UNIDAD DE APRENDIZAJE DE CÁLCULO DIFERENCIAL Página 1

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS NO. 11

“WILFRIDO MASSIEU” ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

UNIDAD DE APRENDIZAJE DE CÁLCULO DIFERENCIAL

UNIDAD 1 Resuelve problemas de funciones, en el campo de los números reales, que involucren los conceptos de límite y continuidad en situaciones relacionadas con su entorno académico. RESULTADO DE APRENDIZAJE PROPUESTO: 1. Establece el comportamiento de las funciones, a través de su gráfica y sus operaciones. 2. Emplea la definición y teoremas de límites en la continuidad y discontinuidad de las funciones PAGINAS WEB DE CONSULTA:

1. Funciones http://www.vadenumeros.es/cuarto/conceptos-de-funciones.htm

2. Funciones

http://www.vadenumeros.es/primero/dominio-y-recorrido-de-funciones.htm

3. Limites http://www.vadenumeros.es/primero/ejercicios-de-limites-resueltos.htm

4. Limites

http://www.vitutor.com/fun/3/a_1.html EJERCICIOS: 1. Grafica las siguientes funciones en los dominios indicados para cada caso

a. 2

1y −

=x

3 < x < 10

b. 2

1y −

=x

-10 < x < 1

c. 2

1y −

=x

0 < x < 4

d. 62

1y −

=x

0 < x < 5

e. 3

96y 2

−+−

=x

xx -3 < x < 3

f. 3

96y 2

−+−

=x

xx 3 < x < 10

g. 3

96y 2

−+−

=x

xx -3 < x < 5

2. ¿Cuál es el valor de la función 83x-5x-8x y 23 += cuando x = -5, 0, 3, 5, 10, 100, 5000?

3. ¿Cuál es el valor de la función y = 43

x2-31

cuando x = -5, 0, 3, 5, 10, 100, 5000?

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4. ¿Para qué valores de x (dominio) se puede graficar la función 2

1y −

=x

? ¿por qué?

5. ¿Para qué valores de x (dominio) se puede graficar la función 1

34y 2

+++

=x

xx? ¿por qué?

6. ¿Cuál es el valor de la función 24y

2

−−

=xx

cuando x = -5, -2, 0, 2, 5, 10, 100, 5000?

7. Si f(x) = √x2 -1 y g (x) = 2/x. Determine formulas para los siguientes y determine sus dominios

a. (f g(x)) = b. f4 (x) + g4 (x) c. (fog) (x) = d. (gof) (x) = e. f(-2) f. g(0) g. f(-1) h. g(1)

8. Bosqueja la grafica de las siguientes funciones determina el dominio

a.

≥+<≤

<−=

1xsix11x0six

0xsixf(x)

b. 4xg(x) 2 −=

c. 2xx

2xh(x) 2 −−=

d.

>−≤−

=3xsix33xsi3x

i(x)

9. Determina los siguientes límites de las funciones anteriores,

a. =→

f(x)lim0x

b. =→

g(x)lim1x

c. =−→

h(x)lim2x

d. =−→

i(x)Lim1x

10. Determina el límite de las siguientes expresiones

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157x2x1013x3xlimh)

3x

12xlimg)

214xx5114xxlimf)

32xxmxmxxlime)

5θθsenlimd)

5ttlimc)

πx4π6xπ2xlimb)

1x2xxlima)

2

2

5x

2x

2

2

1x

2

2

3x

2

2

θ

t

22

22

πx

2

1x

−−−−

+

+−+−−

−−−−+

−

−

−+−

−−+

→

∞→

→

−→

∞→

∞→

→

→

x2x2limj)

xx1x1limi)

0x

0x

−+

−−+

→

→

3x9xliml)

7t

21t1t

limk)

2

3x

2

7x

−−

+

−−

→

−→

11. Considera la función y = f(x) cuya grafica esta bosquejada

a. Estima f(2), f’(2), f(0.5) b. Estima la tasa de cambio promedio en “f” sobre el intervalo .5 ≤ x ≤ 2.5 c. En el intervalo -1 < x < 6, ¿En donde

xu→lim f(u) no existe?

d. En el intervalo -1 < x < 6, ¿En donde “f” es continua? e. En el intervalo -1 < x < 6, ¿En donde “f” no tiene derivada? f. En el intervalo -1 < x < 6, ¿En donde f’(x)=0? g. En el intervalo -1 < x < 6, ¿En donde f’(x)=1?

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12. Determine los puntos de discontinuidad en las siguientes funciones

6x9f(x)d)

30)(x73xf(x)c)

4tg(t)b)2x

65xxf(x)a)

2

2

−=

−+

=

−=−

+−=

13. ¿Cómo es el valor de y cuando x crece mucho si 26x xy 2 ++= ?

