8. FLUJO_CONDUCTOS

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Flujo en conductos

_________________________________________________________________________________________________________________Apuntes de Mecnica de Fluidos JMC 05

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UNIVERSIDAD DE OVIEDO

Escuela Politcnica Superior de Ingeniera de Gijn

3er curso Ingeniera Industrial

Curso 2005-06

Mecnica de Fluidos

8. FLUJO EN CONDUCTOS.

Julin Martnez de la Callerea de Mecnica de Fluidos

Gijn diciembre 2005


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Flujo en conductos


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8. FLUJO EN CONDUCTOS.

8.1. Flujos laminar y turbulento.8.1.1. Esfuerzos turbulentos de Reynolds.8.1.2. Modelos de turbulencia.

8.2. Flujo estacionario, incompresible en conductos.

8.2.1. Prdidas lineales: Ec. Darcy-Weisbach.8.2.2. Clculo de tuberas.8.2.3. Redes de tuberas: mtodo de Hardy-Cross.

8.3. Flujo no estacionario.8.3.1. Oscilaciones tubo en U.8.3.2. Establecimiento del flujo.8.3.3. Golpe de ariete.

8.4. Problemas resueltos.

8.1. FLUJOS LAMINAR Y TURBULENTO.

La solucin general de las ecuaciones que rigen el movimiento de los fluidos, actualmente no se tiene.Aunque se dispone de un sistema homogneo de ecuaciones diferenciales (constitucin + conservacin) con lasmagnitudes del flujo (p, , T, , u, v, w), solo se tiene la solucin analtica para casos muy concretos con fuerteshiptesis restrictivas. No obstante, las tcnicas numricas, estn aportando soluciones.

La mayor dificultad de la resolucin analtica, viene determinada, por que en funcin de la relacinentre las fuerzas de inercia y las viscosas, el flujo es totalmente distinto: si predominan las fuerzas viscosas, elmovimiento es ordenado, denominndose flujo laminar; si son predominantes las fuerzas de inercia, el flujo esagitado y fluctuante, denominandose flujo turbulento. La relacin entre las fuerzas de inercia y viscosas, es elparmetro adimensional intrnseco en Mecnica de Fluidos, y se denomina nmero de Reynolds: Re.

En flujo laminar, no hay fluctuaciones en los valores de las magnitudes, que solo dependen de lasposicin y del tiempo. En cambio, en flujo turbulento, los valores son fluctuantes entorno a un valor medio. El

paso de un tipo de flujo al otro, no es discreto, hay un flujo de transicin, en donde se presentan fluctuacionesespordicas.

Tanto el flujo laminar, como el turbulento, vienen descritos por las ecuaciones de conservacin yconstituticin. En flujo laminar, en funcin de la geometra y de las condiciones de contorno, se pueden obtenersoluciones analticas. En cambio, en flujo turbulento, debido a las fluctuaciones continuas de las magnitudes delflujo, se tienen variables estocsticas, para las que actualmente no se conoce solucin analtica.

8.1.1. Esfuerzos turbulentos de Reynolds.

Como hemos citado anteriormente, las ecuaciones de conservacin y de constitucin, forman un

conjunto homogneo. Particularizando para el flujo incompresible, isotrpico e isotermo de un fluidonewtoniano, las magnitudes del flujo son la presin y las tres componentes del vector velocidad; disponientdode 4 ecuaciones diferenciales entre ellas: la escalar de continuidad y la vectorial de Navier-Stokes:

0z

w

y

v

x

u=

+

+

dt

vdvpg 2

=+

Tanto en flujo laminar, como en turbulento, vienen descritos, por las ecuaciones anteriores. En flujolaminar, en funcin de la geometra y de las condiciones de contorno, se pueden obtener soluciones analticas.

En cambio, en flujo turbulento, debido a las fluctuaciones continuas de las cuatro magnitudes del flujo (presiny las tres de la velocidad), se tienen variables estocsticas, para las que actualmente no se conoce solucinanaltica.


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Flujo en conductos


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u'

uu

t

Estas consideraciones, llevaron a Osborne REYNOLDS a considerar a las variables, como suma de unvalor medio y de su correspondiente fluctuacin temporal:

)t('u)T(u)t(u_

+= T

dt)t(u)T(u

T

0=

u = componente x de la velocidad, en un determinado punto, a lo largo del tiempo.u' = fluctuacin de la componente x, en un determinado instante.u = valor medio de la componente x, a lo largo de un periodo de promedio >> tiempo caracterstico.

