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  • 1. EJERCICIOS RESUELTOS DERIVACION1. Use la definicin de la derivada de una funcin, para calcular y o f (x) siyevaluarla en.SolucinDe acuerdo a la definicin , se tiene:(indeterminado de la forma)En particular,Obsrvese que y no existe eny por lo tanto, aunque el dominio de es , eldominio de su derivada es.2. Sea f una funcin cuyo dominio es el conjunto R de los nmeros reales y talque:> para todo x e y. Adems, f(0)=1 yexiste. Probar que f (x) existepara todo x y.SolucinDe acuerdo a la definicin de la derivada, se tiene para f:(Hiptesis)

2. (factor comn) (1)Ahora,y como por hiptesis, , se tiene que:(2).De la igualdad (2) se deduce tambin que existe.Sustituyendo (2) en (1) se concluye que: y adems f (x) existe.3. Considere la funcin f definida por:Determine el valor de las constantes a y b para que f (1) exista.SolucinEn primer lugar si f (1) existe (f es derivable en x = 1), entonces de acuerdo al teorema 1 , f escontinua en x = 1. O equivalentemente, .Esto es,(1)Ahora, decir que f (1) existe, equivale a afirmar que f +(1) y f - (1) (las derivadas laterales)existen y son iguales.Pero, (Porqu?)Asi que:(2)Igualmente, 3. (3) (Porqu?)Sustituyendo (1) en (3), se tiene:Es decir,(4)De (2) y (4) puesto que las derivadas laterales son iguales, se concluye que a = 2 y enconsecuencia, b = -1.Con los valores de a y b asi encontrados, la funcin f puede escribirse asi:4. Use las reglas de derivacin para calcular la derivada de las siguientes funciones:a.b.c.d.Solucina) Por la regla de la cadena:Pero, (R.D.7 ) 4. Luego,b) Antes de usar las reglas de derivacin se debe expresar la funcin g (t) con exponentesracionales. Asi:Entonces:(Se usaron las reglas: R.D.5. y R.D.8.).c.Pero,Luego,d. En primer lugar note que:Asi que:Pero, 5. Luego,5. De dos funciones f y g se sabe que: ; ;yEn que valor de x es posible calcular? A que es igual?En que valor de x es posible calcular? A que es igual?SolucinLa regla de la cadena (R.D.8.) establece que :Existen de acuerdo a la informacin inicial solo dos valores de x para evaluar, esto es x = 3 yx = 5.Si x = 3,pero no tenemos informacin acerca de los valores g(3)ni g (3). Asi que no es posible calcularen x = 3.Si x = 5, .Pero,yLuego,Se puede verificar y se deja como ejercicio que la informacin dada es insuficiente paracalcular y . (Verifique!).6. Si las variables x e y estn ligadas implcitamente por la frmula: , hallar y.Solucin 6. La ecuacin: puede escribirse en las formas equivalentes: (1)Derivando implcitamente la igualdad (1) se tiene:, de donde,7. Suponga que y (x) es una funcin diferenciable de la variable x; y adems las variables x e yestn ligadas por la frmula: (1)Suponga que y(1)=1. Hallar siguiendo estos pasos:a) Demuestre que:b) Use la parte a. para calcular y(1).c) Derive la ecuacin obtenida en a. para demostrar que:d) Use la ecuacin obtenida en c. para calcular (Nota: Se conocen y).Solucina. Derivando implcitamente en (1) se obtiene: (2)b. Teniendo en cuenta que y (x): y depende de x, se puede escribir (2) as:Sustituyendo x por 1 en la ltima igualdad, se tiene:Esto es, 7. De donde,c. Derivando implcitamente en (2) se obtiene: (3)d. Como y depende de x (es decir y (x)): Se puede escribir (3) as:Sustituyendo x por 1 en la ltima igualdad, se tiene:Pero, y. Luego,Esto es,De donde,8. Determine las ecuaciones de la recta tangentey de la recta normal (recta perpendicular a latangente) LN a la curva de ecuacin: , en el punto P (3, 1).SolucinNote en primer lugar que el punto de tangencia P (3, 1) pertenece a la curva (fig. 1.) 8. fig. 1.La pendiente de , viene dada por:Pero,Asi que,Usando ahora la forma: punto pendiente de la ecuacin de la recta, se tiene entonces para:, es la ecuacin de la recta tangente.Ahora, como, se deduce que .Usando nuevamente la forma: punto pendiente de la ecuacin de la recta, se tiene para: es la ecuacin de la recta normal.9. Encontrar la ecuacin de la recta normal a la curva de ecuacin , que esparalela a la recta de ecuacin: x+12y-6=0SolucinEn la fig. 2. aparece la grfica de la curva y de la recta dada. 9. fig. 2.Si se denota por LN la recta normal, como es paralela a , se tiene que(seccin 4.5.).Para determinar la ecuacin de, hace falta conocer el punto P(x1, y1) de tangencia.Para ello, se usa el hecho de que (: pendiente de la tangente).De otro lado,Asi queEste ltimo resultado, indica que existen dos puntos de tangencia a saber: P1 (2, 9) y P2 (-2, -7).En consecuencia, existen dos rectas normales que verifican las condiciones iniciales del problema.Una de ellas, pasa por P1 (2, 9) y pendiente .Su ecuacin viene dada por:La otra, pasa por P2 (-2, -7) y pendiente .Su ecuacin viene dada por:10. Encuentre la ecuacin de la recta tangente a la curva:en el punto(3, 1).SolucinEn primer lugar note que: , indicando con esto que el punto (3, 1)pertenece a la curva.Ahora,Para determinarse usa derivacin implcita en la ecuacin:Esto es, 10. De donde,Luego,Es decir,Asi que la ecuacin de la recta tangente a la curva en el punto (3, 1), viene dada por:11. