Fernando Rodríguez Duc

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Diseñar un sistema de modulación digital 8QAM

a- Expresión matemática. b- Ángulos de referencia. c- Tabla de verdad, con ángulos, amplitudes de las señales en cuadratura y código

binario adoptado. d- Constelación coherente con la tabla de verdad. e- Esquema del transmisor y del receptor, destacando amplitudes y función de cada

uno de los bits en el transmisor y en el receptor. f- Ancho de banda del a onda modulada para banda base formada por pulsos

ideales sinc y para pulsos con factor de roll off de 50%. g- Eficiencia espectral.

Resolución

Para esta modulación se adoptará un diagrama similar a QPSK pero con dos circunferencias concéntricas para ubicar los 8 valores necesarios. Abajo dibujamos la constelación donde se destacan algunos ángulos con sus valores y los ocho puntos de modulación pertenecientes a las distintas circunferencias: Podemos ver que en realidad son dos sistemas QPSK con dos amplitudes, a las cuales le podemos dar el valor 1 y 2 respectivamente. La expresión matemática de la modulación:

( )2/*)(**2cos* ϕπ ∆+= txtfAy cmPSK

Desarrollando al expresión

Se observan las dos etapas moduladas en fase y en cuadratura, el signo del segundo término nos obliga a graficar con el eje de ordenadas (cuadratura) hacia abajo para que coincidan las tablas con el gráfico. Para QPSK

( ) ( ) ( ) ( )tfsentxsenAtftxAy ccmPSK **2*2/*)(***2cos*2/*)(cos* πϕπϕ ∆−∆=

cos (2π* f c t)

sen (2π* f c t)

π/4

-π/4

3π/4

-3π/4

Fernando Rodríguez Duc

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x(t) = ±1; ±3; y ∆φ =2π/n → n=4 →∆φ =2π/4 = π/2 Finalmente los ángulos y los valores de las expresiones trigonométricas para QPSK, teniendo en cuenta los dos valores de radio: x(t)∆φ/2 1*Sen (x(t)∆φ/2) 1*Cos (x(t)∆φ/2) 2*Sen (x(t)∆φ/2) 2*Cos (x(t)∆φ/2)

±π/4 ±0,707 +0,707 ±1,41 +1,41 ±3π/4 ±0,707 -0,707 ±1,41 -1,41 Se observan en juego dos amplitudes 0,707 y 1,41, correspondientes al radio de los dos círculos concéntricos de la constelación. Por lo tanto en el conversor analógico digital se deberá decidir por alguna de esas dos amplitudes, y además el signo positivas o negativas. Luego ingresa al modulador balanceado. De los tres bit tomados de banda base a, b y c. Se adopta que el bit a modula cos (2π* f c t) y el b modula sen(2π* f c t). En el conversor analógico digital el bit c decide las dos amplitudes (0,707 o 1,41) c = 1 → 1,41 c = 0 → 0,707

y los bit a o b los signos de esas amplitudes que entraran en el modulador balanceado. Cuando el bit es 1 la salida del conversor es positiva y cuando es 0 negativa. 1 → + 0 → -

La tabla de ángulos, amplitudes y códigos :

Modula cos(2π* f c t) Modula sen(2π* f c t)

A c x(t)∆φ/2 Cos a Sen b

1 0 π/4 +0,707 1 +0,707 1 1 0 -π/4 +0,707 1 -0,707 0 1 0 3π/4 -0,707 0 +0,707 1 1 0 -3π/4 -0,707 0 -0,707 0 2 1 π/4 +1,41 1 +1,41 1 2 1 -π/4 +1,41 1 -1,41 0 2 1 3π/4 -1,41 0 +1,41 1 2 1 -3π/4 -1,41 0 -1,41 0

Observar que el bit c se aplica a las dos ramas con el mismo valor. El código según los ángulos:

A x(t)∆φ/2 a b c

1 π/4 1 1 0 1 -π/4 1 0 0 1 3π/4 0 1 0 1 -3π/4 0 0 0 2 π/4 1 1 1 2 -π/4 1 0 1 2 3π/4 0 1 1 2 -3π/4 0 0 1

Fernando Rodríguez Duc

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La constelación: Finalmente los diagramas del transmisor y del receptor: Transmisor:

D/A

D/A

-pi/2

COS (2p* fc t) suma Htx(f)a cb

receptor:

A/D

A/D

-pi/2

COS (2p* fc t) A/DHrx(f) a cb

1/0+/-

1/0+/-

0/1

0,707/1,41

LPF

LPF

LPF

001

110 010

cos (2π* f c t)

sen (2π* f c t)

100

101

000

111 011

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f) Velocidad de señalización en baudios b= r/3 BW = 2*b/2* (1 + Fr) = r/3 * (1+Fr) Intervienen las dos bandas laterales. Para el pulso ideal sinc, Fr = 0 BW = r/3 Para el pulso con Fr = 50% BW = r/3 * (1+0,5) = 1,5*r/3 = r/2 g) δ = r/BW = r / (2*b/2) = (r * 2) / (2*r/3) = 3 con Fr = 50% δ= 2