6449-4315-1-PB (1)
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Scientia et Technica Año XII, No 31, Agosto de 2006 UTP. ISSN 0122-1701 259 Fecha de Recepción: 31 Enero de 2006 Fecha de Aceptación: 04 Mayo de 2006 DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES RESUMEN En este artículo se estudia el método de Heaviside para descomponer una fracción propia ) ( / ) ( ) ( x q x p x f = , es decir, p y q son polinomios, y )) ( grado( )) ( grado( x q x p < . Este tipo de descomposición se utiliza en el cálculo de integrales de funciones racionales y para encontrar algunas transformadas inversas de Laplace y se basa en un teorema del álgebra avanzada, el cual establece que cada función racional, sin importar que tan complicada sea, puede rescribirse como una suma de fracciones más simples, por ejemplo 3 3 1 2 3 2 3 5 2 − + + = − − − x x x x x . PALABRAS CLAVES: Fracción propia., fracciones parciales. ABSTRACT This paper studies the Heaviside method for decomposing an own fraction ) ( / ) ( ) ( x q x p x f = . That is to say, p and q are polynomials and )) ( ree( deg )) ( ree( deg x q x p < . This type of decomposition is used to calculate integrals of rational functions and to find some inverse Laplace transforms and it’s based in a theorem of advanced algebra, which it establishes that each rational function, no matter what complicated it was, can rewrites as a sum of fractions most simples, by example 3 3 1 2 3 2 3 5 2 − + + = − − − x x x x x . KEYWORDS: Own fraction, partial fractions. ALEJANDRO MARTÍNEZ A. Licenciado en Educación con Especialidad en Matemáticas. Profesor Auxiliar Universidad Tecnológica de Pereira. [email protected] 1. INTRODUCCIÓN. La descomposición en fracciones parciales de una fracción propia es un procedimiento utilizado muy frecuentemente cuando se va hallar una antiderivada de una función racional o cuando se quiere encontrar la transformada inversa de Laplace. En la mayoría de los textos de Cálculo no se hace un tratamiento detallado de este tema. En [3] se hacen algunas observaciones sobre el método de Heaviside, pero no se profundiza. Este tema se encuentra desarrollado en [1] y [2] de una manera más formal, de donde se ha tomado y se ha ampliado. En este artículo se asume que los polinomios ) ( x p y ) ( x q tienen coeficientes reales. 2. CONTENIDO. Empezamos el desarrollo considerando los posibles caso que se presentan en la factorización de ) ( x q . 2.1. Método algebraico Este es el método más comúnmente utilizado. A continuación se analizan los casos posibles. CASO 1. a x = es una raíz real simple de ) ( x q , es decir, ) ( ) ( ) ( x t a x x q a − = , con 0 ) ( ≠ a t a . Entonces existe una función a w 1 tal que ) ( ) ( x w a x A x f a + − = , (1) y A se calcula de la siguiente manera: Paso 1. Se multiplica en ambos lados de (1) por x – a para obtener ) ( ) ( ) ( ) ( x w a x A x t x p a a − + = . Paso 2. Se asigna a x el valor de a, de donde ) ( ) ( a t a p A a = . Este procedimiento se repite para cada raíz simple de q(x). Ejemplo 1. Calcule dx x x x x ∫ − + + 6 1 2 3 . 1 Los índices en las funciones a t y a w se usan para indicar que dichas funciones dependen de la raíz a.
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Scientia et Technica Ao XII, No 31, Agosto de 2006 UTP. ISSN 0122-1701 259
Fecha de Recepcin: 31 Enero de 2006 Fecha de Aceptacin: 04 Mayo de 2006
DESCOMPOSICIN EN FRACCIONES PARCIALES
RESUMEN
En este artculo se estudia el mtodo de Heaviside para descomponer una fraccin propia )(/)()( xqxpxf = , es decir, p y q son polinomios, y
))(grado())(grado( xqxp < . Este tipo de descomposicin se utiliza en el clculo de integrales de funciones racionales y para encontrar algunas transformadas inversas de Laplace y se basa en un teorema del lgebra avanzada, el cual establece que cada funcin racional, sin importar que tan complicada sea, puede rescribirse como una suma de fracciones ms simples,
por ejemplo 3
31
232
352 ++=
xxxx
x .
