87 t Selectos Matematicas i 5 Sem

Temas selectos dematemticas

1 EdicinJulio 2011

Impreso en Mxico

Direccin y realizacin del proyectoLCC. Gabriel Barragn CasaresDirector General del Colegio de Bachilleres del Estado de Yucatn Planeacin y coordinacinLic. Alejandro Salazar OrtegaDirector Acadmico Metodologa y estrategia didcticaLic. Lorenzo Escalante PrezJefe del Departamento de Servicios Acadmicos CoordinacinLic. Lorenzo Escalante Prez

ColaboradoresLM. Davy Alejandro Prez ChanLic. Albert Jess Herguera LoraLM. Alfonso de Jess Garca Gonzlez

DERECHOS RESERVADOS

Queda prohibida la reproduccin o trans-misin total o parcial del texto de la pre-sente obra, bajo cualquier forma electr-nica o mecnica, incluyendo fotocopiado, almacenamiento en cualquier sistema de recuperacin de informacin o grabado sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Temas selectos dematemticas

III

LA REFORMA INTEGRAL DE LA EDUCACIN MEDIA SUPERIOR

La Educacin Media Superior (EMS) en Mxico enfrenta desafos que podrn ser

permita a sus distintos actores avanzar ordenadamente hacia los objetivos propues-tos. Es importante saber que la EMS en el pas est compuesta por una serie de subsistemas que operan de manera independiente, sin correspondencia a un pano-

es encontrar los objetivos comunes de esos subsistemas para potenciar sus alcances y de esta manera lograr entre todos, reglas claras de operacin. Es importante para el desarrollo de la EMS, que ustedes docentes y estudiantes conozcan los ejes que la regulan, cmo opera y los retos que enfrenta en la actualidad para asumir a partir de dicho conocimiento, una actitud diferente que nos permita coadyuvar en este esfuerzo.

Los diferentes subsistemas de la EMS han realizado cambios en sus estruc-

que la poblacin a la que atiende ( jvenes entre los 15 y 21 aos aproximadamente) adquiriera conocimientos y habilidades que les permitan desarrollarse de manera satisfactoria, ya sea en sus estudios superiores o en el trabajo y, de manera ms ge-neral, en la vida. En esta misma lnea, no se debe perder de vista el contexto social de la EMS: de ella egresan individuos en edad de ejercer sus derechos y obligaciones como ciudadanos, y como tales deben reunir, en adicin a los conocimientos y ha-

tengan un impacto positivo en su comunidad y en el pas en su conjunto.

Es en este contexto que las autoridades educativas del pas, han propuesto la Reforma Integral de la Educacin Media Superior (RIEMS), cuyos objetivos con-sisten en dar identidad, calidad, equidad y pertinencia a la EMS, a travs de me-canismos que permitan articular los diferentes actores de la misma en un Sistema Nacional de Bachillerato dentro del cual se pueda garantizar adems de lo anterior,

de los mismos.

Lo anterior ser posible a partir del denominado Marco Curricular Comn (MCC) de la RIEMS, el cual se desarrolla considerando el modelo de competencias, y que incluye: Competencias Genricas, Competencias Disciplinares (bsicas y exten-didas) y Competencias Profesionales (bsicas y extendidas). Esta estructura permite observar de manera clara, los componentes comunes entre los diversos subsistemas, as como aquellos que son propios de cada uno y que por consiguiente, los hace dis-tintos. Lo anterior muestra como la RIEMS respeta la diversidad del nivel educativo del pas, pero hace posible el Sistema Nacional del Bachillerato, conformado por las distintas instituciones y subsistemas que operan en nuestro pas.

Una competencia es la integracin de habilidades, conocimientos y acti-

programas de estudio existentes y se adapta a sus objetivos; no busca reemplazarlos, ! "

#$%

Nuestro subsistema pertenece al conjunto de los que ofrecen bachillerato $&&'

en los estudiantes capacidades que les permitan adquirir competencias genricas, competencias disciplinares bsicas y extendidas, adems de competencias profesio-nales bsicas.

Temas selectos de matemticas

IV

Las competencias genricas son las que todos los bachilleres deben estar *+#

en l; les capacitan para continuar aprendiendo de forma autnoma a lo largo de sus vidas, y para desarrollar relaciones armnicas con quienes les rodean, as como par-'!

"/

%03"4

las once competencias genricas, agrupadas en sus categoras correspondientes:

Se autodetermina y cuida de s

1) Se conoce y valora a s mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2) Es sensible al arte y participa en la apreciacin e interpretacin de sus expresiones en distintos gneros.

3) Elige y practica estilos de vida saludables.

Se expresa y comunica

4) Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados.

5) Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mtodos establecidos.

6) Sustenta una postura personal sobre temas de inters y relevancia gene-

#

Aprende de forma autnoma

7) 4/

8) Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Participa con responsabilidad en la sociedad

9) Participa con una conciencia cvica y tica en la vida de su comunidad, regin, Mxico y el mundo.

10) Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prcticas sociales.

11) Contribuye al desarrollo sustentable de manera crtica, con acciones res-ponsables.

VLas competencias disciplinares son las nociones que expresan conocimien-tos, habilidades y actitudes que consideran los mnimos necesarios de cada campo '

contextos y situaciones a lo largo de la vida. Las competencias disciplinares pueden ser bsicas o extendidas.

Las competencias disciplinares bsicas procuran expresar las capacidades que todos los estudiantes deben adquirir, independientemente del plan y programas de estudio que cursen y la trayectoria acadmica o laboral que elijan al terminar sus estudios de bachillerato. Las competencias disciplinares bsicas dan sustento a la ' /

de egreso de la EMS y pueden aplicarse en distintos enfoques educativos, conteni-dos y estructuras curriculares; se organizan en los campos disciplinares siguientes: Matemticas, Ciencias Experimentales (Fsica, Qumica, Biologa y Ecologa), Ciencias %?@?%A4H-gica, tica, Filosofa y Esttica) y Comunicacin (Lectura y Expresin oral y escrita, Literatura, Lengua extranjera e Informtica).

Las competencias disciplinares extendidas dan sustento a las competencias /"-

elementos disciplinares correspondientes y en su caso, incrementando la compleji-4

en los campos de conocimiento del Bachillerato General.

Competencias disciplinares extendidas

1) Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o forma-les.

2) Formula y resuelve problemas matemticos aplicando diferentes enfo-ques.

3) Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones rea-les.

4) 4//-

-temtico y el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin.

5) 4

natural para determinar o estimar su comportamiento.

6) &

magnitudes del espacio y las propiedades fsicas de los objetos que lo rodean.

7) Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un pro-ceso o fenmeno y argumenta su pertinencia.

8) J-


VI

ESTRATEGIA DIDCTICA

Para contribuir al desarrollo de las sesiones de aprendizaje en el aula, se estableci una estrategia que permita integrar los elementos del programa de la asignatura, con los materiales de apoyo y la actividad de docentes y estudiantes.

%#-tende ser un algoritmo que el docente deba seguir al pie de la letra, sino que debe adaptarlo a las caractersticas propias del contexto en el que se desarrollan las sesio-nes de aprendizaje.

La estrategia consta de siete pasos o etapas, mismas que debern cono-cerse en las primeras sesiones, para un mejor desarrollo de las mismas. Los pasos se listan y describen a continuacin:

K Dinamizacin.

K Contextualizacin.

K Problematizacin.

K O4!&&

K Sntesis

K Realimentacin

K Evaluacin de la competencia

Dinamizacin

En el proceso de construccin del aprendizaje, es indispensable para el facilitador tener evidencia de los aprendizajes previos que el alumno ha adquirido y considerar que es a partir de los mismos que se desarrollarn los nuevos, motivando a la cola-boracin del estudiante en el mismo proceso.

VI

Contextualizacin

En el desarrollo de competencias se hace necesario el aprendizaje contextual, es /-tudiantes. La contextualizacin deber realizarse al inicio de cada bloque en los que se organizan los contenidos en los programas de estudio.

Problematizacin

En el modelo de competencias que la RIEMS establece, el contenido toma un sig-//

por tanto la problematizacin debe estar presente a lo largo de toda la estrategia en el aula.

Formacin, Adquisicin, Desarrollo y Construccin de Competencias

Etapa en la cual el facilitador a partir de diversas experiencias de aprendizaje facilita el quehacer del estudiante para lograr las competencias. En esta etapa de la estra-tegia, estudiantes y docentes deben estar pendientes del proceso de asimilacin. Galperin lo describe como un proceso de etapas y no como un fenmeno inmediato.

VII

Las distintas etapas del proceso de asimilacin que el alumno experimenta para desarrollar el aprendizaje son: la etapa de motivacin la cual debe fomentarse y mantenerse durante todo el curso, recordemos que si un alumno no est motiva-do, difcilmente aprender. La segunda etapa de este proceso es la formacin de la 3T4''

competencia. La RIEMS sugiere la creatividad como mtodo o forma de enseanza

H3T4

'

importantes, la orientacin al alumno, que como ya dijimos debe estar precedida por una buena carga de motivacin, dicha orientacin puede ser de dos tipos, completa en la que el maestro le proporciona al alumno todos los aspectos de un contenido, e incompleta en la cual se dejan ciertos aspectos de un contenido para que el alumno pueda descubrir o investigar por s mismo. La generalidad es otro aspecto impor-3T4

docente puede mostrar hechos concretos relativos a algn contenido o puede abar-car el mismo contenido pero por medio de hechos generales, que tengan alguna relacin con el concepto que se expone al alumno.

W3T4

se presenta de dos formas pre-elaborada e independiente. En el primero, el alumno llega a obtener el aprendizaje de manera conjunta con el facilitador y en la segunda los alumnos adquieren el conocimiento en forma independiente.

Sntesis

4/

de conocimiento, desempeo, producto y actitud de manera que el docente cuente con estrategias para la evaluacin formativa logrando involucrar al estudiante en procesos de coevaluacin.