Anlogamente a la componente x de la velocidad: )t('u)T(u)t(u_

+= , se tienen expresiones para las

otras componentes y para la presin: )t('v)T(v)t(v_

+= ; )t('w)T(w)t(w_

+= ; )t('p)T(p)t(p_

+=

Por su propia definicin, el valor medio de la fluctuacin turbulenta es nulo, definindose como unamedida de la turbulencia, su valor cuadrtico medio, que se denomina intensidad de turbulencia:

( )T

dt)t('u)t('u'u

T

02 = Para flujo incompresible, las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes, en donde las magnitudes

(u,v,w,p) se expresan como suma de su valor medio y de su fluctuacin, integran un conjunto de 4 ecuacionesque se denominan ecuaciones RANS (Reynolds Average Navier-Stokes):

0z

w

y

v

x

u=

+

+

dtud

z'w'u

y'v'u

x'u'u

z

u

y

u

x

uxpg

2

2

2

2

2

2

x =

+

+

+

dt

vd

z

'w'v

y

'v'v

x

'u'v

z

v

y

v

x

v

y

pg

2

2

2

2

2

2

y =

+

+

+

dt

wd

z

'w'w

y

'v'w

x

'u'w

z

w

y

w

x

w

z

pg

2

2

2

2

2

2

z =

+

+

+

En el trmino de fuerzas viscosas (por unidad de volumen), se tienen dos tipos de esfuerzos:

Esfuerzos laminares:zu,

yu,

xu

;

zv,

yv,

xv

;

zw,

yw,

xw

Esfuerzos turbulentos o de Reynolds: ( ) ( ) ( )'w'w,'v'v,'u'u ( ) ( ) ( )'w'v,'w'u,'v'u

Genricamente las 9 componentes del tensor de esfuerzos viscosos, son:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

==

'w'wz

w'w'v

y

w'w'u

x

w

'w'v

z

v'v'v

y

v'v'u

x

v

'w'uz

u'v'u

y

u'u'u

x

u

T


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8.1.2. Modelos de turbulencia.La determinacin de los 6 valores de los esfuerzos turbulentos de Reynolds, es la gran dificultad para

resolver las ecuaciones de Navier-Stokes. Como aproximaciones se tienen diversos modelos de turbulencia, delos que citaremos los denominados de una ecuacin de Boussineq y de Prandtl. Modelos ms completos, seestudiaran en la descripcin de la capa lmite de la leccin 9: modelos de dos ecuaciones, como los k-epsiln ylos k-omega.

a) VISCOSIDAD TURBULENTA DE BOUSSINEQ: se define la viscosidad turbulenta, como una propiedaddel flujo, que relaciona el esfuerzo turbulento con el correspondiente gradiente de velocidad:

velocidaddegradiente

oturbulentesfuerzot = ( )

+

=x

v

y

u'v'u tturbulento

b) LONGITUD DE MEZCLA DE PRANDTL: Se define la longitud de mezcla de Prandtl (L), como elrecorrido libre medio de una partcula en los torbellinos turbulentos, sin que choque con otra partcula; con loque las fluctuaciones de velocidad pueden expresarse por: uvL(u/y); siendo la viscosidad turbulenta :

yuL2t

Von Karman, estableci la proporcionalidad entre la longitud de mezcla de Prandtl (L), y la posicin (y) en lacapa lmite1, con lo que puede determinar la viscosidad turbulenta, y con ella el esfuerzo tubulento de Reynolds:

yL = ( )y

uy

y

uL 22t

=

( ) ( ) ( ) 222txytturbulento yyu

y

u

y

u

y

uy

y

u'v'u

=

=

===

El coeficiente de Karman, es una constante universal en flujo turbulento = 0,41Con estas consideraciones, en el caso del flujo en conductos, se puede deducir el perfil de velocidades

en flujo turbulento, que viene dado por la ley logaritmica de la capa lmite de Millikan:

( )( )

+

= BurR

lnk

1uru

**

en donde u* es la velocidad de friccin, definida a partir del esfuerzo de rozamiento en la pared:: w=(u*)2; k es

el coeficiente de Karman (k=0,41) y B es aproximadamente 5,0.

1El concepto de CAPA LMITE, establecido por Ludwing PRANDTL, se desarrollara en la leccin 9 (flujo externo). Bsicamente, es lazona del flujo en las proximidades de las paredes slidas, en donde son apreciables los esfuerzos viscosos; distinguiendose tres zonas dedistribucin diferenciada de esfuerzos viscosos: en la ms proxima a la pared, son predominantes los esfuerzos viscosos (subcapa lmitelaminar), en la ms alejada de la pared, son predominantes los esfuerzos turbulentos (subcapa limite turbulenta), y entre las dos zonas setienen esfuerzos de ambos tipos.


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8.2. FLUJO ESTACIONARIO, INCOMPRESIBLE EN CONDUCTOS.

8.2.1. Prdida de carga: Ec. de Darcy-Weisbach: se define perdida de carga, como la energadisipada por unidad de peso; y se obtiene a partir de la tensin de rozamiento en la pared. En una tubera(longitud L, dmetro D), se denominan perdidas lineales:

( )gD

L4

gL4

D

LDL

mg

LF

mg

Eh w2

wppl

=

===

Rgimen Laminar (Re4000): los esfuerzos de rozamiento tienen trminos viscosos y trminos turbulentos,con lo que no es posible la resolucin de Navier-Stokes; no obstante, por analisis dimensional, se obtiene elfactor de friccin de Darcy, que adimensionaliza la tensin de rozamiento en la pared:

2w

v

8f

=

La ecuacin de la perdida de carga lineal, ser: ( )g2

v

D

Lf

gD

L

2

vf

gD

L4h

22

wpl =

=

=

Que es la ecuacin de Darcy-Weisbach, en donde la perdida de carga es proporcional al cuadrado de lavelocidad, o al cuadrado del caudal:

