GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 16

UNIDAD: GEOMETRÍA

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Y ELEMENTOS SECUNDARIOS

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

DEFINICIÓN

Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices,

de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean de igual medida.

EJEMPLOS

1. En la figura 1, LMN HIJ, entonces los ángulos correspondientes a los MNL y NML,

respectivamente, son

A) JIH y IJH

B) IJH y JIH

C) IHJ y JIH

D) IJH y IHJ

E) HIJ y HJI

2. Los triángulos ABC y DEF de la figura 2, son escalenos y rectángulos en B y en F,

respectivamente. Si ABC DFE, entonces ¿cuál de las opciones siguientes es

verdadera?

A) BC DF

B) AC FE

C) ABC = FDE

D) CAB = EDF

E) DE AB

R

P Q A

C

B

L

M

N

J

H

I

fig. 1

A

C B

D

F

E fig. 2

AB PQ

AC PR

CB RQ

A P

B Q

C R

ABC PQR

C u r s o : Matemática

Material N° 16

2

3. Los triángulos PQR y TNM de la figura 3, son escalenos. Si PQR TNM, entonces

¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA?

A) PQ TN

B) PR TM

C) QR NM

D) QRP NMT

E) PQR TMN

4. En la figura 4, si CAB PRQ, entonces ¿cuál es el valor de x?

A) 4

B) 7

C) 12

D) 15

E) Falta información

5. Dada la figura 5, se cumple que el ABC PQR con AB = 3x + 2 y PQ = 5x – 8,

entonces ¿cuál es el valor de la medida del trazo PQ ?

A) 5

B) 10

C) 15

D) 17

E) 18

6. Sean los triángulos RST y XWZ, de la figura 6, isósceles y congruentes en ese orden,

cuyas bases son RS y XW , respectivamente, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones

es (son) verdadera(s)?

I) TSR ZXW

II) STR ZXW

III) SRT WZX

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo II y III

P A

B

C R Q

fig. 4

7

10

15

x + 3

U

T

A N

D

G 36º

76º

f

i

g

.

5

R

P Q

fig. 3 M

T

N

R

S T

W Z

X

fig. 6

C

B A

P Q

R

fig. 5

3

POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

EJEMPLOS

1. Las siguientes figuras están formadas por dos triángulos equiláteros. ¿En cuál(es) de

ellas se puede asegurar que los triángulos son congruentes?

I) II) III)

A) Solo en I

B) Solo en II

C) Solo en III

D) Solo en I y II

E) Solo en II y III

ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen

respectivamente iguales un lado y los dos ángulos

adyacentes a ese lado.

LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen

dos lados y el ángulo comprendido entre ellos

respectivamente iguales.

LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus

tres lados respectivamente iguales.

LLA>: Dos triángulos son congruentes cuando

tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de

esos lados respectivamente iguales.

c

C

B A

c’

C’

B’ A’

C

B A c

b a

c’

C’

B’ A’

b‘ a’

c’

C’

B’ A’

C

B A c

b’ b

C

B A c c’

C’

B’ A’

b b’ b < c

4

2. ¿Qué pareja(s) de triángulo(s) es (son) congruente(s)?

I) II) III)

A) Solo II

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

3. En la figura 1, P, R, T y Q, R, S son colineales, para que el triángulo PQR sea

congruente con el triángulo STR en ese orden, debe cumplirse que

A) PRQ SRT

B) PR = RS y PQ = ST

C) QR = RT y PR = RS

D) QPR TSR

E) PQ = ST

4. En la figura 2, se tiene que PS = QS = RS, PQ = QR y SQR = 2 QSR, entonces el

x mide

A) 144º

B) 108º

C) 90º

D) 72º

E) 36º

5. En la figura 3, G, C y F son colineales, BC CD y AC CE y BAC DEC, ¿cuál(es)

de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) GC FC

II) BAC DEC

III) AB // DE

A) Solo I

B) Solo I y II

C) Solo I y III

D) Solo II y III

E) I, II y III

15

10º 150º

15 20º

150º

5

7 30º

5

7 30º

115º

12

30º

150º

12

65º

A

B

G F

E

D

C

fig.3

fig. 1

P

Q

R

S

T

P

Q

R

S

x

fig.2

5

H = ORTOCENTRO (punto de intersección

de las alturas)

H = ORTOCENTRO coincide con el vértice recto del ABC

A = H

H = ORTOCENTRO está fuera del ABC

obtusángulo

ABC Acutángulo

ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO

ALTURA: Es el segmento perpendicular que va desde un vértice a la línea que contiene al

lado opuesto.

EJEMPLOS

1. En el MNO de la figura 1, OP , MQ y RN son alturas. El ángulo MNO mide 40º,

entonces el ángulo PHQ mide

A) 120º

B) 130º

C) 140º

D) 150º

E) ninguno de los anteriores.

2. En el triángulo SRT de la figura 2, TH es altura, = 100º y β = 140º. ¿Cuál es la

medida del ángulo x?