14. ¿Cómo es el valor de y cuando x crece mucho si 12

5y +=x

?

15. ¿Cómo es el valor de y cuando x crece mucho si 3

5y −

=x

?

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UNIDAD 2 Resuelve problemas referentes a la derivada de funciones algebraicas en situaciones de su entorno académico, social y global. RESULTADO DE APRENDIZAJE PROPUESTO: 1. Obtiene derivadas de funciones algebraicas a partir de su definición y el uso del formulario en situaciones

académicas 2. Aplica la derivada en situaciones geométricas y físicas, en la resolución de problemas, de su entorno

académico 3. Resuelve problemas de optimización que involucren funciones algebraicas, en situaciones académicas,

sociales y globales PAGINAS WEB DE CONSULTA:

1. Derivadas, definición y formulas. http://www.vadenumeros.es/primero/definicion-y-tabla-de-derivadas.htm http://www.vadenumeros.es/primero/derivada-potencial-logaritmica.htm http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-trigonometricas.htm

2. Aplicación

http://www.vadenumeros.es/primero/tangente-en-un-punto-derivada.htm http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-maximos-y-minimos.htm http://www.vadenumeros.es/primero/grafica-polinomicas-racionales.htm

3. Derivadas, ejercicios resueltos.

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/ejercios_resueltos.htm

4. Derivadas (Vitutor) http://www.vitutor.com/fun/4/b_1.html

EJERCICIOS: 1. Comprobar cada una de las siguientes derivadas, utilizando la defunción de esta:

a. ( ) 4x12x82x3xdxd 324 −=+−

b. 322 x3

x2

x3

x2

dxd

+−=

−

c. 45

41

41

43

xx234x2x

dxd −−−

−=

+

d. 2

2

xac

xcxbxa

dxd

−=

++

e. 222

222

xaxa

xxay

+−=

+=

2. Comprobar cada una de las siguientes derivadas:

a. ( ) 23 6x32x3x4dxd

−=−+

b. ( ) 2435 15bt5at5btatdtd

−=−

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c. 672

zz7z

2z

dzd

−=

−

d. 31

31

32

34

2tt383t2t

dtd −

−=

−

e. t

ctbtas2++

= 2

t3ct2

bt2t

adtds

++−=

f. axaaxy +=

ax2xa

ax2a

dxdy

−=

g. 2θ1r −= 2θ1

1dθdr

−−=

h. ( )323t2f(t) −= ( )223t-2-18t(t)f' =

i. 3 9x4g(x) −= ( ) 3

29x4

3(x)g'−

−=

j. 3

2xbay

+=

2

23 xba

x6b

dxdy

+−=

k. xaxay

+−

= ( )2xa

2adxdy

+−=

l. x

xay22 +

= 222

2

xax

adxdy

+−=

m. cx1cx1y

+−

= ( ) 22xc1cx1

cdxdy

−+−=

n. 22

22

xaxay

−+

= ( ) 4422

2

xaxa

x2adxdy

−−=

o. bxaxy += bxa2

3bx2adxdy

++

=

p. 22 tats += 22

22

ta

2tadtds

+

+=

3. Obtener la función derivada de los funciones siguientes:

a. =+ 2)cos(6xdxd

b. =− 2x)sen(xdxd 2

c. =− 3)(xcosdxd 4

d. =+ )34xtan(dxd 3 x

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e. =

+

3-x3xcsc

dxd

f. =

+

+

1-x1xtan

1-x1xsec

dxd

g. ( ) =

+

53 4xxctandxd

h. ( )=+ xx 72tanxdxd 32

i. ( ) =+ 3xcscdxd

j. ( )=+ 7x4xsendxd 3

k. ( ) ( )x

xxf cos=

l. ( )

=

xxsenxg 1

m. ( ) ( )xsenxxf =

n. ( ) ( )( )2xctgxxg += 4. Obtener la tercera derivada de la función 5. Obtener y '''(x) , SI y = x4 - 2x2 + x – 5

6. Obtener y(4)(x) , SI y = 3 / (2x - 1)

7. Dada x2 + y2 = 1 ; Demuestre y'''(x) = - (1 / y3)

8. Obtener f (5)(x) , SI f(x) = cos (2x) – sen (2x).

9. Obtener u'''(v) , SI 2vvu −=

10. Dada x1/2 + y1/2 = 2 , demuestre que y ''' (x) = 1 / x3/2

11. En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el valor de dxdy

para el valor dado de x, y determinas la

ecuación de la recta tangente y la recta normal en dicho punto. a. 3x;x)(xy 32 =−=

b. 64x;xxy 3 =+=

c. 2x;4x9y 2 =+=

d. 2x;x1xy 32 =+=

e. 2x;x8xy 2 =+=

f. 2x;x2

2xy 2

2=

−+

=

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g. 21x;