252

2

pl QD

L

g

f8...

g2

v

D

Lfh

===

En rgimen turbulento el factor de friccin depende, adems del nmero de Re, de la rugosidadrelativa: r=/D; en donde es la rugosidad de la tubera, que representa las alturas promedio de lasirregularidades de la superficie interior de la tubera. Segn pusieron de relieve Prandtl y von Karman, esadependencia est determinada por la relacin entre la rugosidad y el espesor de la subcapa lmite laminar, que esla zona de la capa lmite, directamente en contacto con la superficie interior de la tubera y los esfuerzos sonexclusivamente viscosos. Cuando la rugosidad es despreciable frente al espesor de la subcapa lmite laminar, latubera puede considerarse lisa y el factor de friccin slo depende del nmero de Reynolds, segn la expresinemprica que obtuvo Prandlt, a parir del a ley logartmica de velocidad en la capa lmite:

Tubera lisa:

=

fRe

51,2log2

f

1


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Para nmeros de Reynolds grandes (rgimen turbulento completamente desarrollado) la importanciade la subcapa lmite laminar disminuye frente a la rugosidad, y el coeficiente de friccin pasa a depender slo de

la rugosidad relativa (von Karman, 1938):

=

7,3log2

f

1 r

Colebrook y White (1939) combinaron las ecuaciones de von Karman y de Prandtl, y propusieron una

nica expresin para el factor de friccin que puede aplicarse en todo el rgimen turbulento:

+

=

fRe

51,2

7,3log2

f

1 r

Esta ecuacin tiene el inconveniente de que el factor de friccin aparece en forma explicita, y deberecurrirse al calculo numrico para su resolucin. No obstante, en un principio sin la herramienta del calculonumrico, Moody desarroll un diagrama que lleva su nombre, a partir de la ecuacin de Colebrook, en donde semuestra una familia de curvas de isorugosidad relativa, con las que se determina el factor de friccin a partir dela interseccin de la vertical del nmero de Reynolds, con la isocurva correspondiente.

Una solucin alternativa, es la ecuacin de Haaland:

+

Re

9,6

7,3

log8,1

f

111,1

r

En el diagrama de Moody, se representa en doble escala logaritmica, el factor de friccin vs el nmerode Reynolds, con distintas curvas de rugosidad relativa.

El flujo laminar ReRe>4000: zona crtica de paso de flujo laminar a turbulento4000>Re y f=f(r,Re): zona de transicin con dependencia conjunta de rugosidad y Reynolds

10000>Re y f=f(r): zona turbulencia completamente desarrollada, dependencia solo de rugosidad


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Flujo en conductos


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8.2.2. Clculo de tuberas:

CASO (1): clculo de la prdida de carga.

DATOS: tubera: D, L, fluido: ,

flujo: Q

CLCULO: perdida de carga: hp

RESOLUCIN: 1. nmero de Reynolds:

=

=

D

Q4vDRe

2. para FLUJO LAMINAR (Re4000):

f = f (Re, r) : Ec. Colebrook:

+

=

fRe

51,2

7,3

log2

f

1 r

Ec. Darcy-Weisbach: 252

2

pl QD

L

g

f8...

g2

v

D

Lfh

===

CASO (2): clculo del caudal.

DATOS: tubera: D, L, fluido: , flujo: hp

CLCULO: caudal: Q

RESOLUCIN: 1. FLUJO LAMINAR (Re4000):

Ec. Darcy-Weisbach:22

52p

Q

K

Q

L8/Dghf =

=

=

L8

DghK

52p

Nmero de Reynolds:

=D

Q4Re

=

=

D

K4

Q

K

D

Q4fRe

Ec. Colebrook:

+

=

K4

D51,2

7,3logK2Q r


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CASO (3): clculo del dimetro.

DATOS: tubera: L, fluido: , flujo: Q, hp

CLCULO: dimetro: D

RESOLUCIN: 1. FLUJO LAMINAR (Re4000):

Ec. Darcy-Weisbach: 52

52p

DCLQ8

Dghf =

= [Ec.1]

=

2

2p

LQ8

ghC

Ec. Colebrool:

+

=f

D

Q451,2

7,3

D/log2

f

1[Ec.2]

En las dos ecuaciones, se tienen como incgnitas f y D, la resolucin simultaneapor mtodos iterativos da sus valores.

se supone una velocidad de 4 m/s en la iteracin inicialinicial

D Q /=

D = Dinicial

Ec. 1: f=CD5

r

Colebrook r D Ec.2 f =f(Re, )

4QRe

D

=

=

5Colebrookf f 10

< NOSI

D = (fColebrook/C)0,2

DATOS

FIN


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+tubera 31

malla 3

tubera 32

tubera 33tubera 34

tubera 35

nudo 5malla 3

malla 4

malla 5

malla 6

tubera 45

tubera 55tubera 65

8.2.3. Redes de tuberas: mtodo de Hardy-Cross.

En una instalacin de transporte de fluidos, pueden encontrarse tuberas acopladas en serie, en paraleloo como una combinacin de ambas, que integran una red de tuberas. En las tuberas en serie, el caudal quecircula por ellas es el mismo, y la prdida de carga total es suma de la de cada una, por lo que se puedeconsiderar como una nica tubera cuyo termino resistente es la suma de los trminos individuales. Se defineresistencia de una tubera al factor que multiplicado por el cuadrado del caudal nos da la prdida de carga:

g

8

D

Lfk

25 = (8)

2

i

i

i

iptotalp Qkhh

== (9)

Para regimen turbulento totalmente desarrollado, el factor de friccin solo depende de la rugosidadrelativa, y es constante a partir de una determinado valor (alto) del nmero de Reynodls; con lo que se puedesuponer que la resistencia de la tubera es constante.

