7 Cálculo de derivadas - Página de Jaime Pinto Rodríguezjaimepinto.es/2bachcss/Sol 07 Calculo de...

210 SOLUCIONARIO

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

7 Clculo de derivadas

1. Reglas de derivacin. Tabla de derivadas

Deriva en funcin de x:

1. y = 2x 1

Solucin:

y ' = 2

2. y = (2x 1)5

Solucin:

y ' = 10(2x 1)4

3. y =

Solucin:

y ' =

4. y = e2x

Solucin:

y ' = 2e2x

5. y =

Solucin:

y ' =

6. y = L (x2 + x)

Solucin:

y ' =

7. y = L x2

Solucin:

y ' =

8. y =

Solucin:

y ' =

9. y = 35x

Solucin:

y ' = 5 35x L 3

10. y =

Solucin:

y ' =

11. y =

Solucin:

y ' =

12. y =

Solucin:

y ' =

13. y = e7x

Solucin:

y ' = 7e7x

14. y = x3 2x + 1

Solucin:

y ' = 3x2 2

24(3x 1)5

2(3x 1)4

5 5x2

(x2 + 1)2

5 xx2 + 1

5

44(5x)3

45x

15x4

5x3

2x

2x + 1x2 + x

1x2

1x

7

27x + 3

7x + 3

Aplica la teora

TEMA 7. CLCULO DE DERIVADAS 211

G

rupo

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toria

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15. y = log (5x + 2)

Solucin:

y = log e

16. y = 2x + L x

Solucin:

y = 2 +

17. y =

Solucin:

y ' =

18. Halla la ecuacin de la recta tangente a la curva y = x2 5x + 2, para x = 4

Solucin:

a) x = 4 f(4) = 2 P(4, 2)b) f '(x) = 2x 5 f '(4) = 3c) y + 2 = 3(x 4) y = 3x 14

19. Halla la ecuacin de la recta tangente a la curva y = x3 + x, para x = 1

Solucin:

a) x = 1 f(1) = 2 P(1, 2)b) f '(x) = 3x2 + 1 f '(1) = 4c) y 2 = 4(x 1) y = 4x 2

20. Halla la ecuacin de la recta tangente a la curva y = x3 3x, para x = 0

Solucin:

a) x = 0 f(0) = 0 P(0, 0)b) f '(x) = 3x2 3 f '(0) = 3c) y = 3x

Calcula las cinco primeras derivadas de las siguientes fun-ciones:

21. y = x7

Solucin:

y ' = 7x6

y'' = 42x5

y''' = 210x4

22. y = ex

Solucin:

y ' = ex

y'' = ex

y''' = ex

23. y = x8 7x2 + 5

Solucin:

y' = 8x7 14x

y'' = 56x6 14

y''' = 336x5

yIV = 1 680x4

yV = 6 720x3

24. y = e2x

Solucin:

y' = 2e2x

y'' = 4e2x

y''' = 8e2x

yIV = 16e2x

yV = 32e2x

18(x 4)7

3(x 4)6

1x

55x + 2

212 SOLUCIONARIO

G

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Piensa y calcula

Escribe la funcin valor absoluto f(x) = |x| como una funcin definida a trozos y represntala.

Solucin:

f(x) = x si x < 0x si x 0

2. Estudio de la derivabilidad

25. Halla la funcin derivada de la funcin siguiente:

f(x) =

Solucin:

f '(x) =

26. Dada la funcin f(x) =

justifica si f(x) es derivable en x = 3. Cul es el signifi-cado geomtrico del resultado obtenido?

Solucin:

a) La continuidad de la funcin

f(3) = 4

f(x) = f(3) = 4

La funcin es continua en x = 3

b) La derivabilidad calculando las derivadas laterales

f '(x) =

f '(3) ? f '(3+) La funcin no es derivable en x = 3La funcin es continua y no es derivable en x = 3; lafuncin tiene en el punto de abscisa x = 3 un pico, yen ese punto se pueden dibujar dos tangentes.


determina el valor de k para que la funcin sea deri-vable en x = 1

Solucin:


1 + k = 7

k = 6


f '(x) =

Para k = 6, la funcin es continua y las derivadas late-rales son iguales; luego la funcin es derivable en x = 1