12x2x5y =+−

=

12. Graficar las siguientes funciones, indicando sus puntos críticos y puntos de inflexión e indique la concavidad

de la función: a. xxxf 4)( 2 +=

b. xxxf += 2)(

c. 13)( 3 +−= xxxf

d. ( )xxxxf 123221)( 23 ++=

e. 211)(x

xf+

=

f. 22)( 24 +−= xxxf

g. 120325)( 35 −+−= xxxxf

h. xxxxf 1292)( 23 +−=

i. tttf 183)( 3 −=

j. 13246)( 234 ++−−= xxxxxf

k. 12634)( 23 +−−= xxxxf

l. 1

)( 2

2

+=

xxxf

m. 2)( −= xxxf

13. Un experimento indica que un cuerpo que cae descenderá aproximadamente 16t2 pies en t segundos.

a) ¿Cuánto caerá entre t = 0 y t = 1? b) ¿Cuánto caerá entre t = 1 y t = 2? c) ¿Cuál es su velocidad en t = 2? d) ¿Cuál es su velocidad instantánea cuando t = 3?

14. Un objeto viaja a lo largo de un recta de modo que su posición es f(t) = t2 + 1 metros después de t segundos.

a) ¿Cuál es su velocidad en t = 2? b) ¿Cuál es la ecuación de la velocidad?

15. El movimiento de una partícula a lo largo del eje x está expresado por la formula 18t6t2tf(t) 23 −−= , con f(t) en metros y t en segundos. Calcula el tiempo en que la partícula se detiene (v = 0).

16. El movimiento de una partícula a lo largo del eje x está expresado por la formula ( )tt31f(t) 3 −= , con x en metros y t

en minutos. Calcula la velocidad de la partícula cuando: a) t = 1. b) t = 0.

17. Una bola se lanza verticalmente hacia arriba desde el piso, con una velocidad inicial de 200 pies por segundo, la altura

de la bola, y, al término de t segundos es 216t200tf(t) −= . a) Halla su velocidad al término de 3 segundos. b) Determina el momento en que su velocidad es cero. c) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la bola? d) ¿Cuál es la velocidad de la bola en el momento en que toca el piso?

18. Si un proyectil se dispara hacia arriba, su altura sobre la superficie de la tierra en el tiempo t está expresada por la

función cuadrática cbtatf(t) 2 ++= , en la cual a, b y c son constantes determinadas por las condiciones del problema. Supón que un proyectil se dispara directamente hacia arriba desde un avión que vuela a una altura de 2000 pies, y que el proyectil tiene una velocidad inicial de 1000 pies por segundos. Si la aceleración del proyectil es de -32 pies por segundo por segundo por efecto de la gravedad:

a) Encuentra los valores de a, b y c. b) Encuentra la altura que alcanza el proyectil. c) Determina cuánto tiempo toma al proyectil llegar hasta el piso. d) Determina la velocidad del proyectil en el momento en que toca el piso.

19. Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x3 − 3x2 − 9x + 5 es paralela al eje OX.

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20. Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hallar el

punto de tangencia.

21. Buscar los puntos de la curva f(x) = x4 + 7x3 + 13x2 + x +1, para los cuales la tangente forma un ángulo de 45º con OX.

22. Dada la función f(x) = tg x, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el

origen, con el eje de abscisas.

23. Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax2 + bx + c, sabiendo que su gráfica pasa por (0, 3) y por (2, 1), y en este último punto su tangente tiene de pendiente 3.

24. La gráfica de la función y = ax2 + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13). siendo la tangente a la misma

en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de a, b y c.

25. Dada la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) (2, 3), y que las tangentes a ellas en los puntos de abscisa 1 y −2 son paralelas al ejes de abscisas.

26. La tasa de cambio de la carga eléctrica con respecto al tiempo se denomina corriente. Suponga que

tt31 3 + coulombs de carga fluye a través de un alambra en t segundo. Encuentra la corriente, en amperes

(coulombs por segundo) después de 3 segundos. ¿Cuándo se fundirá un fusible de 20 amperes en la línea? 27. Un negocio esta prosperando de tal manera que su ganancia total (cumulada) después de t años es 1000t2

dólares a. ¿Cual es su ganancia durante el tercer año (entre t = 2 y t = 3)? b. ¿Cuál es su tasa promedio de ganancia durante la primera mitad del tercer año, entre t = 2 y t =

2.5? (la tasa será en dólares por año). c. ¿Cuál fue la tasa instantánea de crecimiento en t = 2?

28. Una Ciudad es azotada por una epidemia de gripe asiática. Las autoridades estiman que t días después del

inicio de la epidemia el número de personas con la gripe está dada por p(t) = 120 t2 – t 3, cuando 0 ≤ t ≤ 4. ¿A qué tasa se expande la gripe en el instante t = 10, t = 20 y t = 40?