Cuando dos o ms tuberas se colocan en paralelo, el caudal circulante total es la suma de los caudalesindividuales, pero la prdida de carga entre los extremos es la misma para todas las tuberas. Las ecuaciones que

rigen las tuberas en paralelo son:=

i

itotal QQ (10)

2ii

222

211p Qk...QkQkh ==== (11)

Cuando se tiene una red de tuberas, el problema inicial a resolver, es el reparto de caudales por cadauna de las tuberas que integran la red. Se establecen los trminos de malla y de nudo, para cada malla la sumade perdidas de carga es nula, y para cada nudo la suma de caudales es nula; con lo que se obtiene un sistema deecuaciones, integrado por la m ecuaciones de las mallas y las n ecuaciones de los nudos, que es homgeneo(m+n>t) y permite obtener el reparto de caudales por la t tuberas que integran la red..

Ecuaciones de las mallas: de la malla 1 a la malla m ; para unadeterminada malla i, se establece un sentido positivo de la malla(normalmente el destrogiro); el caudal circulante por una tubera ij espositivo si va en el mismo sentido que el positivo de la malla; con lo quese tiene para cada malla i:

0QQkj

ijijij =

0QQkQQkQQkQQk 343434333333323232311i31 =+++

Ecuaciones de los nudos: del nudo 1 al nudo n ; para undeterminado nudo i, el caudal que le llega de una determinadatubera ij es positivo, y se sale es negativo; con lo que se tiene paracada nudo i:

0Qj

ij = 0QQQQ 65554535 =+++

En el mtodo de Hardy-Cross, se resuelve iterativamente el sistema de ecuaciones, para cada malla, secalcula un caudal corrector de la malla, que va disminuyendo conforme la iteracin de clculo se vaaproximando a la solucin. El caudal corrector para una malla i viene dado por la ecuacin:

( )

=

jijij

jijijij

i Qk2

QQk

Q (12)


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8.3. FLUJO NO ESTACIONARIO..(1) Tiempo de establecimiento del flujo en una tubera conectada a un deposito, desde que la vlvula de descargase abre, hasta que se alcanza rgimen estacionario en todo el conducto.

(2) Sobrepresiones y depresiones, que se tienen en el fenmeno del golpe de ariete, en donde el cierre de lavlvula de descarga, provoca oscilaciones de presin, que se mueven a alta velocidad por el conducto por efectode la compresibilidad del fluido.

8.3.1. Tiempo de establecimiento del flujo estacionario.

A partir de la figura, se puede establecer el balance de fuerzas en un elemento de masa, entre dossecciones separadas por un diferencial de longitud:

dt

dv

dLAdLDAdLL

p

ppA w =

+ dt

dv

AdLdLDv8

f

AdLL

p 2=

En donde el gradiente de presin en la direccin del flujo, es constante: eL/gHL/p = ; en donde Le, esla longitud equivalente, suma de la longitud de la propia tubera y de la longitud adicional provocada por lassingularidades en la entrada y en la salida (Le=L+(D/f)()).

La tensin de rozamiento viscoso en la pared, viene dada por el factor de friccin de Darcy, que supondremos

constante: 2w v/8f =

Obteniendo la ecuacin diferencial:dt

dv

2

v

D

f

L

gH 2

e

=

Una vez alcanzado el rgimen estacionario, si la velocidad es v0, se tiene que: 20e v

D2

L

gHf =

La ecuacin diferencial del tiempo de establecimiento es:

=

20

2

e

v

v1

dv

gH

Ldt

vv

vvln

gH2

vLt

0

00e

+=

Por el carcter asinttico de la funcin v=v(t), se suele considerar como tiempo de establecimiento, cuando sealcanza el 99% de v0; con lo que su valor es:

gH

vL646,2

v01,0

v99,1ln

gH2

vLt 0e

0

00eientoestablecim ==

p dLL

pp

+

dL

w

w

v(t)

L

H


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8.3.2. Golpe de Ariete.

A partir de la figura, cuando la vlvula de descarga se cierra instantneamente, el fluido empieza apararse: conforme pasa el tiempo la zona de flujo estancado va aumentando, desde la seccin de la vlvula (2) enel instante inicial, hasta la seccin de conexin con el deposito (1). El cierre provoca una onda de sobrepresin2,que va viajando aguas. La velocidad de la onda de presin3, viene determinada por la compresibilidad del fluido,la geometra y la elsticidad de la tubera:

)E/K)(e/D(1

/Ka

+

=

Cuando la onda de sobrepresin llega a la seccin (1) de conexin con el deposito, todo el fluido de latubera esta parado y comprimido, y a partir de ese instante, el fluido empieza a salir hacia el depsito,sucesivamente se van poniendo en marcha hacia el deposito secciones de fluido, en direccin al depsito; lassecciones movilizadas del deposito, se quedan descargadas: la onda de sobrepresin al llegar al depsito arebotado una onda de depresin.

