7. Campo magnético en la materia

7.1. Magnetización

7.1.1. Definición Los medios materiales perciben y producen campos magnéticos debido a la

presencia de dipolos magnéticos en su interior. Cada átomo y cada partícula subatómica poseen un pequeño momento magnético dipolar.

Para caracterizar estos momentos magnéticos se define su densidad, de forma análoga a como se hace con la densidad de carga eléctrica. Dado un pequeño elemento de volumen Δτ, lo suficientemente pequeño para ser microscópico, pero lo suficientemente grande como para contener miles de partículas, se define la magnetización (o imanación, o imantación) como

1

i

i∈Δτ

=Δτ ∑m

M m (1)

La magnetización del material es una función de la posición ya que la densidad de dipolos en un elemento de volumen no tiene por qué coincidir con la de otro elemento. Puede extenderse a todo el espacio sin más que hacer M = 0 en todos los puntos en que no haya imanación.

7.1.2. Campo debido a un cuerpo magnetizado A partir de la expresión del potencial vector para un dipolo magnético, se llega,

por superposición, al potencial vector debido a un cuerpo imanado de volumen τ, dotado de una magnetización M(r):

( ) ( ) ( )0

3

'' d '

4 'τ

−μ= × τ

π −

⌠⎮⌡

r rA r M r

r r (2)

mi

Δτ

Dipolos orbitales En el modelo atómico de

Bohr, el electrón orbita alrededor del núcleo, lo que se puede considerar una pequeña espira.

En la mecánica cuántica moderna, no hay tal órbita, pero asimismo se cumple que existe un momento magnético proporcional al momento angular del electrón (propiedad asociada a la rotación).

Dipolos intrínsecos Todas las partículas poseen además un

momento magnético propio, proporcional a su momento angular intrínseco (el espín).

Este momento magnético es una propiedad característica de cada partícula, como su carga o su masa, y no está asociado a una corriente eléctrica.

Origen de los momentos magnéticos atómicos

Unidades de M De la definición

[ ][ ]

2

3

A·m A[ ]mm

mM = = =

τ

m

e-

n

Tras estudiar el campo magnético en el vacío, corresponde extenderlo al caso frecuente de que haya materiales magnetizables presentes.

Este tema sigue muy estrechamente el esquema del tema de Electrostática en presencia de dieléctricos.

En primer lugar caracterizamos la materia como compuesta de dipolos magnéticos, descriptibles mediante la imanación M. Escribimos entonces la expresión del potencial vector debido a una imanación. Como descripción alternativa se definen las corrientes de magnetización, que reducen los problemas a los del tema anterior.

Definidas estas corrientes, escribimos las ecuaciones de la magnetostática en presencia de medios materiales.

Para simplificar estas ecuaciones se define el campo magnético H y las llamadas cargas magnéticas, que permiten otra descripción alternativa.

Por último, haremos una breve revisión de los distintos tipos de materiales magnéticos: lineales (paramagnéticos y diamagnéticos) y no lineales (ferromagnéticos y ferrimagnéticos), además de los superconductores, que poseen un inusual comportamiento en presencia de campos magnéticos externos.

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Una vez determinado el potencial vector, el campo magnético producido por el cuerpo imanado puede calcularse como

=∇×B A (3)En muy pocas ocasiones puede calcularse la

integral (2) de forma directa. Normalmente la magnetización no es conocida a priori, pero incluso en los casos en que lo es, la integral puede ser tremendamente complicada. Se precisan entonces formulaciones alternativas.

7.1.3. Corrientes de magnetización La expresión (2) para el potencial vector de un cuerpo magnetizado puede

transformarse, mediante cálculo vectorial, en la expresión equivalente

( ) ( ) ( )m m0 0' 'd ' d '

4 ' 4 'S

τ ∂τ

μ μ= τ +

π − π −⌠ ⌠⎮ ⎮⌡ ⌡

J r K rA r

r r r r (4)

donde m

m

= ∇×= ×

J MK M n

(5)

son las llamadas densidades de corriente de magnetización. Las expresiones (4) y (5) quieren decir que el campo creado por un cuerpo imanado es el mismo que produciría un sistema de corrientes eléctricas: una de volumen y una de superficie, que fluye por la frontera del material (n es la normal exterior al objeto).

En el caso de que tengamos varios cuerpos imanados en contacto, las corrientes de magnetización se escriben de la forma más general

[ ]m

m

= ∇×

= ×

J MK n M

(6)

siendo n la normal a la frontera entre los cuerpos.

