8 geomètrica Proporcionalitat - iescanpuig.com 228 proporcionalitat 8 geomètrica semblanÇa de...

228

Proporcionalitatgeomètrica8

SEMBLANÇA DE TRIANGLES

ESCALES

POLÍGONSSEMBLANTS

SEGMENTSPROPORCIONALS

TEOREMA DE TALES

PROPORCIONALITAT GEOMÈTRICA

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 228

La clau de la Ciutat Prohibida

El missioner jesuïta Matteo Ricci va travessar la porta de la Ciutat Prohibida per trobar-se amb l’emperador Wan-Li. Els regals que li havia enviat havien fet efecte i l’emperador el volia conèixer.

L’emperador, que mentre esperava es mirava el mapa del món inclòs en els regals, va aixecar la vista i li va ordenar fer-ne una còpia per a ell.

Després de l’entrevista, el pare Ricci va tornar a casa seva i allí, un altre missioner, una mica sorprès, va dir:

–Encara no entenc per què els crida tant l’atenció el mapa.

–És lògic –va argumentar el pare Ricci–. Fa milers d’anys que es pensen que el món és solament la Xina, que a fora hi viuen bàrbars incapaços d’aportar res a la seva cultura, i, de sobte, els demostrem que no som bàrbars, sinó que estem més avançats que ells en ciències com ara matemàtiques, astronomia, geografia...

–Aquesta és la clau que m’ha conduït a l’emperador de la Xina –va continuar el pare Ricci–. El mapa ha cridat la seva atenció, i quan els he explicat la manera de prendre mesures i la utilització d’escales per representar-les sobre el paper, llavors han vist que els podíem ensenyar moltes coses.

Dues muntanyes que estan situades a una distància de 20 km apareixen dibuixades en un mapa amb una separació de 2 cm. Quina distància hi haurà al mapa entre dos punts que disten en la realitat 40 km?

=

20x = 2 ⋅ 40

20x = 80

x =

x = 4

Entre els dos punts del mapa hi ha 4 cm.

80

20

40

x

20

2

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 229

230

EXERCICIS

Determina la longitud d’aquests segments:

a)

b)

a) 4 cm b) 5,5 cm

Dibuixa els segments AB i CD, de longituds 18 i 24 mm, respectivament.Troba’n la raó.

La raó entre els dos segments és el quocient de les seves longituds.

1,3)

Dibuixa els segments FG = 3 cm i MN = 9 cm. Quina és la raó? Explica el significat del resultat.

La raó entre els dos segments és el quocient de les seves longituds.

El segment MN és 3 vegades més llarg que el segment FG.

La raó de dos segments AB i CD és 0,5. Si AB fa 2 cm, calcula CD. Dibuixa els segments.

El segment CD és el doble de AB.

La raó de dos segments FG i MN és 0,3. Si MN fa 50 mm, calcula la mida (en cm) de FG. Dibuixa els segments.

El segment FG és el triple de MN.

Si la raó entre AB i CD és 2, quina és la raó entre CD i AB?

La raó entre CD i AB és 0,5.

AB

CD

CD

AB= =2 → 0,5

006

FG

MN

FGFG= = = =

500,3 15 mm 1,5 cm→

005

AB

CD CDCD= = =

240,5 cm→

004

MN

FG= =

9

33

003

CD

AB= =

24

18

BA C D

002

001

Proporcionalitat geomètrica

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 230

231

8

Indica si aquests segments són proporcionals:

a) AB = 18 cm, CD = 30 mm, EF = 30 mm i GH = 5 mm

b) AB = 2,5 cm, CD = 5 cm, EF = 4,5 cm i GH = 8 cm

a) Comparem les raons: . Per tant, són proporcionals.

b) Comparem les raons: . Per tant, no són proporcionals.

Troba la longitud del segment desconegut en aquestes proporcions:

a) b) c)

a) c)

b)

Donats dos segments AB = 3 cm i CD = 9 cm:

a) Calcula la raó dels segments AB i CD.b) Escriu dos segment que hi siguin proporcionals.

a) 0,3)

b) EF = 6 cm, GH = 18 cm

Si la raó entre els segments AB i CD és a, i la raó entre EF i GH és b, quina condició s’ha de donar perquè AB i CD siguin proporcionals a EF i GH?

Les raons han de ser iguals. Per tant, a = b.

Calcula la longitud de OA' i BC:

OA = 3 cmAB = 2,25 cm

A'B' = 1,5 cmB'C' = 5 cm

OA

OA

BC

B C

BCBC

' ' '= = =→ →3

2 57,5 cm

OA

OA

AB

A B OAOA

' ' ' ''= = =→ →3

22,25

1,5cm

AB

C

O

A' B' C'

011

010

3

9

1

3= =

009

5 12

6025

ABAB= =→

1

3

1545= =

ABAB→AB

AB3

8

122= =→

13

15=AB

5 1260AB

=AB3

812

=

008

2,5 4,5

5 8�

180

30

30

5=

007

SOLUCIONARI

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 231

232

Calcula la longitud del segment OC a la figura de l’exercici anterior.

OC' = 2 + 1,5 + 5 = 8,5 cm

També es pot trobar sumant els tres segments que el formen.

En aquesta figura sabem que OA = 4,7 cm, AB = 5 cm i la raó .

Calcula A'B', OB i OB'.

OB = OA + AB = 9,7 cm

Divideix gràficament un segment de 7 cm en:

a) 5 parts iguals. b) 2 parts, en què la segona sigui la meitat que la primera.

a)

b)

Divideix un segment de 10 cm en parts proporcionals a dos segments de 2 cm i 3 cm. Quina mida fan els segments resultants?

Els segments fan 4 cm i 6 cm.

10 cm

2 cm

3 cm

015

7 cm

2 cm

4 cm

7 cm

014

OA

OA

OB

OB OBOB

' ' ''= = =→ →1,6

9,76,0625 cm

OA

OA

AB

A B A BA B

' ' ' ' '' '= = =→ →1,6 3,125 cm

5

5 cm

4,7 cmA

B

O

A' B'

OAOA'

= 1,6013

OA

OA

OC

OC

OCOC

' '= = =→ →3

2 8 5,12,75 cm

012


830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 232

233

8

Observa la figura següent:

Quant fan els segments AP, PQ i QB?

