7cap 7 Metodos Con Tranformada de Laplace

7/31/2019 7cap 7 Metodos Con Tranformada de Laplace

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Métodos contransformada de Laplace

7.1 Transformadas de Laplace y transformadas inversas

En el capítulo 3 analizamos que las ecuaciones diferenciales con coecienteconstantes tienen numerosas aplicaciones y pueden resolverse de manera siste

mática. Existen, sin embargo, casos donde son preferibles los métodos alternativos

del presente capítulo. Recuérdense, por ejemplo, las ecuaciones diferenciales

mx0 1 cx9 1 kx 5 F (t ) y LI 0 1 RI 9 1 1C

I 5 E 9(t )

correspondientes a un sistema masa-resorte-amortiguador y a un circuito RLC en

serie, respectivamente. Con frecuencia ocurre en la práctica que los términos de excitación F (t ) o E 9(t ) tienen discontinuidades —por ejemplo, cuando el voltaje sumi

nistrado a un circuito eléctrico se activa o desactiva periódicamente—. En este caso

los métodos del capítulo 3 pueden ser inconvenientes, por lo que resulta más adecuado el método de transformada de Laplace.

El operador diferencial D puede verse como una transformación cuando se

aplica a la función f (t ), a partir de la cual se obtiene la nueva función D{ f (t )} 5 f 9(t )La transformación de Laplace l incluye la operación de integración y obtiene una

nueva función l{ f (t ) 5 F (s) de una nueva variable independiente s. Esta situación

se muestra en el diagrama de la gura 7.1.1. Después de aprender en este apartadocómo calcular la transformada de Laplace F (s) de una función f (t ), se presentará en

la sección 7.2 la forma en que la transformada de Laplace convierte una ecuación

diferencial con función desconocida f (t ) en una ecuación algebraica F(s). Debido a

que las ecuaciones algebraicas son generalmente más fáciles de resolver que la

ecuaciones diferenciales, éste es un método que simplica el problema de encontra

la solución f (t ).

77

441

D{ f (t )} f (t )

{ f (t )} F (s)

f (t )

D

f (t )

Figura 7.1.1. Transformación

de una función: l en analogía

con D.



Recuérdese que una ntel mpop en un intervalo innito está denid

como el límite de la integral en el intervalo acotado; esto es,

2a`

g(t )dt 5 límbS` 2a

b

g(t )dt . (2

Si el límite en (2) existe, entonces se dice que la integral impropia convee; de otrmanera dvee o no existe. Nótese que el integrando de la integral impropia en (1

contiene el parámetro s, además de la variable de integración t . Por tanto, cuando l

integral en (1) converge, lo hace no precisamente hacia un número, sino a la funció

F de s. Como en los siguientes ejemplos, la integral impropia de la denición dl{ f (t )} normalmente converge para algunos valores de s y diverge para otros.

Ejepl 1 Con f (t ) ; 1 para t ^ 0, la denición de la transformada de Laplace en (1) obtiene

l{1} 5 20`

e2st dt 5

−

1

se−st

∞0

5 límbS`

−

1

se−bs +

1

s

,

y por tanto

l{1} 5 1s

para s . 0. (3

Como en (3), es una buena práctica especicar el dominio de la transformada deLaplace —tanto en problemas como en ejemplos—. Además, en este cálculo se h

utilizado la abreviatura común

g(t )∞

a

5 límbS`

g(t )b

a

. (4

■

Obsevcón. El límite calculado en el ejemplo 1 no existiría si s , 0, por

que el término (1ys)e2bs estaría no acotado conforme b S 1`. Así, l{1} está denida sólo para s . 0. Esto es algo normal de las transformadas de Laplace; el domi

nio de la transformación es normalmente de la forma s . a para algún valor a.

Ejepl 2 Con f (t ) 5 eat para t ^ 0 se obtiene

l{eat } 5 20

`

e2st eat dt 5 20

`

e2(s2a)t dt 5 −

e−(s−a)t

s − a∞

t =0.

DEfinición L tsd de Lple

Dada una función f (t ) denida para toda t ^ 0, la transformada de Laplace de f esla función F denida como sigue:

➤ F (s) 5 l{ f (t )} 5 20

`

e2st f (t ) dt (1)

para todo valor de s en los cuales la integral impropia converge.



