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7/24/2019 70711207PRECOMPRIMIDO

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Revista INGENIERA UC

ISSN: 1316-6832

[email protected]

Universidad de Carabobo

Venezuela

Bianco Accardi, Giovanni

Propuesta para la determinacin de la fuerza de pretensado utilizando el mtodo de los intervalos

Revista INGENIERA UC, vol. 11, nm. 2, agosto, 2004, pp. 53-66Universidad de Carabobo

Valencia, Venezuela

Disponible en: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=70711207

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Rev. INGENIERA UC. Vol. 11, No 2, Agosto 2004 5

1. EXPOSICIN DE MOTIVOS, LAS

DIFERENTES VARIABLES

Uno de los problemas que presenta la aplicacindel mtodo de los intervalos es la escasez de datosdisponibles para la estimacin en los diferentes tiem-

pos de las variables cs y . Las tablas comnmenteempleadas, poseen valores aplicables a intervalos detiempo muy amplios; por otro lado, la aplicacin reite-rada (para cada intervalo de inters) de cs y por

intermedio de las relaciones sugeridas por el CEB-FIPen sus Recomendaciones Internacionales [1(Comisin de estudio de los efectos estructurales delas deformaciones diferidas del concreto) es definitivamente engorrosa.

Con respecto al relajamiento, si se acepta lrelacin (CEB-FIP) [1, 2]:

REVISTA INGENIERA UC. Vol. 11, No 2, 53-66, 20

Propuesta para la determinacin de la fuerza de pretensado utilizando elmtodo de los intervalos

Giovanni Bianco Accardi

Departamento de Estructuras, Escuela de Ingeniera Civil, Universidad de Carabobo,Valencia, Venezuela

Email:[email protected]

Resumen

Se desarrollar un procedimiento, vlido para secciones simples realizadas con una sola fase de pretensadoque pretende profundizar y agilizar la determinacin de la variacin de la fuerza de pretensado en el tiempo, acausa de las deformaciones diferidas (retraccin y fluencia del concreto) y el relajamiento de la armadurahaciendo uso del mtodo de los intervalos. Se diferencia de los mtodos existentes, por hacer uso de funciones

continuas en el tiempo tanto para la determinacin de las variables correspondientes a la retraccin y fluencicomo para el relajamiento de la armadura activa que acta de manera monoltica con el concreto que la circund(armadura activa no aislada), y no para la armadura aislada, cuyas relaciones son conocidas y empleadas endiferentes reglamentos. De esta manera, los resultados son ms ajustados a la realidad y desaparece la limitacinimplcita que existe en la escogencia del nmero de intervalos que se desea estudiar.

Palabras clave: Concreto pretensado, fuerza de pretensado, retraccin y fluencia del concreto.

Proposal for the determination of the prestressed force using the methodof the intervals

Abstract

A procedure valid for simple sections performed with a single prestressed concrete phase will bedeveloped, it pretends to deepen and to speed up the determination of the variation of the prestressed concreteforce in the time, due to the differed deformations (retraction and concrete fluency) and the relaxation of tharmor, using the intervals method. It differs from the existing methods, because it uses continuous time tdetermine the corresponding variables of the retraction and fluency as well as the relaxation of the active armothat acts in a monolithic way with the surrounds concrete (not isolated active armor), and not for the isolatedarmor whose relationships are known and employed in different regulations. This way, the results are adjustedto the reality and the implicit limitation that exists when choosing the number of intervals to be studieddisappears.

Keywords: Prestressed concrete, prestressed concrete force, retraction and concrete fluency.

(1tkk loglog 21 +=


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Propuesta para la determinacin de la fuerza de pretensado

54 Rev. INGENIERA UC. Vol. 11, No 2, Agosto 2004

como ley de variacin del fenmeno en funcin deltiempo, ella es aplicable solamente cuando la armadu-ra es aislada, y se cometera un apreciable error al

extender su validez en el caso real (armadura no aisla-da), para tiempos posteriores al de la transferencia,

por cuanto se despreciara la incidencia de la retrac-cin y fluencia sobre el relajamiento. El inconvenien-te quedara resuelto solamente para el valor finaldel relajamiento, si se hace uso de la relacin(CEB-FIP) [1, 3]:

con la limitacin de que sea p,rel,r,0,04 est,i enlas condiciones normales de uso de la armadura acti-va (tensin inicial no mayor de 0,75fptky temperaturade ambiente normal), y con los siguientes significa-dos de los smbolos empleados: p,rel,r,=prdida de tensin real por relajamiento,

a t = .

p,rel,= prdida de tensin por relajamiento so-bre armadura aislada, a t = , empleando larelacin (1).

p,cs+cc= prdida de tensin del acero a causa de

la retraccin y fluencia del concreto, a t= .

est,i= valor inicial de la tensin sobre la armaduraactiva.

Por otro lado, aunque el fabricante suministrealgunos valores de relajamiento en funcin de unafraccin del valor fpt, es poco probable que el estira-miento inicial de la armadura en obra coincida con elestiramiento inicial suministrado.

En trminos de esfuerzos, la relacin anteriorse expresa:

La relacin (2) es aproximada, de naturalezaemprica y no aplicable a las diferentes fases de cons-truccin.

El coeficiente 2,5 que aparece en la relacin(2) puede ser sustituido por 2, cuando en vez de con-siderar las cargas de servicio segn la teora de lastensiones admisibles, se emplean las solicitacionesactuantes de clculo en los estados lmites de utiliza-cin, bajo las combinaciones de las acciones frecuen-

tes y casi permanentes [1].

