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16/08/07 Página 1 de 28 Profesor : Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS CURSO: ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS I UNIDAD 6: RESPUESTA TRANSITORIA Y DE ESTADO ESTABLE EN LOS CIRCUITOS ELÉTRICOS DE SEGUNDO ORDEN CONTENIDO 6.1 INTRODUCCIÓN 6.2 CIRCUITOS RLC EN SERIE 6.2.1 DETERMINACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS PARA LA CORRIENTE DEL CIRCUITO, LA CARGA Y EL VOLTAJE DEL CAPACITOR 6.2.1.1 CONDICIONES INICIALES NECESARIAS PARA EL DESARROLLO EN LA DETERMINACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES OBTENIDAS 6.2.2 DESARROLLO DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CARGA DEL CAPACITOR 6.2.2.1 SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA CARGA EN EL CAPACITOR 6.2.2.2 SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA CORRESPONDIENTE (RESPUESTA NATURAL) 6.2.2.3 SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CARGA (RESPUESTA FORZADA) 6.2.3 EJEMPLO NUMÉRICO 6.3 CIRCUITO RLC EN PARALELO 6.3.1 DETERMINACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS PARA EL VOLTAJE DEL CIRCUITO, CORRIENTE EN LA RESISTENCIA Y EN EL INDUCTOR 6.3.2 SOLUCIÓN GENERAL PARA LA ECUACIÓN DE LA CORRIENTE EN EL INDUCTOR 6.3.2.1 SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA CORRESPONDIENTE (RESPUESTA NATURAL) 6.3.3 EJEMPLO NUMÉRICO 6.4 PROBLEMAS PROPUESTOS 6.5 CIRCUITOS RLC MIXTOS 6.5.1 INTRODUCCIÓN 6.5.2 OPERADOR DIFERENCIAL S 6.5.3 MÉTODO DE LAS VARIABLES DE ESTADO 6.5.4 DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES POR MEDIO DE LAS VARIABLES DE ESTADO 6.5.5 DESARROLLO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 6.5.6 EJEMPLO NUMÉRICO 6.6 PROBLEMAS PROPUESTOS

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CURSO: ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS I

UNIDAD 6:

RESPUESTA TRANSITORIA Y DE ESTADO ESTABLE EN LOS CIRCUITOS ELÉTRICOS DE SEGUNDO ORDEN

CONTENIDO

6.1 INTRODUCCIÓN 6.2 CIRCUITOS RLC EN SERIE 6.2.1 DETERMINACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS PARA LA CORRIENTE DEL CIRCUITO, LA

CARGA Y EL VOLTAJE DEL CAPACITOR 6.2.1.1 CONDICIONES INICIALES NECESARIAS PARA EL DESARROLLO EN LA DETERMINACIÓN DE LA SOLUCIÓN

DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES OBTENIDAS 6.2.2 DESARROLLO DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CARGA DEL CAPACITOR 6.2.2.1 SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA CARGA EN EL CAPACITOR 6.2.2.2 SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA CORRESPONDIENTE

(RESPUESTA NATURAL) 6.2.2.3 SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CARGA (RESPUESTA FORZADA) 6.2.3 EJEMPLO NUMÉRICO 6.3 CIRCUITO RLC EN PARALELO 6.3.1 DETERMINACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS PARA EL VOLTAJE DEL CIRCUITO, CORRIENTE

EN LA RESISTENCIA Y EN EL INDUCTOR 6.3.2 SOLUCIÓN GENERAL PARA LA ECUACIÓN DE LA CORRIENTE EN EL INDUCTOR 6.3.2.1 SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA CORRESPONDIENTE

(RESPUESTA NATURAL) 6.3.3 EJEMPLO NUMÉRICO 6.4 PROBLEMAS PROPUESTOS 6.5 CIRCUITOS RLC MIXTOS 6.5.1 INTRODUCCIÓN 6.5.2 OPERADOR DIFERENCIAL S 6.5.3 MÉTODO DE LAS VARIABLES DE ESTADO 6.5.4 DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES POR MEDIO DE LAS VARIABLES DE ESTADO 6.5.5 DESARROLLO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 6.5.6 EJEMPLO NUMÉRICO 6.6 PROBLEMAS PROPUESTOS

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CURSO: ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS I UNIDAD 6

RESPUESTA TRANSITORIA Y DE ESTADO ESTABLE EN LOS CIRCUITOS ELÉTRICOS DE

SEGUNDO ORDEN 6.1 INTRODUCCIÓN Los circuitos eléctricos que contienen capacitores, inductancias y resistencias, su comportamiento se puede describir por medio de ecuaciones integrodiferenciales, las cuales se pueden reducir a solo ecuaciones diferenciales. El orden de la ecuación diferencial generalmente es igual al número de capacitores más el número de inductores presentes en el circuito. Los circuitos que contienen un solo inductor y un solo capacitor junto con resistencias producen al menos un sistema de segundo orden o ecuación diferencial de segundo orden. En esta unidad procederemos a determinar la respuesta transitoria y de estado estable para los circuitos eléctricos que arrojan ecuaciones diferenciales de segundo orden, excitados con fuentes de valores constantes y variables. La metodología aquí planteada, como es la solución de la ecuación diferencial que representa el funcionamiento del circuito eléctrico, se hace con base en los circuitos RLC conectados en serie y en paralelo, pero se puede extender a circuitos mixtos y a la combinación de varios elementos almacenadores de energía eléctrica. 6.2 CIRCUITO RLC EN SERIE En la figura a continuación se presenta un circuito RLC en serie cuando es excitado por una fuente de voltaje en corriente continua, los voltajes y corrientes allí indicadas están representados en función del tiempo. Como el circuito está en serie todos los elementos están

atravesados por la misma corriente, o sea , i = iR = iL = iC. Aplicando las leyes de Ohm, Faraday y de la electrostática, tendremos: vR = iR * R = i * R

vL = L td

d Li = L td d i ;

vC = ∫ +t

0C(0)C dt

C1 vi =

Cq )t(C ; iC = C

td d Cv

= i

6.2.1 DETERMINACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS PARA LA CORRIENTE DEL CIRCUITO, LA CARGA Y

EL VOLTAJE DEL CAPACITOR Aplicando la ley de los voltajes de Kirchhoff al camino cerrado, tendremos: ve - vR - vL - vC = 0, reemplazando los voltajes en función de la corriente, de la carga del condensador y despejando el voltaje de entrada, tendremos:

(A) Cq +

tdi d L + R i = ev en donde ve = Vo = constante, para corriente continua,

R ( Ω ) , L ( H ) y C ( F ) son los parámetros de los componentes y para este caso son constantes. q(t) es la carga del condensador y es variable. i (t) es la corriente del circuito, la cual, también es variable

La carga y la corriente se relacionan por td

q d = (t)

)(ti (B).

Derivando a ambos lados de la ecuación (A) y eliminando los subíndices en función del tiempo, tendremos:

vC vL

i

ve vR

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td d

= tdq d

C1 +

tdid L + R

tdi d e

2

2 v, reemplazando el valor del voltaje de entrada y dejando solamente la variable i ,

la ecuación se puede expresar como: 0 = C L

1 + t d d

LR +

t dd

2

2

iii (1) que presentada en otra notación quedará:

0 = C L

1 + LR + ii´i´´

Por lo tanto, la ecuación (1) que representa la corriente en un circuito RLC en serie, es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal, considerando a i como la función, homogénea , de coeficientes constantes. Por otro lado, reemplazando la ecuación (B) en la ecuación (A), esta quedará definida por :

V )L1( q )

C L1(

t dq d )

LR(

t dqd

o2

2

=++ (2),

Por lo tanto, la ecuación (2) que representa la carga del condensador en un circuito RLC en serie, es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal, considerando a q como la función, no-homogénea , de coeficientes constantes.

Por otro lado, reemplazando la ecuación iC = Ctd

d Cv = i en la ecuación (A), esta quedará definida por :

C2C

2C

o + td d

LC + td

d RC = V v

vv, que reagrupando términos quedará:

oCC

2C

2

V )LC1( )

LC1( +

t d d

)LR(

t d d

=+ vvv

(3)

Por lo tanto, la ecuación (3) que representa el voltaje a través del condensador en un circuito RLC en serie, es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal, considerando a vC como la función, no-homogénea , de coeficientes constantes. Observando las tres ecuaciones que se presentan, se puede determinar que tienen la misma estructura de la homogénea correspondiente, por lo tanto, al desarrollarlas tendrán la misma respuesta de la homogénea correspondiente, o sea, todas las soluciones de las ecuaciones tendrán igual respuesta natural. 6.2.1.1 CONDICIONES INICIALES NECESARIAS PARA EL DESARROLLO EN LA DETERMINACIÓN DE LA SOLUCIÓN

DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES OBTENIDAS Cualquiera de las tres ecuaciones diferenciales presentadas anteriormente, requiere de dos condiciones iniciales para obtener su solución específica, esto es:

ECUACIÓN DIFERENCIAL CONDICIONES INICIALES NECESARIAS

(1) 0 = C L

1 + td d

LR +

tdd

2

2

iii i(0) = 0 t tdq d

= = q´(0) ; i´(0) = 0 t

td d

=i

(2) V )L1( q )

C L1(

tdq d )

LR(

tdqd

o2

2

=++ q(0) = C(o) C v ; q´(0) = 0 t

tdq d

= = i(0)

(3) oCC

2C

2

V )LC1( )

LC1( +

td d

)LR(

td d

=+ vvv

vC(o) = Cq )0( ; v´C(0) = 0 t

c td

d=

v

Normalmente las condiciones iniciales que se utilizan son la corriente de la inductancia y el voltaje o la carga del condensador.

