8 - Diseño con Medidas Repetidas en SPSS

Diseño con medidas repetidas.

Marcelo Rodríguez G.Ingeniero Estadístico - Magister en Estadística

Universidad Católica del Maule

Facultad de Ciencias Básicas

Ingeniería en Agronomía

Diseño Experimental

22 de mayo de 2011

[email protected] (UCM) Marcelo Rodríguez G. 22/05/2011 1 / 22

Introducción

De�nición (Diseños con Medidas Repetidas)

Se caracteriza porque todos los niveles del factor se aplican a lasmismas unidades experimentales.

Las comparaciones ante los distintos tratamientos se lleva a cavodentro de un único grupo de UE's (comparaciones intra-sujetos), noestableciéndose comparaciones entre diferentes grupos de UE's.

Se re�ere a mediciones repetidas de la variable de dependiente en cadaunidad experimental, haciendo hincapié en experimentos conobservaciones realizadas en ocasiones sucesivas en el tiempo.

Las ventajas de los diseños de medidas repetidas son evidentes:requieren menos sujetos que un diseño completamente aleatorizado ypermiten eliminar la variación residual debida a las diferencias entre lossujetos (pues se utilizan los mismos).


Ejemplo para un diseño de un factor con medidas repetidas

En un experimento diseñado para estudiar el efecto del paso del tiemposobre incidencia de una plaga, a un grupo de 9 plantas se les cuenta elnúmero de ninfas vivas. Se aplica un producto químico, más tarde, al cabode una hora, de un día, de una semana y de un mes, se les cuanta elnúmero de ninfas vivas. Se trata de un diseño de un factor (al quepodemos llamar tiempo) con cuatro niveles (los cuatro momentos en losque se registra: al cabo de una hora, de un día, de una semana y de unmes) y una variable dependiente (la cantidad de ninfas vivas).

Planta hora día semana mes

1 16 8 8 122 12 9 9 103 12 10 10 84 15 13 7 115 18 12 12 126 13 13 8 107 18 16 10 138 15 9 6 69 20 9 11 8


Datos para un diseño de un factor con medidas repetidas

Unidades Factor A (tiempo)Experimentales 1 2 3 · · · k Medias

1 y11 y12 y13 · · · y1k y1�2 y21 y22 y23 · · · y2k y2�3 y31 y32 y33 · · · y3k y3�...

......

.... . .

......

n yn1 yn2 yn3 · · · ynk yn�

Media y �1 y �2 y �3 · · · y �k y

El arreglo es parecido al diseño en bloque, la diferencia radica en que en eldiseño con medidas repetidas simples, a cada unidad experimental se lemide la variable dependiente en los distintos tiempos (j = 1, 2, . . . , k).


Descomposición de la suma de cuadrados

Suma de cuadrados total:

SCT =n∑

i=1

k∑j=1

(yij − y)2

Suma de cuadrados del tiempo (tratamientos):

SCA =n∑

i=1

k∑j=1

(y �j − y)2

Suma de cuadrados de los unidades experimentales:

SCS =n∑

i=1

k∑j=1

(y i � − y)2

Suma de cuadrados del error:

SCE = SCT − SCA− SCS


Prueba de hipótesis

(Tabla de ANOVA)

Modelo Suma de Grados de Media Fc

cuadrados libertad cuadrática

Tiempo (Tratamiento) SCA k − 1 MCA=SCA/(k-1)MCA

MCEUnidades Exp. SCS n − 1

Error SCE (k − 1)(n − 1) MCE=SCE/[(k-1)(n-1)]Total SCT nk − 1

(Hipótesis)

H0 : µ1 = µ2 = · · · = µk v/s H1 : µi 6= µj , para algún i , j

(Reglas para el rechazo de H0)

Fijar α y Rechace H0 si Fc > F1−α(k − 1, (k − 1)(n − 1))

Rechace H0 si valor-p < 0, 05, donde valor-p= P(F > Fc).



Considerando el ejemplo anterior del número de ninfas vivas, pruebe lahipótesis de que existen diferencia en el número de ninfas vivas para lascuatro fechas de medición.

Sujetos hora día semana mes Promedio

1 16 8 8 12 11,00

2 12 9 9 10 10,00

3 12 10 10 8 10,00

4 15 13 7 11 11,50

5 18 12 12 12 13,50

6 13 13 8 10 11,00

7 18 16 10 13 14,25

8 15 9 6 6 9,00

9 20 9 11 8 12,00

Promedio 15,44 11,00 9,00 10,00 y =11,36

SCT =9∑

i=1

4∑j=1

(yij − 11, 36)2 = (16− 11, 36)2 + (12− 11, 36)2 + . . .+ (8− 11, 36)2 = 410, 306.