28. Estudia la derivabilidad de la funcin f(x) = |x 2| enx = 2

Solucin:

f(x) =

f '(x) =

f '(2) ? f '(2+) f(x) no es derivable en x = 2

lm f '(x) = lm (1) = 1x8 2 x8 2

lm f '(x) = lm 1 = 1x8 2+ x8 2+

1 si x < 21 si x > 2

x + 2 si x 2x 2 si x > 2

lm f '(x) = lm 2 = 2x8 1 x8 1

lm f '(x) = lm 2x = 2x8 1+ x8 1+

2 si x < 12x si x > 1

lm f(x) = lm (2x + 5) = 7x8 1 x8 1

lm f(x) = lm (x2 + k) = 1 + kx8 1+ x8 1+

2x + 5 si x 1x2 + k si x > 1

f '(3) = lm 0 = 0x8 3

f '(3+) = lm (1) = 1x8 3+

0 si 3 < x < 31 si 3 < x < 7

lmx83

lm f(x) = 4x8 3

lm f(x) = 4x8 3+

4 si 3 x 37 x si 3 < x < 7

2 si x < 21 si x > 2x

2x 3 si x 2L x si x > 2

Aplica la teora

X

Y


G

rupo

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toria

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o, S

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Ejercicios y problemas

Preguntas tipo test

PAU

Deriva f(x) =

f'(x) =

f'(x) = +

f'(x) = +

f'(x) =

Deriva f(x) = (2x 1)2 ln x

f'(x) = 4(2x 1) ln x +

f'(x) = 2(2x 1) ln x + (2x 1)2

f'(x) = (2x 1)2 ln x +

f'(x) = 4(2x 1)2 ln x + 1

Deriva f(x) = 5

f'(x) =

f'(x) = 10

f'(x) = 5

f'(x) =

Deriva f(x) = 8x2 +

f'(x) = 6 8x + ln x

f'(x) = 16x

f'(x) = 1 x x2

f'(x) = 16x +

Deriva f(x) =

f'(x) =

f'(x) = x ln x

f'(x) = 1

f'(x) =

Deriva f(x) = xe3x

f'(x) = (3x + 1) e3x

f'(x) = (3x 1) e3x

f'(x) = (3x + 1) ln x

f'(x) = 9e3x

Deriva f(x) = x2 ex

f'(x) = 2x + ex

f'(x) = x + ex

f'(x) = 2x ex

f'(x) = x ex

Si f' es la derivada de la funcin dada por:

f(x) = 2x3 6x2 + (x ? 0)

calcula f'(2)

f'(2) = 387/8

f'(2) = 1

f'(2) = 1

f'(2) = 83/6

Encuentra f'(2), donde f' es la derivada de la fun-cin f dada por:

f(x) = 4x x2 + (x ? 0)

f'(2) = 5

f'(2) = 5

f'(2) = 61/8

f'(2) = 3/8

Halla la ecuacin de la recta tangente a la grfica dela funcin:

f(x) =

en el punto de abscisa x = 1

y = 3x + 2

y = x 1

y = 3x 2

y = 3x 6

3x

10

2x3

9

3x4

8

7

6

ln x 1(ln x)2

x 1(ln x)2

xln x

5

1x2

16

1x2

16

1x

x6

4

5

2x ln x

ln x

ln x

5

x ln x

ln x3

1x

(2x 1)2

x

2

16x3

x4

16x3

x4

16x3

x4

16x3

x4

8x2

x2

81

Contesta en tu cuaderno:

214 SOLUCIONARIO

G

rupo

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o, S

.L.


1. Reglas de derivacin.Tabla de derivadas

29. y = (x2 3)ex

Solucin:

y' = (x2 + 2x 3)ex

30. y = e5x + 3

Solucin:

y' = 5e5x + 3

31. y = L (x2 7)

Solucin:

y' =

32. y =

Solucin:

y' =

33. y = (2x + 3)2

Solucin:

y' = 4(2x + 3)

34. y = ex2 + 3

Solucin:

y' = 2xex2 + 3

35. y = 2x +

Solucin:

y' = 2 +

36. y = L (3x 2)

Solucin:

y' =

37. y = 27x

Solucin:

y' = 7 27x L 2

38. y =

Solucin:

y' =

39. y =

Solucin:

y' =

40. y =

Solucin:

y' =

41. y = L

Solucin:

y' =

42. Halla, para x = 4, la ecuacin de la recta tangente a lacurva y = x2 + 5x 2

Solucin:

a) x = 4 f(4) = 2 P(4, 2)b) f '(x) = 2x + 5 f '(4) = 3c) y 2 = 3(x 4) y = 3x + 14

