8 Modulación Digital

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guia practica sobre los distintos tipos de modulación digital comunes

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  • 1

    Tratamiento de seales II

    1. La modulacin digital.

    En la primera clase se hizo una introduccin a los temas del curso basados en la cartula

    del libro Digital communications de Bernard Sklar y se empez un repaso de los siguientes tpicos de la transmisin en banda base:

    Espectro de un tren pulsado

    Probabilidad de error en presencia de ruido AWGN

    =+

    (

    )

    1.1. EL FILTRO ACOPLADO

    Con el objeto de minimizar la probabilidad de error, se busca maximizar la relacin

    seal a ruido antes de la toma de decisin acerca del smbolo que se envi. Esto se realiza

    mediante un dispositivo que se denomina filtro acoplado, el cual se analiza a

    continuacin.

    Suponiendo que la entrada al filtro es () + () y que la salida es () + (), se puede minimizar la probabilidad de error maximizando, en el instante de tiempo , la relacin de potencia normalizada de seal pico a potencia normalizada de ruido promedio.

    |()|

    ()

    Si () es la transformada de () y () la respuesta en frecuencia del filtro entonces

    () = (()())

    Tal que

    () =

    ()()

    Suponiendo que el ruido es blanco, su densidad espectral de potencia est dada por

    () =

    Con = = . /

    Y la temperatura equivalente de ruido del sistema.

  • 2

    El valor cuadrtico medio del ruido a la salida del filtro estar dado por

    () =

    |()|

    Por lo tanto lo que se intenta maximizar es

    |()|

    () =| ()()

    |

    |()|

    Para hacer esto se hace uso de la desigualdad de Schwartz

    |

    ()()|

    |()|

    |()|

    En donde la igualdad se da cuando

    () = ()

    De la desigualdad mencionada se concluye que

    | ()()

    |

    |()|

    |()|

    Sustituyendo se tiene

    |()|

    () |()|

    De tal manera que

    [|()|

    () ]

    = |()|

    =

    En donde es la energa normalizada de la seal (para una carga de ).

    La igualdad se cumple si

    () = ()

  • 3

    De este resultado se concluye que:

    deben atenuarse fuertemente los intervalos en donde la densidad espectral de la seal es pequea y poco donde ocurre lo contrario.

    Adems las componentes en frecuencia deben sumarse exactamente en fase en = .

    Adicionalmente:

    () = (())

    = ( )

    El comportamiento del filtro acoplado se muestra en la ilustracin 1:

    Ilustracin 1: comportamiento del filtro acoplado

    En el instante la seal de salida estar dada por

    () =

    |()|

    =

  • 4

    Y, por tanto, la potencia de ruido de salida ser

    () =

    El filtro acoplado se puede construir de manera aproximada con un filtro transversal de

    retrasos cuya salida est dada por

    () = ( )()

    =

    En donde en este caso se tiene que las ganancias del filtro transversal estarn dadas por

    () = ( )

    En la ilustracin 2 se puede apreciar la simulacin del filtro acoplado a partir del uso de

    un filtro transversal de 4 etapas de retraso y en la ilustracin 3 se observan los resultados

    de la simulacin.

    Ilustracin 2: Filtro acoplado construido a partir de un filtro transversal.

  • 5

    Ilustracin 3: resultados de la simulacin del filtro transversal.

    El filtro acoplado puede construirse de otra manera ms sencilla de la siguiente manera:

    Sea () = () + () la entrada del filtro. La salida estar dada por

    () = () ( )

    = ( )

    ( )

    = ( )

    Lo que conduce a una implementacin como la que se muestra en la ilustracin 4.

    Ilustracin 4: Implementacin del filtro acoplado como un correlador.

  • 6

    En la ilustracin 5 se muestra el esquema usado en la simulacin del filtro acoplado

    implementado a partir de un correlador y en la ilustracin 6 se muestran los resultados

    de la simulacin.

    Ilustracin 5: Esquema usado en la simulacin del filtro acoplado que usa un correlador.

    Ilustracin 6: Resultados de la simulacin del filtro acoplado que usa un correlador.

  • 7

    Suponiendo que la seal y el ruido no estn correlacionados se tiene

    () = ( )

    Y en este caso el pico de salida en = estar dado por () = ()o que corresponde a la energa de la seal bajo el supuesto que la seal es independiente del

    ruido y por lo tanto ambos no estn correlacionados.

    1.2. Introduccin a la modulacin digital

    Para transmitir informacin a travs del aire se siguen tres pasos principales:

    Se genera una portadora pura en el transmisor.