Cuando la onda de depresin, llega a la vlvula cerrada, se tiene todo el flujo de la tubera enmovimiento haca el deposito, y sin sobrepresin,; a partir de ese instante, secciones sucesivas (desde la vlvulaal deposito) se van parando y quedando a baja presin. La llegada de la onda de depresin a la vlvula, provocaun rebote de una onda de depresin, que conforme se mueve hacia el depsito, va parando el flujo y dejandolo abaja presin.

La llegada de la onda de depresin, a la seccin (1) del depsito, deja a todo el flujo parado, pero adepresin; con lo que a partir del instante de llegada, el fluido vuelve a entrar en la tubera, dejandosucesivamente zonas de fluido a la velocidad y presin inicial: la onda de depresin al llegar al depsito rebotauna onda de sobrepresin. Esta situacin se prolonga hasta que la onda de sobrepresin, llega a la vlvula, y sevuelve a repetir el ciclo de oscilaciones de presin provocado por el cierre de la vlvula.

2La sobrepresin del cierre instantaneo de la vlvula, viene dada por la Ec. de Allievi: p=v0a; en donde v0es la

velocidad media del fluido antes del cierre, y a la velocidad de la onda de sobrepesin. Se deduce a partir del balance defuerzas en el entorno de la onda estacionaria de presin:

= vQdF ( )[ ]avvAvAdp 000 = avdp 0= 3La velocidad de la onda de presin depende del mdulo de compresibilidad del lquido circulante, y de las caractersticaselsticas de la tubera: un aumento de presin hace disminuir el volumen ocupado por el fluido dependiendo de su mdulo decompresibilidad (K), pero a la vez, aumenta el volumen de la tubera, en funcin de su dimetro, espesor y mdulo deelasticidad o mdulo de Young (E), lo que lleva a obtener un mdulo de dilatacin volumtrica (K):

dpK

VdVfluido = ; dpeE

DVdVtubera = ;

E

K

e

D1

K...

dpeE

DVdp

K

Vdp

VdV

dpV'K

+==

+==

)E/K)(e/D(1

a

)E/K)(e/D(1

K

)E/K)(e/D(1

K

'K

d

dpa 0

+=

+

=

+=

=

=

L

v0 p

(1) (2)(i)

p=gv0 Ec. Allievi


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A este fenmeno de generacin de oscilaciones de presin (sobre y depresin), generado por el cierre devlvulas, se denominagolpe de ariete. Aunque en el anlisis anterior, no se han considerado efectos disipativos,en el proceso real, las sobrepresiones y depresiones mximas se alcanzan al principio, y conforme pasa el tiempose van amortiguando. La resolucin numrica de las ecuaciones del flujo (continuidad y Navier-Stokes), por elmtodo de carctersticas, permite obtener resultados contrastados con los experimentales.

Continuidad: 0x

v

at

p 2=

+

Navier-Stokes en direccin axial: 0t

v

2

vv

D

f

x

pseng =

+

+

+

La ecuacin de continuidad, se obtiene a partir de considerar el mdulo de dilatacin volumtricafluido- tubera: K=dp/d=a2, y despreciando la variacin convectiva de presin frente a la local

0x

v

dt

dp'K

dp'K

d

0x

v

dt

d

=

+

=

=

+

0x

v'K

dt

dp=

+ 0

x

va

t

p 2 =

+

En la ecuacin de Navier-Stokes en direccin axial, la fuerza de rozamiento por viscosidad (por unidadde volumen) viene dada por la Ec. de Darcy-Weisbach. Se ha supuesto que la tubera tiene un ngulo deinclinacin ; y se ha despreciado la aceleracin convectiva frente a la local.

Para explicar cualitativamente el fenmeno del golpe de ariete, en el cierre instantneo de una vlvula,consideremos las siguientes grficas de la presin en funcin del tiempo, en las secciones del fluido (1) y (2) yuna seccin intermedia (i). El tiempo que tarda una onda en recorrer la tubera de longitud L, es L/a; con lo queel tiempo que tarda la onda de presin generada por el cierre de la vlvula ser 2L/a. El cierre no es posible quesea instantneo, distinguiendo entre cierre rpido, cuando el tiempo de cierre es menor que 2L/a y cierre lento encaso contrario. En cierre rpido, cuando la primera onda de presin generada por el cierre de la vlvula, retornoa la vlvula, sta ya se encuentra totalmente cerrada, y se rebota una onda de presin de igual magnitud. Encierre lento, cuando la primera onda llega en el insante 2L/a, la vlvula esta parcialmente abierta, y parte de laintensidad de la onda incidente pasa aguas arriba, y parte se refleja agua abajo.

En el cierre rpido, prcticamente se alcanza la sobrepresin de Allievi:

avp 0= .