PALABRAS CLAVES: Fraccin propia., fracciones parciales.
ABSTRACT
This paper studies the Heaviside method for decomposing an own fraction )(/)()( xqxpxf = . That is to say, p and q are polynomials and
))(ree(deg))(ree(deg xqxp < . This type of decomposition is used to calculate integrals of rational functions and to find some inverse Laplace transforms and its based in a theorem of advanced algebra, which it establishes that each rational function, no matter what complicated it was, can rewrites as a sum of fractions most simples, by example
33
12
3235
2 ++=
xxxxx .
KEYWORDS: Own fraction, partial fractions.
ALEJANDRO MARTNEZ A.
Licenciado en Educacin con Especialidad en Matemticas. Profesor Auxiliar Universidad Tecnolgica de Pereira. [email protected]
1. INTRODUCCIN.
La descomposicin en fracciones parciales de una fraccin propia es un procedimiento utilizado muy frecuentemente cuando se va hallar una antiderivada de una funcin racional o cuando se quiere encontrar la transformada inversa de Laplace. En la mayora de los textos de Clculo no se hace un tratamiento detallado de este tema. En [3] se hacen algunas observaciones sobre el mtodo de Heaviside, pero no se profundiza. Este tema se encuentra desarrollado en [1] y [2] de una manera ms formal, de donde se ha tomado y se ha ampliado. En este artculo se asume que los polinomios )(xp y )(xq tienen coeficientes reales.
2. CONTENIDO.
Empezamos el desarrollo considerando los posibles caso que se presentan en la factorizacin de )(xq .
2.1. Mtodo algebraico Este es el mtodo ms comnmente utilizado. A continuacin se analizan los casos posibles.
CASO 1. ax = es una raz real simple de )(xq , es decir, )()()( xtaxxq a= , con 0)( ata . Entonces existe una funcin aw 1 tal que
)()( xwax
Axf a+= , (1) y A se calcula de la siguiente manera:
Paso 1. Se multiplica en ambos lados de (1) por x a para obtener
)()()()( xwaxA
xtxp
aa
+= .
Paso 2. Se asigna a x el valor de a, de donde
)()(
atapA
a= .
Este procedimiento se repite para cada raz simple de q(x).
Ejemplo 1. Calcule dxxxx
x + + 6123 . 1 Los ndices en las funciones at y aw se usan para indicar que dichas funciones dependen de la raz a.
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Scientia et Technica Ao XII, No 31, Agosto de 2006. UTP
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Solucin. Hay que encontrar la descomposicin en
fracciones parciales de xxx
xxf6
1)( 23 ++= . Es decir,
hay que hallar constantes A, B y C tales que
32)( +++= x
Cx
BxAxf .
Como 1)( += xxp y xxxxq 6)( 23 += . Al factorizar q(x) se tiene )3)(2()( += xxxxq . Luego,
,61
)20)(30(10
)0()0(
0=+
+==tpA
,103
)32(212
)2()3(
2=+
+==tpB
,152
)23(313
)3()3(
3=
+==
tpC
Luego
)3(152
)2(103
61)( ++
=xxx
xf .
Por lo tanto,
Cxxxdxxf +++= 3ln1522ln103ln61)( CASO 2. Si ax = es una raz real de multiplicidad
1>m de q(x), es decir, )()()( xtaxxq am= . Entonces
,
)()()()(
1
22
11
axA
axA
axA
axA
xf mm
mm
++++=
" (2)
en donde Am, Am1, , A1 se calculan de la siguiente manera
Paso 1. Se multiplica a ambos lados de (2) por max )( , para obtener
)()(
)()()()( 1
11
xwax
axAaxAAxtxp
am
mmm
a
+
++++= "
Paso 2. Se asigna a x el valor de a, de donde
)()(
atapA
am =
Paso 3. Se multiplica en ambos lados de (3) por )()( xtax a
m , para obtener
).()]()(
)()([)( 111xtxwax
axAaxAAxp
aam
mmm
+++++= "
Paso 4. Se efectan los clculos en el lado derecho para obtener un polinomio
Paso 5. Se igualan los coeficientes de las potencias correspondientes de x y se resuelven las ecuaciones resultantes para los coeficientes 121 ,,, AAAm . CASO 3. Si iax +== es una raz compleja simple. En este caso tambin lo es iax == , puesto que )(xq tiene coeficientes reales. Es decir,
)(])[()( 22 xtxxq a += . Entonces )(
)()(
)(22
xwx
BxAxf a+++=
, (3)
en donde A y B se calculan de la siguiente manera
Paso1. Se multiplica en ambos lados de (3) por 22)( +x para obtener
)(])[()()()( 22 xwxBxA
xtxp
aa
+++=
Paso 2. Se asigna a x el valor de , de donde )(
)()( 2
a
aw
tpB = .