Si s 2 a . 0, entonces e2(s2a)t S 0 conforme t S `; así, se concluye que

➤ l{eat } 5 1

s a2para s . a. (5

Nótese aquí que la integral impropia que proporciona la l{eat } diverge si s % a. S

observa también que la fórmula dada en (5) se cumple si a es un número complejo

Por tanto, si a 5 a 1 ib,

e2(s2a)t 5 eibt e2(s2a)t S 0

conforme t S `, siempre que s . a 5 Re[a], ya que eibt 5 cos bt 1 i sen bt . ■

La transformada de Laplace de la forma l{t a} se expresa de manera más con

veniente en términos de la fncón mm G( x), la cual está denida para x . 0 po

la fórmula

➤ G( x) 5 20`

e2t t x21 dt . (6

Para una presentación sencilla de G( x), véase la subsección de la función gamma ela sección 8.5, donde se muestra que

G(1) 5 1 (7

y que

G( x 1 1) 5 xG( x) (8

para x . 0. De aquí se concluye también que si n es un entero positivo, entonces

G(n 1 1) 5 nG(n)

5 n ? (n 2 1)G(n 2 1)

5 n ? (n 2 1) ? (n 2 2)G(n 2 2)

A

5 n(n 2 1)(n 2 2) p 2 ? G(2)

5 n(n 2 1)(n 2 2) p 2 ? 1 ? G(1);

así,

➤ G(n 1 1) 5 n! (9

si n es un entero positivo. Por tanto, la función G( x 1 1), la cual está denida y e

continua para toda x . 21, coincide con la función factorial para x 5 n como u

entero positivo.

Ejepl 3 Supóngase que f (t ) 5 t a, donde a es real y a . 21. Entonces

l{t a} 5 20`

e2st t a dt .

Si se sustituye u 5 st , t 5 uys y dt 5 duys en la integral, se obtiene

l{t a} 5 1 1sa1 20`

e2uua du 5 G 11( )a

sa 11(10



para toda s . 0 (de tal manera que u 5 st . 0). Debido a que G(n 1 1) 5 n! si n eun entero no negativo, se observa que

➤ l{t n} 5 n

sn

!11

para s . 0. (11

Por ejemplo

l{t } 5 12s

, l{t 2} 5 2

3s, y l{t 3} 5

64s

.

Como en los problemas 1 y 2, estas fórmulas pueden deducirse de manera inmediatde la denición sin utilizar la función gamma. ■

Linealidad de las transformadas

No es necesario realizar a fondo los cálculos de la transformada de Laplace directa

mente de la denición. Una vez que se conocen las transformadas de Laplace de

varias funciones, éstas pueden combinarse para obtener las transformadas de otrafunciones. La razón es que la transformación de Laplace es una operación lineal.

La demostración del teorema 1 es consecuencia inmediata de la linealidad d

las operaciones de límite e integración:

l{af (t ) 1 bg(t )} 5 20`

e2st [af (t ) 1 bg(t )] dt

5 límcS`20

c

e2st [af (t ) 1 bg(t )] dt

5 aa límcS`20

`

e2st f (t ) dt b 1 ba límcS`20

c

e2st g(t ) dt b 5 al{ f (t )} 1 bl{g(t )}.

Ejepl 4 El cálculo de l{t ny2} se basa en el conocido valor especial

�

1

2

= √

π (13

de la función gamma. Por ejemplo, se concluye que

�52

= 32�32

= 32· 12�12

= 34√ π,

TEorEma 1 Leldd de l tsd de Lple

Si a y b son constantes, entonces

➤ l{af (t ) 1 bg(t )} 5 al{ f (t )} 1 bl{g(t )} (12)

para toda s tal que las transformadas de Laplace tanto de f como de g existen.



utilizando la fórmula G( x 1 1) 5 xG( x) en (9), primero con x 5 32 y luego con x 5

. Ahora, con las fórmulas de la (10) a la (12) se obtiene

l{3t 2 1 4t 3y2} 5 3 ? 2

3

!

s 1

4 52

5 2

G( )

s y 5

63s

1 3p

s5.

Ejepl 5 Recuérdese que cosh kt 5 (ekt 1 e2kt )y2. Si k . 0, entonces el teorema 1 y el ejemplo 2 en conjunto dan como resultado

l{cosh kt } 5 12l{e kt } 1

12l{e2kt } 5

12

1

s − k +

1

s + k

;

esto es,

l{cosh kt } 5 s

s k2 22para s . k . 0. (14

De manera similar,

l{senh kt } 5 k

s k2 22para s . k . 0. (15

Debido a que cosh kt 5 (eikt 1 e2ikt )y2, la fórmula en (5), con a 5 ik , proporciona

l{cos kt } 5

1

s − ik +

1

s + ik

5

12

? 2

2 2

s

s ik2( ),

y así

l{cos kt } 5 s

s k2 21para s . 0. (16

(Se concluye que el dominio es para s . Re[ik ] 5 0.) De manera similar,

l{sen kt } 5 k

s k2 21para s . 0. (17

Ejepl 6 Aplicando la linealidad, la fórmula dada en (16) y la conocida identidad trigonométrica se obtiene

l{3e 2t 1 2 sen2 3t } 5 l{3e 2t 1 1 2 cos 6t }

5 3

2s 2 1

1s

2 s

s2 361

5 3 144 722 36

3

2s s

s s s1 2

2 1( )( )para s . 0. ■



Transformadas inversas

De acuerdo con el teorema 3 de esta sección, no existen dos diferentes funcione

ambas continuas para toda t ^ 0 con la misma transformada de Laplace. Así, si F (s

es la transformada de alguna función continua f (t ), entonces f (t ) está determinada d