    Se modula la portadora con la informacin a transmitir tal que se genere un cambio, detectable de manera confiable, en alguna caracterstica de la portadora.

    En el receptor los cambios se detectan y desmodulan.

    La modulacin digital consiste fundamentalmente en la modificacin de los parmetros,

    la amplitud, la frecuencia o la fase, o una combinacin de estos, de una seal sinusoidal

    (la portadora) en funcin de un tren de datos digitales (la moduladora).

    Adems de las ventajas de la modulacin anloga (posibilidad de radiar, mayor eficiencia

    en el uso del espectro, etc.), moverse de modulacin anloga a modulacin digital provee:

    Mayor capacidad de informacin (por disponer de mayor ancho de banda)

    Compatibilidad con servicios de datos digitales

    Mayor seguridad en los datos

    Mejor calidad en las comunicaciones

    Los diseadores de sistemas de comunicaciones enfrentan estas restricciones:

    Ancho de banda disponible

    Potencia permisible

    Nivel inherente de ruido del sistema

    El espectro de radiofrecuencia debe ser compartido; cada da hay ms usuarios para aquel

    espectro a medida que la demanda por servicios de comunicaciones se incrementa. Los

    esquemas de modulacin digital tienen una capacidad ms grande de portar grandes

    cantidades de informacin que los esquemas anlogos de modulacin.

    1.3. MODULACIONES DIGITALES BINARIAS

    En el caso de seales binarias se tienen tres versiones bsicas: , y , con mltiples variantes entre las cuales algunas de ellas pueden usar seales moduladoras de

    ms de dos niveles. A continuacin se analizan estos tipos de modulacin desde el punto

    de vista de la probabilidad de error y de la eficiencia espectral.

  • 8

    1.3.1. Conmutacin por desplazamiento de amplitud ():

    Se cambia la amplitud de una portadora de alta frecuencia en funcin de un cdigo PCM,

    como se muestra en la ilustracin 7.

    Ilustracin 7: Diagrama temporal de

    El esquema usado para la simulacin de ASK con demodulacin coherente es el

    mostrado en la ilustracin 8 y los resultados de la simulacin se muestran en la

    ilustracin 9.

    Ilustracin 8: Esquema usado en la simulacin de ASK coherente

  • 9

    Ilustracin 9: Resultados obtenidos en la simulacin de ASK coherente.

    La seal que representa el uno binario puede expresarse por

    () = {()

    La densidad espectral de potencia de ASK es idntica a la de la sealizacin NRZ

    centrada alrededor de la frecuencia de la portadora y por lo tanto el ancho de banda se

    duplica con respecto al del tren PCM. La mxima eficiencia espectral ser

    =

    Aunque los sistemas reales utilizan un ancho de banda superior a este en dos o tres veces

    y por lo tanto la eficiencia espectral es menor.

    La respuesta al impulso del filtro acoplado, que se muestra en la ilustracin 10, para la

    deteccin ptima de esta forma de onda est dado por

    () = ( )

  • 10

    Ilustracin 10: Demodulacin de ASK usando un filtro acoplado

    La salida de este filtro para la seal de entrada sin ruido estar dada por

    () = () ()= ( )

    Y por tanto en = la salida est dada por

    () = + paraununo

    = Parauncero

    La probabilidad de error en presencia de ruido Gaussiano estar dada en este caso por

    = (

    )

    = (

    )

    Dado que = y que en este caso =

    = .

    Esta probabilidad de error es igual que en el caso binario con sealizacin no retorno a

    cero.

    Para la modulacin ASK que utiliza detector de envolvente se utiliz el esquema de la

    ilustracin 11 y se lograron los resultados que se muestran en la ilustracin 12.

  • 11

    Ilustracin 11: Esquema usado para simular ASK con deteccin de envolvente

    Ilustracin 12: resultados obtenidos en un sistema ASK con deteccin de envolvente.

  • 12

    En este caso se logra una probabilidad de error dada por

    =

    () +

    (

    )

    Lo que significa que solo debe sacrificarse del orden de en la relacin S/N para probabilidades de error inferiores a .

    1.3.2. Conmutacin por desplazamiento de frecuencia ()

    En este tipo de modulacin el 1 lgico se representa por una frecuencia y el 0 lgico se representa por otra frecuencia diferente como se muestra en la ilustracin 13.

    Ilustracin 13: Diagrama temporal de la modulacin

    La binaria puede considerarse como la superposicin de dos de diferentes frecuencias, como se observa en la ilustracin 14.