43. Halla la ecuacin de la recta tangente a la curva y = x3 x + 3

Solucin:

a) x = 1 f(1) = 3 P(1, 3)b) f '(x) = 3x2 1 f '(1) = 2c) y 3 = 2(x 1) y = 2x + 1

44. Halla, para x = 1, la ecuacin de la recta tangente a lacurva y = x3 + 3x

Solucin:

a) x = 1 f(1) = 4 P(1, 4)b) f '(x) = 3x2 + 3 f '(1) = 6c) y + 4 = 6(x + 1) y = 6x + 2

Calcula las cinco primeras derivadas de las siguientes funciones:

45. y = x8

Solucin:

y' = 8x7

y'' = 56x6

y''' = 336x5

yIV = 1 680x4

yV = 6 720x3

3x2 + 5x3 + 5x 7

14

4x3 + 5x 7

2x(x2 1)2

x2

x2 1

2(x 1)2

2xx 1

2x

33(x2 + 1)2

3x2 + 1

33x 2

1

2x + 1

x + 1

1(x + 1)2

xx + 1

2xx2 7


G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

46. y = ex

Solucin:

y' = ex

y'' = ex

y''' = ex

yIV = ex

yV = ex

47. y = x6 2x5 + 5x 3

Solucin:

y' = 6x5 10x4 + 5

y'' = 30x4 40x3

y''' = 120x3 120x2

yIV = 360x2 240x

yV = 720x 240

48. y = e3x

Solucin:

y' = 3e3x

y'' = 9e3x

y''' = 27e3x

yIV = 81e3x

yV = 243e3x

2. Estudio de la derivabilidad

49. Estudia la derivabilidad de la funcin

f(x) =

en el punto x = 2

Solucin:

La continuidad de la funcin

f(2) = 5

f(x) f(2)

La funcin no es continua en x = 2

La funcin no es derivable en x = 2

Se observa que las tangentes por la izquierda y por la derecha tienen la misma pendiente, pero la funcin no esderivable.

50. Halla el valor de a y b para que la funcin

f(x) =

sea derivable en x = 2

Solucin:


4a + 6 = 2b 2a + b = 3


f '(x) =

4a + 3 = 4 b 4a + b = 1

Se resuelve el sistema:

a = 2, b = 7

51. Estudia la derivabilidad de la funcin f(x) = x|x|

Solucin:

f(x) =

La funcin es continua y derivable por estar definida porpolinomios. El nico punto que hay que estudiar es el correspondiente al valor de la abscisa x = 0

f '(x) =

f '(0) = f '(0+) La funcin es derivable en x = 0

lm f '(x) = lm (2x) = 0x8 0 x8 0

lm f '(x) = lm 2x = 0x8 0+ x8 0+

2x si x < 02x si x > 0

x2 si x < 0x2 si x 0

2a + b = 34a + b = 1

lm f '(x) = lm (2ax + 3) = 4a + 3x8 2 x8 2

lm f '(x) = lm (2x b) = 4 bx8 2+ x8 2+

2ax + 3 si x < 22x b si x > 2

lm f(x) = lm (ax2 + 3x) = 4a + 6x8 2 x8 2

lm f(x) = lm (x2 bx 4) = 2bx8 2+ x8 2+

ax2 + 3x si x 2x2 bx 4 si x > 2

X

Y

lmx82

lm f(x) = lm (x2 + 1) = 5x8 2 x8 2

lm f(x) = lm (4x 5) = 3x8 2+ x8 2+

x2 + 1 si x 24x 5 si x > 2

52. Asocia cada grfica de la funcin f(x) con su funcin derivada f '(x)

Solucin: f(x) 1 2 3 4

f '(x) b c d a

X

Y

X

Y

X

Y

f(x)f(x)f(x)

1 2 3 4

a b c d

f(x)

f'(x)

f'(x)f'(x)

f'(x)

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

53. Dada la grfica de la funcin f(x) =

analiza si dicha funcin es derivable en x = 0

Solucin:

No es derivable en x = 0 porque tiene una tangente verti-cal de ecuacin x = 0

54. Dada la grfica de la funcin

f(x) =


Solucin:

No es derivable en x = 1 porque la funcin no es continuaen ese valor.

55. Dada la grfica de la funcin

f(x) =


Solucin:

No es derivable en x = 2 porque la funcin tiene un pico.La grfica en ese valor tiene dos tangentes distintas.