manera única. Esta observación permite construir la siguiente denición: si F (s) 5l{ f (t )}, entonces se llama f (t ) a la tnsfomd nves de Lplce de F (s), y s

escribe

➤ f (t ) 5 l21{F (s)}. (18

Ejepl 7 Empleando las transformadas de Laplace que se obtuvieron en los ejemplos 2, 3 y 5se observa que

l21

1

s3

5

12

t 2, l21

1

s + 2

5 e22t , l21

2

s2 + 9

5

23

sen 3t

y así sucesivamente. ■

NotacióN. FuNcioNes y sus traNsFormadas. A lo largo de este capítulo se han

representado las funciones de t con letras minúsculas. La transformada de un

función siempre se representará con la misma letra, pero mayúscula. Así, F (s) ela transformada de Laplace de f (t ), y x(t ) es la transformada inversa de Laplac

de X (s).

Una tabla de transformadas de Laplace tiene el mismo propósito que el de un

tabla de integrales. La de la gura 7.1.2 incluye las transformadas calculadas en estsección; muchas transformadas adicionales pueden obtenerse de estas básicas apli

cando varias propiedades generales de la transformación de Laplace (que se presen

tarán en secciones subsecuentes).

Funciones continuas por tramos

Como se destacó al principio de esta sección, es necesario manejar ciertos tipos de

funciones discontinuas. Se dice que la función f (t ) es contn po tmos en eintervalo acotado a % t % b siempre que [a, b] pueda subdividirse en varios subin

tervalos nitos colindantes, de tal manera que:

1. f sea continua en el interior de cada uno de estos subintervalos; y

2. f (t ) tenga un límite nito conforme t se aproxime a cada extremo de cada su

bintervalo desde su interior.

Se dice que f es continua por tramos para t ^ 0 si es continua por tramos en todo

subintervalo acotado de [0, 1`). Así, una función continua por tramos tiene sólo

discontinuidades simples (si las hubiera) y únicamente en puntos aislados. En estopuntos el valor de la función experimenta un salto nito, como se indica en la gur

7.1.3. El slto en f (t ) en el pnto c está denido como f (c1) 2 f (c2), donde

f (c1) 5 límPS01

f (c 1 P) y f (c2) 5 límPS01

f (c 2 P).

Probablemente la función continua por tramos más simple (pero discontinuaes l fncón esclón nto, cuya gráca se muestra en la gura 7.1.4. Esta fun

ción se dene como sigue:

u(t ) 5 u 0 01 0

parapara

tt

,^

,.

(19

Figura 7.1.2. Tabla breve de

ransformadas de Laplace.

f ( t) F( s)

n (n 0)

a (a > −1)

at

os kt

in kt

osh kt

inh kt

(t − a)

1

s(s > 0)

1

s2(s > 0)

n!

sn+1 (s > 0)

�(a + 1)

sa+1(s > 0)

1

s − a(s > 0)

s

s2 + k 2(s > 0)

k

s2 + k 2(s > 0)

s

s2 − k 2(s > |k |)

k

s2 − k 2(s > |k |)

e−as

s(s > 0)

en kt

enh kt



Debido a que u(t ) 5 1 para t ^ 0, y a que la transformada de Laplace involucra sól

valores de la función para t ^ 0, se observa inmediatamente que

l{u(t )} 5 1s

(s . 0). (20

La gráca de una función escalón unitario ua(t ) 5 u(t 2 a) se muestra en la gur

7.1.5. El salto de esta función ocurre en t 5 a en vez de en t 5 0; de manera equivalente,

ua(t ) 5 u(t 2 a) 5 u 0

1para

para

t at a

,

^

,.

(21

Ejepl 8 Encuéntresel{ua(t )} si a . 0.

Slu Comenzando con la denición de la transformada de Laplace se obtiene

l{ua(t )} 5 20

`

e2st ua(t ) dt 5 20

`

e2st dt 5 límbS`

−

e−st

s

b

t =a

;

en consecuencia,

l{ua(t )} 5

es

as2

(s . 0, a . 0). (22

■

Propiedades generales de las transformadas

Es un hecho común y corriente del cálculo que la integral

2ab

g(t ) dt

existe si g es continua por tramos en el intervalo acotado [a, b]. En consecuencia, s

f es continua por tramos para t ^ 0, se concluye que la integral

20b

e2st f (t ) dt

existe para toda b , 1`. Sin embargo, para que F (s) —el límite de esta última integral conforme b S 1`— exista, se necesita alguna condición que limite la veloci

Figura 7.1.3. Gráca de una

unción continua por tramos; los puntosellenos indican los valores de la

unción en las discontinuidades.

x

y

a b

Figura 7.1.4. Gráca de la función

escalón unitario.

u(t )

t

(0, 1)

Figura 7.1.5. La función escalón

unitario ua(t ) tiene un salto en t 5 a.

ua(t ) u(t a)

t a t

(a , 1)



dad de crecimiento de f (t ) conforme t S 1`. Se dice que la función f es de odenexponencl conforme t S 1` si existen constantes no negativas M , c y T tales

que

u f (t )u % Mect para t ^ T . (23

Así, una función es de orden exponencial siempre que su incremento (conforme

t S 1`) no sea más rápido que un múltiplo constante de alguna función exponencia

con un exponente lineal. Los valores particulares de M , c y T no son tan importantes

lo importante es que algunos de esos valores existan de tal manera que la condición

en (23) se satisfaga.