    Ilustracin 14: como superposicin de dos seales

    En este caso para enviar los smbolos binarios se utilizan una de dos seales sinusoidales

    () = {() <

    () = {() <

    El receptor utiliza dos filtros acoplados como los mostrados en las ilustraciones 15 y 16,

    la simulacin correspondiente se muestra en la ilustracin 17 y los resultados obtenidos

    se muestran en la ilustracin 18.

  • 13

    Ilustracin 15: Demodulacin de usando dos filtros acoplados

    Ilustracin 16: Demodulacin de usando dos correladores

    Ilustracin 17: Modulador y demodulador sincrnico de

  • 14

    Ilustracin 18: Resultado de la simulacin.

    La energa media por dgito binario est dada por

    =

    ()

    =

    En = uno de los dos filtros acoplados producir salida ( + )y el otro producir solo ruido de tal manera que el detector de umbral recibir una seal con una

    funcin densidad de probabilidad Gaussiana con media con la nica diferencia que los voltajes de ruido se restan a la salida (sumando realmente sus potencias por ser

    independientes) de tal manera que la potencia de ruido (varianza) resultar

    multiplicada por 2, o sea

    =

    En este caso la probabilidad de error est dada por

    =

    (+)

    = (

    )

  • 15

    Esto implica que con base en la energa promedio de bit el comportamiento de la seal

    es idntico al de la . Sin embargo se requiere una potencia pico inferior en a la .

    El oscilador del receptor en el filtro acoplado debe estar sincronizado con el del

    transmisor, lo cual se puede lograr usando un PLL como se observa en la ilustracin 19.

    Ilustracin 19: Demodulacin de usando dos

    Sin embargo se puede utilizar solo la magnitud de la respuesta del filtro acoplado y

    deteccin de envolvente como se observa en la ilustracin 20.

    Ilustracin 20: Demodulacin de usando deteccin de envolvente

    En este caso la probabilidad de error est dada por

    =

    ()

    Se origina en este caso un costo del orden de 1 dB en la S/N para lograr la misma

    probabilidad de error, esta caracterstica lo hace muy usado.

    Con ste mtodo el espaciado en frecuencia debe ser del orden de , para evitar un traslape significativo entre los dos filtros, siendo la diferencia entre las dos frecuencias utilizadas.

    La separacin ptima de frecuencias est dada por el siguiente razonamiento:

    La salida pasa bajos del detector sincrnico, cuando se recibe un 1, est dada por

    (() ())()

    [

    (())

    ()]

  • 16

    Para ( ) ,

    Lo que implica que para que las frecuencias sean ortogonales (o sea que el segundo

    trmino sea cero) se requiere que

    ( ) =

    ( ) =

    La separacin de frecuencia mnima para lograr que las dos frecuencias usadas sean

    ortogonales debe ser tal que al menos haya una diferencia de medio ciclo en el intervalo

    de un bit.

    O sea

    =

    =

    En sistemas pasa banda en los que y (_. ) se puede rescribir la probabilidad de error as:

    = (( ())

    )

    El trmino que modifica la relacin seal a ruido tiene un valor mximo cuando

    Ciclos.

    Lo que implica que para lograr la mnima probabilidad de error se requiere de unos tres

    cuartos de ciclo de diferencia en un intervalo de sealizacin . En este caso

    = (.

    )

    El ancho de banda de depende de la separacin de frecuencias utilizadas. Para hacer el anlisis espectral se expresa la seal de la siguiente manera alternativa:

    () = ( [ + () ()]

    )

    En donde

    =(+)

    Y = ( ) .

    Adems () es una funcin binaria aleatoria con valores .

  • 17

    En el caso que estos dos valores de () ocurran de manera alternada, ocurre un cambio peridico de frecuencia y se puede hacer un anlisis como el del ejemplo 6.3.3 Pg. 296

    de Stremler.

    Ejemplo 6.3.3 Pg. 296

    La modulacin puede analizarse por los mtodos de anlisis de si el desplazamiento en frecuencia es peridico. Por conveniencia se elige como seal

    moduladora una onda peridica cuadrada de amplitud unitaria como la mostrada en la

    ilustracin 21. Se desea hallar el espectro resultante.

    Ilustracin 21: Seal moduladora para el ejemplo

    En la modulacin FM se tiene que la frecuencia instantnea est dada por:

    tftfkt cfci

    El correspondiente ngulo de fase:

    tt

    dftdt

    c

    t

    c

    t

    i

    00

    Este ngulo de fase se muestra en la ilustracin 22.