Apliquem el teorema de Tales: .

QB = 5 cm

Dibuixa tres parells de triangles en posició de Tales. Explica com ho fas.

Dibuixem un triangle i després tracem la paral·lela a un dels seus costats i que talli els altres dos.

Dibuixa tres parells de triangles semblants que no estiguin en posició de Tales.Indica com ho fas.

Digues si aquests dos triangles estan en posició de Tales:Calcula EC i CB si:

AB = 8 cmED = 5 cmAC = 6 cmDB = 4 cm

AD

DE

AB

BC BCBC= = = =→ →4

5

8 40

410 cm

AB

BD

AC

EC ECEC= = = =→ →8

4

6 24

83 cm

A

E

C

D

B

019

018

017

PQ = =15

43,75 cmAP = =

5

41,25 cm

10

8 1 3 4= = =

AP PQ QB

10 cmG F

A P Q B

1 cm3 cm

4 cm

016

SOLUCIONARI

Els triangles estan en posicióde Tales, perquè tenen encomú l’angle A$ i els costatsDE i BC són paral·lels.

A'

A C

B B

B'

CA A'

B

B'

AC'

C

B

A C

B'

A' C'

A' C'

B'

A C

BCC'

B'AA'

B

C'

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 233

234

Els costats d’un triangle fan 5 cm, 4 cm i 8 cm, i els costats d’un altre, 5 cm, 6 cm i 8 cm. Comprova si són semblants.

Els seus costats no són proporcionals: , i els trianglesno són semblants.

Comprova que un triangle rectangle de catets de 8 cm i 6 cm és semblant a un altre de catets de 4 cm i 3 cm.

La hipotenusa del primer triangle fa 10 cm i la del segon és de 5 cm.

Els seus costats són proporcionals: , i els triangles són semblants.

Comprova si aquests triangles isòsceles són semblants, i indica el criteri que has aplicat.

a) Els angles del primer triangle fan 20°, 80° i 80°, i els angles del segontriangle fan 80°, 50° i 50°. Per tant, no són semblants, perquè els seusangles no són iguals.

b) Els costats del primer triangle fan 5 cm, 5 cm i 3 cm, i els costats delsegon fan 7,5 cm, 7,5 cm i 4,5 cm.

Com que , els triangles són semblants, ja que tenen

els costats proporcionals.

L’ombra d’un autobús a una certa hora del dia fa 8 m. A la mateixa hora,l’ombra d’un cotxe, que fa 1,4 m d’alçada, és de 3,5 m. Quina alçada té l’autobús?

Es formen dos triangles semblants, ja que els seus angles són iguals.

xx

8= =

1,4

3,53,2 m→

GF

1,4 m

8 m 3,5 m

023

5 5 3

7,5 7,5 4,5= =

5 cm

3 cmb)

7,5 cm

4,5 cm

a) 20°

80°

022

10

5

8

4

6

3= =

021

4

5

5

6

8

8� �

020


F

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 234

Quina alçada té el pal?

Calcula el valor de x.

y = 10 − 6 = 4 cm

Donats aquests rectangles, resol:

a) Són semblants?b) Quina raó de semblança tenen?c) Determina les mides d’un altre rectangle que hi sigui semblant.

a) → Són semblants.

b) La raó de semblança és 1,25.

c) Per exemple, 10 cm i 8 cm.

Calcula el perímetre dels rectangles de l’exercici anterior. Quina és la raó entre els seus perímetres? Quina relació té amb la raó de semblança?

PR. Gran = 30 ⋅ 2 + 20 ⋅ 2 = 60 + 40 = 100 cm

PR. Petit = 24 ⋅ 2 + 16 ⋅ 2 = 48 + 32 = 80 cm

La raó és: = 1,25.

La raó entre els seus perímetres coincideix amb la raó de semblança.

Quina és la raó entre les àrees de l’exercici anterior? Quina relació té amb la raó de semblança?

AR. Gran = 30 ⋅ 20 = 600 cm2

AR. Petit = 24 ⋅ 16 = 384 cm2

La raó és: = 1,5625 = 1,252.

La raó entre les seves àrees és el quadrat de la raó de semblança.

600

384

028

100

80

027

30

24

20

16=

20 cm

30 cm

16 cm24 cm

026

x = + = =4 4 322 2 5,66 cm

hh

6

2

34= =→ cm

6 cm

10 cm

2 cm3 cm

xh

y

025

15

18 10= =

xx→ 8,33 m

024

235

8SOLUCIONARI

G F8 m

G F18 m

GF

15 m

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 235

236

Observa el pentàgon ABCDE de la figura.Construeix un pentàgon semblant, si saps que la raó de semblança és 2.

Dibuixa un pentàgon semblant a l’anterior amb raó de semblança 0,5.

Construeix un polígon semblant, amb raó de semblança 1,5, prenent com a punt O un punt interior del polígon.

Quina figura aconsegueixes com a resultat si construeixes un polígon semblant a un altre amb raó de semblança 1?

Obtenim un polígon idèntic a l’original.

Explica què significa cada escala:

a) 1 : 300 b) 1 : 60.000 c) 1 : 12

a) Una escala 1 : 300 significa que la distància original és 300 vegades més gran que la distància de la gràfica. Així, 1 cm de la gràfica equival a 3 m en l’original.

b) Una escala 1 : 60.000 significa que la distància original és 60.000 vegades més gran que la distància gràfica. Així, 1 cm de la gràfica equivala 600 m en l’original.

c) Una escala 1 : 12 significa que la distància original és 12 vegades més gran que la distància gràfica. Així, 1 cm de la gràfica equival a 12 cmen l’original.

033

032

Q P

NM

031

030

029


A

BC

D

E A'

B' C'

D'

E'

A

B C

D

O

M

Q P

N

E

A'

B' C'

D'

E'

Q' P'

N'M'

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 236

237

8

Quina escala hem fet servir per dibuixar un objecte si 3 cm del dibuix equivalena 3 dm de la realitat?

. L’escala és 1 : 10.

