7. Integración por fracciones parciales
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Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 1
INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES
6
17
6
8493
3
4
2
322 −−
−=−−
++−=−
++ xx
x
xx
xx
xx
Hay ocasiones donde es necesario invertir el proceso. Para ver cómo funciona en general el método de fracciones parciales, trabajaremos sobre una función racional.
)(
)()(
xQ
xpxf = Donde )()( xQxp ∧ son polinomios
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.
Es posible expresar f como una suma de fracciones más sencilla, siempre que el grado de P sea menor que el grado de Q. Esa función racional se llama propia.
CASO 1 Todos los factores de Q(x) son lineales y ninguno se repite. En este caso se escribe
nn
n
bxa
A
bxa
A
bxa
A
xQ
xp
+++
++
+= L
22
2
11
1
)(
)(
Donde nAAA ,,, 21 K son constantes a determinar
Ejemplo 1: Determinar la descomposición en fracciones parciales de:
6
172 −−
−xx
x
1. Factorizar el denominador
( )( )3262 −+=−− xxxx
2. Colocar cada factor obtenido de la siguiente forma
32)3)(2(
17
6
172 −
++
=−+
−=−−
−x
B
x
A
xx
x
xx
x
Esta ecuación es válida para todo valor de x excepto 32 =∧−= xx 3. Obtener el mínimo común denominador (MCD), multiplicarlo a ambos lados de la igualdad y simplificar.
( ) ( )2317 ++−=− xBxAx Ecuación ( )1 Esta ecuación es válida para todos los valores de x 4. Sustituir los valores de x encontrados anteriormente 32 =∧−= xx en la ecuación ( )1 . Con x = -2
( ) ( )2317 ++−=− xBxAx ( ) ( ) ( )
( )
A
A
BA
BA
=−=−
+−=−−+−+−−=−−
3
515
)0(5114
2232127
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 2
Con x = 3 ( ) ( )2317 ++−=− xBxAx
( ) ( ) ( )4520
2333137
=⇒=++−=−
BB
BA
Respuesta: 3
4
2
3
6
172 −
++
=−−
−xxxx
x
Ejemplo 2. xxx
xx
32
913423
2
−+−+
1. Factorizar el denominador
( ) ( )( )133232 223 −+=−+=−+ xxxxxxxxx
2. Colocar cada factor obtenido de la siguiente forma
1332
913423
2
−+
++=
−+−+
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Esta ecuación es válida para todo valor de x excepto 13,0 =∧−== xxx 3. Obtener el mínimo común denominador (MCD), multiplicarlo a ambos lados de la igualdad y simplificar.
( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx Ecuación ( )1 Esta ecuación es válida para todos los valores de x 4. Sustituir los valores de x encontrados anteriormente 13,0 =∧−== xxx en la ecuación ( )1 . Con x = 0
( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )0339
3001001030901304 2
AA
CBA
⇒−=−++−+−+=−+
Con x = -3
( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )11212
3331331333931334 2
−=⇒=−+−−+−−−+−−+−=−−+−
BB
CBA
Con x = 1
( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
C
C
CBA
==
++−+−+=−+
2
48
3111111131911314 2
Respuesta: 1
2
3
13
32
913423
2
−+
+−=
−+−+
xxxxxx
xx
Este método se aplica únicamente cuando los términos son lineales y no repetidos.
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 3
CASO 2 Todos los factores de Q(x) son lineales y algunos se repiten. Se tiene nbax )( + como factor Q(x), entonces se dice que bax + es un factor n-múltiple de Q(x), y a este factor le corresponderá la suma de n fracciones parciales. En este caso se escribe
nnn
n
bxa
A
bxa
A
bxa
A
xQ
xp
)()()(
)(2
22
2
11
1
+++
++
+= L
Ejemplo. Determinar la descomposición en fracciones parciales de: ( )2
2
3
3610
−−+
xx
xx
Como el denominador ya esta factorizado, entonces se coloca primero el término lineal x, luego el término repetido elevado a la 1 y por último el término repetido elevado al cuadrado, así:
( ) ( )22
2
333
3610
−+
−+=
−−+
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Operar el (MCD), multiplicarlo a ambos lados de la igualdad y simplificar.