X

Y

2x 1 si x 24 si x > 2x

X

Y

x2 2x si x > 1x3 3x2 + 3x si x 1

X

Y

5x2

216 SOLUCIONARIO

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.


Para ampliar


G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

Halla las derivadas de las funciones siguientes:

56. y = (x2 +1)2x

Solucin:

y' = 2x 2x + (x2 + 1) 2x L 2

57. y =

Solucin:

y' =

58. y = (x + 2)ex

Solucin:

y' = (x + 3) ex

59. y =

Solucin:

y' =

60. y =

Solucin:

y' =

61. y =

Solucin:

y' =

62. y = x2 + 3

Solucin:

y' = 3 x2 + 2

2x

63. y = e5x

Solucin:

y' = 5e5x

64. y =

Solucin:

y' =

65. y = L ex

Solucin:

y = x

y' = 1

66. y = x2ex + 2x

Solucin:

y' = ex(x2 + 2x) + 2

67. y = +

Solucin:

y' = +

68. y = 2x L x

Solucin:

y' = 2x L 2 L x +

69. Halla las tres primeras derivadas de la funcin:y = x3 + 3x

Solucin:

y ' = 3x2 + 3 y '' = 6x

y ''' = 6

70. Dada la funcin y = x3 3x2

a) halla las tres primeras derivadas.

b) halla los puntos de la grfica en los que la tangentesea horizontal.

Solucin:

a) y ' = 3x2 6x

y '' = 6x 6

y ''' = 6

b) Si la tangente es horizontal, la pendiente es cero.

y ' = 0 x = 0, x = 2Si x = 0 y = 0 O(0, 0)Si x = 2 y = 4 A(2, 4)

71. Dada la funcin y = x3 6x2 + 9x a) halla las tres primeras derivadas.

b) halla los puntos de la grfica en los que la tangentesea horizontal.

)1x(

1

33x2

1

2x

3xx

ex ex

2

ex + ex

2

)1x2()1x(

)1x(

18x(x2 3)2

9x2 3

5(x 2)2

x + 3x 2

x

1 x2

1 x2

4x(x2 1)2

2x2 1

Solucin:

a) y ' = 3x2 12x + 9

y '' = 6x 12

y ''' = 6


y ' = 0 x = 1, x = 3Si x = 1 y = 4 A(1, 4)Si x = 3 y = 0 B(3, 0)

72. Halla las tres primeras derivadas de la funcin:y = x3 + 3x2 + x 3

Solucin:

y ' = 3x2 + 6x + 1

y '' = 6x + 6

y ''' = 6

73. Halla las tres primeras derivadas de la funcin:y = x3 + x2

Solucin:

y ' = 3x2 + 2x

y '' = 6x + 2

y ''' = 6

74. Dada la funcin y =

a) halla las tres primeras derivadas de la funcin.

b) halla los puntos en los que la recta tangente es hori-zontal.

Solucin:

a) y ' =

y '' =

y ''' =


y ' = 0 x = 1, x = 1Si x = 1 y = 2 A(1, 2)Si x = 1 y = 2 B(1, 2)

75. Halla las tres primeras derivadas de la funcin:

y =

Solucin:

y ' = y '' =

y ''' =



b) analiza si puede haber algn punto de la grfica quetenga tangente horizontal.

Solucin:

a) y ' =

y '' =

y ''' =

b) Si la recta tangente es horizontal, la pendiente es cero.

y' 0 para todo valor de x

No hay ningn punto de la grfica que tenga recta tan-gente horizontal.


y =

Solucin:

y ' = y '' =

y ''' =


y =

Solucin:

y ' =

y '' =

y ''' =

79. Dada la funcin y = xex


b) halla los puntos de la grfica en los que la tangentees horizontal.

120x3 + 120x(x2 + 1)4

30x2 10x(x2 + 1)3

10x(x2 + 1)2

5x2 + 1

48x3 48x(x2 1)4

12x2 + 4(x2 1)3

4x(x2 1)2

x2 + 1x2 1

6x4 36x2 6(x2 1)4

2x3 + 6x(x2 1)3

x2 1(x2 1)2

xx2 1

24x4 + 144x2 24(x2 + 1)4

8x3 24x(x2 + 1)3

4x2 + 4(x2 + 1)2

4xx2 + 1

6x4

2x3

x2 1x2

x2 + 1x

218 SOLUCIONARIO

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.