Fem el plànol d’una casa a escala 1:75:

a) Quina raó de semblança hi apliquem?b) Quina mida real té una línia del plànol de 5 cm de longitud?c) Quina mida fa al plànol una longitud de 4,5 cm?

a) La raó de semblança és . c) Al plànol mesura: .

b) 5 ⋅ 75 = 375 cm

ACTIVITATS

Calcula la raó d’aquests segments:

a) AB = 6 cm CD = 8 cm c) AB = 15 dm CD = 9 mb) AB = 64 cm CD = 1 m d) AB = 20 m CD = 4 m

a) 0,75 b) 0,64 c) 0,167 d) 5

Si la raó , calcula:

a) AB, si CD = 76 cm b) CD, si AB = 3 cm

a) AB = 19 cm b) CD = 12 cm

Si la raó ; calcula:

a) AB, si CD = 9 dm b) CD, si AB = 13,6 cm

a) AB = 14,4 dm b) CD = 8,5 cm

Són proporcionals els segments AB, CD, EF i GH en les sèries següents?

a) AB = 2 cm CD = 5 cm EF = 6 cm GH = 16 cmb) AB = 2 dm CD = 1 m EF = 5 cm GH = 25 cmc) AB = 6 cm CD = 8 cm EF = 4 m GH = 3 md) AB = 3 m CD = 4 m EF = 12 dm GH = 16 dm

a) → No són proporcionals. c) → No són proporcionals.

b) → Són proporcionals. d) → Són proporcionals.3

4

12

16=

20

100

5

25=

6

8

4

3�

2

5

6

16�

039��

ABCD

= 1,6038�

ABCD

= 14

037�

036�

4,50,06 cm

75=

1

75

035

3

3

3

30

1

10

cm

dm

cm

cm= =

034

SOLUCIONARI

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 237

238

Calcula la longitud que ha de tenir el quart segment proporcional als segments AB, CD i EF.

a) AB = 3 cm CD = 6 cm EF = 9 cm

b) AB = 2 m CD = 7 m EF = 8,2 m

c) AB = 3 dm CD = 5 dm EF = 21 dm

d) AB = 10 cm CD = 15 cm EF = 25 cm

a) c)

b) d)

La raó de dos segments és i la suma de les seves longituds és de 8 cm.

Troba la longitud de cada segment.

a + b = 8

Aïllem a en la primera equació: a = 8 − b.La raó de proporcionalitat és:

→ → 5 ⋅ (8 − b) = 3 ⋅ b →

→ 40 − 5 ⋅ b = 3 ⋅ b → 40 = 8b → b = 5 cm

b = 5 cm → a = 8 − 5 = 3 cm

8 3

5

−=

b

b

a

b=

3

5

r =3

5

35

042��

10

15

25= =

GHGH→ 37,5 cm

2

7= =

8,228,7 m

GHGH→

3

5

2135= =

GHGH→ dm

3

6

918= =

GHGH→ cm

041�

040


FES-HO AIXÍ

COM CALCULEM UN SEGMENT PROPORCIONAL A TRES SEGMENTS MÉS?

Donats tres segments: AB = 4 cm, CD = 3 cm i EF = 2 cm, calcula la longitudd’un quart segment, GH, que sigui proporcional a aquests tres.

El segment que volem trobar l’anomenem segment quart proporcional.

PRIMER. Hi apliquem la definició de segments proporcionals.

SEGON. Resolem l’equació.

TERCER. Comprovem la solució.

AB

CD

EF

GH= = ⋅ = ⋅ =→ → →4

3

24 3 2 6 6

1,51,5

4

3

24 3 2

6

4= ⋅ = ⋅ = =

GHGH GH→ → 1,5 cm

AB

CD

EF

GH GH= =→ 4

3

2

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 238

239

8

La raó de dos segments és 4 i la diferència de les seves longituds és de 7 cm.Calcula la longitud de cada segment.

Calcula les longituds desconegudes:

a) d)

⎯→ x = 5 cm

→ y = 4,16 cm

⎯→ z = 6,4 cm

b) e)

c) f)

xx

2

3= =

4,81,25 cm→x

x8

6

412= =→ cm

4,8 cm

2 cm

3 cmx

4 cm

8 cm

6 cmx

xx

5

10

8= =→ 6,25 cm

xx

2

3

4= =→ 1,5 cm

10 cm

5 cm8 cm

x

2 cm

4 cm

3 cm x

F

z

8 1=

0,8

y

5 2 1,=

0,8

4

1x=

0,8xx

3 2= =

2,53,75 cm→

5,2 cm 8 cm

4 cm

1 cm

x

yz

F

0,8 cm

F

F

2 cm

3 cm

2,5 cm

x

044��

4 77

3

28

3b b b a− = = = = =→ →2,33 cm 9,33 cm

a

ba b

a b=

− =

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

=4

7

4→

043��

SOLUCIONARI

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 239

240

g) h)

⎯→ x = 8 cm

⎯→ y = 3,75 cm

→ z = 10,8 cm

Considera aquesta figura:

a) Si OA = 2 cm OB = 5 cm

OA' = 2,6 cm OC' = 11,7 cm

calcula: A'B', B'C', OB' i BC.

b) Si OA' = 4 cm OB = 9 cm

OB' = 12 cm OC' = 18 cm

calcula: OA, AB, A'B', B'C', OC i BC.

c) Si OA = 5 cm OC = 22,5 cm

OC' = 36 cm OB' = 24 cm

calcula: OA', OB, AB, BC, A'B' i B'C'.

a) AB = 3 cm

B'C' = OC' − OB' = 11,7 − 6,5 = 5,2 cm

OA

OA

BC

B C

BCBC

' ' '= = =→ →2

2,6 5,24 cm

OA

OA

OB

OB OBOB

' ' ''= = =→ →2 5

2,66,5 cm

OA

OA

AB

A B A BA B

' ' ' ' '' '= = =→ →2 3

2,63,9 cm

A

O

B C

A'

B'

C'

045�

z

8,1 1,5=

2

5 2

y=

1,5

3 5

7yy= =→ 4,2 cm

x

6

2=

1,5

xx

2

5

7= =→ 1,43 cm

8,1 cm

5 cm

1,5 cm

6 cm

2 cm

x

y z

F

7 cm

2 cm

3 cm 5 cmx

y


830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 240

241

8

b) A'B' = OB' − OA' = 12 − 4 = 8 cm

B'C' = OC' − OB' = 18 − 12 = 6 cm

BC = OC − OB = 13,5 − 9 = 4,5 cm

c)

AB = OB − OA = 15 − 5 = 10 cm

BC = OC − OB = 22,5 − 10 = 12,5 cm

A la figura següent, la raó .