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Se trata de desarrollar analíticamente una de las tres ecuaciones anteriormente presentadas considerando las

condiciones iniciales siguientes: vc (0) ; qc (0) ; (0) cc

(0) q 0 t td

q d ′=

==i

Estas condiciones iniciales, se pueden obtener a partir de un análisis de corriente continua que se efectúa en t = 0, por lo tanto, la ecuación (2) en t = 0 quedará:

V )L1( q )

C L1(

tdq d )

LR(

tdqd

o(0)0t0t2

2

=++ == o i´(0) + LR i(0) +

LC1 q(0) =

LVo , de donde se podrá obtener la

derivada de la corriente para t = 0, si se conoce la corriente y la carga en

t = 0. También se podrán obtener otras condiciones iniciales a partir de: ic = td

d cv ,luego,

ic (0) = td

d cv⏐t = 0 ; v´c (0) =

C(0) ci

6.2.2 DESARROLLO DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CARGA DEL CAPACITOR Como la ecuación que representa la carga del condensador en un circuito RLC en serie, es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal, considerando a q como la función, no-homogénea , de coeficientes constantes, se puede desarrollar utilizando el método de la suma de las respuestas de la homogénea correspondiente y particular de la ecuación diferencial a resolver, visto en el curso de ecuaciones diferenciales. 6.2.2.1 SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA CARGA EN EL CAPACITOR La solución general de la ecuación diferencial (2), la cual presenta la carga como función, estará expresada por: q(t) = qh (t) + qp(t), en donde, qh(t) es la solución general a la homogénea correspondiente(Respuesta Natural) y qp(t), es una solución particular de la ecuación diferencial a resolver(Respuesta Forzada) 6.2.2.2 SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA CORRESPONDIENTE

(RESPUESTA NATURAL) La ecuación diferencial de la homogénea correspondiente, estará dada por:

0 q )C L

1( tdq d )

LR(

tdqd2

2

=++ , la cual presenta su ecuación característica como:

0 LC1

LR 2 =+λ+λ , con sus respectivas raíces λ1-2 = -

L2R ±

LC1-

L2R 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Sí hacemos α = L2

R , la frecuencia neperiana o coeficiente de amortiguamiento natural,

wo = LC1 , la frecuencia de resonancia, las raíces se podrán expresar de la forma siguiente:

λ1 = - α + 2o

2 w- α y λ2 = - α - 2o

2 w- α , por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial homogénea correspondiente se presentará de acuerdo con el tipo de raíces que resulte de las expresiones anteriormente halladas. Por lo anterior existen tres alternativas de solución: ALTERNATIVA A: SUPERAMORTIGUADO

Sí : α2 > wo2 o [

L2R ]2 >

LC1 o R2 C > 4 L , las raíces que se presentan son reales y por lo tanto la

solución general de la homogénea o respuesta natural será: qh (t) = K1 eλ1 t + K2 eλ2 t = K1 e (- α +

2o

2 w - α ) t + K2 e (- α - 2

o2 w - α ) t

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ALTERNATIVA B: SUBAMORTIGUADO

Sí : α2 < wo2 o [

L2R ]2 <

LC1 o R2 C < 4 L , las raíces que se presentan son imaginarias conjugadas,

o sea que, λ1-2 = - P + j Q por lo tanto la solución general de la homogénea o respuesta natural será: qh (t) = K1 eλ1 t + K2 eλ2 t = e - P t ( K1 Cos(Q t) + K2 Sen(Q t) ) ALTERNATIVA C: AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO

Sí : α2 = wo2 o [

L2R ]2 =

LC1 o R2 C = 4 L , las raíces que se presentan son reales iguales, o sea

que, λ1-2 = - α ± 0 ; λ1 = λ2 = - α , por lo tanto la solución general de la homogénea o respuesta natural será: qh (t) = K1 eλ1 t + K2 t eλ2 t = K1 e - α t + K2 t e - α t = [K1 + K2 t ] e - α t

6.2.2.3 SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CARGA (RESPUESTA FORZADA) La solución de la ecuación diferencial a resolver, es una solución particular o específica que se puede determinar por el método de los coeficientes indeterminados, la cual establece que la solución particular o respuesta forzada es una función similar al término independiente de la ecuación diferencial a resolver (no-homogénea). Cuando la función de excitación es una fuente de voltaje en corriente continua, como es el caso, la respuesta forzada se puede determinar encontrando la carga en el capacitor mucho tiempo después de haber accionado el interruptor, como se determinó en los circuitos RL y RC vistos anteriormente, o sea que, qp(t) = q forzada = constante

SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DE CARGA EN EL CIRCUITO RLC EN SERIE (MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS) Como se planteó al principio de este tema, la solución general de la ecuación diferencial para la carga en el circuito RLC en serie estará compuesta por: q(t) = qh (t) + qp(t), en donde, qh (t) es la solución general a la homogénea correspondiente(Respuesta Natural) y qp(t), es una solución particular de la ecuación diferencial a resolver(Respuesta Forzada), también es posible determinarla a partir del método de los coeficientes indeterminados, por lo tanto, las posibles respuestas serán: A) q(t) = K1 e (- α +

2o

2 w - α ) t + K2 e (- α - 2

o2 w - α ) t + q forzada

B) q(t) = e - P t ( K1 Cos(Q t) + K2 Sen(Q t) ) + q forzada

C) q(t) = [K1 + K2 t ] e - α t + q forzada

El procedimiento para desarrollar la ecuación de segundo orden es similar al procedimiento utilizado para resolver la ecuación diferencial de primer orden. 1° Se encuentra la repuesta forzada 2° Se encuentra la respuesta natural, la cual contiene dos constantes de integración 3° Se determina la solución general, sumando las dos respuestas anteriores 4° Se reemplazan las condiciones iniciales en la solución general, encontrándose de esta forma la solución particular o específica que cumpla con las condiciones iniciales. 6.2.3 EJEMPLO NUMÉRICO: Para el circuito RLC en serie presentado en la figura siguiente, determine la corriente y todos los voltajes de los elementos simples para t ≥ 0, sí : el interruptor se cierra en t = 0, R = 16Ω , L = 2 H , C = 0.02 F , V0 = 100 v y q(0) = 5 Coul.

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Para, t < 0, y específicamente t ( 0-) , cuando el interruptor está

abierto y el circuito está en estado estable, tendremos: q(0

-) = 5 C , VC(0

-) = 250 v , iL(0

-) = 0

Por lo tanto, para t = 0, las condiciones iniciales del condensador y de la bobina se pueden escribir como:

q(0) = 5 C , VC(0) = 250 v , iL(0) = 0 ALGUNOS MODELOS MATEMÁTICOS POSIBLES A partir de los valores de los elementos y de la conexión del circuito para t ≥ 0, se pueden establecer las ecuaciones diferenciales siguientes y sus condiciones iniciales necesarias para desarrollarlas. A) Ecuación de la Corriente

0 = 25 + td d 8 +

tdd

2

2

iii , cuyas condiciones iniciales necesarias para desarrollarla son:

i(0) = 0 t tdq d

= = q´(0) (se tiene) ; i´(0) = 0 t

td d

=i (no se tiene)

B) Ecuación del Voltaje a través del Condensador

500 2 25 + td

d 8

td d

CC

2C

2

=+ vvv

, cuyas condiciones iniciales necesarias para desarrollarla son:

vC(o) = Cq )0( ( se tiene ) ; v´C(0) = 0 t

C(o) td

d=

v( no se tiene )

C) Ecuación de la Carga del Condensador y del Circuito

50 q 25 tdq d 8

tdqd2

2

=++ , cuyas condiciones iniciales necesarias para desarrollarla son:

q(0) = C(o) C v ( se tiene ) ; q´(0) = 0 t

tdq d

= = i(0) ( se tiene )

CONDICIONES INICIALES A partir de los valores de los elementos , de la conexión del circuito para t = 0, de las condiciones iniciales de la bobina y el condensador, se pueden obtener el resto de las condiciones iniciales de todos los elementos, las cuales algunos se utilizarán en el desarrollo de las ecuaciones diferenciales. El circuito que se presenta para t = 0, con los valores reales de voltaje y de corriente es: Por lo tanto de acuerdo con las polaridades y dirección de las corrientes indicadas en el planteamiento del problema las condiciones iniciales para todos y cada uno de los elementos quedarán de la forma siguiente: i(0) = 0 ; Vo(0) = 100 v , iR(0) = 0 ; vR(0) = 0 v , iL(0) = 0 ; vL(0) = - 150 v , iC(0) = 0 ; vC(0) = 250 v ; q(0) = 5 C

t = 0

vC vL

i

ve vR

250 v - 150 v

0 A

100 v

0 v + 5 Coul -

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De las condiciones iniciales necesarias para resolver algunas de las ecuaciones diferenciales, se encuentra que,

tanto la primera derivada de la corriente i´(0) = 0 t td d

=i , como la primera derivada del voltaje a través del

condensador v´C(0) = 0 t C(o) td

d=

v, no se determinaron en el proceso anterior, por lo tanto estas condiciones

iniciales se podrían determinar a partir de las ecuaciones diferenciales que se presentan para t = 0, esto es :

A partir de la ecuación de carga 50 q 25 tdq d 8

tdqd2

2

=++ , se puede rescribir como:

50 q 25 8 td

d(t)(t)

(t) =++ ii

, la cual , para t = 0, quedará: td

d

0 t

(t)

=

i+ 8 i(0) + 25 q(0) = 50

por lo tanto, td

d

0 t

(t)

=

i= (0)i ′ = 50 - 8 i(0) + 25 q(0) = - 75 A/S

Por otro lado; vC = Cq , la cual, derivando a ambos lados con respecto al tiempo quedará:

tdq d

C1

td d C =v

o (t))t(C

C1

td d

iv

= , luego para t = 0, la ecuación se puede rescribir como

(0)