Para llevar a cabo la evaluacin sumativa de las competencias que se indican en los programas de estudio, se contempla esta etapa la cual debe verse como parte del proceso, es decir, no debe en ningn momento separarse de la formativa. La mejor forma de lograr esta unidad ser integrando un portafolio de evidencias de apren-dizaje.


VIII

Contenido

Bloque I: Resuelves sistemas de ecuaciones lineales en general 2

%4X%

y el mtodo de Gauss 7

Ecuacin lineal y soluciones de una ecuacin lineal 8

Sistemas de ecuaciones lineales y soluciones de un sistema de ecuaciones lineales 8

Relacin entre la consistencia de un sistema de ecuaciones y el determinante de la matriz asociada 13

Bloque II: Sistemas de ecuaciones de segundo grado 34

Sesin 1: La ecuacin cuadrtica 36Propiedades de la ecuacin cuadrtica 42

Ecuaciones de forma cuadrtica 43

Ecuaciones con radicales 46

Sesin 2: Sistemas de ecuaciones cuadrticos 50

Sistema linealcuadrtica 52

Sistema cuadrticacuadrtica sin trminos lineales ni trmino xy 53

Sistema cuadrticacuadrtica sin trminos lineales pero con trmino xy 55

Otros sistemas de ecuaciones 57

Rbrica del bloque 62

IX

Bloque III: Determinas fracciones parciales 64

Dinamizacin y motivacin 66

Sesin 1: Fracciones parciales 68Problematizacin 68

Formacin, adquisicin, construccin y desarrollo de competencias 69

Sntesis de la sesin 80

Realimentacin 80

Mi proyecto del bloque 81

Bloque IV: Aplicas la induccin matemtica 86

%4XJ

[\Induccin matemtica 90

Teorema del Binomio 101

Bloque V: Empleas nmeros complejos 112

Sesin 1: Propiedades y operaciones bsicas. 114

Operaciones bsicas 117

Propiedades de los complejos 119

Sesin 2: Representacin rectangular y polar. Teorema de DeMoivre 123

Representacin rectangular 124

Representacin polar 128

Potencias y races 131

Rbrica del bloque 135

Bloque I: Resuelves sistemas de ecuaciones lineales en general

Desempeos del estudianteK Resuelve situaciones del contexto mediante la resolucin de sistemas de

ecuaciones lineales, por medio del mtodo de Gauss, interpretando y contrastando la solucin obtenida con la realidad.

K 4-pleando el determinante asociado al mismo.

Objetos de aprendizajeK Matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

K Naturaleza de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.

K Mtodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

K Modelado y solucin de situaciones que implican un sistema de ecuacio-nes lineales.

4/K Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos

mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados.

K Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mtodos establecidos.

K Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Competencias disciplinares extendidasK Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de

procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o forma-les.

K Formula y resuelve problemas matemticos, aplicando diferentes enfo-ques.

K Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos ma-temticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

K 4


B1Temas selectos de matemticas

4

Es importante que antes de iniciar con el desarrollo de nuestro bloque te cuestiones lo que has aprendido a lo largo de tus cursos escolares, sobre todo en primer se-mestre cuando trabajaste los bloques VI, VII y VIII, ya que has llegado a un punto en donde la intensin es acrecentar toda aquella gama de conocimientos, habilidades y estrategias que has adquirido en la resolucin de ecuaciones lineales y de los sis-temas que con ello se puede conformar. Yo se que has manejado de manera regular las ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones lineales mediante la aplicacin de diversos mtodos, recuerdas cules eran? o dnde lo aplicabas? Cuando habla-#

ecuaciones lineales o bien uno que tenga tres ecuaciones lineales y seguro podrs debatir en este momento de qu vamos hablar en este bloque. Pero sera interesante cuestionarte en otra cosa ms, Solo hay sistemas de 2 o 3 ecuaciones lineales?, o bien, Habr sistemas de 4, 5 o ms ecuaciones lineales?. Estoy seguro que si tu res-"kw//

un sistema con tantas ecuaciones? Si pensaste en mtodos algebraicos tradicionales como el de reduccin, igualacin o sustitucin habrs concluido dicindote, Me voy a tardar mucho! o Conoces de alguna estrategia que nos permita resolver stos sistemas de un modo ms rpido? Pues bien el objetivo de este bloque es mostrarte que existe otra alternativa para la solucin de sistema de ecuaciones, ms an que esos sistemas son mayores a los de tres ecuaciones que viste en tu primer semestre.

Como te mencione, nuestro objetivo es conocer un mtodo que nos per-

-cin de obtener otra alternativa, independientemente de las ya vistas en semestres pasados. Sin embargo, no descartamos con ello el buen funcionamiento y lo valioso que han sido los mtodos algebraicos. Pero como en todo comienzo, es necesario recordar elementos que te servirn y te permitirn entender con mayor facilidad lo que ms adelante desarrollaremos.

Voy a retomar un problema que te fue propuesto en el bloque VIII en don-de se menciona a un padre y sus dos hijos que fueron de compras y donde el hijo

'X

En una compra, fuimos mi pap, mi hermanita y yo por un par de zapatos de la marca F, un par de sandalias de la marca T y una par de tenis de la marca N y pagu $620; mi padre se compr 2 pares de zapatos de vestir de la marca F y 3 pares de sandalias de la marca T y pag $1,020 y a mi hermanita le compr 2 pares de tenis de la marca N y un par de sandalias de la marca T y pag $420. Pero debido a mis }~/

el valor de mis tenis; qu cantidad de dinero me debe devolver mi padre?

Estoy seguro que ya ests pensando la manera en cmo lo vas a resolver y puedo asegurarte que pensaste en el mtodo de reduccin para encontrar el valor deseado. Pero yo te quiero rescatar el mtodo de Cramer, y te preguntars Por qu?, eso es sencillo de comentar, ya que este mtodo emplea ciertos trminos y elemen-tos que retomaremos y utilizaremos. Veamos:

Interpretando lo que el problema nos plantea podemos con ello determi-nar 3 ecuaciones lineales y las tres incgnitas que se presentan: Llamemos x al precio de un par de zapatos de la marca F, y al precio de un par de sandalias de la marca T, y z al precio de un par de tenis de la marca N.

B1

5Bloque I: Resuelves sistemas de ecuaciones lineales en general

No. de la ecuacin Escribiendo la ecuacin

1Un par de zapatos de la marca F, un par de sandalias de la marca T y una par de tenis de la marca N y pagu $620

x + y + z = $620

2 2 pares de zapatos de vestir de la marca F y 3 pares de sandalias de la marca T y pag $1,020 2x + 3y = $1020

3 2 pares de tenis de la marca N y un par de sandalias de la marca T y pag $420 2z + y = $420

Te recuerdo que para trabajar con el mtodo de Cramer se tiene que veri-3 3 , entonces

!/

que acabas de formar y formemos la matriz

4"'

por la columna de trminos independientes (los nmeros 620, 1020, 420) y tendremos

4""-ces aplicando el mtodo Cofactores de Cramer que consista en aumentar las dos pri-

-ria con los valores de las sumas de las multiplicaciones de las diagonales secundarias.

x


6

y

z

Encontrando los valores de cada una las incgnitas tendremos:

Lo que nos indica que el valor del par de tenis es $160, cantidad que le

Como podrs apreciar, hasta el momento ha sido recordarte parte de la herramienta que has trabajo en matemticas 1 y que retomaremos en los siguientes apartados.

B1


% 4X %

lineales y el mtodo de GaussDel saber

K J-neales.

K J

K Comprendo el concepto de consistencia de un sistema de ecuaciones lineales.

K Explico las operaciones permisibles en un sistema de ecuaciones lineales.

K Describo el mtodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones linea-les.

K J

Del saber hacer

K Determino el valor del determinante correspondiente a la matriz asocia-da a un sistema de ecuaciones lineales.

K Establezco la consistencia de un sistema de ecuaciones lineales a partir del valor del determinante.

K Resuelvo sistemas de ecuaciones lineales empleando el mtodo de Gauss.

K Modelo de situaciones del contexto a partir de variables relacionadas a sta, estableciendo un sistema de ecuaciones lineales.

K Resuelvo los modelos establecidos y contrasto las soluciones obtenidas con la realidad.

Del saber ser

K Valoro los elementos asociados a un sistema de ecuaciones lineales, para determinar la naturaleza de las soluciones del mismo.

K Participo de manera colaborativa en la solucin de una situacin del con-texto, a partir de la modelacin de la misma.

K Muestro apertura hacia las alternativas propuestas para resolver un siste-ma de ecuaciones y situaciones que los implican.

Recordars que en primer semestre aprendiste a resolver sistemas de ecuaciones lineales de orden 2 y 3 mediante distintos mtodos, ahora nos interesa aprender a resolver sistemas de ecuaciones lineales de cualquier orden, mediante el mtodo de Gauss; para esto ser necesario repasar lo visto en cursos anteriores pero con un enfoque un poco ms analtico, empecemos recordando algunas cosas.


8

Ecuacin lineal y soluciones de una ecuacin linealUna ecuacin lineal con dos variables, x y y, es una ecuacin de la forma ax+by=c, a,b y cW+-cin de tal ecuacin es una pareja de valores de x y y para la cual la ecuacin lineal se cumple y se acostumbra representar a la solucin en forma de vector (x,y). De modo similar se tiene que una ecuacin lineal con tres variables, x,y y z, es una ecuacin de la forma ax+by+cz=da,b,c y d son constantes; una solucin de tal ecuacin es una terna de valores x,y y z para la cual la ecuacin lineal se cum-ple, tambin suele escribirse a una tal solucin en forma de vector (x,y,z). De manera n incognitas.

Ejemplo 1. Las siguientes ecuaciones son lineales

Ejemplo 2. Las siguientes ecuaciones no son lineales

Sistemas de ecuaciones lineales y soluciones de un sistema de ecuaciones linealesUn sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales, en donde cada una tiene las mismas variables; en este bloque solo nos dedicaremos a sistemas de ecuaciones lineales con el mismo nmero ecuaciones y variables. Una solucin de un sistema de ecuaciones es un vector que es simultneamente una solucin de cada una de las ecuaciones del sistema.