Demostración de la fórmula (2) El potencial de una distribución de dipolos

puntuales situados cada uno en una posición ri será la suma de los potenciales individuales

( )034

i

i i

i

× −μ=

π −∑m

m r rA

r r

Dividiendo el volumen en elementos Δτ y sumando sobre cada elemento y luego para todos los elementos, se llega a un sumatorio cuyo límite cuando Δτ → dτ es la expresión integral para A.

Idea de la deducción de (4) Si en la expresión (3) se aplica

que

3

' 1'''

⎛ ⎞−= ∇ ⎜ ⎟⎜ ⎟−− ⎝ ⎠

r rr rr r

y que ( ) ( ) ( )∇× φ = ∇φ × + φ ∇×A A A

la integral se convierte en suma de dos, a una de las cuales se puede aplicar el teorema del rotacional, resultando (4).

Ejemplo: el imán esférico Supongamos una esfera de radio R

imanada uniformemente con M0. El potencial vector que produce vale

( )0 0 3

'1 d '4 'r R<

⎛ ⎞−⎜ ⎟= μ × τ⎜ ⎟π −⎝ ⎠

⌠⎮⌡

r rA M

r r

La integral entre paréntesis aparece en el cálculo del campo eléctrico de una esfera cargada. El resultado es

0 0

30 0

3

3

3

r R

R r Rr

μ ×⎧ <⎪⎪= ⎨μ ×⎪ >⎪⎩

M r

AM r

– En el interior (r < R) resulta un campo uniforme

00

23μ

= ∇× =B A M

Este campo apunta en la dirección de la imanación.

– En el exterior (r > R), el campo equivale al de un dipolo puntual situado en el centro de la esfera

034 r

μ ×=

πm rA

donde m es el momento dipolar total

3

04

3Rπ

=m M

Las líneas de campo magnético no son abiertas, como corresponde a un campo solenoidal.

M11

M2 Km

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Con esta descripción alternativa, el cálculo del campo creado por un cuerpo

imanado se reduce al cálculo del campo creado por distribuciones de corrientes.

7.2. Ecuaciones de la magnetostática en medios materiales

7.2.1. En función de B Las ecuaciones para el campo magnético en un medio material son equivalentes a

las del vacío, con la única diferencia de que las densidades de corriente deben incluir las corrientes de magnetización.

7.2.1.1. Ley de Gauss para el campo magnético Esta ley no se ve modificada por la presencia de un medio imanado. · 0∇ =B (7)

que nos viene a decir que en medios materiales tampoco existen cargas magnéticas. La materia está compuesta por dipolos magnéticos, pero no por monopolos.

La versión integral de esta ley sigue siendo ·d 0

∂τ=∫ B S (8)

y, para cualquier interfaz entre dos regiones materiales o entre una y el vacío

[ ]· 0=n B (9)

Corrientes de imanación en una barra imantada

Dentro del modelo amperiano, que describe

los dipolos magnéticos como pequeñas espiras de corriente, se pueden interpretar las corrientes de magnetización como efectos colectivos de estas microespiras.

Así, si tenemos un conjunto de átomos con sus electrones rotando en el mismo sentido, el efecto neto es una corriente rodeando al material. Ésta sería Km.

Si la magnetización no es uniforme en el interior del material, también se produciría una corriente de volumen (Jm), al haber más corriente en un sentido que en el otro.

La discusión de si las corrientes de magnetización son “verdaderas” corrientes es superflua. Desde el punto de vista del efecto que producen (campos magnéticos) son tan reales como las corrientes de conducción, aunque no haya un trasvase neto de carga de un sitio a otro.

En principio, las partículas

elementales, al igual que poseen carga eléctrica o momento dipolar magnético, podrían tener carga magnética. Por ello, la ecuación (7) añade información respecto a la que se vio en el tema anterior.

Supongamos una barra cilíndrica de radio Ry longitud h, magnetizada uniformemente a lo largo de su eje, con M0 = M0uz.