0t

)t(C C1

td d

iv

==

, por lo tanto, 0 (0) 0.02

1 td

d

0t

)t(C ==′==

C(0)vv

CONDICIONES FORZADAS Mucho tiempo después de conectado el interruptor, en estado estable, la inductancia se comporta como corto circuito y la capacitancia como circuito abierto, por lo tanto, los valores de voltajes y corrientes serán: if = 0 ; Vof = 100 v , iRf = 0 ; vRf = 0 v , iLf = 0 ; vLf = 0 v , iCf = 0 ; vCf = 100v ; qf = 2 Coul

SOLUCIÓN GENERAL PARA LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA CARGA RESPUESTA NATURAL

Las constantes para el circuito RLC en serie serán: 4 2*2

16 ==α , 5 2 *0.02

1 w o ==

λ1 = - 4 + j 3 ; λ2 = - 4 + j 3 ; P = 4 ; Q = 3 y la respuesta natural estará representada por: qh (t) = e - 4 t ( K1 Cos(3 t) + K2 Sen(3 t) ),(Subamortiguado) La solución general de la ecuación de carga será q(t) = qh(t) + qf , reemplazando las expresiones encontradas quedará q(t) = e - 4 t ( K1 Cos(3 t) + K2 Sen(3 t) ) + 2, reemplazando la condición inicial q(0) = 5 C ,

tendremos: 5 = e 0 ( K1 Cos(0) + K2 Sen(0)) + 2, de donde, K1 = 3 (1) Derivando la expresión para la carga quedará: q´(t) = e - 4 t ( - 3K1 Sen(3 t) + 3 K2 Cos(3 t)) - 4e - 4 t ( K1 Cos(3 t) + K2 Sen(3 t) ), reemplazando la

condición inicial i(0) = 0 t tdq d

= = q´(0) = 0 , tendremos:

0 = e - 0 ( - 3K1 Sen(0) + 3 K2 Cos(0)) - 4e - 0 ( K1 Cos(0) + K2 Sen(0) ), de donde, 3 K2 - 4 K1 = 0 (2)

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Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (1) y (2), resulta: K2 = 4 y K1 = 3, por lo tanto, la solución específica o particular quedará: q(t) = e - 4 t ( 3 Cos(3 t) + 4 Sen(3 t) ) + 2, la cual se puede convertir en:

q(t) = 5 e - 4 t Cos(3 t – 53.13°) + 2 = 5 e - 4 t Cos(3 t – 0.92rad) + 2 Para determinar la ecuación de corriente y la de los voltajes de cada elemento se puede proceder a determinarlas de la misma forma que se hizo con la ecuación de carga, o sea, asumiendo una respuesta natural y una forzada. También se puede determinar a partir de la ecuación de carga. Por cualquiera de los métodos las ecuaciones serán: Corriente i(t) = 25 e - 4 t Cos(3 t – 270°) = 25 e - 4 t Cos(3 t + 90°) = - 25 e - 4 t Sen(3 t) Voltaje a través del condensador vC(t) = 250 e - 4 t Cos(3 t – 53.13°) + 100 = e - 4 t [ 150 Cos(3 t) + 200 Sen(3t)] + 100 Voltaje a través de la inductancia vL(t) = 250 e - 4 t Cos(3 t – 126.87°) = e - 4 t [- 150 Cos(3 t) + 200 Sen(3 t)] Voltaje a través de la resistencia vR(t) = 400 e - 4 t Cos(3 t + 90°) = - 400 e - 4 t Sen(3 t) PRUEBA La ley de los voltajes de Kirchhoff se debe cumplir para cualquier instante, por lo tanto, V0 = vR(t) + vL(t) + vC(t) = e - 4 t [ 150 Cos(3 t) + 200 Sen(3t)] + 100

+ e - 4 t [ - 150 Cos(3 t) + 200 Sen(3 t)] + (- 400 e - 4 t Sen(3 t) = 100 v

6.3 CIRCUITO RLC EN PARALELO En la figura a continuación se presenta un circuito RLC en paralelo cuando es excitado por una fuente de corriente continua o constante, los voltajes y corrientes allí indicadas están representados en función del tiempo. Como el circuito tiene un solo par de nudos, todos los

elementos tienen aplicado el mismo voltaje, o sea, v = vR = vL = vC Aplicando las leyes de Ohm, Faraday y de la electrostática

(Maxwell), tendremos:

vR = iR * R = v ; vL = L td d Li = v ; iL = ∫

t

0L dt

L1 v + iL(0)

vC = ∫ +t

0C(0)C dt

C1 vi =

Cq )t(C = v ; iC = C

td d Cv

= Ctd

d v

6.3.1 DETERMINACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS PARA EL VOLTAJE DEL CIRCUITO, CORRIENTE EN

LA RESISTENCIA Y EN EL INDUCTOR Aplicando la ley de las corrientes de Kirchhoff al nodo superior, tendremos:

i

v I

iCiL iR

vR vC vL

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I = iR + iL + iC , reemplazando alguna de las expresiones de las corrientes en función de los voltajes,

determinados en la aplicación de los principios o leyes, se encuentra la ecuación: I = Rv + iL + C

td d v (A)

Derivando a ambos lados de la ecuación (A), resulta: td

d I = td

d R1 v +

td d Li + C 2

2

td d v

Remplazando la expresión encontrada en la aplicación de los principios L td

d Li = v ,

simplificando y reagrupando, la ecuación que presenta al voltaje del circuito o de cualquiera de los elementos

quedará definida por: 2

2

t d d v +

t d d

RC1 v +

LC1 v = 0 (B)

Por lo tanto, la ecuación (B), que representa el voltaje en un circuito RLC en paralelo, es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal, considerando a v como la función, homogénea , de coeficientes constantes.

Por otro lado, a partir de la siguiente expresión encontrada en la aplicación de los principios L td

d Li = v , se

toma la derivada, con respecto al tiempo, a ambos lados de esta ecuación, quedando: L 2L

2

td d i =

td d v .

Reemplazando estas expresiones en la ecuación (A), tendremos: I = td d

RL Li + iL + CL 2

L2

td d i , que

simplificando y reagrupando encontraremos la ecuación que presenta a la corriente de la inductancia en el

circuito RLC en paralelo 2L

2

t d d i +

t d d

RC1 Li +

LC1 iL =

LC1 I (C)

Por lo tanto, la ecuación (C), que representa a la corriente en la inductancia en un circuito RLC en paralelo, es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal, considerando a iL como la función, no-homogénea , de coeficientes constantes. Por otro lado, sí la expresión v = R* iR, la reemplazamos en la ecuación (B), podremos encontrar la ecuación

que presenta a la corriente de la resistencia en el circuito RLC en paralelo, esto es: R 2R

2

td d i +

td d

RCR Ri +

LCR

iR = 0 , que reagrupando quedará:

2R

2

t d d i +

t dd

RC1 Ri +

LC1 iR = 0 (D)

Por lo tanto, la ecuación (D), que representa a la corriente en la resistencia en un circuito RLC en paralelo, es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal, considerando a iL como la función, homogénea , de coeficientes constantes. Observando las tres ecuaciones que se presentan, se puede determinar que tienen la misma estructura de la homogénea correspondiente, por lo tanto, al desarrollarlas tendrán la misma respuesta de la homogénea correspondiente, o sea, todas las soluciones de las ecuaciones tendrán igual respuesta natural. 6.3.2 SOLUCIÓN GENERAL PARA LA ECUACIÓN DE LA CORRIENTE EN EL INDUCTOR La solución general de la ecuación diferencial (C), la cual presenta la corriente de la inductancia como función, estará expresada por: iL(t) = iL(t)h + iL(t)p, en donde, iL(t)h es la solución general a la homogénea correspondiente(Respuesta Natural) y iL(t)p , es una solución particular de la ecuación diferencial a

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resolver(Respuesta Forzada), también es posible determinarla por el método de los coeficientes indeterminados El procedimiento para desarrollar la ecuación de segundo orden, cuando la función de excitación es corriente continua, es similar al procedimiento utilizado para resolver la ecuación diferencial de segundo orden en el circuito RLC en serie. 1° Se encuentra la repuesta forzada, cuando la función de excitación es exponencial o trigonométrica se utiliza el método de los coeficientes indeterminados 2° Se encuentra la respuesta natural, la cual contiene dos constantes de integración 3° Se determina la solución general, sumando las dos respuestas anteriores 4° Se reemplazan las condiciones iniciales en la solución general, encontrándose de esta forma la solución particular o específica que cumpla con las condiciones iniciales.