    Ilustracin 22: Fase resultante en con una seal moduladora tren de pulsos peridica

    Dnde:

    () = {() < < /

    ()( ) < < /

    La seal modulada puede expresarse como

    () = {()} = {()}

  • 18

    La funcin de fase () es peridica con periodo y puede expresarse en series de Fourier as:

    () = = /

    =

    =

    ()

    /

    /

    De la expresin de (), se obtiene

    =

    { [

    ( )] + ()

    [

    ( + )]}

    Dnde:

    Y por lo tanto la seal de FM puede escribirse como

    () = {

    =

    }

    () = ( + )

    =

    Lo que conduce a un espectro como el mostrado en la ilustracin 23 para .

  • 19

    Ilustracin 23: Magnitud del espectro de una onda peridica

    El espectro de es complicado de hallar pero se pueden mostrar algunas tendencias:

    Si es bajo la DEP tiene un solo pico centrado en la frecuencia de la portadora y decrece suavemente a su alrededor.

    Si aumenta, disminuye el pico central y aparecen picos alrededor de las frecuencias de desviacin La DEP es continua para ondas binarias aleatorias, excepto para el caso de = con entero en donde aparecen impulsos en las dos frecuencias transmitidas lo cual se evita.

    Los sistemas no coherentes utilizan un > y los coherentes < < para minimizar el ancho de banda necesario y obtener ventajas en la relacin /. El ancho de banda no deber calcularse con la regla de y para > el ancho de banda requerido ser mayor que pero puede ser menor que el ancho de banda bilateral de la seal moduladora.

    La se utiliza universalmente en los mdems de baja velocidad por su eficiencia en la potencia pico y simplicidad.

    o Para las frecuencias utilizadas son de , y y para transmisin dplex

    o En canales telefnicos para ratas de se usan frecuencias de y en modo semidplex

    o Para ratas mayores () se requieren lneas telefnicas acondicionadas.

    En la tabla 1 se describen algunas caractersticas de estndares de mdems telefnicos.

    Estndar bps Fecha Descripcin

    . 17 14.400 Para transmisiones Fax a travs de la lnea telefnica

    . 21 300 Transmisin de datos por lneas telefnicas . 22 1.200 Transmisin de datos por lneas telefnicas y lneas

    dedicadas

    . 22 2.400 1984 Transmisin de datos por lneas telefnicas dedicadas

  • 20

    . 23 600/1.200 Transmisin de datos por lneas telefnicas y dedicadas.

    . 25 Estndar para llamada y contestacin automtica. . 26 2.400 Transmisin de datos por lneas dedicadas.

    . 26 1.200/2.400 Transmisin de datos por lneas telefnicas . 26 2.400 Transmisin de datos por lnea telefnica y dedicada

    . 27 4.800 Transmisin de datos por lnea dedicada. . 27 2.400/4.800 Transmisin de datos por lnea dedicada.

    . 27 2.400/4.800 Transmisin de datos por lnea telefnica. . 29 9.600 Transmisin de datos por lnea dedicada.

    . 32 9.600 1984 Transmisin de datos por lnea telefnica. . 32 14.400 1991 Transmisin de datos por lnea telefnica utilizando

    comunicacin sncrona

    . 32 19.200 1993 Se comunicar slo con otro . 32. . 33 14.400 1993 Transmisin de datos por lnea dedicada. . 34 28.800 1994 Transmisin de datos por lnea telefnica con la

    posibilidad de bajar la velocidad cuando haya

    problemas con la lnea

    . 35 48.000 Transmisin de datos por lnea dedicada . 42 57.600 1995 Compatible con versiones de V. mdems anteriores.

    Estndar con correccin de errores en lneas ruidosas

    . 42 56.600 Comprensin de datos 4:1 para transferencias de alta velocidad

    . 90 56.600 1998 Estndar de mdem a 56 K; resolvi la competencia para los estndares entre los estndares

    . . 2 y 56.

    Tabla 1: Mdems telefnicos

    La modulacin aunque genera en el receptor seales simtricas con respecto a cero no logra obtener la eficiencia en cuanto al comportamiento frente al ruido

    de la sealizacin de banda base.

    Para obtener las formas de onda modulada que producen esta mejora se analiza el

    comportamiento del receptor con filtro acoplado que trabaja con la diferencia entre dos

    seales. Sea

    ()) = () ()

    En donde () y () se usan para transportar la informacin binaria. La razn seal pico a ruido a la salida del filtro acoplado est dada por

    |()|

    () = |()|

    =

    Y del teorema de Parseval

  • 21

    |()|

    = |()|

    As

    |()|

    () = |() ()|

    =

    [ |()|

    + |()|

    ()()

    ]

    Las dos primeras componentes representan la energa de cada uno de los smbolos y se

    hace igual, es decir

    |()|

    = |()|

    =

    Se concluye que la relacin seal pico a ruido es mxima cuando

    () = ()

    Estas seales se llaman antipdicas, tienen la misma forma pero son de polaridad opuesta

    y requieren la mnima relacin para una probabilidad de error determinada. cumple con la primera de las dos ecuaciones previas pero no la segunda y por tanto no es

    ptima, por el contrario la modulacin s es ptima como se analiza a continuacin.