Sistemas consistentes e inconsistentesCuando resolviste sistemas de ecuaciones de orden 2, por ejemplo, probablemente notaste que poda darse uno de los tres casos presentados en los ejemplos:

Ejemplo 1. (El sistema no tiene solucin). Consideremos el siguiente sistema

En este caso podemos darnos cuenta a simple vista que el sistema anterior no tiene solucin ya que no existen dos nmeros cuya suma sea 2 y 5 a la vez. Un sistema que no tiene solucin se llama inconsistente.

Ejemplo 2. (El sistema tiene una nica solucin). Consideremos el siguien-te sistema

B1


Resolviendo este sistema por cualquiera de los mtodos aprendidos en cur-sos anteriores podemos ver que tiene una nica solucin dada por (6,1). Un sistema de ecuaciones que tiene una nica solucin se llama consistente determinado.

Ejemplo 3.@&

-te sistema

Observando ambas ecuaciones del sistema podemos notar que la segunda ecuacin es simplemente un mltiplo de la primera, ya que se obtiene al multiplicar la primera ecuacin por 2, as cualquier solucin de la primera ecuacin ser tambin +W

de soluciones. Ejemplos de tales soluciones son las parejas (7,0),(0,-7),(8,1),(-3,-10) y @Wconsistente indeterminado.

En realidad estos tres casos son los nicos que se pueden presentar al re-solver un sistema de ecuaciones cualquiera, de modo que un sistema de ecuaciones W

4 * @-quier nmero de ecuaciones y variables). Es decir, todo sistema de ecuaciones es inconsistente, consistente indeterminado o consistente determinado.

$Otro concepto visto en primer semestre es el de matriz y vimos que cada sistema de '

variables en cada ecuacin y llamaremos a dicha matriz, la

del sistema, por ejemplo el sistema

3

A

4-gunda matriz llamada matriz aumentada, la cual se obtiene al agregarle a la matriz W/

las ecuaciones del sistema. Por ejemplo, utilizando el mismo sistema del ejemplo anterior vemos que los trminos independientes de las ecuaciones del sistema son 1, 3 y 5 de modo que la matriz aumentada es


10

%

-tes de las variables y los trminos independientes.

DeterminantesTambin recordars que cada matriz cuadrada tiene asociado un nmero

real, llamado determinante. En el caso de una matriz de 2x2,

, su de-

terminante, el cual representbamos por X X

de orden 3, mediante cofactores:

Consideremos la matriz

, entonces su determinante vie-ne dado por la expresin

H

//

'

4 o ms. De la expresin anterior podemos ver que |Y| es la suma de los elementos Y, cada uno multiplicado por el determinante de la matriz de

"W

podra causarnos un poco de inquietud es el signo delante del segundo trmino, pero esto se har claro ms adelante. De la misma manera en la que un determinante de orden 3 se representa como una suma de 3 determinantes de orden 2 un deter-minante de orden 4 puede ser representado como una suma de 4 determinantes de orden 3, un determinante de orden 5 puede ser representado como una suma de 5 determinantes de orden 4 y en general un determinante de orden n puede ser representado como una suma de n determinantes de orden n4

/'

que es un menor de una matriz.

! Si A es una matriz de nn, entonces la matriz de (n-1)(n-1) que se obtiene de Ai y la columna j la llamaremos menor ij de A y la representaremos como Mij .

B1


Ejemplo 4. Consideremos la matriz

A

de la cual obtenemos que

M M

Es importante que distingas el orden de los subndices ya que como te habrs dado cuenta M23 y M32 estn muy lejos de ser iguales.

4"

de una matriz de orden n.

! Si A es una matriz de nn entonces su determinante, de-notado por |A

donde a1k

y la k-sima columna.

0

de nn se obtiene al sumar los n trminos obtenidos al multiplicar cada elemento de W

W

Ejemplo 5. Consideremos la matriz del ejemplo anterior, su determinante es dado por

A

4/'-nantes de orden 3:

A

De modo que |A|=1665.


12

4

#-na sobre las preguntas que a continuacin se te hacen.

1) A

Nota: Este ejercicio hace referencia a una pro-piedad de los determinantes. Notaste por qu?

2)

las siguientes matrices cumplan la misma relacin .

Nota: Este ejercicio hace referencia a otra pro-piedad de los determinantes. Notaste por qu?

3) A


4) A


5) A

Una vez resuelto el ejercicio, analiza tu solu-cin y observa la matriz que tienes, Existe al-guna manera ms rpida de encontrar el valor del determinante observando alguna caracte-rstica especial en su matriz?

6) Encuentra el valor de x en la si-guiente matriz, si el valor de su de-terminante es cero.

B1


Relacin entre la consistencia de un sistema de ecuaciones y el determinante de la matriz asociadaHemos visto que resolver un sistema de ecuaciones lineales se vuelve una labor ms difcil conforme va aumentando el tamao del sistema, es decir, conforme el sistema tiene ms ecuaciones y ms variables. Una de las aplicaciones de los determinantes puede ser apreciada a travs de una relacin muy importante que existe entre la consistencia de un sistema de ecuaciones y el valor del determinante de la matriz de "+

Si un sistema de ecuaciones tiene a A

-tonces el sistema es consistente determinado (el sistema tienen una nica solucin) si y slo si |A

H

W

distinto de cero; sin embargo, si dicho determinante vale cero entonces no podemos

puede darse cualquiera de ambos casos. Veamos algunos ejemplos

Ejemplo 6. Consideremos el siguiente sistema

A

y con determinante

|A|=~\+-ces el sistema tienen una nica solucin.


En este caso tenemos que la matriz de c

B

1 11 1

y con

determinante |B|=0, adems en el ejemplo 1 vimos que el sistema es inconsistente.



14

C

, tienen determinante |C|=0 y

como vimos en el ejemplo 1 el sistema es consistente indeterminado.

Sistemas de ecuaciones equivalentesSi comparamos los siguientes sistemas

4

-ben ser sus soluciones; sin embargo, podemos ver que ambos sistemas tienen una W

cero y tambin podemos notar, al resolver ambos sistemas, que sus soluciones son (-1,2), as ambos sistemas tienen el mismo conjunto de solucin. Este tipo de siste-mas son especiales, de modo que reciben un nombre.

! Diremos que dos sistemas de ecuaciones son equivalen-tes si ambos tienen el mismo conjunto de soluciones, es decir, si cada solucin de uno de esos sistemas es tambin una solucin del otro y viceversa.

Ejemplo 9. (Dos sistemas que no son equivalentes). De los siguientes sistemas

el primero tiene como nica solucin al vector (1,7), adems este vector es tambin una solucin del segundo sistema; sin embargo, esto "'

cada solucin del segundo sistema es tambin una solucin del primero, pero esto "

sistemas no pueden tener el mismo conjunto solucin.

Operaciones elementalesComo se mencion al principio del bloque, el objetivo principal del mismo es apren-der a resolver sistemas de ecuaciones mediante el mtodo de Gauss, pero en rea-lidad podemos decir que esto es algo que ya has hecho desde el primer semestre ya que el mtodo de eliminacin que utilizas para resolver sistemas de ecuaciones de orden 2 y 3 coincide con el mtodo de Gauss a excepcin de la notacin. Es por eso que observaremos a detalle el mtodo de eliminacin aplicado a un sistema de

-/4X

B1


Si resolvemos el sistema anterior por el mtodo de eliminacin obtene-mos la solucin mediante los siguientes pasos:

Paso 1: Multiplicamos la ecuacin (1) por 7 obteniendo as la ecuacin (3), similarmente multiplicamos (2) por 2 obteniendo (4), despus de esto obtenemos el siguiente sistema:

Paso 2: Restamos (4) de (3) y con la ecuacin resultante, (5), obtenemos otro sistema dado por:

y

Paso 3: Resolvemos este ltimo sistema de manera directa:

De (5) se tiene que y=2 y sustituyendo este valor de y en (4) obtenemos que 14x+8=22 es decir x=1 y la solucin de este sistema es entonces el vector (1, 2).

AX4

del ltimo sistema, el cual ha sido resuelto. Es decir la solucin del sistema originales el vector (1, 2).

Probablemente te habrs preguntado por que la solucin del ltimo sis-tema es tambin la solucin del sistema original y la razn es porque todos los sistemas obtenidos en los distintos pasos son equivalentes4""

sistemas tienen la misma solucin.

4"XkA/

son equivalentes? La respuesta a tal pregunta es que cada uno de los sistemas se puede obtener de cualquier otro al aplicarle ciertas operaciones; pero no cualquier tipo de operaciones aplicadas a un sistema nos produce otro sistema equivalente, a este tipo de operaciones especiales las llamaremos operaciones elementales y veremos que a un sistema dado podemos aplicarle tantas operaciones elementales como se desee y el resultado ser un sistema equivalente. Es decir, veremos que dos sistemas son equivalentes si uno de tales sistemas puede convertirse en el otro al aplicarle solo operaciones elementales.

Para determinar cules son estas operaciones elementales haremos uso de dos propiedades algebraicas elementales:

1) Si a=b y c=d entonces a+c=b+d.

2) Si a=b y k es cualquier nmero real entonces ka=kb.

La propiedad 1 nos dice que si se suman dos ecuaciones miembro a miem-bro, entonces el resultado es una ecuacin vlida. La propiedad 2 nos dice que si se multiplican ambos lados de una ecuacin por una constante entonces el resultado es una ecuacin tambin vlida. Supondremos que k

/

W


16

Con estas dos propiedades en mente podemos determinar la operaciones elementales, empecemos considerando un sistema de ecuaciones de orden 2 de manera general:

4

@

ecuacin de (1) nos dicen que para cualquier nmero real k, distinto de cero, la ecua-cin kax+kby=ke tambin es vlida, de modo que el siguiente sistema

tambin es vlido. De lo anterior podemos concluir que cualquier solucin de (1) es tambin una solucin de (2); o lo que es lo mismo, si (x,y) es una solucin de un sistema, entonces cualquier sistema obtenido del primero al reemplazar una de sus ecuaciones por un mltiplo de esta tambin tiene a (x,y) como solucin. Por ejemplo: El siguiente sistema

tiene como solucin a la pareja (1,3), la cual tambin es solucin del sistema:

ya que el segundo sistema se obtiene del primero al multiplicar su segunda ecuacin por 2.