( ) ( )( ) ( )xCxxBxAxx +−+−=−+ 333610 22 Operar los paréntesis
( ) ( ) ( )xCxxBxxAxx +−++−=−+ 3963610 222 Desarrollar el producto notable
CxBxBxAAxAxxx +−++−=−+ 3963610 222 Armar el sistema de ecuaciones
A
CBA
BA
936
3610
1
=−+−−=
+=
Se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. De la última ecuación podemos obtener el valor de A
369 −=A 4−=A Al sustituir este valor en la primera ecuación obtenemos el valor de B
14 =+− B 5=B Sustituyendo los valores de A y B en la segunda ecuación obtenemos el valor de C
1
101524
1036
==+−
=+−−
C
C
CBA
Respuesta ( ) ( )22
2
3
1
3
54
3
3610
−+
−+−=
−−+
xxxxx
xx
CASO 3 Todos los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos y ninguno se repite. Al factor cuadrático
cbxax ++2 del denominador le corresponde la fracción parcial de la forma:
Multiplicar las letras con los paréntesis
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 4
cbxax
BAx
+++
2
Ejemplo. Determinar la descomposición en fracciones parciales de: 2
523
2
−+−−
xx
xx
Se realiza división sintética en el denominador. El segundo término es irreductible y no se repite. Por eso es caso 3.
221)22)(1(
522
2
++++
−=
++−−−
xx
CBx
x
A
xxx
xx
Operar el (MCD), multiplicarlo a ambos lados de la igualdad y simplificar.
( )1)()22(5 22 −++++=−− xCBxxxAxx Operar los paréntesis
CCxBxBxAAxAxxx −+−+++=−− 222 225 Armar el sistema de ecuaciones
CA
CBA
BA
−=−+−=−
+=
25
21
1
Se obtienen los valores de las constantes
1−=A 2=B 3=C
Respuesta 22
32
1
1
)22)(1(
522
2
++++
−−=
++−−−
xx
x
xxxx
xx
CASO 4 Todos los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos y algunos se repiten. Si cbxax ++2 es un factor
cuadrático de multiplicidad n de Q(x) entonces el factor ncbxax )( 2 ++ le corresponde la suma de las siguientes n fracciones parciales:
nnn
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
)()( 22222
211
+++++
++++
+++
L
Ejemplo. Determinar la descomposición en fracciones parciales de: 22
234
)23(
4114123
−−++−−
xxx
xxxx
Como el denominador ya está factorizado, entonces se escribe
22222
234
)23(23)23(
4114123
−−++
−−++=
−−++−−
xx
EDx
xx
CBx
x
A
xxx
xxxx
Operar el (MCD), multiplicarlo a ambos lados de la igualdad y simplificar.
))(()22)()(()22(4114123 222234 xEDxxxxCBxxxAxxxx ++++++++=++−− Al operar los paréntesis y resolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen los valores de las constantes
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 5
1=A 2=B 0=C 3=D 1−=E
Respuesta 22222
234
)23(
13
23
21
)23(
4114123
−−−+
−−+=
−−++−−
xx
x
xx
x
xxxx
xxxx
Resolver los siguientes ejercicios
Ejercicio Respuesta Ejercicio Respuesta
1. ( )( )∫ +−−
dxxx
x
32
18
cxx +++− 3ln52ln3 2. ( )( )14
29
+−−
xx
x
cxx +++−− 1ln64ln5
3 ∫ −−
dxxx
x
4
1252
cxx +−+ 4ln2ln3
4. ∫ −−
dxx
x
4
252
cxx +−++ 2ln22ln3
5. 124
342 −−
+xx
x
cxx ++−− 2ln46ln5 6. ∫ −−