Paso 3. Se asigna otro valor de x y se despeja A.
CASO 4. Si iax +== es una raz compleja doble. En este caso tambin lo es iax == . Es decir,
)(])[()( 22 xtxxq a += . Entonces )(
)()(
])[()()(
22222xw
xDxC
xBxAxf a++
++++=
, (4)
en donde A, B, C y D se calculan de la siguiente manera
Paso 1. Se multiplica a ambos lados de (4) por 222 ])[( +x para obtener
)(])[(
])([])[(
)()()(
222
22
xwx
xCx
BxAxtxp
a
a
+++++
+=
Paso 2. Despejar p(x) en la expresin anterior, efectuar los productos en el lado derecho para formar un polinomio, igualar coeficientes y luego resolver el sistema resultante en A, B , C y D. Una forma alternativa es asignar valores adecuados a x para formar un sistema en A, B, C y D y luego resolver el sistema resultante.
2.2 Mtodo de Heaviside
El mtodo de Heaviside es similar al mtodo algebraico. Los casos se enuncian como teoremas.
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Teorema 1. Suponga que )()()(
xqxpxf = y que ax = es
una raz real simple de )(xq , es decir, )()()( xtaxxq a= , con 0)( ata .Entonces existe una
constante A tal que
)()( xwax
Axf a+= ,
en donde )()(
atapA
a= o bien
)(')(
aqapA = .
Demostracin. Sea )()()( xfaxxha = . De acuerdo con la teora de fracciones parciales, existe una constante A tal que
)()()(
)()()()( xw
axA
xtaxxp
xqxpxf a
a
+=== . (1)
Al multiplicar por )( ax a ambos lados de (1) se tiene
)()(
)()(
)()()()()()(
xwaxAxtxp
xqxpaxxfaxxh
aa
a
+==
==
Al tomar lmites se tiene
)()(
)()(lim
)()(lim)(lim
atap
xtxp
xfaxxhA
aaax
axaax
==
==
.
Al aplicar la regla de LHpital se tiene
.)(')(
)(')(')()(lim
)('')]()[(
lim)(
)()(lim(
)()(lim)(lim
aqap
xqxpaxxp
xqxpax
xqxpax
xfaxxhA
ax
axax
axaax
=+=
==
==
Corolario 1. Supongamos que )()()(
xqxpxf = y
)())(()( 21 naxaxaxxq = con ji aa para ji . Entonces
n
n
axA
axA
axA
xf +++= "22
1
1)( ,
en donde
)()(lim xfaxA iaxi i= para i = 1,2, , n.
Teorema 2. Suponga que )()()(
xqxpxf = y que ax = es
una raz real de multiplicidad 1>m de q(x), es decir,
)()()( xtaxxq am= . Entonces
)()()(
)(2
21 xwax
Aax
Aax
Axf am
m ++++= " ,
en donde
#)()()()(lim
atapahxhA
aaaaxm
=== ,
= )(
)(!
1limxtxp
dxd
kA
ak
k
askm
para 1,,2,1 = mk . o bien
= k
aaaxa
kmax
xtxrxpat
A)(
)()()(lim
)(1
para 1,,2,1 = mk , donde
111 )()()(
+ ++= kkmmma axAaxAAxr " .
Demostracin.