Calcula OA', AB i BC.

⎯→ → OA' = 2,875 cm

→ ⎯→ AB = 2,24 cm

→ ⎯→ BC = 3,6 cm0,84,5

=BCOB

OB

BC

B C' ' '=

0,82,8

=ABOB

OB

AB

A B' ' '=

0,82,3

=OA'

OB

OB

OA

OA' '=

2,8 cm

4,5 cm

2,3 cmOA B C

A'

B'

C'

OBOB'

= 0,8046��

OA

OA

BC

B C B CB C

' ' ' ' '' '= = =→ →5

820

12,5cm

OA

OA

AB

A B A BA B

' ' ' ' '' '= = =→ →5

8

1016 cm

OA

OA

OB

OB

OBOB

' '= = =→ →5

8 2415 cm

OA

OA

OC

OC OAOA

' ' ''= = =→ →5

36

22,58 cm

OC

OC

OB

OB

OCOC

' '= = =→ →

18

9

1213,5 cm

AB

A B

OB

OB

ABAB

' ' '= = =→ →

8

9

126 cm

OA

OA

OB

OB

OAOA

' '= = =→ →

4

9

123 cm

SOLUCIONARI

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 241

242

Determina les longituds desconegudes:

Divideix gràficament un segment AB, am AB = 10 cm, en:

a) 4 parts igualsb) 6 parts iguals

a)

b)

Divideix gràficament un segment AB, amb AB = 18 cm, en parts proporcionals a tres segments d’aquestes mides:

a) 3 cm, 5 cm i 6 cm

b) 2 cm, 4 cm i 6 cm

c) 3 cm, 4 cm i 5 cm

d) 2 cm, 6 cm i 9 cm

Calcula les longituds dels segments i compara el resultat amb la solució gràfica.

049��

048�

5

8

6= =

yy→ 9,6 cm

3

2 4= =

xx→ 6 cm

5

8

3= =

zz→ 4,8 cm

3 cmz

y

8 cm

5 cmx

2 cm4 cm

t

F

047��


10 cmA B

10 cmA B

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 242

243

8

a)

b)

c)

d)18

2 6 9 2 6 9+ += = =

===

x y zxyz

→2,11 cm6,35 cm9,53 cmm

⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

18

3 4 5 3 4 56

+ += = =

===

⎧

⎨⎪⎪x y zxyz

→4,5 cm

cm7,5 cm

⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

18

2 4 6 2 4 6+ += = =

===

⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪

x y zxyz

→3 cm6 cm9 cm⎪⎪

18

3 5 6 3 5 6+ += = =

===

x y zxyz

→3,86 cm6,43 cm7,71 cmm

⎧

⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

SOLUCIONARI

18 cmA B

18 cmA B

18 cmA B

18 cmA B

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 243

244

Observa la figura següent, en la qual el segment AB, de 12 cm de longitud, es divideix en parts proporcionals als segments a, b i c. Calcula AP, PQ i QB, amb aquestes dades:

a) a = 6 cm, b = 8 cm i c = 4 cm c) a = 8 cm, b = 10 cm i c = 4 cm

b) a = 5 cm, b = 10 cm i c = 3 cm d) a = 2 cm, b = 5 cm i c = 1 cm

a)

AP = 3,6 cm PQ = 4,8 cm QB = 2,4 cm

b)

AP = 3,33 cm PQ = 6,67 cm QB = 2 cm

c)

AP = 4,36 cm PQ = 5,45 cm QB = 2,18 cm

d)

AP = 3 cm PQ = 7,5 cm QB = 1,5 cm

Divideix un segment de 14 cm en tres parts, cadascuna el triple de l’anterior.

Divideix un segment de 20 cm en tres parts, cadascuna la meitat de l’anterior.052��

051��

12

2 5 1 2 5 1+ += = =

AP PQ QB

12

8 10 4 8 10 4+ += = =

AP PQ QB

12

5 10 3 5 10 3+ += = =

AP PQ QB

12

6 8 4 6 8 4+ += = =

AP PQ QB

PA Q B

a

b

c

12 cm

050��


14 cm

20 cm

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 244

245

8

Calcula la longitud dels costats desconeguts en els parells de trianglessemblants següents:

a)

b)

c)

d)

a)

x = 6,66 cm y = 9 cm

Els costats fan 9 cm i 6,66 cm.

b)

x = 7,5 cm y = 5,25 cm

Els costats fan 5,25 cm i 7,5 cm.

c)

x = 10 cm y = 8 cm

Els costats fan 8 cm i 10 cm.

d)

x = 3,125 cm y = 3,125 cm

Els costats fan 3,125 cm.

5 5

2x y= =

3,2

6

3 5 4= =

x y

8

6

10 7= =

x y

3

4

5

12= =

x

y

3 cm 5 cm

12 cm

4 cm

053�

5 cm 5 cm

3,2 cm 2 cm

6 cm5 cm3 cm

4 cm

8 cm

7 cm

10 cm 6 cm

SOLUCIONARI

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 245

246

Dos triangles, ABC i A'B'C', són semblants. Els costats de ABC són:

AB = 4 cm BC = 5 cm CA = 6 cm

Calcula els costats de A'B'C' i la raó de semblança, si A'B' = 7,2 cm.

La raó de semblança és: 0,5)

.

B'C' = = 9 cm C'A' = = 10,8 cm

La raó de semblança de dos triangles, ABC i A'B'C', és .