,, , , , ,

,

1 2,5 p cs ccp rel r p relest i

+

=

(2)

Tabla 1. Propuesta para la determinacin de la deformacin por retraccin.

, , , 1 2, 5cs cc

rel r rel

i

PP P

P

+

=

(2)

Valores de cs(tj, t)10

-3

Humedad

relativa

Dimensiones ficticias

(2Ac/u)

EcuacinValidez

(j en das)

70-75% D. Fict 200 mm cs= - 0,0388Ln(j) + 0,2863 1 j< , cs0

70-75% D. Fict 600 mmcs= 0,2099j

-0,0244 1 j60

cs= - 0,0661Ln(j) + 0,4805 60


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Bianco


2. PROPUESTA PARA EL CLCULO DELOS VALORES DE ccY

El autor, propone, a falta de expresiones msconfiables, el empleo de las relaciones aproximadascontenidas en las Tablas 1 y 2, obtenidas como curvascontinuas, partiendo de varios valores aislados, confir-mados experimentalmente, definidos en intervalos detiempos amplios y sugeridos por varios reglamentos.Las relaciones contenidas en las tablas precisadas dan,respectivamente, el valor de ccy en cada instante,medido en das, a partir del tiempo t= 1 hasta t= .

La manera de obtener dichos valores se explicaa continuacin.

Si se desea determinar el valor de cco partiendodel tiempo t= 1 da hasta t= , es suficiente susti-tuir en la relacin correspondiente, la variable j

por 1.

Si se desea determinar el valor de cco partiendodel tiempo tm>1 da hasta t= , es suficiente sus-tituir el la relacin correspondiente, la variable j

por el da correspondiente a tm.

Si se desea determinar el valor de cco partiendodel tiempo tmen das hasta el tiempo tnen das, se

procede:

De la Tabla 1, por intermedio de la relacin

correspondiente, se obtienen los valores de cs (tm) y cs (tn , ), para luego determinar cs(tm , tn) =cs (tm , ) - cs (tn , ).

De la Tabla 2, por intermedio de la relacin corres-pondiente, se obtienen los valores de (tm , ) y (tn , ), para luego determinar (tm , tn) =(tm , ) - (tn , )

3. CLCULO DE LA RETRACCINY FLUENCIA

Para el clculo global de la re-traccin y fluencia, se sugiere la aplicacin de la rela-cin (3), recomendada por el CEB-FIP, para cada unode los intervalos de tiempo escogidos:

con: e=Ep/Ec,28; cs(t, to) = deformacin de retraccin entre toy

t, con signo negativo para el acortamiento. (t, to) = coeficiente de fluencia entre toy t; p,pre,i = tensin de traccin de la armadura acti-

va, en la fase pre a t = 0; es decir, tensin so-bre la armadura activa que se debe slo a lafuerza inicial de pretensado;

Coeficiente de fluencia, tj, t)

HumedadrelativaDimensiones ficticias

(2Ac/u)

Ecuacin Validez(das)

70-75% 200 mm = - 0,4154Ln (j) + 2,9265 1 j<

70-75% 600 mm =- 0,3133Ln(j) + 2,4506 1 j<

70-75% 200 mmD. Fict600 mm = - 0,3644Ln(j) + 2,6886 1 j<

50-55% 200 mm = - 0,5716Ln(j) + 3,9504 1 j<

50-55% 600 mm = - 0,4215Ln(j) + 3,1959 1 j<

50-55% 200 mmD. Fict600 mm = - 0,4966Ln(j) + 3,5732 1 j<

Ac= rea de la seccin de concreto, upermetro de la seccin;j = nmero de das partir del cual se considera el fenmeno definido en el intervalo ( j, );

t= es equivalente a t= 900 das; Los valores obtenidos en la tercera fila, debern serincrementados del 5%.

Tabla 2. Propuesta para la determinacin del coeficiente de fluencia.

,p cc cs + =

0 0 , , ,

, , 0

, ,

( , ) ( , ) ( )

( , )1 1

2

cs p e cp g cp pre i

cp pre ie

p pre i

t t E t t

t t

+ +

+

(3)


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cp,pre,i= tensin en el concreto al nivel de la ar-madura activa, en la fase pre a, t = 0; es decir,tensin que se debe slo a la fuerza inicial de

pretensado; cp,g= tensin en el concreto al nivel de la arma-

dura activa, por causa del peso propio y de lasotras acciones permanentes (con exclusin de lafuerza de pretensado).

En la frmula anterior, el numerador representala suma de los efectos de la retraccin y fluencia sintomar en cuenta la interdependencia de los fenme-nos. La influencia entre dicha interdependencia setoma en cuenta en el denominador, cuya expresin dauna cantidad positiva mayor que la unidad. El valor

p,pre,i en el caso de armadura postesa, se refiere inme-diatamente despus de la transferencia y en el caso dearmadura pretesa despus del desbloqueo de los an-clajes provisionales.

La relacin hay que entenderla de manera alge-braica; es decir, cada trmino presenta su propio sig-no. Los valores de cs y se obtendrn de lasTablas 1 y 2.