    1.3.3. Conmutacin por desplazamiento de fase ()

    En la modulacin la fase se alterna entre dos o ms valores en respuesta al cdigo PCM, acostumbrndose un desfase de 180 en el caso binario debido a que simplifica el

    diseo del modulador, envindose una de dos seales:

    () = () () = ()

    Estas dos seales se muestran en la ilustracin 24 para una secuencia aleatoria de datos:

    Ilustracin 24: Diagrama temporal de una seal

    La modulacin satisface los criterios vistos en la seccin anterior para lograr la mnima probabilidad de error.

    La seal se desmodula utilizando un detector de correlacin como el de la ilustracin 25:

  • 22

    Ilustracin 25: Demodulacin de usando un correlador

    Se simul un sistema de comunicaciones basado en modulacin con el esquema mostrado en la ilustracin 26 y se obtuvo los resultados mostrados en la ilustracin 27.

    Ilustracin 26: simulacin de un sistema basado en .

    En este caso la varianza del ruido a la salida del correlador est dada por

    () =

    Adems, la probabilidad de error est dada por

    = (

    )

  • 23

    Ilustracin 27: Resultados obtenidos en la simulacin de un sistema basado en .

    Se puede concluir, entonces, que el desempeo frente al ruido es igual que el polar de

    banda base y que para la misma probabilidad de error se requiere la mitad de la potencia

    que en y .

    Se puede hacer una representacin ms general de binaria

    () = ( + ())

    Con y () una secuencia binaria aleatoria (() = ).

    En esta representacin se define un ndice de modulacin as:

    = ()

    Con

    Como

    (()) =

    Y

    (()) = ( )

  • 24

    Se tiene que

    () = () + () ( ) ()

    Esto implica que se asigna una porcin de la potencia total a la portadora. La salida del correlador estar dada por

    ( ) () =

    ()

    Por lo tanto las funciones densidad de probabilidad estarn centradas alrededor de

    ()

    Y la probabilidad de error estar dada por

    =

    (+())

    = (

    ())

    Esto implica que asignar una fraccin de potencia a la portadora deteriora la relacin seal

    a ruido y por lo tanto aumenta la probabilidad de error.

    Si el desfase es de 180 () se tiene una densidad espectral bilateral sin una lnea en la frecuencia de la portadora, de tal manera que si se modula con un tren se tiene

    () =

    (( + )

    ) +

    (( )

    )

    Por lo tanto el ancho de banda necesario para su transmisin ser igual a y la eficiencia espectral mxima ser

    =

    La desventaja de la es que se necesita deteccin sincrnica, pero la porcin de la potencia que se enva en la portadora es til en este caso para recuperar el sincronismo

    usando un .

    Para recuperar la portadora necesaria en el detector de correlacin se usa un circuito

    como el de la ilustracin 28 que usa un dispositivo de ley cuadrtica seguido de un

    divisor de frecuencias.

  • 25

    Ilustracin 28: Demodulacin de

    Se simul esta forma de recuperar la portadora usando el diagrama de bloques de la

    ilustracin 29 y se obtuvo los resultados mostrados en la ilustracin 30.

    Ilustracin 29: Diagrama usado en la simulacin del sincronizador de portadora.

    Otro mtodo para recuperar la portadora es el .

    El problema de la sincronizacin de portadora se soslaya usando un sistema

    como el mostrado en la ilustracin 31. En este sistema se envan las diferencias consecutivas de fases, de tal manera que se asigna un valor inicial de fase al

    tren y si ocurre un uno a la entrada no hay cambio de fase y, por el contrario, ocurre un

    cambio de fase si llega un cero como se muestra en la tabla 2.

  • 26

    Ilustracin 30: Resultados de la simulacin del sincronismo de portadora

    Ilustracin 31: y su demodulacin

    Cdigo PCM de entrada 1 0 1 1 0 1 0 0 1

    Cdigo diferencial 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1

    Fase 0 0 0 0 0 0

    Tabla 2: Modulacin

    La simulacin de este esquema de modulacin se muestra en la ilustracin 32 y los

    resultados obtenidos se muestran en la ilustracin 33.

    En este caso hay una tendencia a que los errores ocurran por pares ya que un error en

    un smbolo puede hacer que ocurra un error en el siguiente.