Las corrientes de magnetización de volumen valen

0m =∇× =J M 0 por ser M uniforme dentro y fuera

En la superficie tenemos dos casos – En las bases n = ±uz (paralelo a M) [ ]m = × =K n M 0 – En la cara lateral n = uρ y

( )0 0m zM Mρ ϕ= × − =K u 0 u u por tanto un imán equivale a una bobina cilíndrica (pero el valor de Km es normalmente muy superior al de una bobina)

Interpretación de las corrientes de magnetización

Más sobre los monopolos

h

R

M0

K

-Km

Jm

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7.2.1.2. Ley de Ampère La ley de Ampère se amplía para incluir las densidades de corriente de

magnetización ( )0 l m∇× = μ +B J J (10)

donde Jl representa las llamadas densidades de corriente libre, que son aquellas que no son de magnetización. Físicamente, puede entenderse como aquellas corrientes asociadas a las cargas que pueden fluir por el material. Por ejemplo, en un bloque de hierro pueden coexistir corrientes de los dos tipos: el bloque puede estar imanado y, al mismo tiempo, por ser un material óhmico, puede haber una corriente libre fluyendo por su interior.

La forma integral de la ley de Ampère será ahora ( )0

, ,

·d

·d

l m

l m l mS

I I

IΓ

= μ +

=

∫∫

B r

J S (11)

esto es, que la intensidad de corriente que atraviesa la superficie S apoyada en Γ incluye tanto la libre como la de magnetización.

La condición de salto para las componentes tangenciales del campo magnético es [ ] ( )0 l m× = μ +n B K K (12)

siendo Kl la densidad superficial de corrientes libres.

7.2.2. El campo magnético H Dado que normalmente la magnetización no es un dato conocido de antemano,

sino que depende del campo aplicado, las cantidades Jm y Km suelen ser desconocidas a priori, lo que las convierte en incógnitas adicionales del problema.

Por ello, interesa una formulación del problema en la que aparezcan estas cantidades. Ello se consigue con la definición del campo magnético H

0

1≡ −μ

H B M (13)

(o equivalentemente B = μ0(H + M), aunque el campo auxiliar es H, no B).

Unidades de H De la definición es inmediato que H

tiene las mismas unidades que M, esto es A[ ] 1m

H =

El campo en el eje de una barra imantada Empleando la analogía entre un imán

en barra y un solenoide cilíndrico, el valor del campo en los puntos del eje es inmediato

( )0 02 1sen sen

2 zMμ

= α − αB u

La diferencia está en el valor del campo.

Para un solenoide vacío, el campo máximo es del orden del mT. Para barras largas (h » R) el campo B en los extremos vale B ~ μ0M/2. Si M~105 A/m (valor no excesivo) resulta un B ~ 0.1 T, cien veces más. Por ello, al fabricar electroimanes se usan solenoides arrollados sobre un núcleo ferromagnético

Definición de H

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Con ayuda de este campo la ley de Ampère en medios materiales se escribe, en forma diferencial,

l∇× =H J (14)En forma integral, ·d lI

Γ=∫ H r (15)

con Il la intensidad de corriente libre que atraviesa una superficie apoyada en Γ. La condición de salto correspondiente a la ley de Ampère da el salto en la componente tangencial del campo H:

[ ] l× =n H K (16)

En resumen, el campo magnético H tiene por fuentes vectoriales a las densidades de corrientes libres, no a las de magnetización.

La introducción de H no significa que nos hayamos librado de la magnetización.

Combinando esta versión de la ley de Ampère con la ley de Gauss para el campo magnético no obtenemos un sistema completo de ecuaciones, ya que el teorema de Helmholtz requiere que conozcamos la divergencia y el rotacional del mismo campo. No basta con la divergencia de uno (B) y el rotacional de otro (H).

El campo H en un imán esférico Conocidos la magnetización de una

esfera imanada ( )( )

0 r Rr R<⎧

= ⎨ >⎩

MM

0

y el campo magnético en esta misma esfera

( )

( ) ( )

0 0

20

5

23

3 ·4

r R

rr Rr

⎧ μ <⎪⎪= ⎨ −μ⎪ >π⎪⎩

MB

m r r m

(con m = (4πR3/3)M0 el momento dipolar total de la esfera).

resulta el campo magnético

( )

( ) ( )

0

2

5

13

3 ·14

r R

rr Rr

⎧ − <⎪⎪= ⎨ −⎪ >π⎪⎩

MH

m r r m

Mientras que las líneas de B son cerradas, las de H no lo son, mostrando que H no es un campo solenoidal.

Ley de Ampère en medios materiales

¿Por qué hay dos “campos magnéticos”? Por razones históricas, existen dos campos

denominados “campo magnético”, H y B. Inicialmente se definió H como análogo al campo eléctrico, siendo B un campo auxiliar, denominado densidad de flujo magnético o inducción magnética. Más tarde, se pasó a considerar B como el “verdadero” campo magnético, pero por tradición se mantuvo también el nombre de H.