Del mismo modo podemos ver que cualquier solucin de (2) es tambin una solucin de (1) (nota que aqu es importante el hecho k

que los sistemas (1) y (2) son equivalentes, ya que ambos tienen el mismo conjunto 4"@-da que por una operacin elemental nos referimos a operaciones que se les pueden aplicar a un sistema de ecuaciones de modo que nos produzcan un sistema de ecua-ciones equivalente).

Operacin elemental 1. En un sistema de ecuaciones al multiplicar cualquier ecuacin por una constante distinta de cero obtenemos un siste-ma de ecuaciones equivalente.

4 @ ' @ /

satisface y al aplicar la propiedad 2 en ambas ecuaciones de (2) obtenemos que

es una ecuacin vlida y por tanto el sistema:

B1


/+@/

una solucin de (3). Por ejemplo el vector (0,2) es solucin del sistema:

y tambin es solucin del sistema

ya que el segundo sistema se obtiene del primero al sumarle a su primera ecuacin dos veces la segunda ecuacin. Del mismo modo podemos ver que cualquier solu-cin de (3) es una solucin de (2) y por tanto tambin ser solucin de (1); luego los sistemas de ecuaciones (1) y (3) son equivalentes. Hemos obtenido nuestra segunda operacin elemental:

Operacin elemental 2. En un sistema de ecuaciones al sumarle a alguna ecuacin un mltiplo de otra ecuacin del mismo sistema obtene-mos un sistema de ecuaciones equivalente.

Por ltimo, es claro que cualquier solucin del sistema

tambin ser una solucin del sistema

el mismo argumento nos hace ver que cualquier solucin de (4) es tambin una so-lucin del sistema (1). sta ser la ltima operacin elemental:

Operacin elemental 3. En un sistema de ecuaciones al intercambiar el orden de dos ecuaciones obtenemos un sistema de ecuaciones equivalente.

Esta ltima operacin elemental puede parecer en un principio intil, pero su utilidad ser apreciada en el mtodo de Gauss.

Probablemente notaste que aunque la obtencin de las operaciones ele-mentales se ilustr a travs de un sistema de ecuaciones de orden 2 al momento de enunciar tales operaciones no se indic el orden del sistema, esto fue hecho de modo intencional ya que las operaciones elementales son vlidas para cualquier '

prcticamente el mismo argumento que se utiliz en esta seccin.


18

Operaciones elementales de rengln&

matriz aumentada; adems si tenemos la matriz aumentada de un sistema entonces podemos determinar las ecuaciones que conforman dicho sistema. Por ejemplo la matriz aumentada

1 0 53 1 01 1 1

234

|

corresponde al sistema de ecuaciones lineales

3 3

4

Y tambin podemos notar que al aplicar operaciones elementales a un /-pendientes, no con las variables. Luego, podemos ahorrar tiempo, espacio y esfuerzo si trabajamos con las matrices aumentadas de cada sistema, en lugar de escribir cada sistema completo. Por tanto adecuamos las operaciones elementales a la notacin de matrices, que por tratarse de matrices las llamaremos operaciones elementales de rengln y las enunciamos a continuacin:

En una matriz se pueden efectuar las siguientes operaciones elementales de rengln:

1) Intercambiar dos renglones.2) Multiplicar un rengln por una constante distinta de cero.

3) Sumar un mltiplo de un rengln a otro rengln.

Habrs notado que las operaciones elementales por rengln son las ope-raciones que se pueden aplicar a una matriz aumentada de modo que la matriz aumentada resultante de cada operacin corresponde a un sistema equivalente al sistema que le corresponde a la primera matriz aumentada. De manera similar a los sistemas equivalentes diremos que dos matrices son equivalentes si una se puede obtener de la otra mediante la aplicacin de operaciones elementales por rengln. Es entonces inmediato que dos sistemas son equivalentes si y slo si sus matrices aumentadas lo son

Mtodo de Gauss Primero presentaremos la idea principal del mtodo de Gauss; como mencionamos anteriormente el mtodo de Gauss es en cierto modo la generalizacin del mtodo de eliminacin ya que la idea principal en ambos mtodos es la misma; recordemos que aplicar el mtodo de eliminacin al sistema

nos produce, a travs de operaciones elementales, el sistema equivalente

y

B1


en donde este ltimo sistema es fcil de resolver ya que se puede hacer de manera directa despejando y de (5) para obtener y=2 y sustituyendo dicho valor en (4) para que se determine el valor de x el cual es x=1.

Bueno, pues el mtodo de Gauss conserva estas ideas, ya que dado un sistema de ecuaciones se desea obtener otro sistema de ecuaciones que sea equiva-lente pero fcil de resolver y el modo en el que se consigue dicho sistema es me-diante la aplicacin de operaciones elementales, lo cual garantiza que los sistemas 4'

la forma del sistema de orden 2 obtenido por el mtodo de eliminacin. Por ejemplo los sistemas que corresponden a las matrices aumentadas

2 1 19 4 11 5 4

141

1 5 40 1 10 0 1

153

y| |

''

es que el segundo sistema se puede resolver de manera fcil y directa ya que dicho sistema es:

5

z 3

de la tercera ecuacin tenemos que z=3, reemplazando este valor de z en la segunda ecuacin obtenemos que y=2 y al reemplazar estos valores en la primera ecuacin resulta que x=1, de modo que la solucin es (1,2,3). La manera en la que se resolvi el sistema anterior se llama sustitucin hacia atrs debido a que empezamos de la ltima ecuacin y la solucin de esta ecuacin la sustituimos en la ecuacin anterior y continuamos de esta manera hasta haber resuelto todas las ecuaciones. De igual modo los sistemas correspondientes a cada una de las siguientes matrices aumentadas

y

se pueden resolver utilizando la sustitucin hacia atrs. Por la forma que tienen las matrices anteriores reciben el nombre de matrices escalonadas y podemos ver que si un sistema de ecuaciones tiene asociada una matriz aumentada que sea escalo-nada entonces este sistema se puede resolver empleando la sustitucin hacia atrs. 4"/

del sistema que se desea resolver y mediante operaciones elementales por rengln '"

correspondiente a esta ltima matriz empleando la sustitucin hacia atrs.

Notemos que al emplear solamente operaciones elementales por rengln garantizamos que las matrices aumentadas son equivalentes de modo que corres-ponden a sistemas equivalentes y por lo tanto realmente estamos obteniendo las soluciones del sistema original.


20

4""''

una matriz en una matriz escalonada. Tal mtodo lo describimos a continuacin:

Paso 1. Transformar la matriz en una que tenga como elemento de su pri-mer rengln y primera columna un 1.

Paso 2. Transformar la matriz en una en la que todos los elementos debajo del 1, conseguido en el paso anterior, sean 0

Paso 3. Repetir los pasos 1 y 2 pero con el elemento ubicado en el segundo rengln y segunda columna.

Paso 4. Continuar de esta manera hasta convertir cada elemento de la dia-

"

La manera en la que se acostumbra a realizar cada paso es la siguiente:

Paso 1. Se pueden dar 4 sencillos casos:

Caso 1. Si el elemento ubicado en el primer rengln y primera columna es 1, entonces el paso 1 obviamente es omitido.

Caso 2. Si no se da el caso pero algn elemento de la primera columna es 1 entonces el rengln al que pertenece dicho 1 se intercambia con el primer rengln. (Notemos que sta es simplemente una operacin elemental.) Por ejemplo al inter-cambiar el primer y el tercer rengln de la siguiente matriz

2 1 19 4 11 5 4

141

|

Obtenemos

1 5 49 4 12 1 1

141

|

y con esto el paso 1 ha sido realizado.

Caso 3. Si ningn elemento de la primera columna es 1 y el elemento del primer rengln y primera columna no es cero, entonces dividimos el primer rengln entre este elemento. (Notemos que sta es una operacin elemental, ya que dividir entre un nmero (distinto de cero) es lo mismo que multiplicar por su inverso). Por ejemplo en la matriz

2 1 19 4 14 2 2

145

|

Dividimos el segundo rengln entre 2 y obtenemos

1 1 2 1 29 4 11 5 4

1 241

/ / /

|

Caso 4. Si ningn elemento de la primera columna es 1 y el elemento del primer rengln y columna es cero, entonces intercambiamos el primer rengln por

B1


alguno que tenga como primer elemento un nmero distinto de cero, obteniendo de esta manera una matriz que pertenece al caso 3.

Paso 2. Si a es un elemento ubicado debajo del 1 obtenido en el paso anterior que no es 0, es decir, a

con el que se trabaj en el paso anterior (el rengln al que pertenece el 1 obtenido en el paso anterior) por a, y restrselo al rengln de a; despus de esta operacin habremos conseguido que tal elemento se vuelva 0. Debemos repetir este procedi-miento con cada elemento que debamos volver 0. (Notemos que este procedimiento consiste en efectuar una operacin elemental, ya que se est sumando un mltiplo de un rengln distinto de cero a otro rengln).

Los dems pasos se efectan de manera similar, solo que con los elemen-4"

W

elementales de rengln podemos llevar una matriz a una equivalente, es por eso que antes de ir a un ejemplo en el que apliquemos el mtodo de Gauss introduciremos una notacin para representar las operaciones elementales de rengln con la inten-cin de ahorrar tiempo y espacio, del mismo modo en que empleamos la notacin matricial, tal notacin es la siguiente

RiRj indica que los renglones i y j son intercambiados.

RikRi indica que el rengln i se multiplica por el nmero k.