29. Una viajera espacial se mueve de izquierda a derecha a lo largo de la curva y = x2. Cuando ella apague los

motores, continuará viajando a lo largo de la recta tangente en el punto en que ella esté en ese momento. ¿En qué momento debe apagar los motores para que alcance el punto (4,15)

30. Una pelota rueda hacia abajo a la largo de un plano inclinado de modo que su distancia s desde su punto

de inicio después de t segundos es s = 4.5 t2 + 2t. ¿Cuándo su velocidad instantánea será de 30 pies por segundo?

31. La ecuación de un movimiento circular es: φ(t) = ½t². ¿Cuál es la velocidad y la aceleración angulares al

cabo de siete segundos?

32. Un observador se encuentra a 2000 m de la torre de lanzamiento de un cohete. Cuando éste despega verticalmente mide la variación del ángulo Φ(t) que forma la línea visual que le une con el cohete y la del suelo horizontal en función del tiempo transcurrido. Sabiendo que Φ'(t) = π/3, se pide:

33. Encuentra las pendientes de las rectas tangentes a la curva y = x2 -1 en los puntos en donde

2 1, 0, 1,- 2,- x = .

34. Encuentra la ecuación de la recta tangente a 1

1−

=x

y en (0,-1).

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35. Un experimento indica que un cuerpo que cae descenderá aproximadamente 16t2 pies en t segundos.

e) ¿Cuánto caerá entre t = 0 y t = 1? f) ¿Cuánto caerá entre t = 1 y t = 2? g) ¿Cuál es su velocidad promedio en el intervalo 2 ≤ t ≤ 3? h) ¿Cuál es su velocidad promedio en el intervalo 3 ≤ t ≤ 3.01? i) ¿Cuál es su velocidad instantánea cuando 3=t ?

36. Un objeto viaja a lo largo de un recta de modo que su posición s es s = t2 + 1 metros después de t

segundos. c) ¿Cuál es su velocidad promedio en el intervalo 2 ≤ t ≤ 3? d) ¿Cuál es su velocidad promedio en el intervalo 2 ≤ t ≤ 2.003? e) ¿Cuál es su velocidad promedio en el intervalo 2 ≤ t ≤ 2 + h?

37. Cierto cultivo de bacterias crece de modo que tiene una masa de 121 2 +t gramos después de t segundos

a) ¿Cuánto crecerá durante el intervalo 2 ≤ t ≤ 2.01? b) ¿Cuál es la tasa promedio de crecimiento durante el intervalo 2 ≤ t ≤ 2.01?

38. Calcula el área del triángulo que forman la tangente y la normal a la curva 26 xxy −= en el punto (5,5) y

el eje x. 39. Halla el área del triángulo que forman la tangente y la normal a la curva xy −= 92 en el punto (5,2) y el

eje y. 40. Halla la ecuación de la normal a la parábola 25 xxy += que forma un ángulo de 45° con el eje de las x. 41. Halla las ecuaciones de las tangentes al círculo 5822 =+ yx que son paralelas a la recta 1973 =− yx .

42. La ecuación de la trayectoria de una pelota es 100

2xxy −= , siendo la unidad de distancia un metro, el eje

de las x horizontal y el origen el punto desde el cual se lanza la pelota. a) ¿Con que ángulo se lanza la pelota? b) ¿Con que ángulo dará la pelota contra una pared vertical, situada a 75 m del punto de partida? c) Si la pelota cae en una azotea horizontal de 16 m de alto, ¿con que ángulo dará en la azotea? d) Si la pelota se ha lanzado desde la azotea de un edificio de 24 m de alto, ¿con que ángulo dará al

suelo? e) Si se ha lanzado desde la cumbre de una cuesta, inclinada hacia abajo en ángulo de 45°, ¿con que

ángulo dará en el suelo?

43. El movimiento de una partícula a lo largo del eje x está expresado por la formula ( )ttx −= 3

31

, con x en

metros y t en minutos. Calcula la velocidad de la partícula cuando: c) t = 1. d) t = 0.

44. Una bola se lanza verticalmente hacia arriba desde el piso, con una velocidad inicial de 200 pies por

segundo, la altura de la bola, y, al término de t segundos es 216t200ty −= . e) Halla su velocidad al término de 3 segundos. f) Determina el momento en que su velocidad es cero. g) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la bola? h) ¿Cuál es la velocidad de la bola en el momento en que toca el piso?

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45. Si un proyectil se dispara hacia arriba, su altura sobre la superficie de la tierra en el tiempo t está expresada

por la función cuadrática cbtats(t) 2 ++= , en la cual a, b y c son constantes determinadas por las condiciones del problema. Supón que un proyectil se dispara directamente hacia arriba desde un avión que vuela a una altura de 2000 pies, y que el proyectil tiene una velocidad inicial de 1000 pies por segundos. Si la aceleración del proyectil es de -32 pies por segundo por segundo por efecto de la gravedad:

e) Encuentra los valores de a, b y c. f) Encuentra la altura que alcanza el proyectil. g) Determina cuánto tiempo toma al proyectil llegar hasta el piso. h) Determina la velocidad del proyectil en el momento en que toca el piso.