Esto ha sido fuente de innumerables confusiones, que alcanzaron al propio Maxwell. Por ello, conviene incluir también la letra con que se representa (“campo magnético H” o simplemente “campo H”).

Ahora bien, la cuestión de qué significa ser “el verdadero campo magnético” es más delicada.

Ambos campos, B y H, son abstracciones, herramientas que sirven para representar procesos físicos. Lo que caracteriza a B como el “verdadero” es que es el que aparece en la fuerza de Lorentz. Existen dos posibilidades:

( )q= + ×F E v B ó ( )0q= +μ ×F E v H Ambas expresiones son equivalentes en el

vacío, pero predicen resultados diferentes dentro de medios materiales. Los experimentos confirman la primera de las dos versiones.

Demostración de la ec. (14) Sustituyendo la

definición de Jm en la ley de Ampère queda

0 0l∇× = μ +μ ∇×B J M

Dividiendo por μ0 y pasando ∇×M al primer miembro se llega a (14).

0

1l

⎛ ⎞∇× − =⎜ ⎟μ⎝ ⎠

B M J

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Para cerrar el sistema debe establecerse una relación entre B = B(H) (relación constitutiva). Esta relación depende de cada material. Más adelante veremos los casos más importantes.

7.2.3. Cargas magnéticas equivalentes Una vez definido el campo magnético H, podemos escribir las ecuaciones de la

magnetostática en términos de este campo exclusivamente. De esta forma evitamos el uso simultáneo de dos campos diferentes pero similares.

La ley de Ampère en función de H ya la conocemos. l∇× =H J (17)

La ley de Gauss para el campo magnético se escribe como · m∇ = ρH (18)

A estas dos ecuaciones hay que añadir las condiciones de salto asociadas

[ ] l× =n H K (19)

[ ]· m= σn H (20)

En las ecuaciones (18) y (20) aparecen las fuentes escalares del campo magnético H, definidas como

·mρ = −∇M (21)

[ ]·mσ = −n H (22)

Estas cantidades se denominan densidades de carga magnética (o de magnetización) y desempeñan un papel similar al de las

corrientes de magnetización, pero como fuentes escalares de H en lugar de fuentes vectoriales de B.

El uso en exclusiva del campo H no parece muy ventajoso, pues al poseer tanto fuentes escalares como vectoriales no se le pueden aplicar los teoremas para campos irrotacionales o para campos solenoidales. Sin embargo, en los problemas en que no hay corrientes libres presentes, el campo H es irrotacional y posee fuentes escalares de forma completamente análoga al campo electrostático, lo que permite aplicar todas las técnicas ya conocidas (uso de un potencial escalar, de campos conocidos como el de cargas puntuales, integraciones directas...).

No hay que confundir la definición con la relación constitutiva La ecuación H = B/μ0 − M no es la relación constitutiva que liga

B con H. Es simplemente la definición de H. No sirve para cerrar el sistema porque incluye la imanación M, normalmente desconocida.

Demostración de (18) Calculando la divergencia de H

y sustituyendo la definición

0 0

1· · · ·⎛ ⎞

∇ = ∇ − = ∇ −∇⎜ ⎟μ μ⎝ ⎠

BH M B M

La divergencia de B es siempre nula, por lo que queda

· ·∇ = −∇H M Llamando ρm a la divergencia de

la magnetización cambiada de signo llegamos a (18). Análogamente se calcula la condición de salto (20).

Cargas y polos magnéticos Para ver qué significan ρm y

σm, tomemos el ejemplo de una barra cilíndrica de radio R y longitud h imantada con una magnetización uniforme en la dirección de su eje M = M0uz.

La densidad volumétrica es nula, por ser la imanación uniforme, tanto dentro como fuera de la barra

· 0mρ = −∇ =M Para σm tenemos tres

superficies: las bases y la cara lateral.

En la base superior n = uz

( )0 0·m z zM Mσ = − − =u 0 u

en la inferior, n = –uz

( ) ( )0 0·m z zM Mσ = − − − = −u 0 u

Por último en la cara lateral, n = uρ

( )0· 0m zMρσ = − − =u 0 u

La barra equivale a una densidad de carga magnética positiva en su cara superior y a una negativa en la cara inferior. El campo H irá de la carga positiva a la negativa

Las cargas magnéticas, por tanto, representan a los polos magnéticos.