6.3.2.1 SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA CORRESPONDIENTE

(RESPUESTA NATURAL) La ecuación diferencial de la homogénea correspondiente, estará dada por:

2L

2

td d i +

td d

RC1 Li +

RC1 iL = 0, la cual presenta su ecuación característica como:

0 LC1

RC1 2 =+λ+λ , con sus respectivas raíces λ1-2 = -

RC21 ±

LC1-

RC21 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Sí hacemos α = RC21 , la frecuencia neperiana o coeficiente de amortiguamiento natural,

wo = LC1 , la frecuencia de resonancia, las raíces se podrán expresar de la forma siguiente:

λ1 = - α + 2o

2 w- α y λ2 = - α - 2o

2 w- α , por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial homogénea correspondiente se presentará de acuerdo con el tipo de raíces que resulte de las expresiones anteriormente halladas. Por lo anterior existen tres alternativas de solución: ALTERNATIVA A: SUPERAMORTIGUADO

Sí : α2 > wo2 o [

RC21 ]2 >

LC1 o L > 4 R2 C, las raíces que se presentan son reales y por lo tanto la

solución general de la homogénea o respuesta natural será: iL(t)h = K1 eλ1 t + K2 eλ2 t = K1 e (- α +

2o

2 w - α ) t + K2 e (- α - 2

o2 w - α ) t

ALTERNATIVA B: SUBAMORTIGUADO

Sí : α2 < wo2 o [

RC21 ]2 <

LC1 o L < 4 R2 C , las raíces que se presentan son imaginarias

conjugadas, o sea que, λ1-2 = - P + j Q por lo tanto la solución general de la homogénea o respuesta natural será: iL(t)h = K1 eλ1 t + K2 eλ2 t = e - P t ( K1 Cos(Q t) + K2 Sen(Q t) ) ALTERNATIVA C: AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO

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Sí : α2 = wo2 o [

RC21 ]2 =

LC1 o L = 4 R2 C , las raíces que se presentan son reales iguales, o sea

que, λ1-2 = - α ± 0 ; λ1 = λ2 = - α , por lo tanto la solución general de la homogénea o respuesta natural será: iL(t)h = K1 eλ1 t + K2 t eλ2 t = K1 e - α t + K2 t e - α t = [K1 + K2 t ] e - α t 6.3.3 EJEMPLO NUMÉRICO: Encuentre Vo para t ≥ 0 DETERMINACIÓN DE LAS CONDICIONES INICIALES DEL CAPACITOR Y DE LA INDUCTANCIA Para t < 0 , se presentan dos circuitos separados, los cuales no se intercambian energía. El de la izquierda, contiene la inductancia y es alimentado por la fuente independiente de corriente de 3 A. El de la derecha , contiene la capacitancia y es alimentado por la fuente independiente de voltaje de 12 v. Para t (0

-), un instante antes de accionar el interruptor, la inductancia se comporta como un corto circuito,

eliminando la resistencia de 6 Ω, la corriente que circula por la resistencia de 1Ω es la misma que circula por la

inductancia y la corriente de 3 A , proveniente de la fuente, se aplica a las resistencias de 2 Ω y1Ω en paralelo, por lo anterior, la corriente de la inductancia iL(0

-) = 2 A , hacia abajo.

Para t (0-), un instante antes de accionar el interruptor, la capacitancia se comporta como un circuito abierto y el

voltaje a través de la capacitancia es 12 v, con el positivo en la placa inferior, o sea que, vC(0-) = - 12 v, con el

terminal positivo en la parte superior. Por lo tanto, para t = 0 , las condiciones iniciales son: iL(0) = 2 A , vC(0) = - 12 v y qc(0) = -12*0.25 = - 3 C, con la carga positiva en la placa superior DETERMINACIÓN DE TODAS LAS CONDICIONES INICIALES A partir de las condiciones iniciales obtenidas anteriormente, se puede determinar las condiciones iniciales del resto de elementos. A continuación se presenta el circuito para t = 0 con todas las condiciones iniciales indicadas. Los valores de voltajes y corrientes para las resistencias que aparecen sobre el circuito se pueden calcular a partir del voltaje sobre el capacitor, los demás valores son asignados como I1, I2, I3. El voltaje sobre la inductancia se obtiene de una forma indirecta, pues está en paralelo con el capacitor, la corriente a través del capacitor se podrá obtener de una manera indirecta cuando se aplique las leyes de Kirchhoff, esto es: (1) I1 + I2 = 3 ; (2) 2 I1 – I2 + 12 = 0 ; (3) I2 + 2 + 6 = I3 + 2

1 Ω

1 H2 Ω

+ Vo -

0.25 F

t = 0

12 V2 Ω 6 Ω

3 A

I2

I1 I3

6 A 2 A

+ - 12 v -

2 A+ - 12 v -

1 Ω

2 Ω + Vo -

2 Ω 6 Ω 3 A

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Desarrollando simultáneamente las tres ecuaciones, arrojará los siguientes valores para las variables: I1 = - 3 A ; I2 = 6 A ; I3 = 12 A

Luego el voltaje de la resistencia de 2 Ω es 6v con la polaridad invertida y el voltaje sobre la resistencia de 1Ω es 6v con la polaridad indicada. DETERMINACIÓN DE LAS RESPUESTAS FORZADAS Mucho tiempo después de haber accionado el interruptor, para t >>> 0, el circuito se encuentra en estado estable, por lo tanto, la capacitancia se comporta como circuito abierto y la inductancia como cortocircuito. A continuación se encuentra el esquema eléctrico que se presenta para t >>> 0, en donde están indicados todos los voltajes y corrientes verdaderas, que representarán las respuestas forzadas de los elementos, según la polaridad y dirección que se les asigne.

DETERMINACIÓN DE LA RESPUESTA NATURAL DEL CIRCUITO A partir del circuito para t ≥ 0, se determinan las constantes de la respuesta natural, por lo anterior, a continuación se presenta el circuito que queda para t ≥ 0, en donde se indica las polaridades de los voltajes y las direcciones de las corrientes a determinar, como también el modelo serie o paralelo para la determinación de las constantes. Después de determinar las polaridades y direcciones, se indicarán los valores de la condiciones iniciales y respuestas forzadas, que serán utilizados en las ecuaciones, a partir de las asignaciones y los valores hallados anteriormente. Condiciones Iniciales: i1(0) = 3 A ; i2(0) = 6 A ; i3(0) = -6 A ; i4(0) = -2 A ; iL(0) = 2 A ; iC(0) = 12 A

v1(0) = 6 v ; v2(0) = 6 v ; Vo(0) = -12 v ; v4(0) = - 12 v ; vL(0) = - 12 v ; vC(0) = - 12 v Respuestas Forzadas: i1f = 1 A ; i2f = 2 A ; i3f = 0 A ; i4f = 0 A ; iLf = 2 A ; iCf = 0 A

v1f = 2 v ; v2f = 2 v ; Vo(0) = 0 v ; v4f = 0 v ; vLf = 0 v ; vCf = 0 v Naturaleza Del Circuito En lo que se refiere a los elementos que intervienen en el circuito y su conexión para t ≥ 0, se determina su equivalente para analizar su naturaleza, o sea, si pertenece al circuito serie o paralelo. La resistencia de 2 Ω, que tiene asignado el voltaje V0, está en paralelo con la resistencia de 6 Ω, luego se puede dibujar un equivalente del circuito, en donde la resistencia de 2 Ω se elimina y la resistencia de 6 Ω se le cambia el valor por 1,5 Ω, de esta forma, el circuito equivalente tiene a la derecha la inductancia y la capacitancia en

2 A

1 A 0 A

0 A 0 A

+ 0 v

-

2 A+ 0 v -

2 v

2 Ω + Vo -

2 v 3 A

v1

v2 i2

i1 iC i3

i4

+ vL -

iL + vC

-

1 Ω

2 Ω + Vo -

2 Ω 6 Ω 3 A

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paralelo y a la izquierda una combinación de resistencias y una fuente independiente de corriente, la cual se le puede determinar el equivalente de Norton, por lo tanto, el equivalente del circuito puede ser dibujado de la manera siguiente: El circuito equivalente corresponde al modelo RLC en paralelo, luego las respectivas constantes serán:

α = 2 RC21

= ; wo = 2 LC1

=

Por lo tanto, la respuesta natural corresponde al amortiguamiento crítico, en donde las raíces de la ecuación característica son: λ1 = - 2 ; λ2 = - 2 y la ecuación de la respuesta natural será de la forma: (K1+ K2 t) e-2 t

SOLUCIÓN GENERAL DEL VOLTAJE A TRAVÉS DEL CONDENSADOR: La solución general para el voltaje a través del capacitor quedará expresada por: vc(t) = vc f + vc n = 0 + (K1+ K2 t) e-2 t , reemplazando la condición inicial para el voltaje del condensador vC(0) = - 12 v, encontraremos que: - 12 = (K1+ K2 (0)) e-2 (0) = K1 Ⓐ Para obtener la segunda constante, usaremos una ecuación linealmente independiente de la anterior, para ello,

determinamos la corriente del condensador, quedando: iC = Ctd

d Cv

iC = C [ (- 2 K1 e-2 t) + (-2 K2 t e-2 t)+ K2 e-2 t = C [ (K2-2 K1- 2 K2 t )] e-2 t, reemplazando la condición inicial para la corriente del condensador iC(0) = 12 v, encontraremos que: 12 = 0.25[(K2-2 K1- 2 K2 (0) )] e-2(0) ; 12 = 0.25 K2 – 0.5 K1 Ⓑ Desarrollando simultáneamente las ecuaciones Ⓐ y Ⓑ, encontraremos que : K1 = - 12 y K2 = 24, por lo tanto, la ecuación para el voltaje a través del condensador o el voltaje a través de la resistencia de 2 Ω es: vc(t) = Vo (t) = (- 12+ 24 t) e-2 t A partir de este resultado se pueden obtener todos los voltajes y corrientes indicadas para t ≥ 0, estos son: iC(t) = - 12 e-2 t + 24 t e-2 t ; i3 (t) = - 6 e-2 t + 12 t e-2 t i4 (t) = - 2 e-2 t + 4 t e-2 t ; i2 (t) = 2 + 4 e-2 t - 8 t e-2 t ; v2(t) = 4 + 8 e-2 t - 16 t e-2 t i1 (t) = 1 - 4 e-2 t + 8 t e-2 t ; v1(t) = 2 - 8 e-2 t + 16 t e-2 t Estos resultados también se pueden desarrollar utilizando el mismo procedimiento utilizado para obtener el voltaje a través del condensador. 6.4 PROBLEMAS PROPUESTOS A continuación se presentan algunos problemas sobre circuitos RLC y sus respectivas respuestas. Estos circuitos se pueden analizar y determinar las variables solicitadas, utilizando los modelos de circuitos RLC en serie y en paralelo. 1. Para el circuito de la figura abajo, el interruptor se abre en t = 0, después de haber estado conectado

durante mucho tiempo. Determine vC(t) e IL(t) , para t ≥ 0 .