  • 27

    Ilustracin 32: simulacin de un sistema basado en diferencial.

    Ilustracin 33: Resultados obtenidos en la simulacin de

  • 28

    La probabilidad de error en est dada por

    =

    Para recuperar la sincrona de smbolo en el caso de usar NRZ se puede usar un circuito

    como el de la ilustracin 34

    Ilustracin 34: Recuperacin del sincronismo de smbolo para modulacin NRZ

    1.3.4. Comparacin entre los tres sistemas de modulacin digital previos

    Los transmisores ASK son fciles de construir y tienen la ventaja de que no se

    consume potencia cuando no se envan datos. Tienen Aplicacin en sistemas miniatura

    usados para tele medida, en los cuales se necesita AGC (control automtico de

    ganancia) en el receptor cuando hay desvanecimiento selectivo (FADING).

    Los transmisores de , y son similares en cuanto a la complejidad. A pesar de que es mejor en cuanto que requiere menor potencia para una probabilidad de error dada (ver la ilustracin 35), el receptor es ms complejo porque

    requiere sincronismo y mecanismos de recuperacin de la portadora, sin embargo el

    permite un receptor ms econmico. Ninguno de los mtodos de modulacin binaria es eficiente en cuanto al ancho de

    banda

    Los tres mtodos ms empleados para la comunicacin digital son , y .

    Ilustracin 35: Probabilidad de error para las modulaciones digitales bsicas

  • 29

    1.4. Modulaciones multinivel

    El objetivo de las modulaciones multinivel es aumentar la eficiencia espectral con

    respecto a la de los sistemas binarios o mejorar en cuanto a la sensibilidad al ruido.

    1.4.1. en cuadratura y

    En esta modulacin se genera una seal con cuatro fases diferentes para representar dos

    bits simultneamente. La constelacin resultante se muestra en la ilustracin 36.

    Ilustracin 36: a) portadora sin modular, b) portadora modulada en fase, C) portadora modulada

    en cuadratura, d) /

    El transmisor / se basa en un modulador en cuadratura como se muestra en la ilustracin 37.

    Ilustracin 37: Modulador /

    La densidad espectral de potencia de con una entrada aleatoria est dada por

    () = [( )]

    El ancho de banda ser entonces igual a la rata en smbolos y por lo tanto la eficiencia

    espectral mxima en este caso es

    =

  • 30

    Como se envan 4 seales diferentes, en la recepcin se requieren dos filtros de

    correlacin como se muestra en la ilustracin 38.

    Ilustracin 38: Demodulador /

    La salida de cada correlador est dada por

    () = [()][( + )]

    () =

    =

    =

    Con unas probabilidades de error en cada salida dadas por

    = ()

    La probabilidad de recibir correctamente ambos datos est dada por el producto de las

    probabilidades de que ambos correladores den resultados correctos.

    = ( )( )

    ( )

    Y por tanto la probabilidad de error ser que resulta ser igual al caso de binario porque se estn recibiendo dos bits al mismo tiempo

    Para evitar la variacin de amplitud en las transiciones de fase se usa el filtro pasa banda

    a la salida del modulador, el cual no es til si el transmisor tiene una etapa de salida no

    lineal; con el mismo objetivo tambin se puede usar un modulador que introduzca un

    retardo de un tiempo de bit en uno de los brazos del modulador () haciendo que la transicin mxima de fase sea de 90 grados lo que produce menor

    fluctuacin en la envolvente.

  • 31

    En la demodulacin es necesario tener disponible la portadora y por lo tanto debe

    recuperarse esta de la seal modulada utilizando por ejemplo el , mostrado en la ilustracin 39.

    Ilustracin 39:

    1.4.2.

    Se utiliza un conjunto de seales sinusoidales desplazadas un ngulo

    = ,

    , ,

    ( )

    En este caso se tiene una constelacin como la que se muestra en la ilustracin 40.

    Ilustracin 40: Constelacin para

    La densidad espectral de potencia en este caso est dada por

    () = [( )

    ]

  • 32

    El ancho de banda mnimo = = y por lo tanto se tiene una eficiencia espectral dada por

    =

    = /

    La probabilidad de error de smbolo est dada por

    (

    (

    ))

    De aqu se concluye que la probabilidad de error de bit est dada por

    En la modulacin se observa que a medida que aumenta se incrementa la probabilidad de error o los requerimientos de para una probabilidad de error determinada, como se puede observar en la tabla 3 y en la ilustracin 41.

    = =

    . . . . . . . . . . . .

    Tabla 3: Requerimientos de la de la para razones de error fijas

    Ilustracin 41: Probabilidad de error para

  • 33

    1.4.3. Modulacin de amplitud-fase ()

    Ventaja: Menor potencia que en para una determinada probabilidad de error.