La condición en (23) simplemente dice que f (t )yect se encuentra entre 2 M y M

y es por tanto acotada en su valor para t sucientemente grande. En particular, esto

se cumple (con c 5 0) si f (t ) en sí misma está acotada. Por tanto, toda función aco

tada —tal como cos kt o sen kt — es de orden exponencial.

Si p(t ) es un polinomio, entonces es común que p(t )e2t S 0 a medida que

t S 1`, lo cual implica que (23) se cumple (para T sucientemente grande) con

M 5 c 5 1. En consecuencia, toda función polinomial es de orden exponencial.Como ejemplo de una función elemental que es continua y por tanto acotada en

todo intervalo (nito), pero que no es de orden exponencial, considérese la función

f (t ) 5 e t 2 5 exp(t 2). Cualquiera que sea el valor de c, se observa que

límt ct

f t

eS`

( ) 5 lím

t

t

ct

e

eS`

2

5 límtS`

e t 22ct 5 1`

debido a que t 2 2 ct S 1` a medida que t S 1`. En consecuencia, la condición en

(23) no se cumple para ningún valor (nito) de M , por lo que se concluye que la

función f (t ) 5 e t 2 no es de orden exponencial.

De manera similar, dado que e2st e t 2 S 1` conforme t S 1`, se observa quela integral impropia 10

`e2st e t 2 dt , que deniría lal{e t 2}, no existe (para ningún valor

de s) y, como resultado, la función e t 2 no tiene transformada de Laplace. El siguien

te teorema garantiza que las funciones por tramos de orden exponencial sí tienen

transformada de Laplace.

TEorEma 2 Exste de l tsd de Lple

Si la función f es continua por tramos para t ^ 0, y de orden exponencial cuando

t S 1`, entonces su transformada de Laplace F (s) 5 l{ f (t )} existe. De maneramás precisa, si f es continua por tramos y satisface la condición dada en (23), en-

tonces F (s) existe para toda s . c.

Demostración. Nótese primero que se puede considerar T 5 0 en (23). Para

una continuidad por tramos, u f (t )u es acotada en [0, T ]. Incrementando M en (23) ses necesario, se puede asumir que u f (t )u % M si 0 % t % T . Debido a que ect ^ 1 para

t ^ 0, se concluye entonces que u f (t )u % Mect para toda t ^ 0.

Un teorema estándar sobre convergencia de integrales impropias —el hecho de

que la convergencia absoluta implica convergencia— es suciente para probar que

la integral

20`

ue2st f (t )u dt

existe para s . c. Para llevar a cabo esto es suciente, a su vez, mostrar que el valor

de la integral

20`

ue2st f (t )u dt



ermanece acotado conforme b S 1`. Sin embargo, u f (t )u % Mect para toda t ^ 0

mplica que

20b

ue2st f (t )u dt % 20b

ue2st Mect u dt 5 M 20b

e2(s2c)t dt

% M 2

0

`

e2(s2c)t

dt 5

M

s c2

s . c. Esto comprueba el teorema 2. ▲

Hemos demostrado, además, que

uF (s)u % 20`

ue2st f (t )u dt % M

s c2(24)

s . c. Cuando se toman límites en el caso de que s S 1`, se obtiene el siguientesultado.

coroLario F( s) p ud s tiende a infnito

Si f (t ) satisface la hipótesis del teorema 2, entonces

límsS` F (s) 5 0. (25)

La condición dada en (25) limita severamente las funciones que pueden ser trans-rmadas de Laplace. Por ejemplo, la función G(s) 5 sy(s 1 1) no puede ser la transfor-

ada de Laplace de ninguna función “razonable”, porque su límite cuando s S 1` es

en lugar de 0. Por lo general, una función racional —un cociente de dos polino-

ios— puede ser (y lo es, como se verá más adelante) una transformada de Laplace

ólo si el grado de su numerador es menor que el de su denominador.Por otro lado, las hipótesis del teorema 2 son condiciones sucientes, pero no

ecesarias, para la existencia de la transformada de Laplace de f (t ). Por ejemplo, la

unción f (t ) 5 1y t falla en ser continua por tramos (en t 5 0), pero aun así (ej. 3on a 5 2

12 . 21) su transformada de Laplace

l{t 21y2} 5 G( )1

2

1 2s y 5

p

s

xiste al mismo tiempo que viola la condición dada en (24), lo que implicaría que

F (s) permaneciera acotada conforme s S 1`.



Así, dos funciones continuas por tramos de orden exponencial con la mism

transformada de Laplace pueden diferir únicamente en sus puntos aislados de dis

continuidad. Esto no tiene importancia en la mayoría de las aplicaciones prácticaspor lo que las transformadas inversas de Laplace pueden considerarse esencialment

únicas. En particular, dos soluciones de una ecuación diferencial deben ser continua

y por lo tanto deben representar la misma solución si ambas tienen la misma transformada de Laplace.