0.25 F 1 H 1 Ω IN

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Respuestas: VC(t) = - 4.3224 e – 2.8575 t Sen( 3.9794 t ) = - 4.3224 e – 2.8575 t Cos( 3.9794 t – 90° ) IL(t) = -1.071 + e – 2.8575 t [0.429 Cos( 3.9794 t ) + 0.3087 Sen(3.9794 t)] = -1.071 + 0.5285 e – 2.8575 t Cos( 3.9794 t - 35.73°) 2. El interruptor de la figura abajo ha permanecido abierto durante mucho tiempo antes de t = 0. Determine I(t),

para t ≥ 0 .

I(t)

t = 0 seg.6V3A

2ohm 2ohm

2ohm0.1F

0.05F

1.25H

Respuesta: I(t) = [1.5 e – 10 t + 1.5 ] + [3 – 3.2 e – 2 t + 0.2 e – 8 t ] 3. El interruptor de la figura abajo ha permanecido abierto durante mucho tiempo y se cierra en t = 0. Determine

VC(t) , para t ≥ 0.

+

-Vc(t)

t = 0 seg.

18V15ohm

30ohm

0.02F1H5A

Respuesta: VC(t) = - 12 + e – 5 t [ 12 Cos(5 t) + 12 Sen(5 t)] = - 12 + 12 2 e – 5 t Cos(5 t - π/4) 4. Para el circuito mostrado en la figura siguiente, determine Vo(t), para t ≥ 0, sí : VC1(0) = 8 v, VC2(0) = 5 v e IL(t) = 0 A

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1

23

0.2F

+ VC2 -

7ohm1H0.1F

+ VC1 -

10V

+Vo(t)-

t = 0 seg,

IL(t)

Respuesta: Vo(t), = 66.66 e – 2 t - 26.66 e – 5 t - 35 v 5. Para el circuito mostrado en la figura siguiente, determine Vo(t), para t ≥ 0,

Respuesta: Vo(t), = 18 e – 4 t - 12 e – 6 t v 6.5 CIRCUITOS RLC MIXTOS Cuando el circuito eléctrico que se desea analizar no corresponde a alguno de los modelos desarrollados en los puntos inmediatamente anteriores de este documento(circuito RLC en serie o en paralelo), no se puede acudir a los modelos matemáticos determinados para esos circuitos, y por lo tanto, se hace necesario determinar las ecuaciones diferenciales propias de cada variable y que corresponda al circuito en mención. 6.5.1 INTRODUCCIÓN Cuando el circuito eléctrico a analizar contiene dos o más elementos que almacenan energía y estos no se pueden reducir, las ecuaciones diferenciales que los describen son de segundo orden o más, y para determinar las ecuaciones diferenciales propias de cada variable, recurriremos a la utilización de los operadores diferenciales y al método de las variables de estado

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6.5.2 OPERADOR DIFERENCIAL S Un operador diferencial es un símbolo que representa una operación matemática. El operador diferencial S se

puede definir como: S x = dtdx y S2 x = 2

2

dtd x , luego, el operador diferencial S denota la

diferenciación de la variable (x, para este caso) con respecto al tiempo, y el operador S2 denota la segunda derivada. La importancia en la aplicación del operador es que a este se le puede dar un tratamiento de cantidad algebraica, logrando con esto, convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas, las cuales son de un manejo más sencillo. 6.5.3 VARIABLES DE ESTADO Las variables de estado de un circuito son el conjunto de variables asociadas con la energía de los elementos que almacenan energía del circuito. Las variables de estado describen la respuesta completa a una función de excitación y a las condiciones iniciales del circuito, por lo tanto, se elegirán como variables de estado las variables que describan el almacenamiento de energía en el circuito, principalmente, los voltajes independientes de los capacitores y las corrientes independientes de los inductores Por medio de la aplicación de los operadores diferenciales y de las variables de estado podremos establecer un método con operaciones algebraicas para determinar ecuaciones diferenciales en donde la variable dependiente se solamente una variable de estado 6.5.4 DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES POR MEDIO DEL MÉTODO DE LAS

VARIABLES DE ESTADO El método de las variables de estado para determinar las ecuaciones diferenciales en donde la variable dependiente esa una sola variable de estado está precedido por los siguientes pasos: 1. Identificar los voltajes de los capacitores y las corrientes de los inductores como variables de estado (normalmente es un solo capacitor y un solo inductor) 2. Obtener ecuaciones diferenciales de primer orden en donde las variables dependientes sean solamente las

variables de estado, mediante la aplicación de las leyes LCK y LVK ( habrá tantas ecuaciones diferenciales como variables de estado halla)

3. Utilizando el operador diferencial S, convertir las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas 4. Desarrollar las ecuaciones algebraicas, utilizando la regla de Cramer, encontrando cada una de las variables

de estado en función de los operadores diferenciales y de las fuentes de excitación. 5. Convertir esta última ecuación algebraica encontrada en el paso inmediatamente anterior en ecuación

diferencial. Esta ecuación diferencial tendrá como variable dependiente una sola variable de estado y normalmente es de segundo orden cuando hay solamente dos elementos que almacenan energía y que no se pueden reducir a un solo elemento.

6.5.5 DESARROLLO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Habiendo encontrado la ecuación diferencial de segundo orden para alguna de las variables de estado, se procede a resolverla mediante los pasos siguientes:

a) Determinar las condiciones iniciales, en t = 0, de los voltajes de los capacitores y las corrientes de los inductores, a partir del circuito a analizar y de las referencias de tiempo dadas.

b) Determinar los valores de las primeras derivadas de las variables de estado [ dt

d (0)x =

0tdtdx

=

=

X´ (0) ] en t = 0, a partir de las condiciones iniciales de las variables de estado y de las ecuaciones diferenciales de primer orden obtenidas en el paso N° 2 del método de las variables de estado desarrollado en el numeral 6.4.4.

c) Desarrollar la ecuación diferencial de segundo orden para la variable determinada.

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1°. Hallar la solución general de la ecuación diferencial, utilizando el método de la respuesta a la homogénea correspondiente( ecuación característica) y la respuesta particular a la no homogénea (método de los coeficientes indeterminados)

2°. Determinar la solución específica de la variable de estado determinada, reemplazando las condiciones iniciales y el valor de la primera derivada(en t = 0), en la solución general de la ecuación diferencial

6.5.5 EJEMPLO NUMÉRICO. Para el circuito eléctrico de la siguiente figura, determine el voltaje del capacitor

Vc(t) y la corriente del inductor IL(t) , para t ≥ 0.

TOPEN = 0

1

2TCLOSE = 0

1 2

Vc(t)(1/4) F

+1 H

10Vdc

4 ohm

6 ohm

IL(t)

-

IDENTIFICIÓN DE LAS VARIABLES DE ESTADO Y ASIGNACIÓN DE LAS POLARIDADES DE LOS DIFERENTES VOLTAJES Y DIRECCIONES DE LAS

DIFERENTES CORRIENTES EN EL CIRCUITO PARA t ≥ 0. las variables de estado son: El voltaje del capacitor Vc(t) y la corriente del inductor IL(t) , las cuales son las variables solicitadas en el enunciado del problema. Se asignan las variables adicionales de voltajes y corrientes: Corriente del capacitor: ic , Corriente de la resistencia de 4 ohmios: i1 , Voltaje del inductor : vL Las polaridades y direcciones de los voltajes y corrientes asignadas, así como la numeración de las mallas se encuentran en la figura siguiente.

Ve Vc(t)(1/4) F

+1 H

4 ohm

6 ohm

IL(t)

-

Relaciones entre las diferentes variables asignadas. Utilizando leyes de la electrostática :

qc = C Vc ; Vc = qc/C ; ic = C td

d CV ; Ley de Faraday: vL = L td

d LI

DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EN DONDE LAS VARIABLES DEPENDIENTES SON SOLAMENTE LAS VARIABLES DE ESTADO

Por aplicación de la ley LCK al nodo superior de la derecha tendremos: i1 = ic + IL [A]

Por aplicación de la ley LVK a la malla [1] tendremos: Ve – 4 i1 – vL – 6 IL = 0 [1] Para expresar las variables adicionales en función de las variables de estado, reemplazamos la ecuación [A] en [1], y simplificamos, por lo tanto, la ecuación [1] quedará: vL + 10 IL + 4 ic = Ve [1]

ic(t)

vL(t)

i1 4 i1

6 IL

Ve = 6 e-3t U(t) v

1 2

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Por último, reemplazando las relaciones vL = L td

d LI , ic = C td

d CV , y los valores L = 1 H , C = 0.25 F , en la

ecuación [1], tendremos la ecuación de la malla uno en función solamente de las variables de estado: Por aplicación de la ley LVK a la malla [2] tendremos: 6 IL + vL – Vc = 0 [2]

Reemplazando la relación vL = L td

d LI y el valor L = 1 H , en la ecuación [2], tendremos la ecuación de la

malla dos en función solamente de las variables de estado: CONVERSIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN ECUACIONES ALGEBRAICAS UTILIZANDO LOS OPERADORES DIFERENCIALES La ecuación diferencial uno quedará: S IL + 10 IL + S Vc = Ve o La ecuación diferencial dos quedará: S IL + 6 IL - Vc = 0 o

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS UTILIZANDO LA REGLA DE CRAMER Y DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES

DIFERENCIALES CON UNA SOLA VARIABLE DEPENDIENTE Solucionando algebraicamente las dos ecuaciones obtenidas en el paso inmediatamente anterior, utilizando la regla de Cramer, tendremos una expresión para la corriente del inductor IL en función de los operadores y de la fuente de excitación, a partir de la cual, podremos hallar la ecuación diferencial de segundo orden, en donde la variable dependiente es solamente la corriente del inductor IL

