6 - Variogramas Modelos

11

Ing. Roberto Bruno - [email protected] - Consultor Internacional Intercade

GEOESTADISTICA MINERAGEOESTADISTICA MINERAIng. ROBERTO BRUNO - [email protected]

Consultor INTERCADEJunio 2008

22


VARIOGRAMAS MODELOSVARIOGRAMAS MODELOS

Las Propiedades• La Modelización.

• Algunos modelos.

• La anisotropía.

33


Meseta y alcance

• Alcance: C(h) = 0 h > a• Alcance convencional : C(h) < e h > a• Meseta: C(h=0) ⇒ g(h) = C(0)

VARIOGRAMAS MODELOSLas Propiedades


44


Ejemplos de variogramas con alcance y meseta

• Variograma experimental de la saturación de "olio" en un yacimiento de idrocarboneto.(Mining Geostatistics di Journel & Huijsbregts, pag 237).



55


Ejemplos ...

Variograma experimental de la variable Cu en un yacimiento del Cile (Journel & Huijbregts, 1978, "Mining Geotatististics")

Variograma de conducibilidad eléctricanum solo en Israel. (de ”Disjunctive Kriging in Agriculture ”, de R. Webster and Oliver”, M.Armstrong(ed.)



66


Ejemplos …

• Comparación entre variogramas de variable intensidad de imagenes de chapas de roca ornamental (“serizzo antigorio”) pulido y abujardado(tesis de E.Paletta A.A 2003-2004))

variogramma sa lev 120

0

100

200

300

400

500

600

0 100 200 300 400 500

0ｰ45ｰ90ｰ135ｰ

variogramma sa boc1

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 100 200 300 400 500

0?45?90?135?

abujardadopulido



77


Anisotropia geométrica



Variograma de dosDirecciones principales

Lentes mineralizadas

Elipse de anotropia

88


Ejemplo de anisotropia geometrica

• Los valores de variograma con anisotropia geometrica para diferentesdirecciones: alcances=500 (0°) e 1000 (90°); meseta=10

750

1000

500

250

0

γ90(h)γ45(h)γ0(h)ha90=1000

a0=500

Variogramma

0

24

6

8

1012

0 500 1000 1500 2000

distanza (h)

Vario

gram

ma γ(

h)

direzione 0direzione 90°



99


Ejemplo Ejemplo ……

A 45° de alcance vale cerca de 650.

…1010750

1010101000

……10500

………250

0000

γ90(h)γ45(h)γ0(h)ha90=1000

a0=500

Variogramma

0

24

6

8

1012

0 500 1000 1500 2000

distanza (h)

Vario

gram

ma γ(

h)

direzione 0direzione 90°



1010


Anisotropia zonal

Variograma en 2 direciones Formaciones sedimentarias

• g(h) = g1(hx) + g2(hx, hy, hz)



alcance

meseta 2

meseta 1

1111


Ejemplo de anisotropia zonal

• El valor de un variograma modelo con anisotropia zonal en la direccion 90°. Componente isotropa Ciso=10, aiso= 1000; a

componente zonal C90=3, a90= 500.

750

1000

500

250

0

γ90(h)γ45(h)γ0(h)h



5

0 0 5

10

10

5

0 0 5

10

10

5

0 0 5

10

10

5

0 0 5

10

10

5

0 0 5

10

10

5

0 0 5

10

10

5

0 0 5

10

10

5

0 0 5

10

1000

4

0 0 500

1012

0 0 1500 2000

vari

ogra

ma

(h)

Variog rama

2

68

5

0 0 5

10

10

5

0 0 5

10

10

5

0 0 5

10

10

5

0 0 5

10

10

5

0 0 5

10

10

5

0 0 5

10

10

5

0 0 5

10

10

5

0 0 5

10

1000

4

0 0 500

1012

0 0 1500 2000

vari

ogra

ma

(h)

Variog rama

2

68

1212


Ejemplo …

g(h) = 3*g1(500, h90) + 10*g2(1000, h)

1000

750

500

250

0

h90(90)

707

530

354

177

0

h90(45)

1000

750

500

250

0

h

0

0

0

0

giso(h)+gzon(h)giso(h)+gzon(h/2½)giso(h)0

g90(h)g45(h)g0(h)h90(0)

Variogramma anisotropia zonale

02468

101214

0 500 1000 1500 2000

distanza (h)

Var

iogr

amm

a γ(

h)

direzione 0direzione 90°zonale 90



1313


Forma del modelo en la origen• La forma en el origen del

variograma es correlada al nivel decontinuidad de la variable.

Effetto pepita

variabledifferenziabile

variablecontinua

variablediscontinua



1414


Tendencia del modelo a las grandes distancias

Crescita < h2

variograma limitato

soglia

portata

variograma non limitato



1515


Modelo con estructuras anidadas



1616


Ejemplos

Anisotropia geométrica (residiuosgravimetria). De Sismard (1980)

Anisotropia zonal (variograma del logaritmo del tenor en oro en direción

paralela y perpendicular a una faglia. DeChampigny e Armstrong (1989)



1717


• LAS PROPIEDADES.