En cierre lento, el mismo Allievi, obtuvo la ecuacin de la presin mxima, en funcin del tiempo decierre; considerando el cierre de la vlvula, sin prdidas y lineal (%cierre = 100t/tcierre):

+++= 4nnn1pp 222

10mxima

cierre0

0

tp

Lvn

=

Si la ley de cierre de la vlvula no es lneal, se puede seguir el mtodo de Bergeron, en donde seconsidera el cierre en cierres parciales instantaneos (CP), cada fraccin de tiempo 2L/a:

CP2CP1

CP3CP4

CP5

CP6

% cierre

tcierre2L/a

t

cierre lineal

cierrelento


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Flujo en conductos


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Movimiento de ondas de sobrepresin (+p) y de depresin (-p), desde su origen en el cierre de la vlvula (t=0), hasta la

repeticin del ciclo en la propia vlvula (t=4L/a).

aL2

t

p(1)

p0p

p

t

p(i)

p0p

p

t

p(2)

p0p

p

a2L

a2

Lt = 0t =

a2

L3t =

a2

L4t =

a2

L5t =

a2

L7t =

a2

L2t =

a2

L6t =

a2

L8t =

seccin (i )

ONDA DESOBREPRESIN (+p)

DEPSITO (1):LA ONDA

REFLEJADA ESDE SENTIDO

CONTRARIA ALA ONDA

INCIDENTE

VLVULA (2):LA ONDA

REFLEJADAES DELMISMO

SENTIDO QUELA ONDA

INCIDENTE

ONDA DEDEPRESIN (-p)


14/20

Flujo en conductos


14

L

p

P 8.1. Aplicacin de la Ec. de Hagen-Poiseuille: Viscosmetro capilar.En flujo laminar en conductos, lasecuaciones de Navier-Stokes, se pueden resolver, y la prdida de carga viene determinada por la ecuacin de

Hagen-Poiseuille: p 4128 L

h Qg D

=

. Una aplicacin caracterstica de este resultado, es la determinacin de la

viscosidad cinemtica de un fluido, por la medida de la perdida de carga en su flujo por un conducto capilar.

DETERMINE: 1. Viscosidad absoluta en cP.2. Potencia disipada por rozamiento viscoso en el capilar.2. Caudal mximo que debe circular por el conducto, para asegurar flujo laminar.

DATOS: Viscosmetro: longitud: L= 2400 mm, dimetro: D = 10 mmFluido: caudal = 6 litros/minuto; perdida de presin: -p = 16 kPa; densidad: = 830 kg/m3

Flujo laminar: Re


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Flujo en conductos


15

P 8.2. Aplicacin de la Ec. de Hagen-Poiseuille: Flujo en el conducto de descarga de aceite de corte.En lasmquinas herramienta, en la zona de corte se debe aportar un aceite. El dispositivo ms sencillo, es tener undepsito superior, del que por gravedad se lleva mediante un conducto el aceite a la zona de corte; el sistema secompleta con un recipiente inferior, que recoge y filtra el aceite, y mediante una bomba se retorna al depsitosuperior.

DETERMINE el dimetro que tiene que tener el conducto.

DATOS: Conducto vertical: longitud: L= 350 mm,Fluido: caudal = 100 cm3/minuto;viscosidad: = 1,910-3 Pas; densidad: = 950 kg/m3

RESOLUCIN:

Supondremos inicialmente, que el flujo es laminar, con lo que se puede aplicar la Ec. de Hagen-Poiseuille.

p 4

128 Lh Q

g D

=

El flujo se establece exclusivamente por gravedad, con lo que el gradiente de presin es nulo, es decir, en todaslas secciones del flujo, la presin es constante e igual a la atmosfrica. Con lo que la perdida de carga, vienedeterminada exclusivamente por la disminucin de cota desde la seccin inicial a la final. En este caso, al ser elconducto recto y totalmente vertical, la disminucin de cota coincide con la propia longitud del conducto, con loque la perdida de carga coincide con la longitud del conducto:

p

1/ 4p

p 4

ph z

g

z L h L

128 QD=p 0g

128 Lh Q

g D

= +

= =

=

=

( ) ( )1/ 4

1/ 4 -3 6128 1,9 10 / 950 100 10 / 60128 Q=

g 9,8

= = D 1, 93 mm

Comprobemos, que el flujo es laminar:( )

( ) ( )

6

3 3

4 100 10 / 604Q

D 1,93 10 1,9 10 / 950

= = =

Re 549, 8 < 2300


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Flujo en conductos


16

P 8.3. Aplicacin de la Ec. de Darcy-Weisbach: Perdida de carga en un oleoducto. El alto caudal, quecircula por un oleoducto, hace que las prdidas de carga sean considerables: se tiene flujo turbulento, en dondela prdida de carga es proporcional al cuadrado del caudal. Por lo cual, es necesario localizar subestaciones debombeo, entre el pozo de petrleo y el puerto de carga.

DETERMINE: 1. La longitud del oleoducto entre subestaciones de bombeo.2. La potencia disipada por viscosidad.

