Prueba Integral LAPSO 2009 - 1 700 - 749 - 1/3

Área de Matemática

Universidad Nacional Abierta Cálculo I (700 - 749) Vicerrectorado Académico Fecha: 20/ 06 /2009 Área de Matemática

MODELO DE RESPUESTAS

OBJ 1 PTA 1

Calcular

4-x

1(x)sen-)x(coslim

4x

Solución: Libro texto UNA (700), página 75, sección 42, ejercicio propuesto # 1.

OBJ 2 PTA 2Probar que la función f : [–1, 1] [–5, 3] definida por f(x) = – 2x2 + 4x + 1 es una bisección.

Solución: Libro texto UNA (700), página 110, autoevaluación, ejercicio propuesto # 9.

OBJ 3 PTA 3 Calcular la derivada de la función f(x) = (x)sen x(x)cosx 23

Solución: Libro texto UNA (700), página 148, sección 20, ejercicio propuesto # 1.

OBJ 4 PTA 4

Calcular la derivada de la función f(x) = arctg (x)sen-1

(x)cos

Solución: Libro texto UNA (700), página 174, sección 37, ejercicio propuesto # 2.

OBJ 5 PTA 5

¿Es posible aplicar la fórmula de Lagrange a la función f(x) = 5 4 1)(xx definida en el

intervalo 21,

21 ?

Solución: Libro texto UNA (700), página 148, sección 20, ejercicio propuesto # 1.

OBJ 6 PTA 6 Encuentre un valor aproximado para e utilizando un polinomio de Taylor de grado 3 y estime el error.

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Solución. Obsérvese que e = e0.5, es decir se nos pide evaluar a la función exponencial en 0.5, el cual es un valor cercano a x0 = 0, punto en que conocemos a la función exponencial y a sus derivadas.

Así pues encontremos la fórmula de Taylor

para f(x) = ex en xo = 0, y posteriormente evaluaremos en x = 0.5

Como la función exponencial y todas sus derivadas son iguales, f (n) (0) = 1, la fórmula nos queda:

evaluando en x = 0.5, tenemos:

e0.5 = 1.64583333 + E3

donde la formula para E3 viene dada por

Como f (4) (x) = ex , | ex | < 3 para x [0, 1], es decir la derivada está acotada por 3 y en consecuencia

|E3| = 0.0078125.

En base a todo lo anterior, podemos afirmar que: e 1.645833333 con un error que no excede de 8 milésimas.

OBJ 7 PTA 7 Encuentre los valores extremos de f(x) = x4 + 4x3 + 6x2 +4x

Solución: Encontremos primero los puntos críticos:

f '(x) = 4x3 + 12x2 + 12x +4 = 0

f '(x) = 4(x3 + 3x2 + 3x + 1) = 4(x + 1)3 = 0 x = -1

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Por lo tanto el único punto crítico es xo = -1

Tratemos ahora de determinar su naturaleza:

f ''(x) = 12x2 + 24x + 12 f ''(-1) = 0

f (3)(x) = 24x + 24 f (3)(-1) = 0

f (4)(x) = 24 f (4)(-1) = 24

Como la primera derivada diferente de cero en -1 es la de grado 4 y 4 es par, el signo positivo de esta cuarta derivada nos dice que f alcanza un mínimo en xo = -1.

FIN DEL MODEO DE RESPUESTAS