Calcula els costats desconeguts dels dos triangles, si saps que:

a) AB = 5 cm, BC = 8 cm i CA = 10 cmb) A'B' = 20 cm, B'C' = 24 cm i C'A' = 26 cmc) AB = 4 cm, BC = 5 cm i C'A' = 16 cm

a) A'B' = 4 ⋅ 5 = 20 cm B'C' = 4 ⋅ 8 = 32 cm C'A' = 4 ⋅ 10 = 40 cm

b)

c) A'B' = 4 ⋅ 4 = 16 cm B'C' = 4 ⋅ 5 = 20 cm

056

CA = ⋅ =1

416 4 cm

CA = ⋅ =1

426 6,5 cmBC = ⋅ =

1

424 6 cmAB = ⋅ =

1

420 5 cm

r = 14

055�

CA0,5)BC

0,5)

AB

A B' '= =

4

7,2

054�


FES-HO AIXÍ

COM RECONEIXEM ELS TRIANGLES

EN POSICIÓ DE TALES?

Indica quins triangles de la figura següent estan en posició de Tales:

PRIMER. Identifiquem tots els triangles possibles.

ABC ABE ABG ADE AEG EBF GBC DBE DBF

SEGON. Prenem els que tenen un angle comú.

ABC i DBF tenen l’angle B$ en comú.

ABE , ABG i DBE tenen l’angle B$ en comú.

EBF i GBC tenen l’angle B$ en comú.

TERCER. De cada grup de triangles amb un angle en comú, considerem els que te-nen paral·lels els costats oposats a aquest angle.

ABC i DBF tenen AC i DF paral·lels.

ABG i DBE tenen AG i DE paral·lels.

EBF i GBC tenen EF i GC paral·lels.

Per tant, aquests parells de triangles estan en posició de Tales.

B

D

A G C

F

E

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 246

Identifica en les figures següents tots els triangles que estiguin en posició de Tales.

a) Els triangles que estan en posició de Tales són:

AGC i DFG, ABG i DEG, BCG i EFG, AFG i CDG.

b) Els triangles que estan en posició de Tales són:

ABJ amb BCI i BEG, HDF i GEF, HDF i HGI, HDF i CED.

c) Els triangles que estan en posició de Tales són:

ADG i ACH, ADG i HFG, ADG i IEG, ADG i BDF, HFL i BCL,

HFL i LJK, LJK i LBC.

d) Els triangles que estan en posició de Tales són:

ADF i AGC, ADF i BED, ADF i GEF, BCH i GEH.

Els costats d’un triangle ABC fan AB = 12 mm, BC = 15 mm

i CA = 21 mm, i els del triangle A'B'C' fan A'B' = 35 mm, B'C' = 25 mm i C'A' = 20 mm. Són semblants tots dos triangles?

Els costats són proporcionals: . Per tant, són semblants.

Determina si aquests parells de triangles són semblants i explica quin criteriapliques en cada cas:

a) Com que , els seus costats

no són proporcionals i no sónsemblants.

b) Com que , els seus costats

no són proporcionals i no són semblants.

c) Com que , els seus

costats no són proporcionals i no són semblants.

5

8

7 7=

11,2 12,8�

9

11

7�

9,1

4

5

5

6�

059��

21

35

15

25

12

20= =

058�

057��

247

8

5 7

7

12,8

11,2

8

11

9,1

65°9

7

65°

5

4

80°

5

6

80°

B

E

A

H

C D

G

F

B

EA

C

D

G

I

H

J

F

B

FL

A

G

C D

H

IJ K

EB

D

A

G

C

FE

SOLUCIONARI

a) b) c) d)

a)

b)

c)

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 247

248

d) La hipotenusa del triangle

més petit és i el catet

del triangle més gran és .

Com que , no tenen

els costats proporcionals i no sónsemblants.

e) Són semblants, perquè els seus anglessón iguals (90°, 50° i 40°).

f) Són semblants, perquè els seus anglessón iguals (70°, 50° i 60°).

Els costats d’un triangle ABC fan AB = 4 cm, BC = 5 cm i CA = 6 cm.

Troba la longitud dels costats d’un triangle semblant A'B'C', si saps que:

a) La raó de semblança és r = 2,5.

b) El perímetre de A'B'C' és de 30 cm.

a)

b)

Dibuixa dos quadrats semblants que tinguin les raons de semblança següents:

a) r = 2 b) c) r = 2,5 d)

a) c)

b) d)

r = 13

r = 12

061�

C A' ' = ⋅ =3

46 4,5 cmB C' ' = ⋅ =

3

45 3,75 cmA B' ' = ⋅ =

3

44 3 cm

4 5 6

20

4 5 6+ += = =

A B B C C A' ' ' ' ' '

B C' ' = ⋅ =1

5 22,5

cm

C A' ' = ⋅ =1

62,5

2,4 cmA B' ' = ⋅ =1

42,5

1,6 cm

060��

5

10

3

69�

69

34


50°50°

70° 60°

50°

40°

3

513

10

d)

e)

f)

D' C'

A' B'

D

A

C

B

D' C'

A' B'

D

A

C

B

D' C'

A' B'

D

A

C

B

D' C'

A' B'

D

A

C

B

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 248

249

8

Dibuixa triangles semblants que tinguin aquestes raons de semblança respectedel que està dibuixat:

a) c) r = 3

b) d)

a) c)

b) d)

Dibuixa figures semblants a les següents que tinguin com a raó de semblança r = 2 i r = 0,5:

a) b)

a) b)

Dos triangles ABC i A'B'C' són semblants i la seva raó de semblança és .

Les mides dels costats del triangle ABC són AB = 8 cm, BC = 10 cm i AC = 14 cm. Troba les longituds dels costats de l’altre triangle.

Dos triangles ABC i A'B'C' són semblants i la seva raó de semblança és 3.

Les mides dels costats del triangle ABC són AB = 6 cm, BC = 7 cm i AC = 3,5 cm. Troba les longituds dels costats de l’altre triangle.

