DISEO DE UN SILO CONFORME AL EUROCDIGO CAPTULO 6: MTODOS NUMRICOS USADOS POR ANSYS 8.0. ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA E.T.S. INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE SEVILLA 72 CAPTULO 6 6. MTODOS NUMRICOS USADOS POR ANSYS 8.0. ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA Ansyspuedeusardiferentesmtodosmatemticosparalaresolucindelas ecuaciones numricas de equilibrio necesarias para resolver los problemas de elementos finitosplanteados.Ennuestrocasoestamosinteresadosenlaresolucindelas ecuaciones de pandeo que se han planteado en el captulo 4.Ansysdisponedemtodosnumricosdistintossegnseestresolviendoel problema lineal (Pandeo de Autovalores, apropiado para obtener una primera carga crtica demaneramsrpida)oelproblemanolineal(lacargacrticabajaralintroducirno-linealidades en el problema).En este captulo se presentan dichos mtodos, introduciendo el clculo de pandeo de autovalores primero y luego entrando ms en detalle en el clculo no lineal por ser este ltimo ms complejo y tener ms problemas de convergencia. Los mtodos numricos de DISEO DE UN SILO CONFORME AL EUROCDIGO CAPTULO 6: MTODOS NUMRICOS USADOS POR ANSYS 8.0. ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA E.T.S. INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE SEVILLA 73 clculo no lineal se basan sobre todo en el mtodo de Newton-Raphson y en variaciones delmismo.Severcmoelprogramalosllevaacabo,conlasdiferentesrdenes asociadas y los parmetros de que dispone para controlar estos mtodos. Porltimoseharespecialhincapienel mtododel arc-lengthqueesel ms apropiado para el caso que se estudia en el presente proyecto. 6.1.Pandeo de Autovalores Elanlisisdepandeodeautovalorespredicelacargacrticadepandeodeuna estructuraideallinealyelstica(esdecirelpuntodebifurcacinenlacurvacarga-desplazamiento de la estructura). Este mtodo se corresponde con el mtodo clsico del anlisis de pandeo elstico que se puede encontrar en los libros; por ejemplo, al hacer el anlisisdepandeodeautovaloresdeuncilindrohuecodeespesordeparedconstante sometidoacompresinpuralosresultadossecorrespondenconlasolucinclsicade Euler (4.36). Sin embargo, las imperfecciones y otras no linealidades hacen que la mayora de lasestructurasquepodemosencontrarenlavidarealnoalcancenestacargacrtica clsicadepandeo,sinoquelacargarealdepandeosermenordelaprevistaporel anlisis elstico. Por esto este anlisis slo debe hacerse como paso previo de un anlisis nolinealocomounaprimeraaproximacinalacargacrticadeunaestructurayaque proporcionavaloresdelacargacrticamayoresalosrealesyqueson,portanto,no seguros. Ansys realiza el anlisis de pandeo de autovaloresusando un modelo linealizado deestabilidadelstica.Elpuntodebifurcacinsecorresponde,enestecaso,conel crecimiento no acotado de un nuevo patrn de deformacin. Una estructura con una curva de comportamiento carga-desplazamiento como la mostrada en la figura 6.1.a puede ser analizada bien por este mtodo, mientras que si muestra el comportamiento mostrado en la figura 6.1.b no se analiza bien. DISEO DE UN SILO CONFORME AL EUROCDIGO CAPTULO 6: MTODOS NUMRICOS USADOS POR ANSYS 8.0. ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA E.T.S. INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE SEVILLA 74 Figura 6.1: Validez de los resultados de un anlisis de pandeo de autovalores Encualquierclculodepandeodeunaestructurasedebetenerencuentael fenmeno de Stress stiffening. Este es el fenmeno por el cual las fuerzas de membrana (axiles)influyenenlarigidezadeflexinlateral;porejemplo,unacuerdadeguitarrase hacemsrgidaaltensarla(sufrecuencianaturaldevibracinesmsalta),perouna carga axial de compresin reduce la rigidez a flexin haciendo que la estructura se haga inestable al alcanzar cierta carga: la carga crtica de pandeo. Este fenmeno de 2 orden conocido como Stress stiffening se tiene en cuenta al realizarelanlisisdepandeodeautovaloresdeAnsysincluyendounclculotensional previoparaincluirlosefectosdelastensionesdemembranaenlamatrizderigidez geomtrica(stressstiffnessmatrix)quesesumaalaobtenidaconlateoradeprimer orden. ssK K K= + (6.1) La matriz de rigidez geomtrica depende de: - Geometra del elemento. - Desplazamientos. - Valores de los esfuerzos de membrana. DISEO DE UN SILO CONFORME AL EUROCDIGO CAPTULO 6: MTODOS NUMRICOS USADOS POR ANSYS 8.0. ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA E.T.S. INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE SEVILLA 75 6.1.1.Proceso del clculo de Pandeo de Autovalores Cuando se analiza el pandeo lineal en Ansys, el problema de pandeo es formulado como un problema de autovalores siguiendo el siguiente proceso: 1.Secargalaestructurahastaunnivelarbitrariodereferenciadecargas exteriores,refF . Se hace un anlisis esttico lineal para calcular los esfuerzos de membrana en los elementos ref refK D F = (6.2) Delaecuacin(6.2)calculamoslosdesplazamientos refD ydespuslas tensiones y esfuerzos correspondientes al nivel de carga refF . Se calcula la matriz de rigidez geomtrica para ese nivel de carga ,refK, para ellosehaceelanlisisestticoprevioantesmencionado,paraelcualse introduce en el programa el cdigo expuesto en la figura 6.2: Figura 6.2: Cdigo de Ansys para el clculo previo de la matriz de rigidez geomtrica 2.Para otro nivel de cargas exteriores se tiene: , ref refF F K K = = (6.3) /SOLU ANTYPE,STATIC PSTRES,ON ! Aplicar cargasSOLVE FINISH DISEO DE UN SILO CONFORME AL EUROCDIGO CAPTULO 6: MTODOS NUMRICOS USADOS POR ANSYS 8.0. ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA E.T.S. INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE SEVILLA 76 Al ser un anlisis lineal, se supone que al multiplicar las cargas por tambin semultiplicanlastensionesporelmismofactor,perosincambiarla distribucin de tensiones. Los desplazamientos para el nuevo valor de carga son ( ),ref refK K D F + = (6.4) 3.Si se aplica una perturbacin sobre la carga F, se produce un movimiento D. Elpandeo(bifurcacindelequilibrio)sucedecuandoesposibleunD 0con F=0: ( ) ( ),ref refK K D D F + + = (6.5) Restando (6.5) y (6.4) se obtiene el problema de autovalores al que se alude al realizar el anlisis: ( ),0refK K D + = (6.6) El menor de los autovalores nos proporciona la carga crtica de pandeo cr . Su autovector es el modo de pandeo. El problema de autovaloresde la ecuacin (6.6) se resuelve mediantealguno de los procedimientos explicados en 6.1.2. Los autovectores estn normalizados de manera que el componente ms grande es 1,0. Por tanto, las tensiones (cuando se calculan como resultadodelproblema)debenserinterpretadascomounadistribucinrelativade tensiones y no directamente como el estado tensional. Una muestradelcdigoqueseintroduceenAnsyspararesolverelproblemade pandeo por autovalores se muestra en la figura 6.3: DISEO DE UN SILO CONFORME AL EUROCDIGO CAPTULO 6: MTODOS NUMRICOS USADOS POR ANSYS 8.0. ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA E.T.S. INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE SEVILLA 77 Figura 6.3: Cdigo de Ansys para realizar el clculo del problema de Pandeo por Autovalores Sielprimerautovaloresnegativo(locualindicaqueelpandeoseproducepara cargas aplicadas en el sentido opuesto), Ansys da un warning y el programa termina. En elmtododelsubespacio,semuestraunerrorNumberofstress-stiffnessDOFisless than requested modes. Para evitar esta dificultad, aplicar un desplazamiento inicial de la bsqueda (con el comando BUCOPT) hasta un valor prximo al autovalor esperado. 6.1.2.Problema de extraccin de autovalores Ansysdisponedevariosmtodosparalaextraccindeautovaloresquese enumeran en la tabla 6.1. Los que se usan en el anlisis del pandeo de autovalores estn recuadrados en rojo en dicha tabla. /SOLU !Debe haberse resuelto previamente un problema esttico con PSTRES,ON ANTYPE,BUCKLE ! Anlisis de pandeo !por autovalores. BUCOPT,LANB,10! Define el mtodo de !clculo de autovalores y ! el n de modos a calcular. MXPAND,1! Expande la forma !de los 10 modos calculados. SOLVE FINISH DISEO DE UN SILO CONFORME AL EUROCDIGO CAPTULO 6: MTODOS NUMRICOS USADOS POR ANSYS 8.0. ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA E.T.S. INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE SEVILLA 78 Tabla 6.1: Mtodos de extraccin de Autovalores en Ansys 8.0 ANSYS ofrece varios mtodos para la obtencin de autovalores y autovectores en un sistema de N g.d.l.: REDUCED Emplea matrices reducidas, asociadas a una serie de g.d.l. maestros que el usuario (o el propio ANSYS) debe seleccionar previamente. El proceso de solucinesmsrpidoqueconlasopcionesSUBSPACEperomenos exacto,yaquelasmatricesreducidasslopermitenobtenerunasolucin aproximada. SUBSPACEPermitenobtenerundeterminadonmeroM(reducido:M