Cuando la armadura es pretesa, resulta:

Cuando la armadura es postesa, resulta:

4. CLCULO DEL RELAJAMIENTOY PROPUESTA PARA SU

IMPLEMENTACIN

Para el clculo del relajamiento, se sugiere:

El empleo de la relacin (1) totalmente definidacon los valores de k1y k2 (lo que es posible si sedan como datos dos valores de para dos tiemposdiferentes). La expresin ser vlida para la arma-dura aislada. La variable t es medida en horas. Elvalor de en un cierto instante t1se obtiene susti-tuyendo t1, en horas, en la relacin (1) y se ha deentender como el porcentaje de prdida evidencia-da desde que se inici el estiramiento hasta el tiem-

po t1; de igual manera, el porcentaje de prdida por

relajamiento al final del intervalo (t1, t2) con t2> t1se obtiene como diferencia:

La obtencin del valor Prel,r, por intermedio dela relacin (2), y que por ser:

se puede tambin escribir:

en dondese obtiene de la relacin (1) haciendot= 106h.

Se propone, de manera convencional, la obtencindel valor r,t=1.200 h= r,/2

Con estos dos ltimos valores (el de r,a t= 106

hy el de r,/2 a t= 1.200 h), se define completamenteuna nueva relacin (1) que es la definitiva para el

clculo de la prdida del relajamiento tomando encuenta ahora que el fenmeno es medido sobre unaarmadura activa no aislada.

Si la relacin (1) no se puede definir, por tener comodato un solo valor experimental de para t= 120 h,la solucin ser menos precisa y el valor faltante pue-de ser obtenido mediante la relacin [3]:

, , ,i pi

p pre i e p est ie e

P ePy

A I

= + +

, ,i pi

c p p r e i pe e

P ePy

A I

= +

1,c p g p

e

My

I =

,, , ,( )

e s t ip p r e i i e s t i

p

F P FA

= =

, ,i pi

cp p re i pc c

P ePy

A I

= +

1 2 2 1t t t t = (4)

, , ,,100 ; 100

rel rel r r

i i

P P

P P

= = (5)

, 1 2,5cs cc

ri

P

P +

=

(6)

1,c p g p

c

My

I =


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(con y pi= 0,75fptk)

y por considerarse solamente ensayos a las 120 h, larelacin limita los resultados a valores finales de rela-

jamiento que no superen los siguientes valores de :6 % para barras laminadas, 7,5 % para alambres trefi-lados, 9 para cordones y 10 % para cordones trenza-dos; en cambio, cuado los valores de son para t=1.000 hy otro comprendido entre t= 2.000 y 10.000h, el valor faltante se puede obtener mediante larelacin [3]:

siendo kun valor obtenido por la relacin:

en donde tes el tiempo, en horas, igual al tiem-po de . (La expresin de ksealada, es del au-tor y pretende sustituir los tres valores suministrados

por [3], una expresin de fcil manejo que es funcin

continua del tiempo).

Con respecto a la relacin (6), es importantesealar que su empleo prctico es solamente cuandose considera un solo intervalo de tiempo(inmediatamente despus de la transferencia hastat= ), an cuando razonablemente tal manera de pro-ceder no se ajusta a la realidad; de lo contrario, seentrara en un circulo vicioso, resoluble con un engo-rrossimo procedimiento iterativo que prcticamenteconduce a la inutilizacin de la sencilla relacin sea-lada. Tambin, considerando un solo intervalo detiempo, la relacin es menos precisa cuando la carga

permanente diferente del peso propio interviene des-pus de un cierto tiempo de la transferencia.

Con la finalidad de simplificar los clculos, sepropone, en ambientes medios y preferiblemente para

secciones con espesor ficticio 200 mm, sustituir larelacin (2) por la siguiente relacin aproximada:

que puede ser tambin escrita:

sin modificar las restantes consideraciones sealadascon anterioridad. El coeficiente numrico mayor pue-de ser empleado para estructuras con armadura

postesa, por presentar, en igualdades de condiciones,menor efecto de retraccin y fluencia, por ende mayoracercamiento entre el valor del relajamiento medidosobre armadura aislada y aquel real (sobre armadurano aislada); viceversa, el coeficiente menor puede serempleado en los elementos con armadura pretesa.

5. CORRECCIN DEL RELAJAMIENTOSOBRE ARMADURA AISLADA

La relacin (5) o la relacin (6), requieren delvalor de (porcentaje total de relajamiento sobrearmadura aislada). Este valor es obtenido por interme-dio de los datos experimentales de relajamientos efec-tuados por el fabricante para valores de = est,i/fptk

que por lo general se fijan en 0,6; 0,7 y 0,8. Sucede enla prctica que muy pocas veces la razn entre la ten-sin de estiramiento inicial y la resistencia a traccincaracterstica de la armadura coincide con esos valo-res, por lo que se presenta la necesidad de corregir elvalorpara as ajustarlo a la realidad de cada caso.La correccin puede efectuarse haciendo uso de larelacin:

vlida para [3]:

en donde imponiendo la condicin, para los tres valo-res deprecisados resulta:

, , 120 ,3 0,03 ( 0,50 )rel rel t h est i ptk f = = +

(7)ptkiest f5,0,

, , , , 1000( )rel rel t rel t rel t hk = = + (8)

1,117843.081k t=

(2.000 10.000 )h t h

tre l,

, , ,(0, 650 0, 675)rel r rel P P = a (9)

, (0, 650 0, 675)r = a (10)

2,( 0, 5 )est i ptk f = (11)

,0, 5 ptk p i ptkf f f (12)


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6. VALOR DE LA FUERZA DEPRETENSADO AL FINAL DEL

INTERVALO PREFIJADO

El nuevo valor de la fuerza de pretensado Pnalfinal del intervalo (tm, tn) se obtiene:

y para la obtencin del estado de tensin normalconsecuente se emplean las relaciones:

en donde y es la distancia, con signo, medida a partirdel baricentro de la seccin hasta la cuerda donde sedesea determinar la tensin normal sobre el concreto;

ypla distancia, tambin con signo, del tendn resultan-te; eel coeficiente de homogeneizacin en el intervalo(tm , tn); M el momento flector presente en la seccinconsiderada en el instante tn y est,n = Fest /Ap( es P = -Fest).