• LA MODELIZACION.

• ALGUNOS MODELOS.

• LA ANISOTROPIA.


1818


“FUNCIONES DEFINIDAS POSITIVAS”

• Muchas relaciones teóricas son combinaciones lineales de variogramas.

• Las funciones “definidas positivas”, en práctica, garantizan la positividad de las varianzas.

• Formalmente una función esdefinida positiva si, la combinación linealdoble resulta siemprepositiva: ( ) 0,

1 1≥∑∑

= =

N

i

N

jjiji xxfλλ

VARIOGRAMAS MODELOSLas Modelización


1919


LAS FUNCIONES MODELOS DE VARIOGRAMAS

• Haga una combinación lineal autorizada (Sl=0) de la FASt.

• Su varianza es una función del variograma, el modelo del cualtiene que ser una función condicionalmente (‘) “definida positiva”.

• (‘) significa que la sumatoria de los ponderadores vale 0 (zero).

( )∑=

N

iij xZ

1λ

( ) ( ) 01 11

≥−−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∑ ∑∑= ==

N

i

N

jjiji

N

jii xxxZVar γλλλ



2020


Ejemplo

Piezometría del

acuífero de la bacia

de Korhogo

(Costa D’Avorio)

medida de Julio hasta

Diciembre en 4

Piezómetros.



2121


Ejemplo …Ejemplo …



díasdías

Lluvia Ruscellamento Piezometro n.3

Piezometro n.33Piezometro n.4 Piezometron.18

días

díasdíasdías

2222


SensibilidadEn el calculo del variograma experimental necesita considerar su sensibilidad a:

• La selección de las clases de cálculo.• El tamaño del campo.• Los valores anómalos.• Los valores altos y su posición en el campo.• La homogenidad de la población.



2323


Ejemplo de sensibilidad

• La temperatura de un lago medida cotidianamente: a) en el mismo punto; b) a 50m de profundidad.

• La temperatura parece aumentar en los 30 años.

• Los expertos podrían interpretar la periodicidad.



2424


Sensibilidad da las clases

+ 2 meses

6 meses

• 11 meses

x 12 meses

+ 2 meses

6 meses

• 11 meses

x 12 meses50 giorni ≈ 2 mesi

Anni



2525


Sensibilidad a la tolerancia de las clases

• ± 50% (6 meses)

± 25% (3 meses)

x ± 8% (1 mes)

+ ± 3% (10 días)

• ± 50% (6 meses)

± 25% (3 meses)

x ± 8% (1 mes)

+ ± 3% (10 días)

años



2626


Sensibilidad a la dimensión del campo

• Yacimento de uranio: mineralización en vetaspequeñas.

Ejemplo de sondeo tipo

topografia

Variograma calculado:• Todo el sondeo

• La mitad del sondeo



2727


Sensibilidad a los valores anómalos

• Tenor de azufre de dos capas de carbón

variograma de las doscapas (calculado con

207 datos)

variograma de las dos capas eliminando dos

valores anómalos



2828


Sensibilidad a los valores altos

• Tenor de oro, en 1501 muestras con s/m = 8,2

Histograma Variograma experimental con y sin y valores altos



2929


Sensibilidad a la homogeneidad de la población

• Muestreo a grande escala de los módulos métalicos en elOcéano Pacífico.

Plan de Muestreo

Variogramas experimentalen diversas direcciones



3030


Sensibilidad a la homogenidad ….

Histograma de las dos

poblaciones

Variogramasdireccionales de las

poblaciones II

Localización de las dos

poblaciones



3131


Consideraciones sintéticas:

• El variograma experimental es un estimador correcto del variograma.

• Necesita calcular el variograma para cualquier vector.

• La función modelo tiene que garantizar la positividad de lasvarianzas.

• Se modelizan juntamente los variogramas experimentales en lasdiferentes direcciones.

hrhr



3232




• ALGUNOS MODELOS ISOTROPOS.

• LA ANISOTROPIA.


3333


El modelo de efecto de pepita

• No hay correlación espacial.

( )( ) 0

00>∀=

==hCh

hhγγ

h

Cγ(h)

VARIOGRAMAS MODELOSAlgunos modelos


3434


EJEMPLO

• Distribución espacial de una variable en 2D con modelo de variograma pepítico.