Esta analogía permite aplicar los resultados del tema 2 al campo H (¡no al B!) de

M0

uzuρ

NSH

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7.3. Tipos de materiales magnéticos

7.3.1. Relaciones constitutivas Para completar el sistema de ecuaciones de la magnetostática, es necesario

establecer una relación funcional entre B y H, (o alternativamente, entre M y B, o entre M y H). Por razones históricas, la forma habitual en que se presentan estas relaciones es dando la magnetización M como función del campo magnético H

( )=M M H (23)

Una vez establecida esta relación, puede calcularse el campo B a partir de la definición del campo H

( ) ( )( )0= μ +B H H M H (24)

Ejemplo: El campo en el interior de un imán largo Como aplicación de lo anterior, consideremos un imán cilíndrico muy largo, de radio a y gran

longitud h. Se trata de hallar el campo magnético B en el centro del imán. En lugar de hallar B, calculamos primero H. Este campo verifica las ecuaciones diferenciales y

condiciones de salto [ ] [ ]· ·m m∇ = ρ ∇× = = σ × =H H 0 n H n H 0

Estas ecuaciones son en todo análogas a las de la electrostática, salvo que las fuentes escalares no aparecen divididas por ε0. En este caso las fuentes son dos pequeños discos de carga situados en los extremos.

Dada la gran longitud de la barra, puede aproximarse el campo H en el centro (r = 0) como la

suma del de dos cargas puntuales qm = σmπa2 = ±M0πa2 situadas en ri = ±(h/2)uz

( ) ( ) 21 1 2 2 0

3 3 21 2

214

m mz

q q M ah

⎛ ⎞− −⎜ ⎟= + −⎜ ⎟π − −⎝ ⎠

r r r rH u

r r r r

(igual que E, pero sin ε0). Una vez que tenemos H, calculamos B

( )2

0 0 0 2

21 zaM

h⎛ ⎞

= μ + μ −⎜ ⎟⎝ ⎠

B H M u

Este resultado es el mismo que se obtiene desarrollando en serie de Taylor la solución exacta para dos discos cargados.

Descripciones alternativas, pero no superpuestas Hemos visto que la magnetización puede sustituirse por dos descripciones

equivalentes: Las corrientes de magnetización, Jm y Km. Las densidades de carga magnética, ρm y σm.

Estas dos descripciones no se pueden usar simultáneamente. La imanación no equivale a una densidad de corriente superpuesta a una distribución de carga.

O bien se usan las corrientes de imanación, como fuentes vectoriales de B (no de H), se halla este campo y luego si se desea se calcula H como H = B/μ0 – M; o bien se usan las cargas magnéticas como fuentes escalares de H (no de B), se calcula H y luego se halla B como B = μ0(H + M).

M0 NSH

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7.3.2. Materiales lineales El caso más simple es aquél en que la magnetización es proporcional al campo H

m= χM H (25)siendo χm (“chi sub eme”) una cantidad adimensional denominada susceptibilidad magnética. De esta relación se deduce que el campo B es proporcional al campo H

= μB H (26)con μ la llamada permeabilidad (absoluta) del material, la cual se relaciona con la susceptibilidad como

0 1r r mμ = μ μ μ = + χ (27)μr es la permeabilidad relativa, también adimensional.

A diferencia del caso eléctrico, en el que la susceptibilidad χe es siempre positiva, en el caso magnético tenemos dos posibilidades:

7.3.2.1. Diamagnéticos Los materiales diamagnéticos son aquellos materiales lineales

que poseen una susceptibilidad negativa 0mχ < (28)

y, por tanto, la permeabilidad relativa es menor que la unidad y la absoluta es menor que μ0.

En la práctica totalidad de los materiales diamagnéticos la susceptibilidad es mucho menor que la unidad. Esto quiere decir que μ ≈ μ0 y B ≈ μ0 H, esto es, que el campo magnético es prácticamente el mismo que si el material no estuviera presente.

7.3.2.2. Paramagnéticos Los materiales paramagnéticos son aquellos materiales lineales que poseen una

susceptibilidad positiva 0mχ > (29)

Por tanto, la permeabilidad relativa es mayor que la unidad y la absoluta es mayor que μ0.

En la mayoría de los materiales paramagnéticos, la susceptibilidad es mucho menor que la unidad. Esto quiere decir que μ ≈ μ0 y B ≈ μ0 H, esto es, que el campo magnético es prácticamente el mismo que si el material no estuviera presente.

A diferencia de los diamagnéticos, existen materiales paramagnéticos con una susceptibilidad alta. Se trata normalmente de materiales ferromagnéticos situados a una temperatura superior a la temperatura de Curie.