DATOS: Conducto horizontal: dimetro: D = 1200 mm, rugosidad : = 0,12 mmCrudo: caudal: Q = 2 MBD (millones de barriles por da)

(1 barril = 50 galones USA = 189,27 litros)viscosidad: = 5,3610-3 Pas; densidad: = 860 kg/m3

Perdida de presin: 40 bar

RESOLUCIN:

1. Longitud del oleoducto: la perdida de carga viene determinada por la Ec. de DArcy-Weisbach:2

p 5 2

L 8h f Q

D g=

en donde el factor de friccin o factor de DArcy, viene determinado por la Ec. de Colebrook:r1 2,512 log

3,7f Re f

= +

En el problema: la rugosidad relativa es: r0,12

0,0001D 1200

= = =

el nmero de Reynolds es:( )3

4Q 4 4,381Re 745865,6

D 1,2 5,36 10 / 860

= = =

36 3B 1da 0,18927mQ 2 10 4,381m / s

da 24 3600s 1Barril= =

con lo de la Ec. de Colebrook se obtiene: f=0,014

El factor de friccin, tambin se puede obtener a partir del diagrama de Moody:

En el problema, la prdida de carga, viene impuesta por la prdida de presin admisible en el conducto, que alconsiderarse horizontal, viene dada por:

5

p

p 40 10h 474,608m

g 860 9,8

= = =

Con todo lo anterior, la longitud del conducto ser:

5 2 5 2p

2 2

h D g 474,608 1,2 9,8

8fQ 8 0,014 4,381

= = = L 53137,7 m

2. Potencia disipada por viscosidad: pgh Q 860 9,8 474,608 4,381= = =P 17524 kW

0,014

7,46105


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Flujo en conductos


17

P 8.4. Aplicacin de la Ec. de DArcy-Weisbach: determinacin de dimetro de un conducto. El problemabsico de diseo en flujo en conductos, es la determinacin del dimetro del conducto, para unas determinadasprestaciones. Los datos de partida, son habitualmente, el fluido a transportar, el caudal a mover y la perdida decarga admisible; en cuanto a la geometra del conducto, se conoce su longitud y su rugosidad, pero no sudimetro. Si el flujo es laminar, el problema es inmediato ya que de la Ec. de Hagen-Poiseuille, lo nico que sedesconoce es el dimetro. En cambio, en flujo turbulento, en la Ec. de DArcy-Weisbach, se desconocen tantoel dimetro como el factor de friccin; por lo que se tiene que utilizar la Ec. de Colebrook, que a su vez tambintiene como nicas incgnitas, el dimetro y el factor de friccin: la explicidad de la Ec. de Colebrook, hacenecesario recurrir a un mtodo iterativo de resolucin simultanea de las dos ecuaciones.Considere, un conducto de alimentacin a un sistema de riego por aspersin, en donde a partir de los datos:

DETERMINE el dimetro mnimo del conducto.

DATOS: Conducto horizontal: dimetro: L = 50m, rugosidad : = 0,1 mmAgua: caudal: Q = 1,8 m3/minuto; viscosidad: = 10-3 Pas; densidad: = 1000 kg/m3Perdida de presin admisible: 2,34 bar

RESOLUCIN: la prdida de carga viene determinada por la Ec. de DArcy-Weisbach: 2p 5 2L 8

h f QD g

=

; de

donde se tiene la relacin entre el dimetro y el factor de friccin:

2p 5

2

h gf D

8LQ

= Ec.1

El factor de friccin viene dado por la Ec. de Colebrook: r1 2,51

2 log3,7f Re f

= +

;

en donde r=/D; y Re=4Q/D; con lo que se obtiene una segunda relacin entre f y D:

1 / D 2,512 log

4Q3,7ffD

= +

Ec. 2

Para la resolucin del sistema, de puede obtener una nica ecuacin explicita entre f y D; en donde2

p

2

h gk

8LQ

=

5 5

1 / D 2,512 log

4Q3,7kD kDD

= +

Ec. 3

En el problema, con los datos :5

pp 2,34 10h 23,878 mg 1000 9,8

= = =

; L = 50 m; Q = 1,8m3/min=0,03m3/s;

se tiene que la constante de la Ec. 3, es:2 2

p -52 2

h g 23,878 9,8k 6415,4 m

8LQ 8 50 0,03

= = =

con lo que se tiene la ecuacin:

3

5 56

1 0,1 10 / D 2,512 log

4 0, 033,76415,4D 6415,4DD 10

= +

cuya solucin es: D = 80 mm


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Flujo en conductos


18

Otra forma de resolver las dos ecuaciones simultneas (1) y (2), es por iteraciones; cuyo diagrama de resolucines:

En el problema:

1 ITERACIN: D Q / 0,03/ 0,098m= = = (se supone inicialmente una velocidad media de 4 m/s)Ec. 1: f = kD5 = 6415,40,0985 = 0,057Ec. 2: Re = (40,03/0,09810-6) = 4105

r= 0,110-3

/0,098=0,001fColebrook= 0,0205

2 ITERACIN: D = (fColebrook/k)0,2 = (0,0205/6415,4)0,2 = 0,080 m

Ec. 1: f = 0,0205Ec. 2: Re = (40,03/0,08010-6) = 4,78105

r= 0,110-3/0,080=0,00125

fColebrook= 0,021

3 ITERACIN: D = (fColebrook/k)0,2 = (0,021/6415,4)0,2 = 0,080 m

Ec. 1: f = 0,0205Ec. 2: Re = (40,03/0,08010-6) = 4,78105

r= 0,110-3/0,080=0,00125

fColebrook= 0,021 (CONVERGENCIA) . D=80 mm

inicialD Q /=

D = Dinicial

Ec. 1: f=kD5

r

Colebrook r D Ec.2 f =f(Re, )