La fuerza de pretensado inicial,Pi, y la tensinde estiramiento inicial,

est,i, son magnitudes que han

sido previamente definidas (Pi = -Fest,i yest,i =Fest,i/Ap).

7. NMERO DE INTERVALOS DE TIEMPOA CONSIDERAR

Depende del sistema constructivo de la estruc-tura, del orden de intervencin de las cargas exterioresdiferentes del peso propio y de las condiciones clim-

ticas. La manera rigurosa de tomar en cuenta los dife-rentes aspectos y los intervalos de tiempo a conside-rar, depende fundamentalmente del uso de la informa-

cin solicitada [4, 5].

En elementos con secciones simples, son indis-pensables los valores de la fuerza de pretensado en lasdos fases determinantes de carga: la inicial (fuerza de

pretensado inicial ms peso propio del elemento) y lasfinales (fuerza de pretensado final ms la totalidad delas acciones exteriores). En algunos casos puede sertambin necesario el conocimiento de la fuerza de

pretensado inmediatamente anterior a la intervencinde la carga permanente diferente del peso propio delelemento y para aquel tiempo en donde la informacin

deba ser empleada para el clculo de la deflexin.

La propuesta que se acaba de precisar, puedeser tambin utilizada en el caso en que se estudie unsolo intervalo de tiempo.

En elementos de secciones compuestas hay quediferenciar si son con una o dos fases de pretensado.

Cuando son con una sola fase de pretensado,los tiempos de inters, incluyendo entre ellos los que

corresponden a las fases de carga determinantes, son:inmediatamente despus de la transferencia, antes dela intervencin de la porcin que convertir la seccinsimple en compuesta, a un tiempo suficientementelejano (por ejemplo un ao) del inicio del comporta-miento monoltico de la seccin y al tiempo t = Cuando la seccin compuesta es con dos fases de pre-tensado, habr que agregar la informacin obtenidainmediatamente antes y despus del segundo pretensa-do. En uno o en el otro caso, es conveniente (y nece-sario cuando la seccin en servicio acepta traccionesmas no fisuracin) la determinacin del efecto de laretraccin y fluencia diferenciales.

8. NMERO DE SECCIONES ACONSIDERAR

Si el mtodo es programado para computado-ras, las secciones en estudio pueden estar separadasentre s a partir de una distancia igual a la altura de la

pieza. Cuando no es programado, como en elejercicio siguiente, se pueden estudiar dos secciones

;0,7 22

( 0,5 )(0, 20 ) pi ptkptk

ff

=

;0,8 22

( 0,5 )(0,30 ) pi ptkptk

ff

=

;0,6 22

( 0,5 )(0,10 ) pi ptkptk

ff

= (13a)

(13b)

(13c)

( ) ( )m n m nn m cs cc t t rel t t P P P P+ = (14)

n pnc

P eP My y

A I I

= + +

,n pn

p e p p est n

P eP My y

A I I

= + + +

(15)

(16)


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representativas y a partir de ellas imponer una ley devariacin lineal en funcin de la longitud de la pieza,

para luego, por simple sustitucin de la ubicacin de la

seccin, determinar la fuerza de pretensado en el n-mero deseado de secciones; cuando se dispone del es-tudio en ms de dos secciones, se impone la ley de va-riacin ms conveniente segn las disponibles en cual-quier hoja de clculo electrnica.

9. EJEMPLO: CLCULO DE LASPRDIDAS DIFERIDAS EN UN ELEMENTOCON ARMADURA PRETENSADA USANDO

EL MTODO DE LOS INTERVALOS

La seccin transversal de una correa de 5,75 m

de luz, indicada en la Figura 1, perteneciente a un te-cho sin acceso de un edificio industrial, presenta laforma que se indica en la Figura 1a, en donde la arma-dura pretesa est constituida por 2 cordones trenzadosen la parte superior, cada uno de ellos formados por 2 2,25 y 6 cordones trenzados en la parte inferior (5 enla primera fila y 1 en la segunda), cada uno de ellosformados por 3 2,25. La tensin de traccin inicial

para anclar la armadura sobre los soportes fijos es est,i,max= 1.200 MPa. Adems del peso propio (g1= 330

N/m), la otra carga permanente es g2= 500 N/m y ac-ta a los 30 das de la transferencia de esfuerzo.

Otras caractersticas adicionales de la armaduraactiva utilizada son: fptk= 1.800 MPa; mdulo aparentede elasticidad 1,95105MPa; prdida por relajamiento

bajo la tensin inicial de 0,7 fptk: 3,99 a las 120 h y5,00 a las 1.000 h. La tensin de estiramiento inicial, est,i,max

es de 1.200 MPa.

La seccin bruta presenta las siguientes caracte-rsticas: A =13.500 mm2, I = 39.406.046 mm4, ysup= -103,45 mm, yinf = 76,55 mm. La transferencia de es-fuerzo es a los 2 das (48 horas). El mdulo de defor-

macin longitudinal del concreto a los 28 das es Ec28=33.300 MPa.

Determinar sobre las secciones de centro-luz y so-bre los apoyos, el valor inicial Pi (a t = 0, o inme-diatamente despus de la transferencia), Pt = 30 das(treinta das despus de la transferencia e inmedia-tamente antes de la intervencin de g2) y final P (at = , o despus de las prdidas diferidas), conside-rando (por simplicidad) las caractersticas geomtri-

cas de la seccin bruta. Extrapolar resultados paralas diferentes secciones distanciadas entre si de0,575 m.