A'B' = 3 ⋅ 6 = 18 cm B'C' = 3 ⋅ 7 = 21 cm C'A' = 3 ⋅ 3,5 = 10,5 cm

065��

C A' ' = ⋅ =1

414 3,5 cmB C' ' = ⋅ =

1

410 2,5 cmA B' ' = ⋅ =

1

48 2 cm

14

064��

063�

r = 54

r = 14

r = 126 cm 8 cm

12 cm

062�

SOLUCIONARI

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 249

Raona si les afirmacions següents són certes:a) Tots els quadrats són semblants.b) Tots els rectangles són semblants.c) Tots els pentàgons són semblants.d) Tots els pentàgons regulars són semblants.e) Tots els triangles rectangles són semblants.

a) Certa b) Falsa c) Falsa d) Falsa e) Certa

Troba el perímetre d’un rectangle que és semblant a un altre rectangle de costats 8 cm i 5 cm, amb aquestes raons de semblança:

a) r = 2 b) r = 0,5 c) d)

Quina relació hi ha entre els perímetres del rectangle original i els dels triangles semblants?

a) Els costats seran 16 cm i 10 cm i, per tant, el perímetre fa 52 cm.

b) Els costats seran 4 cm i 2,5 cm i, per tant, el perímetre fa 18 cm.

c) Els costats seran 6 cm i 3,75 cm i, per tant, el perímetre fa 19,5 cm.

d) Els costats seran 20 cm i 12,5 cm i, per tant, el perímetre fa 65 cm.

La raó dels perímetres és la mateixa que la dels rectangles.

068

r = 52

r = 34

067��

066��

FES-HO AIXÍQUINA RELACIÓ HI HA ENTRE EL PERÍMETRE I L’ÀREA DE DUES FIGURES SEMBLANTS?

Calcula el perímetre i l’àrea d’aquests dostrapezis semblants:

Si dos polígons són semblants, es compleix que:• Els perímetres són proporcionals amb raó r.• Les àrees són proporcionals amb raó r 2.

PRIMER. Calculem la raó de semblança del primer polígon respecte del segon.

← Raó de semblança

SEGON. Obtenim el perímetre i l’àrea del segon polígon.

P = 3 + 4 + 2 + 3,6 = 12,6 cm

TERCER. Multipliquem aquests resultats per la raó i pel quadrat de la raó, i obtenimel perímetre i l’àrea del primer polígon, respectivament.

P = 12,6 ⋅ r = 12,6 ⋅ 2 = 25,2 cm A = 9 ⋅ r 2 = 9 ⋅ 22 = 36 cm2

AB b h

=+ ⋅

=+ ⋅

=( ) ( )

2

4 2 3

29 2cm

6

3

8

4

4

22= = =

4 cm

6 cm

8 cm

3 cm 3,6 cm

2 cm

4 cm

250


830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 250

251

8

Troba el perímetre i l’àrea d’aquests polígons semblants:

a) Un triangle semblant a un triangle rectangle de costats 3 cm, 4 cm i 5 cm, i raó 3.

b) Un quadrat semblant a un quadrat de costat 3 cm i raó 4.c) Un rectangle semblant a un rectangle de costats 4 cm i 6 cm, i raó 2.

a) P = 12 ⋅ 3 = 36 cm A =

b) P = 12 ⋅ 4 = 48 cm A = 3 ⋅ 3 ⋅ 42 = 144 cm2

c) P = 20 ⋅ 2 = 40 cm A = 4 ⋅ 6 ⋅ 22 = 96 cm2

Expressa mitjançant una escala numèrica:

a) 25 cm d’un plànol representen 25 km reals.b) 0,8 dm d’un plànol representen 160 km reals.

a) 1 : 100.000 b) 1 : 2.000.000

Expressa mitjançant una escala numèrica i una escala gràfica:

a) 1 cm al plànol equival a 2 km a la realitat.b) 1 cm al plànol equival a 50 km a la realitat.

a) b)

Calcula l’alçada real dels objectes:

En el gràfic, l’armari fa 2 cm i en la realitat mesura:

2 ⋅ 20 = 40 cm.

En el gràfic, la furgoneta mesura 1,5 cm i en la realitat mesura:

1,5 ⋅ 10 = 15 cm.

En el gràfic, la casa mesura 2,3 cm i en la realitat:

2,3 ⋅ 25 = 57,5 cm.

072�

071�

070�

3 4

23 542 2⋅

⋅ = cm

069��

SOLUCIONARI

2 4 6 8 10 km

1 cm

50 100 150 200 250 km

1 cm

Objecte Escala

1 : 20

1 : 10

1 : 25

G F G F

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 251

252

Troba la distància real entre dos pobles separats4 cm en un mapa amb aquesta escala:

40 km = 4.000.000 cm

L’escala gràfica és 1 : 4.000.000, de manera que 4 cm en el plànol equivalen a: 4 ⋅ 4.000.000 = 16.000.000 cm = 160 km reals.

La distància real entre dues ciutats és de 450 km. Troba la distància que les separa en un mapa dibuixat a escala 1 : 1.500.000.

L’escala 1 : 1.500.000 significa que 1.500.000 cm de la realitat es representen en el plànol com 1 cm. Com que 1.500.000 cm = 15 km:

→ x = = 30 cm

La carretera que uneix dos pobles està representada en un mapa a escala 1 : 500.000 i fa 6 cm de longitud. Quina seria la longitud de la carretera si la representem en un mapa a escala 1 : 60.000?

En l’escala 1 : 500.000, la longitud de 6 cm en el mapa és:

6 ⋅ 500.000 = 3.000.000 cm = 30 km reals

En l’escala 1 : 60.000, la longitud real de 30 km és:

3.000.000 : 60.000 = 50 cm en el plànol

El plànol d’una casa està fet a escala 1: 60.

a) Quines dimensions reals té la cuina si al plànol fa 4 cm d’amplada i 7 cm de llargada?

b) El passadís fa 7,5 m a la realitat. Quant fa de llargada al plànol?

a) Amplada: 4 ⋅ 60 = 240 cm = 2,4 m. Llargada: 7 ⋅ 60 = 420 cm = 4,2 m.

b) Llargada: .

Un arbre fa 5 m d’alçada i, a una determinada hora del dia, projecta una ombra de 6 m. Quina alçada tindrà l’edifici de la figura si a la mateixa hora projecta una ombra de 10 m?

L’edifici té 8,33 m d’altura.