Not hstóc. La transformada de Laplace tiene una historia interesante. Lintegral en la denición de la transformada de Laplace probablemente apareció po

primera vez en el trabajo de Euler. Es una costumbre en matemáticas nombrar un

técnica o teorema con el nombre de las personas que sucedieron a Euler en su descubrimiento (de otra manera habría varios cientos de ejemplos diferentes de “teoremas d

Euler”). En este caso, el matemático que siguió a Euler fue el francés Pierre Simo

de Laplace (1749-1827), quien empleó estas integrales en sus trabajos de la teoría d

probabilidad. Los métodos de cálculo comunes para la resolución de ecuaciones diferenciales basadas en las transformadas de Laplace no fueron explotados por él. E

cambio, estos métodos fueron descubiertos y popularizados por los ingenieros —d

manera notable por el ingeniero eléctrico inglés Oliver Heaviside (1850-1925)—

Antes de que ser rigurosamente justicadas, estas técnicas fueron aplicadas con amplitud y éxito, y a principios del siglo xx su validez fue objeto de intensas controver

sias. Una razón es que Heaviside ingenuamente supuso la existencia de funcione

cuyas transformadas de Laplace contradicen la condición F (s)S

0 cuando sS

0, lque generó preguntas sobre el signicado y naturaleza de las funciones en matemát

cas. (Esto recuerda la manera en que Leibniz, dos siglos antes, obtuvo resultados co

rrectos en cálculo al utilizar números reales “innitamente pequeños”, y desencaden

preguntas sobre la naturaleza y el papel de los números en matemáticas.)

7.1 Problemas

Aplique la denición dada en (1) para encontrar directamente

las transformadas de Laplace de las funciones descritas (por

fórmula o grácamente) en los problemas 1 al 10.

9.

1. f (t ) = t 2. f (t ) = t 2

3. f (t ) = e3t +1 4. f (t ) = cos t

5. f ( t ) 5 senh t 6. f ( t ) 5 sen2 t

8.

10.

Utilice las transformadas de la gura 7.1.2 para encontra

las transformadas de Laplace de las funciones en los proble

mas 11 al 22. Puede necesitar una integración preliminar po

partes.

t

(1, 1)

Figura 7.1.6.

t

(1, 1)

Figura 7.1.8.

t

(0, 1)

(1, 0)

Figura 7.1.9.

t

(2, 1)(1, 1)

Figura 7.1.7.

7.

11. f (t ) t 3t 12. f (t ) 3t 5/ 2 4t 3

13. f (t ) t 2e3t 14. f (t ) t 3/ 2 e10t

15. f (t ) 1 cosh5t 16. f (t ) sen 2t cos 2t

17. f (t ) cos2 2t 18. f (t ) sen 3t cos 3t

19. f (t ) (1 + t )3 20. f (t ) tet

21. f (t ) t cos 2t 22. f (t ) senh2 3t



7.1 apl Transformadas y transformadas inversas a travésde sistemas de álgebra por computadora

Si f (t ) 5 t cos 3t , entonces la denición de la transformada de Laplace proporcion

la integral impropia

F (s) 5 l{ f (t )} 5 20`

te2st cos 3t dt ,

cuya evaluación requiere una tediosa integración por partes. En consecuencia, un pa

quete electrónico de álgebra con transformadas de Laplace es útil para lograr ucálculo rápido. Maple contiene el paquete de transformadas integrales inttransy los comandos

with(inttrans):

f := t*cos(3*t):

F := laplace(f, t, s);

generan inmediatamente la transformada de Laplace F (s) 5 (s2 2 9)y(s2 1 9)2; de l

misma forma proceden los comandos de Mathematica

f = t*Cos[3*t];

F = LaplaceTransform(f, t, s);

La función original f (t ) 5 t cos 3t puede recuperarse con el comando de Maple

invlaplace(F, s, t);

o con el comando de Mathematica

InverseLaplaceTransform[F, s, t]

Obsevcón. Nótese cuidadosamente el orden de s y t en los comandos arr

ba mencionados —primero t , luego s cuando se transforma; primero s, luego t cuan

do se obtiene la transformada inversa. ■

Pueden utilizarse estos comandos del sistema de álgebra por computadora par

revisar las respuestas de los problemas 11 al 32 de esta sección, así como otros delección propia.

7.2 Transformadas de problemas con valores iniciales

Se presentará ahora la aplicación de la transformada de Laplace para resolver un

ecuación diferencial lineal con coecientes constantes, tal como

ax0(t ) 1 bx9(t ) 1 cx(t ) 5 f (t ), (1

con condiciones iniciales dadas x(0) 5 x0 y x9(0) 5 x90. Mediante la linealidad de ltransformada de Laplace podemos transformar la ecuación (1) tomando de maner

separada la transformada de Laplace de cada término de la ecuación. La ecuaciótransformada es

al{ x0(t )} 1 bl{ x9(t )} 1 cl{ x(t )} 5 L{ f (t )}; (2

esta ecuación involucra las transformadas de las derivadas x9 y x0 de la función des

conocida x(t ). La clave del método está en el teorema 1, el cual indica cómo expresa

la transformada de la derivada de una función en términos de la transformada de l

función misma.



