7-Estimacion

Ctedra: Probabilidad y Estadstica

Estimacin de parmetros 1

ESTIMACIN DE PARMETROS Estimacin puntual

Para estimar los parmetros de una poblacin, es necesario disponer de algunos datos que provengan de dicha poblacin. Cualquier muestra de observaciones proporciona cierto conocimiento acerca de la poblacin de la cual proviene. Para medir el error muestral es necesario que dicha muestra sea ALEATORIA . Desde el punto de vista algebraico, el estimador de un parmetro es una funcin de las observaciones muestrales t x x xn( , ,........ )1 2 , que puede ser lineal, cuadrtica, etc.

Ejemplos:

( )X

nx X

Sn

x X S

i

i

= =

= =

1

12 2 2 2

funcion lineal de las observaciones

funcion cuadratica de las observaciones

El resultado numrico que se obtiene es la estimacin del parmetro, en tanto que la expresin matemtica (o algebraica) es el estimador del parmetro . Puede haber varios estimadores del mismo parmetro, de los cuales se pretende elegir el mejor , en base a las caractersticas o propiedades que se requiera del mismo.

Propiedades de los estimadores

1.- Insesgado o no viciado : Un estimador se dice insesgado si su esperanza es igual al parmetro. Es decir :

= )( Einsesgadoes Por el contrario, el estimador se dice viciado si su esperanza es distinta al parmetro.

viciadoesE )(

2.- Consistente : Un estimador se dice consistente si converge al parmetro, es decir, si su distribucin se concentra alrededor del parmetro a medida que aumenta el tamao de la muestra, de forma tal que el error de muestreo tiende a desaparecer. Es decir :

{ } pequeomentearbitrarianparaP sideeconsistentestimadorunes +



Un estimador se dice suficiente si contiene (o absorbe) toda la informacin proporcionada por la muestra , en lo que respecta al parmetro.

5.- Invariancia : Un estimador se dice invariante cuando una funcin del mismo es un buen estimador de la funcin del parmetro . Es decir : es invariante ( ) =g g( )

Mtodos de estimacin puntual

1.-Mtodo de los momentos: Consiste en estimar los momentos poblacionales a travs de los momentos muestrales .

2.-Mtodo de los Mnimos Cuadrados: Consiste en encontrar estimadores de los parmetros de forma tal que minimicen la suma de los cuadrados de los desvos . Con este mtodo se obtienen estimadores no viciados y consistentes, pues el mismo garantiza mnima variancia y suma de desvos igual a cero .

3.-Mtodo de Mxima Verosimilitud: Consiste en encontrar estimadores de los parmetros de forma tal que maximicen la funcin de probabilidad de la muestra. Para ello, es imprescindible conocer la distribucin de la variable en la poblacin. Este mtodo proporciona los mejores estimadores, que gozan excelentes propiedades: Insesgado (o bien, asintticamente insesgado) ,Consistente , Eficiente, Suficiente, Invariantes y de distribucin asintticamente Normal .

Pasos a seguir para obtener los estimadores de mxima verosimilitud

Primero se obtiene la funcin de probabilidad de la muestra ( ) ( )=

= ni

in xfxxxf1

21 ,....., , tambin

llamada funcin de verosimilitud y su expresin est dada en trminos de los parmetros y de las observaciones. Comnmente se la simboliza con ( ),XL , donde X es el vector aleatorio que representa a la muestra (o valores observados) y es el parmetro que se quiere estimar . Luego se pretende hallar el valor de que maximice a ( ),XL valor que tambin maximiza al logaritmo de la funcin : ln ( ),XL , (ya que el logaritmo es una funcin montona creciente). Por lo tanto, el segundo paso es aplicarle logaritmo a la funcin de probabilidad de la muestra ( o de verosimilitud) con el fin de simplificar la derivada.

Se sabe que una funcin continua y derivable alcanza su valor mximo en un punto para el cual se anula su derivada. Si la funcin de probabilidad de la muestra satisface este requisito, entonces el tercer paso es derivar la funcin obtenida ln ( ),XL respecto del parmetro , y luego hallar el valor de (o la expresin de ) para el cual se satisface: ( ) 0, =

XL.

Inconvenientes :

El mtodo de mxima verosimilitud asegura que los estimadores obtenidos son los de mnima variancia , pero no indica cual sea esta variancia.