RiRi+kRj indica que al rengln i se le suma el mltiplo del rengln j que se obtienen al multiplicarlo por k.

Con la notacin recin indicada, procedemos a resolver tres sistemas de

Ejemplo 11. (Un sistema consistente determinado.) Resuelva el siguien-te sistema de ecuaciones mediante el mtodo de Gauss:

cuya matriz aumentada es

2 11 2

1 23 4

3 14 1

1 11 1

11

61

2

|4/

tenemos la siguiente cadena de matrices equivalentes (en donde cada matriz se ha #"X


22

2 11 2

1 23 4

3 14 1

1 11 1

11

61

1 22 1

3 4

2

| 2R1R 11 23 1

4 11 11 1

1161

1 20 5

3 45

2

2R 12R2R| 1103 1

4 11 11 1

156

1

2

|1 20 5

3 45 10

0 74 1

10 111 1

1501

2

|

1 20 5

3 45 10

0 70 7

10 1113 15

21507

|

3R 13R3R 4R 14R4R

R R2 21

5

1 20 1

3 41 2

0 70 7

10 1113 15

0

23

7

|

1 20 1

3 41 2

0 00 7

3 313 15

23217

|

1 20 1

3 41 2

0 00 0

3 36 1

232114|3R 27R3R 4R 27R4R

1 20 1

3 41 2

0 00 0

1 16 1

714

23

|

1 20 1

3 41 2

0 00 0

1 10 7

23728

|1 20 1

3 41 2

0 00 0

1 10 1

74

23

|13 3R3R 17 4R4R4R 36R4RHemos obtenido una matriz escalonada correspondiente al siguiente sistema

7w 4

y utilizando la sustitucin hacia atrs tenemos que w = 4, z = 3, y = 2 y x = 1.

Ejemplo 12. (Un sistema inconsistente.) Consideremos ahora el siguiente sistema

con su correspondiente matriz aumentada dada por

2 11 2

1 23 4

3 14 2

1 12 4

11

62

2

|

B1


4/-cin, tenemos que

2 11 2

1 23 4

3 14 2

1 12 4

11

62

1 22 1

3 4

2

| 11 23 14 2

1 12 4

1162

1 20 5

3 45 1

2

| 003 14 2

1 12 4

1562

2

|2R1R 2R 12R2R1 20 5

3 45 10

0 74 2

10 112 4

1502

2

|1 20 5

3 45 10

0 70 10

10 1110 20

15

010

2

|

3R 13R3R 4R 14R4R

R R2 21

5

1 20 1

3 41 2

0 70 10

10 1110 20

010

23

|1 20 1

3 41 2

0 00 10

3 310 20

2110

23

|

3R 27R3R

1 20 1

3 41 2

0 00 0

3 30 0

21

23

20

|

1 20 1

3 41 2

0 00 0

1 10 0

23720

|4R 210R4R 13 3R3REs claro que el sistema correspondiente es inconsistente, ya que de la lti-

ma matriz se tiene

7

en donde la ltima ecuacin es absurda, de modo que podemos concluir que no existen nmeros x, y, z, w que cumplan dicho sistema; por tanto, el sistema no tiene solucin.

Ejemplo 13. (Un sistema consistente indeterminado.) Por ltimo considere-mos el sistema


24

cuya correspondiente matriz aumentada es dada por

2 11 2

1 23 4

3 14 2

1 12 4

11

622

2

|4/

2 11 2

1 23 4

3 14 2

1 12 4

11

622

1 22 1

3

2

| 441 23 1

4 21 12 4

11622

1 20 5

3 4

2

| 55 103 14 2

1 12 4

15622

2

|2R1R 2R 12R2R1 20 5

3 45 10

0 74 2

10 112 4

15022

2

|

1 20 5

3 45 10

0 70 10

10 1110 20

215030

|

3R 13R3R 4R 14R4R

R R2 21

5

1 20 1

3 41 2

0 70 10

10 1110 20

030

23

|1 20 1

3 41 2

0 00 10

3 310 20

2130

23

|

3R 27R3R

R RR R R

Hasta aqu es donde se puede llegar con el algoritmo presentado, de modo que el sistema asociado es

7

Este sistema es consistente indeterminado, ya que por tener ms variables +

-narle cualquier valor a alguna de las variables que aparezcan en todas las ecuaciones del sistema (en este caso tales variables son z y w ); elijamos w y hagamos w=0, de modo que el sistema anterior se reduce al siguiente

z 7

3

B1


y cuya solucin, que se obtiene fcilmente empleando la sustitucin hacia atrs, es z=7,y=-10 y x=3. De modo que la solucin del sistema en este caso es (3,10,7,0). En general a cada valor de w corresponde una solucin distinta al sistema.

4

I. En los siguientes problemas, utilice el mtodo de Gauss para encontrar, todas las

soluciones, si existen, para los sistemas de ecuaciones dados.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

II. Resuelve las siguientes situaciones cotidianas donde emplears los sistemas de ecuaciones y que resolvers utilizando el mtodo de Gauss. Lee con atencin para evitar cualquier tipo de confusin.

1) Luca acaba de regresar de vacaciones de Cancn, Playa del Carmen y Cozumel en donde gast $30 diarios en Cancn, $20 diarios en Playa del Carmen y $20 diarios en Cozumel en concepto de hospedaje. En comidas gast $20 diarios en Cancn, $30 diarios en Playa del Carmen y $20 dia-rios en Cozumel. En transporte gast $5 diarios en Cancn, $10 diarios en Playa del Carmen y $3 diarios en Cozumel. De acuerdo con las notas que Luca guardaba se dio cuenta que en Cancn gasto en total $3,400, en Playa del Carmen gasto $3,200 y en Cozumel gasto $1,400. Calcule el nmero de das que paso en cada uno de los puertos sealados.

2) Jorge, Manuel y Carlos compraron rosas, claveles y margaritas para hacer #[

-veles y 10 margaritas pagando $149. Manuel compr 5 rosas, 2 claveles y 5 margaritas pagando $75. Carlos compro 5 rosas, 10 claveles y 8 marga-}k


26

SntesisEn el siguiente ejercicio resuelve el sistema de ecuaciones lineales de 5 incgnitas aplicando el mtodo de Gauss y posteriormente utiliza el mtodo de Cramer para

/

No es opcional, se tiene que realizar los dos procesos.

1)

ProyectoH'H&$"

-ce y buen desempeo que tienen esos alumnos despus de presentar todas sus actividades de los primeros 15 das del curso escolar. Orgullosa del gran potencial que presentan sus 5 alumnos de la especialidad de matemticas, aprovechando que estn en el tema de sistemas de ecuaciones decide ponerles dos retos, que gustosos han aceptado.

El primero es descifrar un acertijo, pero para hacerlo ms emocionante de-cide dividir el acertijo en 5 partes y es por ello que los llama por separado y les dice:

Luis, dime el valor de 5 nmeros de tal forma que el primero al aumentarle el cudruple del segundo, disminuirle el triple del tercero, aumentarle el doble del cuarto y disminuirle el triplo del quinto en total obtengo 2.

Carlos, dime el valor de 4 de los 5 nmeros que le mencion a Luis, de tal forma que el doble del primero, menos el quntuple del tercero, menos el triplo del cuarto y aumentado el doble del quinto en total me da 2.

Jorge, dime el valor de 4 de los 5 nmeros que le mencion a Luis, de tal forma que el triple del primero, aumentado en el doble del segundo, aumentado en el sptuplo del tercero, ms el cuarto nmero tienes en total 6.

Manuel, dime el valor de 4 de los 5 nmeros que me mencion a Luis, de tal modo que el primero, menos el triple del segundo, menos el doble del cuarto ms el triple del quinto, tienes en total 1.

Erick, dime el valor de 4 de los 5 nmeros que le mencion a Luis, de tal modo que el doble del primero, menos el quntuplo del segundo, ms el triple del tercero, menos el quinto, en total obtengo 7.

El segundo es ampliar el mtodo de Gauss y por ello les pide que al mo-mento de resolver su problema y sacar la matriz aumentada para resolver un sistema de ecuacin, la transformen de tal modo que lleguen a la matriz unitaria, Sabes cul es?

Manos a la obra.

B1


Rbrica del proyecto4/'

ESTRUCTURA DE LA EVALUACIN DEL PROYECTO

NIVELES DE DOMINIO

CRITERIOSPRE-FORMAL INICIAL RECEPTIVO

RESOLUTIVO BSICO AUTNOMO ESTRATGICO

1 2 3 4 5

CON

OCI

MIE

NTO

S

No describe el concepto de matriz unitaria y las propiedades que de ella emanan.

0

correctamente la matriz aumentada al sistema de ecuaciones lineales y no puede interpretar la consistencia de la matriz aumentada unitaria.

No explic las operaciones permisibles en un sistema de ecuaciones lineales de 55 al momento de obtener la matriz unitaria asociada.

No describo la ampliacindel mtodo de Gauss (Gauss Jordan) para resolver sistemas de ecuaciones lineales con la matriz asociada unitaria.

J

vagamente las variables asociadas a la situacin real y su relacin lineal para la conformacin del sistema de ecuacin.

Describe vagamente el concepto de matriz unitaria y las propiedades que de ella J

con mucha

matriz aumentada al sistema de ecuaciones lineales y no puede interpretar la consistencia de la matriz aumentada unitaria.

Explico con

operaciones permisibles en un sistema de ecuaciones lineales de 55 al momento de obtener la matriz unitaria asociada. Describo con "

la ampliacin del mtodo de Gauss (Gauss Jordan) para resolver sistemas de ecuaciones lineales con la matriz asociada unitaria.

J

vagamente las variables asociadas a la situacin real y su relacin lineal para la conformacin del sistema de ecuacin.

Describe con

el concepto de matriz unitaria y las propiedades que de ella emanan. J

matriz aumentada al sistema de ecuaciones lineales y no puede interpretar la consistencia de la matriz aumentada unitaria.

