2 es igual a 2/47 iI La maestra pidi a los nios que realizaran, como ellos quiI sieran, el siguiente reparto : 1 pastel entre 2 nios. El pastel estaba representado por una hoja de papel tamao ca rta . En el grupo se generaron los siguientes tipos de reparto:

R.. ~rto b pO i pQ.stel

22 L e B S

..

6 Dvila. M., Situaciones de reparto: una introduccin a las fracciones. Tesis de Ucenciatura. Universidad Pedaggica Nacional. Mxico. 1991 .

Una vez que los nios demostraron cmo haban hecho su reparto, se pegaron en el pizarrn los pedazos que les tocaron a cada uno de los nios, con los dos tipos de reparto que se haban generado:

I/ird "fa Ha';/ [J 00

Maestra: "Les toc igual a los dos equipos? A Ral ya

Virginia les toc igualito de pastel?"

Observador: La mayora de los nios gritan que le toc

m~ a.Ral.

Antonio: "No, no. No tienen lo mismo".

M.: ':.4 ver Antonio. Por qu no les toc igual?"

Antonio: "Porque Ral tiene dos (pedazos) y Virginia uno

(un pedazo)".

Erika: "Les toc lo mismo, slo que lo cortaron a la mitad

y salieron dos pedazos".

Nios: (Algunos gritan) "Les toc lo mismo" (otros

gritan) "No, tiene ms el que tiene dos pedazos". 'Tiene

menos Virginia".

M.: (Pregunta a Erika): "Cmo podemos saber si les toc

lo mismo?"

Erika: "Porque tenan la hoja y luego la partieron, y tienen

ms chiquitos, pero es lo mismo".

Observador: El grupo se queda un momento en silencio.

M.: "Si Ral se come estos dos pedazos(2/ 4) Y Virginia ste

(l /2) se comen lo mismo?"

N.: (Algunos) "Si, se comen lo mismo" (otros gritan):

"No, Ral va a comer ms paste/". "S, porque tiene dos

pedazos".

M.: (Pregunta a los nios que dicen que s se comen lo

mismo): "Seguros que se comen lo mismo?" .

Antonio: "Sr' (anteriormente haba dicho que tena ms

el que tena dos pedazos).

M.: ''Cmo podremos estar seguros de que es lo mismo?"

Erika: "Porque estos dos (seala 2/4) es igual a ste

MArEM,fT1C.I!.S .' 23

(seala 1/2).

M.: "Fjense lo que dice Erika: dice que stos (seala 2/4),

es lo mismo que ste (seala 1/2). Estar bien?"

N.: (Algunos dicen): "El que tiene dos (pedazos). tiene

ms", (otros dicen): "Es lo mismo". (P,lgunos de estos nios

lo dicen muy convencidos y otros como dudando).

Erika: (Corre al pizarrn, toma los dos cuartos y los

sobrepone sobre el medio diciendo): "Es lo mismo nada

ms que estn ms chiquitos".

Posteriormente, se le entreg a cada equipo lo que le haba tocado a cada uno de los nios, para que buscaran la forma de demostrar a sus compaeros sus hiptesis. Erika fue la nica en esta sesin que. a travs del material, demostr la equivalencia de los repartos. recortando y superponiendo los pedazos. Los dems no se convencieron con esta demostracin; estaban convencidos que dos pedazos eran ms que uno. sin tomar en cuenta el tamao y la forma de los mismos.

La discusin, el debate, la formulacin de hiptesis y la necesidad de probar o refutar, estn fuera de las prcticas matemticas escolares.

Si la matemtica es una coleccin de relaciones formales y tJl establecidas, no hay lugar a discutir; cuando mucho, slo a 00 preguntar o a equivocarse. Pero si matemticas son tambin las

ideas y producciones de los alumnos, generadas a raz de un problema, entonces puede haber lugar al debate y a la demostracin. En ese debate, y en los intentos de probar y refutar, los alumnos aprenden a explicitar sus ideas, socializan sus hallazgos y se forman, poco a poco, en el arte de demostrar.

En el ejemplo anterior, la clave estuvo en plantear un problema a los nios adecuado a su nivel. lo que implic, por supuesto, no plantearlo en trminos simblicos y, como en los otros casos, en hacer sentir a los nios que lo que importa es que hagan y digan lo que el/os creen que deben hacer y decir.

Consideramos que una de las causas importantes de las dificultades que numerosos alumnos padecen en nuestras clases de matemticas, est en nuestra concepcin misma de lo que son las matemticas y de cmo se aprenden. Nuestra vis in de las matemticas, como lenguaje formal y reglas sintcticas, ha expulsado de la escuela y de lo que aceptamos como saber legtimo, a la matemtica informal. Junto con ella, han salido de la escuela los procesos que en ella cristalizan: la capacidad de pensar matem

24 fLecil u ras

ticamente, de buscar soluciones a los problemas. y de inventar procedimientos de solucin.

Tal expulsin se ha revertido contra nosotros. Ahora empezamos a comprender que esa matemtica de las personas, de los alumnos, tambin es una base a partir de la cual puede accederse a la matemtica ms formal, y constituye una parta importante del sentido que tendrn. para los alumnos, los algoritmos que les enseamos.

Referencias biblcgrficas Algunos trabajos de investigacin que, desde distintas perspectivas,

estudian un acercamiento a la enseanza de las matemticas a partir

de la' problematizacin son:

Balbuena, H., Anlisis de una secuencia didctica para la enseanza

de la suma de fracciones en la escuela primaria, Tesis de maestra, SecCin de Matemtica Educa;tiva, CINVESTAV-I PN, Mxico, 1988.

Bishop, A., Mathematical in culturation. A cultural perspective on mathematics education, Clumer Academia Publishers, Netherlands, Holanda, 1988.

Block, D., Estudio didctico sobre la enseanza y el aprendizaje de la nocin de fraccin en la escuela primaria, Tesis de maestra, Departamento de Investigaciones Educativas, CINVESTAV-IPN, Mxico, 1987.

Brousseau, G., "Problmes de didactique des dcimaux", en Recherches en didactique des mathematICues, vol. 21, Francia, 1981.

Dvl la, M., Situaciones de reparto: una introduccin a las fracciones. Tesis de licenciatura, SEP-UPN, Mxico, 1991.

Freudenthal, H., Didactical phenomenology of mathematical structures, Reidel, The Netherlands, Holanda, 1983.

Fuenlabrada, Irma., e Irma Saiz, Sistemas de numeracin, suma y resta. Un estudio experimental, Tesis de maestra, Seccin de Matemtica Educativa, CINVESTAV-IPN, Mxico, 1981 .

Glvez, G., El aprendizaje de la orientaCin en el espacio urbano. Una proposicin para la enseanza de la geometra en la escuela primaria, Tesis de doctorado, Departamento de Investigaciones Educativas, CINVESTAV-IPN, Mxico, 1985.

Gravemeijer, K. y otros, "Contexts Free Productions. Tests and Geometry" en Realistic Mathematics Education, Research Group for Mathematical Education and Educational Computer Center, Universidad del Estado de Utrecht, The Netherlands, Holanda, 1990.

Vergnaud, G., El nio, la matemtica y la reaildaci, Trillas, Mxico, 1991.

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