Hacer consideraciones crticas pertinentes.

Figura 1. Seccin transversal, disposicin de las armadurasy de las fuerzas parciales de pretensado.

9.1 Determinacin de algunos valores aemplear en el clculo.

rea total de armadura activa:

Fuerza de pretensado y excentricidad de la fuerza depretensado:

Cada una de las fuerzas de pretensado, inmedia-

tamente despus de la transferencia, se indica en laFigura 1. Para obtener la resultante de ellas (Pi), sedebe conocer la fuerza de estiramiento inicial mximaaplicada en cada una de las trenzas y las prdidas detraccin que ellas sufren durante el intervalo de tiempocomprendido entre la puesta en traccin de la armaduray la transferencia. Se comienza entonces evidenciandolas excentricidades de las fuerzas de estiramiento (quesern las mismas excentricidades de las fuerzas inicia-les de pretensado) y prefijando un sentido positivo paralos momentos (por ejemplo horario), por equilibrioesttico se determina el punto de aplicacin deFest,i,max.

e1=83,45 mm e2=63,45 mme3=36,55 mm e4=56,55 mm

F1i = 9.542,61N F2i = 9.542,61N

F3i= 14.313,91N F4i = 71.569,57N

Fest,i,max= = 104.968,71N

22 7, 952 6 11, 928 87, 47pA mm= + =

=

4

1jjiP

1 1 2 2 3 3 4 4

, ,

30,19i i i ipest i max

F e F e F e F e Ae mm

P B

+ = = =


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en donde el numeradorAes igual:

y el denominadorBigual a:

El signo negativo de la excentricidad resultanteindica que el momento resultante producido por

Fest,i,max es antihorario, por ende, la excentricidad estpor debajo del baricentro de la seccin. Para evitarconfusin, se quiere precisar que este valor de excen-tricidad, si se ha de emplear en las frmulas de flexo-compresin, segn las convenciones adoptadas, es po-sitivo por estar por encima del baricentro de la seccin.

Mxima tensin normal y mxima fuerza de trac-cin de la armadura:

est,i,max= 1.200MPa

y as por otra va, ms expedita, se puede determinar:

Dada la gran longitud de la pista de tensado, seconsidera despreciable la penetracin de cua duranteel anclaje de la armadura a los dos cabezales indepen-dientes en los extremos de la pista, por ende igual acero su incidencia en la disminucin de la traccin enla armadura.

Determinacin de la ley de variacin del relaja-miento (sobre armadura aislada):

Para 120 h = 3,99%

Para 1.000 h = 5,00%Aplicando la relacin (1):

es decir:

de donde:

K1= 0,379698 , K2= 0,106424

y la ecuacin (1) queda as definida para cualquier va-lor de t:

Para t = (t = 106h),aplicando la relacin ante-rior resulta:

Correccin del valor anterior.Empleando la relacin (13b):

Espesor ficticio:

Humedad relativa:70% (ambiente medio).

9.2 Determinacin de valor de la fuerza depretensado inicial, Pi

.

La transferencia es a las 48 horas despus delmximo estiramiento de la armadura. Al final de esetiempo, la prdida por relajamiento en la armadura se

pudiera evaluar por intermedio de la relacin (a) si fue-

se est,i,max/fptk= 0,7, pero resulta que tal razn es igual1.200/1.800 = 0,67; por lo que hace falta obtener la leyde variacin del relajamiento sobre armadura aisladaajustada a las condiciones reales del problema.Asumiendo:

Para 106h = 7,24 %

Para 1.200 h = 7,24/2 = 3,62 %

Aplicando la relacin (1):

es decir:

de donde:

K1= 0,24136 , K2= 0,10306


9.542,61 83,45 9.542,61 63,45 14.313,91 36,55 71.569,57 56,55 +

71,968.104

, . , , 87, 47 1.200 104.969est i max p est i maxF A N= = =

1 2

31 2

3,99 120

5, 00 10

log K K log

log K K log

= +

= +

1 2

1 2

0,60097 2,079180,69897 3

K KK K

= + = +

0,379698 0,106424log log t = +

%43,10=

;0,7 22

( 0,5 )(0, 20 ) pi ptkptk

ff

= =

22

10,43(1.200 0,5 1.800) 7,24 %

(0,20 1.800) =

2 2 13.50047

580

cA mmu

= =

61 2

1 2

7, 24 10

3,62 1.200

log K K log

log K K log

= +

= +

1 2

1 2

0,85974 6

0,55871 3, 07918

K K

K K

= +

= +


10/15

Bianco


La prdida por relajamiento sobre armadura ais-

lado al tiempo t2= 48 h resulta:

y en consecuencia, la tensin de estiramiento en el ins-tante inmediatamente anterior de la transferencia es:

y la fuerza inicial de pretensado:

Esta fuerza es constante en cada seccin y pro-duce el mismo efecto, porque el tendn resultante esrectilneo y paralelo al eje del elemento.