G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

Solucin:

a) y ' = (x + 1)ex

y '' = (x + 2)ex

y ''' = (x + 3)ex


y' = 0 x = 1Si x = 1, y = 1/e A(1, 1/e)

80. Halla las tres primeras derivadas de la siguiente funcin:y = x2ex

Solucin:

y ' = (x2 + 2x)ex

y '' = (x2 + 4x + 2)ex

y ''' = (x2 + 6x + 6)ex

81. Halla las tres primeras derivadas de la siguiente funcin:y = x L x

Solucin:

y ' = 1 + L x y '' = y ''' =

82. Dada la funcin y = L x2


b) analiza si hay algn punto de la grfica con tangentehorizontal.

Solucin:

a) y ' = y '' = y ''' =

b) No hay ningn punto con tangente horizontal porquey' ? 0 para todo valor de x

83. Dada la funcin y = L (x2 + 1)a) halla las tres primeras derivadas.


Solucin:

a) y ' = y '' =

y ''' =


y' = 0 x = 0Si x = 0, y = 0 O(0, 0)




Solucin:

a) y ' = y '' =

y ''' =


y' = 0 x = eSi x = e, y = 1/e A(e, 1/e)

85. Halla la ecuacin de la recta tangente a la curva y = x2,para x = 2

Solucin:

a) x = 2 f(2) = 4 P(2, 4)b) f '(x) = 2x f '(2) = 4c) y 4 = 4(x 2) y = 4x 4

86. Halla la ecuacin de la recta tangente a la curva y = x3,para x = 1

Solucin:

a) x = 1 f(1) = 1 P(1, 1)b) f '(x) = 3x2 f '(1) = 3c) y + 1 = 3(x + 1) y = 3x + 2

87. Halla la ecuacin de la recta tangente a la curva y = x3, para x = 1

Solucin:

a) x = 1 f(1) = 1 P(1, 1)b) f '(x) = 3x2 f '(1) = 3c) y + 1 = 3(x 1) y = 3x + 2

11 6 L xx4

2 L x 3x3

1 L xx2

L xx

4x(x2 3)(x2 + 1)3

2(1 x2)(x2 + 1)2

2xx2 + 1

4x3

2x2

2x

1x2

1x

220 SOLUCIONARIO

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.


88. Halla las rectas tangentes horizontales a la grfica de lafuncin y = x3 27x

Solucin:

y ' = 3x2 27

y ' = 0 x = 3, x = 3Si x = 3, y = 54 A(3, 54)Si x = 3, y = 54 A(3, 54)Recta tangente en A: y = 54

Recta tangente en B: y = 54

89. Encuentra el valor de k tal que la recta y = 4x 9 seatangente a la grfica de la funcin f(x) = x2 kx

Solucin:

Sea A(x, y) el punto de tangencia. Se tiene:

y' = 4

f '(x) = 2x k

2x k = 4 (1)

El punto A es comn a la tangente y a la curva:

4x 9 = x2 kx (2)

Resolviendo el sistema de (1) y (2):

x = 3, k = 2

x = 3, k = 10


f(x) =

en el punto x = 1

Solucin:

Se estudia el punto x = 1


f(1) = 0

f(x) = f(1)



f '(x) =

f '(1) = f '(1+) La funcin es derivable en x = 1

91. Determina los valores de a y b para que la funcin

f(x) =

sea continua y derivable en x = 1

Solucin:

a) La continuidad de la funcin f(1) = a + b

a + b = 1


f '(x) =

a = 2

Resolviendo el sistema:

a = 2, b = 1

92. Determina el valor de a para que la funcin

f(x) =


Solucin:


6 + a = 3 a = 3


f '(x) =

f '(3) f '(3+) La funcin no es derivable en x = 3para ningn valor de a


f(x) =

en el punto x = 1

(2 x)3 si x 1x2 si x > 1

lm f '(x) = lm 2 = 2x8 3 x8 3

lm f '(x) = lm (2x 2) = 4x8 3+ x8 3+

2x 2 si x > 32 si x < 3

lm f(x) = lm (2x + a) = 6 + ax8 3 x8 3

lm f(x) = lm (x2 2x) = 3x8 3+ x8 3+

x2 2x si x 32x + a si x < 3

lm f '(x) = lm a = ax8 1 x8 1

lm f '(x) = lm 2x = 2x8 1+ x8 1+

a si x < 12x si x > 1

lm f(x) = lm (ax + b) = a + bx8 1 x8 1

lm f(x) = lm x2 = 1x8 1+ x8 1+

ax + b si x 1x2 si x > 1

lm f '(x) = lm 3(x 1)2 = 0x8 1 x8 1

lm f '(x) = lm 2(x 1) = 0x8 1+ x8 1+

3(x 1)2 si x < 12(x 1) si x > 1

lmx8 1

lm f(x) = lm (x 1)3 = 0x8 1 x8 1

lm f(x) = lm (x 1)2 = 0x8 1+ x8 1+

(x 1)3 si x 1(x 1)2 si x > 1

Problemas


G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

Solucin:

Se estudia el punto x = 1


f(1) = 1

f(x) = f(1)



f '(x) =

f '(1) ? f '(1+) La funcin no es derivable en x = 1

94. Halla los valores de a y b para que la funcin

f(x) =


Solucin:


f(1) = a + 5

a + 5 = a + b b = 5


f '(x) =

a = b a = 2b


a = 10, b = 5

95. Halla el valor de a para que la funcin

f(x) =

sea continua y estudia si para dicho valor es derivable.

Solucin:

La funcin est definida por dos funciones que son conti-nuas y derivables en sus dominios. Se tiene que estudiar elvalor x = 2


f(2) = 3a + 3

3a + 3 = 0 a = 1Para a = 1, la funcin es continua en x = 2


f '(x) =

Para a = 1 se tiene

f '(2) = 3

f '(2+) = 1

La funcin no es derivable en x = 2

96. Determina el valor de a y b para que la funcin

f(x) =


Solucin:


f(1) = a + b

a + b = 0


f '(x) =

a = 3


a = 3, b = 3

lm f '(x) = lm 3x2 = 3x8 1 x8 1

lm f '(x) = lm a = ax8 1+ x8 1+

3x2 si x < 1a si x > 1

lm f(x) = lm (x3 1) = 0x8 1 x8 1

lm f(x) = lm (ax + b) = a + bx8 1+ x8 1+

x3 1 si x < 1ax + b si x 1

lm f '(x) = lm (2x + a) = 4 + ax8 2 x8 2

1lm f '(x) = lm = 1

x8 2+ x8 2+ x 1

2x + a si x < 21 si x > 2

x 1

lm f(x) = lm (x2 + ax + a 1) = 3a + 3x8 2 x8 2

lm f(x) = lm L(x 1) = 0x8 2+ x8 2+

x2 + ax + a 1 si x 2L (x 1) si x > 2

a2

lm f '(x) = lm a = ax8 1 x8 1

a b alm f '(x) = lm ( ) = bx8 1+ x8 1+ 2x x2 2

a si x < 1a b si x > 1

2x x2

lm f(x) = lm (ax + 5) = a + 5x8 1 x8 1

blm f(x) = lm (ax + ) = a + b

x8 1+ x8 1+ x

ax + 5 si x 1b

ax + si x > 1

x

lm f '(x) = lm 3(2 x)2 = 3x8 1 x8 1

lm f '(x) = lm 2x = 2x8 1+ x8 1+

3(2 x)2 si x < 12x si x > 1

lmx8 1

lm f(x) = lm (2 x)3 = 1x8 1 x8 1

lm f(x) = lm x2 = 1x8 1+ x8 1+

222 SOLUCIONARIO

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.


Para profundizar

97. Determina el valor de a y b para que la funcin

f(x) =


Solucin:


f(0) = 1

a = 1


f '(x) =

1 ab = b


a = 1, b = 1/2

98. Se sabe que una poblacin de 400 bacterias de un culti-vo vara segn la funcin

f(x) = 400

donde x se mide en minutos. Qu velocidad de creci-miento instantneo tendr la poblacin en t = 3 mi-nutos?

Solucin:

El crecimiento instantneo es la derivada de la funcin

f '(x) = 400

f '(3) = 32

El signo menos indica que estn disminuyendo las bac-terias.

99. Halla la ecuacin de la parbola y = ax2 + bx + c, que pasapor el punto A(0,1) y es tangente a la recta y = x 1 en elpunto B(1, 0)

Solucin:

a) Si pasa por A(0, 1)

c = 1

b) Si es tangente a la recta y = x 1 en B(1, 0), la derivadade la parbola en x = 1 es la pendiente de la recta tan-gente.