    Desventaja: Mayor complejidad del equipo.

    En la ilustracin 42 se muestran dos posibles constelaciones de .

    Ilustracin 42: Constelacin para

    La primera constelacin se genera con el esquema mostrado en la ilustracin 43.

    Ilustracin 43: Modulador y constelacin resultante

    La segunda de estas dos constelaciones se genera con un conversor de binario a niveles que luego modula un sistema .

    Se desmodula con un sistema como el mostrado en la ilustracin 44.

    Ilustracin 44: Diagrama de bloques de un demodulador.

  • 34

    En la ilustracin 45 se muestra el comportamiento frente al ruido de distintas formas de

    modulacin .

    Ilustracin 45: Probabilidad de error para distintos tipos de modulacin digital de fase.

    1.4.4. _

    Se transmite un smbolo en cada intervalo [, ] mediante el uso de una seal de un conjunto de seales ortogonales de diferentes frecuencias con una separacin mnima de

    =

    =

    =

    Esto implica un requerimiento de ancho de banda mnimo

    En donde

    =

    Por lo tanto la eficiencia espectral ser:

  • 35

    =

    =

    /

    En la ilustracin 46 se muestra el receptor ptimo para .

    Ilustracin 46: Demodulacin de

    En este caso la probabilidad de error est dada por

    =

    (

    +

    )

    En la tabla 4 se muestran los requerimientos de relacin seal a ruido para dos

    probabilidades de error diferentes. En la ilustracin 47 se muestran las curvas de

    probabilidad de error para en funcin de la relacin seal a ruido.

    = =

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

    Tabla 4: valores de relacin seal a ruido necesaria para lograr una determinada probabilidad de

    error en

  • 36

    Ilustracin 47: Probabilidad de error para

    En la modulacin se observa que a medida que se incrementa el ancho de banda necesario para la transmisin se produce una disminucin en la relacin seal a ruido

    necesaria para una determinada probabilidad de error. Se observa un intercambio de

    potencia por ancho de banda.

    1.5. Comparacin de los distintos mtodos de modulacin digital

    En la ilustracin 48 se comparan algunos tipos de modulacin digital en cuanto a la

    complejidad y en la tabla 5 se muestra el comportamiento real de algunos tipos de

    modulacin digital en cuanto a los requerimientos de tericos y prcticos y en cuanto a la eficiente espectral real.

    Ilustracin 48: Comparacin de algunos sistemas de modulacin digital desde el punto de vista de

    la complejidad

  • 37

    Tipo de modulacin

    Sistema ideal Sistema de banda limitada ()

    () (/)

    . . . _ . . . . . .

    . . . . . . . . . . . .

    . . . . . . 8 . . . . . . 16 . . . 16 . . .

    Tabla 5: comparacin de varios sistemas de modulacin en cuanto a los requerimientos ideales y

    reales de y la eficiencia.

    Bibliografa:

    Stremler, Ferrel G. Sistemas de comunicacin

    Schwartz, Mischa. Transmisin de informacin, modulacin y ruido.

    Sklar, Bernard. Digital communications, fundamentals and applications. Ed. Prentice Hall.

    Couch, Len W. Sistemas de comunicacin digitales y analgicos. Ed Prentice Hall.

    Bellamy, John. Digital telephony. Ed. John Willey.

    Abramson, Norman. Teora de la informacin y codificacin. Ed. Paraninfo.

    Herrera, Enrique. Fundamentos de ingeniera telefnica.

  • 38

    Estas variaciones se pueden representar en un grfico de la funcin contra el tiempo

    (diagrama temporal) o por medio de un diagrama polar (ver ilustracin 39) que permite

    visualizar simultneamente las variaciones de amplitud y de fase con respecto a una seal

    de referencia que en este caso es la seal portadora. En este grfico la portadora se

    convierte en una referencia de frecuencia y fase y la seal es interpretada con relacin a

    la portadora. La seal puede ser representada como una magnitud y una fase. La fase es

    relativa a una seal de referencia que normalmente es la seal portadora. La amplitud es

    un valor absoluto o relativo. Los diagramas polares son la base de muchos despliegues

    usados en comunicaciones digitales, aunque es comn describir el vector de seal por sus

    coordenadas rectangulares I y Q.

    Ilustracin 49: diagrama polar usado para representar una modulacin

    En la amplitud de la portadora varia en proporcin a la amplitud instantnea de la seal moduladora (ver ilustraciones 40 y 41)

    Ilustracin 50: Diagrama temporal de una modulacin de amplitud

    Ilustracin 51: Diagrama polar de una modulacin de amplitud

    En y la amplitud de la portadora se mantiene constante mientras que la frecuencia o la fase de la portadora son variadas en funcin de la seal moduladora

    (ver ilustraciones 42 y 43).