4QRe D

=

=

5Colebrookf f 10

< NO

SI

D = (fColebrook/k)0,2

DATOS

FIN


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Flujo en conductos


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P 8.5. Mtodo de Hardy-Cros:. Una caldera de fueloil, dispone de 3 quemadores, que se alimentan desde elnudo comn de un regulador, por la red de tubera de la figura. Se debe asegurar una presin constante en laentrada de cada quemador, y a la salida del regulador la presin es constante. A partir de los datos:

DETERMINE: el reparto de caudales por la red de tuberas, y la presin de salida del regulador.

DATOS: Quemador: presin mnima de entrada: 200 mbar.Tuberas: hierro galvanizado: rugosidad absoluta: = 0,15 mmFueloil: densidad: 900 kg/m3

RESOLUCIN: supondremos flujo turbulento completamente desarrollado, con lo que el factor de friccin esconstante en cada tubera, y con ello su resistencia:

( )7,3/log4

1f

r2

= g

8

D

Lf

s/m

mK

253 =

Para cada una de las tuberas, las resistencias Kij son:

Tubera 12:( )( )

023,07,3/80/15,0log4

1f

212== 06,11623

8,9

8

080,0

20023,0K

2512=

=

Tubera 23:( )( )

025,07,3/60/15,0log4

1f

223== 02,13229

8,9

8

060,0

5025,0K

2523=

=

Tubera 34:( )( )

025,07,3/60/15,0log4

1f

234== 41,7937

8,9

8

060,0

3025,0K

2534=

=

Tubera 13:( )( )

022,07,3/100/15,0log4

1f

213

== 20,53918,9

8

100,0

30023,0K

2513

=

=

Tubera 14:( )( )

023,07,3/80/15,0log4

1f

214== 83,14528

8,9

8

080,0

25023,0K

2514=

=

Se hace un reparto inicial de caudales, que cumplan las condiciones de que en cada nudo la suma de caudales seanula. Para cada malla, se determina el caudal corrector:

( )

=

j

ijij

jijijij

iQk2

QQk

Q

Los calculos de las iteraciones, se resumen en la siguiente tabla. En los clculos de las columnas de KQ y hp, hayque poner el caudal en m3/s

1

2

3

4

L12=20 mD12=80 mm

L23=5 mD23=60 mm

L12=25 mD12=80 mm

L13=30 mD13=100 mm

L12=3 mD12=60 mm

Q=200 L/s

Q 2=90 L/s

Q 3=50 L/s

Qq4=60 L/s

malla 1

malla 2


20/20

Flujo en conductos 20

1

2

3

4

Q=200 L/s

Qq2=90 L/s

Q 3=50 L/s

Q 4=60 L/s

Q12 = 64,00 L/sQ23 = 26,00 L/s

Q34 = 8,26 L/sQ14 = 51,74 L/s

Q13 = 84,26 L/s

iteracin malla tubera K (S.I.) Q (L/s) K|Q| hp = KQ|Q| Q L/s)

12 11626,06 +70 813,82 56,97malla 1 23 13229,02 -20 264,58 -5,29

13 5391,20 -40 215,65 -8,626 =1294,05 =+43,054 -16,64

113 5391,20 +56,64 305,36 17,30

malla 2 34 7931,41 -30 237,94 -7,1414 14528,83 -90 1307,60 -117,68

=1294,05 =-107,53 41,55

12 11626,06 +53,36 620,37 33,10malla 1 23 13229,02 -36,64 484,71 -17,76

13 5391,20 -98,19 529,36 -51,98 =1634,44 =-36,64 11,2

213 5391,20 86,99 468,98 40,80

malla 2 34 7931,41 11,55 91,61 1,06

14 14528,83 -48,55 705,38 -34,25 =1265,97 =7,61 -3,0

12 11626,06 64,56 750,58 48,46malla 1 23 13229,02 -25,44 336,55 -8,56

13 5391,20 -83,99 452,807 -38,03 =1539,94 =1,87 -0,61

313 5391,20 84,60 456,10 38,59

malla 2 34 7931,41 8,55 67,81 0,5814 14528,83 -51,45 747,51 -38,46

=1271,42 =0,71 -0,28

12 11626,06 63,95 743,49 47,55malla 1 23 13229,02 -26,05 344,62 -8,98

13 5391,20 -84,32 455,586 -38,42 =1542,67 =-0,15 +0,05

413 5391,20 84,27 455,32 38,37

malla 2 34 7931,41 8,27 65,59 0,5414 14528,83 -51,73 751,58 -38,88

=1272,49 =0,03 -0,01

REPARTO FINAL DE CAUDALES:

La PERDIDA DE CARGA MXIMA se da en la tubera 12, y es de 47,55 metros, con lo que la presinmanomtrica mnima a la salida del regulador debe ser:

pregulador = ghp + pquemador= 9009,847,55*10-5+0,200 = 4,394 bar

8. FLUJO_CONDUCTOS

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