Material χm Bismuto -16.5×10-5 Oro -3.0×10-5 Plata -2.4×10-5 Agua -9.0×10-6 CO2 -1.2×10-8

Algunos diamagnéticos

Levitación diamagnética El que la magnetización vaya

en sentido opuesto al campo aplicado hace que los materiales diamagnéticos sean repelidos por los campos. Supongamos una partícula diamagnética situada encima

http://www.hfml.ru.nl

del polo norte de un imán (o de una bobina). El campo H aplicado va hacia arriba, por lo que el momento dipolar m de la partícula va hacia abajo. Al enfrentarse los polos norte, la partícula se ve repelida. Lo mismo si es un polo sur.

Aplicando campos muy intensos puede hacerse levitar objetos formados por agua, como una pequeña rana.

N

H

S

m N

S

Material χm

FeO 7.2×10-3 Uranio 4.0×10-4 Aluminio 2.2×10-5 Sodio 7.2×10-6 O2 1.9×10-6

Paramagnéticos

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7.3.3. Ferromagnéticos Los materiales ferromagnéticos son aquellos que (junto con las ferritas)

normalmente asociamos con el concepto de material magnético. Materiales ferromagnéticos son el hierro, el níquel y otros. Se caracterizan porque son capaces de producir campos magnéticos mucho más intensos que los debidos a corrientes libres.

Fuerza sobre un material magnético linealSi frente al polo norte de un imán se

coloca una muestra de material paramagnético, él momento dipolar inducido m va en el mismo sentido que el campo aplicado H, esto es, se enfrentan polos opuestos. La muestra es atraída por el imán.

N

S

m S

N

De forma más general, se puede demostrar que la fuerza sobre un material lineal va como

( )2extm∝ χ ∇F B

Teniendo en cuenta que ∇Φ apunta en la dirección en que

aumenta Φ, los diamagnéticos tienden a ir hacia donde el campo es más débil y los paramagnéticos hacia donde es más intenso.

χm<0 χm>0S S

S

S

N N

N N

Fm

Fm

Esfera en un campo uniforme Supongamos una esfera de un material de

permeabilidad μ, sometida a un campo que lejos de ella es uniforme, B0.

En el interior de la esfera el campo es uniforme y suma del aplicado y del debido a la imanación de la esfera

0 0 023M= + = + μB B B B M

Por ser un material lineal, la imanación es proporcional campo total

0 0

1 1 1⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟μ μ μ⎝ ⎠

M B H B

sustituyendo y despejando resulta el campo interior y la imanación

int 00

32μ

=μ + μ

B B ( )( )

00

0 0

32

μ −μ=μ μ + μ

M B

con m = 4πMR3/3. El campo exterior es la suma del campo

aplicado y del debido a una esfera imanada uniformemente

( ) 20

0 5

3 ·4

rr−μ

= + πm r r m

B B

En la superficie de la esfera aparecen corrientes de magnetización proporcionales al campo aplicado

[ ] ( )( )

0 0

0 0

3 sen2m

Bϕ

μ −μ θ= × =

μ μ + μK n M u

El resultado es que en un material paramagnético (μ > μ0) el campo en el interior es más intenso que el aplicado, mientras que en un diamagnético es inferior.

Los casos límite son el de un material ferromagnético ideal, con μ→∞, para el cual Bint →3B0; y el de un superconductor (diamagnético ideal, μ = 0), para el cual el campo interior se anula (efecto Meissner).

En el caso de los superconductores, las corrientes superficiales son las que anulan el campo en el interior.

diam

agné

tico

paramagnético

μμ0

1

3 Bint/B0

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La principales propiedades de los materiales ferromagnéticos, en cuanto a la relación constitutiva, son:

La relación no es lineal Puede haber magnetización incluso en ausencia de campo externo La magnetización depende no solo del campo aplicado sino de cómo se ha

llegado hasta ese estado (lo que se denomina histéresis).

7.3.3.1. Ciclo de histéresis La base del ferromagnetismo –que requiere una explicación

cuántica para una descripción completa– es la existencia de dominios en su estructura. Un dominio es una pequeña porción del material en la cual la mayoría de sus dipolos están orientados en la misma dirección y sentido.

Dado que no existe un cristal perfecto, un bloque de material ferromagnético no es nunca un único dominio, sino que suele estar formado por muchos dominios microscópicos, conteniendo cada uno de ellos unos cuantos miles de átomos. Los dominios poseen fronteras definidas, de unos cuantos átomos de espesor, formadas por aquellos átomos que oscilan entre alinearse con un dominio o con el dominio vecino.

