1 Representacin de Riesz

Theorem 1 (Representacion de Riesz 1)Sea H un espacio de Hilbert y f 2 H 0, entonces existe un nico vf 2 H tal que

f (x) = hx; vf i , 8x 2 Hy kfk = kvfkProof.

Existencia Puesto que f es lineal y acotado, entonces ker (f) es cerrado en H

1. Si H = ker (f) entonces f (x) = 0 para todo x 2 H y f 0. Demodo que vf = 0 y se tendra

f (x)| {z }=0

= hx; vf i| {z }=0

, 8x 2 H

2. Si H 6= ker (f), entonces como ker (f) es cerrado en H, entonces

H = ker (f) (ker (f))?

luego existe v0 2 H; con v0 6= 0, tal que v0 2 (ker (f))?, se dene

vf =f (v0)

kv0k2 v0 (1)

entonces:

(a) Si x 2 ker (f) entonces f (x) = 0, as

hx; vf i =*x;f (v0)

kv0k2 v0+

=f (v0)

kv0k2hx; v0i| {z }=0

= 0

en consecuencia f (x) = hx; vf i(b) Si x = v0, entonces

f (x) = f (v0)

= f (v0) hv0; v0ikv0k2

=

*v0;

f (v0)

kv0k2 v0+

= hx; vf i

1

Notar que (a) y (b) muestra que el teorema es vlido para elementosen ker (f) o para elementos en hfv0giSe probar que H = ker (f) + hfv0gi.Sea

u = x f (x)f (vf )

vf (2)

as

f (u) = f (x) f (x)f (vf )

f (vf )

= 0

de modo que u 2 ker (f), en consecuencia

x = u+f (x)

f (vf )vf (3)

Puesto que

f (vf ) =f (v0) f (v0)

kv0k 6= 0

entonces de (1), se deeduce que

vff (vf )

=vf

f (v0) f (v0)kv0k2

comovf

f (v0)kv0k2 = v0

entoncesvf

f (vf )=

v0f (v0)

(4)

Luego llevando (4) en (3), se tiene que:

x = u+ f (x)v0

f (v0)

= u+ v0 (5)

sto muestra queH = ker (f) + hfv0gi

Dado que v0 2 (ker (f))?, entonces vf 2 (ker (f))? y como u 2ker (f), entonces

hu; vf i = 0hv0; vf i = f (v0) (por (b))

2

luego, de (5) se tiene

hx; vf i = hu+ v0; vf i= hu; vf i+ hv0; vf i= f (v0)

=f (x)

f (v0) f (v0)

= f (x)

para todo x 2 HAdems:

kfk = supkxk=1

fjf (x)jg

= supkxk=1

fjhx; vf ijg

kvfk supkxk=1

fkxkg

= kvfkPor otro lado

kfk f vfkvfk

jf (vf )jkvfk jhvf ; vf ijkvfk

kvfk2

kvfk= kvfk

En consecuenciakfk = kvfk

Unicidad Suponer que para todo x 2 Hf (x) = hx; vf i = hx; vgi

entonceshx; vf vgi = 0 , 8x 2 H

en particular para x = vf vg, se tiene0 = hvf vg; vf ggi= kvf vgk2

3

entonces

vf vg = 0vf = vg

Lemma 2 (Igualdad)Si hv1; wi = hv2; wi para todo w 2 X, con X espacio con producto interno,entonces v1 = v2. En particular, si hv; wi = 0; 8w 2 X, entonces v1 = 0

Denition 3 (Forma Sesquilineal)Sean X e Y espacios normados sobre un cuerpo K. Una forma sesquilineal hsobre X Y es una aplicacin

h : X Y ! K

tal que 8x; x1; x2 2 X y 8y; y1; y2 2 Y y ; escalares se tiene que:

1. h (x1 + x2; y) = h (x1; y) + h (x2; y)

2. h (x; y1 + y2) = h (x; y1) + h (x; y2)

3. h (x; y) = h (x; y)

4. h (x; y) = h (x; y)

En el caso que X e Y son reales, entonces 4. se resume en

h (x; y) = h (x; y)

y se dice que h : X Y ! R es una forma bilineal si existe c > 0 tal que

jh (x; y)j c kxk kyk , 8x; y

entonces se dice que h es acotada. Se dene la norma de h por

khk = supkxk=kyk=1

fjh (x; y)jg

Theorem 4 (Representacion de Riesz 2)Sean H1 y H2 espacios de Hilbert y h : H1H2 ! K es una forma sesquilineal.Entonces h tiene una representacin

h (x; y) = hSx; yiH02donde S : H1 ! H2 es un operador lineal acotado. Adems S es nicamentedeterminado por h y kSk = khk

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