Ve S 0 -1 Ve IL = ------------------------- = ---------------------- , luego: S2 IL + 7 S IL + 10 IL = Ve (S+10) S S2 + 7 S + 10 (S+6) -1

y la ecuación diferencial quedará: 2L

2

dtd I + 7

t d d LI + 10 IL = Ve , que al reemplazar el valor de Ve

se transforma en : Solucionando algebraicamente las dos ecuaciones obtenidas en el paso inmediatamente anterior, utilizando la regla de Cramer, tendremos una expresión para el voltaje del capacitor VC en función de los operadores y de la

td d LI + 10 IL +

td d CV = Ve [1]

td d lI + 6 IL – Vc = 0 [2]

(S + 10) IL + S Vc = Ve [1]

(S + 6) IL - Vc = 0 [2]

2L

2

dtd I + 7

t d d LI + 10 IL = 6 e-3t [A]

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fuente de excitación, a partir de la cual, podremos hallar la ecuación diferencial de segundo orden, en donde la variable dependiente es solamente el voltaje del capacitor VC

(S+10) Ve (S+6) 0 (S+6) Ve VC = ------------------------- = ---------------------- , luego: S2 VC + 7 S VC + 10 VC = (S+6) Ve (S+10) S S2 + 7 S + 10 (S+6) -1

y la ecuación diferencial quedará: 2C

2

dtd V

+ 7 t d

d CV + 10 VC =

t d d eV

+ 6 Ve , que al reemplazar el valor de Ve ,

se transforma en :

DETERMINACIÓN DE LAS CONDICIONES INICIALES Y DE LA PRIMERA DERIVADA PARA LAS VARIABLES DE ESTADO EN t = 0 Un instante antes de accionar los interruptores, para t (0-

) , el circuito se encuentra en estado estable, o sea que, el capacitor se comporta como un circuito abierto y el inductor como un corto circuito, por lo tanto, los valores de las variables del circuito son:

6 ohm

10 Vdc

4 ohm

Con base en las ecuaciones diferenciales obtenidas anteriormente: td

d LI + 10 IL + td

d CV = Ve [1] y

td d lI + 6 IL – Vc = 0 [2], podremos obtener las condiciones de las variables de estado para t = 0.

De [2], td

d lI + 6 IL(0) – Vc (0) = 0 . de donde, I ´L(0) = - 6 (1) + 6 = 0 ; luego I ´

L(0) = 0

t = 0

De [1] , td

d LI + 10 IL(0) + td

d CV = Ve(0) , de donde, V ´C (0) = 6 e-3(0) – (0) – 10 (1) = - 4 v

t = 0 t = 0 RESUMEN DE LAS CONDICIONES INICIALES: IL(0) = 1 A , I ´

L(0) = 0 y VC(0) = 6 v , V ´C (0) = - 4 v

CONDICIONES INICIALES De acuerdo con la figura anterior podremos determinar que las condiciones iniciales son: IL(0) = 1 A y VC(0) = 6 v

Para t(0-)

VC(0-) = 6 v

IL(0-) = 1 A

2C

2

dtd V

+ 7 t d

d CV + 10 VC = - 18 e-3t + 36 e-3t = 18 e-3t [B]

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SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARA LA CORRIENTE DEL INDUCTOR IL(t)

Enunciado del problema: Desarrollar la ecuación diferencial 2L

2

dtd I + 7

t d d LI + 10 IL = 6 e-3t , para

IL(0) = 1 A , I ´L(0) = 0

SOLUCIÓN GENERAL: IL(t) = IL H + IL P , en donde: IL H es la solución general de la homogénea correspondiente e IL P es la solución particular de la ecuación diferencial a resolver. SOLUCIÓN DE LA HOMOGÉNEA:

Ecuación característica: λ2 + 7 λ + 10 = 0 , dela cual resulta: λ1 = - 5 y λ2 = - 2 Por lo tanto, IL H = k1 e – 5 t + k2 e – 2 t SOLUCIÓN PARTICULAR:

MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS : IL P = A e – 3 t ; I ´ L P = - 3 A e – 3 t ; I ´´ L P = 9 A e – 3 t Reemplazando en la ecuación diferencial, tendremos: 9 A e – 3 t + 7 (- 3 A e – 3 t) + 10 (A e – 3 t) = 6 e-3t Simplificando la expresión determinaremos que A = - 3 , luego: IL P = - 3 e – 3 t Y la solución general para la corriente del inductor quedará: [A] SOLUCIÓN ESPECÍFICA O PARTICULAR Para determinar la solución específica o particular reemplazaremos las condiciones iniciales en las respectivas ecuaciones. Derivando la solución general para la corriente del inductor, tendremos: I´L(t) = - 5 k1 e – 5 t - 2 k2 e – 2 t + 9 e – 3 t [B] Remplazando la condición inicial IL(0) = 1 A , en [A] , resulta: 1 = k1 e – 5 (0) + k2 e – 2 (0) - 3 e – 3 (0) , o, k1

+ k2 = 4 [C] Remplazando la condición inicial I ´

L(0) = 0 , en [B] , resulta: 0 = -5k1 e – 5 (0) - 2k2 e – 2 (0) + 9 e – 3 (0) , o, 5 k1

+ 2 k2 = 9 [D] Resolviendo simultáneamente [C] y [D] , resulta: k1 = 1/3 y k2 = 11/3 , luego, la solución específica para la corriente del inductor estará dada por:

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARA EL VOLTAJE DEL CAPACITOR VC(t)

Enunciado del problema: Desarrollar la ecuación diferencial 2C

2

dtd V

+ 7 t d

d CV + 10 VC =18 e-3t , para

VC(0) = 6 v , V ´C (0) = - 4 v

SOLUCIÓN GENERAL: Vc (t) = Vc H + Vc P , en donde: Vc H es la solución general de la homogénea correspondiente y Vc P es la solución particular de la ecuación diferencial a resolver. SOLUCIÓN DE LA HOMOGÉNEA:

Ecuación característica: λ2 + 7 λ + 10 = 0 , dela cual resulta: λ1 = - 5 y λ2 = - 2 Por lo tanto, Vc H = k1 e – 5 t + k2 e – 2 t SOLUCIÓN PARTICULAR:

MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS : Vc P = A e – 3 t ; V´ c P = - 3 A e – 3 t ; V ´´c P = 9 A e – 3 t

Reemplazando en la ecuación diferencial, tendremos: 9 A e – 3 t + 7 (- 3 A e – 3 t) + 10 (A e – 3 t) = 18 e-3t Simplificando la expresión determinaremos que A = - 9 , luego: IL P = - 9 e – 3 t Y la solución general para la corriente del inductor quedará: [A]

IL(t) = k1 e – 5 t + k2 e – 2 t - 3 e – 3 t

IL(t) = ( 31 ) e – 5 t + ( 3

11 ) e – 2 t - 3 e – 3 t

Vc (t) = k1 e – 5 t + k2 e – 2 t - 9 e – 3 t

Page 21: 6 UNIDAD 6

16/08/07 Página 21 de 28 Profesor : Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS

SOLUCIÓN ESPECÍFICA O PARTICULAR Para determinar la solución específica o particular reemplazaremos las condiciones iniciales en las respectivas ecuaciones. Derivando la solución general para la corriente del inductor, tendremos: V´c (t) = - 5 k1 e – 5 t - 2 k2 e – 2 t + 27 e – 3 t [B] Remplazando la condición inicial VC(0) = 6 v , en [A] , resulta: 6 = k1 e – 5 (0) + k2 e – 2 (0) - 9 e – 3 (0) , o, k1

+ k2 = 15 [C] Remplazando la condición inicial V ´

C (0) = - 4 v , en [B] , resulta: - 4 = -5k1 e – 5 (0) - 2k2 e – 2 (0) + 27 e – 3 (0) , o, 5 k1

+ 2 k2 = 31 [D] Resolviendo simultáneamente [C] y [D] , resulta: k1 = 1/3 y k2 = 44/3 , luego, la solución específica para la corriente del inductor estará dada por:

RESUMEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PARA EL EJEMPLO NUMÉRICO PARA CUALQUIER VALOR DE LA FUNCIÓN DE EXCITACIÓN

2L

2

dtd I + 7

t d d LI + 10 IL = Ve 2

C2

dtd V

+ 7 t d

d CV + 10 VC =

t d d eV

+ 6 Ve

COMPROBACIÓN DE LA EXPRESION DETERMINADA PARA UNA DE LAS VARIABLES EN FUNCIÓN DE LA OTRA EN EL CIRCUITO ELÉCTRICO PARA t ≥ 0

Ve Vc(t)(1/4) F

+1 H

4 ohm

6 ohm

IL(t)

-

Relaciones entre las diferentes variables asignadas. Utilizando leyes de la electrostática :

qc = C Vc ; Vc = qc/C ; ic = C td

d CV ; Ley de Faraday: vL = L td

d LI

Con base en las relaciones entre las diferentes variables asignadas, el circuito eléctrico para t ≥ 0 y la expresión encontrada para la corriente del inductor, IL(t) = ( 3

1 ) e – 5 t + ( 311 ) e – 2 t - 3 e – 3 t , podremos hallar la

expresión para el voltaje en el capacitor Vc (t)

vL(t) = L td

d LI = (1) [(- 35 ) e – 5 t - ( 3

22 ) e – 2 t + 9 e – 3 t ]

6 IL(t) = (2) e – 5 t + (22) e – 2 t - 18 e – 3 t

Vc (t) = ( 31 ) e – 5 t + ( 3

44 ) e – 2 t - 9 e – 3 t

ic(t)

vL(t)

i1 4 i1

6 IL 1 2

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16/08/07 Página 22 de 28 Profesor : Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS

Vc (t) = ( 31 ) e – 5 t + ( 3

44 ) e – 2 t - 9 e – 3 t Por lo tanto la expresión es idéntica a la obtenida por medio de la solución de la ecuación diferencial respectiva, convirtiéndose este último procedimiento en otra alternativa para determinar el voltaje en el capacitor.