46. Una compañía de transporte tiene un costo promedio por reparaciones de $ 1000 por camión y un costo de

mantenimiento de rutina de: 0.02x10xM(x) 6

2+= , en donde x es el intervalo, en millas, entre reparaciones

generales del motor. El costo total de mantenimiento del motor, en dólares por milla, por tanto está expresado, por:

610x0.02x

x1000C(x) ++=

a) Halla la rapidez de variación de los costos totales de mantenimiento del motor con respecto al intervalo entre reparaciones generales del mismo.

b) Compara las razones encontradas en (a) para x = 50,000 y x = 100,000. c) ¿Qué intervalo minimiza el costo total de mantenimiento del motor por milla?

47. Supón que un cultivo bacteriano está creciendo en tal forma que hay 10t miligramos del cultivo después de t

horas de crecimiento. a) Halla la rapidez de crecimiento de este cultivo en el tiempo t = 2. b) Calcula la rapidez promedio de crecimiento de t = 2 a t = 2.1 y compárala con la respuesta anterior.

48. Si el poder adquisitivo del dólar está decreciendo a la tasa del 4 por ciento anualmente a causa de la

inflación, ¿después de cuánto tiempo el dólar llegará a valer sólo 50 centavos de dólar? 49. Dada la función p(t):

t 0 1 2 3 4 5

p(t) 12 14 17 20 31 55

a) Traza la gráfica de p’(t).

b) Traza la gráfica de p’’(t)

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UNIDAD 3 Resuelve problemas referentes a la derivada de funciones trascendentes y el uso de la diferencial, en situaciones de su entorno académico. RESULTADO DE APRENDIZAJE PROPUESTO: 1. Obtiene derivadas de funciones trascendentes, a partir de la definición de derivada y el uso del formulario,

en situaciones académicas. 2. Resuelve problemas de optimización con funciones trascendentes, en situaciones académicas. 3. Resuelve problemas con el uso de la diferencial, en el entorno académico PAGINAS WEB DE CONSULTA:

1. Derivadas, definición y formulas. http://www.vadenumeros.es/primero/definicion-y-tabla-de-derivadas.htm http://www.vadenumeros.es/primero/derivada-potencial-logaritmica.htm http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-trigonometricas.htm

2. Aplicación

http://www.vadenumeros.es/primero/tangente-en-un-punto-derivada.htm http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-maximos-y-minimos.htm http://www.vadenumeros.es/primero/grafica-polinomicas-racionales.htm

3. Derivadas, ejercicios resueltos.

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/ejercios_resueltos.htm

4. Derivadas (Vitutor) http://www.vitutor.com/fun/4/b_1.html

5. Razón de cambio.

http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Razon/FTRazon.pdf http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node11.html

6. Máximos y mínimos. http://www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.html# http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node8.html http://canek.uam.mx/Calculo1/Teoria/Aplicaciones/FTMaximos.pdf

EJERCICIOS 1. Encuentra la derivada de:

a)

+= 6)1(

ln)(x

xexfx

b) 1+= xey

c) xexy ln35 −=

d) y = 12

1+xe

e) y = (3x2) ex+2

f) y = xe

g) y = 2

5 xe

h) y = ln(3x)

i) y = ln(1+2x2)

j) y = )6ln(

5x

x

k) y = 5x2 ln(5x+2)

l) y = ln

+121

x

m) y = ln

+−

11

2

2

xx

n) y = ln(x2 12 +x )

UNIDAD DE APRENDIZAJE DE CÁLCULO DIFERENCIAL Página 13

o) y = ln(1 + 3x2)5

p) y = 105x

q) y = 7-x

r) y = 2x-2

s) y = 5x+5

t) y = ( ) 1622+x

x

u) y = (3x2) 3x+2

v) y = x37

w) y = ( )x535

x) y = log (7x)

y) y = log2 (5+2x2)

z) y = log5 (x-2) 5x3

aa) y = )10log(

5 2

xx

bb) y = log3(7 + x2)3

cc) y = log

+−213

2

2

xx

dd) y = log2

+ 22

x

ee) y = log5(x5 52 +x )

ff) y = xe10

gg) y = log

−xe

x2

2 13

hh) y = 5x+log (5x)

ii) y = x5x

jj) y = (1+x2)-x

kk) y = x√x

ll) y = xxe )1(1

+

mm)

=

3cos xarcy

nn)