++dx
xxx
xx
103
201923
2
2ln5ln4ln2 +−−+− xxx
7. ∫ −−−−
dxxxx
xx
54
155423
2
cxxx ++−−+ 1ln5ln2ln3
8. ∫ −−−
dxxx
xx3
2
4
126 12ln
4
112ln
4
3ln −−++ xxx
9. ∫ −−++
dxxxx
xx
183
1813223
2
3ln9
16ln
9
28ln +−−+− xxx 10.∫ +−−
−−dx
xxx
xx
652
115423
2
2ln33ln1ln2 ++−−− xxx
11 ( )∫ +−
dxxx
x
2
452
2
cxx
x ++++ 2ln42
ln 12 ( )∫ −
+dx
x
x21
32 c
xx +
−−−
1
51ln2
13. ∫ +−
dxxx
x23
3 cx
xx ++−+ 1ln4
3ln4 14∫ −
−+dx
xx
xx23
2
53
255019 cx
xx +−+−− 53ln
3
405ln7
15. ∫ ++−
dxxx
x
2510
102
cx
x ++
−+−5
155ln 16. ∫ −+
−dw
ww
w
472
1142
cww +++−− 4ln312ln
17. ∫ −+−
dxxx
xx23
2 13 cx
x+−+ 1ln3
1 18. ∫ ++
dxxx
x
862
cxx ++−+ 2ln4ln2
19. ∫ +−−+
dxxxx
x
1
5323
1ln2
1
1
41ln
2
1 ++−
−−− xx
x 20. ∫ ++dx
xx
x
652
cxx ++++− 3ln32ln2
21. ∫ ++dx
xx
x
1072 cxx ++++− 5ln
3
52ln
3
2 22. ∫ −+
−+dx
xxx
xx
232
1223
2
2ln10
112ln
10
1ln2 +−−+ xxx
23 dxxxx
xx∫ −+−
−+)6)(12(
232262
2
2ln33ln12ln −++−− xxx
24. ∫ −−−
dxxx
x
6
132
cxx +−++ 3ln5
82ln
5
7
25∫ −−+
dxxxx
x
32
3523
3ln3
21ln
2
1ln −++−− xxx 26∫ −+
−dx
xx
x
43
112
cxx +−−+ 1ln24ln3
27∫ −+−
dxxx
x
103
1332
cxx +−−+ 2ln5ln4
28∫ −+−
dxxx
x
23
3172
cxx +++− 1ln423ln3
5
29 ∫ −++
dxxx
x
592
2122
cxx ++−− 5ln12ln2
30. dxxxx
x∫ −−−
+593
1123
2
cx
x ++
+−1
25ln
31 dxxx
x∫ −+
−134
732
cxx +++−− 1ln214ln4
5 32. ∫ −
dxx
x2)3(
cx
x +−
−−3
33ln
Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 6
33. ∫ +dx
xx 3
22
cxx ++− 3ln3
2ln
3
2 34∫ −
dxx 1
32
cxx +−++− 1ln2
31ln
2
3
35. ∫ +dx
xx
x23 62
5 cxx ++− 3ln
6
5ln
6
5 36. ∫ −
+dx
x
x2)3(
1 c
xx +
−−−
3
43ln
37. ∫ +++
dxxx
x
44
752
cx
x ++
++2
32ln5 38 ∫ +++
+dx
xxx
x
133
2323
cxx
++
++
−2)1(2
1
1
3
39. dxxxx
xx∫ ++
++23
2
2
6205 c
xxx +
+−+−
1
91lnln6 40. ∫ −
dxxx 249
1 cxx
x+−++− 13ln
2
313ln
2
31
41. ∫ +dx
xx 249
1 cx
x+−− − 3tan3
1 1 42. dxx
x∫ +
+4
122
2
cx
x ++ −
2tan4 1
43. ∫ +−−−
dxxx
xx
)9)(12(
36322
2
cxx ++−−− 9ln2
312ln2 2 44. dx
x
xx∫ +
−22
3
)1(
4 c
xx +
+++
)1(2
51ln
2
12
2
45. dxxxx
xx∫ −+−
+123
2
cxx ++− −1tan1ln
46 dxxxx
xx∫ +++
++464
23223
2
cxx ++−+ − )1(tan2ln2 1
47. ∫ ++
dxxx
x
4
543
2
cxx +++ 4ln2ln 2
48. ( )∫+
+dx
x
xx22
3
2
138 c
xx +
+++
)2(2
32ln4
22
49. ∫ +++++
dxxx
xxx
)2)(1(
1222
23
cx
x +
++ −
2tan
2
21ln
2
1 12 50. ∫ −−−−
dxxx
xx
42
23
2
cxx +++ 22ln2
1 2
51. ∫ +−+
dxxx
xx
4
823
2
cx
xx +
+++− −
2tan
2
14ln2ln2 12
52. ∫ −dx
x 16
14
cx
xx +
−+−− −
2tan
16
12ln
32
12ln
32
1 1
53. ∫ ++
dxxx
x
4
43
cx
xx +
++− −
2tan
2
14ln
2
1ln 12
54. ∫ −dx
x 116
14
cxxx +−+−− − 2tan4
112ln
8
112ln
8
1 1
55. dxxxx
x∫ +++ 22 23
cxxx +++++− −12 tan5
11ln
5
12ln
5
2
56. dxxxx
xx∫ +++
++1
3323
2
cxxx +++++ −12 tan2
51ln
4
11ln
2
1
57. ∫ +−−−
dxxxx
xx
)4)((
84222
3
cx
xxx +
+++−− −
2tan24ln1ln2ln2 12
58. ∫ +−dx
xx )9)(1(
102
cx
xx +
−+−− −
3tan
3
19ln
2
11ln 12
59. ∫ ++−
dxxx
xx
3
63
2
cx
xx +
−+− −
3tan
3
33ln
2
1ln2 12
60. dxxx
xx∫ −+
−−2
523
2
( ) cxxxx ++++++−− − 1tan22ln1ln 12