CAMBIO EN LA FUENTE DE EXCITACIÓN PARA EL EJEMPLO NUMÉRICO INMEDIATAMENTE ANTERIOR

Para el circuito resuelto en el punto inmediatamente anterior, cambiamos el tipo de la fuente de excitación utilizada a :

Por lo tanto las ecuaciones diferenciales quedarán para cada uno de los casos:

2L

2

dtd I + 7

t d d LI + 10 IL = 6 2

L2

dtd I + 7

t d d LI + 10 IL = 6 Cos(3 t)

2C

2

dtd V

+ 7 t d

d CV + 10 VC = 36 2

C2

dtd V

+ 7 t d

d CV + 10 VC = -18Sen(3 t) + 36 Cos(3 t)

CONDICIONES INICIALES

IL(0) = 1 A y VC(0) = 6 v Con base en las ecuaciones diferenciales obtenidas anteriormente por aplicación de LVK a cada una de las

mallas td

d LI + 10 IL + td

d CV = Ve [1] y td

d lI + 6 IL – Vc = 0 [2], podremos obtener las condiciones

de las variables de estado para t = 0. De [2],

td d lI + 6 IL(0) – Vc (0) = 0 . de donde, I ´

L(0) = - 6 (1) + 6 = 0 ; luego I ´L(0) = 0

t = 0

De [1] , td

d LI + 10 IL(0) + td

d CV = Ve(0) , de donde, V ´C (0) = Ve(0) – (0) – 10 (1)

t = 0 t = 0 Luego para ambos casos de fuentes de excitación: Ve(0) = 6, por lo tanto, para ambos casos de fuente de excitación V ´

C (0) = - 4 v RESUMEN DE LAS CONDICIONES INICIALES: Para los dos casos de la fuente de excitación las condiciones iniciales son iguales IL(0) = 1 A , I ´

L(0) = 0 y VC(0) = 6 v , V ´

C (0) = - 4 v Luego, desarrollar los circuitos para cada una de las fuentes indicadas, es resolver las ecuaciones diferenciales siguientes, para las condiciones iniciales expresadas.

2L

2

dtd I + 7

t d d LI + 10 IL = 6 2

L2

dtd I + 7

t d d LI + 10 IL = 6 Cos(3 t)

2C

2

dtd V

+ 7 t d

d CV + 10 VC = 36 2

C2

dtd V

+ 7 t d

d CV + 10 VC = -18Sen(3 t) + 36 Cos(3 t)

Ve = 6 ; t d

d eV = 0 ; [1] Ve = 6 Cos(3 t) ;

t d d eV

= - 18 Sen(3 t) ; [2]

Page 23: 6 UNIDAD 6

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CONDICIONES INICIALES IL(0) = 1 A , I ´

L(0) = 0 y VC(0) = 6 v , V ´C (0) = - 4 v

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES:

IL(t) = 0.6 - ( 154 ) e – 5 t + ( 3

2 ) e – 2 t IL(t) = - 0.3724 e – 5 t + 1.3558e – 2 t + 0.2852 Cos(3 t – 87.27°) VC(t) = 3.6 - ( 30

8 ) e – 5 t + ( 38 ) e – 2 t VC(t) = - 0.645 e – 5 t + 5.8196e – 2 t + 1.6872 Cos(3 t – 60.7°)

6.6 PROBLEMAS PROPUESTOS A continuación se presentan algunos problemas de circuitos RLC en conexión mixta y sus respectivas respuestas. Estos circuitos se pueden desarrollar determinando sus propias ecuaciones diferenciales por medio del método de las variables de estado 1. Para el circuito de la figura siguiente el interruptor se cierra en t = 0. Encuentre las ecuaciones diferenciales

adecuadas y necesarias con el fin de determinar las variables IL(t) y VC(t) para t ≥ 0.

R1t = 0 seg.1 2

IL(t)

CR2 Vc(t)Ve

L

-

+

Respuestas: ECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA MALLA CONTENIENDO SOLO LAS VARIABLES DE ESTADO

Malla I : L td

d LI + (R1+R2) IL - R2 C td

d CV = Ve (A) ; Malla II : R2IL - R2 C

td d CV

- VC = 0 (B) ECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA UNA DE LAS VARIABLES DE ESTADO COMO VARIABLE DEPENDIENTE VARIABLE: Corriente del inductor IL(t)

2L

2

td d I + [

CLRCRRL

2

21+ ] td

d LI + [CLRRR

2

21 + ] IL = [L1 ]

td d eV

+ [CLR1

2

]Ve

VARIABLE: Voltaje del capacitor VC(t)

2C

2

td d V

+ [CLR

CRRL

2

21+ ] td

d CV+ [

CLRRR

2

21 + ] VC = [CL1 ] Ve

ECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA UNA DE LAS VARIABLES DE ESTADO COMO VARIABLE DEPENDIENTE PARA Ve = U(t) Y LOS VALORES INDICADOS DE LOS ELEMENTOS

VARIABLE: Corriente del inductor IL(t) VARIABLE: Voltaje del capacitor VC(t)

2L

2

td d I + [6]

td d LI + [8] IL = [3] 2

C2

td d V

+ [6]td

d CV+ [8] VC = [4] Ve

Donde: R1 = R2 = 1.309 Ω C = 1 F ; L = 0.25 H Ve = U(t) VARIABLES DE ESTADO IL(t) y VC(t)

Page 24: 6 UNIDAD 6

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CONDICIONES INICIALES Antes de conectarse el interruptor, tanto el inductor como el capacitor estaban descargados, luego IL(0) = 0 y VC(0) = 0. A partir de la ecuación diferencial de la malla (B), podremos determinar:

td d CV

= V´C(0) = [R2IL(0) - VC(0)] / R2C = [R2 (0) – (0)] / R2C = 0 V´C(0) = 0

t = 0 A partir de la ecuación diferencial de la malla (A), podremos determinar:

td d LI = I´

L(0) = [Ve - (R1+R2) IL(0) + R2 C V´C(0) ] / L = Ve / L = 4 I´L(0) = 4

t = 0 RESPUESTAS DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES: IL(t) = ( 8

3 ) + ( 45 ) e – 2 t - ( 8

13 ) e – 4 t A ; VC(t) = ( 21 ) - e – 2 t + ( 2

1 ) e – 4 t v

2. Desarrollar el ejemplo N° 1, para los siguientes valores de los elementos: C = 1 F , L = 1 H , R1 = 1 Ω ; R2 = 3 Ω , Ve = U(t) RESPUESTAS: IL(t) = ( 12

1 ) +[- 121 + 6

5 t] e – 2 t A ; VC(t) = ( 41 ) -[ 4

1 + 21 t] e – 2 t v

3. Desarrollar el ejemplo N° 1, para los siguientes valores de los elementos: C = 0.125 F , L = 0.5 H , R1 = 4 Ω ; R2 = 1 Ω , Ve = U(t) RESPUESTAS: IL(t) = 5 e – 2 t Sen(4t) A VC(t) = (0.8) - e – 2 t [ 0.8 Cos(4t)+0.4 Sen(4t)] v 4. Para el circuito de la figura siguiente el interruptor U1 se cierra en t = 0 y el interruptor U2 se abre en t = 0.

Encuentre las ecuaciones diferenciales adecuadas y necesarias con el fin de determinar las variables IL(t) y VC(t) para t ≥ 0.

-

C

L

R2

t = 0 seg.

U2

1

2

Vc(t)

12 v

R1

+

t = 0 seg.

U1

1 2

24 v

IL(t)

ECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA MALLA CONTENIENDO SOLO LAS VARIABLES DE ESTADO

Malla I : 2 td

d LI + (12) IL - (0.5) td

d CV = (24) (A) ; Malla II : (2)IL - (0.5)

td d CV

- VC = 0 (B) ECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA UNA DE LAS VARIABLES DE ESTADO COMO VARIABLE DEPENDIENTE VARIABLE: Corriente del inductor IL(t) VARIABLE: Voltaje del capacitor VC(t)

2L

2

td d I + [7]

td d LI + [12] IL = [24] 2

C2

td d V

+ [7]td

d CV+ [12] VC = [48]

CONDICIONES INICIALES Para un instante antes de actuar los interruptores, el circuito estaba accionado por la fuente de 12 v y el inductor se comporta como un corto circuito y el capacitor como un circuito abierto, luego IL(0) = 1 A y VC(0) = 2 v. A partir de la ecuación diferencial de la malla (B), podremos determinar:

td d CV

= V´C(0) = [2 IL(0) - VC(0)] / (0.5) = [2 (1) – (2)] / (0.5) = 0 V´C(0) = 0

t = 0 A partir de la ecuación diferencial de la malla (A), podremos determinar:

Donde: R1 = 10Ω y R2 = 2 Ω C = 0.25 F ; L =2 H VARIABLES DE ESTADO IL(t) y VC(t)

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td d LI = I´

L(0) = [24 - (12) IL(0) + (0.5) V´C(0) ] / 2 = 12 / 2 = 6 I´L(0) = 6

t = 0 RESPUESTAS DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES: IL(t) = (2) + (2) e – 3 t - (3) e – 4 t A ; VC(t) = (4) - 12 e – 3 t + (10) e – 4 t v

5. Para el circuito de la figura siguiente el interruptor U4 se cierra en t = 0 y el interruptor U5 se abre en t = 0.

Encuentre las ecuaciones diferenciales adecuadas y necesarias con el fin de determinar las variables IL(t) y VC(t) para t ≥ 0.