6

10

58 33= =

xx→ , m

077��

750

60= 12,5 cm

076��

075��

450

15

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

415 km ⎯⎯→ 1 cm450 km ⎯⎯→ x

074�

Quilòmetres

0 40 80 120073�


10 m

6 m

5 m

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 252

253

8

Si un pal fa 1 m, i l’ombra que projecta a una determinada hora del dia és d’1,5 m, quant fa un edifici que projecta una ombra de 6 m a la mateixa hora?

Com que són dos triangles rectangles semblants:

Un jugador de bàsquet d’1,9 m llança una pilota a la cistella, que està situada a 6,25 m. Calcula l’alçada que agafa la pilota quan va per la meitat del recorregut.

Els dos triangles són semblants, i com que z és la meitat de 6,25 m, y serà la meitat d’1,15 m: y = 0,575 m.

L’alçada de la pilota serà: x = 1,9 + 0,575 = 2,475 m.

L’ombra que projecta un pare que fa 1,8 m d’alçada, a les 3 de la tarda, és de 2,1 m. Quina alçada té el fill si l’ombra que projecta és d’1,5 m?

L’ombra que projecta la Júlia, que fa 1,34 m, a la 1 de la tarda és d’1,2 m. Quant fa la seva mare si en el mateix moment projecta una ombra d’1,4 m?

Al costat d’un semàfor, l’ombra d’en Joan fa 1,5 m i l’ombra del semàfor és 60 cm més llarga que la d’en Joan. Quina és la longitud del semàfor si en Joan fa 1,75 m d’alçada?

1 75

1 5 2 1

,

, ,= =

xx→ 2,45 m

082��

1,34

1,2 1,41,56 m= =

xx→

081��

1,8

2,1 1,51,29 m= =

xx→

080��

079��

hh

1

64= =

1,5m→

078��

6,25 m

1,9

mx3,05 m

G F6 m

1 m

1,5 m

SOLUCIONARI

z zy

6,25 m

h

G

G

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 253

254

L’Anna està situada a 5 m de la riba d’un riu i veu reflectida una muntanya a l’aigua. Si l’Anna fa 1,70 m i el riu està a 3 km de la muntanya, quinaalçada té la muntanya?

Mesurem l’ombra d’un edifici en dos moments del dia.

Calcula l’altura de l’edifici.

Com que els triangles ABC i ACDsón semblants:

L’altura de l’edifici és 11,65 m.

6,67133,4 m

AC

ACAC= = =

2011 65→ ,

6,67 m

20 m

60° 30°

085��

xx

3 000 51 020

..= =

1,7m→

084��

083


FES-HO AIXÍ

COM CALCULEM L’ALÇADA MITJAÇANT EL REFLEX EN UN MIRALL?

Per determinar l’alçada d’un objecte inaccessible, col·loquem un mirall al terrai ens allunyem la distància necessària per observar el punt més alt de l’objecte.Quina alçada té l’edifici?

PRIMER. Comprovem que els triangles ABC i AB'C' són semblants. En aquest cas,són semblants perquè són triangles rectangles i perquè els angles de refracció sóniguals.

SEGON. Apliquem la proporcionalitat entre els seus costats.

L’alçada de l’edifici és de 7 m.

B C

BC

AC

AC

B CB C

' ' ' ' '' '= = = ⋅ =→ →

1,751,75 m

8

24 7

8 m 2 m

1,75 mC'

B'

C

B

A

C

A D B

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 254

255

8

L’Enric està a 2 m d’un penya-segat i veu alineat un poble amb el caire del penya-segat. A quina distància està el poble del penya-segat?

La distància del poble al penya-segat és de 562,5 m.

Raona les qüestions següents:

a) Dos polígons amb tots els seus angles iguals, són semblants? En quina mena de polígons és verdadera aquesta afirmació?

b) Dos polígons amb tots els seus costats proporcionals, són semblants? En quina mena de polígons és verdadera aquesta afirmació?

a) No és cert en general, ja que la igualtat dels angles no suposa que els costats siguin proporcionals, per exemple en els rectangles. Només és cert en el cas dels triangles.

b) No és cert en general, ja que la proporcionalitat dels costats no implica la igualtat dels angles, per exemple un quadrat i un rombe. Només és certen el cas dels triangles.

Troba l’àrea de la zona acolorida, si saps que:

• El quadrat fa 2 cm de costat.• El punt E és el punt mitjà del costat DC.• L’angle F$ és recte.

Com que ABG és igual a AED, l’àrea que busquem és igual a l’àrea delquadrat menys l’àrea dels dos triangles més l’àrea de la intersecció

(el triangle AFG, que és semblant a ADF).

cm

Àrea de AFG =

Àrea total = 4 − 1 − 1 + 0,2 = 2,2 cm2

0 45 0 89

22, ,⋅

= 0,2 cm

AG

AE

FG

DE

AF

AD

FG AFFG

AF

= = = == =

=→ →1

5 1 2

1

52

0,45 cm

55=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪0,89 cm

AE = + =2 1 52 2

088��

087��

1,6562,5 m

450

2= =

xx→

1,6 m

2 m45

0 m

x

086��

ED

BA

G

C

F

SOLUCIONARI

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 255

256

El triangle ABC és isòsceles, d’àrea 8 cm2. Si D i E són els punts mitjans dels costats iguals,calcula l’àrea del trapezi ABDE.

L’àrea del trapezi és l’àrea de ABCmenys l’àrea de DEC.

Els triangles ABC i DEC són semblants, de raó , i la seva àrea té com

a raó . Per tant, l’àrea de DEC és: 8 : 4 = 2 cm2.

L’àrea del trapezi és: 8 − 2 = 6 cm2.

Eratòstenes i la mida de la Terra: El primer mesurament raonable de l’extensióde la Terra és degut a Eratòstenes, que vivia a la ciutat de Siena (ara s’anomena Assuan).

Suposava que la Terra era esfèrica i que els raigssolars queien paral·lels al planeta. Hi havia un diaa l’any que els raigs solars queien perpendicularssobre la seva ciutat, però no passava el mateixsobre Alexandria, ciutat que es trobava a5.000 estadis, i això significava que la Terra no eraplana. Llavors va fer un mesurament el mateix diad’aquest angle α, i era aproximadament de 7° 12'.