3535


El modelo esférico

Representaciónbi- y

tridimensionaldel modelo esfé

rico de una variable en 2D

(hx,hy)esferico

hx

hx

hy

hy



3636


Ejemplo:

• Distribución espacial de una variable en 2D con modelo de variograma esférico isotropo.

a = 2500 m



0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

0 00

5x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

3737


El modelo exponencial

Representaciónbidimensionaldel modeloexponencial de una variable en 2D (hx,hy)

hy

hx

exponencial

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−ah

ech 1γ



3838


0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

0 00

5x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

Ejemplo

• Distribución espacial de una variable a 2D con modelo de variograma exponencial isótropo.



a = 2500 m

3939


El modelo gaussiano

Rapresentaciónbidimensionaldel modeloGAUSSIANO de una variable en 2D (hx,hy)

gaussiano

hy

hx

( )



÷÷⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

÷⎠⎞

⎜⎝⎛−

2

1 ah

echγ

Exponencial

4040


0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

0 00

5x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

Ejemplo

• Distribución espacial de una variable a 2D con modelo de variograma gaussiano isotropo.

a = 2500 m



4141


El modelo lineal y ejemplo

• Distribución de una variable en 2D.

lineal

( ) chh =γ



4242


El modelo periódico

• Es definido en 1D y es caracterizado por el período T

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= h

TCh πγ 2cos1

NB - El modelo no esestrechamentedefinido positivo porquerestituye varianzas nulas por incrementos con distanciasmúltiples del período.



4343


Ejemplo:

• Variable a 1D con variograma periodico.

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= h

TCh πγ 2cos1

VARIOGRAMMA SPERIMENTALE

0

0,0002

0,0004

0,0006

0,0008

0,001

0,0012

0,0014

0 10 20 30 40 50 60

h

γ(h) var sper.

modello

γ(t) = γpep + γper

C0 = 0,0002 Cper = 0,00055T = 24

Tesina Geostatistica Leonardo Fumelli – AA 2004/5



4444


ElEl modelomodelo sinusoidalsinusoidal

• Es definido en 3D y tiene una periodicidadamortiguada; unico parametro es el periodo T

( ) 3

2

2sin1 Rh

hT

hTCh ∈

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−= π

π

γ

Variogramma modello a sinusoidale(C=1, T=5)

0

0,5

1

1,5

0 5 10 15 20 25 30

h

γ(h)


4545


El modelo de “efecto de hoyo”

• La periodicidad si amortiga cuando aumenta la distancia y escontrolada por el periodo, T; el amortiguamiento es controlado por elalcance, a

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−h

TeCh a

h πγ 2cos1

El modelo es significativo en 1Dporque para dimensionesmayores sí aplican lascondiciones: T/2p ≥ a (R2); T/2p ≥ a√3 (R3)



4646


Modelos con estructuras anidadas

Estructura aninada

modelo elementare con capacidad

menor

modelo elemental con capacidad mayor



4747


Ejemplo

• Distribución espacial de una variable en 2D con estructuras anidadas, suma de dos variogramas modelos: cubico 1000 + esferico 6000.

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5000

10000

15000

0 00

5000

5000

5000

10000 10000

10000

15000

15000x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)15000



a1= 1000 mA2= 6000 m

4848




• ALGUNOS MODELOS ISOTROPOS.

• LA ANISOTROPIA.


4949


La anisotropia geometrica

• El alcance varia con la dirección.



( ) ( )2

2

2

2 cossin1

xy aa

aααα

+=

LentesmineralizadasLentesmineralizadasmesetameseta

5050


EjemploEjemplo

• Cartografia de una variable en 2D con variograma modelo exponencial con anisotropia geométrica de alcances min/max 1000/3000 m, y dirección de anisotropia 30°.

h representaciónbidimensional

del modeloexponencial

con anisotropia geométrica de una variable

a 2D (hx,hy)



0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

y

hh yy

5151


Anisotropia zonal

• Es un modelo con estructuras anidadas, una de las cualescontribuye sólo en una dirección.



( ) ( ) ( )( )zonzon

zonzoniso

hhhhh

αγγγ

cos=+=

r( ) ( ) ( )( )zonzon

zonzoniso

hhhhh

αγγγ

cos=+=

r

azon=60°

5252


0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

0

5

10

15

0 00

5

5

5

10 10

10

15

15x (km)

x (k

m) x ( km

)

x (km)

Ejemplo

• Cartografia de una variable a 2D con variograma con anisotropia zonalcompuesta por : esferico 1500 isotropo + esferico 2000 zonal en dir. 30°



5353


Ejercicio

• Datos los 3 modelos isotropos:Efecto de pepita, γ1 = 5Esférico, γ2, alcance 10 y meseta 3Lineal, γ3. de inclinación 2

• Cuales son los valores de los variogramas para:– h = 0– h = 5– h = 20



5454


Solución• Datos los 3 modelos isotropos:

– Efecto de pepita, g1 = 5– Esférico, g2, alcance 10 y meseta 3– Lineal, g3. de inclinación 2

485, 3, 4020

17.065, 2.06, 105

00, 0, 00

Valor finalg = g1+g2+g3

Valores elementalesg1, g2, g3

Distancia



5555


!!Cuidado!

• Histograma y variograma no definen unicamente una FA, mas con ley espacial diferente.

• Existen FA con el mismo variograma y el mismohistograma, pero con ley espacial diferente.



5656


!Cuidado!

• Ejemplo: los siguientes FA tienen histogramaexponencial y variogramaexponencial, pero las leyesespaciales son diferentes.



6 - Variogramas Modelos

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