Explico con pocas

operaciones permisibles en un sistema de ecuaciones lineales de 55 al momento de obtener la matriz unitaria asociada. Describo con

y con apoyo del facilitador, la ampliacin del mtodo de Gauss (Gauss Jordan) para resolver sistemas de ecuaciones lineales con la matriz asociada unitaria.

J

variables asociadas a la situacin real y su relacin lineal para la conformacin del sistema de ecuacin.

Describe el concepto de matriz unitaria y las propiedades que de ella J

la matriz aumentada al sistema de ecuaciones lineales e interpreta la consistencia de la matriz aumentada unitaria.

Explico las operaciones permisibles en un sistema de ecuaciones lineales de 55 al momento de obtener la matriz unitaria asociada. Describo con

y con apoyo del facilitador, la ampliacin del mtodo de Gauss (Gauss Jordan) para resolver sistemas de ecuaciones lineales con la matriz asociada unitaria.

J

variables asociadas a la situacin real y su relacin lineal para la conformacin del sistema de ecuacin.

Describe plenamente el concepto de matriz unitaria y las propiedades que de ella J

plenamente la matriz aumentada al sistema de ecuaciones lineales e interpreta la consistencia de la matriz aumentada unitaria.

Explico correctamente las operaciones permisibles en un sistema de ecuaciones lineales de 55 al momento de obtener la matriz unitaria asociada. Describo correctamente la ampliacin del mtodo de Gauss (Gauss Jordan) para resolver sistemas de ecuaciones lineales con la matriz asociada unitaria.

J

correctamente las variables asociadas a la situacin real y su relacin lineal para la conformacin del sistema de ecuacin.


28


NIVELES DE DOMINIO



1 2 3 4 5

?43

JHJ!

4!%

No logro aplicar la matriz unitaria asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

No logro resolver el sistema de ecuacin lineal de 55 empleando el mtodo extendido de Gauss (Gauss Jordan) al manejar la matriz aumentada unitaria.

No logro plantear correctamente el sistema de ecuacin lineal a situaciones del contexto a partir de variables relacionadas a ella.

Resuelvo con "

el modelo indicado (Gauss Jordan) y no logro contrastarlo con la realidad.

Logro aplicar, con "

la matriz unitaria asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

Logro resolver con "

y con apoyo del facilitador, el sistema de ecuacin lineal de 55 empleando el mtodo extendido de Gauss (Gauss Jordan) al manejar la matriz aumentada unitaria.

Logro plantear

el sistema de ecuacin lineal a situaciones del contexto a partir de variables relacionadas a ella.

Resuelvo con "

el modelo indicado (Gauss Jordan) y escasamente logro contrastarlo con la realidad.

Logro aplicar, con

matriz unitaria asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

Logro resolver con apoyo del facilitador, el sistema de ecuacin lineal de 55 empleando el mtodo extendido de Gauss (Gauss Jordan) al manejar la matriz aumentada unitaria.

Logro plantear

el sistema de ecuacin lineal a situaciones del contexto a partir de variables relacionadas a ella.

Resuelvo con

modelo indicado (Gauss Jordan) y logro contrastarlo con la realidad.

Logro aplicar la matriz unitaria asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

Logro resolver con apoyo del facilitador, el sistema de ecuacin lineal de 55 empleando el mtodo extendido de Gauss (Gauss Jordan) al manejar la matriz aumentada unitaria.

Logro plantear el sistema de ecuacin lineal a situaciones del contexto a partir de variables relacionadas a ella.

Resuelvo con

modelo indicado (Gauss Jordan) y logro contrastarlo con la realidad.

Logro aplicar plenamente la matriz unitaria asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

Logro resolver correctamenteel sistema de ecuacin lineal de 55 empleando el mtodo extendido de Gauss (Gauss Jordan) al manejar la matriz aumentada unitaria.

Logro plantear correctamente el sistema de ecuacin lineal a situaciones del contexto a partir de variables relacionadas a ella.

Resuelvo correctamente el modelo indicado (Gauss Jordan) y logro contrastarlo siempre con la realidad.

B1



NIVELES DE DOMINIO



1 2 3 4 5

4&J

!

%

No valoro la importancia que tiene la matriz unitaria en la resolucin del sistema de ecuacin lineal en el mtodo ampliado de Gauss.

Participo muy escasamente y de manera colaborativa en la solucin de la situacin del acertijo, a partir de la modelacin de la misma.

Muestro nula apertura hacia el mtodo alternativo propuesto para resolver un sistema de ecuaciones y la situacin que lo implica.

Valoro escasamente la importancia que tiene la matriz unitaria en la resolucin del sistema de ecuacin lineal en el mtodo ampliado de Gauss.

Participo escasamente y de manera colaborativa en la solucin de la situacin del acertijo, a partir de la modelacin de la misma.

Muestro poca apertura hacia el mtodo alternativo propuesto para resolver un sistema de ecuaciones y la situacin que lo implica.

Valoro la importancia que tiene la matriz unitaria en la resolucin del sistema de ecuacin lineal en el mtodo ampliado de Gauss, pero muestro resistencia en su aplicacin.

Participo cuando me lo piden y de manera colaborativa en la solucin de la situacin del acertijo, a partir de la modelacin de la misma.

Muestro poca apertura hacia el mtodo alternativo propuesto para resolver un sistema de ecuaciones y la situacin que lo implica.

Valoro la importancia que tiene la matriz unitaria en la resolucin del sistema de ecuacin lineal en el mtodo ampliado de Gauss.

Participo de manera colaborativa en la solucin de la situacin del acertijo, a partir de la modelacin de la misma.

Muestro apertura hacia el mtodo alternativo propuesto para resolver un sistema de ecuaciones y la situacin que lo implica.

Valoro siempre la importancia que tiene la matriz unitaria en la resolucin del sistema de ecuacin lineal en el mtodo ampliado de Gauss.

Participo siempre de manera colaborativa en la solucin de la situacin del acertijo, a partir de la modelacin de la misma.

Muestro siempre apertura hacia el mtodo alternativo propuesto para resolver un sistema de ecuaciones y la situacin que lo implica.

PO

ND

ER

AC

ION

3 6 9 12 15


30

4" "

alcanzado a lo largo de todo este bloque y para ello te presento la siguiente rbrica. Lela y analiza con mucha honestidad lo que has logrado y lo que an no.

ESTRUCTURA DE LA EVALUACIN DEL BLOQUE

NIVELES DE DOMINIO



1 2 3 4 5

CON

OCI

MIE

NTO

S

0

correctamente el concepto de matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

0J

el determinante que corresponde a una matriz.

Comprendo vagamente el concepto de consistencia de un sistema de ecuaciones lineales.

Explico vagamente las operaciones permisibles en un sistema de ecuaciones lineales.

No describo el mtodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

0

variables asociadas a una situacin real y su relacin lineal.

J

"

el concepto de matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.J

apoyo del facilitador el determinante que corresponde a una matriz.

Comprendo vagamente el concepto de consistencia de un sistema de ecuaciones lineales.

Explico vagamente las operaciones permisibles en un sistema de ecuaciones lineales.

Describo vagamente el mtodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

J

algunas de las variables asociadas a una situacin real y su relacin lineal.

J

pidiendo apoyo, el concepto de matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales. J

apoyo del facilitador, el determinante que corresponde a una matriz.

Comprendo el concepto de consistencia de un sistema de ecuaciones lineales.

Explico las operaciones permisibles en un sistema de ecuaciones lineales.

Describo con apoyo, el mtodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

J

mayora de las variables asociadas a una situacin real y su relacin lineal.

J

concepto de matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.J

determinante que corresponde a una matriz.

Comprendo el concepto de consistencia de un sistema de ecuaciones lineales.

Explico las operaciones permisibles en un sistema de ecuaciones lineales.

Describo con apoyo del facilitador, el mtodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

J

mayora de las variables asociadas a una situacin real y su relacin lineal.

J

plenamente el concepto de matriz asociada a un sistema de ecuaciones J

completamente el determinante que corresponde a una matriz.

Comprendo completamente el concepto de consistencia de un sistema de ecuaciones lineales.

Explico correctamente las operaciones permisibles en un sistema de ecuaciones lineales.

Describo completamente el mtodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

J

variables asociadas a una situacin real y su relacin lineal.

B1



NIVELES DE DOMINIO



1 2 3 4 5

?43

JHJ!

4!%

No logro determinar el valor del determinante correspondiente a la matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

No establezco la consistencia de un sistema de ecuaciones lineales a partir del valor del determinante.

No logro resolver sistemas de ecuaciones lineales empleando el mtodo de Gauss.

Modelo con mucha

del contexto a partir de variables relacionadas a sta, estableciendo un sistema de ecuaciones lineales.

Resuelvo con "

los modelos establecidos y no logro contrastarlo a las soluciones obtenidas con la realidad.

Logro con muchas

determinar el valor del determinante correspondiente a la matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

Establezco con

consistencia de un sistema de ecuaciones lineales a partir del valor del determinante.

No logro Resolver sistemas de ecuaciones lineales empleando el mtodo de Gauss.

Modelo con "

situaciones del contexto a partir de variables relacionadas a sta, estableciendo un sistema de ecuaciones lineales.

Resuelvo con "

los modelos establecidos y vagamente lo contrastado a las soluciones obtenidas con la realidad.

Presento algunas

al determinar el valor del determinante correspondiente a la matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

Establezco la consistencia de un sistema de ecuaciones lineales a partir del valor del determinante.

Resuelvo con ayuda los sistemas de ecuaciones lineales empleando el mtodo de Gauss.

Modelo con

situaciones del contexto a partir de variables relacionadas a sta, estableciendo un sistema de ecuaciones lineales.

Resuelvo los modelos establecidos y vagamente lo contrastado a las soluciones obtenidas con la realidad.

Determino el valor del determinante correspondiente a la matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

Establezco la consistencia de un sistema de ecuaciones lineales a partir del valor del determinante.

Resuelvo con ayuda los sistemas de ecuaciones lineales empleando el mtodo de Gauss.