El mtodo de mxima verosimilitud asegura que los estimadores obtenidos son los que asignan mxima probabilidad a la muestra, pero obviamente se admite que dicha muestra sea posible de obtener an con diferentes valores del parmetro.

Estas son razones por las cuales la estimacin puntual se torna impracticable (sin inters prctico), y se prefiere la estimacin por intervalos, ya que provee de ms informacin .

Estimacin por Intervalos

Consiste en encontrar un conjunto de nmeros reales que conforman posibles valores del parmetro.



La estimacin por intervalo se realiza utilizando un nivel de confianza , que simbolizamos con 1- y que representa la probabilidad de que dicho intervalo contenga al verdadero valor del parmetro .

La construccin del intervalo de confianza consiste en hallar los lmites inferior y superior en funcin de la muestra obtenida. Para su obtencin es necesario conocer la distribucin del estimador del parmetro ( distribucin que obviamente depender del parmetro .). Generalmente se construye una nueva variable en la cual intervienen el estimador y el parmetro , dicha variable recibe el nombre de estadstica de prueba y la simbolizamos g( , ) .

Su ventaja reside en que la distribucin de la estadstica de prueba ya no depende del parmetro , siendo una distribucin standard con los valores de probabilidad tabulados correspondientes a un gran nmero de valores posibles de la variable.

Construccin de los intervalos de confianza

Intervalo de Confianza para la media en poblaciones normales Sea ( X1 , X2 , ... , Xn ) una muestra aleatoria extrada de una poblacin normal, luego, i = 1 .. n : X ~ N( , ) . Por lo tanto tenemos que:

X1 , X2 , ... , Xn iid N( , ). Xn

Xi N n= 1 ~ ( , ) y ( )X

n

N

~ ,0 1

a) Si 2 es conocido, entonces el intervalo para se obtiene

=



Para n suficientemente grande, la variable binomial se distribuye aproximadamente normal ,

aproximadamente : X ~ ( )npqnpN , y

=

npqpNX

nh i ,~

1

donde hnpq = es un valor desconocido puesto que no se conoce el valor del parmetro p, por lo

tanto se utiliza el estimador del desvo sh h

nh h= =

( ) 1 , obteniendo la siguiente distribucin, que es

aproximadamente normal: ( )h ph h

n

N( ) ~ ,1 0 1

Dicha aproximacin es buena para muestras de tamao suficientemente grandes, y el mnimo tamao de muestra depende del valor de h. W.G. Cochran da una regla prctica para ser utilizada en la bsqueda de intervalos de confianza del 95%, correspondientes a la proporcin poblacional p.

Proporcin emprica h Tamao mnimo de muestra n

0.5 30 0.4 o 0.6 50 0.3 o 0.7 80 0.2 0 0.8 200 0.1 o 0.9 600

0.05 o 0.95 1400 Para estos valores de n se obtiene una buena aproximacin Normal vlida para la construccin de intervalos del 95% de confianza.

nhhzhp

nhhzh )1()1( 22

+



a) Si x y y2 2 son conocidos, el intervalo de confianza para yx se obtiene de la siguiente manera:

mnzYX

mnzYX yxyx

yx22

2

22

2

++



obteniendo la siguiente distribucin aproximadamente normal h h p p

h h

n

h h

m

N1 2 1 2

1 1 2 21 10 1

+

( )

( ) ( )~ ( , )

vlida para muestras suficientemente grandes. Los intervalos de confianza para p p1 2 sern de la forma: ( ) ( )h h z S p p h h z Sh h h h1 2 2 1 2 1 2 21 2 1 2 < < + con el (1-).100% de confianza

Intervalo de Confianza para la variancia en poblaciones normales

Sean X1 , X2 , ... , Xn iid N( , ). Entonces X N i ni = ~ ( , ) ,....0 1 1

=

Xii

nn

1

22~ y X Xi

i

nn

= 12

12~

Como ( ) ( )X X n Si

i

n x

=

= 1

2 2

2

1 tenemos que:

( ).~

( )n S xn

1 2

2 12

Basado en esta informacin, sabemos que:

=



Por ser independientes resulta que :

( )

( )

( )

( )

( ). ~

( )

,

n S

n

m S y

m

S

S

y

xF

x

x

y

x

yn m

=

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2 1 1

y anlogamente se deduce que: ( )

S yS y

Fx

xm n

( ). ~ ,

2

2

2

2 1 1

Basado en esta informacin, sabemos que: ( )

P FS y

S yFm n

x

xm n

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