La función f se llama sve po tmos en el intervalo acotado [a, b] s

es continua por tramos en [a, b] y derivable salvo en ciertos puntos nitos, siendo f 9(t ) continua por tramos en [a, b]. Pueden asignársele valores arbitrarios a f (t ) en lo

puntos aislados donde f es no derivable. Se dice que f es derivable por tramos para

t ^ 0 si es suave en el segmento de cada subintervalo acotado de [0, 1`). La gura

7.2.1 muestra cómo “las esquinas” de la gráca de f corresponden con discontinuidades en su derivada f 9.

La idea principal de la demostración del teorema 1 es mostrarlo mejor en ecaso en que f 9(t ) es continua (no meramente continua por tramos) para t ^ 0. Enton

ces, comenzando con la denición de l{ f 9(t )} e integrando por partes, se obtiene

l{ f 9(t )} 5 20`

e2st f 9(t ) dt 5 e−st f (t )

∞t =0

1 s 20`

e2st f (t ) dt .

Debido a (3), el término integrado e2st f (t ) tiende a cero (cuando s . c) conforme

t S 1`, y su valor en el límite inferior t 5 0 contribuye con 2 f (0) en la evaluaciónde la expresión anterior. La integral que queda es simplemente l{ f (t ); por el teore

ma 2 de la sección 7.1, la integral converge cuando s . c. Entonces, la l{ f 9(t )}existe cuando s . c, y su valor se muestra en la ecuación (4). El caso en el cual f 9(tcuenta con discontinuidades aisladas se diferirá para el nal de esta sección.

Solución de problemas con valores iniciales

Para transformar la ecuación (1) se necesita también la transformada de la segundaderivada. Si se asume que g(t ) 5 f 9(t ) satisface la hipótesis del teorema 1, entonce

éste implica que

l

{ f 0(t )} 5 l

{g9(t )} 5 sl

{g(t )} 2 g(0) 5 sl{ f 9(t )} 2 f 9(0)

5 s[sl{ f (t )} 2 f (0)] 2 f 9(0),

y así

➤ l{ f 0(t )} 5 s2 F (s) 2 s f (0) 2 f 9(0). (5

Una repetición de este cálculo da

l{ f -(t )} 5 sl{ f 0(t )} 2 f 0(0) 5 s3 F (s) 2 s2 f (0) 2 sf 9(0) 2 f 0(0). (6

Después de un número nito de pasos como éste se obtiene la siguiente extensióndel teorema 1.

TEorEma 3 Tsds de devds

Supóngase que la función f (t ) es continua y suave por tramos para t ^ 0, y que esde orden exponencial cuando t S 1`, de manera que existen constantes no nega-

tivas M , c y T tales que

u f (t )u % Mect para t ^ T . (3)

Entonces, la l{ f 9(t )} existe para s . c, y

➤ l{ f 9(t )} 5 sl{ f (t )} 2 f (0) 5 sF (s) 2 f (0). (4)

gura 7.2.1. Discontinuidades

9 que corresponden a “esquinas”

a gráca de f .

x

y

a b

x

y

a b

Función continua

Derivada continua por tramos



Ejepl 1 Resuélvase el problema con valores iniciales

x0 2 x9 2 6 x 5 0; x(0) 5 2, x9(0) 5 21.

Slu Con los valores iniciales dados, las ecuaciones (4) y (5) nos llevan a que

l{ x9(t )} 5 sl{ x(t )} 2 x(0) 5 sX (s) 2 2

y

l{ x0(t )} 5 s 2l{ x(t )} 2 sx(0) 2 x9(0) 5 s 2 X (s) 2 2s 1 1,

donde (de acuerdo con nuestra convención respecto de la notación) X (s) representla transformada de Laplace de la función (desconocida) x(t ). De esta manera, la ecua

ción transformada es

[s2 X (s) 2 2s 1 1] 2 [sX (s) 2 2] 2 6[ X (s)] 5 0,

la cual se simplica rápidamente en

(s2 2 s 2 6) X (s) 2 2s 1 3 5 0.

Así,

X (s) 5 2 3

6

2

s

s s

2

2 2 5

2 3

3 2

s

s s

2

2 1( )( )

.

Por el método de fracciones parciales (del cálculo integral), existen constantes A y B

tales que

2 3

3 2

s

s s

2

2 1( )( ) 5

As 2 3

1 B

s 1 2,

y al multiplicar ambos lados de esta ecuación por (s 2 3)(s 1 2) se llega a la identidad

2s 2 3 5 A(s 1 2) 1 B(s 2 3).