R = 3 ohm

t = 0U5

1

2

10 v

L = 4 HIL(t)t = 0

U4

1 2

+ Vc(t) -6 v

C = 2 F

R = 2 ohm

RESPUESTAS: ECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA MALLA CONTENIENDO SOLO LAS VARIABLES DE ESTADO

Malla I : -4 td

d LI + (6) td

d CV + VC = 0 (A) ; Malla II : (2)IL + (10)

td d CV

+ VC = Ve = 6 (B) ECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA UNA DE LAS VARIABLES DE ESTADO COMO VARIABLE DEPENDIENTE VARIABLE: Corriente del inductor IL(t) VARIABLE: Voltaje del capacitor VC(t)

2L

2

td d I + [0.4]

td d LI + [0.05] IL = [0.15] 2

C2

td d V

+ [0.4]td

d CV+ [0.05] VC = 0

CONDICIONES INICIALES Para un instante antes de actuar los interruptores, el circuito estaba accionado por la fuente de 10 v y el inductor se comporta como un corto circuito y el capacitor como un circuito abierto, luego IL(0) = 5 A y VC(0) = 0 v. A partir de la ecuación diferencial de la malla (B), podremos determinar:

td d CV

= V´C(0) = [6 -2 IL(0) - VC(0)] / (10) = [6-2 (5) – (0)] / (10) = -0.4 V´C(0) = -0.4

t = 0 A partir de la ecuación diferencial de la malla (A), podremos determinar:

td d LI = I´

L(0) = [VC(0) + (6) V´C(0) ] / 4 = 6(-0.4)/ 4 = -0.6 I´L(0) = -0.6

t = 0 RESPUESTAS DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES: IL(t) = (3) + e – 2 t (2 Cos(0.1 t) – 2 Sen(0.1 t) A ; VC(t) = - 4 e – 2 t Cos(0.1 t) v 6. Para el circuito de la figura siguiente el interruptor Ua se cierra en t = 0 y el interruptor Ub se abre en t = 0.

Encuentre las ecuaciones diferenciales adecuadas y necesarias con el fin de determinar las variables IL(t) y VC(t) para t ≥ 0.

Page 26: 6 UNIDAD 6

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6 v

C = 0.25 F Vc(t)

+t = 0

Ua

1 2

t = 0Ub

1

2

IL(t) L = 1 H

R = 4 ohm

R = 6 ohm-

10 v

RESPUESTAS: ECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA MALLA CONTENIENDO SOLO LAS VARIABLES DE ESTADO

Malla I : (1.5) td

d CV - 6 IL -

td d LI = 0 (A) ; Malla II :

td d CV

+ VC + td

d LI = Ve = 6 (B) ECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA UNA DE LAS VARIABLES DE ESTADO COMO VARIABLE DEPENDIENTE VARIABLE: Corriente del inductor IL(t) VARIABLE: Voltaje del capacitor VC(t)

2L

2

td d I + [2.8]

td d LI + [2.4] IL = 0 2

C2

td d V

+ [2.8]td

d CV+ [2.4] VC = 14.4

CONDICIONES INICIALES Para un instante antes de actuar los interruptores, el circuito estaba accionado por la fuente de 10 v y el inductor se comporta como un corto circuito y el capacitor como un circuito abierto, luego IL(0) = 0 A y VC(0) = 10 v. A partir de las ecuaciones diferenciales de las mallas (A) y (B), podremos determinar dos ecuaciones linealmente independientes, en donde los valores desconocidos son las primeras derivadas en t = 0, de las variables de estado I´

L(0) y V´C(0) : (A) (1.5) V´C(0) - 6 IL(0) - I´

L(0) = 0 ; (B) V´C(0) + VC(0) + I´L(0) = 6

1.5 V´C(0) - I´L(0) = 0 ; V´C(0) + 10 + I´

L(0) = 6 Desarrollando simultáneamente las dos ecuaciones determinadas, resulta: I´

L(0) = -2.4 A y V´C(0) = - 1.6 RESPUESTAS DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES: IL(t) = (- 3.63) e – 1.4 t Sen(0.66 t) A ; VC(t) = 6 + e – 2 t ( 4 Cos(0.66 t) + 6 Sen(0.66 t)) v 7. Para el circuito de la figura siguiente el interruptor Ua se cierra en t = 0. Encuentre las ecuaciones diferenciales adecuadas y necesarias con el fin de determinar las variables IL1(t) e IL2(t) para t ≥ 0, sí : IL1(0) = 0 e IL2(0) = 0.

8 ohmIL2(t)

t = 0 seg.Ua

1

2

Ve = 5 4 ohm

L2= 1 H

IL1(t)

L1= 2 H

RESPUESTAS: ECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA MALLA CONTENIENDO SOLO LAS VARIABLES DE ESTADO

Malla I : 12 IL2 + td

d L2I - 4 IL1 = Ve (A) ; Malla II : 4 IL2 - 4 IL1 - 2 td

d L1I = 0 (B) ECUACIONES DIFERENCIALES DE CADA UNA DE LAS VARIABLES DE ESTADO COMO VARIABLE DEPENDIENTE VARIABLE: Corriente del inductor IL2(t) VARIABLE: Voltaje del capacitor IL1(t)

2L2

2

td d I + [14]

td d L2I + [16] IL2 = 2Ve +

td d eV

= 0 ; 2L1

2

td d I + [14]

td d L1I + [16] IL1 = 2Ve = 10e- 2 t

Ve = 5e- 2 t v

Page 27: 6 UNIDAD 6

16/08/07 Página 27 de 28 Profesor : Luis Rodolfo Dávila Márquez CÓDIGO: 00076 UFPS

RESPUESTAS DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES: IL1(t) = (1.1689) e – 1.255 t + (0.081) e – 12.74 t - 1.25 e – 2 t A

IL2(t) = (0.435) e – 1.255 t - (0.435) e – 12.74 t A FORMULARIO DE TRIGONOMETRÍA

)180()(

)90()(°±=−

°+=wtCoswtCos

wtSenwtCos

)180wt(Sen)wt(Sen)90wt(Cos)wt(Sen°±=−

°−=

)(Sen)(Cos)(Cos)(Sen)(Sen βα±βα=β±α )(Sen)(Sen)(Cos)(Cos)(Cos βαβα=β±α m

)wt(Sen)(CosV)wt(Cos)(SenV)wt(SenVv mmm)t( θ+θ=θ+=

))(tanwt(Sen))(CosV())(SenV()wt(SenVv 12

m2

mm)t( θ+θ+θ=θ+= −

)( tan dondeen , )- t Cos(w B A t)Sen(w B t)Cos(wA AB1 -22 =δδ+=+

)( tan dondeen , )- t Sen(w B A t)Sen(w B t)Cos(wA B

A1 -22 =δδ+=+

Page 28: 6 UNIDAD 6

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FORMULARIO FRECUENCIA Y RESPUESTA NATURAL PARA LOS CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN

CASO FRECUENCIA NATURAL RESPUESTA NATURAL

CIRCUITOS RL FN = L

R (seg-1), Hertz ; RL =τ (seg) K1e- tL

R

= K1e-R

Lt

= K1e- τt

CIRCUITOS RC FN = RC

1 (seg-1), Hertz ; τ = RC (seg) K1C R

t-e = K1e- τt

RESPUESTA FORZADA PARA LOS CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN ENTRADA f(t) RESPUESTA FORZADA

Constante: V D, constante Rampa: A t D + E t , D y E constantes

Exponencial: Ae- B t , A y B constantes De- B t, D constante Senoidal: A Cos(wt), A Sen(wt), A Cos(wt- θ) D Cos(wt) + E Sen(wt), D y E constantes

FRECUENCIAS NATURALES PARA LOS CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN

SERIE

L

CRR

L

+

-

C

PARALELO

ECUACIÓN DIFERENCIAL: 2

(t)2

td

d Li + C R1

td

d (t)Li + C L1 iL(t) = 0 2

(t)C2

td

V d+ L

R td

V d (t)C + C L1 VC(t) = 0

COEFICIENTE DE α = RC2

1, en rad/seg α =

L2

R, en rad/seg

AMORTIGUAMIENTO

FRECUENCIA DE RESONANCIA WO = LC

1, en rad/seg WO =

LC

1 , en rad/seg

FRECUENCIA DE Wd = ( ) ( )22RC

1LC1 - , en rad/seg Wd = ( ) ( )22L

RLC1 - , en rad/seg

RESONANCIA AMORTIGUADA

RESPUESTAS NATURALES PARA LOS CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN CASO FRECUENCIA NATURAL RESPUESTA NATURAL

SOBREAMORTIGUADO

Cuando R < CL

21

S1, S2 = - α ± 2

o2 w - α

K1 e- S1 t + K2 e- S2 t

CRÍTICAMENTE AMORTIGUADO

Cuando R = CL

21

S1, S2 = - α

(K1 + K2 t ) e- α t SUBAMORTIGUADO

Cuando R > CL

21

S1, S2 = - α ± 22

o - w α = - α + j wd

e- α t (K1 Cos(wd t) + K2 Sen(wd t)

RESPUESTA FORZADA PARA LOS CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN ENTRADA f(t) RESPUESTA FORZADA

Constante: V D, constante Rampa: A t D + E t , D y E constantes

Exponencial: Ae- B t , A y B constantes De- B t, D constante Senoidal: A Cos(wt), A Sen(wt), A Cos(wt- θ) D Cos(wt) + E Sen(wt), D y E constantes

Vc(t)

iL (t)

CIRCUITO