=

xarcy 3sec

oo) ( )6sin −= xarcy

pp) ( )xxarcy tan=

qq) ( )23csc2 −= xarcxy

rr) ( )

xxctgarcy 2

=

ss) ( )( )3tanln −= xarcy

tt) ( )xarcey x −= 4cos

uu) ( )xxarcy 3sin 2 +=

2. Obtener la recta tangente de las siguientes derivadas.

a. xy = 4 en (1,4) b. x2y + xy2 = 12 en (3,1) c. x2 - y2 = 3 en (2,1) d. x2 + y2 = 100 en (6,-8) e. (2xy / π) + sen y = 2 en (1 , π/2) f. x5 + xy3 + x2y + y5 = 4 en (1,1) g. 2y3 + 4xy + x2 = 7 en (1,1) h. x + tan (xy) = 2 en (1 , π/4)

3. Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln (tg 2x) en el punto de abscisa: x = π/8. 4. ¿En qué punto de la curva y = ln x, la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (1, 0) y (e, 1)? 5. ¿Qué ángulos deben forma los lados iguales de un triangulo isósceles para que su área sea máxima? 6. De todos los triángulos rectángulos inscritos en un mismo circulo, ¿cuál es el que tiene área máxima? 7. De todos los rectángulos que tienen el mismo perímetro, ¿cuál es el que tiene área máxima?

UNIDAD DE APRENDIZAJE DE CÁLCULO DIFERENCIAL Página 14

8. De todos los triángulos inscritos en un mismo circulo, ¿cuál es el que tiene área máxima? 9. De todos los triángulos circunscritos en un círculo dado, ¿cuál es el de mínimo perímetro? 10. ¿Cuál es el rectángulo de mayor área inscrito en una circunferencia? 11. En una cuchilla, con las dimensiones indicadas en la figura, se quiere construir un edificio de planta

rectángulos, ocupando la mayor superficie posible y dejando el resto del terreno para jardines, ¿cuáles deben ser las dimensiones de la planta del edificio?

12. La casa de un granjero esta a 150 m de un camino recto, Su buzón está sujeto al granero, a 100 m de la

casa y a 90 m del camino. Cada lunes deja la basura a la orilla del camino y después pasa a recoger el correo. ¿Qué punto del camino hace que su recorrido sea el mar corto?

13. Erika tiene 200 pies de valla, con la cual planea encerrar un patio rectángulos para su perro. Si desea

encerrar el área máxima, ¿de qué dimensiones deben ser? 14. Un pedazo de alambre de 16 pulgadas de largo, se corta en dos pedazos; una pieza se dobla para forma un

cuadrado y la otra se dobla para formar un circulo. ¿En dónde debe hacerse la corte para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea mínima?, ¿máxima? (Cabe la posibilidad de no cortar).

15. Un granjero tiene 80 pies de alambre con la cual planea encerrar un corral rectangular a lo largo de un lado

de su estado de 100 pies de largo, como se muestra en la figura (el lado a lo largo del establo no necesita alambre). ¿Cuáles son las dimensiones del corral que tiene área máxima?

16. El granjero del problema anterior, decide hacer tres corrales idénticos con sus 80 pies de alambre, como se

ve en la figura. ¿Qué dimensiones del área total encerrada hacen que el área total de los corrales sea tan grande como sea posible?

17. Según la información que proporciona la gráfica de la función derivada de y = f(x), haz un análisis de la

función y = f(x), es decir, establece los intervalos en donde y = f(x) es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo, en donde tiene sus extremos relativos y sus puntos de inflexión.

Establo

Corrales

Establo

Corral

80 metros

60 metros

y

x

UNIDAD DE APRENDIZAJE DE CÁLCULO DIFERENCIAL Página 15

a b cd

e

y = f ’(x)

18. De una función f se sabe que la grafica de su función derivada, f ’, es:

−3 −2 −1 1 2 3

6

−5

−4

−3

−2

−1

1

y = f ' (x)

a) Determina de forma razonada los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Di cuáles son los puntos críticos de f y determina de forma razonada si en cada uno de ellos la

función f alcanza un máximo o un mínimo relativo. 19. Un lote se encuentra en una esquina. En el lote hay una fuente a 27 m de una de las calles y a 64 m de la

otra. Calcula la longitud mínima de la trayectoria rectilínea que pasa por la fuente y corta las calles que forman la esquina.

20. Considera un triángulo isósceles de base 10 y de altura 6, inscribe en él un rectángulo cuya base está

situada sobre la base del triángulo. Encuentra las dimensiones del rectángulo de área máxima. 21. Se tiene que construir una caja de base cuadrada cuya capacidad sea 8 dm3. Calcula las dimensiones de la

caja para que el material que se utiliza sea mínimo. Calcula las dimensiones de la caja si la base es un triángulo equilátero.