Si se desea determinar el estado de tensin sobreel concreto y la armadura inmediatamente despus dela transferencia, las relaciones a emplearse son, en el

supuesto de que el peso propio interviene con el pre-tensado:

siendoM1el momento por peso propio del elemento enla seccin considerada, Pi = -102.235 N, est,i =

1.156,57MPa, yla ordenada sobre la seccin de con-creto en donde se desea evaluar la tensin normal (yc,inf= 76,55 mm, yc,sup= - 103,45 mm),ypla ordenada deltendn resultante en la seccin, ep= 30,19 mmla orde-nada correspondiente a la armadura activa (ep= yp),Aeel rea de la seccin homogeneizada (con aproxima-cin aceptable igual al rea de la seccin bruta), Ie elmomento de inercia deAey eel coeficiente de homo-geneizacin.

9.3 Determinacin de la ley de variacin delrelajamiento en la armadura no aislada.

Segn lo expuesto, para poder definir la ley devariacin de la armadura no aislada, se procede a:

Obtener la globalidad de las prdidas por retracciny fluencia;

Determinar (relajamiento a t= sobre armadu-ra aislada);

Aplicar la relacin (6) para obtener r(relajamiento real a t= sobre armadura no aisla-da);

Determinar el valorr, t =1.200 h=

r,

/2; Construir con estos dos ltimos valores la ley devariacin buscada, haciendo uso de la relacin (1).

Tambin por las razones expuestas, se har usode la relacin (10) para as no hacer depender explci-tamente la determinacin de r,del clculo ms rigu-roso de la prdida conjunta por retraccin y fluencia.

Empleando el coeficiente 0,650, la relacin (10)se escribe:

y entonces:

Con estos dos valores, procediendo de la mismamanera anterior, se determina la ley de variacin delrelajamiento sobre armadura no aislada.Aplicando la relacin (1):

es decir:

de donde:

K1= 0,05274 , K2= 0,10338


(b)

48 480,24136 0,10306 48 0,415 2,60 %h hlog log = + = =

, , , , ,

2,60

100est i est i max est i max = =

, ,

2,601 1.168,8

100est i m axPa

=

1i pic

e e e

P eP My y

A I I

= + +

1,

i pip e p p est i

e e e

P eP My y

A I I

= + + +

%7 1,42 4,76 5 0,06 5 0,0, === r

, 1200 , / 2 2, 35 %r t h r = = =

1 2

6

1 2

2,35 1.200

4, 71 10

log K K log

log K K log

= +

= +

1 2

1 2

0,37107 3,07918

0,67302 6

K K

K K

= +

= +

tlog10306,024136,0log +=

NAFP piestmaxiesti 102.235-100

60,21 ,,, ==

=


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9.4 Determinacin de la fuerza de pretensado altiempo t1= 30 das despus de la transferencia.

9.4.1 Clculo de la deformacin por retraccin. In-tervalo de tiempo transcurrido para la retrac-cin: se mide desde el vertido del concreto pe-ro interesa desde el momento de la transferen-cia hasta 30 das despus de la misma.

Desde el inicio del vertido del concreto hasta latransferencia, transcurren 48 horas (2 das). La retrac-cin comienza inmediatamente despus del vertido del

concreto, razn por la que a los 30 das despus de latransferencia han transcurrido 32 das para la retrac-cin y de ellos solamente 30 das afectan a la fuerza de

pretensado. En otras palabras, la retraccin queinteresa es aquella comprendida entre los 2 das y los32 das del vertido, ya que el fenmeno se manifiesta a

partir del da 0 (correspondiente al vertido del concre-to)

De la primera fila de la Tabla 1:

La prdida por retraccin desde t = 2 das hastat= , es:

cs(2-)= - 0,0388Ln(j) + 0,2863 = 0,27/1.000

(valor corregido);

La prdida por retraccin desde t= 32 das hasta t= , es:

cs(32-)= - 0,0388Ln(j) + 0,2863 = 0,16/1.000

(valor corregido);

La prdida por retraccin desde t= 2 das hasta t=32 das es:

cs (2-32 das) = cs(2-)- cs(32-)= 0,11/1.000.

Se recuerda que este valor deber ser cambiadode signo cuando se emplea en la relacin (3) o equiva-lente.

9.4.2 Clculo del coeficiente de fluencia al final delprimerintervalo (to= 2 das a t1= 30 das).

La fluencia se mide a partir de la transferencia.

De la primera fila de la Tabla 2: La prdida por fluencia desde t = 2 das hasta

t= , es:

(2-)= - 0,4154Ln (j) + 2,9265 = 2,8(valor corregido);

La prdida por fluencia desde t = 30 das hastat= , es:

(32) = - 0,4154Ln (j) + 2,9265 = 1,6

(valor corregido);

La prdida por fluencia desde t = 2 das hastat= 30 das es:

j(2-30 das)=j(2-)-j(32-)= 2,8 -1,6 = 1,2.

9.4.3 Clculo de la prdida por retraccin y fluen-cia al final del primer intervalo (a los 30 dasdespus de la transferencia). Seccin de cen-tro-luz.

Tensin normal sobre el concreto, al nivel de la ar-madura activa, producida por el peso propio:

(Mg1= 1.398.424N mm, ycp= ep= 30,19 mm)

Tensin normal sobre el concreto, al nivel de la ar-madura activa, producida por la sola fuerza de pre-tensado:

Tensin normal sobre la armadura activa, producidapor la sola fuerza de pretensado:

0, 0 527 4 0,10 338log log t = + (d)

1, 1 1,07

gcp g cp

MMPa

I = =

, , 9,94i pi

cp pre i cp

P ePMPa

A I

= + =

, , ,

, , , ,

( )( )0.08

12

cs p e cp pre i cp g i cc cs

ip pre i e cp pre i

EP

P

+ + +

= = + +

MPayI

eP

A

Piestcp

piieiprep 1.099,2,,, =+

+=


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Bianco


Es decir, aproximadamente el 9 % de prdida defuerza de pretensado, por concepto de retraccin yfluencia, al trmino de un mes de la transferencia.