A) 20º

B) 30º

C) 50º

D) 60º

E) 70º

ABC Obtusángulo

B A

C

E

D

F

H

C

A B

H

F E

D

fig. 2

S H R

T

β

x

ABC Rectángulo

A = H B

C

E

fig. 1

M

N

O

H

P

Q

R

6

3. En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 3, CD es altura. ¿Cuál es la medida del

ángulo x?

A) 140º

B) 135º

C) 125º

D) 115º

E) 100º

4. En la figura 4, ABC rectángulo en C y BDE isósceles de base BD . ¿Cuál es el valor del

DBC?

A) 40º

B) 35º

C) 30º

D) 20º

E) 15º

5. En el triángulo RCQ de la figura 5, H es el ortocentro. Si RQC = 66º, entonces ¿cuánto

mide el RHC?

A) 94º

B) 114º

C) 118º

D) 123º

E) 124º

6. El triángulo GOL de la figura 6, es isósceles de base GO , IO y JG son alturas y

OLG = 40º. ¿Cuánto mide el IHJ?

A) 140º

B) 120º

C) 100º

D) 70º

E) 50º

fig. 5

R Q

C

H

O

L

G

J

H

I

40º fig. 6

30°

fig. 4

A E

D C

B

A C

B

D

E

fig. 3

40°

x 25°

7

BISECTRIZ: Es el trazo que divide a un ángulo en dos ángulos congruentes.

OBSERVACIÓN: El incentro equidista de los lados del triángulo ID IE IF

EJEMPLOS

1. En la figura 1, ACB escaleno y CD es bisectriz del ángulo ACB. ¿Cuál es la medida del

ángulo ACB?

A) 10º

B) 20º

C) 50º

D) 60º

E) 110º

2. Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus bisectrices, entonces se forman dos

triángulos

A) isósceles congruentes.

B) acutángulos congruentes.

C) isósceles acutángulos congruentes.

D) escalenos rectángulos congruentes.

E) isósceles rectángulos congruentes.

3. En el triángulo ABC, rectángulo en A, como muestra la figura 2, AE y CD son

bisectrices de los ángulos CAB y ACB respectivamente, entonces el ángulo x mide

A) 144º

B) 154º

C) 116º

D) 64º

E) 36º

fig. 1

60º

A C

B

70º

D

I = INCENTRO (punto de intersección de las bisectrices)

A B

C

I

F E

D

A

x

fig. 2

128°

D B

E

C

8

4. En el triángulo ABC de la figura 3, I es el incentro. Si AIB = 100º, ¿cuánto mide el

ACB?

A) 20º

B) 40º

C) 50º

D) 80º

E) Faltan datos para determinarlo

5. En el ABC, isósceles de base AB de la figura 4, el trazo DC es bisectriz del ACB. Si

CAB = 55º, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?

A) 40º

B) 60º

C) 75º

D) 90º

E) 105º

6. En el RST de la figura 5. Si TH es altura, HP y SP son bisectrices del SHT y QST

respectivamente, entonces la medida del ángulo HPS es

A) 75º

B) 55º

C) 45º

D) 30º

E) 25º

fig. 3

A B

I

C

100°

A C

B

55º

fig. 4

D x

R S

T

fig. 5

H

P

60º

Q

9

A D

F

B

C

G E

Transversal de gravedad: Es el trazo que une el vértice con el punto medio del lado

opuesto. G es centro de gravedad (punto de intersección de estas)

CG AG BG 2

= = =GD GE GF 1

EJEMPLOS

1. En el triángulo de la figura 1, CE es transversal de gravedad y CE BE . La medida del

ángulo BCA es

A) 40º

B) 70º

C) 80º

D) 90º

E) no se puede calcular.

2. En el ABC de la figura 2, si CM es transversal de gravedad y BCM = MBC = 30º,

entonces el BCA mide

A) 120º

B) 100º

C) 90º

D) 80º

E) 60º

B C

A

E

70º

fig. 1

ABC es rectángulo

en C y CD es

transversal de gravedad, entonces:

AD = BD = DC A B

C

D

C

A B

fig. 2

M

10

3. En el triángulo ABC, rectángulo en C de la figura 3, el trazo CD es transversal de

gravedad. Si CAD = 50º, entonces el ángulo DCB mide

A) 20º

B) 25º

C) 30º

D) 40º

E) 5º

4. En figura 4, AE y BD son transversales de gravedad del ABC. Si AE = 18 cm y

BD = 15 cm, entonces DG + AG =

A) 22 cm

B) 17 cm

C) 16 cm

D) 24 cm

E) 11 cm

5. En el triángulo ABC de la figura 5, D, E y F son puntos medios, si BP = 8 cm,

DP = 3 cm, AP = 10 cm, entonces CD + EP + FP =

A) 24 cm

B) 20 cm

C) 21 cm

D) 18 cm

E) 15 cm

C

A B

fig. 3

D

A B

C

E F

D

P

fig. 5

A fig. 4

B

E D

G

C

11

SIMETRAL: Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del

triángulo.