Si se sustituye s 5 3, se encuentra que A 5 3

5

; la sustitución de s 5 22 muestra qu

B 5 75 . Así,

X (s) 5 l{ x(t )} 5

35

3s 2 1

75

2s 1.

Como l21{1y(s 2 a)} 5 eat , se sigue que

x(t ) 5 35 e3t 1

75 e22t

es la solución del problema original con valores iniciales. Nótese que se encontró

primero la solución general de la ecuación diferencial. El método de la transformadde Laplace proporciona directamente la solución particular deseada considerando

automáticamente —por medio del teorema 1 y su corolario— las condiciones iniciales dadas. ■

coroLario Tsd de devds de de supe

Supóngase que las funciones f , f 9, f 0, …, f (n21) son continuas y suaves por tra-mos para t ^ 0, y que cada una de estas funciones satisface las condiciones dadas

en (3) con los mismos valores de M y de c. Entonces, la l{ f (n)(t )} existe cuando

s . c, y

l{ f (n)(t )} 5 snl{ f (t )} 2 sn21 f (0) 2 s n22 f 9(0) 2 p 2 f (n21)(0)

➤ 5 sn F (s) 2 s n21 f (0) 2 p 2 s f (n22)(0) 2 f (n21)(0). (7)



Técnicas de transformación adicionales

Ejepl 4 Muéstrese que

l{teat } 5 1

2( )s a2.

Slución Si f (t ) 5 teat , entonces f (0) 5 0 y f 9(t ) 5 eat 1 ateat . De esta manera, el teorema

proporciona

l{eat 1 ateat } 5 l{ f 9((t )} 5 sl{ f (t )} 5 sl{teat }.

Se concluye por la linealidad de la transformada que

l{eat } 1 al{teat } 5 sl{teat }.

Por tanto,

l{teat } 5 l{ }e

s a

at

2 5

12( )s a2

(15

debido a que l{eat } 5 1y(s 2 a). ■

Ejepl 5 Encuéntresel{t sen kt }.

Slución Sea f (t ) 5 t sen kt . Entonces f (0) 5 0 y

f 9(t ) 5 sen kt 1 kt cos kt .

La derivada involucra una nueva función t cos kt , de tal manera que se observa qu f 9(0) 5 0, por lo que derivamos de nuevo. El resultado es

f 0(t ) 5 2k cos kt 2 k 2t sen kt .

Pero l{ f 0(t )} 5 s2l{ f (t )} por la fórmula (5) para la transformada de la segundaderivada, y l{cos kt } 5 sy(s2 1 k 2), de tal manera que

22 2

ks

s k1 2 k 2l{t sen kt } 5 s2l{t sen kt }.

Finalmente, se resuelve esta ecuación para

l{t sen kt } 5 22 2 2

kss k( )1

. (16

Este procedimiento es considerablemente más amable que la alternativa de evaluala integral

l{t sen kt } 5 20`

te2st sen kt dt . ■

Los ejemplos 4 y 5 explotan el hecho de que f (0) 5 0, por lo que la derivacióde f corresponde a la multiplicación de su transformada por s. Es razonable espera

la operación inversa de integración (antiderivada), que corresponde a la división de latransformada entre s.



Demostración. Debido a que f es continua por tramos, el teorema fundamental del cálculo implica que

g(t ) 5 20t f (t) d t

es continua y que g9(t ) 5 f (t ) donde f es continua; así, g es continua y suave por tramos para t ^ 0. Más aún,

ug(t )u % 2

0

t

u f (t)u d t % M 2

0

t

ect

d t 5

M

c (ect

2 1) ,

M

c ect

,

así, g(t ) es de orden exponencial conforme t S 1`. Por tanto, se puede aplicar eteorema 1 a g; con esto se obtiene

l{ f (t )} 5 l{g9(t )} 5 sl{g(t )} 2 g(0).

Ahora g(0) 5 0, de modo que al dividir entre s obtenemos

l b20t f (t) d tr 5 l{g(t )} 5

l{ ( )} f t

s,

lo cual completa la prueba. ▲

Ejepl 6 Encuéntrese la transformada inversa de Laplace de

G(s) 5 1

2s s a( )2.

Slución En efecto, la ecuación (18) signica que se puede eliminar un factor de s del denominador, encontrar la transformada inversa del resultado que se simplica, y nal

mente integrar de 0 a t (para “corregir” el factor s faltante). Así,

l21

b1

s s a( )2 r 5

2

0

t l21

b1

s a2 r d t

5

2

0

t

eat

d t

5

1

a (eat

2

1).

Repítase la técnica para obtener

l21 b 12s s a( )2

r 5 20t l21 b 1

s s a( )2r d t 5 20

t 1a

(eat 2 1)d t

5

1

a

1

aeaτ − τ

t

0

5 1

2a(eat 2 at 2 1).