9.4.4 Clculo del relajamiento al terminar elprimer intervalo de tiempo de un mes apartir de la transferencia.

La prdida por relajamiento a los 30 das de latransferencia, se obtiene por intermedio de larelacin (d), de donde,r,(0-30)= 2,23 %.

9.4.5 Fuerza de pretensado a los 30 das de la trans-ferencia.

Esta fuerza, en funcin dePi, se expresa:

P(30 das)= (t = 30 das) Pi

[(con (t = 30 das)= 90.958/102.235 = 0,8896 0,89]

9.4.6 Estado de tensin normal a los 30 das.Para determinar el estado de tensin normal a

los 30 das de la transferencia, en el supuesto de quetodava no haya intervenido la carga permanente g2, sehace uso de las relaciones (b) y (c), sustituyendo:

Pi por 0,89 Pi;

est,ipor 0,89 Pi/Ap.

Inmediatamente despus de la actuacin deg2elestado de tensin se expresa:

siendo e= 6 y M2= 2.066.406,25N mm.

9.5 Determinacin de la fuerza de pretensado final(despus de todas las prdidas) y estado de ten-sin normal.

La deformacin por retraccin contada a partir

de los 30 das es, segn se enunci con anterioridad:

cc(30-)= 0,16/1.000.

El coeficiente de fluencia contado a partir de los30 das, es, segn se dijera con anterioridad:

(30)= 1,6.

El relajamiento de la armadura activa no aislada,a partir de los 30 das de la transferencia, es:

r(30-) =r (0-) -r (0-30) = 4,71% - 2,88 % = 1,83%;

La fuerza de pretensado a los 30 das despus

del vertido del concreto, es, segn se dijo en el aparte4c):P(30das)= - 90.958N.

Aplicando la relacin (3) y suponiendoe= 6:

siendo:

(Mg1= 1.394.824N mm, Mg2= 2.066.406N mm,

ycp= ep= 30,18 mm)

( =Fest,(30 das)= -P(30 das)/Ap= 0,89 Pi /Ap=1.039,9MPa)

Y entonces, la fuerza final de pretensado es:

(30 ) ,( ) 0.088das i cc cs rel r P P P P+= + =

1 20,890,89 i pi

ce e e

P eP M My

A I I

+= + + (e)

(f)

(30 ) , , ,(30 )

(30 ), , , ,

( )( )0,069

12

cs p e cp pre i cp g i cc cs

dasp pre i e cp pre i

EP

P

+ + +

= = + +

1 2, 1 4,29

g gcp g cp

M My MPa

I

+

= =

, ,

0,890,89- 8,84i picp pre i cp

P ePy MPa

A I

= + =

, , ,(30 ) 986,8i pi

p pre i e cp est das

P ePy MPa

A I

= + + =

)30(, dasest

(30 ) , (30 )(30 )( ) 83.002 Ndas cc cs rel r P P P P+ = + =

iestpe

pe

pi

e

iep yI

MMy

I

eP

A

P,

21 0,8989,089,0

+

++

+

=


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Esta fuerza, en funcin dePi, se expresa:

P= (t = ) Pi

(con (t = )= 83.002/102.235 = 0,8119

0,812)con una prdida total, con respecto al valor inicial de lafuerza de pretensado (Pi= -102.235 N), del 18,8 %.

El estado de tensin normal se expresa por inter-medio de las relaciones:

en donde:

P = 0,812 Pi;

est= 0,812 Pi /Ap.

9.6 Determinacin de la fuerza de pretensado en laseccin de apoyo.

El procedimiento es idntico al que se acaba deexponer, pero ms simplificado por cuanto en la sec-cin de apoyo los momentos por cargas exteriores soniguales a cero.

Los resultados son:

Durante la transferencia:Pi= -102.922N; A los 30 das del vertido del concreto:

P(30 das)= - 90.096,5N;

Al tiempo t= : P= - 78.760,5N.

9.7 Determinacin de las fuerzas de pretensado enla semi-longitud de la viga en secciones distan-ciadas a 0,575m.

Se supone, de manera suficientemente aproxi-mada, una variacin lineal de la fuerza de pretensadoentre la seccin de apoyo (tomada como origen) y laseccin de centro-luz.

Para el da 30 despus del vertido del concreto, laecuacin que representa la ley de variacin de lafuerza de pretensado es la recta que pas por los

puntos:

(0 m; - 90.096,5N) y (2,875 m; - 90.958N)

y tiene por ecuacin y= -299,65 x 90.097.

Para t= , la recta que pasa por el par de puntos:

(0 m; - 78.760,5N) y (2,875 m; - 83.002N)

Se representa por la ecuacin:

y= - 1.475,3 x 78.761.

La Tabla 3 muestra las diferentes fuerzas de pre-tensado para secciones distanciadas de 0,575 m.

Observaciones.

El porcentaje de variacin final de fuerza de preten-sado aumenta de la seccin de apoyo a la de centro-luz, en concordancia del hecho que, en igualdad defuerza de pretensado inicial, las prdidas por fluen-cia aumentan con la disminucin del momento por

carga exterior con carcter de permanencia. Estehecho es evidenciado en el numerador de la relacin(3), por presentar signos opuestos las relaciones cp,pre,i y cp,g.

Se supuso que la transferencia de los cordones essimultnea; es decir, no se consider el efecto mu-tuo.