Modelo situaciones del contexto a partir de variables relacionadas a sta, estableciendo un sistema de ecuaciones lineales.

Resuelvo los modelos establecidos y vagamente lo contrastado a las soluciones obtenidas con la realidad.

Determino completamente el valor del determinante correspondiente a la matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

Establezco correctamente la consistencia de un sistema de ecuaciones lineales a partir del valor del determinante.

Resuelvo correctamente los sistemas de ecuaciones lineales empleando el mtodo de Gauss.

Modelo situaciones del contexto a partir de variables relacionadas a sta, estableciendo un sistema de ecuaciones lineales.

Resuelvo correctamente los modelos establecidos y logro contrastarlo plenamente a las soluciones obtenidas con la realidad.


32


NIVELES DE DOMINIO



1 2 3 4 5

4&J

!

%

No valoro los elementos asociados a un sistema de ecuaciones lineales, para determinar la naturaleza de las soluciones del mismo.

Participo muy escasamente y de manera colaborativa en la solucin de una situacin del contexto, a partir de la modelacin de la misma.

Muestro nula apertura hacia las alternativas propuestas para resolver un sistema de ecuaciones y situaciones que los implican.

Valoro poco los elementos asociados a un sistema de ecuaciones lineales, para determinar la naturaleza de las soluciones del mismo.

Participo muy escasamente y de manera colaborativa en la solucin de una situacin del contexto, a partir de la modelacin de la misma.

Muestro poca apertura hacia las alternativas propuestas para resolver un sistema de ecuaciones y situaciones que los implican.

Valoro la mayora de los elementos asociados a un sistema de ecuaciones lineales, para determinar la naturaleza de las soluciones del mismo.

Participo poco y de manera colaborativa en la solucin de una situacin del contexto, a partir de la modelacin de la misma.

Muestro apertura hacia las alternativas propuestas para resolver un sistema de ecuaciones, pero las cuestiono de modo inadecuado y situaciones que los implican.

Valorolos elementos asociados a un sistema de ecuaciones lineales, para determinar la naturaleza de las soluciones del mismo.

Participo de manera colaborativa en la solucin de una situacin del contexto, a partir de la modelacin de la misma.

Muestro apertura hacia las alternativas propuestas para resolver un sistema de ecuaciones, pero las cuestiono de modo inadecuado y situaciones que los implican.

Valoro siempre los elementos asociados a un sistema de ecuaciones lineales, para determinar la naturaleza de las soluciones del mismo.

Participo siempre de manera colaborativa en la solucin de una situacin del contexto, a partir de la modelacin de la misma.

Muestro siempre apertura hacia las alternativas propuestas para resolver un sistema de ecuaciones, y situaciones que los implican.

PO

ND

ER

AC

ION

3 6 9 12 15

B1


Notas

Bloque II: Sistemas de ecuaciones de segundo grado

Desempeos del estudianteK Resuelve situaciones tericas y del contexto a travs del mtodo que co-

rresponda al sistema planteado.

K 4

/

Objetos de aprendizajeK Naturaleza de las soluciones de un sistema de ecuaciones cuadrticas

K Lugar geomtrico que corresponde a una ecuacin cuadrtica

K Ecuaciones con radicales

K Sistemas de ecuaciones cuadrticas

K Situaciones que implican un sistema de ecuaciones cuadrticas.

4/K Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos

mediante la utilizacin de medios, cdigos y herramientas apropiados.

K Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de mtodos establecidos.

K Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Competencias disciplinares extendidasK Construye e interpreta modelos matemticos mediante la aplicacin de

procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales, para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o forma-les.

K Formula y resuelve problemas matemticos aplicando diferentes enfo-ques.

K Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones rea-les.

K 4//-

-temtico y el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin.

K 4



36

Dinamizacin y motivacinYa has abundado en la resolucin de ecuaciones de primer grado mediante diferen-tes mtodos. Es ms comprenders la relacin entre dichos mtodos o mecanismos que has estudiado, con los mtodos de resolucin de ecuaciones lineales vistos en el primer semestre de bachillerato.

En esta ocasin comprenderemos un estudio de las ecuaciones cuadrticas as como sus propiedades inherentes a ella y ms an los algoritmos para resolver los sistemas de ecuaciones formados por ecuaciones de este tipo. Como parte de la comprensin del manejo de los elementos algebraicos que realizars en este bloque tambin ser necesario tener una visualizacin geomtrica de los que estars obte-niendo.

Las ecuaciones cuadrticas tienen un sinnmero de utilidades en las cien-cias, ya que muchos modelos matemticos tienen la caracterstica de tener una forma cuadrtica. Ejemplos de tales ecuaciones cuadrticas es la ecuacin de tiro parablico en fsica y de manera semejante las ecuaciones parablicas vistas en Matemticas 4.

Sesin 1: La ecuacin cuadrticaCriterios:

K J/-/

K Comprendo los distintos mtodos para resolver ecuaciones cuadrticas y ecuaciones con radicales.

K !

K Resuelvo ecuaciones cuadrticas y con radicales mediante el empleo de mtodos adecuados.

K Participo y colaboro con el grupo en la solucin de las problemticas dadas.

ContextualizacinDesde el primer semestre de tu bachillerato fuiste inducido al estudio de las ecua-

bsicas as como los mtodos de resolucin de estas mismas. Te preguntars por qu tanta importancia a estas ecuaciones cuadrticas (as como en el bloque anterior se indic lo mismo respecto a las ecuaciones lineales), bueno para tener una breve vi-sualizacin de su uso en tu vida escolar recuerda que estudiaste a stas en el primer semestre, en el segundo semestre las aplicaste de nuevo quizs al resolver proble-mas de geometra o trigonometra; en tercer semestre las usaste al momento de manejar las ecuaciones de las cnicas y quizs al momento de resolver un problema de distancia entre dos puntos; en cuarto semestre se dedic un bloque completo a las ecuaciones de segundo grado as como su empleo en la determinacin de valores

del uso, tan solo en bachillerato, de las ecuaciones cuadrticas.

Un modelo matemtico es

una representacin en lenguaje matemti-co, es decir, mediante expresiones algebrai-cas, de una situa-!"describir la situacin o problema a smbo-los matemticos. Consulta el bloque 1 de la obra clculo diferencial.

B2

37Bloque II: Sistemas de ecuaciones de segundo grado

Es probable que contines tus estudios superiores en alguna carrera afn a las matemticas, por ello es muy til que comprendas las caractersticas de estas ecuaciones.

ProblematizacinRecuerda que una funcin cuadrtica de segundo grado puede tener la forma:

2

Donde a, b y c son valores constantes y adems a 0

4'

al igualar a cero esta relacin. Es decir, una ecuacin de segundo grado tiene la es-tructura siguiente:

Sobre esta ltima lnea, responde:

Recuerdas los mtodos algebraicos para resolver una ecuacin cuadrtica?

kw//

Cumplirn alguna caracterstica estas races?

Cmo podras resolver ecuaciones del tipo ,

?

Discute las posibles respuestas con tus compaeros y con la gua de tu docente que ser el mediador de este debate.

Formacin, adquisicin, construccin y desarrollo de las competenciasComo ya se haba indicado antes,

! Una ecuacin cuadrtica tiene la forma en donde a, b y c son valores constantes y a 0 . Esta forma se llama forma ca-nnicaH"

x que representan las races.


38

Las formas de resoluciones bsicas, que seguramente has visto en cursos anteriores, son:

Mtodos de resolucinde ecuacin cuadrtica

Frmula general GrficoFactorizacin

No vamos a detallar en estos tres mtodos pero s vamos a considerar un ejemplo sobre su uso al momento de querer resolver una ecuacin de tipo cuadrtico.

Ejemplo 1. Resolver la ecuacin cuadrtica x x por el mtodo:

a) De factorizacin

b) De frmula general

c)

Solucin. En primer lugar es ms sencillo tratar a estas ecuaciones si las pasamos a la forma cannica, de manera que tenderemos

x x xx x xx x

a) En este caso la factorizacin de la ecuacin quedar:

x xx x

Igualando a cero los factores con la incgnita y despejando se tiene en cada caso

xx

y

x

x

Por lo tanto las races de la ecuacin son -2 y -1/2

b) Es digno de recalcar la frmula general para ecuaciones cuadrticas, la cual es

Repasa con detalle estos tres

mtodos que has manejado desde los primeros cursos de matemticas.

B2


Donde obviamente los valores a, b y c son los que surgen a partir de la for-

ma cannica . Teniendo esto como base observamos que en nuestro caso a=4, b=10 y c=4, con lo que al aplicar la frmula obtendremos

x

4

la segunda solucin el signo negativo:

x

y x

Por lo tanto al igual que en el inciso a, las soluciones son: -2 y -1/2.

c) Para este caso conviene recordar que

Una ecuacin, en este caso cuadrtica,

K /

K tiene dos soluciones si posee dos intersecciones con dicho eje;

K de modo contrario no tiene soluciones en los nmeros reales si la

Crearemos una tabla de valores positivos y negativos con la relacin que nos da la ecuacin, a saber,

'

x y

-2.5 4

-2 0

-1.5 -2

-1 -2

-0.5 0

0 4

0.5 10

Representa junto con tus compae-ros diferentes casos #%-ciones que cumplan algunos de los puntos dados anteriormente.


40

X

3.5 2.5 1.5 0.53 2 1 3.52.51.50.5 32

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

1

2

3

y

y=4x2+10x+4

x

Figura 2.1. Trazo de la funcin y sus dos races.

Observamos que las soluciones a esta ecuacin coinciden con las previa-mente obtenidas con los dos mtodos sealados.

Ejemplo 2. Discutir las races de la ecuacin xx

xx

Solucin. La convertimos en primer lugar al modo cannico

xx

xx

x x x x x xx x

x x

x x x xx x

x x

4'a=1, b=-3 y c= 4:

x

B2


Resalta el hecho en este ejemplo que la relacin anterior no tiene solucin en

los nmeros reales ya que no nos es posible calcular en este campo el valor 7 , las

formas de resolver estas situaciones las detallaremos en un bloque posterior relativo al campo de los nmeros complejos!"