2a + b = 1

c) Como pasa por B(1, 0)

a + b + c = 0

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

a = 2, b = 3, c = 1

100. La siguiente grfica corresponde a la funcin derivadade la funcin f(x)

a) Existe algn punto de tangente horizontal en la gr-fica de f(x)?

b) Puede ser la derivada de una funcin polinmica?De qu grado?

Solucin:

a) En x = 1 la derivada se hace cero y, por lo tanto, la pen-diente de la recta tangente es cero. La tangente es hori-zontal.

b) Si la derivada es un polinomio de primer grado, la fun-cin es un polinomio de segundo grado.

101. La siguiente grfica corresponde a la funcin derivadade la funcin f(x)

a) Existe algn punto de tangente horizontal en la gr-fica de f(x)?

b) Escribe la ecuacin de la grfica de f '(x)

c) Da una funcin cuya derivada sea la de la grfica.

Solucin:

a) No, porque f '(x) no corta al eje X

b) f '(x) = 1/x

c) f(x) = L x

X

Y

f '(x)

X

Y

f '(x)

1 x2

(x2 + 1)2

x2 + x + 1x2 + 1

lm f '(x) = lm ebx b(x + a)ebx = 1 abx8 0 x8 0

lm f '(x) = lm (2ax + b) = bx8 0+ x8 0+

ebx b(x + a)ebx si x < 02ax + b si x > 0

lm f(x) = lm (x + a)ebx = ax8 0 x8 0

lm f(x) = lm (ax2 + bx + 1) = 1x8 0+ x8 0+

(x + a)ebx si x < 0ax2 + bx + 1 si x 0


G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

Halla las derivadas de las siguientes funciones:

107. f(x) = e4x 5

108. f(x) = L (x2 + 1)

109. f(x) = x2 L (x + 1)

110. f(x) = L (x2 4)

Solucin:

Solucin:

Solucin:

Solucin:

Windows Derive Linux/Windows

102. Halla la derivada de la funcin:

f(x) =

103. Halla la recta tangente a la curva:f(x) = x2 4x + 5 en x = 3

Representa la funcin y la recta tangente.

104. Estudia la derivabilidad de la funcin para x = 2:

f(x) =

Representa la funcin y la recta o rectas tangentespara x = 2

105. Calcula el valor de los parmetros a y b para que lafuncin

f(x) =

sea derivable en x = 1. Representa la funcin y larecta tangente para x = 1

106. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y eligeMatemticas, curso y tema.

Solucin:Resuelto en el libro del alumnado.

ax2 + bx 1 si x 12bx 2 si x > 1


x2 si x 2x2 + 2x + 4 si x > 2



xx2 + 1

Paso a paso

Practica

224 SOLUCIONARIO

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

111. f(x) =

112. Halla la recta tangente a la curva:f(x) = x2 5 en x = 2

Representa la funcin y la recta tangente.

113. Estudia la derivabilidad de la funcin en x = 2

f(x) =



se pide:Halla la ecuacin de la recta tangente a la curva

f(x) para x = 12

1x

Solucin:

x2 3 si x 2x2 + 2x + 4 si x > 2

Solucin:

Solucin:

5xx2 + 1

Linux/Windows


G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

115. Estudia la derivabilidad de la funcin para x = 3

f(x) =


116. Estudia la derivabilidad de la funcin para x = 1

f(x) =


Solucin:

2x si x 1x2 4x + 5 si x > 1

Solucin:

x2 + 4x 1 si x 32x 4 si x > 3

Solucin:

Windows Derive

226 SOLUCIONARIO

G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

117. Estudia la derivabilidad de la funcin para x = 2f(x) = |x2 4|


Halla las tres primeras derivadas de las siguientes fun-ciones:

118. f(x) = x3 + 3x2 + x 3

119. f(x) =

Solucin:

x2 + 1x

Solucin:Solucin:

Linux/Windows


G

rupo

Edi

toria

l Bru

o, S

.L.

120. f(x) = x ex

121. f(x) = x L x

122. Halla el valor de a y b para que la recta tangente ala grfica de:

f(x) = ax2 ben el punto P(1, 5) sea la recta:

y = 3x + 2

123. Estudia la derivabilidad de la funcin para x = 0f(x) = x|x|


Solucin:

Solucin:

Solucin:

Solucin:

Windows Derive

7 Cálculo de derivadas - Página de Jaime Pinto Rodríguezjaimepinto.es/2bachcss/Sol 07 Calculo de...

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