En el caso de armadura postensa,Fest,i= -Pies le-do en el dinammetro conectado al gato y las demsfuerzas iniciales en la otras secciones se obtienendescontando a sta las prdidas por roce a lo largo

del recorrido del tendn resultante.

10. CONCLUSIONES

Una vez fijados el nmero de intervalos y lassecciones transversales, con el procedimiento propues-to se obtienen las siguientes ventajas:

Para el estudio de las prdidas por retraccin y fluenciausando la relacin (1):

1 2pc

e e e

P eP M My y

A I I

+= + + (g)

1 2p

p e p p este e e

P eP M M

y yA I I

+

= + + + (h)


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Bianco


Se obtienen los valores de la deformacin por re-traccin y los del coeficiente de fluencia, haciendouso de frmulas continuas, evitndose as el engo-rrossimo procedimiento riguroso empleado por elCEB-FIB y no incurriendo en errores de aprecia-cin al hacer uso de tablas sugeridas por diferentes

normativas en donde se dan valores muy aislados enintervalos de tiempos relativamente amplios.

Para el estudio de la prdida por relajamiento de laarmadura activa:

Se diferencia claramente la prdida por relajamientode la armadura aislada de la no aislada, tomando encuenta la primera para el intervalo de tiempo que

precede la transferencia.

Se hace uso de una funcin continua para determi-nar la prdida sobre la armadura no aislada encualquier instante a partir de la transferencia; de

esta manera desaparece una de las grandes limita-ciones en la cuantificacin de la prdida por relaja-miento.

11. NOTACIN

La que se deriva del acuerdo internacional entreCEB, FIP, ACI e ISO.

Ac: rea neta de la seccin transversal de concreto.

Ae: rea homogeneizada de la seccin transversal del

concreto con armadura activa.Ap:rea de la seccin de armadura activa.

Ec: Mdulo de deformacin longitudinal del concreto.

Ep: Mdulo elstico de la armadura activa.

Fest,i: Fuerza de estiramiento inicial sobre la armadura(signo positivo equivalente a traccin).

Fest:Fuerza de estiramiento final de la armadura.

Fest,i,max: Fuerza de estiramiento inicial mxima sobrela armadura.

Ic: Momento de inercia de la seccin neta de concreto.

Ie:Momento de inercia de la seccin homogeneizada.

M: Momento flector (signo segn la Resistencia deMateriales).

M1: Momento flector por peso propiog1.

Pi:Fuerza de pretensado inicial (signo negativo equi-valente a compresin).

Pn: Fuerza de pretensado al instante n(signo negativo).

P:Fuerza final de pretensado, igual y opuesta aFest.Pcc+cs: Prdida de esfuerzo por fluencia y retraccin.

Prel:Prdida de esfuerzo sobre la armadura activa ais-lada por relajamiento.

Prel,: Prdida de esfuerzo sobre la armadura activaaislada por relajamiento, al tiempo t= .

Prel,r,: Prdida de esfuerzo sobre la armadura activano aislada por relajamiento, al tiempo t= .

ep: Excentricidad el tendn resultante.

fptk: Resistencia caracterstica a la traccin de la arma-dura activa.

j: Nmero de das.

t: Tiempo.

y:Ordenada (signo positivo por debajo el baricentro dela seccin).

yp: Ordenada correspondiente a la armadura activa(signo positivo por debajo el baricentro de la sec-cin).

e: Coeficiente de homogeneizacin.cs:Deformacin adimensional por retraccin.

: Coeficiente de fluencia.

c: Tensin normal sobre el concreto (signo segn laResistencia de Materiales).

p: Tensin normal sobre la armadura activa (signosegn la Resistencia de Materiales).

est,i: Valor inicial de la tensin de estiramiento de laarmadura activa (signo positivo).

x =0m x = 0,575m x = 1,150m x = 1,725m x = 2,300m x = 2,875m

Pi(N)

-102.922

-102.922

-102.922

-102.922

-102.922

-102.922

P(30 das)(N) -90.096,50 -90.269,30 -90.441,60 -90.613,90 -90.786,20 -90.958

P(N) -78.760,50 -79.609,30 -80.457,60 -81.305,89 -82.154,19 -83.002

[(PiP)/Pi]100 23,48 22,65 21,00 21,00 20,18 19,35

Tabla 3. Valores de fuerzas de pretensado.


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: Porcentaje de prdida por relajamiento sobre arma-dura aislada.

r:Porcentaje de prdida real (sobre armadura no aisla-

da) por relajamiento.p,rel,: Prdida de tensin por relajamiento sobre ar-

madura aislada, al tiempo t= .

p,r,rel,: Prdida de tensin por relajamiento sobrearmadura no aislada, al tiempo t= .

REFERENCIAS

[1] Cdigo Modelo CEB-FIP para estructuras en con-creto con armaduras, 1.978. Pars.

[2] Instruccin para el Proyecto y Ejecucin de Obrasde Hormign Pretensado. EP-93. Ministerio deObras Pblicas, Transporte y Medio Ambiente,1.993. Madrid.

[3] Norme tecniche per il calcolo, lesecuzione ed ilcollaudo delle strutture in cemento armato, norma-le e precompresso. Ministero del Lavori Publici.Decreto Ministeriale 9 gennaio 1.966. Roma.

[4] El Comportamiento del Concreto Pretensado. To-mo 1. Giovanni Bianco Accardi. Edicin del CO-DECIH (U.C.), 1995. Valencia. Venezuela.

[5] Diseo de Estructuras de Concreto Presforzado. A.

H. Nilson. Editorial Limusa, 1.982. Mxico

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