Sea )()()()()(
xtxpxfaxxh
a
ma == . Existen constantes
mAAA ,,, 21 tales que
)()()(
)(
)()()(
)()(
)(
11
221
xwax
Aax
Aax
Aax
Axtax
xpxqxpxf
amm
mm
am
+++
+++===
" (2)
Al multiplicar por max )( en ambos lados de (2) se tiene
)()(
)()(
)()()()(
11
22
1
xwax
AaxAax
AaxAxfaxxh
am
mm
mmm
a
+++++
++==
"
Despejando mA , haciendo
)()(
)()()(1
1121
xwax
axAaxAAxs
am
mmma
+++++= "
y tomando el lmite se obtiene
-
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.
)()(
)()(lim)(lim
)]()()([lim
atap
xtxpxh
xsaxxhA
aaaxaax
aaaxm
===
=
Una vez hallado mA , procedemos a encontrar kmA para k = 1, 2 , , m 2, m 1.
Al derivar )(xha con respecto a x se tiene
[ ]
)()()()(
)(')())(1(
)(2)(
11
12
21
xraxAxwaxm
xwaxAaxm
AaxAxhdxd
amm
mm
mma
+=++++
+++=
"
Al despejar 1mA y tomar el lmite se tiene
( )
== )(
)(lim)(lim1 xtxp
dxdxh
dxdA
axaaxm
Por otro lado, al multiplicar a ambos lados de (2) por 1)( max y despejar se obtiene
)()()(
)(1
)()(
11
2
211
xwaxAax
AaxAxA
xfax
amm
mmmm
++++++= "
[ ]
.)()(
)()(
)()()(
)()()()(
)(
)()(
1
21
32
11
xtaxxtAxp
axA
xtaxxp
axA
xtaxxpax
(x)wa)(xAa)(xAaxax
AxfaxA
a
am
m
a
m
am
ma
mmm
mmm
=
==
++=
"
Al tomar el lmite se tiene
= axxtAxp
atA am
axam
)()(lim
)(1
1 .
El ltimo lmite se puede evaluar mediante la regla de
LHpital porque es de la forma 00 . Recurdese que
)()(
atapA
am = . Es decir,
( ))(
)(')(')()('lim
)(1
1 atatAap
xtAxpat
Aa
amamaxa
m== .
Derivando nuevamente, despejando y tomando lmites se tiene
( ) )('')(lim22
2
2 ahxhdxdA aaaxm
== .
De donde
== )(
)(lim
21)(''
21
2
2
2 xtxp
dxdahA
aaxam
Tambin
= 2
12
)()()()()(
lim)(
1ax
xtaxAxtAxpat
A amamaxa
m .
El ltimo lmite se puede evaluar mediante la regla de
LHpital porque es de la forma 00
. Este procedimiento
se generaliza para llegar a la siguiente expresin
= )(
)(!
1limxtxp
dxd
kA
ak
k
axkm, para 1,,2,1 = mk " .
Corolario. Si )()()(
xqxpxf = y maxxq )()( = , entonces
mm
axA
axA
axA
xf)()(
)( 221
+++= " ,
en donde
)(aPAm = , )('1 aPAm = ,
)(''21
2 aPAm = , )(!1 )( apk
A kkm = ,
para 1,,2,1 = mk " .
Ejemplo 2. Descomponga 43
)1(22)( +
+=x
xxxf en
fracciones parciales
Solucin. ,6)('',23)(',22)( 23 xxpxxpxxxp ==+=
6)(''' =xp . Luego
44
33
221
4
3
)1()1()1(1)1(22
+++++++=++
xA
xA
xA
xA
xxx
.1)1('''
,3)1('',1)1(',3)1(
61
1
21
234
========
PA
PAPAPA
Luego
432 )1(3
)1(1
)1(3
11)( ++++++= xxxxxf .
-
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Ejemplo 3. Hallar
+
3
231
)1)(2(91592
sssssL , donde L-1
denota la transformada inversa de Laplace.