22. Los frenos de un automóvil pueden producir una desaceleración constante de 24 m/s2. Si el automóvil debe

detenerse antes de 20 m después de que se han aplicado los frenos, ¿cuál es la velocidad máxima a la que puede ir el automóvil?

23. Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba con una velocidad de 130 metros por segundo. La altura

sobre el suelo t segundos después del disparo esta dado por ( ) 29.4 tts −= . a) ¿Cuánto tiempo tarda el proyectil en alcanzar la altura máxima? b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil? c) ¿Cuál es la aceleración en un tiempo t cualquiera?

24. El costo total de producción y de cierto artículo depende del número de artículos x . Los economistas

llaman costo marginal a la razón de cambio del costo con respecto al número de artículos, en cada nivel de producción. Una función de costo está dada por 200155 2 ++= xxy , ¿cuál es el costo total cuando

15=x ?, ¿cuál es el costo marginal cuando 15=x ? ¿cuánto cuesta producir el artículo número 16?

UNIDAD DE APRENDIZAJE DE CÁLCULO DIFERENCIAL Página 16

25. Un niño usa una pajilla para beber agua de un vaso cónico (con el vértice hacia abajo) a razón de 3 cm3/seg. Si la altura del vaso es de 10 cm y si el diámetro de la parte superior es de 6 cm,

a. Con qué rapidez baja el nivel del agua cuando la profundidad es de 5 cm? b. Cuál es la variación del radio en ese mismo instante?

26. Suponga que un incendio forestal se propaga en la forma de un círculo cuyo radio cambia a razón de 1.8

m/min. ¿A qué razón está creciendo el área de la región incendiada cuando el radio alcanza 60 m? 27. Dos lados de un triangulo miden 4 m y 5 m y el ángulo entre ellos aumenta con una rapidez de 0,06

rad/seg. Calcule la rapidez con que el área y la altura del triángulo se incrementan cuando el ángulo entre los lados es de π/3.

28. Un globo asciende a 5 m/seg desde un punto en el suelo que dista 30 m de un observador. Calcular el ritmo

de cambio del ángulo de elevación cuando el globo está a una altura de 17,32 metros. 29. Sea l la longitud de la diagonal de un rectángulo cuyos lados tienen longitudes x & y respectivamente. Si x

aumenta con una rapidez de ½ m/s y si y disminuye con una rapidez de ¼ m/s, a. ¿A qué razón está cambiando la longitud de la diagonal cuando x = 3 m & y = 4 m? b. ¿La diagonal está aumentando o disminuyendo en ese instante?

30. Dos automóviles empiezan a moverse a partir del mismo punto con velocidad constante. Uno viaja hacia el

sur a 60 km/h y el otro hacia al oeste a 25 km/h ¿Con qué razón aumenta la distancia entre los dos automóviles dos horas más tarde?

31. Un avión vuela con velocidad constante, a una altura de 3000 m, en una trayectoria recta que lo llevará

directamente sobre un observador en tierra. En un instante dado, el observador advierte que el ángulo de elevación del aeroplano es de π/3 radianes y aumenta a razón de 1/60 radianes por segundo. Determine la velocidad del avión.

32. Un controlador aéreo sitúa 2 aviones a la misma altitud, convergiendo en su vuelo hacia un mismo punto de

encuentro (ver figura). Uno de ellos (avión 1) está a 150 millas de ese punto y vuela a 450 millas por hora. El otro (avión 2) está a 200 millas del punto y vuela a 600 millas por hora.

a. ¿A qué velocidad decrece la distancia entre los aviones? b. ¿De cuánto tiempo dispone el controlador para situarlos en trayectorias diferentes?

33. Una placa en forma de triangulo equilátero se expande con el tiempo. Cada lado aumenta a razón

constante de 2 cm/h. a. ¿Con qué rapidez crece el área cuando cada lado mide 8 cm?

34. Un anuncio publicitario tiene forma de un cilindro circular recto. Determinar la variación de su volumen en el

proceso de inflado, sabiendo que la altura permanece constante. 35. Un globo está a 100 metros sobre el suelo y se eleva verticalmente a una razón constante de 4 m/seg. Un

automóvil pasa por debajo viajando por una carretera recta a razón constante de 60 m/seg. ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre el globo y el automóvil ½ segundo después?

36. Un derrame de petróleo adopta una forma circular y tiene un espesor de 1/50 pie. Si el petróleo se está

escapando a razón de 40 pies3/min, ¿a qué razón está aumentando el radio de la mancha de petróleo cuando el radio es de 50 pies?