Esta técnica es con frecuencia más conveniente que el método de fracciones par

ciales para encontrar una transformada inversa de una fracción de la formaP(s)y[snQ(s)]. ■

TEorEma 2 Tnsds de inteles

Si f (t ) es una función continua por tramos para t ^ 0 y satisface la condición deorden exponencial u f (t )u % Mect para t ^ T , entonces

l b20t f (t ) d tr 5

1sl{ f (t )} 5

F s

s

( )(17)

para s . c. En forma equivalente,

l21

bF s

s

( )

r 5 20

t

f (t) d t. (18)



7.2 aplicción Transformadas de problemas con valores iniciales

Los sistemas comunes de álgebra por computadora conocen el teorema 1 y su coro

lario, por lo que pueden cambiar no sólo funciones (como en el proyecto de la secc7.1), sino también un problema completo con valores iniciales. Aquí se ilustra l

técnica con Mathematica y en el proyecto de la sección 7.3 con Maple. Considéresel problema con valores iniciales

x0 1 4 x 5 sen 3t , x(0) 5 x9(0) 5 0

del ejemplo 2. Se dene primero la ecuación diferencial con sus condiciones iniciales, y luego se carga el paquete de transformada de Laplace.

de = x99[t] + 4*x[t] == Sen[3*t]

inits = {x[0] 2. 0, x9[0] 2. 0}

La transformada de Laplace de la ecuación diferencial está dada por

DE = LaplaceTransform[de, t, s]

El resultado de este comando —el cual no se muestra aquí explícitamente— es una ecuación (algebraica) en las todavía desconocidas LaplaceTransform[x[t],t,sSe procede a resolver para la transformada X (s) de la función desconocida x(t ) y sustituir las condiciones iniciales.

X = Solve[DE, LaplaceTransform[x[t],t,s]]

X = X//Last//Last//Last

X = X/. inits

3

4 92 2( )( )s s1 1

Finalmente, sólo se necesita calcular la transformada inversa para encontrar x(t ).

x = InverseLaplaceTransform[X,s,t,]

15

(3 cos(t ) sen(t ) 2 sen(3t ))

x/. {Cos[t] Sen[t] 2. 1/2 Sen[t]}// Expand

310

sen(2t ) 2 15

sen(3t )

Por supuesto que puede obtenerse este resultado con DSolve, pero la salida intermedia generada por los pasos aquí mostrados es más didáctica. Puede intentarse colos problemas con valores iniciales de los problemas 1 al 16.

7.3 Traslación y fracciones parciales

Como se ilustró en los ejemplos 1 y 2 de la sección 7.2, la solución de una ecuaciódiferencial lineal con coecientes constantes frecuentemente puede reducirse al pro

blema de encontrar la transformada inversa de Laplace de la función racional de lforma

R(s) 5 P s

Q s

( )

( )(1

donde el grado de P(s) es menor que el grado de Q(s). La técnica para encontral21{ R(s)} se basa en el mismo método de fracciones parciales utilizado en el cálculo elemental para integrar funciones racionales. Las siguientes dos reglas describe



la descomposcón de fccones pcles de R(s) en términos de la factorizacióndel denominador Q(s) en factores lineales y factores cuadráticos irreductibles, correspondientes a ceros reales y complejos, respectivamente, de Q(s).

rEgLa 1 fccines pciles de ctes lineles

La parte de la descomposición de la fracción parcial de R(s), correspondiente alfactor lineal s 2 a de multiplicidad n, es una suma de n fracciones parciales quetienen la forma

A

s a1

2 1

A

s a2

2( )2 1 p 1

A

s an

n( )2, (2)

donde A1, A2, …, y An son constantes.

rEgLa 2 fccines pciles de ctes cudátics

La parte de la descomposición de la fracción parcial correspondiente al factorcuadrático irreducible (s 2 a)2 1 b2 de multiplicidad n es una suma de n fraccio-

nes parciales que tienen la forma

A s B

s a b1 1

2 2

1

2 1( ) 1

A s B

s a b2 2

2 2 2

1

2 1[( ) ] 1 p 1

A s B

s a bn n

n

1

2 1[( ) ]2 2, (3)

donde A1, A2, …, An, B1, B2, …, y Bn son constantes.

TEorEma 1 Tslción sbe el eje s

Si F (s) 5 l{ f (t )} existe para s . c, entonces l{eat f (t )} existe para s . a 1 c, y

➤ l{eat f (t )} 5 F (s 2 a). (4)

De manera equivalente,

➤ l21{F (s 2 a)} 5 eat f (t ). (5)

Así, la traslación s S s S a en la transformada corresponde a la multiplicación dela función original de t por e at .

Para encontrar l21{ R(s)} se necesitan dos pasos. Primero debe obtenerse ladescomposición de fracciones parciales de R(s), y luego la transformada inversa deLaplace de cada una de las fracciones parciales individuales de alguno de los tiposque aparecen en (2) y en (3). El último paso se basa en la siguiente propiedad ele

mental de las transformadas de Laplace.

Demostración. Si simplemente se reemplaza s por s 2 a en la denición de

F (s) 5 l{ f (t )}, se obtiene

F( )`

2(s2a)t f(t) dt`

2st [ at f (t)] dt l{ at f (t)}

7cap 7 Metodos Con Tranformada de Laplace

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