En promedio, normalmente hay tantos dominios apuntando en un sentido como en otro, por lo que la magnetización neta es prácticamente nula, en ausencia de campo externo.

Si ahora se aplica un campo externo, aparece una magnetización en el sentido del campo aplicado, por un efecto doble:

Se produce una rotación en la orientación de los dipolos de los dominios, que tienden a alinearse con el campo

Los dominios con la orientación adecuada crecen a expensas de los que no la tienen, ya que los dipolos de la frontera tienen menos energía si se unen al dominio favorable, desplazándose la frontera entre los dominios.

A medida que se va aumentando el campo, la magnetización va creciendo, existiendo un límite físico: la saturación correspondiente a que todos los dipolos apunten en la dirección del campo aplicado. Normalmente nunca se produce la saturación completa, pero se puede llegar cerca de ella.

Si ahora se reduce el campo aplicado, los dipolos siguen encontrando más favorable quedarse con la alineación mayoritaria.

Por ello, aunque bastantes se desalineen como consecuencia de la agitación térmica, queda una imanación remanente, Mr cuando se anula el campo externo. Esta es la base de los imanes permanentes.

Para conseguir que la magnetización vuelva a valer 0, se precisa un campo magnético Hc aplicado en el sentido contrario. El valor de Hc se denomina campo coercitivo.

Lo especial de los materiales ferromagnéticos es que la interacción entre dipolos vecinos

es muy intensa, de forma que se alinean unos a otros, creándose los dominios.

La transición de un dominio a uno vecino es abrupta: sólo de algunos átomos de espesor. Estos átomos poseen momentos fluctuantes entre uno y otro dominio

¿Por qué hay dominios?

Fronteras

Hext

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Si se aplica un campo magnético más intenso que el

coercitivo, la magnetización vuelve a aumentar (en módulo) hasta que se alcanza de nuevo la saturación en sentido opuesto.

Si ahora se reduce de nuevo el campo, se alcanza de nuevo una imanación remanente y un campo coercitivo de signos contrarios a los anteriores. Cuando se alcanza de nuevo la saturación, se cierra el ciclo.

Para obtener el ciclo máximo es necesario que el cambio en el campo aplicado sea muy lento y además el proceso debe repetirse varias veces.

Este comportamiento depende de la temperatura. A medida que T sube, la agitación de las partículas desordena los dominios, haciendo más difícil la saturación y reduciendo la imanación remanente y el campo coercitivo. Para cada material ferromagnético existe una temperatura crítica (llamada Temperatura de Curie, Tc) a partir de la cual pierde las propiedades ferromagnéticas y se convierte en un material paramagnético de alta permeabilidad. Para el hierro, Tc = 770 ºC.

-Mr

Hc

-Hc

Mr Ms

H

M

Tc

T

Mr

Ferromagnéticos duros y ferromagnéticos blandos Los ferromagné-

ticos se clasifican en duros o blandos atendiendo no a su dureza material, sino a si su campo coercitivo es grande o pequeño.

La división no es tajante, sino que hay una variación continua, dependiente de varios factores como la T.

Los ferromagnéticos duros sirven para fabricar imanes permanentes. Los blandos son útiles para fabricar memorias magnéticas (p.ej. los discos duros), en las que un pequeño campo permite pasar de –Mr (un 0) a +Mr (un 1).

M

H

Duro

M

H

Blando

Es sabido que los imanes (u otros dispositivos magnéticos como cintas de vídeo o diskettes) se desmagnetizan solos, sin que se les haya hecho nada para ello. Esto ocurre por dos razones: La agitación térmica va reduciendo progresivamente la

imanación remanente, a medida que más dominios se van desordenando. En el caso de una barra u otro

sistema abierto, el campo H del propio imán va en la dirección opuesta a la imanación. Por ello, aunque la interacción entre dipolos vecinos tiende a alinearlos, la acción global del conjunto de dipolos, tiende a desalinearlos. Por ello, una

norma para la conservación de imanes (como los de los juegos Geomag) es que siempre formen circuitos cerrados con cada polo norte enfrentado a uno sur. De esta forma, las cargas magnéticas se cancelan y H es casi nulo.

¿Por qué se desimanan los imanes?