  • 39

    FM es la tcnica ms popular de modulacin anloga usada en sistemas de comunicaciones mviles.

    Ilustracin 52: diagrama temporal de las modulaciones angulares

    Ilustracin 53: Diagrama polar de las modulaciones angulares anlogas

    La amplitud y la fase de la portadora se pueden modular simultnea y separadamente pero esto es difcil de lograr y especialmente difcil de detectar (ver ilustraciones 44

    y 45).

    Ilustracin 54: representacin temporal de la modulacin de amplitud y fase

    Ilustracin 55: Diagrama polar de la modulacin de amplitud y fase

    Por esta razn en sistemas prcticos, la seal es separada en un conjunto de componentes

    independientes: I (en fase) y Q (en cuadratura). Estas componentes son ortogonales y no

    se interfieren entre s.

    La modulacin digital es expresada generalmente en trminos de I y Q. Esta es una

    representacin rectangular del diagrama polar. Sobre un diagrama polar, el eje I yace

    sobre la referencia de cero grados y el eje Q est rotado 90 grados. La proyeccin del

    vector de seal en el eje I es la componente I y la proyeccin en el eje Q es la componente

    Q (ver ilustracin 46).

  • 40

    Ilustracin 56: representacin rectangular de una modulacin digital

    La mayora de las modulaciones digitales mapean los datos a un nmero de puntos

    discretos en el plano I/Q. Estos se conocen como los puntos de la constelacin. A medida

    que la seal se mueve de un punto a otro resulta usualmente una modulacin de amplitud

    y fase. Realizar esto con un modulador de amplitud y un modulador de fase es difcil y

    complejo. Es tambin imposible con un modulador de fase. La modulacin digital es fcil

    de construir con moduladores I/Q como se ilustra en la ilustracin 47. El demodulador

    se muestra en la ilustracin 48.

    Ilustracin 57: Modulador en cuadratura (I/Q)

    Ilustracin 58: demodulador en cuadratura

  • 41

    La mayora de los sistemas de modulacin digital caen en una de tres categoras:

    Eficientes en el ancho de banda, eficientes en potencia o eficientes en costo.

    La eficiencia en ancho de banda describe la habilidad de un esquema de modulacin

    para acomodar los datos dentro de un ancho de banda limitado.

    La eficiencia en potencia describe la habilidad de un sistema para enviar confiablemente

    informacin al ms bajo nivel de potencia prctico.

    El parmetro a ser optimizado depende de las demandas del sistema particular, como

    puede verse en los siguientes dos ejemplos:

    Para los diseadores de radios de microondas terrestres digitales sus ms altas

    prioridades son una buena eficiencia de ancho de banda con una rata de error baja, ya que

    se dispone plenamente de potencia y por tanto la eficiencia en sta no les interesa, adems

    de que no les preocupa ni el costo ni la complejidad ya que no tienen que construir grandes

    cantidades de estos equipos.

    Por otro lado los diseadores de telfonos celulares porttiles ponen alta prioridad en la

    eficiencia en potencia ya que estos dispositivos trabajan con bateras, adems los celulares

    deben ser de bajo costo para lograr que ms usuarios los compren, por lo tanto estos

    sistemas sacrifican la eficiencia en ancho de banda para obtener eficiencia en costo y en

    potencia. Cada vez que uno de los parmetros de eficiencia se incrementa (ancho de

    banda, potencia o costo) otro se reduce o viceversa.

    1. VENTAJAS Y DESVENTAJAS: 1.1. POR QU LA MODULACIN DIGITAL? 1.2. COMPROMISO ENTRE LA SIMPLICIDAD Y EL ANCHO DE BANDA

    Hay un compromiso fundamental en los sistemas de comunicacin. El hardware simple

    puede usarse en transmisores y receptores para enviar informacin, sin embargo este usa

    una gran cantidad de espectro que limita el nmero de usuarios (Ver ilustracin 49).

    Alternativamente transmisores y receptores ms complejos pueden usarse para transmitir

    la misma informacin sobre un ancho de banda menor. La transicin a tcnicas ms y

    ms eficientes espectralmente requiere hardware ms y ms complejo., el cual es ms

    difcil de disear, probar y construir. Este compromiso existe tanto si las

    comunicaciones son sobre el aire o por cable, anlogos o digitales

    Ilustracin 59: relacin inversa ancho de banda-complejidad