Solucin. Aqu 3
23
)1)(2(91592)(
+=ss
ssssF
32 )1()1(12)( +++= s
Ds
CsB
sAsF (I)
Entonces
1)1(
91592lim)()2(lim 323
12=
+== sssssFsA
ss
1)2(
91592lim)()1(lim23
13
1=
+== sssssFsD
ss.
Para el clculo de B y C se evala F(s) en dos valores distintos de s que no sean 1 ni 2 para obtener un sistema
22 en B y C, aprovechando que ya se conocen A y D.
11
1121)0( +++=
CBF
121
29 += CB
de donde 3= CB (1)
8
1423
1)1( +++=CBF
81
4231
2435 += CB ,
de donde
42 = CB (2) Resolviendo el sistema formado por (1) y (2) se obtiene
1=B y C = 2. Luego
32 )1(1
)1(2
11
21)( ++= sssssF .
Por lo tanto,
{ } tttt etteeesFL 22121)( +++= .
Teorema 3. Suponga que )()()(
xqxpxf = y que
iax +== es una raz compleja simple. En este caso tambin lo es iax == , puesto que asumimos que )(xq tiene coeficientes reales. Es decir,
)(])[()( 22 xtxxq += . Entonces )(
)()()(
22xw
xBxAxf a++
+=
,
en donde
( )
==
)()(Re)(Re
atapahB a
y
( )
==
)()(Im1)(Im1
atapahA a ,
donde )(])[()( 22 xfxxha +=
Teorema 4. Suponga que )()()(
xqxpxf = y que
iax +== es una raz compleja doble. En este caso tambin lo es iax == , es decir,
)(])[()( 222 xtxxq a += . Entonces
[ ] )()( )()( )()( 222 2222 11 xwx BxAx BxAxf a++ +++ += , en donde
( )
==
)()(
Re)(Re2 atapahB
aa
( )
==
)()(
Im1)(Im12 atapahA
aa ,
( ))('Im21
1 ahB a= y
( )[ ])('Re2
1221 ahAA a= ,
donde )(])[()( 222 xfxxha += Ejemplo 5. Encuentre la descomposicin en fracciones
parciales de [ ]1)1()4( 432)( 222
+++=
xxxxxf
Solucin.
[ ] 1)1( )1(41)1()4( 432)( 22222
++++
+=+++=
xDxC
xBAx
xxxxxf .
Luego
1)1(432)()4()(
2
22
2 ++=+=
xxxxfxxh i , y
1)1(
])1()[()(
2
2
2 +++++=
xDxCaxBAxxh i
Entonces
-
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264
iiiii
ii
ii
ii
iiiih i
51
58
)21)(21()21)(32(
2132
4264
114464
1)12(4)2(3)2(2)2(
2
2
2
=++=
++=
=++=
++=
BiAxh i += )2()(2
De ah, 58
101 By ==A .
[ ][ ][ ] .
4)1(
41)1(
4432)(4)1()(
22
2
2
22
1
++++
++=+
+=+=+
xDxC
xBAxx
xxxxfxxh i
Entonces
DCii
iiih i +=+++++=++
4)1(4)1(3)1(2)1( 2
2
1
.10
3)5(2
)21)(1()21(2
142
142
4)1(3)2(2
iCDiiii
ii
ii
ii
+==+=++=+
+=+++
De ah, 103
101 y == DC . Por lo tanto,
+
+=
1)1(3)1(
101
416
101)( 22 x
xxxxf .
3. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
El mtodo de Heaviside resulta ser un mtodo prctico para calcular los coeficientes en la descomposicin en fracciones parciales de una fraccin propia en el caso de races reales distintas o cuando el polinomio del denominador es una funcin de la forma maxxq )()( = .
La aplicacin directa de los teoremas en algunos casos puede ser tediosa y a veces es mejor evaluar la funcin en valores adecuados de las variables para obtener un sistema de ecuaciones lineales en las constantes que se deben determinar.
4. BIBLIOGRAFA
[1] Finney, Thomas, Clculo una variable, Pearson Educacin, 9 Edicin.
[2] Kreyzig, Erwin. Matemticas Avanzadas para Ingeniera, Vol. 1.
[3] Zill, Dennis, G. y Cullen, Michael R. Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera, Quinta Edicin, Thomson, 2002.