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 mts/seg. Hallar: a. La velocidad cuando han transcurrido 1 y 3 seg. b. El tiempo que tarda en alcanzar la altura mxima. c. La altura mxima alcanzada. d. La rapidez al llegar de nuevo al suelo.SolucinPartiendo de la ecuacin del movimiento conocida en fsica:, en donde:m/seg (velocidad inicial); g es la aceleracin (gravedad), que se toma aproximadamente en 10m/seg2 y cuya direccin positiva es hacia abajo, se puede escribir:S = f(t) = 20t 5t2 (1)a. La velocidad en cualquier instante t, viene dada por:Esto es,(2)(Velocidad cuando ha transcurrido 1 seg.) (Velocidad cuando han transcurrido 3 seg.)b. Del enunciado inicial y de la parte a) puede notarse que: 11. Cuando t = 0, V = 20 m/seg.Cuando t = 1, V = 10 m/seg.Cuando t = 3, V = -10 m/seg.Estos resultados indican que hubo un instante en el cual la velocidad fue V = 0, es en ese instantecuando la pelota alcanza su altura mxima.pero seg. (tiempo que tarda en alcanzar la altura mxima).Ahora, como en la ecuacin (1), S indica la posicin (distancia) en cada instante t, se tiene enparticular para t = 2, S = 20(2) 5(2)2 = 20 m. (altura mxima).d. Para determinar la rapidez al llegar de nuevo al suelo, debe determinarse primero, el tiempo quetarda en hacerlo y luego sustituir este valor de t en (2).Para ello se hace S = 0 en (1): 20 = 20 t 5 t t = 0 (momento del lanzamiento)t = 4 (momento en que regresa al suelo)Ahorala rapidez es12. Determine, si existen los extremos absolutos (mx. y mn.) de la funcin:en el intervalo [-3,2]SolucinComo f es continua en el intervalo dado, la existencia de mximo y mnimo absoluto estagarantizada por el teorema 2 de la seccin 9.9.3. Para determinarlos, se aplica la regla prcticadada en la observacin del mismo teorema.Considere los puntos crticos por medio de la derivada. son los nicos puntos crticos.Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores: . 12. Mximo absoluto de f enesMnimo absoluto de f en es13. Determine, si existen los extremos absolutos de la funcin: en el intervalo[-5,4]SolucinLa continuidad de f en el intervalo, garantiza la existencia de extremos absolutos de f endicho intervalo.Se debe determinar primero los puntos crticos por medio de la derivada.El nico punto crtico de f es x = 3, donde la derivada no existe. (Note queno tienesolucin).Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:Mximo absoluto de f enesMnimo absoluto de f en es14. Considere la funcin f definida por:Determine los extremos absolutos de f en el intervalo [-3,3] . 13. SolucinLa funcin es continua en todos los puntos del intervalo (verifique). Por el teorema 2(seccin 9.9.3.), f (x) posee mximo y mnimo absoluto en el intervalo considerado. Paradeterminarlos, se consideran primero los puntos crticos de f:Puesto quey, la derivada no existe en x = 1 y por lo tanto corresponde a unpunto crtico de f.De otro lado, la derivada no se anula en ningn punto del intervalo. En consecuencia, el nico puntocrtico es x = 1.Los extremos absolutos de f se escogen entre los siguientes valores:Mximo absoluto de f en esMnimo absoluto de f enes15. Analizar sisatisface las hiptesis del T.V.M. para derivadas en elintervaloy en caso afirmativo, determine el valor(es) de C que satisfacen la conclusin.Solucini.es continua enPorqu?ii.es derivable enPorqu?Como f cumple la hiptesis del T.V.M., entonces, existe por lo menos un C,tal que:Pero, 14. Asi que:Por lo tanto,De donde,De estos dos valores, el nico que pertenece al intervalo (1, 3) es que es la nica solucinbuscada.16. Para la funcin, estudiar las condiciones del T.V.M. para derivadas en el intervalo[-2, 2].Solucin i. Claramente la funcin es continua en [-2, 2]. ii., no existe en el punto x = 0.Luego, no se cumple la condicin ii. del teorema, y en consecuencia, no puede garantizarse laexistencia del punto C.Ahora, y como no se anula para ningn valor real de x,entonces la igualdad:no se cumplir en ningn C en (-2, 2).17. a. Demostrar que si la derivada de una funcin es 0 en un intervalo, entonces, la funcin esconstante en dicho intervalo.b. Use la parte a. para demostrar que: es constante. Hllese el valor de dichaconstante.Solucina. Note en primer lugar que f satisface las hiptesis del T.V.M. (Porqu?).Ahora, sean dos puntos cualquiera del intervalo [a, b] y sea f la funcin.Para probar la parte a. es suficiente probar que, lo cual obliga a que la funcin seaconstante.Segn el T.V.M., existe un nmero C entreytal que: 15. y como, se concluye entonces que .b.(TEOREMA SECCIN 9.6.) .Como, se sigue de la parte a. quees una funcin constante.Para hallar el valor de la constante, basta evaluar la funcin en algn nmero especfico, el cual sepuede elegir arbitrariamente, por ejemplo,.Se tiene entonces, .Luego, para todo x. (x en el dominio comn de la secante y la tangente).Este resultado no debe sorprender puesto que, es una identidad trigonomtricaconocida.18. Evaluar los siguientes lmites:a.b.Solucina