SCA =9∑

i=1

4∑j=1

(y �j − 11, 36)2 = 9[(15, 44− 11, 36)2 + (11− 11, 36)2 + (9− 11, 36)2 + (10− 11, 36)2] = 218, 083.

SCS =9∑

i=1

4∑j=1

(y i � − 11, 36)2 = 4[(11− 11, 36)2 + (10− 11, 36)2 + . . .+ (12− 11, 36)2] = 91, 556

SCE =SCT-SCA-SCS = 410, 306− 218, 083− 91, 556 = 100, 667



Ordenando la información en una tabla de ANOVA

Modelo Suma de Grados de Media Fc

cuadrados libertad cuadrática

Fechas 218,083 3 72,694 17,331Unidades 91,556 8Error 100,667 24 4,194Total 410,306 35

Como, Fc = 17, 331 > F0,95(3, 24) = 3, 01 y valor-p= 0, 000.Entonces, se debería rechazar H0 : µ1 = µ2 = µ3 = µ4. Por lo tanto, existeun efecto en el número de ninfas vivas, atribuible a las cuatro fechas demedición.


Diseño de un factor con medidas repetidas en SPSS

(Ejemplo de un Diseño con medidas repetidas simples en SPSS)

En SPSS, Analizar -> Modelo lineal general -> Medidas repetidas.

1 Póngale el Nombre al factor intra-intrasujeto, en este ejemplo elnombre sería fechas.

2 Indique el Número de niveles (en este ejemplo es 4).

3 Seleccionar Añadir y luego De�nir.

4 Seleccionar los tratamientos (fechas) y trasladarlas a la lista Variables

intra-sujetos.

5 Luego, Aceptar.



Se ofrecen varios estadísticos para poner a prueba la hipótesis nulareferida al efecto del factor tiempo (son métodos alternativos al vistoanteriormente). Contiene cuatro estadísticos multivariantes.Se interpretan de la misma manera que el resto de estadísticos yaestudiados: puesto que el valor−p (Sig.) asociado a cada uno de elloses menor que 0,05, podemos rechazar la hipótesis nula de igualdad demediasy concluir que el número de ninfas promedios di�ere a través deltiempo.



En los modelos de medidas repetidas es necesario suponer que las varianzasde las diferencias entre cada dos niveles del factor MR son iguales. Con,por ejemplo, 4 niveles, tenemos 6 pares de combinaciones dos a dos entreniveles: 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4 y 3-4. Calculando las diferencias entre laspuntuaciones de esos 6 pares, tendremos 6 nuevas variables. En el modelode un factor MR suponemos que las varianzas de esas 6 variables soniguales.

Puesto que el valor−p asociado al estadístico W (0,804) es mayor que0,05, no podemos rechazar la hipótesis de esfericidad. Por lo tanto, se estacumpliendo el supuesto de igualdad de varianzas y se podría utilizar estatécnica (en caso que no se cumpla el supuesto se deben utilizar la pruebade Esfericidad asumida (la que calculamos)).



Observando los resultados de la tabla vemos que las cuatro versiones delestadístico F (la no corregida y las tres corregidas) conducen a la mismaconclusión, que a su vez coincide con la ya alcanzada utilizando laaproximación multivariada.

puesto que el valor−p (Sig.) es menor que 0,05, podemos rechazar lahipótesis de igualdad de medias y concluir que el número de ninfaspromedio no es la misma en las cuatro medidas obtenidas. Estos cálculoslos obtuvimos anteriormente con formulas.



La tabla recoge, para cada contraste, la información necesaria paracontrastar la hipótesis nula de que el polinomio o componente evaluadovale cero en la población.

Podemos concluir, por tanto, que las medias del número de ninfas, en cadamomento temporal se ajustan signi�cativamente tanto a una línea recta(componente lineal) como a una curva (componente cuadrático).Conviene señalar que, cuando existe más de un componente signi�cativo,suele interpretarse el de mayor orden.


Diseño de un factor con medidas repetidas en SPSSGrá�co de per�l: Ajuste polinomial



Podemos observar en él que número de ninfas va disminuyendo con el pasodel tiempo, pero sólo hasta el momento 3 (una semana), a partir del cualse observa una ligera recuperación.


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