WA

parbola que no toca al eje X. Comprubalo.

Existe una amplia aplicacin de las ecuaciones cuadrticas, tal y como se A

ejemplo relativo a la ecuacin cuadrtica.

4

En parejas planteen la resolucin de la ecuacin cuadrtica

x xx

con los tres mtodos sealados, de forma que pue-

dan explicar a la clase algunos de sus resultados que tu docente sugiera.

Ejemplo 3. Un cateto de un tringulo rectngulo es 15 unidades mayor que el otro y se sabe tambin que la hipotenusa mide 30 unidades. Determina la longitud de los catetos.

Solucin. Denotemos al cateto menor con la variable x, de manera que el mayor ser x+15. De esta forma por el teorema de Pitgoras se comprende la rela-cin siguiente:

x xx x xx x

Resolvindola por la frmula nos da las soluciones

x

y x

Pero el valor -27.34 no es vlido ya que estamos tratando de distancias positivas, as que la solucin de la ecuacin es 12.43 con lo que los catetos sern: el menor 12.43 y el mayor (12.43+15)=27.34 unidades.

4

Investiga en diferentes fuentes de informacin cinco situaciones o problemticas reales que se planteen usando ecuaciones cuadrticas as como la obtencin de su solucin por el mtodo apropiado.


42

Propiedades de la ecuacin cuadrticaHasta ahora se han indicado los mtodos de solucin de una ecuacin cuadrtica, mas sin embargo las soluciones o races tienen la forma

stas cumplen ciertas propiedades que se enlistan a continuacin, a modo de teoremas:

Teorema 2.1. Sea la ecuacin cuadrtica , en donde a, b y c son valores constantes reales y a 0 , entonces el discriminante

Indica las caractersticas de las soluciones de manera que si:

K D>0 entonces habrn dos races reales y diferentes

K D=0 entonces habrn dos races reales e iguales

K D

B2


b) Aqu a=1, b=0 y c=-entonces D . Existen dos races reales y distintas.

Ejemplo 5. Calcula el valor de k para que las races de la ecuacin

,

a) sumen 6

b) sean recprocas

Solucin.

a) La suma de las races ser

k

kk

kk

b) El que sean recprocas una de la otra indica que al multiplicarlas den la unidad, es decir:

kkk k

k

Ejemplo 6. Si las races de una ecuacin cuadrtica son y -2 halla la ecuacin debida.

Solucin. Puesto que las races son y -2 tendremos que la ecuacin de donde provienen es:

x x x x x x

Si deseamos quitar los denominadores multiplicamos todo por 4 obtenien-do la ecuacin deseada 4x2 +5x - 6=0

Ecuaciones de forma cuadrtica&

! Una ecuacin de la forma

, donde a 0 , se llama ecuacin de forma cuadrtica.


44

Cabe sealar que no necesariamente se trata de una ecuacin cuadrtica, pero tras unos cambios de variable se puede ordenar como si lo fuera. Por ejemplo la

ecuacin x x es de forma cuadrtica ya que si consideramos la funcin y=f(x)=x3, entonces se obtiene

Lo cual es sin duda una ecuacin cuadrtica. Del mismo modo la ecua-

cin x

xx

x

puede convertirse si hacemos el cambio de variable con

, pues con este cambio obtenemos: y

y+ =2 1 3 0

De la cual obtenemos la siguiente ecuacin cuadrtica 3y y + =2 02

De manera que para resolver estos tipos de ecuaciones en forma cuadrtica:

1. Se realiza el cambio de variable necesario

2. Se resuelve la ecuacin cuadrtica resultante tras el cambio de variable

3. Se obtienen las soluciones con el uso del cambio de variable utilizado

4. Se comprueba de que no existan races extraas (que satisfagan la ecua-cin original)

4

Ejemplo 7. Resolver las dos ecuaciones de forma cuadrtica dadas ante-riormente.

Solucin.

a) Se tiene x x y el cambio de variable fue 3 , de manera que obtuvimos

y y

Procedemos a resolverlo mediante factorizacin

y y y y

Las races son entonces, y1 1 y y

B2


4"x, mediante el uso del cambio de va-

riable 3 . Para el valor de y1 1 se obtendr:

Para el valor y :

%

W

son efectivamente

races de x x

b) Para este segundo caso tenemos xx

xx

que con el cambio de

variable

se obtuvo la relacin cuadrtica

y y

Procedemos a resolver sta tambin con factorizacin

y y y y

Cuyas races son: y1 1 y y2 2

Finalmente resolvemos para x con el cambio de variable y cada una de las

soluciones de y. Para y1 1

Por frmula general se tienen las soluciones respectivas,

y

Aunque los radicales pueden ser de cualquier tipo, cuadrticos, cbicos, etc. Solo nos basare-mos en los radicales cuadrticos.


46

Para el caso y2 2

Que mediante la frmula general se tienen las soluciones, y

4@'

xx

xx

son

,

, y .

Ecuaciones con radicalesRelacionado a las ecuaciones cuadrticas tenemos un tipo de ecuaciones que po-/

! Una ecuacin que posea al menos un radical contenien-do la incgnita se conoce como ecuacin radical.

Ejemplos de estos tipos de ecuaciones pueden ser las expresiones,

x

x x

x x

Para resolver estas ecuaciones se precede como sigue:

1) Se asla un radical para elevar a la potencia adecuada ambos miem-bros de la ecuacin y as eliminar el radical asilado.

2) Se procede a reordenar la ecuacin resultante para asilar, si es nece-sario, algn radical que permanezca an y repetir el paso 1.

3) Resolver la ecuacin resultante que est libre de radicales.

4) *

0

B2


Ejemplo 8. Hallar la solucin de la ecuacin radical x x x 1 1

Solucin. En primer lugar aislamos el radical que aparentemente es ms complejo de manera que as podemos elevar al cuadrado ambos trminos y as eli-minarlo.

x x x 1 1

4X

x x x

x x x x

Se us el binomio al cuadrado en el segundo miembro. Ya que an posee-mos radicales vamos a aislar el ms complejo, pero antes hemos de realizar algunos ajustes algebraicos:

x x x x

x x

x x

x x x

Nuevamente procedemos a aislar el radical restante, elevamos al cuadrado y resolvemos la ecuacin resultante

x x x

x x

x xx xx x

x x

x 0 y x

X

K Para x=0

x x x =

=

=

=

1 1

0 1 0 1 0

1 1 0

1 1 0!

Se observa que esto conduce a una falsedad, razn por la que x=0 es una raz extraa y la eliminamos.


48

K Para x=16/25

x x x

4 x=16/25 es la nica solucin de la ecuacin

x x x 1 1

4

En equipos de tres compaeros obtengan por separado la solucin a la siguiente ecuacin con radicales, pero cada uno despejando un radical diferente. De manera *

error en el proceso de resolucin por medio de una coevaluacin entre ustedes.

Sntesis4

las competencias de esta sesin.

1) Con cada ecuacin cuadrtica representada a continuacin determnales sus soluciones por los tres mtodos vistos en este bloque:

a. x x

b. x x

c. x x x

d. x x

e. xx

x x

f. x x

g. xx

x

h.

x xx

B2


2) Resuelve las ecuaciones cuadrticas literales.

a. 2 2 22

b. 2 22 2

c.

d.

e.

3) En cada inciso determina (sin resolver las ecuaciones) si la ecuacin tiene dos, una o ninguna raz real adems de investigar el valor de la suma y producto de sus races (si las hay).

a. x x

b. x x

c. x x

d. x x

e. xx

4) En cada inciso determina el valor de k para que la ecuacin tenga.

i. races iguales

ii. una suma de races igual a 1

iii. races recprocas

a.

b.

c.

5) Resuelve las siguientes ecuaciones como ecuacin de forma cuadrtica.

a. x x

b. x x

c. x x

d. x

xx

x

e.

x

xx

x

6) Halla las soluciones de las ecuaciones con radicales siguientes.

a. x x

b. x x

c. x x x

d. x x x

e. xx

f. x x


50

Sesin 2: Sistemas de ecuaciones cuadrticosCriterios

K J/-nes que conforman el sistema en cuestin.

K Conozco el nmero posible de soluciones de un sistema de ecuaciones, a partir de las relaciones que lo conforman.

K Reconozco las variables asociadas a una situacin terica o contextual.

K Determino el nmero posible de soluciones de un sistema de ecuaciones

K Resuelvo sistemas de ecuaciones cuadrticas mediante el empleo de m-todos adecuados.

K Modelo situaciones del contexto, a partir de las variables asociadas a sta.

K 4//

de un sistema de ecuaciones cuadrticas.

ContextualizacinDesde el primer curso de matemticas en bachillerato has resuelto sistemas de ecua-ciones lineales de dos incgnitas, que podran verse del tipo

Donde a1, a2, b1, b2, c1y c2

Incluso analizaste en el bloque uno mtodos de cmo llegar a tener las so-luciones (que son representadas por coordenadas cartesianas) ya que la interseccin de dos rectas diferentes en un plano generan un punto coordenado de la forma (x, y).

4""-cin de sistemas de ecuaciones de dos incgnitas, pero ya no de forma puramente lineal si no de forma cuadrtica con sus combinaciones respectivas.

ProblematizacinRecuerda que una ecuacin lineal de dos incgnitas se puede ver de la forma

, con a, b y c a o b son diferentes de cero. De manera que ampliando esta ecuacin podemos dar la forma de una ecuacin cuadrtica de dos incgnitas, la cual es:

En donde a, b, c, d, e y f

a, b o c no sea cero. De manera general esta ltima ecuacin genera las ecuaciones de las secciones cnicas vistas en Matemticas III. Por ello responde las siguientes preguntas con base numrica o algebraica:

B2


1) kw/'

87 t Selectos Matematicas i 5 Sem

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