Avión 1

Avión 2

d(t)

x(t)

y(t)

UNIDAD DE APRENDIZAJE DE CÁLCULO DIFERENCIAL Página 17

37. Una escalera de 4 metros se apoya contra una casa y su base comienza a resbalar. Cuando la base está a 3,7 metros de la casa, la base se aleja a razón de 1,5 m/seg.

a. ¿Cuál es la razón de cambio de la distancia entre el suelo y la parte superior de la escalera sobre el muro en ese instante?

b. ¿Cuál es la razón de cambio del área del triángulo formado por la escalera, la pared y el suelo en ese instante?

c. ¿Cuál es la razón de cambio del ángulo θ entre la escalera y el suelo en ese instante?

38. En una reacción química se combinan dos estancias distintas para formar una tercera sustancia. La

cantidad, y gramos, que se forma de la tercera sustancia después de x minutos es 2318 xxy −= . Calcula, e interpreta, la razón, en gramos por cada minuto, a la que se forma la tercera sustancia después de:

a) 2 minutos. b) 3 minutos. c) 4 minutos.

39. Un avión vuela con velocidad constante de 822 km /h y con una inclinación de 43° hacia arriba. Halla la

rapidez con que se aleja el avión de una torre de control 1 minuto después de haber estado perpendicularmente a ella 3.5 km arriba.

40. Encuentra el aumento de área de una burbuja de jabón cuando su radio aumenta de 7 centímetros a 7.025

centímetros usando diferenciales y calcula el error con respecto al valor exacto. 41. Una arista de un cubo se midió como 11.4 cm con un posible error de ±0.05 cm.

a. Evalúa el volumen del cubo y proporciona una estimación para el posible error en el volumen. b. Evalúa el área superficial del cubo y proporciona una estimación para el posible error en esta área.

42. El periodo de un péndulo simple, de longitud L metros, está dado por gL2πT = segundos. La aceleración

debida a la gravedad en la superficie de la Tierra, g, es de 2sm9.8 , Si el péndulo es el de un reloj que se

mantiene sincronizado cuando L = 1.2 metros, ¿cuánto tiempo se adelantará el reloj en 24 horas, si la longitud del péndulo se disminuye a 1.164 metros?

43. Un globo se está inflando introduciendo aire a razón de 100 cm3/s. ¿A qué razón crece el radio del globo

cuando su diámetro es de 50 cm? 44. Un depósito de agua tiene la forma de un cono circular invertido con un radio de la boca de 2 m y una altura

de 4 m. Se está introduciendo agua al depósito a razón de 2 m3/min. Calcula la razón a la que el nivel del agua sube cuando la profundidad del agua es de 1, 2, 3 y p metros.

45. La demanda de un monopolista es p = 200 – 0.015x, donde p es el precio y x el número de artículos

demandados, y la ecuación de sus costos tiene la forma C(x) = 10 000 +50x. a) Halla la función del Ingreso Total. b) Halla la función de Utilidad. c) Halla el valor de x que maximiza la utilidad. d) Determina el precio correspondiente.

UNIDAD DE APRENDIZAJE DE CÁLCULO DIFERENCIAL Página 18

e) Dibuja la gráfica de cantidad vs. precio. 46. Un fabricante puede producir cafeteras a un costo de 25,000 pesos por cada unidad y estima que, si se

venden a p miles de pesos cada una, los consumidores comprarán 2,300e-0.024p cafeteras por semana. Los costos fijos semanales son de 8 millones de pesos.

a) Calcula el precio por cafetera que maximiza las utilidades semanales. b) Encuentra las utilidades semanales y la demanda correspondientes.

47. Según un modelo basado en el supuesto de que la Tierra no puede soportar más de 40 mil millones de

personas, la población mundial, en miles de millones de personas, t años después de 1960 es

aproximadamente de ( ) tetp 08.0121

40−+

= .

a) Estima la población en 2010, 2020, 2050 y 2100. b) Calcula el ritmo de crecimiento, absoluto y relativo, en las mismas fechas. c) Determina el instante en que el ritmo de crecimiento es máximo.

48. Una máquina industrial se deprecia de tal manera que, t años después de que se adquirió, su valor es

( ) tetv 4.030 −= millones de pesos. a) ¿A qué ritmo se deprecia al cabo de cada uno de los primeros diez años? b) Traza las gráficas del valor de la máquina y de su ritmo de depreciación.

49. Dada la función 2)(X

xexf = . a) Traza la gráfica. b) Encuentra su punto de inflexión. c) Los intervalos dónde es creciente y decreciente. d) Los extremos absolutos en el intervalo [ ]2,4−

50. Un lago se encuentra contaminado con bacterias. Se somete a un tratamiento con un producto químico

antibacteriano. Después de x días de tratamiento, el número y de bacterias por cada ml de agua es

aproximadamente 3012

ln12

20 +

−=

xxy en el intervalo 151 ≤≤ x .

Encuentra: a) El instante en que el número de bacterias por cada ml de agua es mínimo. b) El número mínimo de bacterias por cada ml de agua. c) El instante en que el número de bacterias es máximo. d) El número máximo de bacterias por cada ml de agua.