NS H

M

S

SS

N

N

N

La existencia del ciclo de histéresis permite la existencia de imanes permanentes, pero también dificulta su fabricación. Si se coloca una aguja de acero en las proximidades de un imán puede adquirir imanación remanente, pero requiere un tiempo largo para que esto ocurra.

La presencia de la temperatura de Curie permite diseñar un método más rápido, empleado tradicionalmente en la fabricación de brújulas.

Si se pone al rojo vivo la aguja de acero, su temperatura es superior a la de Curie, por lo que se comporta como un paramagnético con μ grande. Si, estando al rojo, se aplica un campo magnético a lo largo de la aguja (o más sencillamente, se alinea la aguja en dirección norte-sur), ésta se magnetiza casi instantáneamente. Si ahora, sin quitar el campo, se enfría bruscamente (por ejemplo, sumergiéndola en agua), esta imanación “se congela” al pasar a ser ferromagnético, quedando una magnetización remanente apreciable al retirar el campo aplicado o girar la aguja.

Fabricación de brújulas

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7.3.4. Ferrimagnéticos (ferritas) Los materiales ferromagnéticos son normalmente metales, y poseen por tanto una

conductividad alta. Los materiales ferrimagnéticos o ferritas son óxidos de metales

(como la magnetita) en los cuales los momentos magnéticos de los átomos de metal no son compensados por los del oxígeno, por lo que pueden exhibir magnetización neta.

Desde el punto de vista del ciclo de histéresis, el comportamiento de las ferritas es similar al de los materiales ferromagnéticos.

Las principales diferencias son que las ferritas poseen baja conductividad eléctrica y que son fácilmente moldeables. Estas propiedades las hace de gran utilidad en dispositivos electrónicos, en los que interesa que las pérdidas por efecto Joule sean lo más pequeñas posible, y además interesa fabricar núcleos de transformadores pequeños y de forma arbitraria.

7.3.5. Superconductores Una categoría completamente diferente de materiales magnéticos lo constituyen

los superconductores. La principal característica de un superconductor es que su resistividad eléctrica es idénticamente nula.

Desde el punto de vista magnético, los superconductores se caracterizan por el efecto Meissner por el cual el campo magnético B se anula en el interior de un superconductor. Este efecto permite caracterizar a los super-conductores como diamagnéticos perfectos (χm = –1, μ = 0).

El efecto Meissner ocurre de forma abrupta al bajar la temperatura. Por encima de una cierta temperatura T = T(H) (normalmente muy baja) el campo penetra normalmente en el interior del material, pero al bajar la temperatura, éste se convierte en super-conductor y el campo es expulsado (salvo en una pequeña película junto a la superficie).

Si el campo aplicado es muy grande, el material no se convierte en superconductor, por mucho que se baje la temperatura.

El comportamiento de un material superconductor como función de la temperatura y del campo aplicado puede representarse mediante un diagrama de fases, esto viene a ser un mapa en el que dando las coordenadas (T,H) sabemos en qué estado se encuentra el material.

En el caso más simple (tipo I), el diagrama consta de dos regiones. Por encima de una temperatura T(H) el material no es superconductor. Al bajar la temperatura, se produce el cambio de fase y el material se hace superconductor, siempre que H no supere el campo máximo.

Existe una segunda clase de superconduc-tores (llamados de tipo II), que se caracteriza por tener dos campos críticos. Entre ellos el material presenta un efecto Meissner incompleto y se comporta como una mezcla de material normal y de superconductor.

Fe O Fe Fe O

Diagrama de fases de un superconductor

normal

superc.

Tc

Hc

H

Tnormal

Tc

Hc1

T superc.

mezcla

Hc2

T > Tc T < Tc

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El diamagnetismo perfecto de los superconductores hace que estos puedan levitar al situarlos sobre un imán (o, más sencillamente, hacer que un imán levite al situarlo sobre un superconductor.

La temperatura crítica es realmente crítica

El número de aplicaciones, reales y potenciales, de los superconductores es inmenso: circuitos sin pérdidas por efecto Joule, ordenadores ultrarrápidos, generación de campos magnéticos intensos, levitación magnética...

Sin embargo, la tecnología de los superconductores tiene su talón de Aquiles en el valor de la temperatura crítica.

La temperatura crítica más alta conocida hasta 1986 era de solo 23 K, lo que los hacía casi inaccesibles. A partir de ese año Bednorz y Müller descubrieron materiales cerámicos con Tc de hasta 125 K. Aunque baja, permite fabricar dispositivos superconductores, con ayuda del nitrógeno líquido. No se conocen materiales superconductores a temperatura ambiente.

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