OBSERVACIÓN: El circuncentro equidista de los vértices del triángulo: AO OC OB

EJEMPLOS

1. En el MNP de la figura 1, RQ es simetral del trazo MN , si MQ NQ , la medida del x

es

A) 15º

B) 70º

C) 40º

D) 50º

E) 90º

2. En el MNO de la figura 2, EA y FB son simetrales, el ángulo OMN mide 40º y el

ángulo MNO mide 80º, entonces el ángulo ACB mide

A) 140º

B) 130º

C) 120º

D) 110º

E) 100º

3. En la figura 3, el punto O es el circuncentro del ABC. Si OAB = 20º y COB = 70º,

entonces la medida del x es

A) 10º

B) 15º

C) 18º

D) 20º

E) 25º

x

40º

M N

P fig. 1

R

Q

M

N

O

A B

C

fig. 2 E

F

A B

C

O

fig. 3

20°

70°

x

O = CIRCUNCENTRO (punto de intersección de las simetrales)

A B

C

O

12

MEDIANA: Es el segmento que une los puntos medios de cada lado del triángulo.

OBSERVACIONES

FE // AB y AB = 2 · FE

FD // BC y BC = 2 · FD

DE // AC y AC = 2 · DE

EJEMPLOS

1. En el triángulo PQR de la figura 1, PRQ = 80º y DE es mediana. ¿Cuánto mide el x?

A) 35º

B) 45º

C) 50º

D) 55º

E) 60º

2. En el triángulo ABC de la figura 2, MN , NO y MO son medianas, entonces la suma de

las medidas de los ángulos MON y ONM es

A) 140º

B) 135º

C) 130º

D) 125º

E) 120º

ADF DBE FEC EFD

A D B

F E

C

fig. 1

55º x

P D

E

Q

R

O A

B

C

N M

75º 50º

fig. 2

13

3. En el ABC de la figura 3, los puntos D, E y F son puntos medios de los lados del

triángulo, entonces ¿cuál de los siguientes opciones corresponde al ángulo que es

congruente, con el FEC?

A) FED

B) EFD

C) FDE

D) BAC

E) BDE

4. Si en el triángulo DEF rectángulo en F, como muestra la figura 4, MN es mediana.

¿Cuánto mide el ángulo NMD?

A) 40º

B) 100º

C) 120º

D) 130º

E) 140º

5. En la figura 5, el trazo DE es mediana del ABC y β – = 60º, entonces el valor del

ángulo x es

A) 150º

B) 130º

C) 100º

D) 90º

E) 70º

D A

C

B

E F

fig. 3

E D

40°

fig. 4

N M

F

fig. 5 x

150º A

B E

D

C

14

CD = hc = tc = b = sc

AC = BC

AB BC

ALGUNOS TEOREMAS REFERENTES A UN TRIÁNGULO ISÓSCELES Y/O EQUILÁTERO

En todo triángulo isósceles no equilátero coinciden los elementos secundarios

correspondientes al lado distinto.

En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a

cualquier lado. Además, coinciden los puntos singulares.

EJEMPLOS

1. En un triángulo isósceles ABC, de base AB , se traza la altura hc correspondiente al

vértice C. Si 2hc = AB, entonces se forman dos triángulos

A) equilátero congruentes.

B) escalenos rectángulos congruentes.

C) isósceles rectángulos congruentes.

D) acutángulos congruentes.

E) escalenos no congruentes.

2. En el triángulo equilátero ABC de la figura 1, E es el punto medio del trazo AB y BD es

bisectriz del ángulo ABC. ¿Cuánto vale el suplemento de (x + y)?

A) 150º

B) 120º

C) 90º

D) 60º

E) 30º

A

B D

C

A D B

F E

C

G 30°

30°

30° 30°

30°

30°

fig. 1

A E B

C

D

x

y

15

3. En el ABC de la figura 2, AD es transversal gravedad y CAD BAD. Entonces, la

medida del ángulo ADB es

A) 110º

B) 100º

C) 90º

D) 80º

E) 60º

4. El triángulo ABC de la figura 3, es isósceles de base AB y CD AB entonces,

¿cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es (son) congruentes?

I) ADE BDE

II) AEC BEC

III) ADC BDC

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

5. En la figura 4, AP es bisectriz del CAB y el triángulo ABC es isósceles de base BC .

¿Cuál es la medida del CAB?

A) 45º

B) 60º

C) 65,5º

D) 75,5º

E) 90º

6. El ABC es isósceles de base AB (fig. 5). Si se trazan las alturas AD y BE , ¿cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) BEC ADC

II) ADB ADC

III) BAE ABD

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo I y III

C

E

A B

D

fig. 5

fig. 3

A D B

E

C

A B

C

D

fig. 2

fig. 4

A B

5

3

D

C

P

16

RESPUESTAS

DMQMA16

Ejemplos Págs. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 y 2 B D E C D A

3 y 4 C D C D E

5 y 6 C B D C B A

7 y 8 B D C A D D

9 y 10 D C D B D

11 D C B

12 y 13 B C B D D

14 y 15 C E C E A E

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