Si la mida d’un estadi era d’uns 150 metres, esbrina, mitjançant una regla de tres, quina era la mida d’un meridià terrestre segons Eratòstenes.

Primer convertim 7° 12' en graus:

Ara fem una regla de tres:

Així doncs, un meridià tindrà estadis,

que, en quilòmetres són 250.000 · 150 = 37.5000.000 m = 37.500 km. Això vol dir que:

Distància Sol-Terra

Estimació:

Distància real: 149,5 milions de km

Distància Lluna-Terra

Estimació:

Distància real: 384.400 km

780 0000 150

117 000.,

.estadiskm

1 estadikm⋅ =

8040 150

120 6milions estadiskm

1 estadi⋅ =

,, mmilions de km

Erelatiu = =2 500

40 0000 0625 6 25

.

., , %→

E absolut km= − =⏐ ⏐37 500 40 000 2 500. . .

5 000 360

7 2250 000

.

,.

⋅=

7 2 5 000360

, ,° estadis°

→→ x

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

712

607 2+ = , °

090��

1

2

1

4

2⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

1

2

ED

BA

C089��


Alexandria

Siena

αα

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 256

257

8

Demostra que l’altura sobre la hipotenusa d’un triangle rectangle en genera dosmés de semblants.

Com que ABC és un triangle rectangle: B$ = 90° − C$.

Com que DCA és un triangle rectangle: A$ = 90° − C$.

Per tant, ABC i DCA tenen els tres anglesiguals. Així, són semblants.

El raonanament per a DAB és similar.

A LA VIDA QUOTIDIANA

En Ramon se’n va a viure a un pis nou. Segons el plànol, aquesta serà la sevahabitació:

El plànol està dibuixat a escala i l’únic que en Ramon sap de la seva novahabitació és que a la realitat fa 4,56 m de llargada.

En aquesta habitació haurà de distribuir els mobles que té. Per fer-se una ideade com els col·locarà, n’ha pres les mides de tots.

Després, els dibuixarà a escala i els retallarà. Aquests retalls els col·locarà sobreel plànol de l’habitació, i farà proves per decidir quina serà la ubicació dels mobles.

Copia el plànol a la teva llibreta i determina com es poden distribuir els mobles.

Podrà muntar a la nova habitació la maqueta completa del seu tren elèctric, que fa 2,5×1,5 m?

092��

DB

A

C

091��

SOLUCIONARI

G F

G

F

GF

GF

G

FG

F1,5 m

0,9

m

0,6 m

0,3 m 0,8 m2 m

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 257

258

L’habitació fa 4,56 m de llargada i està representat per 7,6 cm.

Com que , l’escala del plànol és 1 : 60.

L’amplada de l’habitació serà: 4,6 ⋅ 60 = 276 cm = 2,76 m.

Les dimensions dels mobles al plànol són:

Llit: Llargada Amplada

Escriptori: Llargada Amplada

Calaixera: Llargada Amplada

Les dimensions de la maqueta del tren a escala són:

Llargada Amplada

La maqueta no cap a l’habitació, ja que hem de tenir en compte l’espai per poder obrir la porta.

Aquesta és la peça que s’ha de fabricar per a l’enganxall de vagons de tren.

Per programar la màquina que la fabricarà cal construir la mateixa peça a una escala més petita. Quan es col·loqui aquesta peça sobre un escàner i s’hi indiqui l’escala, la màquina fabricarà totes les peces que s’encarreguin.

Si disposem d’una barreta de 6,5 cm de llargada i volem fer la peça tan grancom puguem, quina escala farem servir?

2 cm

5 cm13 cm

6,25 cm

093��

= =150

602,5 cm= =

250

604,17 cm

= =30

600,5 cm= =

80

601,33 cm

= =60

601 cm= =

150

602,5 cm

= =90

601 5, cm= =

200

603,33 cm

45660

7,6=


13 cm

5 cm

A B C D

E F

2 cm

6,25 cm

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 258

259

8

Apliquem el teorema de Pitàgores:

La longitud de la peça és: 13 + 2 + 6,25 + 3,75 + 2 + 12 = 39 cm.

Per tant, l’escala és: 1 : 6 .

A la cantonada de la casa d’en Ricard han posat un fanal molt alt. En Ricard pensa que l’altura del fanal incompleix la normativa sobrecontaminació lumínica i vol esbrinar quina alçada té exactament.

Al principi va pensar fer-ho mesurant-ne l’ombra, però comque el fanal està envoltat de plantes no el pot mesurar

amb exactitud. Així doncs, ha decidit utilitzar lesmides de dos senyals de trànsit que hi ha al

costat dels fanals.

Per fer-ho, ha pres les mides de lesombres dels dos senyals, que estan

alineats amb el fanal, l’alçada i la separació entre tots

dos. Quina és l’alçada del fanal?

Si anomenem h l’alçada del fanal i x la distància del fanal al primer senyal, tenim que:

Hi ha dues parelles de triangles semblants: ABD amb EBG i ACD amb FCH. Així, obtenim un sistema de dues equacions amb dues incògnites.

→ →

→ 4 ⋅ (x + 90) = 3 ⋅ (x + 230) → x = 330 cm

L’alçada del fanal és 7 m.

420

90 150700 7= = =

hh→ cm m

x = 330⎯⎯⎯⎯→x h+

=90

90 150

x x+=

+ +90

90

110 120

120

x h

x h

+=

+ +=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

90

90 150110 120

120 150

094��

396

6,5=

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

CD = − =39,0625 3,75 cm25

AB = − =169 25 12 cm

90 cm

1,5

m

120 cm

110 cmG F

SOLUCIONARI

1,5

m

D

h

BE C

HG

x

FA

830885 _ 0228-0259.qxd 5/11/08 09:39 Página 259

8 geomètrica Proporcionalitat - iescanpuig.com 228 proporcionalitat 8 geomètrica semblanÇa de...

Documents

Transcript of 8 geomètrica Proporcionalitat - iescanpuig.com 228 proporcionalitat 8 geomètrica semblanÇa de...